Kad su vektori okomiti. Pronalaženje vektora okomitog na zadani vektor, primjeri i rješenja

Uputa

Ako je izvorni vektor na crtežu prikazan u pravokutnom dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu, a okomiti je potrebno izgraditi na istom mjestu, polaziti od definicije okomitosti vektora na ravninu. Navodi da kut između takvog para usmjerenih segmenata mora biti jednak 90°. Moguće je konstruirati beskonačan broj takvih vektora. Dakle, nacrtajte bilo koji povoljna lokacija ravnina okomita na izvorni vektor, odvojite segment na njemu, jednaka duljini zadan uređeni par točaka i dodijeliti jedan od njegovih krajeva kao početak okomiti vektor. Učinite to kutomjerom i ravnalom.

Ako je izvorni vektor zadan dvodimenzionalnim koordinatama ā = (X₁;Y₁), polazite od činjenice da skalarni proizvod para okomitih vektora mora biti jednak nuli. To znači da za željeni vektor ō = (X₂,Y₂) trebate odabrati takve koordinate na kojima će biti zadovoljena jednakost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. To se može učiniti ovako: odaberite bilo koju vrijednost različitu od nule za koordinatu X₂ i izračunajte Y₂ koordinate koristeći formulu Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Na primjer, za vektor ā = (15;5) bit će vektor ō, s apscisom, jednako jednom, a ordinata jednaka -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).

Za trodimenzionalni i bilo koji drugi ortogonalni koordinatni sustav vrijedi isti nužni i dovoljni uvjet za okomitost vektora – njihov skalarni umnožak mora biti jednak nuli. Stoga, ako je izvorni usmjereni segment zadan koordinatama ā = (X₁,Y₁,Z₁), za uređeni par točaka ō = (X₂,Y₂,Z₂) okomitih na njega, odaberite takve koordinate koje zadovoljavaju uvjet (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najlakši način je dodijeliti pojedinačne vrijednosti X₂ i Y₂ i izračunati Z₂ iz pojednostavljene jednadžbe Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X1+Y₁)/ Z1. Na primjer, za vektor ā = (3,5,4) ovo će imati sljedeći oblik: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Zatim uzmite apscisu i ordinatu okomitom vektoru kao jedinici, au ovom slučaju bit će jednak -(3+5)/4 = -2.

Izvori:

• nađi vektor ako je okomit

Okomite se nazivaju vektor, kut između kojih je 90º. Okomiti vektori se grade pomoću alata za crtanje. Ako su njihove koordinate poznate, tada možete provjeriti ili pronaći okomitost vektora analitičke metode.

Trebat će vam

• - kutomjer;
• - kompas;
• - vladar.

Uputa

Konstruiraj vektor okomit na zadani. Da biste to učinili, u točki koja je početak vektora, vratite okomitu na njega. To se može učiniti kutomjerom, ostavljajući kut od 90º. Ako nema kutomjera, napravite ga šestarom.

Postavite ga na početnu točku vektora. Nacrtajte kružnicu proizvoljnog polumjera. Zatim izgradite dva centrirana u točkama gdje prva kružnica siječe liniju na kojoj leži vektor. Polumjeri ovih kružnica moraju biti međusobno jednaki i veći od prve konstruirane kružnice. U točkama presjeka kružnica konstruirajte ravnu liniju koja će biti okomita na izvorni vektor u točki njegovog početka i na njemu odvojite vektor okomit na zadani.

Ovaj članak otkriva značenje okomitosti dvaju vektora na ravnini u trodimenzionalnom prostoru i pronalaženja koordinata vektora okomitog na jedan ili cijeli par vektora. Tema je primjenjiva na probleme vezane uz jednadžbe pravaca i ravnina.

Razmotrit ćemo nužan i dovoljan uvjet za okomitost dvaju vektora, riješit ćemo metodom nalaženja vektora okomitog na zadani, dotaknut ćemo se situacije nalaženja vektora koji je okomit na dva vektora.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neophodan i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita

Primijenimo pravilo o okomitim vektorima na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.

Definicija 1

S obzirom da je vrijednost kuta između dva vektora različita od nule jednaka 90° (π 2 radijana) naziva se okomito.

Što to znači i u kojim situacijama je potrebno znati njihovu okomitost?

Uspostavljanje okomitosti moguće je kroz crtež. Kada crtate vektor na ravnini iz zadanih točaka, možete geometrijski izmjeriti kut između njih. Okomitost vektora, ako je uspostavljena, nije sasvim točna. Stoga vam ovi zadaci najčešće ne dopuštaju da to učinite kutomjerom ovu metodu primjenjiv samo kada ništa drugo nije poznato o vektorima.

Većina slučajeva dokazivanja okomitosti dva vektora različita od nule na ravninu ili u prostoru izvodi se pomoću nužan i dovoljan uvjet za okomitost dvaju vektora.

Teorem 1

Skalarni proizvod dva vektora različita od nule a → i b → jednaka nuli da bi se ispunila jednakost a → , b → = 0 dovoljna je za njihovu okomitost.

Dokaz 1

Neka su zadani vektori a → i b → okomiti, tada ćemo dokazati jednakost a ⇀ , b → = 0 .

Iz definicije točkasti proizvod vektora znamo da je jednako umnožak duljina zadanih vektora i kosinusa kuta između njih. Prema uvjetu, a → i b → su okomiti, pa je, prema definiciji, kut između njih 90 °. Tada imamo a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Drugi dio dokaza

Pod uvjetom kada je a ⇀ , b → = 0 dokazati okomitost a → i b → .

Zapravo, dokaz je obrnut od prethodnog. Poznato je da su a → i b → različiti od nule, pa iz jednakosti a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ nalazimo kosinus. Tada dobivamo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Budući da je kosinus nula, možemo zaključiti da je kut a → , b → ^ vektora a → i b → 90 °. Po definiciji, ovo je neophodno i dovoljno svojstvo.

Okomito stanje na koordinatnoj ravnini

Poglavlje točkasti proizvod u koordinatama pokazuje nejednakost (a → , b →) = a x b x + a y b y, vrijedi za vektore s koordinatama a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) , na ravnini i (a → , b → ) = a x b x + a y b y za vektore a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) u prostoru. Neophodan i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita u koordinatna ravnina ima oblik a x b x + a y b y = 0 , for trodimenzionalni prostor a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Provodimo to u praksi i pogledajmo primjere.

Primjer 1

Provjerite svojstvo okomitosti dvaju vektora a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Odluka

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći skalarni proizvod. Ako će po uvjetu biti jednako nuli, onda su okomite.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Uvjet je zadovoljen, što znači da su zadani vektori okomiti na ravninu.

Odgovor: da, zadani vektori a → i b → su okomiti.

Primjer 2

Zadani koordinatni vektori i → , j → , k → . Provjerite mogu li vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → biti okomiti.

Odluka

Da biste zapamtili kako se određuju koordinate vektora, morate pročitati članak o vektorske koordinate u pravokutni sustav koordinate. Tako dobivamo da zadani vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → imaju odgovarajuće koordinate (1, - 1, 0) i (1, 2, 2) . Zamjena brojčane vrijednosti i dobivamo: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Izraz nije nula, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , što znači da vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomito jer uvjet nije zadovoljen.

Odgovor: ne, vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomiti.

Primjer 3

Zadani vektori a → = (1 , 0 , - 2) i b → = (λ , 5 , 1) . Pronađite vrijednost λ za koju su dati vektori okomiti.

Odluka

Koristimo se uvjetom okomitosti dvaju vektora u prostoru u kvadratni oblik, onda dobivamo

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Odgovor: vektori su okomiti na vrijednosti λ = 2.

Postoje slučajevi kada je pitanje okomitosti nemoguće čak i pod nužnim i dovoljnim uvjetom. Uz poznate podatke o trima stranicama trokuta na dva vektora, moguće je pronaći kut između vektora i provjerite.

Primjer 4

Zadan je trokut A B C sa stranicama A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Provjerite okomitost vektora A B → i A C →.

Odluka

Kada su vektori A B → i A C → okomiti, trokut A B C se smatra pravokutnim. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem, gdje je BC hipotenuza trokuta. Jednakost B C 2 = A B 2 + A C 2 mora biti zadovoljena. Iz toga slijedi da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Dakle, A B i A C su katete trokuta A B C, pa su A B → i A C → okomite.

Važno je naučiti pronaći koordinate vektora okomitog na zadani. To je moguće i na ravnini i u prostoru, pod uvjetom da su vektori okomiti.

Pronalaženje vektora okomitog na danu u ravnini.

Vektor različit od nule a → može imati beskonačan broj okomitih vektora u ravnini. Predstavimo ga na koordinatnoj liniji.

Zadan je vektor različit od nule a → , koji leži na pravoj a. Tada zadani b → , koji se nalazi na bilo kojem pravcu okomitom na pravac a, postaje okomit i a → . Ako je vektor j → ili bilo koji od vektora λ j → okomit na vektor i → s λ jednakim bilo kojem pravi broj osim nule, tada se pronalaženje koordinata vektora b → okomito na a → = (a x , a y) svodi na beskonačan skup rješenja. Ali potrebno je pronaći koordinate vektora okomitog na a → = (a x , a y) . Za to je potrebno zapisati uvjet okomitosti vektora u obliku a x · b x + a y · b y = 0 . Imamo b x i b y , koje su željene koordinate okomitog vektora. Kada je a x ≠ 0 , vrijednost b y je različita od nule i b x se izračunava iz nejednakosti a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Kada je a x = 0 i a y ≠ 0, dodijelimo b x bilo koju vrijednost osim nule, a b y se nalazi iz izraza b y = - a x · b x a y .

Primjer 5

Zadan je vektor s koordinatama a → = (- 2 , 2) . Nađi vektor okomit na zadani.

Odluka

Označite željeni vektor kao b → (b x , b y) . Njegove koordinate možete pronaći iz uvjeta da su vektori a → i b → okomiti. Tada dobivamo: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Dodijelite b y = 1 i zamijenite: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Stoga iz formule dobivamo b x = - 2 - 2 = 1 2 . Dakle, vektor b → = (1 2 , 1) je vektor okomit na a → .

Odgovor: b → = (1 2, 1) .

Ako se postavi pitanje trodimenzionalnog prostora, problem se rješava po istom principu. Na zadanog vektora a → = (a x, a y, a z) postoji beskonačan skup okomiti vektori. Popravit će to na koordinatu trodimenzionalna ravnina. Zadano → leži na pravoj a . Ravninu okomitu na pravu a označavamo s α. U ovom slučaju, svaki vektor različit od nule b → iz ravnine α okomit je na a → .

Potrebno je pronaći koordinate b → okomito na vektor različit od nule a → = (a x , a y , a z) .

Neka je b → zadan s koordinatama b x , b y i b z . Da bismo ih pronašli, potrebno je primijeniti definiciju uvjeta okomitosti dvaju vektora. Mora vrijediti jednakost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Iz uvjeta a → - nije nula, što znači da jedna od koordinata ima vrijednost koja nije jednaka nuli. Pretpostavimo da je a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 ili a z ≠ 0). Dakle, imamo pravo podijeliti cijelu nejednakost a x b x + a y b y + a z b z = 0 ovom koordinatom, dobivamo izraz b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Dodijelimo bilo koju vrijednost koordinatama b y i b x , izračunamo vrijednost b x , na temelju formule, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Željeni okomit vektor imat će vrijednost a → = (a x , a y , a z) .

Pogledajmo dokaz na primjeru.

Primjer 6

Zadan je vektor s koordinatama a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Nađi vektor okomit na zadani.

Odluka

Označimo željeni vektor kao b → = (b x , b y , b z) . Na temelju uvjeta da su vektori okomiti, skalarni proizvod mora biti jednak nuli.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Ako je vrijednost b y = 1 , b z = 1 , tada je b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Iz toga slijedi da su koordinate vektora b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → je jedan od okomitih vektora na zadani.

Odgovor: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Nalaženje koordinata vektora okomitog na dva zadana vektora

Trebate pronaći koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru. Okomita je na nekolinearne vektore a → (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Pod uvjetom da su vektori a → i b → kolinearni, u zadatku će biti dovoljno pronaći vektor okomit na a → ili b → .

Prilikom rješavanja koristi se koncept vektorskog produkta vektora.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → je vektor koji je istovremeno okomit na a → i b → . Za rješavanje ovog problema koristi se vektorski umnožak a → × b →. Za trodimenzionalni prostor ima oblik a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Analizirajmo vektorski produkt detaljnije na primjeru problema.

Primjer 7

Dani su vektori b → = (0, 2, 3) i a → = (2, 1, 0). Pronađite koordinate bilo kojeg okomitog vektora na podatke u isto vrijeme.

Odluka

Da biste riješili, morate pronaći križni umnožak vektora. (Mora se odnositi na paragraf izračuni matrične determinante pronaći vektor). dobivamo:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektora koji je istovremeno okomit na zadane a → i b → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Uvjet okomitosti vektora

Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov umnožak nula.

Zadana su dva vektora a(xa;ya) i b(xb;yb). Ovi će vektori biti okomiti ako je izraz xaxb + yayb = 0.

Vektori su paralelni ako je njihov križni umnožak nula

Jednadžba ravne na ravnini. Osnovni zadaci na ravnoj liniji u ravnini.

Bilo koja ravna crta na ravnini može se dati jednadžbom prvog reda Ax + By + C = 0, a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli, t.j. A2 + B2  0. Ova jednadžba prvog reda naziva se opća jednadžba ravno. Ovisno o vrijednostima konstanta A, B i C mogući su sljedeći posebni slučajevi: - C = 0, A  0, B  0 - pravac prolazi kroz ishodište - A = 0, B  0, C  0 ( Po

C \u003d 0) - ravna linija je paralelna s osi Ox - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - ravna linija je paralelna s osi Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - ravna linija poklapa se s osi Oy - A \u003d C \u003d 0, B  0 - ravna crta se poklapa s osi Ox Jednadžba ravne linije može se predstaviti u raznim oblicima ovisno o bilo kojim početnim uvjetima.

Ako je barem jedan od koeficijenata A, B, C ur-i Ax+By+C=0 je 0, ur-e
pozvao nepotpun. Po obliku jednadžbe ravne linije može se suditi o njenom položaju
prokletstvo ohh. Mogući slučajevi:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) zadovoljava ovu jednadžbu, što znači da pravac
prolazi kroz ishodište
2 A=0 L: Wu+C=0 - normalna v-r n=(0,B) je odavde okomito na os OX
slijedi da je pravac paralelna s osi x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normalna v-r n \u003d (A, 0) je odavde okomita na os OY
slijedi da je pravac paralelna s y-osi
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ne prolazi kroz ishodište i siječe se
obje osi.

Jednadžba ravno　u avionu prolazeći kroz dva zadane bodove i :

Kut između ravnina.

Izračunavanje determinanti

Izračun determinanti temelji se na njihovim poznatim svojstvima, koja se odnose na determinante svih redova. Ova svojstva su:

1. Ako preuredite dva retka (ili dva stupca) determinante, tada će determinanta promijeniti predznak.

2. Ako su odgovarajući elementi dva stupca (ili dva retka) determinante jednaki ili proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

3. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se redovi i stupci zamijene, čuvajući njihov redoslijed.

4. Ako svi elementi bilo kojeg retka (ili stupca) imaju zajednički faktor, onda se može izvaditi iz predznaka determinante.

5. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (ili stupca) dodaju elementima jednog retka (ili stupca), pomnožene istim brojem.

Matrica i djelovanje na njih

Matrica- matematički objekt napisan u obliku pravokutne tablice brojeva (ili prstenastih elemenata) i koji omogućuje algebarske operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje, itd.) između njega i drugih sličnih objekata. Obično su matrice predstavljene dvodimenzionalnim (pravokutnim) tablicama. Ponekad se razmatraju višedimenzionalne matrice ili nepravokutne matrice.

Matrica se obično označava veliko slovo latinično pismo i dodijelite zagradama "(...)" (postoji i odabir uglate zagrade"[…]" ili dvostruke ravne crte "||…||").

Brojevi koji čine matricu (elementi matrice) često se označavaju istim slovom kao i sama matrica, ali malim slovima (na primjer, a11 je element matrice A).

Svaki element matrice ima 2 indeksa (aij) - prvi "i" označava broj retka u kojem se element nalazi, a drugi "j" je broj stupca. Kažu "matrica dimenzija", što znači da matrica ima m redaka i n stupaca. Uvijek u istoj matrici

Matrične operacije

Neka su aij elementi matrice A, a bij elementi matrice B.

Linearne operacije:

Množenje matrice A brojem λ (oznaka: λA) sastoji se od konstruiranja matrice B čiji se elementi dobivaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B je jednak do

Zbrajanje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki zbroju u paru svih odgovarajućih elemenata matrice A i B, odnosno svaki element matrice C jednak je

Oduzimanje matrica A − B definira se slično kao zbrajanje, to je operacija pronalaženja matrice C čiji elementi

Zbrajanje i oduzimanje dopušteni su samo za matrice iste veličine.

Postoji nulta matrica Θ takva da njezin dodatak drugoj matrici A ne mijenja A, tj.

Svi elementi nulte matrice jednaki su nuli.

Nelinearne operacije:

Množenje matrice (oznaka: AB, rjeđe sa predznakom množenja) je operacija za izračunavanje matrice C čiji su elementi jednaki zbroju umnožaka elemenata u odgovarajućem retku prvog faktora i stupcu od drugi.cij = ∑ aikbkj k

Prvi množitelj mora imati onoliko stupaca koliko ima redaka u drugom. Ako matrica A ima dimenziju B - , tada je dimenzija njihovog proizvoda AB = C. Množenje matrice nije komutativno.

Množenje matrice je asocijativno. Samo se kvadratne matrice mogu podići na stepen.

Transpozicija matrice (simbol: AT) je operacija u kojoj se matrica reflektira duž glavne dijagonale, tj.

Ako je A matrica veličine, tada je AT matrica veličine

Derivat složena funkcija

Kompleksna funkcija ima oblik: F(x) = f(g(x)), tj. je funkcija funkcije. Na primjer, y = sin2x, y = ln(x2+2x), itd.

Ako je u točki x funkcija g (x) derivacija g "(x), a u točki u \u003d g (x) funkcija f (u) ima izvod f" (u), tada je derivacija od kompleksna funkcija f (g (x)) u točki x postoji i jednaka je f"(u)g"(x).

Derivat implicitna funkcija

U mnogim je problemima funkcija y(x) specificirana na neizravan način. Na primjer, za funkcije u nastavku

nemoguće je eksplicitno dobiti ovisnost y(x).

Algoritam za izračunavanje derivacije y "(x) implicitne funkcije je sljedeći:

Prvo, trebate razlikovati obje strane jednadžbe s obzirom na x, uz pretpostavku da je y diferencijabilna funkcija od x i koristeći pravilo za izračunavanje derivacije složene funkcije;

Riješi rezultirajuću jednadžbu s obzirom na derivaciju y "(x).

Pogledajmo nekoliko primjera za ilustraciju.

Razlikujte funkciju y(x) zadanu jednadžbom.

Razlikujte obje strane jednadžbe s obzirom na varijablu x:

što dovodi do rezultata

Lapitalovo pravilo

L'Hopitalovo pravilo. Neka f-cija f(x) i g(x) ima u okruzenju. t-ki x0 pr-nye f‘ i g‘ isključujući mogućnost upravo ovog t-ku x0. Neka je lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 tako da f(x)/g(x) za x®x0 daje 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) kada se poklapa s granicom omjera funkcije lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriterij za monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka funkcija kontinuirano na

(a,b) i ima derivaciju f"(x) u svakoj točki. Tada

1)f se povećava za (a,b) ako i samo ako

2) opada na (a,b) ako i samo ako

2. (Dovoljno stanje stroga monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka funkcija je kontinuiran na (a,b), i ima derivaciju f"(x) u svakoj točki. Tada

1) ako je tada f strogo rastuća na (a,b);

2) ako je tada f strogo opadajuća na (a,b).

Obratno općenito nije točno. Izvod strogo monotone funkcije može nestati. Međutim, skup točaka u kojima derivacija nije jednaka nuli mora biti gust na intervalu (a,b). Točnije, odvija se.

3. (Kriterij za strogu monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka a derivacija f"(x) je definirana posvuda na intervalu. Tada f strogo raste na intervalu (a,b) ako i samo ako su zadovoljena sljedeća dva uvjeta:

Skalarni umnožak vektora. Kut između vektora. Uvjet paralelizma ili okomitosti vektora.

Skalarni proizvod vektora je proizvod njihovih duljina i kosinusa kuta između njih:

Na potpuno isti način kao u planimetriji dokazuju se sljedeće tvrdnje:

Skalarni umnožak dvaju vektora koji nisu nula jednak je nuli ako i samo ako su ti vektori okomiti.

Točkasti kvadrat vektora, tj. točkasti proizvod njega samog i sebe, jednak je kvadratu njegove duljine.

Skalarni umnožak dvaju vektora i dan njihovim koordinatama može se izračunati formulom

Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov umnožak nula. Primjer. S obzirom na dva vektora i . Ovi će vektori biti okomiti ako je izraz x1x2 + y1y2 = 0. Kut između vektora koji nisu nula je kut između linija za koje su ti vektori vodilice. Kut između bilo kojeg vektora i nultog vektora se po definiciji smatra jednakim nuli. Ako je kut između vektora 90°, onda se takvi vektori nazivaju okomiti. Kut između vektora bit će označen na sljedeći način: