Mathcad je softverski alat, okruženje za izvođenje različitih matematičkih i tehničkih izračuna na računalu, opremljeno grafičkim sučeljem koje se lako uči i koristi koje korisniku pruža alate za rad s formulama, brojevima, grafikonima i tekstovima. Više od stotinu operatora i logičkih funkcija dostupno je u Mathcad okruženju, dizajniranih za numeričko i simboličko rješavanje matematičkih problema različite složenosti.

Za automatizaciju matematičkih, inženjerskih i znanstvenih proračuna koriste se različiti računalni alati – od programabilnih mikrokalkulatora do superračunala. I, ipak, takvi izračuni za mnoge ostaju teška stvar. Štoviše, korištenje računala za izračune donijelo je nove poteškoće: prije početka proračuna korisnik mora ovladati osnovama algoritmizacije, naučiti jedan ili više programskih jezika, kao i numeričke metode izračuna. Situacija se značajno promijenila nakon izdavanja specijaliziranih softverskih sustava za automatizaciju matematičkih i inženjerskih proračuna.

Takvi kompleksi uključuju softverske pakete Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive, itd. Mathcad zauzima posebno mjesto u ovoj seriji.

Mathcad je integrirani sustav za rješavanje matematičkih, inženjerskih i znanstvenih problema. Sadrži uređivač teksta i formula, kalkulator, znanstvene i poslovne grafičke alate, kao i ogromnu bazu podataka referentnih informacija, kako matematičkih tako i inženjerskih, osmišljenih kao priručnik ugrađen u Mathcad, skup elektroničkih knjiga i obični "papir". " knjige, uključujući i na ruskom

Uređivač teksta se koristi za unos i uređivanje tekstova. Tekstovi su komentari i matematički izrazi koji su u njima uključeni se ne izvršavaju. Tekst se može sastojati od riječi, matematičkih simbola, izraza i formula.

Procesor formula pruža prirodni skup formula za "više priča" u poznatom matematičkom zapisu (dijeljenje, množenje, kvadratni korijen, integral, zbroj, itd.). Najnovija verzija Mathcada u potpunosti podržava ćirilična slova u komentarima, formulama i grafikonima.

Kalkulator pruža izračune pomoću složenih matematičkih formula, ima veliki skup ugrađenih matematičkih funkcija, omogućuje vam izračunavanje nizova, zbroja, proizvoda, integrala, izvedenica, rad sa složenim brojevima, rješavanje linearnih i nelinearnih jednadžbi, kao i diferencijalnih jednadžbi i sustava, minimizirati i maksimizirati funkcije, izvoditi vektorske i matrične operacije, statističku analizu itd. Možete jednostavno promijeniti bitnu dubinu i bazu brojeva (binarni, oktalni, decimalni i heksadecimalni), kao i pogrešku iterativnih metoda. Automatska kontrola dimenzija i preračunavanje u različitim mjernim sustavima (SI, GHS, Anglo-American, kao i custom).

Mathcad ima ugrađene simboličke matematičke alate koji vam omogućuju rješavanje problema putem računalnih analitičkih transformacija.

GPU se koristi za izradu grafikona i grafikona. Kombinira jednostavnost komunikacije s korisnikom sa snagom poslovne i znanstvene grafike. Grafika je usmjerena na rješavanje tipičnih matematičkih problema. Moguće je brzo promijeniti vrstu i veličinu grafikona, preklapati tekstualne oznake na njih i premjestiti ih na bilo koje mjesto u dokumentu.

Mathcad je univerzalni sustav, tj. može se koristiti u bilo kojem području znanosti i tehnologije - gdje god se primjenjuju matematičke metode. Pisanje naredbi u sustavu Mathcad na jeziku vrlo bliskom standardnom jeziku matematičkih izračuna pojednostavljuje formulaciju i rješavanje problema.

Mathcad je integriran sa svim ostalim računalnim sustavima bodovanja.

Mathcad olakšava rješavanje problema kao što su:

unos raznih matematičkih izraza na računalu (za daljnje izračune ili izradu dokumenata, prezentacija, web stranica ili elektroničkih i običnih "papirnatih" knjiga);

provođenje matematičkih izračuna (analitičke i numeričke metode);

izrada grafova (dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih) s rezultatima proračuna;

unos početnih podataka i izlaz rezultata u tekstualne datoteke ili datoteke s bazama podataka u drugim formatima;

izrada izvještaja o radu u obliku tiskanih dokumenata;

priprema web stranica i objava rezultata na internetu;

dobivanje raznih referentnih informacija

i mnoge druge zadatke.

Od verzije 14, Mathcad je integriran s Pro/ENGINEER (kao i sa SolidWorksom). Mathcad i Pro/ENGINEER integracija temelji se na dvosmjernoj komunikaciji između ovih aplikacija. Njihovi korisnici mogu jednostavno povezati bilo koju Mathcad datoteku s Pro/ENGINEER dijelom i sklopom koristeći Pro/ENGINEER-ovu značajku analize značajki.

Mathcad stvara pogodno računalno okruženje za široku paletu matematičkih izračuna i dokumentiranja rezultata rada unutar odobrenih standarda. Mathcad vam omogućuje stvaranje korporativnih i industrijski certificiranih alata za proračun u različitim područjima znanosti i tehnologije, pružajući jedinstvenu metodologiju za sve organizacije koje su dio korporacije ili industrije

Najnovija verzija Mathcada podržava 9 jezika, omogućuje snažnije i jasnije izračune.

NEEDHAM (Massachusetts). Dana 12. veljače 2007., PTC (Nasdaq na popisu: PMTC), tvrtka za razvoj CAD/CAM/CAE/PLM sustava, objavila je izdavanje Mathcada 14.0, najnovije verzije popularnog sustava za automatizaciju inženjerskih proračuna. Otkako je kupio Mathsoft u travnju 2006., PTC je usredotočio svoje napore na daljnje proširenje zemljopisnog dosega Mathcad tehnologije i značajno povećanje baze korisnika. Mathcad 14.0 značajno proširuje mogućnosti korisnika u rješavanju rastućih računskih problema, poboljšava koherentnost proračunskih dokumenata tijekom cijelog procesa razvoja proizvoda.

U današnjoj globalnoj podjeli procesa razvoja proizvoda znanstveni i tehnički izračuni postaju iznimno važni. S izdavanjem Mathcada 14.0, PTC pruža punu Unicode podršku i uskoro će ponuditi proizvod na devet jezika. Novi među njima bit će jezici kao što su talijanski, španjolski, korejski i oba kineski - tradicionalni i pojednostavljeni. Proširena jezična podrška u Mathcadu 14.0 omogućit će timovima da izvode i dokumentiraju izračune na svom lokalnom jeziku i kao rezultat toga povećaju produktivnost povećanjem brzine i točnosti, kao i smanjenjem pogrešaka do kojih dolazi pri prevođenju s jednog jezika na drugi.

Mathcad 14.0 također vam omogućuje izvođenje složenijih izračuna uz zadržavanje njihove jasnoće s novim značajkama WorkSheeta (dokumenta otvorenog u okruženju Mathcad), dodatnim online alatima za numeričku evaluaciju i proširenim skupom znakova. To će pomoći korisnicima u izvođenju formula, prikazu računskog procesa i dokumentiranju izračuna. U konačnici, namjenski dodaci omogućit će korisnicima rad na širem rasponu inženjerskih zadataka.

Mathcad i Pro/ENGINEER integracija temelji se na dvosmjernoj komunikaciji između ovih aplikacija. Njihovi korisnici mogu jednostavno povezati bilo koju Mathcad datoteku s Pro/ENGINEER dijelom i sklopom pomoću značajke analize Pro/ENGINEER značajke. Osnovne vrijednosti izračunate u Mathcad sustavu mogu se prevesti u parametre i dimenzije CAD modela za upravljanje geometrijskim objektom. Parametri iz Pro/ENGINEER modela također se mogu unijeti u Mathcad za naknadne inženjerske izračune. Prilikom promjene parametara, međusobna integracija dvaju sustava omogućuje dinamičko ažuriranje proračuna i crteža objekta. Štoviše, modeli Pro/ENGINEER vođeni Mathcadom sada se mogu potvrditi pomoću Pro/ENGINEER simulacijskih modula kao što su Pro/ENGINEER Mechanica®, Strukturna i toplinska simulacija, Fatique Advisor Option i Mechanism Dynamics Option.

Što je novo u Mathcadu 14.0?

Novi tandem operatera sučelja ("Dva u jednom")

Format brojeva na grafikonima

Pronađi/Zamijeni promjene naredbe

Usporedi naredbu

Novo u rješavanju ODE

Nova sredstva simboličke matematike

Podrška za Unicode tablicu kodova

Korisničko sučelje

Korisničko sučelje znači skup alata Math CAD grafičke ljuske koji omogućuju jednostavnu kontrolu sustava, kako s tipkovnice tako i s mišem. Pod upravljanjem se podrazumijeva samo skup potrebnih simbola, formula, tekstualnih komentara i sl., te mogućnost cjelovite pripreme dokumenata (Work Sheets) i elektroničkih knjiga u MathCAD okruženju uz njihovo naknadno pokretanje u realnom vremenu. Korisničko sučelje sustava osmišljeno je tako da korisnik s osnovnim vještinama rada sa Windows aplikacijama može odmah početi raditi s MathCAD-om.

Prozor za uređivanje.

Glavni izbornik sustava.

Drugi redak prozora sustava je glavni izbornik. Svrha njegovih naredbi je navedena u nastavku:

Datoteka (File) - rad s datotekama, internetom i e-poštom;

PRIJELOM STRANICE--

Padajući izbornik sadrži naredbe koje su standardne za Windows aplikacije.

Uredi (Uređivanje) - uređivanje dokumenata;

Padajući izbornik također sadrži naredbe koje su standardne za Windows aplikacije.Većina njih dostupna je samo ako je u dokumentu odabrano jedno ili više područja (tekst, formula, grafikon itd.).

Pogled (Pregled) - promijeniti način pregleda;

Alatne trake (Panele) - omogućuje vam prikaz ili skrivanje alatnih traka Standard (Standard), Formatting (Formatting), Math (Mathematics).

Statusna traka - Omogućite ili onemogućite prikaz statusne trake sustava.

Ravnilo (ravnalo) - omogući/onemogući ravnalo.

Regije (Granice) - Čini vidljivim granice regija (tekst, grafika, formule).

Zumiranje (zumiranje).

Osvježi - Osvježava sadržaj zaslona.

Animiraj (Animacija) - naredba vam omogućuje stvaranje animacije.

Reprodukcija (Player) - Reproducirajte animaciju pohranjenu u datoteci s nastavkom AVI.

Postavke (Postavke) - Jedna od kartica skočnog prozora (Općenito) omogućuje vam postavljanje nekih parametara programa koji ne utječu na izračune, druga kartica (Internet) se koristi za unos informacija kada radite zajedno s MathCAD-om -dokumenti putem interneta.

Insert (Insert) - Naredbe na ovom izborniku omogućuju vam da postavite grafike, funkcije, hiperveze, komponente i ugradite objekte u MathCAD dokument.

Format - promijenite format objekata

Jednadžba - Formatiranje formula i stvaranje vlastitih stilova za predstavljanje podataka

Rezultat(Rezultat) - Omogućuje postavljanje formata za prikazivanje rezultata izračuna (Vidi odjeljak 1.4 ovog predavanja)

Tekst (tekst) - oblikovanje fragmenta teksta (font, veličina, stil)

Paragraf (Paragraph) - Promjena formata trenutnog odlomka (uvlake, poravnanje).

Kartice (Tabulacija) - Postavljanje položaja oznaka za tablice.

Stil (Style) - Oblikovanje odlomaka teksta.

Svojstva (Properties) - Kartica Display (Display) omogućuje postavljanje boje pozadine za najvažnija tekstualna i grafička područja; slika umetnuta u dokument (Insert -> Picture) omogućuje vam da je zatvorite u okvir, vratite u izvornu veličinu. Vkvadka Calculation (Izračun) omogućuje vam da omogućite i onemogućite izračun za odabranu formulu; u potonjem slučaju, mali crni pravokutnik pojavljuje se u gornjem desnom kutu područja formule i formula postaje komentar.

Graf (Graf) - Omogućuje vam promjenu parametara za prikaz grafikona

Odvojene regije - Omogućuje vam da proširite regije koje se preklapaju.

Poravnaj regije - Poravnava odabrane regije vodoravno ili okomito.

Zaglavlja/podnožja (Zaglavlja i podnožja) - kreiranje i uređivanje zaglavlja i podnožja.

Repaganite sada (prenumeriranje stranica) - proizvodi raščlambu trenutnog dokumenta na stranice.

Matematika (matematika) - upravljanje procesom izračuna; U MathCAD-u postoje dva načina izračuna: automatski i ručni. U automatskom načinu rada, rezultati izračuna se potpuno ažuriraju kada dođe do bilo kakve promjene u formuli.

Automatsko izračunavanje - Omogućuje vam promjenu načina izračuna.

Izračunaj - U načinu ručnog izračuna, omogućuje ponovno izračunavanje vidljivog dijela zaslona.

Optimizacija (Optimizacija) - Pomoću ove naredbe možete prisiliti MathCAD da izvrši simboličke izračune prije numeričke evaluacije izraza i, kada pronađete kompaktniji oblik izraza, upotrijebite ga. Ako je izraz optimiziran, tada se s desne strane pojavljuje mala crvena zvjezdica. Dvostrukim klikom na njega otvara se prozor s optimiziranim rezultatom.

Opcije - omogućuje vam postavljanje opcija izračuna

Symbolik (Simboli) - odabir simboličkih procesorskih operacija;

Položaji ovog izbornika detaljno su obrađeni u predavanju 6, posvećenom simboličkim izračunima u sustavu MathCAD.

Window (Prozor) - upravljanje prozorima sustava;

Pomoć (?) – rad s referentnom bazom podataka o sustavu;

Mathcad Help (Pomoć za MathCAD) - sadrži tri kartice: Sadržaj - Pomoć je organizirana po temi; Indeks - predmetno kazalo; Traži - pronalazi željeni koncept prilikom unosa u obrazac.

Resursni centar - Informacijski centar koji sadrži pregled MathCAD računalnih mogućnosti (Overview i Tutorials), brzu pomoć u obliku primjera iz različitih područja matematike (Quicksheets i Reference table).

Savjet dana - Skočni prozori s korisnim savjetima (pojavljuju se kada se sustav pokrene).

Open Book - omogućuje vam otvaranje reference sustava MathCAD.

O Mathcadu (O programu Mathcad) - informacije o verziji programa, autorskim pravima i korisniku.

Svaka stavka glavnog izbornika može se aktivirati. Da biste to učinili, samo pokažite na njega kursorom - strelicom miša i pritisnite lijevu tipku. Također možete pritisnuti tipku F10 i koristiti desnu i lijevu navigacijsku tipku. Odabir se zatim fiksira pritiskom na tipku Enter. Ako je bilo koja pozicija glavnog izbornika aktivirana, prikazuje se padajući podizbornik s popisom dostupnih i nedostupnih (ali mogućih u budućnosti) operacija. Kretanje kroz popis podizbornika i odabir željene operacije vrši se na isti način kao što je opisano za glavni izbornik.

Standardna alatna traka.

Treći red prozora sustava zauzima Toolbox. Sadrži nekoliko skupina kontrolnih gumba s ikonama, od kojih svaka duplira jednu od najvažnijih operacija glavnog izbornika. Čim zaustavite pokazivač miša na bilo kojoj od ovih ikona, u žutom okviru pojavit će se tekst koji objašnjava funkcije ikona. Razmotrite djelovanje tipki za brzu kontrolu sustava.

Gumbi za upravljanje datotekama.

Dokumenti sustava MathCAD su datoteke, t.j. imenovane jedinice za pohranu na magnetskim diskovima. Datoteke se mogu kreirati, preuzimati (otvarati), snimati i ispisivati ​​na pisaču. Moguće operacije s datotekama prikazane su na alatnoj traci pomoću prve skupine od tri gumba:

Novi radni list (Create) - stvaranje novog dokumenta uz brisanje prozora za uređivanje;

Open Worksheet (Open) - učitavanje prethodno kreiranog dokumenta iz dijaloškog okvira;

Spremi radni list - zabilježite trenutni dokument s njegovim imenom.

Tisak i kontrola dokumenata.

Print Worksheet (Ispis) - ispis dokumenta na printer;

Pregled ispisa (Pregled) - pregled dokumenta;

Provjerite pravopis - provjerite pravopis dokumenta.

Gumbi za radnje uređivanja.

Tijekom pripreme dokumenata potrebno ih je uređivati, tj. modificirati i dopuniti.

Nastavak
--PRIJELOM STRANICE--

Cut (Cut) - prijenos odabranog dijela dokumenta u međuspremnik uz brisanje ovog dijela dokumenta;

Kopiraj (Kopiraj) - kopiranje odabranog dijela dokumenta u međuspremnik uz spremanje odabranog dijela dokumenta;

Zalijepi (Insert) - prijenos sadržaja međuspremnika u prozor za uređivanje na mjesto naznačeno kursorom miša;

Poništi - otkazati prethodnu operaciju uređivanja;

Posljednje tri operacije odnose se na korištenje međuspremnika. Namijenjen je za privremeno pohranjivanje podataka i njihov prijenos iz jednog dijela dokumenta u drugi, odnosno za organiziranje razmjene podataka između različitih aplikacija.

Blokirajte gumbe za postavljanje.

Dokumenti se sastoje od raznih blokova: tekstualnih, formalnih, grafičkih itd. Blokove sustav pregledava, tumači i izvršava. Pregled je s desna na lijevo i odozdo prema gore.

/>- Align Across (Poravnaj horizontalno) - blokovi su poravnati vodoravno.

/>- Poravnaj prema dolje - blokovi su poravnati okomito, od vrha do dna.

Piktogrami ovih gumba prikazuju blokove i naznačene mogućnosti njihovog postavljanja.

Gumbi za rad s ekspresijom

Blokovi formule često su izračunati izrazi ili izrazi koji su dio korisnički definiranih novih funkcija. Ikone se koriste za rad s izrazima.

Sljedeće grupe gumba specifične su za MathCAD sustav.

/>Insert Function - umetnite funkciju s popisa koji se pojavljuje u dijaloškom okviru;

/>Insert Unit (Insert units) - umetnuti jedinice mjere;

Pristup novim značajkama MathCAD-a.

Počevši od verzije MathCAD 7.0, pojavili su se novi gumbi koji daju pristup novim značajkama sustava:

/>Čarobnjak za komponente - otvara prozor čarobnjaka, omogućavajući lak pristup svim komponentama sustava;

/>Ran Math Connex (Pokretanje sustava Math Connex) - pokreće sustav kako bi potaknuo blok uređaje.

Gumbi za kontrolu resursa.

/>Resource Center - daje pristup centru resursa;

/>Pomoć (Pomoć) - daje pristup resursima baze podataka pomoći sustava.

Ploča za formatiranje.

Četvrti redak na vrhu zaslona sadrži tipične kontrole fonta:

Stil - prekidač za odabir stila;

Font - Prekidač za odabir skupa znakova;

Veličina točke - Prekidač za odabir veličine znakova;

Podebljano - Postavite podebljane znakove;

Italik - Postavite kurzivne znakove;

Underline - Postavite podvučene znakove;

Lijevo poravnanje - Postavljanje lijevog poravnanja;

Center Align - Postavite poravnanje prema sredini;

Desno poravnanje - Postavljanje desnog poravnanja.

Dok se skup elemenata dokumenta ne pokrene, neki od opisanih gumba i drugi objekti korisničkog sučelja su u pasivnom stanju. Konkretno, nema oznaka u preklopnim okvirima trake formata. Ikone i prekidači postaju aktivni čim se pojavi potreba za njihovom upotrebom.

Na dnu zaslona, ​​osim vodoravne trake za pomicanje, nalazi se još jedna linija - statusna traka. Prikazuje servisne informacije, kratke komentare, broj stranice itd. Ove informacije su korisne za brzu procjenu stanja sustava tijekom rada s njim.

Postavljanje matematičkih alatnih traka.

Za unos matematičkih simbola u MathCAD koriste se prikladne pokretne ploče za slaganje sa znakovima. Služe za ispis praznina - predložaka matematičkih predznaka (brojeva, znakova aritmetičkih operacija, matrica, predznaka integrala, derivacija itd.). Za prikaz Math ploče, izvršite naredbu View -> Toolbar -> Math. Ploče za pisanje pojavljuju se u prozoru za uređivanje dokumenata kada su odgovarajuće ikone aktivirane - prvi red ikona za kontrolu sustava. Koristeći uobičajenu ploču za slaganje, možete prikazati ili sve ploče odjednom ili samo one koje su potrebne za rad. Da biste uz njihovu pomoć postavili traženi predložak, dovoljno je postaviti pokazivač na željeno mjesto prozora za uređivanje (crveni križ na displeju u boji), a zatim aktivirati ikonu željenog predloška postavljanjem pokazivača miša na njega i pritiskom na njegov lijevi gumb.

Mnoge funkcije i operacije koje su umetnute u dokument pomoću jastučića za slaganje matematike mogu se postaviti u dokument pomoću tipkovničkih prečaca. Istovremeno, rad u sustavu MathCAD postaje produktivniji. Preporučujemo da zapamtite tipkovničke prečace za barem neke od najčešće korištenih naredbi.

Više pojedinosti o radu s dodatnim pločama omogućenim gumbima Math ploče bit će opisano u odgovarajućim odjeljcima.

1. MathCAD radni prozor

· Ploča Matematika(slika 1.4).

Riža. 1.4. Matematička ploča

Klikom na gumb matematičke alatne trake otvara se dodatna alatna traka:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbroja, proizvode, derivacije, integrale itd.

Operator definira:

a) radnja koju treba izvesti u prisutnosti određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi operatora "+" (plus), a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u može se unijeti na dva načina:

pritiskom na tipku (kombinaciju tipki) na tipkovnici;

pomoću ploče matematike.

Sljedeći izrazi koriste se za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijskog mjesta povezanog s varijablom:

Znak zadatka (upisuje se pritiskom na tipku : na tipkovnici (dvotočka u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajući gumb na ploči Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

Globalni operator dodjele. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli na ovaj način dodijeli vrijednost na samom kraju dokumenta, tada će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

Približni operator jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sustava jednadžbi. Unosi se pritiskom na tipku ; na tipkovnici (točka-zarez u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajuću tipku na Boolean panel.

Operator (jednostavno jednako) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavniji izračuni

Proces izračuna se provodi pomoću:

Ploče kalkulatora, ploče proračuna i ploče procjene.

Pažnja. Ako je potrebno cijeli izraz podijeliti u brojniku, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tipkovnici ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzijsku konstantu, morate unijeti znak * (množiti) nakon broja, odabrati stavku izbornika Umetnuti podstav Jedinica. U mjerenjima vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti tijekom izvođenja programa. Varijable mogu biti numerički, nizovi, znakovni itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Varijable sustava

NA MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati varijable sustava. Ovo, na primjer, TOL - pogreška numeričkih izračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksnog indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Za kreiranje varijable s rasponom koristi se izraz:

Ime=N početi ,(N početi +Korak).N kraj ,

gdje je Naziv naziv varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rankirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, za crtanje grafa neke funkcije f(x) prije svega, trebate stvoriti niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti varijabla s rasponom da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako ne navedete korak u rasponu varijable, program će ga automatski uzeti jednakim 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali varijablu s rasponom, upišite:

- naziv varijable ( x);

- znak zadatka (:=)

- prva vrijednost raspona (-16);

- zarez;

- druga vrijednost raspona, koja je zbroj prve vrijednosti i koraka (-16 + 0,1);

- trotočka ( . ) -- promjena varijable u zadanim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice);

— posljednja vrijednost raspona (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1.16.

Izlazne tablice

Svaki izraz s rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se upisuje pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tipkovnici ili pomoću gumba x n na ploči Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos indeksnih varijabli.

Numeričke vrijednosti se unose u tablicu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana zbirka konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dvije najčešće vrste:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Matrični ili vektorski predložak možete ispisati na jedan od sljedećih načina:

odaberite stavku izbornika Umetnuti - Matrica;

pritisnite kombinaciju tipki ctrl + M;

pritisnite gumb za uključivanje ploča i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redaka

stupaca-- broj stupaca Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjele, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrica -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redaka i m stupaca.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se izvode neki izračuni s argumentima i određuje njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), preplanuli(x) i tako dalje.

Funkcije u paketu MathCAD mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku izbornika Umetnuti — Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tipki ctrl + E.

Kliknite gumb na alatnoj traci.

Upišite naziv funkcije na tipkovnici.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

Unesite naziv funkcije uz obaveznu naznaku argumenta u zagradama, na primjer, f (x);

Unesite operator dodjele (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se izračuni izrađuju s točnošću od 20 znamenki, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Općenito (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1,2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj znamenki nakon decimalne točke mijenja se u polju broj od decimal mjesta.

o Decimal (Decimalno) -- decimalni prikaz brojeva s pomičnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o znanstveni (Znanstveno) -- brojevi se prikazuju samo redom.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon postavljanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite gumb u redu, format će se postaviti samo za odabrani broj. A ako odaberete gumb Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Da biste promijenili prag zaokruživanja na nulu, odaberite stavku izbornika Formatiranje - rezultat i u tab tolerancija , u polju Nula prag unesite traženu vrijednost praga.

4. Rad s tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, poveznice, komentari itd. Umeću se pomoću stavke izbornika Umetnuti — Regija teksta.

Tekst možete oblikovati: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje itd. Da biste to učinili, morate ga odabrati i odabrati odgovarajuće opcije na ploči s fontovima ili u izborniku Formatiranje — Tekst.

5. Rad s grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija često postaje potrebno nacrtati njezin graf koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sustavu MathCAD moguće je graditi različite vrste grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sustavima, trodimenzionalne grafove, plohe rotacijskih tijela, poliedre, prostorne krivulje, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako izgraditi neke od njih.

5.1 Iscrtavanje 2D dijagrama

Da biste izgradili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) i na panelu koji se otvori gumb X-Y Plot (dvodimenzionalni graf);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavi, koji je prazan pravokutnik s oznakama podataka, unesite naziv varijable u središnju oznaku podataka duž osi apscise (os X) i unesite naziv funkcije umjesto središnja oznaka podataka duž ordinatne osi (os Y) (slika 2.1);

Riža. 2.1. 2D predložak parcele

kliknite izvan predloška grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata sastoji se od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] s korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t navedeni su kao raspon kako slijedi:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost raspona;

1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus korak);

2 je krajnja vrijednost raspona.

Pažnja. Trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] s korakom od 0,5 (slika 2.2).

Riža. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Prilikom crtanja grafikona uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se prema zadanim postavkama graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada se nazivi funkcija označavaju odvojeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), nazivi obiju varijabli također su odvojeni zarezima.

° Ekstremne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscisa i ordinata, odnosno određuju skalu grafikona. Ako ove oznake ostavite prazne, mjerilo će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek graf u željenom obliku, pa se granične vrijednosti apscise i ordinata moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja graf ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki (2,3) i polumjerom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u točki s koordinatama ( x 0 ,y 0) i polumjer R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

- početna vrijednost raspona = x 0 — R;

- konačna vrijednost raspona = x 0 + R;

- bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Riža. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je prikladnije umjesto jednadžbe linije koja se odnosi na pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruiranja parametarskog grafa nazivi funkcija jednog argumenta navode se na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki s koordinatama (2,3) i polumjerom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R jer ( t) y = y 0 + R grijeh( t) (slika 2.4.).

Riža. 2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvorit će se dijaloški okvir Oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona navedene su u nastavku:

§ x- Y sjekire-- oblikovanje koordinatnih osi. Označavanjem odgovarajućih okvira možete:

· Dnevnik Mjerilo-- predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane u linearnoj skali)

· Mreža linije-- nacrtati mrežu linija;

· numerirani-- Rasporedite brojeve duž koordinatnih osi;

· Auto Mjerilo-- automatski odabir graničnih brojčanih vrijednosti na osi (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti bit će ograničene);

· pokazati marker-- označavanje grafikona u obliku vodoravnih ili okomitih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi brojčane vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· Auto Gosloboditi-- automatski odabir broja linija mreže (ako ovaj okvir nije označen, morate navesti broj redaka u polju Broj mreža);

· prešao-- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donjeg ruba grafikona.

§ Trag-- linijsko oblikovanje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon zasebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne točke (krug, križ, pravokutnik, romb);

vrsta linije (Puna - puna, Točka - točkasta linija, Crtica - potezi, Dadot - crtkana točkasta linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - točke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (Težina).

§ Oznaka -- naslov u području grafikona. U polju Titula (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Oznake osi ).

§ Zadane postavke -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadano) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Upotrijebi za zadane postavke).

5.2 Izgradnja polarnih parcela

Da biste izgradili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postaviti funkciju

· postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) a na panelu koji se otvori gumb Polar Plot (polarni graf);

· U polja za unos predloška koji se pojavi morate unijeti kutni argument funkcije (dolje) i naziv funkcije (lijevo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (sl. 2.6.)

Riža. 2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5.3 Iscrtavanje površina (3D ili 3D crteži)

Prilikom konstruiranja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematička ploča. Možete izgraditi trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog izbornika; možete izgraditi graf stvaranjem matrice vrijednosti ​​​funkcije dviju varijabli; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati posebne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane za stvaranje niza vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Brzo crtanje

Da biste brzo izgradili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, odaberite gumb na matematičkoj ploči graf(Grafikon) i na otvorenoj ploči gumb ( graf površine);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez navođenja varijabli);

· kliknite izvan predloška grafikona -- bit će izgrađen graf funkcije.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (slika 2.7).

Riža. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon može se kontrolirati:

° rotacija grafa se izvodi nakon što se pokazivač miša povuče preko njega s pritisnutom lijevom tipkom miša;

° skaliranje grafikona se izvodi nakon što se pokazivač miša preko njega povuče istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomičete miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona izvodi se na isti način, ali s dodatno pritisnutom tipkom Shift. Potrebno je samo početi rotirati graf mišem, tada će se animacija izvesti automatski. Za zaustavljanje rotacije kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i odrediti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· odaberite karticu Quick Plot Data u otvorenom prozoru;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početak -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Pritisnite gumb OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -grijeh ( x 2 + y 2) (slika 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Riža. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -grijeh ( x 2 + y 2)

prednjimatiranje 3D grafova

Da biste oblikovali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled, Općenito, sjekire, rasvjeta, Titula, Pozadinske ploče, Posebna, Napredna, Brz Zemljište Podaci.

Svrha kartice Brz Zemljište Podaci o kojem se raspravljalo gore (23, "https://site").

tab Izgled omogućuje promjenu izgleda grafa. Polje Napunite Mogućnosti omogućuje promjenu parametara popunjavanja, polje crta Opcija-- parametri linije, točka Mogućnosti-- točkasti parametri.

U kartici Općenito ( općenito) u skupini pogled možete odabrati kutove rotacije prikazane površine oko sve tri osi; u grupi prikaz kao Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici rasvjeta(osvjetljenje) možete kontrolirati rasvjetu tako da potvrdite okvir omogućiti rasvjeta(upalite svjetla) i uključite Na(upaliti). S popisa se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete rasvjeta shema(shema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednadžbi u MathCAD

U ovom ćemo odjeljku naučiti kako najjednostavnije jednadžbe oblika F ( x) = 0. Analitički riješiti jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene, odnosno takve brojeve, kada ih zamijenimo u izvornu jednadžbu, dobivamo točnu jednakost. Grafički riješiti jednadžbu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije s osi x.

6. 1 Rješavanje jednadžbi s korijenom funkcije (f(x), x)

Za rješenja jednadžbe s jednom nepoznanicom oblika F ( x) = 0 postoji posebna funkcija

korijen(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

x-- argument.

Ova funkcija vraća, sa zadanom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) jednako je 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, tada ju je potrebno dovesti u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije korijen mora se dati argumentu x početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je nacrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (siječe li graf os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijen prikazano na slici 3.1. Prije nego što prijeđemo na rješenje u sustavu MathCAD, u jednadžbi ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednadžba će poprimiti oblik: .

Riža. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Poliroots (v).

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polikorijeni(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti ne mogu se izostaviti. Za razliku od funkcije korijen funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijeni prikazano na slici 3.2.

Riža. 3.2. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijena

6.3 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Find (x).

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Oblikovati S obzirom na to — pronaći

Ako je dana jednadžba f(x) = 0, tada se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način S obzirom na to - pronaći:

— postaviti početnu aproksimaciju

— unesite službenu riječ

- napišite jednadžbu pomoću znaka podebljano jednako

- napisati funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat toga, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 u onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe pomoću funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Riža. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke točke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije s osi Ox). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost dane točke (duž osi Ox) i vrijednost funkcije u ovoj točki (duž osi Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovima za odgovarajuću liniju odaberite vrstu grafikona - točke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije s osi x. Koordinirati x ova točka je pronađena u prethodnom primjeru: x= 2,742 (korijen jednadžbe ) (slika 3.4).

Riža. 3.4. Grafikon funkcije s označenom točkom presjeka U prozoru za oblikovanje grafa, na kartici tragovima za trag2 promijenjeno: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sustava jednadžbi

7.1 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi se može riješiti m matrična metoda (bilo kroz inverznu matricu ili pomoću funkcije lriješiti(A, B)) i korištenjem dvije funkcije pronaći i značajke Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava jednadžbi matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Riža. 4.1. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcije lriješiti(A, B)

Lriješiti(A, B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sustav linearnih jednadžbi zadana matrica koeficijenata, A, i vektor slobodnih pojmova, B .

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Način rješavanja ovog sustava pomoću funkcije lsolve (A, B) prikazan je na slici 4.2.

Riža. 4.2. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi preko funkcijei pronaći

Ovom metodom jednadžbe se unose bez upotrebe matrica, tj. u "prirodnom obliku". Najprije je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj unutar opsega definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se pomoću računalne jedinice riješio sustav linearnih jednadžbi S obzirom na to - pronaći, potrebno:

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći,

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći prikazano na slici 4.3.

Riža. 4.3. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sustava linearnih jednadžbi

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije pronaći(koristeći isti algoritam), samo funkcija pronaći daje točno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se kao rezultat pretraživanja ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenju, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija pronaći u ovom slučaju vraća poruku o pogrešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti točnost izračuna. Da biste to učinili, odaberite s izbornika matematika > Mogućnosti(Matematika - Opcije), tab izgrađena- U Varijable(Ugrađene varijable). Na kartici koja se otvori trebate smanjiti dopuštenu pogrešku izračuna (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

NApažnja. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica x 1, x 2, x 3, x 4.

7.2 Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi

Sustavi nelinearnih jednadžbi u MathCAD-u rješavaju se pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći.

Oblikovati S obzirom na to - pronaći koristi računsku tehniku ​​koja se temelji na pronalaženju korijena u blizini početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sustava jednadžbi pomoću bloka S obzirom na to - pronaći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

3) zapišite sustav jednadžbi pomoću znaka podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat izračuna, prikazat će se vektor rješenja sustava.

Ako sustav ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo ima li sustav korijene (sijeku li se grafovi zadanih funkcija), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Zadan sustav jednadžbi

Prije rješavanja sustava gradimo grafove funkcija: parabole (prva jednadžba) i pravac (druga jednadžba). Konstrukcija grafa ravne i parabole u jednom koordinatnom sustavu prikazana je na slici 4.5:

Riža. 4.5. Iscrtavanje dviju funkcija u istom koordinatnom sustavu Pravac i parabola sijeku se u dvije točke, što znači da sustav ima dva rješenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznanica x i y za svako rješenje. Pronalaženje korijena sustava jednadžbi prikazano je na slici 4.6.

Riža. 4.6. Pronalaženje korijena sustava nelinearnih jednadžbi x ) i duž osi Oy (vrijednosti na ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovima za trag3 i trag4 promjena: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna (slika 4.7).

Riža. 4.7. Funkcijski grafikoni s označenim točkama križanja

8 . Primjeri korištenja ključnih značajki MathCAD riješiti neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednadžbe ili sustava jednadžbi.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Potreban uvjet za ekstrem (maksimum i/ili minimum) kontinuirane funkcije formulira se na sljedeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim točkama gdje je derivacija ili jednaka nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačna) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite točke koje zadovoljavaju nužni uvjet, odnosno pronađite sve stvarne korijene jednadžbe.

Ako se izgradi graf funkcije, odmah možete vidjeti - u danoj točki postignut je maksimum ili minimum x. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1 s džeparac . S ujednačiti e znakovi izvedenice . Predznak derivacije se određuje u blizini točke (u točkama koje su odvojene od ekstrema funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija ima minimum. Ako se predznak derivacije ne mijenja, onda nema ekstrema.

2. s džeparac . NA izračuni e drugi izvedenica . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u točki ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Najprije napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Riža. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti x koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Pronađimo ove ekstreme rješavanjem jednadžbe. Za rješenje koristimo blok Zadano - Pronađi (slika 6.2.).

Riža. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Definirajmo vrstu ekstrema pervput, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Riža. 6.3. Određivanje vrste ekstrema

Iz tablice vrijednosti derivacije i iz grafa može se vidjeti da je predznak derivacije u blizini točke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija u ovom trenutku doseže svoj maksimum. I to u blizini točke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija doseže minimum.

Definirajmo vrstu ekstrema drugiput, računajući predznak druge derivacije (slika 6.4).

Riža. 6.4. Određivanje vrste ekstremuma pomoću druge derivacije

Vidi se da u točki x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle točka x 1 odgovara maksimumu funkcije. I to u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle točka x 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina likova omeđenih neprekinutim crtama

Područje krivolinijskog trapeza omeđenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale x = a i x = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 — x 2 i y = 0.

Riža. 6.5. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 — x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i izravna x = a i x = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Kako bi se izbjegle pogreške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Dakle, područje će uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Točke presjeka funkcija nalazimo pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x zamjenjuju se u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po zadanim točkama

Konstrukcija ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke

Sastaviti jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke A ( x 0,y 0) i B ( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

gdje a i b su koeficijenti pravca koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sustav je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija ravne koja prolazi kroz točke A (-2, -4) i B (5.7).

Zamjenjujemo izravne koordinate ovih točaka u jednadžbu i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Riža. 6.7 Sustavno rješenje

Kao rezultat rješavanja sustava dobivamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednadžba ravne linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu ravnu crtu (slika 6.8).

Riža. 6.8. Izgradnja ravne linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri zadane točke

Konstruirati parabolu koja prolazi kroz tri točke A ( x 0,y 0), B ( x 1,y 1) i C ( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je dana jednadžbom

y = sjekira 2 + bx + s, gdje

a, b i s su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u ovu jednadžbu i dobivamo sustav:

2. Ovaj sustav je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i s. Sustav se može riješiti na matrični način.

3. Dobivene koeficijente zamjenjujemo u jednadžbu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz točke A (-1,-4), B (1,-2) i C (3,16).

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u jednadžbu parabole i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava jednadžbi u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Riža. 6.9. Rješavanje sustava jednadžbi

Kao rezultat dobivaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobivamo jednadžbu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Izgradimo ovu parabolu (slika 6.10).

Riža. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri zadane točke

Konstruirati kružnicu koja prolazi kroz tri točke A ( x 1,y 1), B ( x 2,y 2) i C ( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dan jednadžbom

gdje su x0, y0 koordinate središta kružnice;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite zadane koordinate točaka u jednadžbu kružnice i dobijete sustav:

Ovaj sustav je nelinearan. Ima tri nepoznate varijable: x 0, y 0 i R. Sustav je riješen pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći.

Primjer. Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri točke A (-2,0), B (6,0) i C (2,4).

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u jednadžbu kružnice i dobivamo sustav:

Rješenje sustava u MathCAD-u prikazano je na slici 6.11.

Riža. 6.11. Sustavno rješenje

Kao rezultat rješavanja sustava dobiveno je sljedeće: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Dobivene koordinate središta kružnice i polumjera zamijenimo u jednadžbu kružnice. Dobivamo:. Ekspresno odavde y i konstruirati kružnicu (slika 6.12).

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I ZNANOSTI RUSKOG FEDERACIJE

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

"KAZANSKO DRŽAVNO ENERGETSKO SVEUČILIŠTE"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. IŠMURATOV

OSNOVE RADA U MATHCAD-u

Metodičke upute za praktične vježbe

Kazan 2012

UDK 621.37 LBC 32.811.3

Recenzenti:

Doktor fizikalnih i matematičkih znanosti, profesor Kazanskog državnog elektroenergetskog sveučilišta E.A. Popov;

Kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor Kazanskog nacionalnog istraživačkog tehnološkog sveučilišta M.Yu. Vasiljev

		Belyaeva L.R.
		Osnove rada u MathCAD-u. Metodičke upute za praktične vježbe
		/ L.R. Belyaeva, R.S. Zaripova, R.A. Ishmuratov - Kazan: Kazan. država energije un-t, 2012.
		Prvi dio priručnika pruža osnovne informacije o
		Mathcad 13 i kako raditi s njegovim tekstom, formulom i grafikom
		urednici. Unos raznih vrsta podataka, osnove brojčanih i
		simbolički izračuni, crtanje matematičkih funkcija, trikovi
		integracija i diferencijacija pomoću MathCAD-a.
		Drugi dio daje primjer praktične upotrebe softvera
		MathCAD paket pri rješavanju projektnog zadatka po stopi „Transformacija
		mjerni signali". Potrebne teorijske informacije za
		rješenje računskog zadatka, primjer računskog i pojedinačnih zadataka za
		studentima.
		Metodički priručnik sadrži i kontrolna pitanja na
		proučeno gradivo i samostalne zadatke za učvršćivanje osnova rada u
		Radionica je namijenjena studentima specijalnosti „Informacije i
		mjerna oprema i tehnologije" smjer 200100 - Instrumentacija, i
		kao i studenti drugih specijalnosti i područja KSUE-a, koji studiraju
		discipline "Informatika" i "Informacijske tehnologije".

© Kazansko državno elektroenergetsko sveučilište, 2012

Uvod

MathCAD je računalni matematički sustav koji vam omogućuje izvođenje raznih znanstvenih i inženjerskih proračuna, u rasponu od elementarne aritmetike do složenih implementacija numeričkih metoda. Korisnici MathCAD-a su studenti, znanstvenici, inženjeri, tehničari.

MathCAD je, za razliku od većine drugih modernih matematičkih aplikacija, izgrađen po principu

WYSIWYG ("Ono što vidiš, to i dobiješ"). Stoga je vrlo jednostavan za korištenje, posebice jer nema potrebe prvo napisati program koji implementira određene matematičke izračune, a zatim ga pokrenuti za izvršenje. Umjesto toga, jednostavno unesite matematičke izraze pomoću ugrađenog uređivača formula i odmah dobijete rezultat.

MathCAD 13 uključuje nekoliko komponenti koje su međusobno integrirane, čija kombinacija stvara pogodno računsko okruženje za razne matematičke izračune i, istovremeno, dokumentiranje rezultata rada:

− moćan uređivač teksta koji vam omogućuje unos, uređivanje

i formatirati i tekstualne i matematičke izraze;

− računalni procesor sposoban za izračune prema unesenim formulama korištenjem ugrađenih numeričkih metoda;

− simbolički procesor, koji je sustav umjetne inteligencije;

− ogromno spremište referentnih informacija, kako matematičkih tako i inženjerskih, dizajnirano kao knjižnica interaktivnih e-knjiga.

Za učinkovit rad s MathCAD editorom dovoljno je imati osnovne korisničke vještine. Prema problemima iz stvarnog života, inženjeri moraju riješiti jedan ili više od sljedećih zadataka:

− unos raznih matematičkih izraza na računalo (za daljnje izračune ili izradu dokumenata, prezentacija, web stranice ili e-knjige);

− izvođenje matematičkih proračuna;

− izrada grafova s ​​rezultatima proračuna;

− unos početnih podataka i izlaz rezultata u tekstualne datoteke ili datoteke s bazama podataka u drugim formatima;

− izrada izvještaja o radu u obliku tiskanih dokumenata;

− priprema web stranica i objava rezultata na internetu;

− dobivanje različitih referentnih informacija iz područja matematike.

MathCAD 13 uspješno se nosi sa svim ovim zadacima:

− matematički izrazi i tekst unose se pomoću MathCAD uređivača formula, koji po mogućnostima i jednostavnosti korištenja nije inferioran npr. uređivaču formula ugrađenom u

− matematički izračuni se rade odmah, u skladu s unesenim formulama;

− grafikoni različitih vrsta izbora korisnika s bogatim opcijama oblikovanja umetnuti su izravno u dokumente;

− moguć je unos i izlaz podataka u datoteke različitih formata;

− dokumenti se mogu ispisati izravno u MathCAD-u u obliku koji korisnik vidi na zaslonu računala ili pohraniti

u RTF format za naknadno uređivanje u uređivačima teksta;

− moguće je u potpunosti spremiti MathCAD dokumente u formatu RTF dokumenti, kao i web stranice u HTML i XML formatima;

− postoji mogućnost kombiniranja dokumenata koje je izradio korisnik u elektroničke knjige;

− simbolički izračuni omogućuju vam izvođenje analitičkih transformacija, kao i trenutno dobivanje raznih referentnih matematičkih informacija.

Pravi dragulj MathCAD-a, koji je bio dostupan već u prvim verzijama, bila je podrška za diskretne varijable, što je omogućilo istovremeno izračunavanje funkcija za niz vrijednosti argumenata, što je omogućilo izradu tablica i grafikona bez korištenja programskih operatora. Alati za površinsko crtanje dovedeni su gotovo do savršenstva, omogućujući vam stvaranje umjetničkih djela iz grafova. Složeni inženjerski i tehnološki izračuni u MathCAD okruženju puno su jednostavniji, jasniji i nekoliko puta brži nego u drugim programima.

Dio 1. TEORIJSKI PODACI

Poglavlje 1. MATHCAD SUČELJE

Sučelje MathCAD-a slično je sučelju drugih Windows aplikacija. Nakon pokretanja, na ekranu se pojavljuje radni prozor MathCAD-a s glavnim izbornikom i tri alatne trake: Standardno (Standard), Formatiranje (Formatiranje) i Matematika (matematika).

Traka izbornika nalazi se na samom vrhu MathCAD prozora. Sadrži devet naslova, klik na svaki od njih otvara se

do izgled odgovarajućeg izbornika s popisom naredbi:

- Datoteka (File) - naredbe vezane za kreiranje, otvaranje, spremanje, slanje e-mailom i ispis na printer datoteka s dokumentima;

− Uredi (Uređivanje) – naredbe vezane za uređivanje teksta (kopiranje, lijepljenje, brisanje fragmenata i sl.);

- View (View) - naredbe koje kontroliraju izgled dokumenta u prozoru MathCAD editora, kao i naredbe koje kreiraju datoteke animacije;

− Insert (Insert) - naredbe za umetanje raznih objekata u dokumente;

− Format (Format) - naredbe za oblikovanje teksta, formula, grafikona;

− Alati (Servis) – naredbe za upravljanje računskim procesom i dodatne značajke;

− Simbolika (Symbols) – naredbe simboličkih izračuna;

− Prozor (Prozor) – naredbe za upravljanje rasporedom prozora s raznim dokumentima na ekranu;

− Pomoć – naredbe za pristup informacijama o pomoći, informacijama o verziji programa i pristup resursima i e-knjigama.

Da biste odabrali naredbu, trebate kliknuti na izbornik koji je sadrži i ponovno na odgovarajuću stavku izbornika. Neke naredbe nisu u samim izbornicima, već u podizbornicima, kao što je prikazano na sl. 1.1. Da biste izvršili takvu naredbu, na primjer, naredbu za pozivanje Simboličke alatne trake na ekranu, potrebno je da zadržite pokazivač miša iznad stavke Alatne trake na padajućem izborniku View i odaberete Symbolic iz podizbornika koji se pojavi.

Riža. 1.1. Rad izbornika

Uz gornji izbornik, skočni izbornici obavljaju slične funkcije (slika 1.2). Pojavljuju se kada desnom tipkom miša kliknete negdje u dokumentu. Istovremeno, sastav ovih izbornika ovisi o mjestu njihovog poziva, pa se nazivaju i kontekstnim izbornicima. MathCAD sam "pogađa", ovisno o kontekstu, koje operacije mogu biti potrebne u ovom trenutku, i postavlja odgovarajuće naredbe u izbornik. Stoga je korištenje kontekstnog izbornika lakše od gornjeg.

Riža. 1.2. Kontekstni izbornik

1.2. Alatne trake

Alatne trake koriste se za brzo (jedan klik) izvršavanje najčešće korištenih naredbi. Sve radnje koje se mogu izvesti pomoću alatnih traka također su dostupne putem

Gornji izbornik. Na sl. 1.3 prikazuje MathCAD prozor s pet glavnih alatnih traka smještenih neposredno ispod trake izbornika. Gumbi na pločama grupirani su prema sličnoj radnji naredbi:

- Standard (Standard) - služi za obavljanje većine operacija, kao što su radnje s datotekama, uređivanje uredništva, umetanje objekata, pristup sustavima pomoći;

− Formatiranje (Formatting) - služi za oblikovanje (promjena vrste i veličine fonta, poravnanje i sl.) teksta i formula;

− Matematika (Matematika) - služi za umetanje matematičkih simbola

i operateri u dokumentima;

- Resursi (Resources) - služi za pozivanje resursa MathCAD-a;

− Kontrole (Controls) - služi za umetanje kontrola standardnog korisničkog sučelja u dokumente;

− Otklanjanje pogrešaka - koristi se za upravljanje otklanjanjem pogrešaka MathCAD programa.

Riža. 1.3. Osnovne alatne trake

Skupine gumba na alatnim trakama značenjski su razgraničene okomitim crtama - separatorima. Kada zadržite pokazivač miša iznad bilo kojeg od gumba, pokraj gumba se pojavljuje opis alata (slika 1.4). Uz opis alata, detaljnije objašnjenje nadolazeće operacije može se pronaći u statusnoj traci.

Riža. 1.4. Korištenje alatnih traka Matematika i Kalkulator

Panel Math (Matematika) namijenjen je pozivu na ekranu još devet panela (sl. 1.5) pomoću kojih se vrši umetanje matematičkih operacija u dokumente. Da biste prikazali bilo koji od njih, trebate kliknuti odgovarajući gumb na ploči Math (slika 1.4).

Riža. 1.5. Matematičke alatne trake

Navodimo svrhu matematičkih ploča:

- Kalkulator (Kalkulator) - koristi se za umetanje osnovnih matematičkih operacija, dobio je ime zbog sličnosti skupa gumba s tipkama tipičnog kalkulatora;

− Graf (Graf) - za umetanje grafova;

− Matrix (Matrix) - za umetanje matrica i matričnih operatora;

− Evaluacija - za umetanje kontrolnih iskaza evaluacije;

− Račun (matematička analiza) – za umetanje operatora integracije, diferencijacije, zbrajanja itd.;

− Boolean (Boolean operatori) - za umetanje logičkih (booleovih) operatora;

− Programiranje (Programiranje) - za programiranje pomoću MathCAD-a;

− grčki (grčki znakovi) - za umetanje grčkih znakova;

− Simbolički - za umetanje simboličkih operatora. Važno je napomenuti da kada zadržite pokazivač iznad mnogih od

tipke matematičkih ploča, pojavljuje se opis alata koji također sadrži kombinaciju "vrućih tipki", pritiskom na koje će se izvršiti ekvivalentna radnja.

1.3. Statusna traka

NA na dnu prozora MathCAD-a, ispod vodoravne trake za pomicanje, nalazi se statusna traka. Prikazuje osnovne informacije o načinu uređivanja (slika 1.6), omeđene separatorima (s lijeva na desno):

− kontekstualno osjetljiv nagovještaj o nadolazećoj akciji;

− način izračuna: automatski (AUTO) ili ručno postavljen (Calc F9);

− trenutni način rasporeda CAP tipkovnice; − trenutni način rasporeda tipkovnice NUM; − broj stranice na kojoj se nalazi kursor.

Riža. 1.6. Statusna traka

Poglavlje 2. OSNOVE RADA U MATHCAD-u

2.1. Navigacija po dokumentima

Dokument je prikladno pregledavati gore-dolje i desno-lijevo pomoću okomite i vodoravne trake za pomicanje, pomicanjem njihovih klizača (u ovom slučaju je osigurano glatko kretanje duž dokumenta) ili klikom na jednu od dvije strane klizača (u ovom slučaju kretanje kroz dokument bit će naglo). Također možete koristiti tipke za okretanje stranice za pomicanje kursora po dokumentu. I U svim tim slučajevima pozicija kursora se ne mijenja, već se pregledava sadržaj dokumenta. Osim toga, ako je dokument velik, prikladno je pregledati njegov sadržaj pomoću izbornika

Uredi | Idi na stranicu (Uredi | Idi na stranicu). Kada odaberete ovu stavku, otvorit će se dijaloški okvir koji vam omogućuje da odete na stranicu s navedenim brojem.

Da biste se pomicali gore-dolje, desno i lijevo kroz dokument, pomičući kursor, trebate pritisnuti odgovarajuće tipke sa strelicama. Ulazeći u područje regija s formulama i tekstom, kursor se pretvara u dvije ulazne linije - okomitu i horizontalnu plavu. Kako se kursor pomiče dalje unutar regije, redovi unosa pomiču se za jedan znak u odgovarajućem smjeru. Kada napustite regiju, kursor ponovno postaje ulazni kursor u obliku crvenog križa. Kursor možete pomicati i klikom na odgovarajuće mjesto. Ako kliknete na prazan prostor, tada će se u njemu pojaviti kursor za unos, a ako se nalazi unutar regije, onda se unose retke.

2.2. Unos i uređivanje formula

MathCAD uređivač formula omogućuje vam brz i učinkovit unos i modificiranje matematičkih izraza.

Nabrojimo još jednom elemente sučelja MathCAD editora:

− pokazivač miša - igra uobičajenu ulogu za Windows aplikacije, prateći pokrete miša;

− kursor mora biti u jednoj od tri vrste:

– kursor za unos je crveni križ koji označava prazno mjesto u dokumentu gdje možete unijeti tekst ili formulu;

– ulazne linije - vodoravne i okomite plave linije koje ističu određeni dio u tekstu ili formuli;

– redak za unos teksta - okomita crta, analogna redovima za unos teksta za područja teksta;

− rezervirana mjesta - pojavljuju se unutar nepotpunih formula na mjestima koja treba ispuniti simbolom ili operatorom:

− rezervirano mjesto znaka je crni pravokutnik;

− rezervirano mjesto operatora je crni pravokutni okvir. Možete unijeti matematički izraz u bilo koji prazan prostor

MathCAD dokument. Da biste to učinili, potrebno je postaviti kursor za unos na željeno mjesto u dokumentu klikom na njega mišem, te unijeti formulu pritiskom na tipke. Time se u dokumentu stvara matematičko područje koje je dizajnirano za pohranu formula koje tumači MathCAD procesor. Pokažimo slijed radnji na primjeru unosa izraza x 5 + x (slika 2.1):

1. Kliknite mišem kako biste označili ulaznu točku.

1. MathCAD radni prozor

· Ploča Matematika(slika 1.4).

Riža. 1.4. Matematička ploča

Klikom na gumb matematičke alatne trake otvara se dodatna alatna traka:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbroja, proizvode, derivacije, integrale itd.

Operator definira:

a) radnja koju treba izvesti u prisutnosti određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi operatora "+" (plus), a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u može se unijeti na dva načina:

pritiskom na tipku (kombinaciju tipki) na tipkovnici;

pomoću ploče matematike.

Sljedeći izrazi koriste se za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijskog mjesta povezanog s varijablom:

Znak zadatka (upisuje se pritiskom na tipku : na tipkovnici (dvotočka u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajući gumb na ploči Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

Globalni operator dodjele. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli na ovaj način dodijeli vrijednost na samom kraju dokumenta, tada će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

Približni operator jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sustava jednadžbi. Unosi se pritiskom na tipku ; na tipkovnici (točka-zarez u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajuću tipku na Boolean panel.

Operator (jednostavno jednako) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavniji izračuni

Proces izračuna se provodi pomoću:

Ploče kalkulatora, ploče proračuna i ploče procjene.

Pažnja. Ako je potrebno cijeli izraz podijeliti u brojniku, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tipkovnici ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzijsku konstantu, morate unijeti znak * (množiti) nakon broja, odabrati stavku izbornika Umetnuti podstav Jedinica. U mjerenjima vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti tijekom izvođenja programa. Varijable mogu biti numeričke, nizove, znakovne itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Varijable sustava

NA MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati varijable sustava. Ovo, na primjer, TOL - pogreška numeričkih izračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksnog indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Za kreiranje varijable s rasponom koristi se izraz:

Ime=N početi ,(N početi +Korak)..N kraj ,

gdje je Naziv naziv varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rankirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, za crtanje grafa neke funkcije f(x) prije svega, trebate stvoriti niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti varijabla s rasponom da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako ne navedete korak u rasponu varijable, program će ga automatski uzeti jednakim 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali varijablu s rasponom, upišite:

Naziv varijable ( x);

Znak zadatka (:=)

Prva vrijednost raspona (-16);

zarez;

Druga vrijednost raspona, koja je zbroj prve vrijednosti i koraka (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- promjena varijable u zadanim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice);

Posljednja vrijednost raspona (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1..16.

Izlazne tablice

Svaki izraz s rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se upisuje pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tipkovnici ili pomoću gumba x n na ploči Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos indeksnih varijabli.

Numeričke vrijednosti se unose u tablicu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana zbirka konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dvije najčešće vrste:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Matrični ili vektorski predložak možete ispisati na jedan od sljedećih načina:

odaberite stavku izbornika Umetnuti - Matrica;

pritisnite kombinaciju tipki ctrl + M;

pritisnite gumb za uključivanje ploča i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redaka

stupaca-- broj stupaca

Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjele, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrica -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redaka i m stupaca.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se izvode neki izračuni s argumentima i određuje njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), preplanuli(x) i tako dalje.

Funkcije u paketu MathCAD mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku izbornika Umetnuti - Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tipki ctrl + E.

Kliknite gumb na alatnoj traci.

Upišite naziv funkcije na tipkovnici.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

· unesite naziv funkcije uz obaveznu naznaku argumenta u zagradama, na primjer, f(x);

Unesite operator dodjele (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se izračuni izrađuju s točnošću od 20 znamenki, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Općenito (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1,2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj znamenki nakon decimalne točke mijenja se u polju broj od decimal mjesta.

o Decimal (Decimalno) -- decimalni prikaz brojeva s pomičnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o znanstveni (Znanstveno) -- brojevi se prikazuju samo redom.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon postavljanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite gumb u redu, format će se postaviti samo za odabrani broj. A ako odaberete gumb Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Da biste promijenili prag zaokruživanja na nulu, odaberite stavku izbornika Formatiranje - rezultat i u tab tolerancija , u polju Nula prag unesite traženu vrijednost praga.

4. Rad s tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, veze, komentari itd. Ubacuju se pomoću stavke izbornika Umetnuti - Regija teksta.

Možete formatirati tekst: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje itd. Da biste to učinili, odaberite ga i odaberite odgovarajuće opcije na ploči s fontovima ili u izborniku Formatiranje - Tekst.

5. Rad s grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija često postaje potrebno nacrtati njezin graf koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sustavu MathCAD moguće je graditi različite vrste grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sustavima, trodimenzionalne grafove, plohe rotacijskih tijela, poliedre, prostorne krivulje, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako izgraditi neke od njih.

5.1 Iscrtavanje 2D dijagrama

Da biste izgradili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) i na panelu koji se otvori gumb X-Y Plot (dvodimenzionalni graf);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavi, koji je prazan pravokutnik s oznakama podataka, unesite naziv varijable u središnju oznaku podataka duž osi apscise (os X) i unesite naziv funkcije umjesto središnja oznaka podataka duž ordinatne osi (os Y) (slika 2.1);

Riža. 2.1. 2D predložak parcele

kliknite izvan predloška grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata sastoji se od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] s korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t navedeni su kao raspon kako slijedi:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost raspona;

1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus korak);

2 je krajnja vrijednost raspona.

Pažnja. Trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] s korakom od 0,5 (slika 2.2).

Riža. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Prilikom crtanja grafikona uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se prema zadanim postavkama graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada se nazivi funkcija označavaju odvojeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), nazivi obiju varijabli također su odvojeni zarezima.

° Završne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscise i ordinate, tj. postavljaju skalu grafa. Ako ove oznake ostavite prazne, mjerilo će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek graf u željenom obliku, pa se granične vrijednosti apscise i ordinata moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja graf ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki (2,3) i polumjerom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u točki s koordinatama ( x 0 ,y 0) i polumjer R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

Početna vrijednost raspona = x 0 - R;

Krajnja vrijednost raspona = x 0 + R;

Bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Riža. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je prikladnije umjesto jednadžbe linije koja se odnosi na pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruiranja parametarskog grafa nazivi funkcija jednog argumenta navode se na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki s koordinatama (2,3) i polumjerom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R grijeh( t) (slika 2.4.).

sl.2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvorit će se dijaloški okvir Oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona navedene su u nastavku:

§ x- Y sjekire-- oblikovanje koordinatnih osi. Označavanjem odgovarajućih okvira možete:

· Dnevnik Mjerilo-- predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane u linearnoj skali)

· Mreža linije-- nacrtati mrežu linija;

· numerirani-- Rasporedite brojeve duž koordinatnih osi;

· Auto Mjerilo-- automatski odabir graničnih brojčanih vrijednosti na osi (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti bit će ograničene);

· pokazati marker-- označavanje grafikona u obliku vodoravnih ili okomitih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi brojčane vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· Auto Gosloboditi-- automatski odabir broja linija mreže (ako ovaj okvir nije označen, morate navesti broj redaka u polju Broj mreža);

· prešao-- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donjeg ruba grafikona.

§ Trag-- linijsko oblikovanje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon zasebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne točke (krug, križ, pravokutnik, romb);

vrsta linije (Puna - puna, Točka - točkasta linija, Crtica - potezi, Dadot - crtkana točkasta linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - točke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (Težina).

§ Oznaka -- naslov u području grafikona. U polju Titula (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Oznake osi ).

§ Zadane postavke -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadano) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Upotrijebi za zadane postavke).

5.2 Izgradnja polarnih parcela

Da biste izgradili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postaviti funkciju

· postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) a na panelu koji se otvori gumb Polar Plot (polarni graf);

· U polja za unos predloška koji se pojavi morate unijeti kutni argument funkcije (dolje) i naziv funkcije (lijevo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (sl. 2.6.)

sl.2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5.3 Iscrtavanje površina (3D ili 3D crteži)

Prilikom konstruiranja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematička ploča. Možete izgraditi trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog izbornika; možete izgraditi graf stvaranjem matrice vrijednosti ​​​funkcije dviju varijabli; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati posebne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane za stvaranje niza vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Brzo crtanje

Da biste brzo izgradili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, odaberite gumb na matematičkoj ploči graf(Grafikon) i na otvorenoj ploči gumb ( graf površine);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez navođenja varijabli);

· kliknite izvan predloška grafikona -- bit će izgrađen graf funkcije.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (slika 2.7).

Riža. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon može se kontrolirati:

° rotacija grafa se izvodi nakon što se pokazivač miša povuče preko njega s pritisnutom lijevom tipkom miša;

° skaliranje grafikona se izvodi nakon što se pokazivač miša preko njega povuče istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomičete miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona izvodi se na isti način, ali s dodatno pritisnutom tipkom Shift. Potrebno je samo početi rotirati graf mišem, tada će se animacija izvesti automatski. Za zaustavljanje rotacije kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i odrediti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· odaberite karticu Quick Plot Data u otvorenom prozoru;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početak -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Pritisnite gumb OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (slika 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Riža. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

prednjimatiranje 3D grafova

Da biste oblikovali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled, Općenito, sjekire, rasvjeta, Titula, Pozadinske ploče, Posebna, Napredna, Brz Zemljište Podaci.

Svrha kartice Brz Zemljište Podaci je gore raspravljano.

tab Izgled omogućuje promjenu izgleda grafa. Polje Napunite Mogućnosti omogućuje promjenu parametara popunjavanja, polje crta Opcija-- parametri linije, točka Mogućnosti-- točkasti parametri.

U kartici Općenito ( općenito) u skupini pogled možete odabrati kutove rotacije prikazane površine oko sve tri osi; u grupi prikaz kao Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici rasvjeta(osvjetljenje) možete kontrolirati rasvjetu tako da potvrdite okvir omogućiti rasvjeta(upalite svjetla) i uključite Na(upaliti). S popisa se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete rasvjeta shema(shema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednadžbi u MathCAD

U ovom ćemo odjeljku naučiti kako najjednostavnije jednadžbe oblika F( x) = 0. Analitički riješiti jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene, t.j. takve brojeve, kada ih zamijenimo u izvornu jednadžbu, dobivamo ispravnu jednakost. Grafički riješiti jednadžbu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije s osi x.

6. 1 Rješavanje jednadžbi pomoću funkcije root(f(x),x)

Za rješenja jednadžbe s jednom nepoznanicom oblika F( x) = 0 postoji posebna funkcija

korijen(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

x-- argument.

Ova funkcija vraća, sa zadanom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) jednako je 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, tada ju je potrebno dovesti u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije korijen mora se dati argumentu x početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je nacrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (siječe li graf os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijen prikazano na slici 3.1. Prije nego što prijeđemo na rješenje u sustavu MathCAD, u jednadžbi ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednadžba će poprimiti oblik: .

Riža. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi s funkcijom Polyroots(v).

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polikorijeni(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti ne mogu se izostaviti. Za razliku od funkcije korijen funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijeni prikazano na slici 3.2.

Riža. 3.2. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijena

6.3 Rješavanje jednadžbi pomoću Find(x)

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Oblikovati S obzirom na to - pronaći koristi računsku tehniku ​​koja se temelji na pronalaženju korijena u blizini početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Ako je dana jednadžba f(x) = 0, tada se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način S obzirom na to - pronaći:

Postavite početnu aproksimaciju

Unesite službenu riječ

Napišite jednadžbu pomoću znaka podebljano jednako

Napišite funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat toga, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 u onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe pomoću funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Riža. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke točke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije s osi Ox). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost dane točke (duž osi Ox) i vrijednost funkcije u ovoj točki (duž osi Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovima za odgovarajuću liniju odaberite vrstu grafikona - točke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije s osi x. Koordinirati x ova točka je pronađena u prethodnom primjeru: x= 2,742 (korijen jednadžbe ) (slika 3.4).

Riža. 3.4. Grafikon funkcije s označenom točkom presjeka

U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovima za trag2 promijenjeno: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sustava jednadžbi

7.1 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi se može riješiti m matrična metoda (bilo kroz inverznu matricu ili pomoću funkcije lriješiti(A,B)) i korištenjem dvije funkcije pronaći i značajke Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava jednadžbi matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Riža. 4.1. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcije lriješiti(A, B)

Lriješiti(A,B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sustav linearnih jednadžbi s matricom koeficijenata A i vektorom slobodnih pojmova B .

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Način rješavanja ovog sustava pomoću funkcije lsolve(A,B) prikazan je na slici 4.2.

Riža. 4.2. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi preko funkcijei pronaći

Ovom metodom jednadžbe se unose bez upotrebe matrica, t.j. u "prirodnom obliku". Najprije je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj unutar opsega definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se pomoću računalne jedinice riješio sustav linearnih jednadžbi S obzirom na to - pronaći, potrebno:

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći,

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći prikazano na slici 4.3.

Riža. 4.3. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sustava linearnih jednadžbi

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije pronaći(koristeći isti algoritam), samo funkcija pronaći daje točno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se kao rezultat pretraživanja ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenju, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija pronaći u ovom slučaju vraća poruku o pogrešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti točnost izračuna. Da biste to učinili, odaberite s izbornika matematika > Mogućnosti(Matematika - Opcije), tab izgrađena- U Varijable(Ugrađene varijable). Na kartici koja se otvori trebate smanjiti dopuštenu pogrešku izračuna (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

NApažnja. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica x 1, x 2, x 3, x 4.

7.2 Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi

Sustavi nelinearnih jednadžbi u MathCAD-u rješavaju se pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći.

Oblikovati S obzirom na to - pronaći koristi računsku tehniku ​​koja se temelji na pronalaženju korijena u blizini početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sustava jednadžbi pomoću bloka S obzirom na to - pronaći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

3) zapišite sustav jednadžbi pomoću znaka podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat izračuna, prikazat će se vektor rješenja sustava.

Ako sustav ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo ima li sustav korijene (sijeku li se grafovi zadanih funkcija), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Zadan sustav jednadžbi

Prije rješavanja sustava gradimo grafove funkcija: parabole (prva jednadžba) i pravac (druga jednadžba). Konstrukcija grafa ravne i parabole u jednom koordinatnom sustavu prikazana je na slici 4.5:

Riža. 4.5. Iscrtavanje dviju funkcija u istom koordinatnom sustavu

Pravac i parabola sijeku se u dvije točke, što znači da sustav ima dva rješenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznanica x i y za svako rješenje. Pronalaženje korijena sustava jednadžbi prikazano je na slici 4.6.

Riža. 4.6. Pronalaženje korijena sustava nelinearnih jednadžbi

Kako bismo na grafu označili točke presjeka parabole i ravne, uvodimo koordinate točaka pronađenih pri rješavanju sustava duž osi Ox (vrijednosti x ) i duž osi Oy (vrijednosti na ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovima za trag3 i trag4 promjena: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna (slika 4.7).

Riža. 4.7. Funkcijski grafikoni s označenim točkama križanja

8 . Primjeri korištenja ključnih značajki MathCAD riješiti neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednadžbe ili sustava jednadžbi.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Potreban uvjet za ekstrem (maksimum i/ili minimum) kontinuirane funkcije formulira se na sljedeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim točkama gdje je derivacija ili jednaka nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačna) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite točke koje zadovoljavaju nužni uvjet, odnosno pronađite sve stvarne korijene jednadžbe.

Ako se izgradi graf funkcije, odmah možete vidjeti - u danoj točki postignut je maksimum ili minimum x. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1 s džeparac . S ujednačiti e znakovi izvedenice . Predznak derivacije se određuje u blizini točke (u točkama koje su odvojene od ekstrema funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija ima minimum. Ako se predznak derivacije ne mijenja, onda nema ekstrema.

2. s džeparac . NA izračuni e drugi izvedenica . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u točki ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Najprije napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Riža. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti x koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Pronađimo ove ekstreme rješavanjem jednadžbe. Za rješavanje koristimo blok Dano - Pronađi (slika 6.2.).

Riža. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Definirajmo vrstu ekstrema pervput, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Riža. 6.3. Određivanje vrste ekstrema

Iz tablice vrijednosti derivacije i iz grafa može se vidjeti da je predznak derivacije u blizini točke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija u ovom trenutku doseže svoj maksimum. I to u blizini točke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija doseže minimum.

Definirajmo vrstu ekstrema drugiput, računajući predznak druge derivacije (slika 6.4).

Riža. 6.4. Određivanje vrste ekstremuma pomoću druge derivacije

Vidi se da u točki x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle točka x 1 odgovara maksimumu funkcije. I to u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle točka x 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina likova omeđenih neprekinutim crtama

Područje krivolinijskog trapeza omeđenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale x = a i x = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0.

Riža. 6.5. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i izravna x = a i x = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Kako bi se izbjegle pogreške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Dakle, područje će uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Točke presjeka funkcija nalazimo pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x zamjenjuju se u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po zadanim točkama

Konstrukcija ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke

Zapisati jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke A( x 0,y 0) i B( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

gdje a i b su koeficijenti pravca koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sustav je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija ravne koja prolazi kroz točke A(-2,-4) i B(5,7).

Zamjenjujemo izravne koordinate ovih točaka u jednadžbu i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Riža. 6.7 Sustavno rješenje

Kao rezultat rješavanja sustava dobivamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednadžba ravne linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu ravnu crtu (slika 6.8).

Riža. 6.8. Izgradnja ravne linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri zadane točke

Konstruirati parabolu koja prolazi kroz tri točke A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) i C( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je dana jednadžbom

y = sjekira 2 + bx + s, gdje

a, b i s su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u ovu jednadžbu i dobivamo sustav:

2. Ovaj sustav je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i s. Sustav se može riješiti na matrični način.

3. Dobivene koeficijente zamjenjujemo u jednadžbu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz točke A(-1,-4), B(1,-2) i C(3,16).

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u jednadžbu parabole i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava jednadžbi u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Riža. 6.9. Rješavanje sustava jednadžbi

Kao rezultat dobivaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobivamo jednadžbu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Izgradimo ovu parabolu (slika 6.10).

Riža. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri zadane točke

Konstruirati kružnicu koja prolazi kroz tri točke A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) i C( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dan jednadžbom

gdje su x0,y0 koordinate središta kružnice;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite zadane koordinate u jednadžbu kružnice.........

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Upotrijebite obrazac u nastavku

Studenti, diplomski studenti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam jako zahvalni.

1. Radni prozor MathCAD

· Panel Matematika(slika 1.4).

Riža. 1.4. Matematička ploča

Klikom na gumb matematičke alatne trake otvara se dodatna alatna traka:

2. Elementi jezika MathCAD

Osnovni elementi matematičkih izraza MathCAD-a uključuju operatore, konstante, varijable, nizove i funkcije.

2.1 Operateri

Operateri -- elementi MathCAD-a pomoću kojih možete kreirati matematičke izraze. To, na primjer, uključuje simbole za aritmetičke operacije, znakove za izračunavanje zbroja, proizvode, derivacije, integrale itd.

Operator definira:

a) radnja koju treba izvesti u prisutnosti određenih vrijednosti operanada;

b) koliko, gdje i koje operande treba unijeti u operator.

Operand -- broj ili izraz na koji operator djeluje. Na primjer, u izrazu 5!+3, brojevi 5! i 3 su operandi operatora "+" (plus), a broj 5 je operand faktorijala (!).

Bilo koji operator u MathCAD-u može se unijeti na dva načina:

pritiskom na tipku (kombinaciju tipki) na tipkovnici;

pomoću ploče matematike.

Sljedeći izrazi koriste se za dodjelu ili prikaz sadržaja memorijskog mjesta povezanog s varijablom:

-- znak zadatka (unosi se pritiskom na tipku : na tipkovnici (dvotočka u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajući gumb na ploči Kalkulator );

Ovaj zadatak se zove lokalni. Prije ove dodjele varijabla nije definirana i ne može se koristiti.

-- globalni operator dodjele. Ovaj zadatak se može izvršiti bilo gdje u dokumentu. Na primjer, ako se varijabli na ovaj način dodijeli vrijednost na samom kraju dokumenta, tada će ona imati istu vrijednost na početku dokumenta.

-- približni operator jednakosti (x1). Koristi se u rješavanju sustava jednadžbi. Unosi se pritiskom na tipku ; na tipkovnici (točka-zarez u engleskom rasporedu tipkovnice) ili pritiskom na odgovarajuću tipku na Boolean panel.

= -- operator (jednostavne jednake) rezerviran za izlaz vrijednosti konstante ili varijable.

Najjednostavniji izračuni

Proces izračuna se provodi pomoću:

Ploče kalkulatora, ploče proračuna i ploče procjene.

Pažnja. Ako je potrebno cijeli izraz podijeliti u brojniku, onda ga prvo treba odabrati pritiskom na razmaknicu na tipkovnici ili stavljanjem u zagrade.

2.2 Konstante

Konstante -- imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se ne može promijeniti.

Na primjer, = 3,14.

Dimenzionalne konstante su uobičajene mjerne jedinice. Na primjer, metri, sekunde itd.

Da biste zapisali dimenzijsku konstantu, morate unijeti znak * (množiti) nakon broja, odabrati stavku izbornika Umetnuti podstav Jedinica. U mjerenjima vam najpoznatije kategorije: Dužina - dužina (m, km, cm); Masa -- težina (g, kg, t); Vrijeme -- vrijeme (min, sek, sat).

2.3 Varijable

Varijable su imenovani objekti koji imaju neku vrijednost koja se može promijeniti tijekom izvođenja programa. Varijable mogu biti numeričke, nizove, znakovne itd. Varijablama se dodjeljuju vrijednosti pomoću znaka za dodjelu (:=).

Pažnja. MathCAD tretira velika i mala slova kao različite identifikatore.

Varijable sustava

NA MathCAD sadrži malu grupu posebnih objekata koji se ne mogu pripisati ni klasi konstanti ni klasi varijabli, čije se vrijednosti određuju odmah nakon pokretanja programa. Bolje ih je prebrojati varijable sustava. Ovo, na primjer, TOL - pogreška numeričkih izračuna, ORIGIN - donja granica vrijednosti indeksnog indeksa vektora, matrica itd. Ako je potrebno, možete postaviti druge vrijednosti za ove varijable.

rangirane varijable

Ove varijable imaju niz fiksnih vrijednosti, bilo cijelih ili varirajući u određenom koraku od početne vrijednosti do konačne.

Za kreiranje varijable s rasponom koristi se izraz:

Ime=N početi,(N početi+Korak)..N kraj,

gdje je Naziv naziv varijable;

N početak -- početna vrijednost;

Korak -- specificirani korak za promjenu varijable;

N kraj -- krajnja vrijednost.

Rankirane varijable se široko koriste u crtanju. Na primjer, za crtanje grafa neke funkcije f(x) prije svega, trebate stvoriti niz vrijednosti varijabli x-- to mora biti varijabla s rasponom da bi ovo funkcioniralo.

Pažnja. Ako korak nije naveden u rasponu varijable, onda gram će ga automatski uzeti jednako 1.

Primjer . Varijabilna x varira u rasponu od -16 do +16 u koracima od 0,1

Da biste napisali varijablu s rasponom, upišite:

Naziv varijable ( x);

Znak zadatka (:=)

Prva vrijednost raspona (-16);

zarez;

Druga vrijednost raspona, koja je zbroj prve vrijednosti i koraka (-16+0,1);

elipsa ( .. ) -- promjena varijable u zadanim granicama (trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice);

Posljednja vrijednost raspona (16).

Kao rezultat, dobit ćete: x := -16,-16+0.1..16.

Izlazne tablice

Svaki izraz s rangiranim varijablama nakon znaka jednakosti pokreće izlaznu tablicu.

Možete umetnuti numeričke vrijednosti u izlazne tablice i ispraviti ih.

Varijabla s indeksom

Varijabla s indeksom-- je varijabla kojoj je dodijeljen skup nepovezanih brojeva, od kojih svaki ima svoj broj (indeks).

Indeks se upisuje pritiskom na lijevu uglatu zagradu na tipkovnici ili pomoću gumba x n na ploči Kalkulator.

Možete koristiti ili konstantu ili izraz kao indeks. Da biste inicijalizirali varijablu s indeksom, morate unijeti elemente niza, odvajajući ih zarezima.

Primjer. Unos indeksnih varijabli.

Numeričke vrijednosti se unose u tablicu odvojene zarezima;

Izlaz vrijednosti prvog elementa vektora S;

Izlaz vrijednosti nultog elementa vektora S.

2.4 Nizovi

niz -- jedinstveno imenovana zbirka konačnog broja numeričkih ili znakovnih elemenata, poredanih na neki način i koja ima specifične adrese.

U paketu MathCAD koriste se nizovi dvije najčešće vrste:

jednodimenzionalni (vektori);

dvodimenzionalni (matrice).

Matrični ili vektorski predložak možete ispisati na jedan od sljedećih načina:

odaberite stavku izbornika Umetnuti - Matrica;

pritisnite kombinaciju tipki ctrl+ M;

pritisnite gumb za uključivanje ploča i vektori i matrice.

Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir u kojem se postavlja potreban broj redaka i stupaca:

Redovi-- broj redaka

stupaca-- broj stupaca

Ako matrici (vektoru) treba dati ime, tada se prvo upisuje naziv matrice (vektora), zatim operator dodjele, a zatim predložak matrice.

na primjer:

Matrica -- dvodimenzionalni niz pod nazivom M n , m , koji se sastoji od n redaka i m stupaca.

Na matricama možete izvoditi razne matematičke operacije.

2.5 Funkcije

Funkcija -- izraz prema kojem se izvode neki izračuni s argumentima i određuje njegova brojčana vrijednost. Primjeri funkcija: grijeh(x), preplanuli(x) i tako dalje.

Funkcije u paketu MathCAD mogu biti ugrađene ili korisnički definirane. Načini umetanja inline funkcije:

Odaberite stavku izbornika Umetnuti- Funkcija.

Pritisnite kombinaciju tipki ctrl+ E.

Kliknite gumb na alatnoj traci.

Upišite naziv funkcije na tipkovnici.

Korisničke funkcije se obično koriste kada se isti izraz evaluira više puta. Za postavljanje korisničke funkcije:

· unesite naziv funkcije uz obaveznu naznaku argumenta u zagradama, na primjer, f(x);

Unesite operator dodjele (:=);

Unesite izračunati izraz.

Primjer. f (z) := sin(2 z 2)

3. Formatiranje brojeva

U MathCAD-u možete promijeniti izlazni format brojeva. Obično se izračuni izrađuju s točnošću od 20 znamenki, ali nisu prikazane sve značajne brojke. Za promjenu formata broja dvaput kliknite na željeni brojčani rezultat. Pojavit će se prozor za oblikovanje brojeva, otvoren na kartici broj Format (Format brojeva) sa sljedećim formatima:

o Općenito (Glavno) -- je zadana postavka. Brojevi se prikazuju redom (na primjer, 1,2210 5). Broj znakova mantise određuje se na terenu Eksponencijalno Prag(Prag eksponencijalne notacije). Kada je prag prekoračen, broj se prikazuje redom. Broj znamenki nakon decimalne točke mijenja se u polju broj od decimal mjesta.

o Decimal (Decimalno) -- decimalni prikaz brojeva s pomičnim zarezom (na primjer, 12,2316).

o znanstveni (Znanstveno) -- brojevi se prikazuju samo redom.

o Inženjering (Inženjering) -- brojevi se prikazuju samo kao višekratnici od tri (na primjer, 1,2210 6).

Pažnja. Ako nakon postavljanja željenog formata u prozoru za oblikovanje brojeva, odaberite gumb u redu, format će se postaviti samo za odabrani broj. A ako odaberete gumb Postavi kao zadano, format će se primijeniti na sve brojeve u ovom dokumentu.

Brojevi se automatski zaokružuju na nulu ako su manji od postavljenog praga. Prag se postavlja za cijeli dokument, a ne za određeni rezultat. Da biste promijenili prag zaokruživanja na nulu, odaberite stavku izbornika Formatiranje - rezultat i u tab tolerancija , u polju Nula prag unesite traženu vrijednost praga.

4 . Rad s tekstom

Isječci teksta su dijelovi teksta koje bi korisnik želio vidjeti u svom dokumentu. To mogu biti objašnjenja, veze, komentari itd. Ubacuju se pomoću stavke izbornika Umetnuti - Regija teksta.

Možete formatirati tekst: promijeniti font, njegovu veličinu, stil, poravnanje itd. Da biste to učinili, odaberite ga i odaberite odgovarajuće opcije na ploči s fontovima ili u izborniku Formatiranje - Tekst.

5. Rad s grafikom

Prilikom rješavanja mnogih problema u kojima se proučava funkcija često postaje potrebno nacrtati njezin graf koji će jasno odražavati ponašanje funkcije u određenom intervalu.

U sustavu MathCAD moguće je graditi različite vrste grafova: u kartezijanskim i polarnim koordinatnim sustavima, trodimenzionalne grafove, plohe rotacijskih tijela, poliedre, prostorne krivulje, grafove vektorskog polja. Pogledat ćemo kako izgraditi neke od njih.

5.1 Konstrukcija dvodimenzionalnih grafova

Da biste izgradili dvodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) i na panelu koji se otvori gumb X-Y Plot (dvodimenzionalni graf);

U predložak dvodimenzionalnog grafa koji se pojavi, koji je prazan pravokutnik s oznakama podataka, unesite naziv varijable u središnju oznaku podataka duž osi apscise (os X) i unesite naziv funkcije umjesto središnja oznaka podataka duž ordinatne osi (os Y) (slika 2.1 );\

Riža. 2.1. 2D predložak parcele

kliknite izvan predloška grafikona -- graf funkcije će biti iscrtan.

Raspon argumenata sastoji se od 3 vrijednosti: početne, druge i konačne.

Neka je potrebno nacrtati graf funkcije na intervalu [-2,2] s korakom od 0,2. Varijabilne vrijednosti t navedeni su kao raspon kako slijedi:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

gdje je: -2 -- početna vrijednost raspona;

-1,8 (-2 + 0,2) -- vrijednost drugog raspona (početna vrijednost plus inkrement);

2 -- krajnja vrijednost raspona.

Pažnja. Trotočka se upisuje pritiskom na točku i zarez u rasporedu engleske tipkovnice.

Primjer. Iscrtavanje funkcije y = x 2 na intervalu [-5,5] s korakom od 0,5 (slika 2.2).

Riža. 2.2. Iscrtavanje funkcije y = x 2

Prilikom crtanja grafikona uzmite u obzir sljedeće:

° Ako raspon vrijednosti argumenata nije naveden, tada se prema zadanim postavkama graf gradi u rasponu [-10,10].

° Ako je potrebno smjestiti nekoliko grafova u jedan predložak, tada se nazivi funkcija označavaju odvojeni zarezima.

° Ako dvije funkcije imaju različite argumente, na primjer f1(x) i f2(y), tada su nazivi funkcija naznačeni na osi ordinate (Y), odvojeni zarezima, a na osi apscise (X), nazivi obiju varijabli također su odvojeni zarezima.

° Završne oznake podataka na predlošku grafikona služe za označavanje graničnih vrijednosti apscise i ordinate, tj. postavljaju skalu grafa. Ako ove oznake ostavite prazne, mjerilo će se automatski postaviti. Automatska skala ne odražava uvijek graf u željenom obliku, pa se granične vrijednosti apscise i ordinata moraju uređivati ​​ručno mijenjajući ih.

Bilješka. Ako nakon crtanja graf ne poprimi željeni oblik, možete:

Smanjite korak.

· promijeniti interval crtanja.

Smanjite granične vrijednosti apscisa i ordinata na grafikonu.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki (2,3) i polumjerom R = 6.

Jednadžba kružnice sa središtem u točki s koordinatama ( x 0 ,y 0) i polumjer R je napisano kao:

Izrazite iz ove jednadžbe y:

Dakle, za konstruiranje kruga potrebno je postaviti dvije funkcije: gornji i donji polukrug. Raspon argumenata se izračunava na sljedeći način:

Početna vrijednost raspona = x 0 - R;

Krajnja vrijednost raspona = x 0 + R;

Bolje je uzeti korak jednak 0,1 (slika 2.3.).

Riža. 2.3. Konstrukcija kruga

Parametarski graf funkcije

Ponekad je prikladnije umjesto jednadžbe linije koja se odnosi na pravokutne koordinate x i y, razmotrite takozvane parametarske jednadžbe linija, koje daju izraze za trenutne koordinate x i y kao funkcije neke varijable t(parametar): x(t) i y(t). Prilikom konstruiranja parametarskog grafa nazivi funkcija jednog argumenta navode se na osi ordinate i apscise.

Primjer. Konstrukcija kružnice sa središtem u točki s koordinatama (2,3) i polumjerom R= 6. Za konstrukciju se koristi parametarska jednadžba kružnice

x = x 0 + R cos( t) y = y 0 + R grijeh( t) (slika 2.4.).

sl.2.4. Konstrukcija kruga

Formatiranje grafikona

Da biste formatirali grafikon, dvaput kliknite na područje grafikona. Otvorit će se dijaloški okvir Oblikovanje grafikona. Kartice u prozoru za oblikovanje grafikona navedene su u nastavku:

§ x- Ysjekire--formatiranje koordinatnih osi. Označavanjem odgovarajućih okvira možete:

· DnevnikMjerilo--predstavljaju numeričke vrijednosti na osi u logaritamskoj skali (prema zadanim postavkama, numeričke vrijednosti su iscrtane na linearnoj skali)

· Mrežalinije--primijenite mrežu linija;

· numerirani-- rasporedite brojeve duž koordinatnih osi;

· AutoMjerilo--automatski odabir graničnih brojčanih vrijednosti na osi (ako je ovo polje poništeno, maksimalne izračunate vrijednosti bit će ograničene);

· pokazatimarker-- označavanje grafikona u obliku vodoravnih ili okomitih isprekidanih linija koje odgovaraju navedenoj vrijednosti na osi, a same vrijednosti se prikazuju na kraju linija (na svakoj osi se pojavljuju 2 ulazna mjesta u kojima možete unositi brojčane vrijednosti, ne unositi ništa, unositi jednobrojne ili slovne oznake konstanti);

· AutoGosloboditi-- automatski odabir broja linija mreže (ako ovaj okvir nije označen, morate navesti broj redaka u polju Broj mreža);

· prešao- os apscise prolazi kroz nulu ordinate;

· U kutiji-- os x ide duž donjeg ruba grafikona.

§ Trag-- linijsko oblikovanje funkcijskih grafova. Za svaki grafikon zasebno možete promijeniti:

simbol (Simbol) na grafikonu za čvorne točke (krug, križ, pravokutnik, romb);

vrsta linije (Puna - puna, Točka - točkasta linija, Crtica - potezi, Dadot - crtkana točkasta linija);

boja linije (Color);

Vrsta (Ture) grafikona (Linije - linija, Points - točke, Var ili Solidbar - trake, Step - korak grafikon, itd.);

debljina linije (Težina).

§ Oznaka -- naslov u području grafikona. U polju Titula (Naslov) možete napisati tekst naslova, odabrati njegovu poziciju - na vrhu ili dnu grafikona ( Iznad -- vrh, Ispod -- ispod). Možete unijeti, ako je potrebno, nazive argumenta i funkcije ( Oznake osi ).

§ Zadane postavke -- koristeći ovu karticu, možete se vratiti na zadani prikaz grafikona (Promijeni na zadano) ili koristiti promjene koje ste napravili na grafikonu prema zadanim postavkama za sve grafikone u ovom dokumentu (Upotrijebi za zadane postavke).

5. 2 Građevinske polarne parcele

Da biste izgradili polarni graf funkcije, trebate:

· postaviti raspon vrijednosti argumenata;

postaviti funkciju

· postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, na matematičkoj ploči odaberite gumb Graf (graf) a na panelu koji se otvori gumb Polar Plot (polarni graf);

· U polja za unos predloška koji se pojavi morate unijeti kutni argument funkcije (dolje) i naziv funkcije (lijevo).

Primjer. Konstrukcija Bernoullijeve lemniskate: (sl. 2.6.)

sl.2.6. Primjer izgradnje polarne parcele

5. 3 Površinsko crtanje (3D ili 3 D - grafikoni)

Prilikom konstruiranja trodimenzionalnih grafova koristi se panel graf(Grafikon) matematička ploča. Možete izgraditi trodimenzionalni graf pomoću čarobnjaka koji se poziva iz glavnog izbornika; možete izgraditi graf stvaranjem matrice vrijednosti ​​​funkcije dviju varijabli; možete koristiti ubrzanu metodu izgradnje; možete pozvati posebne funkcije CreateMech i CreateSpase, dizajnirane za stvaranje niza vrijednosti funkcija i dijagrama. Razmotrit ćemo ubrzanu metodu za konstruiranje trodimenzionalnog grafa.

Brzo crtanje

Da biste brzo izgradili trodimenzionalni graf funkcije, trebate:

postaviti funkciju

Postavite kursor na mjesto gdje treba graditi graf, odaberite gumb na matematičkoj ploči graf(Grafikon) i na otvorenoj ploči gumb ( graf površine);

· na jedino mjesto predloška unesite naziv funkcije (bez navođenja varijabli);

· kliknite izvan predloška grafikona -- bit će izgrađen graf funkcije.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (slika 2.7).

Riža. 2.7. Primjer brze površine

Izgrađeni grafikon može se kontrolirati:

° rotacija grafa se izvodi nakon što se pokazivač miša povuče preko njega s pritisnutom lijevom tipkom miša;

° skaliranje grafikona se izvodi nakon što se pokazivač miša preko njega povuče istovremenim pritiskom lijeve tipke miša i tipke Ctrl (ako pomičete miš, grafikon se povećava ili smanjuje);

° animacija grafikona izvodi se na isti način, ali s dodatno pritisnutom tipkom Shift. Potrebno je samo početi rotirati graf mišem, tada će se animacija izvesti automatski. Za zaustavljanje rotacije kliknite lijevu tipku miša unutar područja grafikona.

Moguće je izgraditi nekoliko površina odjednom u jednom crtežu. Da biste to učinili, morate postaviti obje funkcije i odrediti nazive funkcija na predlošku grafikona odvojene zarezima.

Prilikom brzog crtanja, zadane vrijednosti za oba argumenta su između -5 i +5, a broj linija konture je 20. Da biste promijenili ove vrijednosti, morate:

· dvaput kliknite na grafikon;

· odaberite karticu Quick Plot Data u otvorenom prozoru;

· unesite nove vrijednosti u područje prozora Range1 -- za prvi argument i Range2 -- za drugi argument (početak -- početna vrijednost, kraj -- konačna vrijednost);

· u polju # Grids promijenite broj linija mreže koje pokrivaju površinu;

· Pritisnite gumb OK.

Primjer. Iscrtavanje funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (slika 2.9).

Prilikom konstruiranja ovog grafa, bolje je odabrati granice promjene vrijednosti oba argumenta od -2 do +2.

Riža. 2.9. Primjer crtanja grafa funkcije z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

prednjimatiranje 3D grafova

Da biste oblikovali grafikon, dvaput kliknite na područje iscrtavanja - pojavit će se prozor za oblikovanje s nekoliko kartica: Izgled,Općenito,sjekire,rasvjeta,Titula,Pozadinske ploče,Posebna, Napredna, BrzZemljištePodaci.

Svrha kartice BrzZemljištePodaci je gore raspravljano.

tab Izgled omogućuje promjenu izgleda grafa. Polje Napunite Mogućnosti omogućuje promjenu parametara popunjavanja, polje crta Opcija-- parametri linije, točka Mogućnosti-- točkasti parametri.

U kartici Općenito ( općenito) u skupini pogled možete odabrati kutove rotacije prikazane površine oko sve tri osi; u grupi prikazkao Možete promijeniti vrstu grafikona.

U kartici rasvjeta(osvjetljenje) možete kontrolirati rasvjetu tako da potvrdite okvir omogućitirasvjeta(upalite svjetla) i uključite Na(upaliti). S popisa se bira jedna od 6 mogućih shema rasvjete rasvjetashema(shema rasvjete).

6. Načini rješavanja jednadžbi u MathCAD

U ovom ćemo odjeljku naučiti kako najjednostavnije jednadžbe oblika F( x) = 0. Analitički riješiti jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene, t.j. takve brojeve, kada ih zamijenimo u izvornu jednadžbu, dobivamo ispravnu jednakost. Grafički riješiti jednadžbu znači pronaći točke presjeka grafa funkcije s osi x.

6. 1 Rješavanje jednadžbi pomoću f funkcije i korijen ( f ( x ), x )

Za rješenja jednadžbe s jednom nepoznanicom oblika F( x) = 0 postoji posebna funkcija

korijen(f(x), x) ,

gdje f(x) je izraz jednak nuli;

x-- argument.

Ova funkcija vraća, sa zadanom preciznošću, vrijednost varijable za koju je izraz f(x) jednako je 0.

Pažnjae. Ako je desna strana jednadžbe 0, tada ju je potrebno dovesti u normalni oblik (sve prenijeti na lijevu stranu).

Prije korištenja funkcije korijen mora se dati argumentu x početna aproksimacija. Ako postoji nekoliko korijena, da biste pronašli svaki korijen, morate navesti svoju početnu aproksimaciju.

Pažnja. Prije rješavanja poželjno je nacrtati graf funkcije kako bi se provjerilo ima li korijena (siječe li graf os Ox), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijen prikazano na slici 3.1. Prije nego što prijeđemo na rješenje u sustavu MathCAD, u jednadžbi ćemo sve prenijeti na lijevu stranu. Jednadžba će poprimiti oblik: .

Riža. 3.1. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije korijena

6. 2 Rješavanje jednadžbi pomoću f funkcije i polikorijeni ( v )

Da biste istovremeno pronašli sve korijene polinoma, koristite funkciju polikorijeni(v), gdje je v vektor koeficijenata polinoma, počevši od slobodnog člana . Nulti koeficijenti ne mogu se izostaviti.Za razliku od funkcije korijen funkcija Polyroots ne zahtijeva početnu aproksimaciju.

Primjer. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijeni prikazano na slici 3.2.

Riža. 3.2. Rješavanje jednadžbe pomoću funkcije polikorijena

6. 3 Rješavanje jednadžbi pomoću ffunkcijeipronaći(x)

Funkcija Find radi u sprezi s ključnom riječi Given. Oblikovati S obzirom na to-pronaći

Ako je dana jednadžba f(x) = 0, tada se pomoću bloka može riješiti na sljedeći način S obzirom na to - pronaći:

Postavite početnu aproksimaciju

Unesite službenu riječ

Napišite jednadžbu pomoću znaka podebljano jednako

Napišite funkciju pronalaženja s nepoznatom varijablom kao parametrom

Kao rezultat toga, nakon znaka jednakosti, bit će prikazan pronađeni korijen.

Ako postoji nekoliko korijena, oni se mogu pronaći promjenom početne aproksimacije x0 u onu koja je bliska željenom korijenu.

Primjer. Rješenje jednadžbe pomoću funkcije pronalaženja prikazano je na slici 3.3.

Riža. 3.3. Rješavanje jednadžbe s funkcijom pronalaženja

Ponekad je potrebno označiti neke točke na grafu (na primjer, točke presjeka funkcije s osi Ox). Za ovo vam je potrebno:

Navedite x vrijednost dane točke (duž osi Ox) i vrijednost funkcije u ovoj točki (duž osi Oy);

dvaput kliknite na grafikon i u prozoru za oblikovanje na kartici tragovima za odgovarajuću liniju odaberite vrstu grafikona - točke, debljinu linije - 2 ili 3.

Primjer. Grafikon prikazuje točku presjeka funkcije s osi x. Koordinirati x ova točka je pronađena u prethodnom primjeru: x= 2,742 (korijen jednadžbe ) (slika 3.4).

Riža. 3.4. Grafikon funkcije s označenom točkom presjeka

U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovima za trag2 promijenjeno: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna.

7. Rješavanje sustava jednadžbi

7. 1 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi

Sustav linearnih jednadžbi se može riješiti m matrična metoda (bilo kroz inverznu matricu ili pomoću funkcije lriješiti(A,B)) i korištenjem dvije funkcije pronaći i značajke Minerr.

Matrična metoda

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava jednadžbi matričnom metodom prikazano je na slici 4.1.

Riža. 4.1. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matričnom metodom

Upotreba funkcijelriješiti(A, B)

Lriješiti(A,B) je ugrađena funkcija koja vraća vektor X za sustav linearnih jednadžbi s matricom koeficijenata A i vektorom slobodnih pojmova B .

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Način rješavanja ovog sustava pomoću funkcije lsolve(A,B) prikazan je na slici 4.2.

Riža. 4.2. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije lsolve

Rješavanje sustava linearnih jednadžbiprekofunkcijeipronaći

Ovom metodom jednadžbe se unose bez upotrebe matrica, t.j. u "prirodnom obliku". Najprije je potrebno naznačiti početne aproksimacije nepoznatih varijabli. To može biti bilo koji broj unutar opsega definicije. Često ih pogrešno smatraju kolonom slobodnih članova.

Kako bi se pomoću računalne jedinice riješio sustav linearnih jednadžbi S obzirom na to - pronaći, potrebno:

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći,

Primjer. Zadan je sustav jednadžbi:

Rješenje ovog sustava pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći prikazano na slici 4.3.

Riža. 4.3. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Find

Približno strrješenje sustava linearnih jednadžbi

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću funkcije Minerr slično rješenju pomoću funkcije pronaći(koristeći isti algoritam), samo funkcija pronaći daje točno rješenje, i Minerr-- približno. Ako se kao rezultat pretraživanja ne može dobiti daljnje preciziranje trenutne aproksimacije rješenju, Rudarr vraća ovu aproksimaciju. Funkcija pronaći u ovom slučaju vraća poruku o pogrešci.

Možete odabrati drugu početnu aproksimaciju.

· Možete povećati ili smanjiti točnost izračuna. Da biste to učinili, odaberite s izbornika matematika > Mogućnosti(Matematika - Opcije), tab izgrađena- UVarijable(Ugrađene varijable). Na kartici koja se otvori trebate smanjiti dopuštenu pogrešku izračuna (Tolerancija konvergencije (TOL)). Zadani TOL = 0,001.

NApažnja. Kod metode matričnog rješenja potrebno je preurediti koeficijente prema porastu nepoznanica x 1, x 2, x 3, x 4.

7. 2 Rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi

Sustavi nelinearnih jednadžbi u MathCAD-u rješavaju se pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći.

Oblikovati S obzirom na to - pronaći koristi računsku tehniku ​​koja se temelji na pronalaženju korijena u blizini početne aproksimacijske točke koju je odredio korisnik.

Za rješavanje sustava jednadžbi pomoću bloka S obzirom na to - pronaći potrebno:

1) postaviti početne aproksimacije za sve varijable;

2) unesite službenu riječ S obzirom na to;

3) zapišite sustav jednadžbi pomoću znaka podebljano jednako();

4) napisati funkciju pronaći, navođenjem nepoznatih varijabli kao parametara funkcije.

Kao rezultat izračuna, prikazat će se vektor rješenja sustava.

Ako sustav ima nekoliko rješenja, algoritam treba ponoviti s drugim početnim nagađanjima.

Bilješka. Ako se rješava sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, prije njegovog rješavanja poželjno je nacrtati grafove funkcija kako bi se provjerilo ima li sustav korijene (sijeku li se grafovi zadanih funkcija), i ako da, koliko. Početna aproksimacija može se odabrati prema grafu bliže točki presjeka.

Primjer. Zadan sustav jednadžbi

Prije rješavanja sustava gradimo grafove funkcija: parabole (prva jednadžba) i pravac (druga jednadžba). Konstrukcija grafa ravne i parabole u jednom koordinatnom sustavu prikazana je na slici 4.5:

Riža. 4.5. Iscrtavanje dviju funkcija u istom koordinatnom sustavu

Pravac i parabola sijeku se u dvije točke, što znači da sustav ima dva rješenja. Prema grafu biramo početne aproksimacije nepoznanica x i y za svako rješenje. Pronalaženje korijena sustava jednadžbi prikazano je na slici 4.6.

Riža. 4.6. Pronalaženje korijena sustava nelinearnih jednadžbi

Kako bismo na grafu označili točke presjeka parabole i ravne, uvodimo koordinate točaka pronađenih pri rješavanju sustava duž osi Ox (vrijednosti x ) i duž osi Oy (vrijednosti na ) odvojeno zarezima. U prozoru za oblikovanje grafikona, na kartici tragovima za trag3 i trag4 promjena: vrsta grafikona - točke, debljina linije - 3, boja - crna (slika 4.7).

Riža. 4.7. Funkcijski grafikoni s označenim točkama križanja

8 . Primjeri korištenja ključnih značajki MathCAD riješiti neke matematičke probleme

Ovaj odjeljak daje primjere rješavanja problema koji zahtijevaju rješavanje jednadžbe ili sustava jednadžbi.

8. 1 Pronalaženje lokalnih ekstrema funkcija

Potreban uvjet za ekstrem (maksimum i/ili minimum) kontinuirane funkcije formulira se na sljedeći način: ekstremi se mogu dogoditi samo u onim točkama gdje je derivacija ili jednaka nuli ili ne postoji (posebno, postaje beskonačna) . Da biste pronašli ekstreme neprekidne funkcije, prvo pronađite točke koje zadovoljavaju nužni uvjet, odnosno pronađite sve stvarne korijene jednadžbe.

Ako se izgradi graf funkcije, odmah možete vidjeti - u danoj točki postignut je maksimum ili minimum x. Ako grafa nema, onda se svaki od pronađenih korijena ispituje na jedan od načina.

1 s džeparac . S ujednačiti e znakovi izvedenice . Određuje se predznak derivacije susjedstva točke (u točkama koje su odvojene od ekstrema funkcije na različitim stranama na malim udaljenostima). Ako se predznak derivacije promijeni iz "+" u "-", tada funkcija u ovom trenutku ima maksimum. Ako se znak promijeni iz "-" u "+", tada funkcija ima minimum. Ako se predznak derivacije ne mijenja, onda nema ekstrema.

2. s džeparac . NA izračuni e drugi izvedenica . U ovom slučaju, drugi izvod se izračunava u točki ekstrema. Ako je manji od nule, tada funkcija ima maksimum, ako je veći od nule, onda minimum.

Primjer. Pronalaženje ekstrema (minimuma/maksimuma) funkcije.

Najprije napravimo graf funkcije (slika 6.1).

Riža. 6.1. Iscrtavanje funkcije

Odredimo iz grafa početne aproksimacije vrijednosti x koji odgovaraju lokalnim ekstremima funkcije f(x). Pronađimo ove ekstreme rješavanjem jednadžbe. Za rješavanje koristimo blok Dano - Pronađi (slika 6.2.).

Riža. 6.2. Pronalaženje lokalnih ekstrema

Definirajmo vrstu ekstrema pervput, ispitujući promjenu predznaka derivacije u blizini pronađenih vrijednosti (slika 6.3).

Riža. 6.3. Određivanje vrste ekstrema

Iz tablice vrijednosti derivacije i iz grafa može se vidjeti da je predznak derivacije u blizini točke x 1 se mijenja iz plusa u minus, tako da funkcija u ovom trenutku doseže svoj maksimum. I to u blizini točke x 2, predznak derivacije se promijenio iz minusa u plus, tako da u ovom trenutku funkcija doseže minimum.

Definirajmo vrstu ekstrema drugiput, računajući predznak druge derivacije (slika 6.4).

Riža. 6.4. Određivanje vrste ekstremuma pomoću druge derivacije

Vidi se da u točki x 1 drugi izvod je manji od nule, dakle točka x 1 odgovara maksimumu funkcije. I to u točki x 2 drugi izvod je veći od nule, dakle točka x 2 odgovara minimumu funkcije.

8.2 Određivanje površina likova omeđenih neprekinutim crtama

Područje krivolinijskog trapeza omeđenog grafom funkcije f(x) , segment na osi Ox i dvije vertikale x = a i x = b, a < b, određuje se formulom: .

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0.

Riža. 6.5. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama f(x) = 1 - x 2 i y = 0

Područje figure zatvoreno između grafova funkcija f1(x) i f2(x) i izravna x = a i x = b, izračunava se po formuli:

Pažnja. Kako bi se izbjegle pogreške pri izračunavanju površine, razlika funkcija se mora uzeti po modulu. Dakle, područje će uvijek biti pozitivno.

Primjer. Pronalaženje površine lika omeđenog linijama i. Rješenje je prikazano na slici 6.6.

1. Gradimo graf funkcija.

2. Točke presjeka funkcija nalazimo pomoću funkcije korijena. Početne aproksimacije ćemo odrediti iz grafa.

3. Pronađene vrijednosti x zamjenjuju se u formuli kao granice integracije.

8. 3 Konstrukcija krivulja po zadanim točkama

Konstrukcija ravne koja prolazi kroz dvije zadane točke

Zapisati jednadžbu ravne koja prolazi kroz dvije točke A( x 0,y 0) i B( x 1,y 1), predlaže se sljedeći algoritam:

1. Ravna crta dana je jednadžbom y = sjekira + b,

gdje a i b su koeficijenti pravca koje trebamo pronaći.

2. Ovaj sustav je linearan. Ima dvije nepoznate varijable: a i b

Primjer. Konstrukcija ravne koja prolazi kroz točke A(-2,-4) i B(5,7).

Zamjenjujemo izravne koordinate ovih točaka u jednadžbu i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava u MathCAD-u prikazano je na slici 6.7.

Riža. 6.7 Sustavno rješenje

Kao rezultat rješavanja sustava dobivamo: a = 1.57, b= -0,857. Dakle, jednadžba ravne linije će izgledati ovako: y = 1.57x- 0,857. Konstruirajmo ovu ravnu crtu (slika 6.8).

Riža. 6.8. Izgradnja ravne linije

Konstrukcija parabole, prolazeći kroz tri zadane točke

Konstruirati parabolu koja prolazi kroz tri točke A( x 0,y 0), B( x 1,y 1) i C( x 2,y 2), algoritam je sljedeći:

1. Parabola je dana jednadžbom

y = sjekira 2 + bx + s, gdje

a, b i s su koeficijenti parabole koje trebamo pronaći.

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u ovu jednadžbu i dobivamo sustav:

.

2. Ovaj sustav je linearan. Ima tri nepoznate varijable: a, b i s. Sustav se može riješiti na matrični način.

3. Dobivene koeficijente zamjenjujemo u jednadžbu i gradimo parabolu.

Primjer. Konstrukcija parabole koja prolazi kroz točke A(-1,-4), B(1,-2) i C(3,16).

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u jednadžbu parabole i dobivamo sustav:

Rješenje ovog sustava jednadžbi u MathCAD-u prikazano je na slici 6.9.

Riža. 6.9. Rješavanje sustava jednadžbi

Kao rezultat dobivaju se koeficijenti: a = 2, b = 1, c= -5. Dobivamo jednadžbu parabole: 2 x 2 +x -5 = y. Izgradimo ovu parabolu (slika 6.10).

Riža. 6.10. Konstrukcija parabole

Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri zadane točke

Konstruirati kružnicu koja prolazi kroz tri točke A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) i C( x 3,y 3), možete koristiti sljedeći algoritam:

1. Krug je dan jednadžbom

,

gdje su x0,y0 koordinate središta kružnice;

R je polumjer kružnice.

2. Zamijenite zadane koordinate točaka u jednadžbu kružnice i dobijete sustav:

.

Ovaj sustav je nelinearan. Ima tri nepoznate varijable: x 0, y 0 i R. Sustav je riješen pomoću računalne jedinice S obzirom na to - pronaći.

Primjer. Konstrukcija kružnice koja prolazi kroz tri točke A(-2.0), B(6.0) i C(2.4).

Zadane koordinate točaka zamjenjujemo u jednadžbu kružnice i dobivamo sustav:

Rješenje sustava u MathCAD-u prikazano je na slici 6.11.

Riža. 6.11. Sustavno rješenje

Kao rezultat rješavanja sustava dobiveno je sljedeće: x 0 = 2, y 0 = 0, R = 4. Dobivene koordinate središta kružnice i polumjera zamijenimo u jednadžbu kružnice. Dobivamo: . Ekspresno odavde y i konstruirati kružnicu (slika 6.12).

Riža. 6.12. Konstrukcija kruga

Slični dokumenti

Korištenje rangiranih varijabli u programskom paketu Mathcad. Izrada matrica bez korištenja matričnih predložaka, opis operatora za rad s vektorima i matricama. Rješavanje sustava linearnih i nelinearnih jednadžbi korištenjem Mathcad funkcija.

kontrolni rad, dodano 06.03.2011


Opći prikaz MathCad prozora, izbornika alatne trake programa koji se proučava. MathCad dokument, njegove opće karakteristike i metode uređivanja. Odvajanje područja i kontekstni izbornik, izrazi. Definicija diskretnog argumenta, varijabli i konstanti.

prezentacija, dodano 29.09.2013


Pojam matematičkog modela i modeliranja. Opći podaci o MathCad sustavu. Strukturna analiza problema u MathCAD-u. Način kontinuiranih simboličkih transformacija. Optimizacija numeričkih kartica kroz simboličke pretvorbe. Proračun reakcije potpore.

seminarski rad, dodan 06.03.2014


Namjena i sastav MathCAD sustava. Glavni objekti jezika unosa i jezika implementacije. Karakteristike elemenata korisničkog sučelja, postavljanje sastava alatnih traka. Problemi linearne algebre i rješenja diferencijalnih jednadžbi u MathCAD-u.

tečaj predavanja, dodano 13.11.2010


Opći podaci o Mathcad sustavu. Prozor Mathcad programa i alatne trake. Proračun algebarskih funkcija. Interpolacija funkcija kubičnim splajnovima. Izračun kvadratnog korijena. Analiza numeričke diferencijacije i integracije.

seminarski rad, dodan 25.12.2014


Proučavanje strukture radnog dokumenta MathCad – programa dizajniranog za automatizaciju matematičkih izračuna. Rad s varijablama, funkcijama i matricama. Primjena MathCad-a za crtanje, rješavanje jednadžbi i simbolička izračunavanja.

prezentacija, dodano 07.03.2013


Pojam matematičkog modela, svojstva i klasifikacija. Karakteristike elemenata Mathcad sustava. Algoritamska analiza problema: opis matematičkog modela, grafička shema algoritma. Implementacija osnovnog modela i opis MathCAD studija.

sažetak, dodan 20.03.2014


Mathcad i njegovi osnovni pojmovi. Mogućnosti i funkcije sustava u matričnom računu. Najjednostavnije operacije s matricama. Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Vlastiti vektori. Cholesky dekompozicija. Elementarna teorija linearnih operatora.

seminarski rad, dodan 25.11.2014


Glavni elementi MathCAD sustava, pregled njegovih mogućnosti. Sučelje sustava, koncept konstrukcije dokumenta. Vrste podataka, jezik unosa u sustav. Klasifikacija standardnih funkcija. Grafičke mogućnosti MathCAD sustava. Rješenje jednadžbi sustava.

tečaj predavanja, dodano 01.03.2015


Uvod u Windows uređivače teksta. Postavljanje Microsoft Word uređivača. Izrada MS Excel dokumenta. Izrada web stranica u okruženju MS Word. Građevinski okviri. Upravljanje opcijama fonta. Ucrtavanje u matematičkom paketu MathCad.