Kako zbrajati nepravilne razlomke s različitim nazivnicima. Kako naučiti oduzimati razlomke s različitim nazivnicima

Bilješka! Prije nego što napišete konačni odgovor, provjerite možete li smanjiti razlomak koji ste dobili.

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima primjeri:

,

,

Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.

Ako je potrebno od jedinice oduzeti točan razlomak, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka čiji je nazivnik jednak nazivniku oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:

Nazivnik razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. jedinicu predstavljamo kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo prema pravilu za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.

Pravila za oduzimanje razlomaka - točno iz cijelog broja (prirodni broj):

• Zadane razlomke, koji sadrže cijeli broj, prevodimo u nepravilne. Dobivamo normalne pojmove (nije važno imaju li različite nazivnike), koje razmatramo prema gore navedenim pravilima;
• Zatim izračunavamo razliku razlomaka koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
• Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno rješavamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli broj u razlomku.

Od cijelog broja oduzmite pravi razlomak: prirodni broj predstavljamo kao mješoviti broj. Oni. uzmemo jedinicu u prirodnom broju i prevedemo je u oblik nepravilnog razlomka, nazivnik je isti kao i kod oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja razlomaka:

U primjeru smo jedinicu zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali smo mješoviti broj i od razlomka oduzeli razlomak.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.

Pravilo za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke najprije dovesti na najmanji zajednički nazivnik (LCD), a tek nakon toga oduzeti kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su nazivnici zadanih razlomaka.

Pažnja! Ako u konačnom razlomku brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak najbolje je predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nedovršeno rješenje primjera!

Postupak za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

• pronaći LCM za sve nazivnike;
• stavite dodatne množitelje za sve razlomke;
• pomnožiti sve brojnike s dodatnim faktorom;
• rezultirajuće proizvode zapisujemo u brojnik, potpisujući zajednički nazivnik pod svim razlomcima;
• oduzmi brojnike razlomaka, potpisujući zajednički nazivnik ispod razlike.

Na isti način, zbrajanje i oduzimanje razlomaka provodi se uz prisutnost slova u brojniku.

Oduzimanje razlomaka, primjeri:

Oduzimanje mješovitih razlomaka.

Na oduzimanje mješovitih razlomaka (brojeva) odvojeno, cijeli se dio oduzima od cijelog broja, a razlomak se oduzima od razlomka.

Prva opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Ako su razlomci isto nazivnici i brojnik razlomka minuenda (oduzimamo od njega) ≥ brojnik razlomkog dijela oduzetog (oduzimamo ga).

Na primjer:

Druga opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Kada su razlomci razne nazivnici. Za početak, razlomke svedemo na zajednički nazivnik, a zatim od cijelog broja oduzmemo cijeli broj, a razlomak od razlomka.

Na primjer:

Treća opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.

Primjer:

Jer razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, najprije obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.

Brojnik razlomčkog dijela minuenda manji je od brojnika razlomka oduzetog.3 < 14. Dakle, uzimamo jedinicu iz cijelog broja i dovodimo ovu jedinicu u oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.

U brojnik s desne strane upisujemo zbroj brojnika, zatim otvaramo zagrade u brojniku s desne strane, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. dobivamo:

Jedna od najvažnijih znanosti, čija se primjena može vidjeti u disciplinama poput kemije, fizike, pa čak i biologije, je matematika. Proučavanje ove znanosti omogućuje vam da razvijete neke mentalne kvalitete, poboljšate sposobnost koncentracije. Jedna od tema koje zaslužuju posebnu pozornost u kolegiju "Matematika" je zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će naš članak pomoći da bolje razumijemo ovu temu.

Kako oduzeti razlomke čiji su nazivnici isti

Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi razne radnje. Njihova razlika od cijelih brojeva leži u prisutnosti nazivnika. Zato pri izvođenju radnji s razlomcima morate proučiti neke od njihovih značajki i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka čiji su nazivnici predstavljeni kao isti broj. Neće biti teško izvesti ovu radnju ako znate jednostavno pravilo:

• Da bi se drugi oduzeo od jednog razlomka, potrebno je od brojnika reduciranog razlomka oduzeti brojnik razlomka koji se oduzima. Ovaj broj upisujemo u brojnik razlike, a nazivnik ostavljamo isti: k / m - b / m = (k-b) / m.

Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od brojnika smanjenog razlomka "7" oduzimamo brojnik oduzetog razlomka "3", dobivamo "4". Taj broj upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - "19".

Slika ispod prikazuje još nekoliko takvih primjera.

Razmotrimo složeniji primjer gdje se razlomci s istim nazivnicima oduzimaju:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od brojnika smanjenog razlomka "29" oduzimanjem zauzvrat brojnika svih sljedećih razlomaka - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat dobivamo rezultat "9", koji upisujemo u brojnik odgovora, a u nazivnik upisujemo broj koji je u nazivnicima svih ovih razlomaka - "47".

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnikom

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka provodi se po istom principu.

• Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti brojnike. Dobiveni broj je brojnik zbroja, a nazivnik ostaje isti: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pogledajmo kako to izgleda na primjeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Brojniku prvog člana razlomka - "1" - dodajemo brojnik drugog člana razlomka - "2". Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik iznosa, a nazivnik ostaje isti kao što je bio prisutan u razlomcima - "4".

Razlomci s različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje

Već smo razmatrali radnju s razlomcima koji imaju isti nazivnik. Kao što vidite, poznavajući jednostavna pravila, rješavanje takvih primjera je prilično jednostavno. Ali što ako trebate izvesti radnju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni takvim primjerima. Ali i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje također postoji pravilo, bez kojeg je rješenje takvih razlomaka jednostavno nemoguće.

Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, morate ih svesti na isti najmanji nazivnik.



Razgovarat ćemo detaljnije o tome kako to učiniti.

Svojstvo razlomka

Da biste nekoliko razlomaka sveli na isti nazivnik, trebate upotrijebiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika s istim brojem, dobivate razlomak jednak zadanom.

Tako, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su "6", "9", "12" itd., odnosno može izgledati kao bilo koji broj koji je višekratnik "3". Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik s "2", dobivamo razlomak 4/6. Nakon što brojnik i nazivnik izvornog razlomka pomnožimo s "3", dobivamo 6/9, a ako sličnu radnju izvedemo s brojem "4", dobivamo 8/12. U jednoj jednadžbi to se može zapisati kao:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako dovesti više razlomaka u isti nazivnik

Razmislite kako svesti nekoliko razlomaka na isti nazivnik. Na primjer, uzmite razlomke prikazane na donjoj slici. Prvo morate odrediti koji broj može postati nazivnik za sve njih. Da bismo to olakšali, razložimo dostupne nazivnike na faktore.

Nazivnik razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne može se rastaviti na faktore. Nazivnik 7/9 ima dva faktora 7/9 = 7/(3 x 3), nazivnik razlomka 5/6 = 5/(2 x 3). Sada morate odrediti koji će faktori biti najmanji za sva ta četiri razlomka. Budući da prvi razlomak u nazivniku ima broj “2”, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima, u razlomku 7/9 nalaze se dvije trojke, što znači da i one moraju biti prisutne u nazivniku. S obzirom na navedeno utvrđujemo da se nazivnik sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i da je jednak 3 x 2 x 3 = 18.



Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. Njegov nazivnik sadrži "2", ali ne postoji niti jedno "3", ali bi trebala biti dva. Da bismo to učinili, nazivnik pomnožimo s dvije trojke, ali, prema svojstvu razlomka, moramo brojnik pomnožiti s dvije trojke:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Slično, izvodimo radnje s preostalim razlomcima.

• 2/3 - jedna tri i jedna dva nedostaju u nazivniku:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ili 7 / (3 x 3) - nazivniku nedostaje dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ili 5/(2 x 3) - nazivniku nedostaje trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sve skupa izgleda ovako:



Kako oduzimati i zbrajati razlomke s različitim nazivnicima

Kao što je gore spomenuto, da bi se zbrajali ili oduzimali razlomci s različitim nazivnicima, moraju se svesti na isti nazivnik, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom, koja su već opisana.

Razmotrite to na primjeru: 4/18 - 3/15.

Pronalaženje višekratnika 18 i 15:

• Broj 18 sastoji se od 3 x 2 x 3.
• Broj 15 sastoji se od 5 x 3.
• Zajednički višekratnik sastojat će se od sljedećih faktora 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nakon što je nazivnik pronađen, potrebno je izračunati faktor koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik. Da bismo to učinili, broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) podijelimo s nazivnikom razlomka za koji treba odrediti dodatne faktore.

• 90 podijeljen s 15. Rezultirajući broj "6" bit će množitelj za 3/15.
• 90 podijeljeno s 18. Rezultirajući broj "5" bit će množitelj za 4/18.

Sljedeći korak u našem rješenju je dovesti svaki razlomak do nazivnika "90".

Već smo razgovarali o tome kako se to radi. Pogledajmo kako je to napisano na primjeru:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ako su razlomci s malim brojevima, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na donjoj slici.



Slično proizvedeni i imaju različite nazivnike.

Oduzimanje i cjelobrojne dijelove

Oduzimanje razlomaka i njihovo zbrajanje, već smo detaljno analizirali. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cijeli broj? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:

• Pretvorite sve razlomke koji imaju cijeli broj u nepravilne. Jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, broj cjelobrojnog dijela množi se nazivnikom razlomka, a dobiveni proizvod se dodaje brojniku. Broj koji će se dobiti nakon ovih radnji je brojnik nepravilnog razlomka. Nazivnik ostaje nepromijenjen.
• Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na iste.
• Izvedite zbrajanje ili oduzimanje s istim nazivnicima.
• Kada dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio.



Postoji još jedan način na koji možete zbrajati i oduzimati razlomke s cijelim dijelovima. Za to se radnje izvode zasebno s cijelim dijelovima, a zasebno s razlomcima, a rezultati se zajedno bilježe.



Gornji primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju kada su nazivnici različiti, potrebno ih je svesti na iste, a zatim slijediti korake prikazane u primjeru.

Oduzimanje razlomaka od cijelog broja

Još jedna od varijanti radnji s razlomcima je slučaj kada se razlomak mora oduzeti od Na prvi pogled takav se primjer čini teško rješivim. Međutim, ovdje je sve prilično jednostavno. Da bismo ga riješili, potrebno je pretvoriti cijeli broj u razlomak, i to s takvim nazivnikom, koji se nalazi u razlomku koji treba oduzeti. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju s istim nazivnicima. Na primjer, to izgleda ovako:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Oduzimanje razlomaka dano u ovom članku (6. razred) osnova je za rješavanje složenijih primjera, koji se razmatraju u sljedećim razredima. Poznavanje ove teme kasnije se koristi za rješavanje funkcija, derivacija i tako dalje. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti radnje s razlomcima o kojima smo gore govorili.

S razlomcima možete izvoditi razne radnje, na primjer, zbrajanje razlomaka. Zbrajanje razlomaka može se podijeliti na nekoliko vrsta. Svaka vrsta zbrajanja razlomaka ima svoja pravila i algoritam radnji. Pogledajmo pobliže svaku vrstu dodatka.

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Na primjer, pogledajmo kako zbrajati razlomke sa zajedničkim nazivnikom.

Planinari su išli na pješačenje od točke A do točke E. Prvi dan su hodali od točke A do B, odnosno \(\frac(1)(5)\) cijelim putem. Drugog dana išli su od točke B do D ili \(\frac(2)(5)\) cijelim putem. Koliko su putovali od početka putovanja do točke D?

Da biste pronašli udaljenost od točke A do točke D, dodajte razlomke \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).

Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima je da trebate zbrojiti brojnike tih razlomaka, a nazivnik će ostati isti.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

U doslovnom obliku, zbroj razlomaka s istim nazivnicima izgledat će ovako:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Odgovor: turisti su putovali \(\frac(3)(5)\) cijelim putem.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Razmotrimo primjer:

Dodajte dva razlomka \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).

Da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo morate pronaći, a zatim upotrijebite pravilo za zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Za nazivnike 4 i 7 zajednički nazivnik je 28. Prvi razlomak \(\frac(3)(4)\) mora se pomnožiti sa 7. Drugi razlomak \(\frac(2)(7)\) mora biti pomnoženo sa 4.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ puta \boja(crvena) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

U doslovnom obliku, dobivamo sljedeću formulu:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \puta d + c \puts b)(b \puts d)\)

Zbrajanje mješovitih brojeva ili mješovitih razlomaka.

Zbrajanje se događa prema zakonu zbrajanja.

Za mješovite razlomke dodajte cijele dijelove cijelim dijelovima, a razlomke razlomcima.

Ako razlomci mješovitih brojeva imaju iste nazivnike, onda zbrojite brojnike, a nazivnik ostaje isti.

Dodajte mješovite brojeve \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(crvena) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( plava) (\frac(6)(11)) + \color(plava) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)

Ako razlomci mješovitih brojeva imaju različite nazivnike, tada nalazimo zajednički nazivnik.

Zbrojimo mješovite brojeve \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).

Nazivnik je drugačiji, pa morate pronaći zajednički nazivnik, jednak je 24. Pomnožite prvi razlomak \(7\frac(1)(8)\) s dodatnim faktorom 3, a drugi razlomak \( 2\frac(1)(6)\) na 4.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \puta \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Povezana pitanja:
Kako zbrajati razlomke?
Odgovor: prvo morate odlučiti kojoj vrsti izraz pripada: razlomci imaju iste nazivnike, različite nazivnike ili mješovite razlomke. Ovisno o vrsti izraza, prelazimo na algoritam rješenja.

Kako riješiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: trebate pronaći zajednički nazivnik, a zatim slijediti pravilo zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima.

Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: Zbrojite cijele dijelove cijelim dijelovima, a razlomke razlomcima.

Primjer #1:
Može li zbroj dva rezultirati pravim razlomkom? Pogrešan razlomak? Navedite primjere.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

Razlomak \(\frac(5)(7)\) je pravi razlomak, rezultat je zbroja dvaju pravih razlomaka \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \puts 9 + 8 \times 5)(5 \puts 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

Razlomak \(\frac(58)(45)\) je nepravilan razlomak, rezultat je zbroja pravih razlomaka \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).

Odgovor: Odgovor je potvrdan na oba pitanja.

Primjer #2:
Zbrojite razlomke: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \puta \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

Primjer #3:
Zapišite mješoviti razlomak kao zbroj prirodnog broja i pravilnog razlomka: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

Primjer #4:
Izračunajte zbroj: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \puts 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

Zadatak #1:
Za večerom su jeli \(\frac(8)(11)\) kolača, a navečer za večerom su jeli \(\frac(3)(11)\). Mislite li da je torta potpuno pojedena ili nije?

Riješenje:
Nazivnik razlomka je 11, označava na koliko je dijelova podijeljen kolač. Za ručak smo pojeli 8 komada torte od 11. Na večeri smo pojeli 3 komada torte od 11. Dodajmo 8 + 3 = 11, pojeli smo komade torte od 11, odnosno cijelu tortu.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Odgovor: Pojeli su cijelu tortu.

Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito se vrijednost razlomka nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnoži brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenila.

Isti obrazac se opaža i u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat $\frac(60)(30)$), ili s 3 (rezultat $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.

Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnoži s 2, dobivamo $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. A zapravo, ako podijelite tortu na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete istu količinu pite u oba slučaja. Stoga su brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ identični. Formulirajmo opće pravilo.

Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.

Ovo pravilo je vrlo korisno. Na primjer, omogućuje u nekim slučajevima, ali ne uvijek, izbjegavanje operacija s velikim brojevima.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ možemo podijeliti sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je mnogo lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.

U ovom primjeru smo se prvi put susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i njegova vrijednost se neće promijeniti. To jest, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, ne moramo dijeliti brojeve s , budući da se svaki cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom od 1.

S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, možete izvesti iste aritmetičke operacije kao i sa svim drugim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Možete pitati koja je svrha predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod trake, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. No činjenica je da nam predstava cijelog broja kao razlomka daje mogućnost učinkovitijeg izvođenja različitih radnji kada imamo posla i s cijelim i s razlomkom u isto vrijeme. Na primjer, naučiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo dodati $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, trebamo naučiti kako razlomke dovesti u takav oblik kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju opet nam je potrebna činjenica da brojnik i nazivnik razlomka možete pomnožiti s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.

Prvo, pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Dakle, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.

Moramo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve pojmove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada moramo sve razlomke dovesti u zajednički nazivnik, za to pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat, dobivamo $\frac(36) (12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravilan razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog broja i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)(12)$.

Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučili, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1:3 se može napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.

Budući da i dijeljenje negativnog broja pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba slučaja dobit ćemo odgovor u obliku negativnog broja. To je

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada je napisan na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak u cjelini, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.

S druge strane, (-1) : (-3) može se zapisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da dijeljenje negativnog broja negativnim brojem daje pozitivan broj, tada je $\frac (-1 )(-3)$ može se napisati kao $+\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje negativnih razlomaka provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, što je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Smanjimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ili $-\frac(1)(3)$.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima
Koncept NOO-a
Dovođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako zbrajati cijeli broj i razlomak

1 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti istim, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostavite istim, na primjer:

Da biste dodali miješane razlomke, morate zasebno dodati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako se zbrajanjem razlomaka dobije nepravilan razlomak, iz njega odaberemo cijeli broj i dodamo ga cijelobrojnom dijelu, na primjer:

2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Da biste zbrajali ili oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do istog nazivnika, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog od razlomaka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a s nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo što je LCM.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva (LCM) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s oba ova broja bez ostatka. Ponekad se LCM može pronaći usmeno, ali češće, posebno kada radite s velikim brojevima, morate pronaći LCM u pisanom obliku, koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:

1. Rastavite ove brojeve na proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
3. Odaberite u drugim proširenjima brojeve koji se ne pojavljuju u najvećem proširenju (ili se u njemu pojavljuju manji broj puta) i dodajte ih u proizvod.
4. Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se na zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM-u oba nazivnika, moramo brojnike tih razlomaka pomnožiti s dodatni množitelji. Možete ih pronaći tako da LCM podijelite s nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste razlomke doveli do jednog pokazatelja, prvo morate pronaći LCM (to jest, najmanji broj koji je djeljiv s oba nazivnika) nazivnika tih razlomaka, a zatim staviti dodatne faktore na brojnike razlomaka. Možete ih pronaći tako da zajednički nazivnik (LCD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojnik svakog razlomka s dodatnim faktorom i staviti LCM kao nazivnik.

5Kako zbrajati cijeli broj i razlomak

Da biste zbrojili cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj ispred razlomka i dobit ćete npr. mješoviti razlomak.