Zadaci za dijeljenje običnih razlomaka. Podjela običnih razlomaka

NA posljednji put naučili smo zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak razmislite najjednostavniji slučaj kad su dva pozitivni razlomci bez namjenskog cjelobrojnog dijela.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se točno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako je prisutan u razlomcima cijeli dio, moraju se pretvoriti u netočne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:

Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori i stoga se mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Pogreška nastaje zbog činjenice da se prilikom zbrajanja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da je u ovom svojstvu pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Prava odluka:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Tema: Divizija obični razlomci.

Cilj: naučiti dijeljenje običnih razlomaka, ponoviti i učvrstiti pravila množenja običnih razlomaka i pojam međusobno recipročnih brojeva.

Vrsta lekcije: stjecanje novih znanja.

Oprema: ploca, interaktivna oprema, kartice s pravilima i testnim zadacima.

Plan učenja:

Ažuriranje znanja.

1). Organiziranje vremena

2). Frontalna anketa

Formiranje novih znanja.

jedan). Izjava o problemu.

2). Potražite rješenje problema.

3).Izrada algoritma za dijeljenje razlomaka.

četiri). Fizkultminutka.

jedan). Rješenje primjera dijeljenja br. 596

2). Učini sam rješenje testovi.

3). Odraz.

četiri). Domaća zadaća.

Tijekom nastave:

Ažuriranje znanja.

Bok dečki! Danas ću započeti našu lekciju sljedećim riječima:

Potrebne su različite frakcije

Važne su različite frakcije

Moramo naučiti razlomke!

Već znamo kakvi su obični razlomci po izgledu: točni i netočni, sa i bez cjelobrojnog dijela. S tim razlomcima znamo izvesti neke radnje. Molimo navedite ove aktivnosti.

Što još možemo učiniti?

Odgovor učenika: Nađi međusobno inverzne razlomke.

Što još niste naučili raditi?

Učenik odgovara: Podijeli obične razlomke.

Dakle, ostaje nam da proučavamo samo dijeljenje kako bismo mogli izvoditi sve aritmetičke operacije s običnim razlomcima.

Predlažem da krenete na "Putovanje u planine". Da bismo osvojili vrh, moramo prijeći dug put i riješiti nekoliko problema. Idemo na put. Dakle, počnimo.

Koji je od dva razlomka veći?

Imenujte razlomak veći od 2 i manji od 3.

Imenujte jednake razlomke.

Imenujte broj koji nema inverz. (0).

Imenujte broj recipročan samom sebi. (jedan).

Imenuj razlomak jednak 4.

Od predloženih brojeva odaberite par međusobno inverznih. (.

Čemu je jednak rad? (jedan)

Površina pravokutnika je m2. Duljina jedne strane Nađite duljinu druge strane? (ne znamo).

Ovdje ćemo našu današnju lekciju posvetiti proučavanju dijeljenja razlomaka. Formulirajmo i zapišimo temu lekcije:

Učenik odgovara: "Dijeljenje običnih razlomaka."

Formiranje novih znanja.

Da bismo prevladali ovu poteškoću koja se pojavila na našem putu, potrebno je pronaći način dijeljenja običnih razlomaka. Kakvi će biti prijedlozi? (Poslušajte odgovore učenika ispravna odluka nije pronađeno, pogledajte tutorial).

Pokušajmo pronaći odgovor na ovo pitanje u udžbeniku. Otvorite udžbenike na str.97 str.17 i tamo pronađite pravilo za dijeljenje razlomaka, pročitajte ga. (Djeca otvaraju udžbenike i čitaju pravilo dijeljenja običnih razlomaka).

Zapišimo to u bilježnicu.

PRAVILO: Da biste podijelili jedan razlomak s drugim, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja!

Primjer: .

Napravite podjelu.

(Teškoće i traženje rješenja od strane učenika, učitelj sluša prijedlog rješenja ovog zadatka).

Podijelite .

Odlučite kako ćete podijeliti mješoviti brojevi. Popunite praznine na karticama riječima koje nedostaju. Karte su na vašim stolovima.

KARTICA:

Fizkultminutka.

Predlažem da napravite pauzu. Ostavite sve svoje stvari na stranu, ustanite i protegnite se, udahnite čisti planinski zrak. Onda ćemo se malo igrati. Pročitat ću izjave, a ako su istinite, onda plješćite rukama, a ako ne, onda gazite nogama. Tako ćemo se zagrijati i potom nastaviti put do vrha planine.

A) je pravi razlomak.

B) je nesvodljiv razlomak.

C) nije pravi razlomak.

D) je nesvodljivi razlomak.

D) je pravi razlomak.

E) je reducirani razlomak.

Pa, sad uzmi svoje stvari i nastavi penjati se.

Formiranje vještina i sposobnosti.

Odlučit ćemo na odboru broj 596 a); e); i); l); m).

Posljednji Završna faza za prevladavanje vrha predlažem da to učinite sami.

TEST (Nakon dovršenog dijeljenja odaberite i zaokružite točan odgovor).

Vrsta lekcije: lekcija u otkrivanju novih znanja

Ciljevi učitelja: uvesti dijeljenje razlomka razlomkom; stvoriti uvjete za razvoj vještina korištenja pravila množenja razlomka s razlomkom i smanjenja razlomaka u praksi.

Predmet: izvesti pravilo za dijeljenje razlomka razlomkom; izvršiti dijeljenje običnih razlomaka; riješiti zadatke za pronalaženje S i a po formuli za površinu pravokutnika, volumen.

Osobno: pokazuju pozitivan stav prema nastavi matematike, širok interes za novo gradivo za učenje, načini rješavanja novih ciljevi učenja, dobronamjeran odnos prema vršnjacima; adekvatno percipirati ocjenu nastavnika; razumjeti razloge uspjeha u obrazovnim aktivnostima.

metasubjekt:

regulacijski: odrediti cilj odgojno-obrazovne aktivnosti uz pomoć učitelja i samostalno tražiti način za njegovo postizanje;
kognitivni: sposoban prenijeti sadržaj u komprimiranom ili proširenom obliku;
komunikativna: izražavaju svoje stajalište i pokušavaju ga potkrijepiti, dajući argumente.

Oprema: multimedijski projektor, prezentacija.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak. Motivacija za aktivnosti učenja - 1min

Želim započeti lekciju pitanjem za vas. Što mislite da je najvrjednija stvar na svijetu? (Slušaju se odgovori djece). Ovo pitanje muči čovječanstvo tisućama godina. Evo odgovora poznatog znanstvenika Al-Birunija: “Znanje je najizvrsniji posjed. Svi teže tome, ali ne dolazi samo od sebe.” Neka ove riječi budu moto naše lekcije.

2. Provjera spremnosti učenika za nastavu

3. Pokazatelj ispunjenosti psihološkog zadatka učenika: prijateljski stav, brzo uključivanje razreda u poslovni ritam.

II. Praktične aktivnosti učenici - 5 min

Brzo brojanje - 1 min (obavezni dio)

Usmeno brojanje - 4 min

1. Smanjite razlomke: ,, , ,

2. Poduzmite mjere:

III. Faza pripreme učenika za aktivno svjesno usvajanje znanja-7min

Frontalno ispitivanje učenika na obrađeno gradivo, međusobno inverzni brojevi

Što su recipročni brojevi?

Dva broja čiji je umnožak jednak jedan nazivaju se recipročni.

Kolika je recipročna vrijednost prirodnog broja?

Razlomak je brojnik, koji je \u003d 1, a nazivnik je sam prirodni broj (P = 1 / n)

Kolika je recipročna vrijednost običnog razlomka?

Zamijenite brojnik i nazivnik a/b i b/a

Ima li svaki broj inverz?

Ne? Nula nema inverz, jer se ne može podijeliti s nulom!

- Može li umnožak dviju recipročnih vrijednosti biti veći od jedan?

Zašto? Možete li mi ljubazno odgovoriti na ovo pitanje?

Da! Dva broja čiji je umnožak jednak jedan nazivaju se recipročni.

Imenujte recipročne vrijednosti sljedećih brojeva:

Odgovor: ;;; jedan;

2) Otvorite svoje bilježnice. Zapišite datum i ostavite mjesta za temu. A sada vam predlažem da riješite sljedeće jednadžbe. Ići raditi u parovima. Radom u paru, odgovor se prihvaća, tek nakon što se par složi i par dođe do konsenzusa. Tek kada par bude spreman odgovoriti, prihvatit ću vaš odgovor: (Znak spremnosti para su podignute ruke spojene zajedno)

1) 3 * x \u003d 12,6 Odgovor: x \u003d 4,2

2) X * 0,5 \u003d 2 Odgovor: x \u003d 4

3) * x \u003d 2 odgovor: x \u003d 4

Poteškoće su se pojavile u rješavanju treće jednadžbe? Kako ste se nosili s njima?

Pretvorio obični razlomak u decimalu i dobio jednadžbu pod brojem 2

Ostaje riješiti jednadžbu pod brojem 4. Pronađite korijen ove jednadžbe.

Odgovor korijena jednadžbe je x=5

Koja su ti znanja pomogla da se odlučiš?

Umnožak recipročnih brojeva=1. Sjetili smo se da je to pravilo recipročnih brojeva.

Razmotrimo sljedeću jednadžbu i riješimo je: *x=

a) Novo znanje (pojam) (koriste dobro poznatu metodu za pronalaženje nepoznatog faktora, ali za radnje s običnim razlomcima)

b) suđenje (pokušava odlučiti)

Što je nepoznanica u ovoj jednadžbi?

nepoznati množitelj. Da biste pronašli nepoznati faktor, trebate proizvod podijeliti s poznatim faktorom

Rad na dobro poznato pravilo X=2/7:1/3

c) popravljanje poteškoća

Možete li riješiti ovu jednadžbu?

Ne mogu izvršiti ovaj zadatak jer nemamo pravilo za rješavanje ove jednadžbe.

Koja je vaša poteškoća? Uspješno ste riješili sve prethodne jednadžbe! I to....

Zar ne možemo pronaći korijen jednadžbe?

d) uzrok poteškoća

Što je zaustavilo naš rad?

Obične razlomke ne znamo podijeliti

e) formuliranje svrhe aktivnosti

Pojavio se problem: ne znamo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka

Problemska situacija koja nas dovodi do cilja naše lekcije

Cilj lekcije: Pravilo dijeljenja običnih razlomaka

IV. Faza usvajanja novog znanja - 10 minuta (fiksacija novog znanja)

Zapiši temu lekcije: Dijeljenje običnih razlomaka

Možete li predložiti način rješavanja našeg problema? (postavljanje ciljeva)

Učenici nude razne opcije odgovori.

Otvorite udžbenik na stranici 97, pročitajte pravilo za dijeljenje razlomaka u udžbeniku. Pročitajte i tekst na str. 98 pod naslovom “Govorite na pravi način”.

Učenici prve opcije govore ovo pravilo učenicima druge opcije.

Sada riješimo posljednju jednadžbu. Tko je to odlučio?

1) Kako ste riješili jednadžbu? Primijenite pravilo za dijeljenje razlomaka.

2) Kojom je radnjom zamijenjena podjela?

3) Što se promijenilo? Što se nije promijenilo?

4) 1/3 i 3. Kako se zovu ti brojevi?

Formulirajte pravilo za dijeljenje običnih razlomaka.

Da biste obični razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu s recipročnim djeliteljem

Fizminutka

V. Faza konsolidacije novih znanja - 9 minuta

P.98 Riješi br. 596(a-e)

c) 7/5=1 2/5,

e) 15/9=1 2/3

Rješenje se prezentira na ploči izgovaranjem pravila s punim komentarima u rješenju.Nakon obavljenog rada nastavnik ih zaustavlja u rješavanju i nudi odgovor na pitanje.

Može li podjela biti opasna? ili zamke?

Ne možete podijeliti s nulom!

Rad na zadatku. P.98 br. 600

Odgovor: kg - težina 1 dm 3; 2 dm 3 - volumen 1 kg borove šipke

Radili ste na našem otkriću "Pravilo dijeljenja običnih razlomaka". U svom radu susreli ste se ne samo s običnim razlomcima, već i sa prirodni brojevi, miješane frakcije. I uspjeli ste. Koji je tvoj uspjeh?

Budući da svi brojevi osim nule imaju recipročne vrijednosti.Ovo je pravilo prikladno i za rješavanje prirodnih i mješovitih razlomaka.

VI. Faza provjere novog znanja - 6 minuta

Predlažem da riješite samostalni rad, prema metodi dijeljenja običnih razlomaka koju smo pronašli:

Otvorite svoje dnevnike i zapišite domaću zadaću: str. 17 (str. 99-100) naučite pravilo. br. 633 (a-e), br. 637 (str. 105). Otvorite knjige na ovoj stranici i pogledajte zadatak. Tko ne razumije što? Ako imate pitanja, pitajte ili se možete obratiti učitelju na odmoru.

VIII Faza razmišljanja i rezultat sata - 1 minuta

Što smo novo naučili na lekciji?

Pronašli smo način dijeljenja običnih razlomaka.

Je li cilj naše lekcije postignut?

Da. Našli smo način da sami riješimo svoj problem i naše otkriće je potvrđeno.

Formulirajte otkriće zajedno (složno izgovorite pravilo)

Da biste obični razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja.

U davna vremena u Rusiji su govorili: Množenje je muka, a dijeljenje nevolja.” A danas smo cijelom satom dokazivali suprotno. Podigni ruku ako se slažeš sa mnom. Hvala na lekciji!

Korištena nastavna i metodička literatura.

Matematika.6 razred: udžbenik za opće obrazovanje. institucije / N.Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartsburd. Moskva: Mnemosyne, 2012.
Razvoj lekcija matematika. 6. razred-Vygovskaya V.V.-M: VAKO, 2014
Web stranica izdavačke kuće "Prvi rujan"

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim te ne gledaj zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz s desne strane):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Bilješka praktični savjeti, a njih (greške) će biti manje!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! Nije uobičajene riječi, ne dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.

2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - prijeđite na obične razlomke.

3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.

4. Višekatnica frakcijski izrazi svodimo na obične pomoću dijeljenja kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Ali samo nakon pogledaj odgovore.

Izračunati:

Jeste li se odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Posebno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Može više ozbiljne stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.