Jedna od glavnih karakteristika u algebri, ai u cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. stoljeću svi se izračuni mogu izvesti na online kalkulatoru, ali bolje je naučiti kako to učiniti sami za razvoj mozga.

U ovom članku ćemo pogledati najviše važna pitanja u vezi s ovom definicijom. Naime, razumjet ćemo što je to uopće i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda izračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i po čemu se razlikuju od ostalih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti različite probleme koristeći ovu vrijednost. Na primjerima ćemo pokazati kako podići na nulti stupanj, iracionalan, negativan itd.

Online eksponencijalni kalkulator

Koliki je stupanj broja

Što se podrazumijeva pod izrazom "podignuti broj na stepen"?

Stupanj n broja a je umnožak faktora veličine a n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tablica kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tablica stupnjeva od 1 do 10

U nastavku su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne potencije - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva stupnja

Što je tipično za takve matematička funkcija? Pogledajmo osnovna svojstva.

Znanstvenici su ustanovili sljedeće znakovi karakteristični za sve stupnjeve:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Provjerimo primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Što ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcioniraju.

Ali kako biti sa zbrajanjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se izvodi eksponencijacija, a tek onda zbrajanje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje radnje u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvesti računanje u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja, dijeljenja;
• nakon zbrajanja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stupnjeve:

1. Korijen n-tog stupnja od broja a do stupnja m zapisuje se kao: a m / n .
2. Prilikom podizanja razlomka na stepen: i brojnik i njegov nazivnik podliježu ovom postupku.
3. Prilikom građenja djela različiti brojevi na stepen, izraz će odgovarati umnošku tih brojeva na zadanu potenciju. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, trebate podijeliti 1 brojem u istom koraku, ali sa znakom "+".
5. Ako je nazivnik razlomka u negativnom stepenu, tada će ovaj izraz biti jednak umnošku brojnika i nazivnika u pozitivnom stepenu.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u pojedinačni slučajevi, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stupanj s negativnim eksponentom

Što učiniti s negativnim stupnjem, odnosno kada je pokazatelj negativan?

Na temelju svojstava 4 i 5(vidi točku iznad) ispada:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Što ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stupanj s prirodnim pokazateljem

Razumije se kao stupanj s eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... tada će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj podigne na ne čak i stupanj, zatim obrnuto.

Opća svojstva i sve gore opisane specifične značajke također su karakteristične za njih.

Razlomački stupanj

Ovaj pogled se može zapisati kao shema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stupnja broja A na stepen m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, rastaviti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome s takvim pokazateljem, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uvjetima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - bit će jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, zatim (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Ukratko - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičarima i programerima pri rješavanju primjera, jer omogućuju minimiziranje izračuna, reduciranje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

U okviru ovog materijala analizirat ćemo što je stepen broja. Uz osnovne definicije, formulirati ćemo što su stupnjevi s prirodnim, cjelobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrirani primjerima zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo formuliramo osnovna definicija stupnja s prirodnim pokazateljem. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed razjasnimo to ćemo za sada uzeti kao osnovu pravi broj(označeno slovom a), a kao pokazatelj - prirodno (označeno slovom n).

Definicija 1

Potencija a s prirodnim eksponentom n umnožak je n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule, njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je stupanj prikladan zapis veliki broj jednaki množitelji. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se svesti na 8 4 . Na isti način, rad nam pomaže izbjeći pisanje veliki broj pojmovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; to smo već analizirali u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako ispravno pročitati zapisnik o diplomi? Općeprihvaćena opcija je "a na stepen n". Ili možete reći "n-ti stepen a" ili "n-ti stepen". Ako, recimo, u primjeru postoji unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stupanj broja imaju svoje uvriježene nazive: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broja 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stupanj se čita ovako: 5 3 je "kocka broja 5" ili "5 kockica". Međutim, također je moguće koristiti standardni izraz "u drugom / trećem stupnju", to neće biti pogreška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer diplome s prirodnim pokazateljem: for 5 7 pet će biti baza, a sedam će biti indikator.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stupanj (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent devet. Obratite pozornost na zagrade: takav je zapis napravljen za sve stupnjeve čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Čemu služe zagrade? Oni pomažu u izbjegavanju pogrešaka u izračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 i − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva, podignut na stepen s prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotno mišljenje stupnjeva 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji pravopis stupnja broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Dakle 4^9 je isto kao 4 9 . U slučaju da je n višeznamenkasti broj, uzima se u zagradi. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Kako izračunati vrijednost stupnja s prirodnim eksponentom lako je pogoditi iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n -ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stupnja je suprotan drugom matematički koncept- korijen broja. Ako znamo vrijednost eksponenta i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stupanj ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema koje smo analizirali u zasebnom materijalu.

Eksponenti mogu sadržavati ne samo prirodne brojeve, već općenito bilo koje cjelobrojne vrijednosti, uključujući negativne one i nule, jer također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Stupanj broja s pozitivnim cijelim eksponentom može se prikazati kao formula: .

Štoviše, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Pozabavimo se konceptom nultog stupnja. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo kvocijenta za potencije s jednake osnove. Formulira se ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uvjetima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Posljednji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje s nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, dobit ćemo sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 - kvocijent jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulti stupanj bilo kojeg broja različitog od nule jednak jedan.

Međutim, takav dokaz nije prikladan za nulu na nultu snagu. Da bismo to učinili, trebamo još jedno svojstvo potencija - svojstvo proizvoda potencija s jednakim bazama. izgleda ovako: a m a n = a m + n .

Ako je n 0, onda a m a 0 = a m(ova jednakost nam također dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m 0 0 = 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije važno koja je točno vrijednost stupnja 0 0 , odnosno može biti jednak bilo kojem broju, a to neće utjecati na valjanost jednakosti. Dakle, zapis obrasca 0 0 nema nikakvo posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stupnja (a m) n = a m n pod uvjetom da baza stupnja nije jednaka nuli. Dakle, stupanj bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednak je jedan.

Primjer 2

Uzmimo primjer sa konkretni brojevi: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefiniran.

Nakon nultog stupnja, ostaje nam odgonetnuti što je negativan stupanj. Da bismo to učinili, trebamo isto svojstvo umnoška potencija s jednakim bazama, koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Uvodimo uvjet: m = − n , tada a ne smije biti jednako nuli. Iz toga slijedi a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da a n i a-n imamo međusobno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativan cijeli broj nije ništa drugo nego razlomak 1 a n .

Ova formulacija potvrđuje da za stupanj s cijelim brojem negativan pokazatelj vrijede sva ista svojstva koja ima stupanj s prirodnim eksponentom (pod uvjetom da baza nije jednaka nuli).

Primjer 3

Potencija a s negativnim cijelim brojem n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n pod uvjetom a ≠ 0 a n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U posljednjem dijelu odlomka pokušat ćemo sve što je rečeno jasno opisati u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija a s prirodnim eksponentom z je: a z = a z , e c i z je pozitivan cijeli broj 1 , z = 0 i a ≠ 0 , (ako je z = 0 i a = 0 dobivamo 0 0 , vrijednosti izraz 0 0 nisu određen)   1 a z , ako je z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobivamo 0 z , to je n d e n t i o n )

Što su stupnjevi s racionalnim eksponentom

Analizirali smo slučajeve kada je eksponent cijeli broj. Međutim, također možete podići broj na stepen kada je njegov eksponent razlomak. To se zove stupanj racionalni pokazatelj. U ovom pododjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i ostali potenci.

Što su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele brojeve i frakcijski brojevi, dok se razlomci mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formuliramo definiciju stupnja broja a s razlomkom eksponenta m / n, gdje je n prirodni broj, a m cijeli broj.

Imamo neki stupanj s razlomnim eksponentom a m n . Da bi svojstvo moći vrijedilo u stupnju, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti istinita.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m , možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za dane vrijednosti m , n i a .

Gornja svojstva stupnja s cjelobrojnim eksponentom bit će istinita pod uvjetom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg razmišljanja je sljedeći: stupanj nekog broja a s razlomnim eksponentom m / n korijen je n-tog stupnja od broja a do stepena m. To je točno ako, za dane vrijednosti m, n i a, izraz a m n ima smisla.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stupnja: uzmimo a, koji će za pozitivne vrijednosti m biti veći ili jednak 0, a za negativne vrijednosti će biti strogo manji (budući da za m ≤ 0 dobivamo 0 m, ali taj stupanj nije definiran). U ovom slučaju, definicija stupnja s frakcijskim eksponentom izgledat će ovako:

Razlomak eksponenta m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen od a podignut na m stepen. U obliku formule to se može predstaviti na sljedeći način:

Za stupanj s nultom bazom, ova je odredba također prikladna, ali samo ako je njegov eksponent pozitivan broj.

Potencija s bazom nula i pozitivnim frakcijskim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uvjetom pozitivnog cijelog broja m i prirodnog n .

S negativnim omjerom m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Napomenimo jednu točku. Budući da smo uveli uvjet da je a veće ili jednako nuli, neke smo slučajeve odbacili.

Izraz a m n ponekad još uvijek ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke negativne vrijednosti m. Dakle, unosi su točni (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je odvojeno razmatranje korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim trebamo uvesti još jedan uvjet: stupanj a, u čijem eksponentu je reducibilni obični razlomak, smatra se stupnjem a u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti izračune.

Ako je n neparan broj i m je pozitivan, a a bilo koji nenegativan broj, tada m n ima smisla. Uvjet za nenegativno a je nužan, budući da se korijen parnog stupnja ne izdvaja iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Iz bilo kojeg realnog broja može se uzeti neparni korijen.

Kombinirajmo sve podatke iznad definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesmanjivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični reduciran razlomak m · k n · k, stupanj se može zamijeniti s a m n .

Potencija a s nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n - može se izraziti kao m n u sljedećim slučajevima:- za bilo koji realni a, cijeli broj pozitivne vrijednosti m i neparni pozitivni cijeli brojevi n . Primjer: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Za bilo koju realnu a različitu od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Za bilo koje nenegativne a , pozitivne cjelobrojne vrijednosti m i čak n , na primjer, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Za bilo koji pozitivan a , negativan cijeli broj m pa čak i n , na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

U slučaju drugih vrijednosti, stupanj s razlomkom eksponenta nije određen. Primjeri takvih potencija: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Sada objasnimo važnost gore spomenutog uvjeta: zašto razlomak zamijeniti svodljivim eksponentom za razlomak nesvodljivim. Da to ne bismo učinili, onda bi takve situacije ispale, recimo, 6 / 10 = 3 / 5. Tada bi (- 1) 6 10 = - 1 3 5 trebalo biti točno, ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definiciju stupnja s razlomnim eksponentom, koju smo dali prvi, praktičnije je primijeniti u praksi nego drugi, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a s razlomkom eksponenta m / n definirana je kao 0 m n = 0 m n = 0 . U slučaju negativnog a oznaka a m n nema smisla. Stupanj nule za pozitivne frakcijske eksponente m/n definira se kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcijske eksponente ne definiramo stupanj nule.

U zaključcima napominjemo da se svaki frakcijski pokazatelj može napisati kao u obrascu mješoviti broj, a u obliku decimalnog razlomka: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Prilikom izračunavanja, bolje je zamijeniti eksponent obični razlomak a zatim upotrijebite definiciju stupnja s razlomkom eksponenta. Za gornje primjere dobivamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Što su stupnjevi s iracionalnim i realnim eksponentom

Što su stvarni brojevi? Oni uključuju i racionalne i iracionalni brojevi. Stoga, da bismo razumjeli što diploma s stvarni pokazatelj, moramo definirati stupnjeve s racionalnim i iracionalnim eksponentima. O racionalnom smo već spomenuli gore. Pozabavimo se iracionalnim pokazateljima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1 , 67175331 . . . , onda

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati s nizom potencija a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se prisjetimo onoga o čemu smo ranije govorili o podizanju brojeva na racionalni stupanj, tada možemo sami izračunati vrijednosti tih snaga.

Uzmimo za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . itd.

Niz stupnjeva se može svesti na broj, koji će biti vrijednost stupnja s bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stupanj s iracionalnim eksponentom oblika 3 1 , 67175331 . . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a s iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, dok je 0 a \u003d 0 Dakle, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. A za negativne, to se ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalni stupanj, ostaje jedan, na primjer, a 1 2 , 1 5 u 2 i 1 - 5 bit će jednako 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Formule snage koristi se u procesu redukcije i pojednostavljenja složeni izrazi, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-ti stepen broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n .

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 odn više faktori jednak je umnošku potencija ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula je točna u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška nekoliko čimbenika jednak je umnošku korijena ovih čimbenika:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n th stepen je korijenski broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupnja od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj nekog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao stupanj podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i na m< n.

na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija svakog broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomkom eksponenta. Podići pravi broj a do stupnja m/n, trebate izvaditi korijen n th stupanj od m th stepena ovog broja a.

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim stupnjevima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim sve nešto složenije.

Ovo treba znati:

1. Podizanje broja do prirodni stupanj naziva se množenjem broja (pojam broja i figure u članku će se smatrati ekvivalentnim) samo po sebi u količini kao što je eksponent (u nastavku ćemo paralelno koristiti riječ indikator). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. NA opći pogled izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
2. Treba imati na umu da kada se negativan broj podigne na prirodni stepen, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
3. Podizanjem broja na eksponent 0 dobiva se jedinica, pod uvjetom da nije jednaka nuli. Nula na stepen nule smatra se nedefiniranom. 17^0 = 1.
4. Izdvajanje korijena određenog stupnja iz broja naziva se pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući pokazatelj, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5 jer je 5^3 = 125.
5. Ako želite podići broj na razlomak pozitivan stupanj, tada je potrebno broj podići na nazivnik i iz njega izdvojiti korijen brojnika. 6^5/7 = 7. korijen od 6*6*6*6*6.
6. Ako želite podići broj na negativan eksponent, onda morate pronaći recipročnu vrijednost ovog. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podizanje broja na negativnu potenciju po modulu od nule do jedan

Prvo, moramo zapamtiti što je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatnog pravca). Po definiciji, nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Uz vrijednost znamenke u rasponu od nula do jedan, negativan pokazatelj daje povećanje same znamenke. To se događa jer se nazivnik smanjuje, a ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je veći modul indikatora, brojka aktivnije raste. Kako nazivnik teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačnosti.

Vrijednost manja od nule

Pogledajmo sada kako se ugraditi negativan stupanj ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan predznak eksponenta.

Pogledajmo još jednom primjere:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

NA ovaj slučaj, to vidimo modul nastavlja rasti, ali predznak ovisi o tome je li eksponent paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo cjelinu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate podići broj minus jedan, kada čak i eksponent stupnja, pretvorit će se u jedan, s neparnim će ostati minus jedan.

Povećanje na negativan cijeli broj ako je modul veći od jedan

Za znamenke čiji je modul veći od jedan, imaju svoje karakteristike djelovanja. Prije svega, trebate pretvoriti cijeli dio razlomka u brojnik, odnosno pretvoriti u nepravilan razlomak. Ako imamo decimal, onda se mora pretvoriti u normalu. To se radi na sljedeći način:

• 6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Sada razmislite kako podići broj na negativan stepen pod ovim uvjetima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti što bismo trebali očekivati ​​od rezultata izračuna. Budući da je dvostruki razlomak obrnut tijekom pojednostavljenja, modul znamenke će se smanjivati ​​brže, što je veći modul indikatora.

Prvo razmotrite situaciju u kojoj zadani broj je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da će krajnji rezultat biti Iznad nule, jer dijeljenje dva pozitiva uvijek daje pozitivu. Opet, pogledajmo primjere kako se to radi:

• 6 cijeli broj 1/20 na minus peti stepen = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne uzrokuju posebne poteškoće, a sve naše početne pretpostavke pokazale su se točnima.

Sada prelazimo na slučaj negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je pokazatelj paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je pokazatelj neparan, onda će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni izračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo još jednom primjere:

• -3 cijeli broj 1/2 na minus šesti stepen = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako su se sva naša razmišljanja pokazala točnima.

Povećanje u slučaju negativnog razlomka eksponenta

Ovdje morate zapamtiti da takva erekcija postoji izdvajanje korijena stupnja nazivnika iz broja u stupnju brojnika. Sva naša prijašnja razmišljanja i ovoga puta ostaju istinita. Objasnimo naše postupke na primjeru:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da vađenje korijena visoka razina moguće je samo u posebno odabranom obliku i, najvjerojatnije, riješiti se predznaka radikala (kvadratni korijen, kubični korijen i tako dalje) kada točni izračuni nećeš uspjeti.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne treba očekivati ​​poteškoće u školskim proračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja također uključuje erekcija s namjerno iracionalnim eksponentom, na primjer, ako je indikator minus PI. Morate djelovati prema gore opisanim načelima. Međutim, izračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćna elektronička računala.

Zaključak

Akcija koju smo proučavali je jedan od naj najteže zadatke u matematici(osobito u slučaju frakcijske racionalne ili iracionalne vrijednosti). Međutim, nakon što ste detaljno i korak po korak proučili ovu uputu, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebate? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Naučiti sve o diplomama, čemu služe, kako upotrijebiti svoje znanje Svakidašnjica pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i upisati sveučilište svojih snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVA RAZINA

Eksponencijacija je ista matematička operacija poput zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Obratiti pažnju. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa zbrajanjem.

Ovdje se nema što objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je – 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem su slučaju primijetili da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i s greškama! Ali…

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na stepen.

Dizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima – brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je u tablici potencija brojeva istaknuto bojom. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Visoko dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm. A onda će vas mučiti “brojenje prstom”. Zatim se morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili povisiti na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na stepen puno lakše i također ima manje pogrešaka u izračunima. Za ispit je ovo jako važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo vam zadatak, prebrojite koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći kvadrat broja... S jedne strane ćelije i s druge strane također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, tada možete kvadratirati osam. Nabavite stanice. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumen i tekućina se mjere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko će kocki metar po metar ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmimo primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate međusobno pomnožiti njegovu duljinu, širinu i visinu. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako im to previše olakša. Sveo sve na jednu akciju. Primijetili su da su duljina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtiti tablicu stupnjeva. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite puno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi kako bi riješili svoje životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine zaradite još milijun za svaki milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite prstom”, onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milijun! Zamislite sad da imate konkurenciju i onaj tko brže izračuna, dobit će ove milijune... Vrijedi li pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. Super je zar ne? Svaki milijun je utrostručen. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na stepen znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da se ne zabune

Dakle, prvo, definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - to je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vrijeme, što takvu osnovu diplome? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da se uvjerite.

Pa, općenito, kako bi se generaliziralo i bolje zapamtilo ... Stupanj s bazom "" i indikatorom "" čita se kao "u stupnju" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što jest prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojenju kod nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula točka pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su to brojevi?

Odnose se brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam". cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rubalja.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite opseg kruga s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sa samim sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle su ove nekretnine? sada ću vam pokazati.

Da vidimo što je i ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali čimbenike, a rezultat su čimbenici.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebao biti dokazan.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti iste osnove!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijete napisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do sada smo raspravljali samo o tome kakav bi trebao biti eksponent.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obraćamo pažnju na osmi stupanj, što ovdje vidimo? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Pokazalo se da je vrlo lako: tu nam pomaže paran stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmislite o nekoj snazi ​​s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa i dobili smo isti kao što je bio -. S kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stupnju - koliko god pomnožili nulu samu po sebi, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stupnju, mora biti jednak. Dakle, što je istina u ovome? Matematičari su se odlučili ne uključiti i odbili su nulu podići na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Uz prirodne brojeve i brojeve, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni eksponent, učinimo kao u posljednji put: pomnožiti neki normalni broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen obrnut je istom broju na pozitivan stepen. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Sumirajmo:

I. Izraz nije definiran u padežu. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen obrnut je istom broju pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste uspjeli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da bi razumjeli što je "djelomični stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stupanj do stupnja":

Koji se broj mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. To jest, nemoguće je iz negativnih brojeva izvući korijene parnog stupnja!

A to znači da se takve brojke ne mogu povećati razlomni stupanj s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s ekspresijom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo pokazatelj na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan bazni eksponent s razlomkom eksponenta.

Dakle, ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom vrlo su korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulte snage- to je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broj”, odnosno broj;

...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti te nove koncepte na institutu.

KAMO SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Dajemo razlomke u eksponentima k iste vrste: ili obje decimale ili obje normalne. Dobivamo npr.:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stupnju je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do stupnja je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stupnja

Kako bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle ta svojstva? Dokažimo ih.

Da vidimo: što je i?

A-prioritet:

Dakle, s desne strane ovog izraza dobiva se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedan važna nota: ovo pravilo je - samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijem napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:!

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo raspravljali samo o onome što bi trebalo biti indikator stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodnim indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobivamo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je formulirati takve jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni na druge, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije rastavljanja posljednje pravilo Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obraćamo pažnju na osmi stupanj, što ovdje vidimo? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Pokazalo se da je vrlo lako: tu nam pomaže paran stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stupnja i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno se pokazalo da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Osim informacija o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s iznimkom - uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultom stupnju je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprema broja”, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni pravi broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti te nove koncepte na institutu.

Pa što ćemo ako vidimo iracionalni pokazatelj stupnjeva? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupnja, čiji su pokazatelj negativni i razlomci.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj moći.
• Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod sviđa li vam se ili ne.

Recite nam svoje iskustvo s energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili prijedlozi.

Napišite u komentarima.

I sretno na ispitima!