Koji je modul broja 2. Modul broja (apsolutna vrijednost broja), definicije, primjeri, svojstva

Modul broja je udaljenost od tog broja do nule na koordinatnoj liniji.

Modul je označen simbolom: | |.

Zapis |6| čitati kao "modul broja 6", ili "modul od šest".
Zapis |8| glasi "modul 8".

Modul pozitivnog broja jednak je samom broju. Na primjer, |2| = 2. Modul negativnog broja jednak je suprotnom broju<=>|-3| = 3. Modul nule jednak je nuli, odnosno |0| = 0. Moduli suprotnih brojeva su jednaki, odnosno |-a| = |a|.

Za bolje razumijevanje teme: “modul broja” predlažemo korištenje metode asocijacije.

Zamislimo da je modul broja kupka, a znak minus prljavština.

Nalazeći se pod znakom modula (to jest, u "kupki"), negativni broj se "ispere" i izlazi bez znaka "minus" - čist.

U kadi se mogu "prati" (to jest, stajati pod znakom modula) i negativni, i pozitivni brojevi, i broj nula. Međutim, budući da su "čisti" pozitivni brojevi, i nula ne mijenjaju svoj predznak kada napuštaju "kupku" (odnosno ispod znaka modula)!

Povijest modula broja ili 6 zanimljivosti o modulu broja

1. Riječ "modul" dolazi od latinskog naziva modulus, što u prijevodu znači riječ "mjera".
2. Ovaj termin uveo je učenik Isaaca Newtona - engleski matematičar i filozof Roger Cotes (1682. - 1716.).
3. Veliki njemački fizičar, izumitelj, matematičar i filozof Gottfried Leibniz u svojim je djelima i spisima koristio funkciju modula koju je označio mod x.
4. Oznaku modula uveo je 1841. njemački matematičar
Karl Weierstrass (1815. - 1897.).
5. Kod pisanja modula označava se simbolom: | |.
6. Još jednu verziju pojma "modul" uveli su 1806. Francuzi
matematičar po imenu Jean Robert Argan (1768-1822). Ali nije tako.
Matematičar s početka devetnaestog stoljeća Jean Robert Argán (1768. - 1822.)
i Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) uveo je koncept "modula kompleksnog broja",
koji se izučava na kolegiju više matematike.

Rješavanje zadataka na temu "Modul broja"

Zadatak broj 1. Rasporedite izraze: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 uzlaznim redoslijedom.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Odgovor: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Zadatak broj 2. Potrebno je složiti izraze: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
u silaznom redoslijedu.

Prvo, otvorimo zagrade i module:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30 što će biti ekvivalentno:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Odgovor: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > — 21 > — |30|

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutna vrijednost broja. Dat ćemo razne definicije modula broja, uvesti zapise i dati grafičke ilustracije. U ovom slučaju razmatramo različite primjere pronalaženja modula broja po definiciji. Nakon toga navodimo i obrazlažemo glavna svojstva modula. Na kraju članka govorit ćemo o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul broja - definicija, zapis i primjeri

Prvo predstavljamo oznaka modula. Modul broja a zapisati ćemo kao , odnosno lijevo i desno od broja stavit ćemo okomite linije koje čine znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modulo -7 može se napisati kao ; modul 4,125 je napisan kao , a modul je napisan kao .

Sljedeća definicija modula odnosi se na, dakle, na, i na cijele brojeve, te na racionalne i iracionalne brojeve, kao na sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul a je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0, ako je a=0.

Zvučna definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ova oznaka znači da ako je a>0, ako je a=0, i ako je a<0 .

Zapis se može predstaviti u kompaktnijem obliku . Ova oznaka znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Postoji i zapis . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, budući da se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.

Donesimo primjeri nalaženja modula broja uz zadanu definiciju. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo s pronalaženjem. Budući da je broj 15 pozitivan, njegov je modul po definiciji jednak samom ovom broju, odnosno . Koliki je modul broja? Budući da je broj negativan, onda je njegov modul jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Tako, .

U zaključku ovog odlomka dajemo jedan zaključak, koji je vrlo zgodno primijeniti u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizlazi da modul broja jednak je broju pod predznakom modula, bez obzira na njegov predznak, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Izražena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski se modul broja može tumačiti kao udaljenosti. Donesimo određivanje modula broja u smislu udaljenosti.

Definicija.

Modul a je udaljenost od ishodišta na koordinatnoj liniji do točke koja odgovara broju a.

Ova definicija je u skladu s definicijom modula broja danom u prvom odlomku. Objasnimo ovu točku. Udaljenost od ishodišta do točke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara ishodištu, tako da je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 0 nula (ne treba odgoditi niti jedan segment niti segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta da bi se došlo od točke O do točke s koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do točke s negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinata zadane točke, budući da je jednaka udaljenosti od ishodišta do točke čija je koordinata suprotan broj.

Na primjer, modul broja 9 je 9, budući da je udaljenost od ishodišta do točke s koordinatom 9 devet. Uzmimo još jedan primjer. Točka s koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od točke O, dakle .

Zvučna definicija modula broja poseban je slučaj definiranja modula razlike dvaju brojeva.

Definicija.

Modul razlike dva broja a i b jednaka je udaljenosti između točaka koordinatnog pravca s koordinatama a i b .

To jest, ako su zadane točke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od točke A do točke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo točku O (referentnu točku) kao točku B, tada ćemo dobiti definiciju modula broja danu na početku ovog odlomka.

Određivanje modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen

Ponekad se nađe određivanje modula kroz aritmetički kvadratni korijen.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na temelju ove definicije. Imamo . Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: .

Definicija modula broja u smislu aritmetičkog kvadratnog korijena također je u skladu s definicijom danom u prvom stavku ovog članka. Pokažimo to. Neka je a pozitivan broj, a −a negativan. Zatim i , ako je a=0, tada .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo dati glavne i najčešće korištene od njih. Prilikom potkrijepljivanja ovih svojstava oslanjat ćemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočitijim svojstvom modula − modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a . Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.

Prijeđimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja jednak je nuli ako i samo ako je taj broj nula. Modul nule je po definiciji nula. Nula odgovara ishodištu, nijedna druga točka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, budući da je svaki realni broj povezan s jednom točkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara točki koja nije ishodište. A udaljenost od ishodišta do bilo koje točke osim točke O nije jednaka nuli, budući da je udaljenost između dvije točke jednaka nuli ako i samo ako se te točke podudaraju. Gornje obrazloženje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Krenuti dalje. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a . Doista, dvije točke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od ishodišta, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: modul umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku modula tih brojeva, tj. . Po definiciji, modul umnoška brojeva a i b je ili a b ako je , ili −(a b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je umnožak modula brojeva a i b jednak ili a b , , ili −(a b) , ako je , što dokazuje razmatrano svojstvo.

Modul kvocijenta dijeljenja a sa b jednak je kvocijentu dijeljenja modula a s modulom b, tj. . Opravdamo ovo svojstvo modula. Budući da je kvocijent jednak proizvodu, onda . Na temelju prethodnog svojstva imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi zbog definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisuje se kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trokuta. Da bismo to razjasnili, uzmimo točke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj liniji i razmotrimo degenerirani trokut ABC, čiji vrhovi leže na istoj liniji. Po definiciji, modul razlike jednak je duljini odsječka AB, - duljini odsječka AC, i - duljini odsječka CB. Budući da duljina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbroj duljina druge dvije stranice, nejednakost , dakle, vrijedi i nejednakost.

Upravo dokazana nejednakost mnogo je češća u obliku . Napisana nejednakost se obično smatra zasebnim svojstvom modula s formulacijom: “ Modul zbroja dvaju brojeva ne prelazi zbroj modula tih brojeva". Ali nejednakost izravno proizlazi iz nejednakosti , ako u nju stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0 .

Modul kompleksnog broja

dajmo određivanje modula kompleksnog broja. Neka nam se da kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku , gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju, redom, stvarni i imaginarni dio zadanog kompleksnog broja z, i imaginarna je jedinica.

Apsolutna vrijednost broja a je udaljenost od ishodišta do točke ALI(a).

Da bismo razumjeli ovu definiciju, zamjenjujemo umjesto varijable a bilo koji broj, na primjer 3 i pokušajte ga ponovno pročitati:

Apsolutna vrijednost broja 3 je udaljenost od ishodišta do točke ALI(3 ).

Postaje jasno da modul nije ništa više od uobičajene udaljenosti. Pokušajmo vidjeti udaljenost od ishodišta do točke A( 3 )

Udaljenost od ishodišta koordinata do točke A( 3 ) jednako je 3 (tri jedinice ili tri koraka).

Modul broja označen je s dvije okomite linije, na primjer:

Modul broja 3 označava se na sljedeći način: |3|

Modul broja 4 označava se na sljedeći način: |4|

Modul broja 5 označava se ovako: |5|

Tražili smo modul broja 3 i saznali da je jednak 3. Pa pišemo:

Čita se kao: "Modul tri je tri"

Pokušajmo sada pronaći modul broja -3. Opet se vraćamo na definiciju i u nju zamjenjujemo broj -3. Samo umjesto točke A koristiti novu točku B. Točka A već smo koristili u prvom primjeru.

Modul broja je 3 nazivati udaljenost od ishodišta do točke B(—3 ).

Udaljenost od jedne točke do druge ne može biti negativna. Stoga, modul bilo kojeg negativnog broja, budući da je udaljenost, također neće biti negativan. Modul broja -3 bit će broj 3. Udaljenost od ishodišta do točke B(-3) također je jednaka tri jedinice:

Čita se kao: "Modul broja minus tri je tri"

Modul broja 0 je 0, budući da se točka s koordinatom 0 poklapa s ishodištem, tj. udaljenost od ishodišta do točke O(0) jednako nuli:

"Modul nule je nula"

Izvlačimo zaključke:

Modul broja ne može biti negativan;
Za pozitivan broj i nulu modul je jednak samom broju, a za negativan suprotnom broju;
Suprotni brojevi imaju jednake module.

Suprotni brojevi

Zovu se brojevi koji se razlikuju samo u znakovima suprotan. Na primjer, brojevi −2 i 2 su suprotni. Razlikuju se samo u znakovima. Broj −2 ima znak minus, a 2 ima predznak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus, kao što smo ranije rekli, tradicionalno ne piše.

Još primjera suprotnih brojeva:

Suprotni brojevi imaju jednake module. Na primjer, pronađimo module za −2 i 2

Slika pokazuje da je udaljenost od ishodišta do točaka A(−2) i B(2) jednaka dva koraka.

Svidjela ti se lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Uputa

Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |h| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Lako je vidjeti da zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva slijede isto pravilo kao zbrajanje i .

Umnožak dva kompleksna broja je:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Budući da je i^2 = -1, krajnji rezultat je:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Operacije podizanja na stepen i vađenja korijena za kompleksne brojeve definirane su na isti način kao i za realne brojeve. Međutim, u kompleksnoj domeni, za bilo koji broj, postoji točno n brojeva b takvih da je b^n = a, odnosno n korijena n-tog stupnja.

Konkretno, to znači da svaka algebarska jednadžba n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n kompleksnih korijena, od kojih neki mogu biti i .

Slični Videi

Izvori:

Predavanje "Kompleksni brojevi" 2019

Korijen je ikona koja označava matematičku operaciju pronalaženja takvog broja, čije bi podizanje na stupanj naznačen prije znaka korijena trebao dati broj koji je naveden upravo pod ovim znakom. Često, za rješavanje problema u kojima postoje korijeni, nije dovoljno samo izračunati vrijednost. Moramo izvesti dodatne operacije, od kojih je jedna uvođenje broja, varijable ili izraza pod predznakom korijena.

Uputa

Odredite eksponent korijena. Indikator je cijeli broj koji označava snagu na koju se rezultat izračunavanja korijena mora podići da bi se dobio radikalni izraz (broj iz kojeg se taj korijen izdvaja). Eksponent korijena, naveden kao superscript ispred ikone korijena. Ako ovaj nije naveden, radi se o kvadratnom korijenu čiji je stepen dva. Na primjer, korijenski eksponent √3 je dva, eksponent ³√3 je tri, korijenski eksponent ⁴√3 je četiri, i tako dalje.

Podignite broj koji želite dodati pod predznakom korijena na stepen jednak eksponentu ovog korijena, koji ste odredili u prethodnom koraku. Na primjer, ako trebate unijeti broj 5 pod znakom korijena ⁴√3, tada je eksponent korijena četiri i potreban vam je rezultat podizanja 5 na četvrti stepen 5⁴=625. To možete učiniti na bilo koji način koji vam odgovara - u mislima, koristeći kalkulator ili odgovarajuće objavljene usluge.

Vrijednost dobivenu u prethodnom koraku unesite pod predznak korijena kao množitelj radikalnog izraza. Za primjer korišten u prethodnom koraku s dodavanjem ispod korijena ⁴√3 5 (5*⁴√3), ova se radnja može učiniti ovako: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Pojednostavite rezultirajući radikalni izraz, ako je moguće. Za primjer iz prethodnih koraka, ovo je da trebate samo pomnožiti brojeve ispod predznaka korijena: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Time je dovršena operacija dodavanja broja ispod korijena.

Ako u problemu postoje nepoznate varijable, gore opisani koraci mogu se izvesti na opći način. Na primjer, ako želite uvesti nepoznatu varijablu x pod korijen četvrtog stupnja, a korijenski izraz je 5/x³, tada se cijeli niz radnji može napisati na sljedeći način: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Izvori:

kako se zove korijenski znak

Realni brojevi nisu dovoljni za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe. Najjednostavnija kvadratna jednadžba koja nema korijen među realnim brojevima je x^2+1=0. Prilikom rješavanja ispada da je x=±sqrt(-1), te prema zakonima elementarne algebre izdvojiti korijen parnog stupnja iz negativnog brojevima Zabranjeno je.