Logaritam 8 prema bazi 4 jednak je. Osnovni logaritamski identitet

Dakle, imamo moći dvojke. Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći potenciju na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Logaritam bazi a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Oznaka: log a x \u003d b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Mogao bi i logirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva se logaritam. Pa dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 22< 5 < 2 3 , а чем više stupnja dva, to će broj biti veći.

Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (bazom i argumentom). U početku mnogi ljudi brkaju gdje je osnova, a gdje argument. Kako biste izbjegli neugodne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koji trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na snagu - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom satu - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, t.j. riješite se znaka "dnevnik". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i razlog uvijek moraju biti Iznad nule. To proizlazi iz definicije stupnja racionalni pokazatelj, na što se svodi definicija logaritma.
Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje “na koju snagu se treba dignuti da bi se dobila dva”. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju područje dopuštene vrijednosti (ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1.

Međutim, za sada samo razmatramo numerički izrazi, pri čemu nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednadžbe i nejednakosti dođu u igru, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu biti vrlo jake konstrukcije, koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunaj logaritam: log 7 14

Osnovu i argument predstavimo kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog stavka proizlazi da se logaritam ne razmatra;
Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena za posljednji primjer. Kako se uvjeriti da broj nije točan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga proširite primarni čimbenici. Ako postoje barem dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznaj jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Također napominjemo da smo primarni brojevi uvijek su točne moći same sebe.

Decimalni logaritam

Neki su logaritmi toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam baze 10, tj. stepen na koji trebate podići broj 10 da biste dobili broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; LG 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput “Pronađi lg 0,01”, znajte da ovo nije tipkarska pogreška. to decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U izvjesnom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam baze e, t.j. snaga na koju se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: što je još broj e? to iracionalan broj, njegova točna vrijednost se ne može pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459...

Nećemo se upuštati u to što je to brojka i zašto je potrebna. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalni broj iracionalno. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritma smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

Ovo apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? Dobro. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osjećam da sumnjaš... Pa, zadrži vrijeme! Ići!

Najprije u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

\(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednak stupnju, na koji se \(2\) mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovoj razini, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet prema osnovici od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stupnja treba podići bazu da biste dobili argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba povisiti \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugi. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji se stepen \(\sqrt(5)\) treba povisiti da bi se dobilo \(1\)? I koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji se stepen \(\sqrt(7)\) treba povisiti da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba povisiti \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo što je razlomni stupanj, što znači Korijen je stupanj \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica lijevo desno\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stupnjeva: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo to razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Što jednako x? To je poanta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer kad bismo to htjeli napisati u obliku decimalni razlomak, tada bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se pojavljuju tako često da je s njima izmišljen poseban kratki zapis za logaritme:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Glavni logaritamski identitet' i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno slijedi iz definicije. Pogledajmo kako se točno pojavila ova formula.

Prisjetimo se kratka bilješka definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formulu \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritma možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Također vrijedi i obrnuto: bilo koji broj može se napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ dnevnik_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo to dvoje napisati kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje upisujemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ dnevnik_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ dnevnik_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

Kao što znate, kada se množe izrazi s potencijama, njihovi eksponenti se uvijek zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen je stvorio tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje na jednostavno zbrajanje. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) "b" u njegovoj bazi "a" smatra se potencijom "c" , na koju se mora podići osnova "a", tako da na kraju dobijemo vrijednost "b". Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, trebate pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što ste u mislima napravili neke izračune, dobili smo broj 3! I to s pravom, jer 2 na stepen 3 daje broj 8 u odgovoru.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, glavno je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri određene vrste logaritamski izrazi:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je baza 10.
Logaritam bilo kojeg broja b prema bazi a>1.

Svaki od njih je odlučen na standardan način, što uključuje pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Za dobivanje ispravnih vrijednosti logaritama treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja se prihvaćaju kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, ne možete podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen čak i stupanj iz negativni brojevi. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

baza "a" uvijek mora biti veća od nule, a u isto vrijeme ne mora biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" u bilo kojem stupnju uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
ako je a > 0, tada a b > 0, ispada da "c" mora biti veći od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dobio je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobivamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma sve se radnje praktički konvergiraju u pronalaženje stupnja do kojeg se mora unijeti baza logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neke eksponente možete pogoditi intuitivno ako imate tehnički način razmišljanja i poznavanje tablice množenja. Međutim, za velike vrijednosti treba vam tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne razumiju ništa u kompleksu matematičke teme. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c, na koju se podiže broj a. Na raskrižju u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva, koji su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpravi humanist razumjeti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se zapisati kao logaritam od 81 do baze 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dat je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod znakom logaritma. I također se u izrazu uspoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je da jednadžbe s logaritmima (na primjer, logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčane vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednadžbe određuju i raspon dopuštenih vrijednosti i točke diskontinuiteta ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka na pronalaženju vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada je riječ o logaritamskim jednadžbama ili nejednačinama, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sve osnovna svojstva logaritmi. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo analizirajmo svako svojstvo detaljnije.

Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veći od 0, nije jednak jedan, a B veći od nule.
Logaritam proizvoda može se predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , zatim a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorem u obliku formule stječe sljedeći pogled: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva "svojstvo stupnja logaritma". Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada a t = b. Podignete li oba dijela na stepen m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n , dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi logaritamskih problema su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim problemskim knjigama, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Za upis na sveučilište ili prolaz prijemni ispiti u matematici takve probleme treba znati pravilno rješavati.

Nažalost, jedan plan ili shema za rješavanje i utvrđivanje nepoznata vrijednost Ne postoji logaritam, međutim, određena pravila mogu se primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći pogled. Pojednostavite dugo logaritamski izrazi Možete, ako pravilno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom odlučivanja logaritamske jednadžbe, potrebno je odrediti kakvu vrstu logaritma imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje svodi se na činjenicu da morate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo rješenje s primjerima. logaritamski problemi drugačiji tip.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno razložiti veliku važnost brojevi b za više primarni čimbenici. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stupnja logaritma, uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu, a zatim izvaditi vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Logaritmi se često nalaze u prijemni ispiti, posebno puno logaritamskih problema na ispitu ( Državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispit), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih KORISTI opcije. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadan log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

Sve logaritme je najbolje svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod predznakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se iznese eksponent eksponenta izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.