Kako se riješiti stupnja u jednadžbi. Potencijske ili eksponencijalne jednadžbe

eksponencijalne jednadžbe. Kao što znate, USE uključuje jednostavne jednadžbe. Neke smo već razmotrili - to su logaritamske, trigonometrijske, racionalne. Ovdje su eksponencijalne jednadžbe.

U nedavnom članku radili smo s eksponencijalnim izrazima, bit će korisno. Same jednadžbe rješavaju se jednostavno i brzo. Trebate samo znati svojstva eksponenata i... O ovomeUnaprijediti.

Navodimo svojstva eksponenata:

Nulta snaga bilo kojeg broja jednaka je jedan.

Posljedica ovog svojstva:

Još malo teorije.

Eksponencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži varijablu u indikatoru, odnosno ova je jednadžba oblika:

f(x) izraz koji sadrži varijablu

Metode rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

1. Kao rezultat transformacija, jednadžba se može svesti na oblik:

Zatim primjenjujemo svojstvo:

2. Prilikom dobivanja jednadžbe oblika a f (x) = b koristi se definicija logaritma, dobivamo:

3. Kao rezultat transformacija, možete dobiti jednadžbu oblika:

Primjenjuje se logaritam:

Izrazite i pronađite x.

U zadacima KORISTI opcije bit će dovoljno koristiti prvu metodu.

Odnosno, potrebno je lijevi i desni dio prikazati kao stupnjeve s istom bazom, a zatim izjednačiti pokazatelje i riješiti uobičajenu linearnu jednadžbu.

Razmotrimo jednadžbe:

Pronađite korijen jednadžbe 4 1-2x = 64.

Potrebno je paziti da se u lijevom i desnom dijelu nalaze eksponencijalni izrazi s istom bazom. Možemo predstaviti 64 kao 4 na stepen 3. Dobivamo:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

pregled:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Odgovor: -1

Pronađite korijen jednadžbe 3 x-18 = 1/9.

Poznato je da

Dakle 3 x-18 = 3 -2

Osnove su jednake, možemo izjednačiti pokazatelje:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

pregled:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Odgovor: 16

Pronađite korijen jednadžbe:

Predstavimo razlomak 1/64 kao jednu četvrtinu na treći stepen:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

pregled:

Odgovor: 11

Pronađite korijen jednadžbe:

Predstavimo 1/3 kao 3 -1, a 9 kao 3 na kvadrat, dobivamo:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2h) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Sada možemo izjednačiti pokazatelje:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

pregled:

Odgovor: 5

26654. Pronađite korijen jednadžbe:

Odluka:

Odgovor: 8,75

Doista, bez obzira na potenciju da podignemo pozitivan broj a, ni na koji način ne možemo dobiti negativan broj.

Svaka eksponencijalna jednadžba nakon odgovarajućih transformacija svodi se na rješavanje jedne ili više jednostavnih jednadžbi.U ovom dijelu ćemo također razmotriti rješenje nekih jednadžbi, nemojte ga propustiti!To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Ova je lekcija namijenjena onima koji tek počinju učiti eksponencijalne jednadžbe. Kao i uvijek, počnimo s definicijom i jednostavnim primjerima.

Ako čitate ovu lekciju, onda sumnjam da već imate barem minimalno razumijevanje najjednostavnijih jednadžbi - linearnih i kvadratnih: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Biti u stanju riješiti takve konstrukcije je apsolutno neophodno kako se ne bi "visilo" u temi o kojoj će se sada raspravljati.

Dakle, eksponencijalne jednadžbe. Dopustite mi da vam dam par primjera:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Neki od njih vam se možda čine kompliciranijima, neki su, naprotiv, prejednostavni. Ali jedno ih sve spaja važna značajka: postoji eksponencijalna funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$ u njihovoj notaciji. Stoga uvodimo definiciju:

Eksponencijalna jednadžba je svaka jednadžba koja sadrži eksponencijalnu funkciju, t.j. izraz oblika $((a)^(x))$. Osim specificirana funkcija takve jednadžbe mogu sadržavati bilo koje druge algebarske konstrukcije - polinome, korijene, trigonometriju, logaritme itd.

OK onda. Shvatio definiciju. Sada se postavlja pitanje: kako riješiti sve ovo sranje? Odgovor je i jednostavan i složen u isto vrijeme.

Počnimo s dobrim vijestima: iz svog iskustva s mnogim studentima mogu reći da su za većinu njih eksponencijalne jednadžbe puno lakše od istih logaritama, a još više od trigonometrije.

Ali ima i loših vijesti: ponekad sastavljače zadataka za sve vrste udžbenika i ispita posjećuje "inspiracija", a njihov mozak upaljen drogom počinje proizvoditi tako brutalne jednadžbe da studentima postaje problematično ne samo rješavati ih - čak i mnogi učitelji zapnu na takvim problemima.

Ipak, da ne pričamo o tužnim stvarima. I vratimo se na one tri jednadžbe koje smo dali na samom početku priče. Pokušajmo riješiti svaki od njih.

Prva jednadžba: $((2)^(x))=4$. Pa, na koji stepen treba povisiti broj 2 da bi se dobio broj 4? Možda drugi? Uostalom, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i dobili smo ispravnu brojčanu jednakost, tj. doista $x=2$. Pa, hvala, kapice, ali ova je jednadžba bila toliko jednostavna da bi je čak i moja mačka mogla riješiti. :)

Pogledajmo sljedeću jednadžbu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ali ovdje je malo teže. Mnogi učenici znaju da je $((5)^(2))=25$ tablica množenja. Neki također sumnjaju da je $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ u biti definicija negativne moći(po analogiji s formulom $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Konačno, samo nekoliko odabranih pretpostavlja da se te činjenice mogu kombinirati i rezultat je sljedeći:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Dakle, naša izvorna jednadžba će biti prepisana na sljedeći način:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strelica desno ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A sada je to već potpuno riješeno! Na lijevoj strani jednadžbe nalazi se eksponencijalna funkcija, na desnoj strani jednadžbe nalazi se eksponencijalna funkcija, nigdje drugdje nema ničega osim njih. Stoga je moguće "odbaciti" baze i glupo izjednačiti pokazatelje:

Dobili smo najjednostavniju linearnu jednadžbu koju svaki učenik može riješiti u samo nekoliko redaka. Dobro, u četiri retka:

\[\početak(poravnati)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

Ako niste razumjeli što se događa u zadnja četiri retka, svakako se vratite na temu “ linearne jednadžbe' i ponovite. Jer bez jasne asimilacije ove teme, prerano je da se bavite eksponencijalnim jednadžbama.

\[((9)^(x))=-3\]

Pa, kako se odlučuješ? Prva pomisao: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, tako da se izvorna jednadžba može prepisati ovako:

\[((\lijevo(((3)^(2)) \desno))^(x))=-3\]

Zatim se prisjećamo da se pri podizanju stupnja na stepen pokazatelji množe:

\[((\left(((3)^(2)) \desno))^(x))=((3)^(2x))\Strelica desno ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\početak(poravnati)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(poravnati)\]

A za takvu odluku dobivamo pošteno zasluženu dvojku. Jer mi smo, s ravnodušnošću Pokémona, poslali znak minus ispred trojke na snagu ove trojice. A to ne možete učiniti. I zato. Pogledaj različitih stupnjeva trojke:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Sastavljanje ove tablete, čim nisam izopačio: i pozitivni stupnjevi uzeti u obzir, i negativan, pa čak i razlomak ... dobro, gdje je barem jedan negativan broj? Nije! A ne može biti, jer eksponencijalna funkcija $y=((a)^(x))$, prvo, uvijek uzima samo pozitivne vrijednosti(koliko god pomnožili jedan ili podijelili s dva, to će i dalje biti pozitivan broj), a drugo, baza takve funkcije - broj $a$ - je po definiciji pozitivan broj!

Pa, kako onda riješiti jednadžbu $((9)^(x))=-3$? Ne, nema korijena. I u tom su smislu eksponencijalne jednadžbe vrlo slične kvadratnim - možda i nema korijena. Ali ako u kvadratne jednadžbe broj korijena određuje diskriminant (diskriminant je pozitivan - 2 korijena, negativan - nema korijena), tada u eksponencijalima sve ovisi o tome što je desno od znaka jednakosti.

Dakle, formuliramo ključni zaključak: najjednostavnija eksponencijalna jednadžba oblika $((a)^(x))=b$ ima korijen ako i samo ako $b>0$. Znajući ovu jednostavnu činjenicu, lako možete odrediti ima li jednadžba koja vam je predložena korijen ili ne. Oni. isplati li se to uopće rješavati ili odmah zapisati da nema korijena.

Ovo znanje će nam više puta pomoći kada budemo morali odlučiti više izazovni zadaci. U međuvremenu, dosta tekstova – vrijeme je da proučimo osnovni algoritam za rješavanje eksponencijalnih jednadžbi.

Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe

Dakle, formulirajmo problem. Potrebno je riješiti eksponencijalnu jednadžbu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Prema "naivnom" algoritmu koji smo ranije koristili, potrebno je broj $b$ prikazati kao potenciju broja $a$:

Osim toga, ako umjesto varijable $x$ postoji bilo koji izraz, dobit ćemo novu jednadžbu, koja se već može riješiti. Na primjer:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(3))\Strelica desno x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strelica desno ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strelica desno -x=4\Strelica desno x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Strelica desno ((5)^(2x))=((5)^(3))\Strelica desno 2x=3\Strelica desno x=\frac(3)( 2). \\\kraj (poravnaj)\]

I što je čudno, ova shema radi u oko 90% slučajeva. Što je onda s ostalih 10%? Preostalih 10% su blago "šizofrene" eksponencijalne jednadžbe oblika:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na koji stepen trebate podići 2 da biste dobili 3? U prvom? Ali ne: $((2)^(1))=2$ nije dovoljno. U drugom? Niti jedno ni drugo: $((2)^(2))=4$ je previše. Što onda?

Učeni studenti vjerojatno su već pogodili: u takvim slučajevima, kada je nemoguće riješiti “lijepo”, “teška artiljerija” je povezana sa slučajem - logaritmima. Dopustite mi da vas podsjetim da se korištenjem logaritama svaki pozitivan broj može predstaviti kao potencija bilo kojeg drugog pozitivan broj(isključujući jedinicu):

Sjećate li se ove formule? Kada svojim učenicima govorim o logaritmima, uvijek ih upozoravam: ova formula (ona je i glavna logaritamski identitet ili, ako želite, definicija logaritma) dugo će vas proganjati i "izroniti" na najneočekivanija mjesta. Pa isplivala je na površinu. Pogledajmo našu jednadžbu i ovu formulu:

\[\početak(poravnati)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(poravnati) \]

Ako pretpostavimo da je $a=3$ naš izvorni broj s desne strane, a $b=2$ sama baza eksponencijalna funkcija do koje tako želimo dovesti desna strana, tada dobivamo sljedeće:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Strelica desno 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strelica desno ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strelica desno x=( (\log )_(2))3. \\\kraj (poravnaj)\]

Dobili smo pomalo čudan odgovor: $x=((\log )_(2))3$. U nekom drugom zadatku, s takvim odgovorom, mnogi bi posumnjali i počeli provjeravati svoje rješenje: što ako je negdje bila pogreška? Žurim da vas zadovoljim: ovdje nema greške, a logaritmi u korijenima eksponencijalnih jednadžbi su prilično tipična situacija. Pa navikni se. :)

Sada analogno rješavamo preostale dvije jednadžbe:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Strelica desno ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Strelica desno x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strelica desno ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strelica desno 2x=( (\log )_(4))11\Strelica desno x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\kraj (poravnaj)\]

To je sve! Usput, zadnji odgovor se može napisati drugačije:

Mi smo uveli množitelj u argument logaritma. Ali nitko nas ne sprječava da u bazu dodamo ovaj faktor:

U ovom slučaju, sve tri opcije su točne - to je samo različite forme zapisi istog broja. Koje ćete odabrati i zapisati u ovoj odluci, na vama je.

Dakle, naučili smo rješavati sve eksponencijalne jednadžbe oblika $((a)^(x))=b$, gdje su brojevi $a$ i $b$ strogo pozitivni. Međutim, surova stvarnost našeg svijeta je takva da je takva jednostavni zadaci sresti ćemo te vrlo, vrlo rijetko. Češće ćete naići na nešto poput ovoga:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\kraj (poravnaj)\]

Pa, kako se odlučuješ? Može li se to uopće riješiti? I ako da, kako?

Bez panike. Sve se ove jednadžbe brzo i lako svode na jednostavne formule koje smo već razmatrali. Samo trebate znati da zapamtite nekoliko trikova iz tečaja algebre. I naravno, ovdje nema pravila za rad s diplomama. Sad ću o svemu tome. :)

Transformacija eksponencijalnih jednadžbi

Prvo što treba zapamtiti je da se svaka eksponencijalna jednadžba, ma koliko složena bila, na ovaj ili onaj način mora svesti na najjednostavnije jednadžbe – upravo one koje smo već razmatrali i koje znamo riješiti. Drugim riječima, shema za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe izgleda ovako:

1. Zapišite izvornu jednadžbu. Na primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Uradi neka glupa sranja. Ili čak neko sranje zvano "transformacija jednadžbe";
3. Na izlazu dobijete najjednostavnije izraze poput $((4)^(x))=4$ ili nešto slično. Štoviše, jedna početna jednadžba može dati nekoliko takvih izraza odjednom.

S prvom točkom sve je jasno - čak i moja mačka može napisati jednadžbu na list. I s trećom točkom, čini se, više-manje je jasno - već smo gore riješili čitavu hrpu takvih jednadžbi.

Ali što je s drugom točkom? Koje su transformacije? Što pretvoriti u što? I kako?

Pa, idemo to shvatiti. Prije svega želio bih istaknuti sljedeće. Sve eksponencijalne jednadžbe podijeljene su u dvije vrste:

1. Jednadžba je sastavljena od eksponencijalnih funkcija s istom bazom. Primjer: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula sadrži eksponencijalne funkcije s različitim bazama. Primjeri: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Krenimo od jednadžbi prve vrste – njih je najlakše riješiti. A u njihovom rješenju pomoći će nam takva tehnika kao što je odabir stabilnih izraza.

Isticanje stabilnog izraza

Pogledajmo još jednom ovu jednadžbu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Što vidimo? Četiri su podignuta na različite stupnjeve. Ali sve su ove potencije jednostavni zbroji varijable $x$ s drugim brojevima. Stoga je potrebno zapamtiti pravila za rad sa stupnjevima:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\kraj (poravnaj)\]

Jednostavno rečeno, zbrajanje eksponenata može se pretvoriti u proizvod potencija, a oduzimanje se lako pretvara u dijeljenje. Pokušajmo primijeniti ove formule na potencije iz naše jednadžbe:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(poravnati)\]

Prepisujemo izvornu jednadžbu uzimajući u obzir ovu činjenicu, a zatim skupljamo sve članove s lijeve strane:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedanaest; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\kraj (poravnaj)\]

Prva četiri pojma sadrže element $((4)^(x))$ — izvadimo ga iz zagrade:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \lijevo(-\frac(11)(4) \desno)=-11. \\\kraj (poravnaj)\]

Ostaje podijeliti oba dijela jednadžbe s razlomkom $-\frac(11)(4)$, tj. bitno pomnožiti s obrnutim razlomkom - $-\frac(4)(11)$. dobivamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \lijevo(-\frac(4)(11) \desno); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\kraj (poravnaj)\]

To je sve! Izvornu smo jednadžbu sveli na najjednostavniju i dobili konačan odgovor.

U isto vrijeme, u procesu rješavanja, otkrili smo (pa čak i izvadili iz zagrade) zajednički faktor $((4)^(x))$ - to je stabilan izraz. Može se označiti kao nova varijabla ili je jednostavno možete točno izraziti i dobiti odgovor. u svakom slučaju, ključni princip rješenja su sljedeća:

Pronađite u izvornoj jednadžbi stabilan izraz koji sadrži varijablu koja se lako razlikuje od svih eksponencijalnih funkcija.

Dobra vijest je da gotovo svaka eksponencijalna jednadžba dopušta tako stabilan izraz.

Ali postoje i loše vijesti: takvi izrazi mogu biti vrlo zeznuti i može ih biti prilično teško razlikovati. Pa pogledajmo još jedan problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možda će netko sada imati pitanje: „Paša, jesi li kamenovan? Ovdje su različite baze - 5 i 0,2. Ali pokušajmo pretvoriti snagu s bazom 0,2. Na primjer, riješimo se decimalnog razlomka, dovodeći ga na uobičajeno:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \desno))^(-\lijevo(x+1 \desno)))=((\lijevo(\frac(1)(5) \desno))^(-\lijevo(x+1 \desno)) )\]

Kao što vidite, broj 5 se ipak pojavio, iako u nazivniku. Istodobno, pokazatelj je prepisan kao negativan. A sada se prisjećamo jednog od bitna pravila rad sa diplomama:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Strelica desno ((\left(\frac(1)(5) \desno))^( -\lijevo(x+1 \desno)))=((\lijevo(\frac(5)(1) \desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ovdje sam se, naravno, malo prevarila. Jer kako bi se u potpunosti razumjela formula za rješavanje negativni pokazatelji trebalo je ovako napisati:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\lijevo(\frac(1)(a) \desno))^(n ))\Strelica udesno ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ desno))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

S druge strane, ništa nas nije spriječilo da radimo samo s jednim razlomkom:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ desno))^(-\lijevo(x+1 \desno)))=((5)^(\lijevo(-1 \desno)\cdot \lijevo(-\lijevo(x+1 \desno) \desno) ))=((5)^(x+1))\]

Ali u ovom slučaju morate moći podići stupanj na drugi stupanj (podsjećam vas: u ovom slučaju pokazatelji se zbrajaju). Ali nisam morao "prevrtati" razlomke - možda će nekome biti lakše. :)

U svakom slučaju, izvorna eksponencijalna jednadžba će se prepisati kao:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\kraj (poravnaj)\]

Dakle, ispada da je izvornu jednadžbu još lakše riješiti od prethodno razmatrane: ovdje ne morate ni izdvajati stabilan izraz - sve je smanjeno samo po sebi. Ostaje samo zapamtiti da je $1=((5)^(0))$, odakle dobivamo:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\kraj (poravnaj)\]

To je cijelo rješenje! Dobili smo konačni odgovor: $x=-2$. Istodobno, želio bih napomenuti jedan trik koji nam je uvelike pojednostavio sve izračune:

U eksponencijalnim jednadžbama, svakako se riješite decimalni razlomci, pretvorite ih u normalne. To će vam omogućiti da vidite iste osnove stupnjeva i uvelike pojednostavljuje rješenje.

Idemo dalje složene jednadžbe, u kojem postoje različite baze, koje se uglavnom ne svode jedna na drugu uz pomoć stupnjeva.

Korištenje svojstva eksponenta

Dopustite mi da vas podsjetim da imamo dvije posebno oštre jednadžbe:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\kraj (poravnaj)\]

Glavna poteškoća ovdje je što nije jasno što i do koje osnove voditi. Gdje postavljeni izrazi? Gdje su zajednički temelji? Nema ništa od ovoga.

Ali pokušajmo krenuti drugim putem. Ako nema gotovih identičnih baza, možete ih pokušati pronaći faktoringom dostupnih baza.

Počnimo s prvom jednadžbom:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Strelica desno ((21)^(3x))=((\lijevo(7\cdot 3 \desno))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\kraj (poravnaj)\]

Ali uostalom, možete učiniti suprotno - sastavite broj 21 od brojeva 7 i 3. To je posebno lako učiniti s lijeve strane, budući da su pokazatelji oba stupnja isti:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\kraj (poravnaj)\]

To je sve! Iz proizvoda ste izvadili eksponent i odmah dobili prekrasnu jednadžbu koja se može riješiti u par redaka.

Sada se pozabavimo drugom jednadžbom. Ovdje je sve puno kompliciranije:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

NA ovaj slučaj pokazalo se da su razlomci nesvodivi, ali ako se nešto moglo smanjiti, svakako to smanjite. To će često rezultirati zanimljivim terenima s kojima već možete raditi.

Nažalost, nismo ništa smislili. Ali vidimo da su eksponenti s lijeve strane u proizvodu suprotni:

Dopustite mi da vas podsjetim: da biste se riješili znaka minus u eksponentu, trebate samo "okrenuti" razlomak. Pa prepišimo izvornu jednadžbu:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\lijevo(100\cdot \frac(10)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\lijevo(\frac(1000)(27) \desno))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\kraj (poravnaj)\]

U drugom redu smo samo izvadili ukupni rezultat iz proizvoda zagrade prema pravilu $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\lijevo(a\cdot b \desno))^(x))$, a u potonjem jednostavno pomnožio broj 100 s razlomkom.

Sada imajte na umu da su brojevi s lijeve strane (u podnožju) i s desne strane donekle slični. Kako? Da, očito: to su moći istog broja! Imamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \desno))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \desno))^(2)). \\\kraj (poravnaj)\]

Dakle, naša će jednadžba biti prepisana na sljedeći način:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \desno))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \desno))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \desno))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \desno))^(3\lijevo(x-1 \desno)))=((\lijevo(\frac(10)(3) \desno))^(3x-3))\]

Istodobno, s desne strane također možete dobiti diplomu s istom bazom, za koju je dovoljno samo "okrenuti" razlomak:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Konačno, naša će jednadžba poprimiti oblik:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\kraj (poravnaj)\]

To je cijelo rješenje. Njegova se glavna ideja svodi na to da čak i uz različite razloge pokušavamo na udicu ili krivo te razloge svesti na isti. Ovo nam pomaže elementarne transformacije jednadžbe i pravila za rad s potencijama.

Ali koja pravila i kada koristiti? Kako razumjeti da u jednoj jednadžbi trebate obje strane podijeliti nečim, au drugoj - razložiti bazu eksponencijalne funkcije na faktore?

Odgovor na ovo pitanje doći će s iskustvom. Isprva se okušajte jednostavne jednadžbe, a zatim postupno komplicirajte zadatke - i vrlo brzo će vaše vještine biti dovoljne za rješavanje bilo koje eksponencijalne jednadžbe iz istog USE-a ili bilo kojeg samostalnog / testnog rada.

I da vam pomognem u ovom teškom zadatku, predlažem da na svojoj web stranici preuzmete skup jednadžbi za neovisna odluka. Sve jednadžbe imaju odgovore, tako da uvijek možete sami provjeriti.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi. Primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u poseban odjeljak 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što eksponencijalna jednadžba? Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima pokazatelji nekoliko stupnjeva. I samo tamo! To je važno.

Tu si ti primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

3 x 2 x = 8 x + 3

Bilješka! U bazama stupnjeva (ispod) - samo brojevi. NA pokazatelji stupnjevi (iznad) - širok izbor izraza s x. Ako se odjednom pojavi x u jednadžbi negdje drugdje osim indikatora, na primjer:

ovo će biti jednadžba mješoviti tip. Takve jednadžbe nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Ovdje ćemo se pozabaviti rješenje eksponencijalnih jednadžbi u svom najčišćem obliku.

Zapravo, čak ni čiste eksponencijalne jednadžbe nisu uvijek jasno riješene. Ali postoje određene vrste eksponencijalne jednadžbe koje se mogu i trebaju riješiti. Ovo su vrste koje ćemo gledati.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih jednadžbi.

Počnimo s nečim vrlo osnovnim. Na primjer:

Čak i bez ikakvih teorija, jednostavan odabir jasno je da je x=2. Ništa više, zar ne!? Nema drugih bacanja x vrijednosti. A sada pogledajmo rješenje ove lukave eksponencijalne jednadžbe:

Što smo učinili? Mi smo, naime, samo izbacili iste dna (trojke). Potpuno izbačen. I, što godi, pogodi me!

Doista, ako su u eksponencijalnoj jednadžbi s lijeve i desne strane isto brojeva u bilo kojem stupnju, ti brojevi se mogu ukloniti i izjednačiti eksponente. Matematika dopušta. Ostaje riješiti mnogo jednostavniju jednadžbu. Dobro je, zar ne?)

Međutim, prisjetimo se ironično: baze možete ukloniti samo kada su brojevi baza s lijeve i desne strane u sjajnoj izolaciji! Bez ikakvih susjeda i koeficijenata. Recimo u jednadžbama:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ili

Ne možete ukloniti duple!

Pa, savladali smo ono najvažnije. Kako prijeći sa zlih eksponencijalnih izraza na jednostavnije jednadžbe.

"Evo tih vremena!" - Ti kažeš. "Tko će dati takav primitiv na kontrole i ispite!?"

Prisiljen pristati. Nitko neće. Ali sada znate kamo ići kada rješavate zbunjujuće primjere. Potrebno ga je sjetiti, kada je isti osnovni broj lijevo - desno. Tada će sve biti lakše. Zapravo, ovo su klasici matematike. Uzimamo originalni primjer i pretvaramo ga u željeno nas um. Prema pravilima matematike, naravno.

Razmotrite primjere koji zahtijevaju neke dodatni napor da ih dovedemo do najjednostavnijeg. Nazovimo ih jednostavne eksponencijalne jednadžbe.

Jednadžbe se nazivaju eksponencijalnim ako je nepoznanica sadržana u eksponentu. Najjednostavnija eksponencijalna jednadžba ima oblik: a x \u003d a b, gdje je a> 0, a 1, x je nepoznanica.

Glavna svojstva stupnjeva, uz pomoć kojih se transformiraju eksponencijalne jednadžbe: a>0, b>0.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi također se koristi sljedeća svojstva eksponencijalna funkcija: y = a x , a > 0, a1:

Za prikaz broja kao stepena koristi se osnovni logaritamski identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.

Zadaci i testovi na temu "Eksponencijalne jednadžbe"

• eksponencijalne jednadžbe

  Lekcije: 4 Zadaci: 21 Testovi: 1

• eksponencijalne jednadžbe - Važne teme za ponavljanje ispita matematika

  Zadaci: 14

• Sustavi eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi - Demonstrativna i logaritamska funkcija 11. razred

  Lekcije: 1 Zadaci: 15 Testovi: 1

• §2.1. Rješenje eksponencijalnih jednadžbi

  Lekcije: 1 Zadaci: 27

• §7 Eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe - Odjeljak 5. Eksponencijalne i logaritamske funkcije 10. razred

  Lekcije: 1 Zadaci: 17

Za uspješno rješenje eksponencijalne jednadžbe koje biste trebali znati osnovna svojstva stupnjevi, svojstva eksponencijalne funkcije, osnovni logaritamski identitet.

Prilikom rješavanja eksponencijalnih jednadžbi koriste se dvije glavne metode:

1. prijelaz iz jednadžbe a f(x) = a g(x) u jednadžbu f(x) = g(x);
2. uvođenje novih linija.

Primjeri.

1. Jednadžbe koje se svode na najjednostavnije. Rješavaju se tako da se obje strane jednadžbe dovedu na stepen s istom bazom.

3x \u003d 9x - 2.

Odluka:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Odgovor: 4.

2. Jednadžbe riješene stavljanjem zajedničkog faktora u zagrade.

Odluka:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Odgovor: 3.

3. Jednadžbe riješene promjenom varijable.

Odluka:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Označavamo 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Jednadžba nema rješenja, jer 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Odgovor: dnevnik 2 3.

4. Jednadžbe koje sadrže potencije s dvije različite (međusobno nesvodljive) baze.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Odgovor: 2.

5. Jednadžbe koje su homogene s obzirom na a x i b x .

Opći oblik: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Odluka:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Odgovor: log 3/2 2; - dnevnik 3/2 2.