Kako riješiti diskriminant kvadratne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe

Diskriminanta, kao i kvadratne jednadžbe, počinje se proučavati u kolegiju algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti preko diskriminanta i pomoću Vietinog teorema. Metodologija proučavanja kvadratnih jednadžbi, kao i diskriminantna formula, prilično se neuspješno usađuje školarcima, kao i mnogo toga u realnom obrazovanju. Dakle, školske godine prolaze, obrazovanje od 9. do 11. razreda zamjenjuje "visoko obrazovanje" i svi opet traže - "Kako riješiti kvadratnu jednadžbu?", "Kako pronaći korijene jednadžbe?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminant D kvadratne jednadžbe a*x^2+bx+c=0 je D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe ovise o predznaku diskriminanta (D):
D>0 - jednadžba ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminanta je prilično jednostavna, pa mnoge stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakve skripte još nismo smislili, pa tko zna kako to implementirati neka piše na mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Morate imati omogućen JavaScript za pregled. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijeni jednadžbe nalaze se po formuli
Ako je koeficijent varijable na kvadrat uparen, tada je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima korijeni jednadžbe se nalaze po formuli

Drugi način pronalaženja korijena je Vietin teorem.

Teorem je formuliran ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektroničkim izvorima. Međutim, da pojednostavimo, razmotrimo onaj dio koji se tiče reduciranih kvadratnih jednadžbi, odnosno jednadžbi oblika (a=1)
Bit Vietinih formula je da je zbroj korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzetoj s suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Formule Vietinog teorema imaju oznaku.
Izvođenje Vieta formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednadžbu u terminima prostih faktora
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Učinkovito je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulu korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinom teoremu, imaju korijene




Analiza do 4 jednadžbe trebala bi izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, tako da korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi s suprotnim predznakom. Zbroj korijena je 7 (koeficijent varijable s suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe jednaka x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, ispravljajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se to čini teško izvedivim, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednadžbama, ova tehnika će biti učinkovitija od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i načina pronalaženja rješenja jednadžbe je lišena praktičnog značenja - "Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednadžba?", "Koje je fizičko značenje diskriminanta?".

Pokušajmo to shvatiti što diskriminant opisuje?

Na tečaju algebre proučavaju funkcije, sheme za proučavanje funkcija i crtanje funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola čija se jednadžba može zapisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije s apscisnom osi Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak varijable u kvadratu odgovara hoće li grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola s granama prema dolje (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminant veći od nule (D>0), parabola ima dvije točke presjeka s osi Ox.
Ako je diskriminant jednak nuli (D=0), tada parabola na vrhu dodiruje x-os.
I posljednji slučaj, kada je diskriminant manji od nule (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Bitna je sposobnost njihovog rješavanja.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješavanja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri razreda:

1. Nemati korijena;
2. Imaju točno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednadžba? Postoji divna stvar za ovo - diskriminirajući.

Diskriminirajući

Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi, sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po predznaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, bit će dva korijena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi ljudi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente prve jednadžbe i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednadžbu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Posljednja jednadžba ostaje:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednadžbu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete miješati izglede i nemojte napraviti glupe pogreške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitetu.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada prijeđimo na rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Nađimo ih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate brojati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i vrlo brzo se riješite pogrešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Događa se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je dano u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od pojmova nedostaje u ovim jednadžbama. Takve je kvadratne jednadžbe još lakše riješiti od standardnih: ne trebaju čak ni izračunati diskriminanta. Dakle, predstavimo novi koncept:

Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, t.j. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju, jednadžba ima oblik ax 2 \u003d 0. Očito, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c \u003d 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojat će dva korijena. Formula je navedena gore;
2. Ako (−c / a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što je s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrade

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednadžbi:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednadžbe uspjele su riješiti oko 2000 g. pr. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općenite metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe.

Diofantova aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavni niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih formuliranjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom sastavljanja jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov umnožak bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovica njihovog zbroja, tj. 10+x, drugi je manji, t.j. 10-ih godina. Razlika između njih 2x .

Odatle jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , drugo 8 . Odluka x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe već se nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptino pravilo u biti se podudara s našim.

U staroj Indiji javna su natjecanja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce zasjaji zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razigrano jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi dovršio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, zbraja obje strane 32 2 , uzimajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", t.j. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", t.j. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", t.j. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni jednaki su broju", t.j. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", t.j. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su zbrajanje, a ne oduzimanje. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor opisuje metode rješavanja ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabr i al-muqabela. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti npr. da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (uz pretpostavku korijena jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od umnoška, ​​ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, vi dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al - Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al - Khorezmija u Europi prvi su put iznesene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i u staroj Grčkoj, odlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova je knjiga pridonijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abacus" prošli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. a dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , s formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opću derivaciju formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da biste razumjeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednadžbi općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio ujednačenost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolika Viete još je daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne su jednadžbe temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax^2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0 inače više neće biti kvadratna jednadžba. Kvadratne jednadžbe ili nemaju korijena, ili imaju točno jedan korijen ili dva različita korijena. Prvi korak je traženje diskriminanta. Formula: D = b^2 − 4ac. 1. Ako je D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, bit će dva korijena. Prva opcija je jasna, nema korijena. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu naći na sljedeći način: x12 = (-b +- √D) / 2a. Što se tiče druge opcije, kada je D = 0, može se koristiti gornja formula.

Kvadratne jednadžbe počinju se proučavati u školskom kurikulumu na predmetu matematike. Ali, nažalost, ne razumiju svi i znaju kako ispravno riješiti kvadratnu jednadžbu i izračunati njezine korijene. Prvo, shvatimo što je kvadratna jednadžba.

Što je kvadratna jednadžba

Pod pojmom kvadratna jednadžba obično se podrazumijeva algebarska jednadžba općeg oblika. Ova jednadžba ima sljedeći oblik: ax2 + bx + c = 0, dok su a, b i c neki određeni brojevi, x je nepoznat. Ova tri broja obično se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe:

• a - prvi koeficijent;
• b - drugi koeficijent;
• c je treći koeficijent.

Kako pronaći korijene kvadratne jednadžbe

Da bismo izračunali koliko će biti jednaki korijeni kvadratne jednadžbe, potrebno je pronaći diskriminant jednadžbe. Diskriminant kvadratne jednadžbe je izraz koji je jednak i izračunat je formulom b2 - 4ac. Ako je diskriminant veći od nule, korijen se izračunava po formuli: x \u003d -b + - korijen diskriminanta podijeljen s 2 a.

Razmotrimo primjer jednadžbe 5x na kvadrat - 8x +3 = 0

Diskriminant je osam na kvadrat, minus četiri puta pet puta tri, tj. = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - korijen od četiri podijeljen s dva puta pet \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Prema tome, korijeni ove kvadratne jednadžbe bit će 1 i 0,6.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako grafički prikažemo funkciju
,
što je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe os apscise (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

U nastavku su primjeri takvih grafova.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da je jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Odluka

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva stvarna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo dekompoziciju kvadratnog trinoma na faktore:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prelazi os x u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Odluka

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-os (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen dvaput razložen na faktore:
,
onda se takav korijen naziva višekratnikom. To jest, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Odluka

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne prelazi os x. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne prelazi apscisu (os). Stoga nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.