Postoji mnogo tablica stupnjeva prirodni brojevi. Nije ih moguće sve nabrojati. Ovdje dajemo primjere nekih od ovih tablica i zadatke za pronalaženje vrijednosti iz takvih tablica.

Tablica potencija prvih prirodnih brojeva

Počnimo s tablicom za pronalaženje potencija prirodnih brojeva od $2$ do $12$ po potencijama od $1$ do $10$ (tablica 1). Imajte na umu da ne dajemo moći od $1$, jer će jedna biti jednaka samoj sebi bilo kojoj potenciji.

Vrijednosti iz ove tablice potrebno je pronaći na sljedeći način: U prvom stupcu nalazimo broj čiji nas stupanj zanima. Zapamtite broj ovog retka. Zatim, u prvom članu, nalazimo eksponent i pamtimo pronađeni stupac. Presjek pronađenog retka i stupca dat će nam odgovor.

Primjer 1

Pronađite $8^7$

U prvom stupcu nalazimo broj $8$: dobivamo 8. redak.

Vidimo da je broj $2097152$ na njihovu raskrižju. Stoga

Tablice potencija prirodnih brojeva od $1$ do $100$

Tablice stupnjeva od $1$ do $100$ također su prilično popularne. Nemoguće ih je sve navesti, pa ćemo kao primjer dati takve tablice za kvadrate i kocke takvih prirodnih brojeva (tablica 2 i tablica 3).

Ove tablice podsjećaju na dobro poznate tablice množenja, pa mislimo da čitatelju neće biti teško koristiti ove tablice.

Primjer 2

a) S obzirom na vrijednost nalazimo u tablici $2$ u pločici $8$:

b) Ovu vrijednost nalazimo u tablici $3$ u pločici $3$:

Tablica kvadrata prirodnih brojeva od $10$ do $99$

Još jedna popularna tablica je tablica kvadrata brojeva od 10$ do 99$ (tablica 4), odnosno svih decimalnih brojeva.

Potrebno je pronaći vrijednosti iz ove tablice na sljedeći način: U prvom stupcu nalazimo broj desetica broja koji nas zanima. Zapamtite broj ovog retka. Zatim, u prvom pojmu, nalazimo broj jedinica broja interesa i pamtimo pronađeni stupac. Presjek pronađenog retka i stupca dat će nam odgovor.

Primjer 3

Pronađite $37^2$

U prvom stupcu nalazimo broj $3$: dobivamo 4. redak.

U prvom retku nalazimo broj $7$: dobivamo 8. stupac.

Vidimo da je na njihovu raskrižju broj $1369$. Stoga

U nastavku razgovora o stupnju nekog broja, logično je pozabaviti se pronalaženjem vrijednosti stupnja. Ovaj proces je imenovan eksponencijalnost. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, a dotaknut ćemo se svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Što znači "eksponencijal"?

Počnimo s objašnjenjem što se naziva eksponencijaliranje. Ovdje je relevantna definicija.

Definicija.

Eksponencijaliranje je pronaći vrijednost potencije broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stupnja a s eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost potencije (0,5) 5", onda se može preformulirati na sljedeći način: "Podigni broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići izravno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost na temelju obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stupnja iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere dizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stupnja.

Odluka.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stupnja s razlomkom eksponenta. Izračunavamo vrijednost stupnja pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kockasti korijen: .

Drugi način. Po definiciji stupnja s razlomnim eksponentom i na temelju svojstava korijena, jednakosti su istinite . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očito se dobiveni rezultati dizanja na razlomak stepena podudaraju.

Odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni ili mješoviti broj, u tim slučajevima treba ga zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, nakon čega treba izvesti eksponencijalnost.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Odluka.

Zapisujemo eksponent u obliku obični razlomak(ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

Odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne potencije prilično naporan proces (posebno kada se brojnik i nazivnik frakcijski pokazatelj stupnjevi su dovoljno veliki brojevi), što se obično provodi pomoću računalne tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa zadržat ćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Razlomkom stupnju nule oblika dali smo sljedeće značenje: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle nula u razlomku pozitivan stupanj jednako nuli, npr. . I nula u razlomku negativan stupanj nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad postaje potrebno saznati vrijednost stupnja broja s iracionalnim eksponentom. U isto vrijeme, u praktične svrhe obično je dovoljno da se vrijednost stupnja dovede do nekog predznaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću tehnologije elektroničkog računanja, budući da se povećava na ir racionalni stupanj ručno zahtijeva veliki broj glomazni proračuni. Međutim, mi ćemo opisati općenito govoreći bit radnje.

Da bismo dobili približnu vrijednost potencije broja a s ir racionalni pokazatelj, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stupnja broja a s iracionalnim eksponentom. Što je točnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će vrijednost stupnja biti točnija na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog pokazatelja: . Sada povisimo 2 na racionalni stepen 1,17 (opisali smo bit ovog procesa u prethodnom odlomku), dobivamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Tako, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo točniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti točniju vrijednost izvornog stupnja: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10.-11. razred općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola).

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebate? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Naučiti sve o diplomama, čemu služe, kako upotrijebiti svoje znanje Svakidašnjica pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje stupnjeva će vas približiti uspješna isporuka OGE ili USE i za upis na sveučilište svojih snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVA RAZINA

Eksponencijacija je ista matematička operacija poput zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Obratiti pažnju. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa zbrajanjem.

Ovdje se nema što objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je – 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem su slučaju primijetili da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i s greškama! Ali…

Ovdje je tablica množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na stepen.

Dizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima – brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je u tablici potencija brojeva istaknuto bojom. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Visoko dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm. A onda će vas mučiti “brojenje prstom”. Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili povisiti na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na stepen puno lakše i također ima manje pogrešaka u izračunima. Za ispit je ovo jako važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatka za vas, izbrojite koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći kvadrat broja... S jedne strane ćelije i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam s osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, tada možete kvadratirati osam. Nabavite stanice. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumen i tekućina se mjere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko će kocki metar po metar ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmimo primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate međusobno pomnožiti njegovu duljinu, širinu i visinu. U našem slučaju, volumen bazena će biti jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako im to previše olakša. Sveo sve na jednu akciju. Primijetili su da su duljina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtiti tablicu stupnjeva. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite puno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi kako bi riješili svoje životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine zaradite još milijun za svaki milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite prstom”, onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milijun! Sad zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže izračuna, dobit će ove milijune... Vrijedi li pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. Super je zar ne? Svaki milijun je utrostručen. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na stepen znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da se ne zabune

Dakle, prvo, definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno – to je broj koji je „na vrhu“ moći broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vrijeme, što takvu osnovu diplome? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da se uvjerite.

Pa i unutra opći pogled generalizirati i bolje zapamtiti ... Stupanj s osnovom "" i eksponentom "" čita se kao "do stupnja" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja sa prirodni pokazatelj

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što jest prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojenju kod nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: “minus pet”, “minus šest”, “minus sedam”. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula točka pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su to brojevi?

Odnose se brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam". cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rubalja.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Ima li još iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskrajno decimal. Na primjer, ako podijelite opseg kruga s njegovim promjerom, dobit ćete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podignite broj na prirodni stupanj znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle su ove nekretnine? sada ću vam pokazati.

Da vidimo što je i ?

A-prioritet:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali čimbenike, a rezultat su čimbenici.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebao biti dokazan.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Odluka: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti iste osnove!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijete napisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do sada smo raspravljali samo o tome kakav bi trebao biti eksponent.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnog i negativni brojevi?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obraćamo pažnju na osmi stupanj, što ovdje vidimo? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Pokazalo se da je vrlo lako: tu nam pomaže paran stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" u jednakoj mjeri odnosi na bilo koji izraz: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (odnosno uzete sa znakom "") i broj.

cijeli pozitivan broj , i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmislite o nekoj snazi ​​s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. S kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stupnju - koliko god pomnožili nulu samu po sebi, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stupnju, mora biti jednak. Dakle, što je istina u ovome? Matematičari su se odlučili ne uključiti i odbili su nulu podići na nultu potenciju. Odnosno, sada ne možemo samo podijeliti s nulom, već ga i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Uz prirodne brojeve i brojeve, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni eksponent, učinimo kao u posljednji put: pomnožiti neki normalni broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen obrnut je istom broju na pozitivan stepen. Ali u isto vrijeme baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Sumirajmo:

I. Izraz nije definiran u padežu. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen obrnut je istom broju pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste uspjeli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da bi razumjeli što je "djelomični stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stupanj do stupnja":

Koji se broj mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: bilo koji broj podignut na čak i stupanj je pozitivan broj. To jest, nemoguće je iz negativnih brojeva izvući korijene parnog stupnja!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s ekspresijom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan bazni eksponent s razlomkom eksponenta.

Dakle, ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom vrlo su korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

Pa, sada - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulte snage- to je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broj”, odnosno broj;

...stupanj s cijelim brojem negativan pokazatelj - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, u znanosti se često koristi diploma sa složenim pokazateljem, odnosno pokazatelj nije ujednačen pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku razumjeti te nove koncepte na institutu.

KAMO SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

NA ovaj slučaj,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Dajemo razlomke u eksponentima k iste vrste: ili obje decimale ili obje normalne. Dobivamo npr.:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Povećanje broja na prirodni stepen n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stupnju je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do stupnja je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stupnja

Kako bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle ta svojstva? Dokažimo ih.

Da vidimo: što je i?

A-prioritet:

Dakle, s desne strane ovog izraza dobiva se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Odluka : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju biti na istoj osnovi. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedan važna nota: ovo pravilo je - samo za proizvode moći!

Ni u kojem slučaju to ne smijem napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:!

Prisjetimo se formula za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo raspravljali samo o onome što bi trebalo biti indikator stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodnim indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: koliko god pozitivnih brojeva međusobno množimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus”. Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobivamo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je formulirati takve jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji će znak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, budući da (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni na druge, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije rastavljanja posljednje pravilo Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obraćamo pažnju na osmi stupanj, što ovdje vidimo? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Pokazalo se da je vrlo lako: tu nam pomaže paran stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj se "fenomen" u jednakoj mjeri odnosi na bilo koji izraz: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stupnja i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno se pokazalo da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Osim informacija o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s iznimkom - uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stupnjeva s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo napravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nultom stupnju je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprema broja”, odnosno broj; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, u znanosti se često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku razumjeti te nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupnja, čiji su pokazatelj negativni i razlomci.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj moći.
• Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod sviđa li vam se ili ne.

Recite nam svoje iskustvo s energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili prijedlozi.

Napišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Razmotrimo niz brojeva, od kojih je prvi 1, a svaki sljedeći dvostruko veći: 1, 2, 4, 8, 16, ... Koristeći eksponente, može se zapisati u ekvivalentnom obliku: 2 0 , 2 1 , 2 2 . 2 3 , 2 4 , ... Zove se sasvim očekivano: niz potencija dvojke.Čini se da u njemu nema ničeg izvanrednog - slijed kao slijed, ni bolji ni gori od drugih. Međutim, ima neka vrlo izvanredna svojstva.

Bez sumnje, mnogi čitatelji su je upoznali u njoj klasična povijest o izumitelju šaha, koji je od vladara tražio kao nagradu za prvu ćeliju šahovnice jedno zrno pšenice, za drugu - dva, za treću - četiri, i tako dalje, cijelo vrijeme udvostručujući broj zrna. Jasno je da je njihov ukupan broj jednak

S= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

No, budući da je ta količina nevjerojatno velika i višestruko premašuje godišnju žetvu žitarica diljem svijeta, pokazalo se da je kadulja oderala ravnalo kao ljepljivo.

Međutim, postavimo si sada još jedno pitanje: kako izračunati vrijednost od S? Vlasnici kalkulatora (ili, štoviše, računala) mogu lako izvesti množenje u dogledno vrijeme, a zatim dodati rezultirajuća 64 broja, dobivši odgovor: 18 446 744 073 709 551 615. A budući da je količina izračuna znatna, vjerojatnost pogreške je vrlo velika. visoka.

Tko je lukaviji vidi se u ovom nizu geometrijska progresija. Oni koji nisu upoznati s ovim konceptom (ili oni koji su jednostavno zaboravili standardna formula iznosi geometrijska progresija) može koristiti sljedeće obrazloženje. Pomnožimo obje strane jednakosti (1) s 2. Budući da pri udvostručenju stupnja dvojke njegov eksponent raste za 1, dobivamo

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Sada od (2) oduzmite (1). Na lijevoj strani, naravno, ispada 2 S – S = S. S desne strane doći će do masovnog međusobnog uništenja gotovo svih potencija dvojke - od 2 1 do 2 63 uključujući i ostat će samo 2 64 - 2 0 \u003d 2 64 - 1. Dakle:

S= 2 64 – 1.

Pa, izraz je zamjetno pojednostavljen, a sada, s kalkulatorom koji vam omogućuje dizanje na stepen, možete pronaći vrijednost ove količine bez i najmanjeg problema.

A ako nema kalkulatora - što učiniti? Pomnožiti u stupcu od 64 dvojke? Što je još nedostajalo! Iskusni inženjer ili primijenjeni matematičar za koga glavni faktor- vrijeme, moglo brzo procjena odgovor, tj. pronađite ga približno s prihvatljivom točnošću. U pravilu, u svakodnevnom životu (i u većini prirodne znanosti) pogreška od 2-3% je sasvim prihvatljiva, a ako ne prelazi 1%, onda je ovo jednostavno super! Pokazalo se da je moguće izračunati naša zrna s takvom greškom uopće bez kalkulatora, i to u samo nekoliko minuta. Kako? Sad ćeš vidjeti.

Dakle, potrebno je što točnije pronaći umnožak 64 dvojke (odmah ćemo odbaciti jedinicu zbog njezine beznačajnosti). Razdvojimo ih u zasebnu grupu od 4 dvojke i još 6 grupa po 10 dvojki. Proizvod dvojaka u odvojena grupa jednako 2 4 = 16. A umnožak 10 dvojki u svakoj od ostalih skupina je 2 10 = 1024 (provjeri tko sumnja!). Ali 1024 je oko 1000, t.j. 10 3 . Tako S treba biti blizu umnoška broja 16 za 6 brojeva, od kojih je svaki jednak 10 3 , tj. S ≈ 16 10 18 (jer je 18 = 3 6). Istina, pogreška je ovdje još uvijek prilično velika: uostalom, 6 puta pri zamjeni 1024 s 1000 pogriješili smo 1,024 puta, a ukupno smo pogriješili, kao što je lako vidjeti, 1,024 6 puta. Pa sada - dodatno pomnoži 1,024 šest puta sam po sebi? Ne, idemo! Poznato je da za broj x, što je višestruko manje od 1, s visoka preciznost vrijedi sljedeća približna formula: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Stoga je 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24 6 = 1,144. Stoga trebamo pomnožiti broj 16 10 18 koji smo pronašli s brojem 1.144, što će rezultirati 18.304.000.000.000.000.000, a to se razlikuje od ispravnog odgovora za manje od 1%. Ono što smo tražili!

U ovom slučaju, imali smo veliku sreću: jedna od potencija dvojke (naime, deseta) pokazala se vrlo blizu jednoj od potencija desetice (naime, treća). To nam omogućuje da brzo procijenimo vrijednost bilo kojeg stepena dvojke, ne nužno 64. Među potencijama drugih brojeva to nije uobičajeno. Na primjer, 5 10 se razlikuje od 10 7 također za 1,024 puta, ali ... u manjem smjeru. Međutim, ovo je bobica istog polja: od 2 10 5 10 \u003d 10 10, koliko puta 2 10 nadmašuje 10 3 , isti broj puta 5 10 manji od 10 7 .

Ostalo zanimljiva značajka niza koji se razmatra je da se iz bilo kojeg prirodnog broja može konstruirati razne potencije dvojke, i jedini način. Na primjer, za broj Trenutna godina imamo

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Tu mogućnost i jedinstvenost nije teško dokazati. Počnimo s prilike. Pretpostavimo da trebamo prikazati u obliku zbroja raznih stupnjeva dva je neki prirodan broj N. Prvo ga zapisujemo kao zbroj N jedinice. Budući da je jedinica 2 0, onda u početku N postoji zbroj identičan moći dvojke. Tada ćemo ih početi upariti. Zbroj dvaju brojeva jednakih 2 0 je 2 1 , pa je rezultat očito manje broj članova jednak 2 1 , i, eventualno, jedan broj 2 0 ako nije pronašao par. Zatim, kombiniramo iste članove 2 1 u parove, dobivajući još manji broj brojeva 2 2 (ovdje je također moguća pojava nesparenog stepena dva 2 1). Zatim ponovno kombiniramo jednake pojmove u parovima, i tako dalje. Prije ili kasnije, proces će završiti, jer se broj identičnih potencija dvaju smanjuje nakon svakog spoja. Kad postane jednako 1 - gotovo je. Ostaje zbrojiti sve rezultirajuće nesparene moći dvojke - i reprezentacija je spremna.

Što se tiče dokaza jedinstvenost reprezentacija, onda je metoda "po suprotnosti" ovdje dobro prikladna. Neka isti broj N mogao predstaviti u obliku dva skupovi različitih potencija od 2 koji se ne podudaraju točno (tj. postoje potencije od 2 koje su u jednom skupu, ali ne u drugom, i obrnuto). Prvo, odbacimo sve podudarne potencije dvojke iz oba skupa (ako ih ima). Dobivate dva prikaza istog broja (manje ili jednako N) kao zbroj različitih potencija dvojke, i svi stupnja u podnescima drugačiji. U svakom od prikaza odaberite najveći stupanj. Na temelju gore navedenog, za dva prikaza ovi stupnjevi drugačiji. Reprezentacija za koju je ovaj stupanj veći naziva se prvi, ostalo - drugi. Dakle, neka je u prvom prikazu najveća snaga 2 m, onda u drugom očito ne prelazi 2 m-jedan . Ali budući da (a to smo već susreli gore, računajući zrna na šahovskoj ploči), jednakost

2m = (2m –1 + 2m –2 + ... + 2 0) + 1,

zatim 2 m strogo više zbroj svih potencija dvojke ne prelazi 2 m-jedan . Zbog toga je najveći stepen dvojke uključen u prvi prikaz vjerojatno veći od zbroja svi ovlasti dvojke uključene u drugi prikaz. Kontradikcija!

Zapravo, upravo smo opravdali mogućnost upisivanja brojeva binarni brojevni sustav. Kao što znate, koristi samo dvije znamenke - nulu i jedan, a svaki prirodni broj je zapisan u binarnom sustavu na jedinstven način (na primjer, gore spomenuta 2012. - kao 11 111 011 100). Ako znamenke (binarne znamenke) numeriramo s desna na lijevo, počevši od nule, tada će brojevi onih znamenki u kojima postoje jedinice biti samo eksponenti dvojki uključenih u prikaz.

Manje poznato sljedeća nekretnina skupovi cijelih nenegativnih potencija dvojke. Nekima od njih proizvoljno dodijelimo predznak minus, odnosno od pozitivnih ćemo ih učiniti negativnima. Jedini uvjet je da rezultat i pozitivnih i negativnih brojeva bude beskonačan broj. Na primjer, svakom petom stepenu dvojke možete dodijeliti znak minus ili, recimo, ostaviti pozitivne samo brojeve 2 10 , 2 100 , 2 1000 i tako dalje - opcija ima koliko god želite.

Iznenađujuće, bilo koji cijeli broj se može (i, štoviše, na jedinstven način) predstaviti kao zbroj različitih članova našeg "pozitivno-negativnog" niza. A to nije jako teško dokazati (na primjer, indukcijom na eksponente dvojki). glavna ideja dokaz - prisutnost proizvoljno velikih apsolutna vrijednost i pozitivni i negativni pojmovi. Pokušajte sami napraviti dokaz.

Zanimljivo je promatrati posljednje znamenke članova niza potencija dvojke. Budući da se svaki sljedeći broj u nizu dobiva udvostručavanjem prethodnog, posljednja znamenka svakog od njih u potpunosti je određena posljednjom znamenkom prethodni datum. I od razni brojevi ograničeni broj, slijed zadnjih znamenki potencija dvojke je jednostavan dužan budi periodičan! Duljina razdoblja, naravno, ne prelazi 10 (jer to je koliko znamenki koristimo), ali to je jako precijenjena vrijednost. Pokušajmo to procijeniti, a da još ne napišemo sam slijed. Jasno je da posljednje znamenke svih potencija dvojke, počevši od 2 1 , čak. Osim toga, nula ne može biti među njima – jer je broj koji završava na nulu djeljiv s 5, za koji se ne može posumnjati u stepen dvojke. A budući da postoje samo četiri parne znamenke bez nule, duljina razdoblja ne prelazi 4.

Provjera pokazuje da je to tako, a periodičnost se pojavljuje gotovo odmah: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - u potpunosti u skladu s teorijom!

Ništa manje uspješno se može procijeniti duljina razdoblja posljednjeg para znamenki u nizu potencija dvojke. Budući da su sve potencije dvojke, počevši od 2 2 , djeljive s 4, brojevi formirani od njihove posljednje dvije znamenke također su djeljivi s 4. Ne više od dvoznamenkasti brojevi, djeljivo s 4, postoji samo 25 (za jednoznamenkaste brojeve nulu smatramo pretposljednjom znamenkom), ali iz njih se mora izbaciti pet brojeva koji završavaju nulom: 00, 20, 40, 60 i 80. Dakle, razdoblje ne može sadržavati više od 25 - 5 = 20 brojeva. Provjera pokazuje da jest, razdoblje počinje brojem 2 2 i sadrži parove brojeva: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36 , 72 , 44, 88, 76, 52, pa opet 04 i tako dalje.

Slično se može dokazati da je duljina razdoblja posljednjeg m znamenke niza potencija dvojke ne prelaze 4 5 m–1 (štoviše, ona je zapravo jednako je 4 5 m–1 , ali to je mnogo teže dokazati).

Dakle, na posljednje znamenke potencija dvojke nameću se prilično stroga ograničenja. a kako bi bilo prvi brojevi? Ovdje je situacija gotovo suprotna. Ispada da za bilo koji skup znamenki (od kojih prva nije nula) postoji stepen dva počevši od ovog skupa znamenki. I takve moći dvojke beskrajno mnogo! Na primjer, postoji beskonačan broj potencija dvojke počevši od znamenki 2012 ili, recimo, 3,333,333,333,333,333,333,333.

A ako uzmemo u obzir samo jednu prvu znamenku različitih potencija dvojke - koje vrijednosti može uzeti? Lako je osigurati bilo koji - od 1 do 9 (naravno, među njima nema nule). Ali koji su češći, a koji rjeđi? Nekako nije odmah jasno zašto bi se jedan broj trebao pojavljivati ​​češće od drugog. Međutim, dublja promišljanja pokazuju da se ne može očekivati ​​samo ista pojava brojeva. Doista, ako je prva znamenka bilo kojeg stepena dvojke 5, 6, 7, 8 ili 9, tada će prva znamenka stepena dvojke koja slijedi nužno biti jedinica! Prema tome, mora postojati „nakos“, barem prema jedinstvu. Stoga je malo vjerojatno da će ostatak figura biti “jednako zastupljen”.

Praksa (naime, izravan računalni izračun za prvih nekoliko desetaka tisuća potencija dvojke) potvrđuje naše sumnje. Ovdje je relativni udio prvih znamenki potencija dvojke, zaokružen na 4 decimale:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Kao što možete vidjeti, ova vrijednost opada s porastom znamenki (i stoga je za istu jedinicu oko 6,5 puta veća vjerojatnost da će biti prva znamenka potencija dva nego devet). Koliko god čudno izgledalo, ali praktički isti omjer broja prvih znamenki će se dogoditi za gotovo bilo koji slijed stupnjeva - ne samo dva, već, recimo, tri, pet, osam i općenito gotovo bilo koji brojevi, uključujući one koji nisu cijeli (iznimka su samo neki "posebni" brojevi). Razlozi za to su vrlo duboki i složeni, a za njihovo razumijevanje potrebno je poznavati logaritme. Za one koji su upoznati s njima, podignimo veo: ispada da je relativni udio potencija dvojke, decimalni zapis koji počinju brojem F(za F= 1, 2, ..., 9) je lg ( F+ 1) – lg ( F), gdje je lg tzv decimalni logaritam, jednak eksponentu na koji se broj 10 mora podići da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Koristeći gore spomenutu vezu između potencija dva i pet, A. Kanel je otkrio zanimljiv fenomen. Odaberimo nekoliko znamenki iz niza prvih znamenki potencija dvojke (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) ugovor i upiši ih obrnuti redoslijed. Ispada da će se ti brojevi zasigurno susresti također u nizu, počevši od nekog mjesta, u slijedu prvih znamenki potencija petice.

Moći dvojke su također svojevrsni "generator" za proizvodnju dobro poznatih savršeni brojevi, koji je jednak zbroju svih njegovih djelitelja, isključujući samoga sebe. Na primjer, broj 6 ima četiri djelitelja: 1, 2, 3 i 6. Odbacimo onaj koji je jednak samom broju 6. Ostala su tri djelitelja čiji je zbroj točno jednak 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, 6 je savršen broj.

Da biste dobili savršen broj, uzmite dva uzastopna potencija dva: 2 n-1 i 2 n. Najveći od njih smanjimo za 1, dobivamo 2 n– 1. Ispada da ako je ovo prost broj, onda množenjem s prethodnim stupnjem dva, formiramo savršen broj 2 n –1 (2n- jedan). Na primjer, kada P= 3 dobivamo originalne brojeve 4 i 8. Kako je 8 - 1 = 7 prost broj, onda je 4 7 = 28 savršen broj. Štoviše, svojedobno je Leonhard Euler dokazao da je sve čak savršeni brojevi izgledaju ovako. Neparni savršeni brojevi još nisu otkriveni (i malo ljudi vjeruje u njihovo postojanje).

Moći dvojke usko su povezane s tzv Katalonski brojevi, čiji niz ima oblik 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Često nastaju pri rješavanju raznih kombinatorni problemi. Na primjer, na koliko načina može konveksna n-gon u trokute s dijagonalama koje se ne sijeku? Svejedno je Euler otkrio da je ta vrijednost jednaka ( n- 1)-ti broj katalonskog (označavamo ga K n-1), i to je otkrio K n = K n-četrnaest n – 6)/n. Katalonski brojčani niz ima mnoga zanimljiva svojstva, a jedno od njih (upravo povezano s temom ovog članka) je da redni brojevi svi neparni katalonski brojevi su potenci dvojke!

Moći dvojke često se nalaze u raznim problemima, ne samo u uvjetima, već i u odgovorima. Uzmimo, na primjer, nekad popularnu (i dalje nezaboravnu) hanojska kula. Ovo je bio naziv zagonetke izmišljene u 19. stoljeću. francuski matematičar E. Luca. Sadrži tri štapa, od kojih je jedan istrošen n diskovi s rupom u sredini svakog. Promjeri svih diskova su različiti, a poredani su silaznim redoslijedom odozdo prema gore, tj. najveći disk je na dnu (vidi sliku). Ispalo je kao toranj od diskova.

Ovaj toranj potrebno je prenijeti na drugu šipku, poštujući sljedeća pravila: diskove pomicati točno jedan po jedan (skidajući gornji disk sa bilo koje šipke) i uvijek stavljati samo manji disk na veći, ali ne i obrnuto. Pitanje je: koji je minimalni broj poteza potreban za to? (Pomakom nazivamo uklanjanje diska s jedne šipke i stavljanje na drugu.) Odgovor: jednak je 2 n– 1, što se lako dokazuje indukcijom.

Neka za n diskova, potreban minimalni broj poteza je X n. Nađimo x n+1 . U procesu rada, prije ili kasnije bit će potrebno ukloniti najveći disk sa šipke, na koju su svi diskovi izvorno stavljeni. Budući da se ovaj disk može staviti samo na praznu šipku (inače će "pritisnuti" manji disk, što je zabranjeno), tada će svi gornji n diskovi će se prvo morati prenijeti na treći štap. To neće zahtijevati ništa manje X n potezima. Zatim najveći disk prenosimo na prazan štap - evo još jednog poteza. Na kraju, kako bi ga odozgo “stisnuli” manjim n diskova, opet neće trebati ništa manje X n potezima. Tako, X n +1 ≥Xn + 1 +Xn = 2X n+ 1. S druge strane, gore opisane radnje pokazuju kako se točno možete nositi sa zadatkom 2 X n+ 1 potez. Stoga, konačno X n +1 =2X n+ 1. Primljeno odnos recidiva, ali da bismo ga doveli u "normalan" oblik, moramo i pronaći x jedan . Pa, tako je jednostavno: x 1 = 1 (jednostavno ne može biti manje!). Nije teško, na temelju ovih podataka, to otkriti X n = 2n– 1.

Evo još jednog zanimljivog izazova:

Pronađite sve prirodne brojeve koji se ne mogu predstaviti kao zbroj nekoliko (najmanje dva) uzastopna prirodna broja.

Prvo provjerimo najmanji brojevi. Jasno je da je broj 1 in navedenom obliku nezamisliv. Ali svi neparni koji su veći od 1 mogu se, naravno, predstaviti. Doista, bilo koji Parni broj veći od 1 može se napisati kao 2 k + 1 (k- prirodni), koji je zbroj dva uzastopna prirodna broja: 2 k + 1 = k + (k + 1).

Što je s parnim brojevima? Lako je vidjeti da se brojevi 2 i 4 ne mogu prikazati u traženom obliku. Možda je isto za sve parne brojeve? Jao, sljedeći paran broj pobija našu pretpostavku: 6 \u003d 1 + 2 + 3. Ali broj 8 opet ne odgovara. Istina, sljedeći brojevi opet popustiti pred navalom: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, ali 16 je opet nezamislivo.

Pa, akumulirane informacije nam omogućuju da izvučemo preliminarne zaključke. Napomena: nije moguće prikazati u navedenom obliku samo potencije dvojke. Je li to istina za ostale brojke? Ispostavilo se da da! Doista, razmotrite zbroj svih prirodnih brojeva iz m prije n uključivo. Budući da ih ima najmanje dva, dakle n > m. Kao što je poznato, zbroj uzastopnih članova aritmetička progresija(a to je ono s čim imamo posla!) jednak je umnošku poluzbroja prvog i posljednjeg člana i njihovog broja. Pola zbroja je ( n + m)/2, a broj brojeva je n – m+ 1. Dakle, zbroj je ( n + m)(n – m+ 1)/2. Imajte na umu da brojnik sadrži dva faktora, od kojih svaki strogo više 1, a njihov paritet je drugačiji. Ispada da je zbroj svih prirodnih brojeva iz m prije n uključeno je djeljivo s neparnim brojem većim od 1, pa stoga ne može biti potencija dva. Dakle, sada je jasno zašto nije bilo moguće predstaviti stupnjeve dvojke u pravom obliku.

Ostaje se uvjeriti u to nije stepen dvojke može se zamisliti. Što se tiče neparnih brojeva, s njima smo se već pozabavili gore. Uzmi bilo koji paran broj koji nije potencija dva. Neka je najveći stepen od 2 djeljiv sa 2 a (a- prirodno). Zatim ako se broj podijeli sa 2 a, već će neparan broj veći od 1, koji ćemo napisati u poznatom obliku - kao 2 k+ 1 (k- također prirodno). Dakle, općenito, naš paran broj, koji nije potencija dva, je 2 a (2k+ 1). Pogledajmo sada dvije opcije:

1. 2 a+1 > 2k+ 1. Uzmi zbroj 2 k+ 1 uzastopni prirodni broj, prosječno od čega je jednako 2 a. Lako je to onda vidjeti najmanje od čega je jednako 2 a-k, a najveći je 2 a + k, a najmanji (a time i svi ostali) je pozitivan, tj. stvarno prirodan. Pa, zbroj je, očito, samo 2 a(2k + 1).
2. 2 a+1 < 2k+ 1. Uzmi zbroj 2 a+1 uzastopni prirodni brojevi. Ovdje se ne može navesti. prosječno broj, jer je broj brojeva paran, ali naznačite par srednjih brojevi koje možete: neka budu brojevi k i k+ 1. Zatim najmanje svih brojeva je k+ 1 – 2a(i također pozitivan!) i najveći je jednak k+ 2a. Njihov zbroj je također 2 a(2k + 1).

To je sve. Dakle, odgovor je: nereprezentabilni brojevi su potencije dvojke, i samo oni.

I evo još jednog problema (prvi ga je predložio V. Proizvolov, ali u malo drugačijoj formulaciji):

Okućnica je ograđena čvrstom ogradom od N dasaka. Po nalogu tete Polly, Tom Sawyer zabijeli ogradu, ali vlastiti sustav: cijelo vrijeme se kreće u smjeru kazaljke na satu, prvo izbijeli proizvoljnu ploču, zatim preskoči jednu ploču i izbijeli sljedeću, zatim preskoči dvije ploče i izbijeli sljedeću, zatim preskoči tri ploče i izbijeli sljedeću, i tako dalje, svaki put preskočivši još jednu ploču (s nekim pločama može se zabijeliti nekoliko puta - to Tomu ne smeta).

Tom smatra da će po takvoj shemi prije ili kasnije sve daske biti izbijeljene, a teta Polly je sigurna da će barem jedna ploča ostati neobijeljena, koliko god Tom radio. Pod kojim N je Tom u pravu, a pod kojim je teta Polly?

Opisani sustav izbjeljivanja djeluje prilično kaotično, pa se u početku može činiti da za bilo koji (ili skoro bilo koji) N svaka će ploča jednog dana dobiti svoj dio vapna, tj. prvenstveno, točno Tom. Ali prvi je dojam varljiv, jer zapravo Tom ima pravo samo za vrijednosti N, što su potencije dvojke. Za druge N postoji daska koja će zauvijek ostati neobijeljena. Dokaz ove činjenice prilično je glomazan (iako, u principu, nije težak). Pozivamo čitatelja da to učini sam.

To su oni - moći dvojke. Izgleda jednostavnije nego jednostavno, ali dok kopate ... I ovdje smo dotakli ne sva nevjerojatna i tajanstvena svojstva ovog niza, već samo ona koja su nam zapela za oko. Pa, čitatelju se daje pravo da samostalno nastavi istraživanja u ovom području. Bez sumnje će biti plodonosne.

Nulti broj).
I ne samo dvojke, kao što je ranije navedeno!
Žedni detalja, možete pročitati članak V. Boltyanskyja "Počinju li moći dvojke često s jednim?" (“Kvant” br. 5, 1978.), kao i članak V. Arnolda “Statistika prvih znamenki potencija dvojke i podjela svijeta” (“Kvant” br. 1, 1998.).
Vidi problem M1599 iz problemske knjige "Kvant" ("Kvant" br. 6 za 1997.).
Trenutno su poznata 43 savršena broja, od kojih je najveći 2 30402456 (2 30402457 - 1). Sadrži preko 18 milijuna znamenke.

Tablica potencija 2 (dvojke) od 0 do 32

Gornja tablica, osim stupnja dvojke, prikazuje maksimalne brojeve koje računalo može pohraniti za zadani broj bitova. I za cijele brojeve i za brojeve sa predznakom.

Povijesno gledano, računala su koristila binarni brojevni sustav i, sukladno tome, pohranu podataka. Dakle, bilo koji broj se može predstaviti kao niz nula i jedinica (bitova informacija). Postoji nekoliko načina da se brojevi predstave kao binarni niz.

Razmotrite najjednostavniji od njih - ovo je pozitivan cijeli broj. Što onda više broja trebamo napisati, duži slijed bitova nam je potreban.

Ispod je tablica potencija broja 2. Dat će nam prikaz potrebnog broja bitova koji su nam potrebni za pohranjivanje brojeva.

Kako koristiti tablica potencija dvojke?

Prvi stupac je moć dvojke, što istovremeno označava broj bitova koji predstavlja broj.

Drugi stupac - vrijednost dvojke na odgovarajuću potenciju (n).

Primjer pronalaženja potencije broja 2. U prvom stupcu nalazimo broj 7. Gledamo duž linije desno i nalazimo vrijednost dva na sedmu potenciju(2 7 ) je 128

Treći stupac - maksimalni broj koji se može predstaviti zadanim brojem bitova(u prvom stupcu).

Primjer određivanja maksimalnog cijelog broja bez predznaka. Koristeći podatke iz prethodnog primjera, znamo da je 2 7 = 128 . To je istina ako želimo razumjeti što količina brojeva, može se predstaviti pomoću sedam bitova. Ali pošto prvi broj je nula, tada je maksimalni broj koji se može predstaviti korištenjem sedam bitova 128 - 1 = 127 . Ovo je vrijednost trećeg stupca.

Potencija dvojke (n)	Moć dvije vrijednosti 2n	Maksimalni nepotpisani broj, napisano s n bitova	Maksimalni potpisani broj, napisano s n bitova
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647