Metodološki razvoj na temu: matematičko istraživanje u nastavi matematike. Matematičke metode operacijskih istraživanja

Plan:
1. Istraživanje metoda matematičke statistike u pedagoškom istraživanju.
1. Istraživanje metoda matematičke statistike u pedagoškom istraživanju.
U posljednje vrijeme učinjeni su ozbiljni koraci da se u pedagogiju uvedu matematičke metode za procjenu i mjerenje pedagoških pojava i utvrđivanje kvantitativnih odnosa među njima. Matematičke metode omogućuju nam pristup rješavanju jednog od najtežih zadataka pedagogije - kvantitativnoj procjeni pedagoških pojava. Samo obrada kvantitativnih podataka i proizašli zaključci mogu objektivno dokazati ili opovrgnuti postavljenu hipotezu.
U pedagoškoj literaturi predlaže se niz metoda za statističku obradu podataka iz pedagoškog eksperimenta (L. B. Itelson, Yu. V. Pavlov i dr.). Pri korištenju metoda matematičke statistike treba imati na umu da sama statistika ne otkriva bit pojave i ne može objasniti razloge razlika koje nastaju između pojedinih aspekata pojave. Na primjer, analiza rezultata istraživanja pokazuje da je korištena nastavna metoda dala bolje rezultate u odnosu na prethodno zabilježene. Međutim, ovi izračuni ne mogu odgovoriti na pitanje zašto je nova metoda bolja od stare.
Najčešće matematičke metode koje se koriste u pedagogiji su:
1. Evidentiranje - metoda utvrđivanja prisutnosti određene kvalitete kod svakog člana grupe i ukupan broj onih koji tu kvalitetu imaju ili nemaju (na primjer, broj djece koja su pohađala nastavu bez prolaz i napravljeni dodaci itd.).
2. Rangiranje (ili metoda rangiranja) uključuje raspoređivanje prikupljenih podataka u određenom nizu, obično uzlaznim ili silaznim redoslijedom bilo kojeg pokazatelja i, sukladno tome, određivanje mjesta u ovom retku za svaki od subjekata (na primjer, sastavljanje popis djece ovisno o broju izostanaka s nastave i sl.).
3. Skaliranje kao kvantitativna istraživačka metoda omogućuje uvođenje numeričkih pokazatelja u procjenu pojedinih aspekata pedagoških pojava. U tu svrhu ispitanicima se postavljaju pitanja, odgovarajući na koje moraju naznačiti stupanj ili oblik ocjenjivanja odabran među tim procjenama, numeriranim određenim redoslijedom (npr. pitanje o bavljenju sportom s izborom odgovora: a) ja volim, b) radim to redovito, c) ne vježbam redovito, d) ne bavim se nikakvim sportom).
Koreliranje rezultata s normom (sa zadanim pokazateljima) uključuje određivanje odstupanja od norme i korelaciju tih odstupanja s prihvatljivim intervalima (npr. kod programiranog učenja normom se često smatra 85-90% točnih odgovora; ako je točnih manje odgovora, to znači da je program pretežak ako više, onda je prelagan).
Prodiranje matematičkih metoda u najrazličitije sfere ljudske djelatnosti aktualizira problem modeliranja, uz pomoć kojeg se uspostavlja korespondencija stvarnog objekta s matematičkim modelom. Svaki model je homomorfna slika nekog sustava u drugom sustavu (homomorfizam je korespondencija jedan na jedan između sustava koja čuva osnovne odnose i osnovne operacije). Matematički modeli u odnosu na simulirane objekte analogni su na razini konstrukcija.
Specifičnost statističke obrade rezultata psihološko-pedagoških istraživanja leži u činjenici da analiziranu bazu karakterizira velik broj pokazatelja različitih vrsta, njihova velika varijabilnost pod utjecajem nekontroliranih slučajnih čimbenika, složenost korelacija između varijabli uzorka, potreba uzimanja u obzir objektivnih i subjektivnih čimbenika koji utječu na dijagnostičke rezultate, posebice pri odlučivanju o reprezentativnosti uzorka i procjeni hipoteza vezanih uz opću populaciju. Podaci istraživanja mogu se podijeliti u skupine prema vrsti:
Prva skupina su nominalne varijable (spol, osobni podaci itd.). Aritmetičke operacije nad takvim veličinama su besmislene, pa rezultati deskriptivne statistike (srednja vrijednost, varijanca) nisu primjenjivi na takve veličine. Klasičan način njihove analize je podijeliti ih u klase nepredviđenih s obzirom na određene nominalne značajke i provjeriti značajne razlike po klasama.
Druga skupina podataka ima kvantitativnu mjernu ljestvicu, ali je ta ljestvica ordinalna (ordinalna). U analizi ordinalnih varijabli koriste se i tehnologije poduzorka i rangiranja. Parametarske metode također su primjenjive uz određena ograničenja.
Treća skupina - kvantitativne varijable koje odražavaju ozbiljnost mjerenog pokazatelja - to su Cattellovi testovi, akademski uspjeh i drugi testovi procjene. U radu s varijablama u ovoj skupini primjenjive su sve standardne vrste analiza, a uz dovoljnu veličinu uzorka njihova je distribucija obično bliska normalnoj. Dakle, raznolikost tipova varijabli zahtijeva korištenje širokog spektra korištenih matematičkih metoda.
Postupak analize može se podijeliti u sljedeće korake:
Priprema baze podataka za analizu. Ova faza uključuje pretvaranje podataka u elektronički format, njihovu provjeru radi odstupanja, odabir metode za rad s vrijednostima koje nedostaju.
Deskriptivna statistika (izračun prosjeka, odstupanja, itd.). Rezultati deskriptivne statistike određuju karakteristike parametara analiziranog uzorka ili subuzoraka specificiranih jednom ili drugom particijom.
Istraživačka analiza. Zadatak ove faze je smisleno proučavanje različitih skupina pokazatelja uzorka, njihovih odnosa, identificiranje glavnih eksplicitnih i skrivenih (latentnih) čimbenika koji utječu na podatke, praćenje promjena pokazatelja, njihovih odnosa i značaja čimbenika pri podjeli baze podataka na grupe itd. Alat istraživanja su različite metode i tehnologije korelacijske, faktorske i klaster analize. Svrha analize je formulirati hipoteze koje se tiču ​​kako danog uzorka tako i opće populacije.
Detaljna analiza dobivenih rezultata i statistička provjera postavljenih hipoteza. U ovoj fazi testiraju se hipoteze o tipovima funkcija distribucije slučajnih varijabli, značajnosti razlika u sredinama i varijancama u poduzorcima itd. Pri sumiranju rezultata istraživanja rješava se pitanje reprezentativnosti uzorka.
Treba napomenuti da ovaj slijed radnji, strogo govoreći, nije kronološki, s izuzetkom prve faze. Kako se dobivaju rezultati deskriptivne statistike i identificiraju određeni obrasci, postaje nužno testirati novonastale hipoteze i odmah pristupiti njihovoj detaljnoj analizi. No, u svakom slučaju, kod testiranja hipoteza preporuča se njihova analiza različitim matematičkim sredstvima koja adekvatno odgovaraju modelu, a hipotezu treba prihvatiti na određenoj razini značajnosti tek kada je potvrđena s više različitih metoda.
Pri organiziranju svakog mjerenja uvijek se pretpostavlja korelacija (usporedba) mjerenog s mjernim instrumentom (etalonom). Nakon postupka korelacije (usporedbe) ocjenjuje se rezultat mjerenja. Ako se u tehnici kao mjerači u pravilu koriste materijalni standardi, onda u društvenim mjerenjima, uključujući pedagoška i psihološka mjerenja, mjerači mogu biti idealni. Doista, kako bi se utvrdilo je li određena mentalna radnja formirana kod djeteta ili nije, potrebno je usporediti stvarno s potrebnim. U ovom slučaju nužan je idealni model koji postoji u glavi učitelja.
Treba napomenuti da se samo neki pedagoški fenomeni mogu mjeriti. Većina pedagoških pojava ne može se mjeriti, jer ne postoje standardi pedagoških pojava bez kojih se ne može vršiti mjerenje.
Što se tiče fenomena kao što su aktivnost, vedrina, pasivnost, umor, vještine, navike itd., njih još nije moguće mjeriti, jer nema standarda aktivnosti, pasivnosti, živahnosti itd. Zbog iznimne složenosti i, uglavnom, praktične nemogućnosti mjerenja pedagoških pojava, danas se koriste posebne metode za približnu kvantitativnu ocjenu tih pojava.
Trenutno je uobičajeno podijeliti sve psihološke i pedagoške pojave u dvije velike kategorije: objektivne materijalne pojave (pojave koje postoje izvan i neovisno o našoj svijesti) i subjektivne nematerijalne pojave (fenomeni karakteristični za određenu osobu).
U objektivne materijalne pojave spadaju: kemijski i biološki procesi, pokreti koje čovjek izvodi, zvukovi koje proizvodi, radnje koje izvodi itd.
U subjektivne nematerijalne pojave i procese ubrajaju se: osjeti, percepcije i ideje, fantazije i razmišljanja, osjećaji, sklonosti i želje, motivacija, znanja, vještine itd.
Svi znakovi objektivnih materijalnih pojava i procesa uočljivi su i u načelu se uvijek mogu izmjeriti, iako to moderna znanost ponekad nije u stanju. Svako svojstvo ili osobina može se izravno mjeriti. To znači da se pomoću fizičkih operacija uvijek može usporediti s nekom stvarnom vrijednošću koja se uzima kao standard mjere odgovarajućeg svojstva ili atributa.
Subjektivne nematerijalne pojave ne mogu se mjeriti, jer za njih nema i ne može biti materijalnih mjerila. Stoga se ovdje koriste približne metode ocjenjivanja pojava – različiti neizravni pokazatelji.
Bit korištenja neizravnih pokazatelja je u tome da se izmjereno svojstvo ili znak pojave koja se proučava povezuje s određenim materijalnim svojstvima, a vrijednost tih materijalnih svojstava uzima se kao pokazatelj odgovarajuće nematerijalne pojave. Na primjer, učinkovitost nove nastavne metode procjenjuje se napretkom učenika, kvaliteta rada učenika - brojem učinjenih pogrešaka, težina gradiva koje se uči - količinom utrošenog vremena, razvojem duševne ili moralne osobine - brojem relevantnih radnji ili nedoličnog ponašanja itd.
Uz sav veliki interes koji istraživači obično pokazuju za metode kvantitativne analize eksperimentalnih podataka i masovnog materijala dobivenog različitim metodama, bitna je faza obrade - njihova kvalitativna analiza. Uz pomoć kvantitativnih metoda moguće je, s različitim stupnjevima pouzdanosti, identificirati prednost pojedine metode ili otkriti opći trend, dokazati da je znanstvena pretpostavka koja se ispituje opravdana itd. Međutim, kvalitativna analiza trebala bi dati odgovor na pitanje zašto se to dogodilo, što je tome pogodovalo, a što je bilo prepreka, koliko je bio značajan utjecaj tih smetnji, jesu li eksperimentalni uvjeti bili previše specifični da bi se ova tehnika preporučila. za korištenje u drugim uvjetima itd. U ovoj fazi također je važno analizirati razloge koji su pojedine ispitanike potaknuli na negativan odgovor, te identificirati uzroke pojedinih tipičnih, pa čak i slučajnih pogrešaka u radu pojedine djece i sl. Korištenje svih ovih metoda analize prikupljenih podataka pomaže točnijoj procjeni rezultata eksperimenta, povećava pouzdanost zaključaka o njima i daje više temelja za daljnje teorijske generalizacije.
Statističke metode u pedagogiji služe samo za kvantificiranje pojava. Za izvođenje zaključaka i zaključaka neophodna je kvalitativna analiza. Dakle, u pedagoškim istraživanjima treba pažljivo koristiti metode matematičke statistike, vodeći računa o posebnostima pedagoških pojava.
Dakle, većina numeričkih karakteristika u matematičkoj statistici koristi se kada svojstvo ili pojava koja se proučava ima normalnu distribuciju, koju karakterizira simetričan raspored vrijednosti elemenata populacije u odnosu na prosječnu vrijednost. Nažalost, s obzirom na nedovoljno proučavanje pedagoških pojava, zakoni raspodjele u odnosu na njih u pravilu su nepoznati. Nadalje, za procjenu rezultata studije često se uzimaju vrijednosti ranga koje nisu rezultati kvantitativnih mjerenja. Stoga je s njima nemoguće izvoditi aritmetičke operacije, a time i izračunavati numeričke karakteristike za njih.
Svaki statistički niz i njegov grafički prikaz je grupiran i vizualno prikazan materijal koji treba podvrgnuti statističkoj obradi.
Metode statističke obrade omogućuju dobivanje niza numeričkih karakteristika koje omogućuju predviđanje razvoja procesa koji nas zanima. Upravo te karakteristike omogućuju usporedbu različitih nizova brojeva dobivenih u pedagoškim istraživanjima i izvođenje odgovarajućih pedagoških zaključaka i preporuka.
Sve serije varijacija mogu se međusobno razlikovati na sljedeće načine:
1. Na veliki način, t.j. njegove gornje i donje granice, koje se obično nazivaju granicama.
2. Vrijednost atributa oko kojeg je koncentrirana većina varijante. Ova vrijednost značajke odražava središnji trend serije, tj. tipično za seriju.
3. Varijacije oko središnjeg trenda serije.
U skladu s tim, svi statistički pokazatelji varijacijskih serija podijeljeni su u dvije skupine:
-indikatori koji karakteriziraju središnji trend ili razinu serije;
-indikatori koji karakteriziraju razinu varijacije oko središnjeg trenda.
U prvu skupinu spadaju različite karakteristike sredine: medijan, aritmetička sredina, geometrijska sredina itd. Drugoj - raspon varijacije (granice), srednja apsolutna devijacija, standardna devijacija, varijanca, koeficijenti asimetrije i varijacije. Postoje i drugi pokazatelji, ali ih nećemo razmatrati, jer. ne koriste se u obrazovnoj statistici.
Trenutno se koncept "modela" koristi u različitim značenjima, a najjednostavniji od njih je oznaka uzorka, standarda. U ovom slučaju model stvari ne nosi nikakvu novu informaciju i ne služi u svrhu znanstvene spoznaje. U tom se smislu pojam "model" u znanosti ne koristi. U širem smislu, model se shvaća kao mentalno ili praktično stvorena struktura koja reproducira dio stvarnosti u pojednostavljenom i vizualnom obliku. U užem smislu, pojam "model" koristi se za prikazivanje određenog područja pojava uz pomoć drugog, bolje proučavanog, lako razumljivog. U pedagoškim znanostima ovaj se koncept koristi u širokom smislu kao specifična slika predmeta koji se proučava, u kojem se prikazuju stvarna ili pretpostavljena svojstva, struktura itd. Modeliranje se široko koristi u akademskim predmetima kao analogija koja može postojati između sustava na sljedećim razinama: rezultati koje uspoređeni sustavi daju; funkcije koje određuju te rezultate; strukture koje osiguravaju obavljanje tih funkcija; elementi koji čine strukture.
V. M. Tarabaev ističe da se trenutno koristi tehnika tzv. multifaktorijalnog eksperimenta. U multivarijantnom eksperimentu istraživači problemu pristupaju empirijski – variraju s velikim brojem čimbenika o kojima, kako smatraju, ovisi tijek procesa. Ova varijacija različitim čimbenicima provodi se korištenjem suvremenih metoda matematičke statistike.
Multivarijantni eksperiment izgrađen je na temelju statističke analize i korištenjem sustavnog pristupa predmetu istraživanja. Pretpostavlja se da sustav ima ulaz i izlaz koji se mogu kontrolirati, također se pretpostavlja da se tim sustavom može upravljati kako bi se postigao određeni rezultat na izlazu. U multifaktorijalnom eksperimentu proučava se cijeli sustav bez unutarnje slike njegovog složenog mehanizma. Ova vrsta eksperimenta otvara velike mogućnosti za pedagogiju.
Književnost:
1. Zagvyazinsky, V. I. Metodologija i metode psiholoških i pedagoških istraživanja: udžbenik. dodatak za studente. viši ped. udžbenik institucije / Zagvyazinsky V.I., Atakhanov R. - M .: Akademija, 2005.
2. Gadelshina, T. G. Metodologija i metode psiholoških istraživanja: udžbenik. metoda. dodatak / Gadelshina T. G. - Tomsk, 2002.
3. Kornilova, T. V. Eksperimentalna psihologija: teorija i metode: udžbenik za sveučilišta / Kornilova T. V. - M .: Aspect Press, 2003.
4. Kuzin, F. A. Doktorska disertacija: metodologija pisanja, pravila oblikovanja i postupak obrane / Kuzin F. A. - M., 2000.

U povijesti matematike mogu se konvencionalno razlikovati dva glavna razdoblja: elementarna i moderna matematika. Prekretnica od koje je uobičajeno računati doba nove (ponekad kažu - više) matematike bilo je 17. stoljeće - stoljeće nastanka matematičke analize. Do kraja XVII stoljeća. I. Newton, G. Leibniz i njihovi prethodnici stvorili su aparat novog diferencijalnog računa i integralnog računa, koji čini osnovu matematičke analize, a možda čak i matematičku osnovu cijele moderne prirodne znanosti.

Matematička analiza je veliko područje matematike s karakterističnim predmetom proučavanja (varijabla), osebujnom istraživačkom metodom (analiza pomoću infinitezimalnih ili prelaskom na granicu), određenim sustavom osnovnih pojmova (funkcija, granica, derivacija, diferencijal, integral, niz) i stalno poboljšavajući i razvijajući aparat, koji se temelji na diferencijalnom i integralnom računu.

Pokušajmo dati predodžbu o tome kakva se matematička revolucija dogodila u 17. stoljeću, što karakterizira prijelaz s elementarne matematike povezan s rađanjem matematičke analize na onu koja je danas predmet istraživanja matematičke analize, i čime se objašnjava njegova temeljna uloga u cjelokupnom modernom sustavu teorijskog i primijenjenog znanja.

Zamislite da je pred vama prekrasno izvedena fotografija u boji olujnog oceanskog vala koji trči na obalu: snažna pognuta leđa, strma, ali blago udubljena prsa, već nagnuta naprijed i spremna da padne glava sa sijedom grivom koju vjetar rastrga. Zaustavili ste trenutak, uspjeli ste uhvatiti val i sada ga možete pažljivo proučavati u svim detaljima bez žurbe. Val se može izmjeriti, a pomoću sredstava elementarne matematike izvući ćete mnoge važne zaključke o tom valu, a time i svim njegovim oceanskim sestrama. Ali zaustavivši val, lišili ste ga kretanja i života. Njegovo podrijetlo, razvoj, trčanje, sila kojom pada na obalu - pokazalo se da je sve to izvan vašeg vidnog polja, jer još nemate ni jezik ni matematički aparat pogodan za opisivanje i proučavanje nestatičnog , ali razvojni, dinamički procesi, varijable i njihovi međusobni odnosi.

"Matematička analiza nije ništa manje opsežna od same prirode: ona određuje sve opipljive odnose, mjeri vremena, prostore, sile, temperature." J. Fourier

Kretanje, varijable i njihovi odnosi svuda su oko nas. Različite vrste gibanja i njihove zakonitosti glavni su predmet proučavanja pojedinih znanosti: fizike, geologije, biologije, sociologije itd. Stoga su se egzaktan jezik i odgovarajuće matematičke metode za opisivanje i proučavanje varijabli pokazali potrebnima u svim područjima znanje približno u istoj mjeri kao što su brojevi i aritmetika potrebni u opisivanju kvantitativnih odnosa. Dakle, matematička analiza je osnova jezika i matematičkih metoda za opisivanje varijabli i njihovih odnosa. Danas je bez matematičke analize nemoguće ne samo izračunati svemirske putanje, rad nuklearnih reaktora, trčanje oceanskog vala i uzorke razvoja ciklona, ​​nego i ekonomski upravljati proizvodnjom, raspodjelom resursa, organizacijom tehnoloških procesa, organizacijom tehnoloških procesa, razvojem ciklona i ekosistema. predvidjeti tijek kemijskih reakcija ili promjene u broju raznih vrsta međusobno povezanih u prirodi.životinja i biljaka jer su sve to dinamički procesi.

Elementarna matematika je u osnovi bila matematika konstanti, proučavala je uglavnom odnose između elemenata geometrijskih likova, aritmetička svojstva brojeva i algebarske jednadžbe. Donekle se njezin odnos prema stvarnosti može usporediti s pažljivim, čak temeljitim i cjelovitim proučavanjem svakog fiksnog kadra filma koji hvata promjenjivi, razvijajući se živi svijet u svom kretanju, koji, međutim, nije vidljiv na zasebnom kadru. a koji se može promatrati samo promatranjem vrpce u cjelini. Ali kao što je film nezamisliv bez fotografije, tako je i moderna matematika nemoguća bez onog njezinog dijela koji uvjetno nazivamo elementarnim, bez ideja i postignuća mnogih vrsnih znanstvenika, ponekad razdvojenih desecima stoljeća.

Matematika je jedna, a njezin “viši” dio povezan je s onim “elementarnim” otprilike kao što je sljedeći kat kuće u izgradnji povezan s prethodnim, a širina horizonata koje matematika otvara nas u svijetu oko nas ovisi o tome do kojeg kata ove zgrade smo uspjeli doći.uspon. Rođen u 17. stoljeću matematička analiza otvorila je mogućnosti znanstvenog opisa, kvantitativnog i kvalitativnog proučavanja varijabli i gibanja u najširem smislu riječi.

Koji su preduvjeti za nastanak matematičke analize?

Do kraja XVII stoljeća. nastala je sljedeća situacija. Prvo, u okviru same matematike, tijekom godina su se nakupile određene važne klase problema iste vrste (primjerice, problemi mjerenja površina i volumena nestandardnih likova, problemi povlačenja tangenti na krivulje) i metoda pojavili su se za njihovo rješavanje u raznim posebnim slučajevima. Drugo, pokazalo se da su ovi problemi usko povezani s problemima opisivanja proizvoljnog (ne nužno jednolikog) mehaničkog gibanja, a posebno s izračunavanjem njegovih trenutnih karakteristika (brzina, ubrzanje u bilo kojem trenutku), kao i s pronalaženjem udaljenost prijeđena za kretanje određenom promjenjivom brzinom. Rješenje ovih problema bilo je nužno za razvoj fizike, astronomije i tehnologije.

Konačno, treće, do sredine XVII stoljeća. radovima R. Descartesa i P. Fermata postavljeni su temelji analitičke metode koordinata (tzv. analitičke geometrije), koja je omogućila formuliranje geometrijskih i fizikalnih problema heterogenog podrijetla na općem (analitičkom) jeziku brojeva. i numeričke ovisnosti, ili, kako mi sada kažemo, numeričke funkcije.

NIKOLAJ NIKOLAJEVIČ LUZIN (1883-1950) N. N. Luzin - sovjetski matematičar, utemeljitelj sovjetske škole teorije funkcija, akademik (1929.). Luzin je rođen u Tomsku, studirao je u tomskoj gimnaziji. Formalizam gimnazijskog matematičkog tečaja otuđio je talentiranog mladića i samo mu je sposoban učitelj mogao otkriti ljepotu i veličinu matematičke znanosti. Godine 1901. Luzin je ušao na matematički odjel Fizičko-matematičkog fakulteta Moskovskog sveučilišta. Od prvih godina studija pitanja vezana uz beskonačnost spadala su u krug njegovih interesa. Krajem XIX stoljeća. njemački znanstvenik G. Kantor stvorio je opću teoriju beskonačnih skupova, koja je dobila brojne primjene u proučavanju diskontinuiranih funkcija. Luzin je počeo proučavati ovu teoriju, ali je njegov studij prekinut 1905. Student, koji je sudjelovao u revolucionarnim aktivnostima, morao je na neko vrijeme otići u Francusku. Ondje je slušao predavanja najuglednijih francuskih matematičara toga doba. Po povratku u Rusiju Luzin je diplomirao na sveučilištu i ostavljen da se priprema za profesorsko mjesto. Uskoro ponovno odlazi u Pariz, a zatim u Göttingen, gdje se zbližava s mnogim znanstvenicima i piše prve znanstvene radove. Glavni problem koji je zanimao znanstvenika bilo je pitanje mogu li postojati skupovi koji sadrže više elemenata od skupa prirodnih brojeva, ali manje od skupa točaka segmenta (problem kontinuuma). Za bilo koji beskonačni skup koji se može dobiti iz segmenata korištenjem operacija unije i presjeka prebrojivih kolekcija skupova, ova je hipoteza bila točna, a da bi se riješio problem, bilo je potrebno otkriti koji su drugi načini konstruiranja skupova. U isto vrijeme, Luzin je proučavao pitanje da li je moguće prikazati bilo koju periodičku funkciju, čak i ako ima beskonačno mnogo točaka diskontinuiteta, kao zbroj trigonometrijskog niza, tj. zbrojevi beskonačnog skupa harmoničnih vibracija. Luzin je postigao niz značajnih rezultata o tim pitanjima i 1915. obranio je svoju disertaciju "Integral i trigonometrijski niz", za koju je odmah dobio stupanj doktora čiste matematike, zaobilazeći srednji magisterij koji je postojao u to vrijeme . Godine 1917. Luzin je postao profesor na Moskovskom sveučilištu. Nadaren učitelj, privlačio je najsposobnije učenike i mlade matematičare. Luzinova škola dosegla je vrhunac u prvim postrevolucionarnim godinama. Luzinovi učenici formirali su kreativni tim, koji je u šali nazvan "Luzitanija". Mnogi od njih su tijekom studentskih dana dobili prvorazredne znanstvene rezultate. Na primjer, P. S. Aleksandrov i M. Ya. Suslin (1894.-1919.) otkrili su novu metodu za konstruiranje skupova, što je pokrenulo razvoj novog smjera - deskriptivne teorije skupova. Istraživanja u ovom području, koja su proveli Luzin i njegovi učenici, pokazala su da uobičajene metode teorije skupova nisu dovoljne za rješavanje mnogih problema koji su u njoj nastali. Luzinova znanstvena predviđanja u potpunosti su potvrđena 1960-ih. 20. stoljeće Mnogi učenici N. N. Luzina kasnije su postali akademici i dopisni članovi Akademije znanosti SSSR-a. Među njima P. S. Aleksandrov. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov. L. G. Shnirelman i drugi. Moderni sovjetski i strani matematičari u svojim djelima razvijaju ideje N. N. Luzina.

Kombinacija ovih okolnosti dovela je do činjenice da je krajem XVII. dva znanstvenika - I. Newton i G. Leibniz - neovisno su uspjeli stvoriti matematički aparat za rješavanje ovih problema, sažimajući i generalizirajući pojedinačne rezultate svojih prethodnika, uključujući antičkog znanstvenika Arhimeda i suvremenika Newtona i Leibniza - B. Cavalierija, B. Pascal, D. Gregory, I. Barrow. Taj je aparat bio osnova matematičke analize - nove grane matematike koja proučava različite razvojne procese, tj. međusobni odnosi varijabli, koji se u matematici nazivaju funkcionalne ovisnosti ili, drugim riječima, funkcije. Inače, sam pojam “funkcija” bio je potreban i prirodno nastao upravo u 17. stoljeću, a do sada je dobio ne samo opće matematičko, već i opće znanstveno značenje.

Početne informacije o osnovnim pojmovima i matematičkom aparatu analize dane su u člancima "Diferencijalni račun" i "Integralni račun".

Zaključno, želio bih se zadržati samo na jednom principu matematičke apstrakcije koji je zajednički cijeloj matematici i karakterističan za analizu, te s tim u vezi objasniti u kojem obliku matematička analiza proučava varijable i u čemu je tajna takve univerzalnosti njezinih metoda. za proučavanje svih vrsta specifičnih razvojnih procesa i njihovih međusobnih odnosa.

Pogledajmo neke objašnjene primjere i analogije.

Ponekad više ne shvaćamo da je, na primjer, matematički omjer, napisan ne za jabuke, stolice ili slonove, već u apstraktnom obliku apstrahiranom iz određenih predmeta, izvanredno znanstveno postignuće. Ovo je matematički zakon za koji je iskustvo pokazalo da je primjenjiv na razne konkretne objekte. Dakle, proučavajući u matematici opća svojstva apstraktnih, apstraktnih brojeva, mi time proučavamo kvantitativne odnose stvarnog svijeta.

Na primjer, poznato je iz školskog tečaja matematike da biste, dakle, u konkretnoj situaciji mogli reći: „Ako mi nisu dodijeljena dva kipera od šest tona za prijevoz 12 tona zemlje, onda možete zatražiti tri kipera od četiri tone i posao će biti gotov, a ako daju samo jedan kiper od četiri tone, onda će ona morati napraviti tri leta. Dakle, apstraktni brojevi i numeričke zakonitosti koje smo sada upoznali povezani su sa svojim konkretnim manifestacijama i primjenama.

Otprilike na isti način, zakoni promjene konkretnih promjenljivih veličina i razvojnih procesa prirode povezani su s apstraktnom, apstraktnom formom-funkcijom u kojoj se pojavljuju i proučavaju u matematičkoj analizi.

Na primjer, apstraktni omjer može biti odraz ovisnosti blagajne u kinu o broju prodanih ulaznica, ako je 20 20 kopejki - cijena jedne ulaznice. Ali ako vozimo bicikl autocestom brzinom od 20 km na sat, onda se isti omjer može tumačiti kao odnos vremena (sati) naše vožnje biciklom i prijeđene udaljenosti tijekom tog vremena (kilometri), uvijek možete tvrditi da , na primjer, promjena za nekoliko puta dovodi do proporcionalne (tj. za isti broj puta) promjene vrijednosti , a ako je , tada vrijedi i suprotan zaključak. Dakle, konkretno, da biste udvostručili prihod kina na blagajnama, morate privući dvostruko više gledatelja, a da biste vozili bicikl istom brzinom dvostruko više, morate se voziti dvostruko duže.

Matematika proučava i najjednostavniju ovisnost i druge, mnogo složenije ovisnosti u apstraktnom, općem, apstraktnom obliku apstrahiranom od privatne interpretacije. Svojstva funkcije identificirana u takvoj studiji ili metode za proučavanje tih svojstava bit će u prirodi općih matematičkih tehnika, zaključaka, zakona i zaključaka primjenjivih na svaku specifičnu pojavu u kojoj se funkcija proučavana u apstraktnom obliku pojavljuje, bez obzira na koji polje znanja kojem ovaj fenomen pripada.

Dakle, matematička analiza kao grana matematike oblikovala se krajem 17. stoljeća. Predmet proučavanja matematičke analize (kako se čini sa suvremenih pozicija) su funkcije, odnosno, drugim riječima, ovisnosti između varijabli.

S pojavom matematičke analize, matematici je postalo moguće proučavati i odražavati razvojne procese stvarnog svijeta; varijable i kretanja ušli su u matematiku.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Uralsko državno sveučilište. »

Odjel za povijest

Odjel za dokumentacijsku i informacijsku potporu upravljanja

Matematičke metode u znanstvenom istraživanju

Program tečaja

Standard 350800 "Dokumentacija i upravljanje dokumentacijom"

Standard 020800 "Historijske i arhivistike"

Ekaterinburg

odobravam

prorektor

(potpis)

Program discipline "Matematičke metode u znanstvenim istraživanjima" sastavljen je u skladu sa zahtjevima sveučilište sastavnica obveznog minimalnog sadržaja i razine osposobljavanja:

diplomirati po specijalnosti

Upravljanje dokumentima i podrška za upravljanje dokumentacijom (350800),

Povijesna i arhivska znanost (020800),

prema ciklusu "Opće humanitarne i socioekonomske discipline" državnog obrazovnog standarda visokog stručnog obrazovanja.

Semestar III

Prema nastavnom planu i programu specijalnosti br. 000 - Dokumentacija i dokumentacijska podrška za upravljanje:

Ukupni intenzitet rada discipline: 100 sati,

uključujući predavanja 36 sati

Prema nastavnom planu i programu specijalnosti br. 000 - Povijesna i arhivska znanost

Ukupni intenzitet rada discipline: 50 sati,

uključujući predavanja 36 sati

Kontrolne mjere:

Pregledi 2 osobe/sat

Sastavio:, dr. sc. ist. znanosti, izvanredni profesor, Odjel za dokumentaciju i informacijsku podršku menadžmenta, Uralsko državno sveučilište

Odjel za dokumentacijsku i informacijsku potporu upravljanja

od 01.01.01 br. 1.

Dogovoren:

Zamjenik predsjednik

Humanitarno vijeće

_________________

(potpis)

(C) Uralsko državno sveučilište

(IZ) , 2006

UVOD

Kolegij “Matematičke metode u socio-ekonomskim istraživanjima” namijenjen je upoznavanju studenata s osnovnim tehnikama i metodama obrade kvantitativnih informacija koje je razvila statistika. Njegova glavna zadaća je proširiti metodološki znanstveni aparat istraživača, naučiti kako u praktičnim i istraživačkim aktivnostima primijeniti, osim tradicionalnih metoda, temeljenih na logičkoj analizi, matematičke metode koje pomažu u kvantitativnoj karakterizaciji povijesnih pojava i činjenica.

Danas se matematički aparat i matematičke metode koriste u gotovo svim područjima znanosti. To je prirodan proces, često se naziva matematizacija znanosti. U filozofiji se matematizacija obično shvaća kao primjena matematike na razne znanosti. Matematičke metode odavno su i čvrsto ušle u arsenal istraživačkih metoda znanstvenika, koriste se za sažimanje podataka, prepoznavanje trendova i obrazaca u razvoju društvenih pojava i procesa, tipologiju i modeliranje.

Poznavanje statistike nužno je za pravilno okarakteriziranje i analizu procesa koji se odvijaju u gospodarstvu i društvu. Za to je potrebno vladati metodom uzorkovanja, sumiranja i grupiranja podataka, znati izračunati prosječne i relativne vrijednosti, pokazatelje varijacije, koeficijente korelacije. Element informacijske kulture je i sposobnost pravilnog oblikovanja tablica i crtanja grafikona koji su važan alat za sistematizaciju primarnih socioekonomskih podataka i vizualni prikaz kvantitativnih informacija. Za procjenu privremenih promjena potrebno je imati predodžbu o sustavu dinamičkih pokazatelja.

Korištenje metodologije za provođenje selektivne studije omogućuje vam proučavanje velike količine informacija koje pružaju masovni izvori, uštedite vrijeme i rad, dok dobivate znanstveno značajne rezultate.

Matematičke i statističke metode zauzimaju pomoćne položaje, nadopunjujući i obogaćujući tradicionalne metode socio-ekonomske analize, njihov razvoj neophodan je dio kvalifikacija modernog stručnjaka - stručnjaka za dokumente, povjesničara-arhivista.

Trenutno se matematičke i statističke metode aktivno koriste u marketingu, sociološkim istraživanjima, u prikupljanju operativnih upravljačkih informacija, sastavljanju izvješća i analizi tokova dokumenata.

Vještine kvantitativne analize potrebne su za pripremu kvalifikacijskih radova, sažetaka i drugih istraživačkih projekata.

Iskustvo korištenja matematičkih metoda pokazuje da njihovu primjenu treba provoditi u skladu sa sljedećim načelima kako bi se dobili pouzdani i reprezentativni rezultati:

1) opća metodologija i teorija znanstvenog znanja imaju odlučujuću ulogu;

2) potrebna je jasna i točna formulacija problema istraživanja;

3) izbor kvantitativno i kvalitativno reprezentativnih socioekonomskih podataka;

4) ispravnost primjene matematičkih metoda, odnosno moraju odgovarati zadatku istraživanja i prirodi podataka koji se obrađuju;

5) potrebna je smislena interpretacija i analiza dobivenih rezultata, kao i obvezna dodatna provjera podataka dobivenih matematičkom obradom.

Matematičke metode pomažu u poboljšanju tehnologije znanstvenog istraživanja: povećavaju njegovu učinkovitost; štede puno vremena, osobito pri obradi velikih količina informacija, omogućuju otkrivanje skrivenih informacija pohranjenih u izvoru.

Osim toga, matematičke metode usko su povezane s takvim smjerom znanstvenih i informacijskih aktivnosti kao što je stvaranje povijesnih banaka podataka i arhiva strojno čitljivih podataka. Nemoguće je zanemariti dostignuća ere, a informacijska tehnologija postaje jedan od najvažnijih čimbenika razvoja svih sfera društva.

PROGRAM TEČAJA

Tema 1. UVOD. MATEMATIZACIJA POVIJESNE ZNANOSTI

Svrha i ciljevi predmeta. Cilj je potrebno unaprijediti povijesne metode privlačenjem matematičkih tehnika.

Matematizacija znanosti, glavni sadržaj. Preduvjeti za matematizaciju: prirodoslovni preduvjeti; socio-tehnički preduvjeti. Granice matematizacije znanosti. Razine matematizacije za prirodne, tehničke, ekonomske i humanističke znanosti. Glavne zakonitosti matematizacije znanosti su: nemogućnost da se pomoću matematike u potpunosti pokriju područja proučavanja drugih znanosti; podudarnost primijenjenih matematičkih metoda sa sadržajem znanosti koja se matematizira. Pojava i razvoj novih primijenjenih matematičkih disciplina.

Matematizacija povijesne znanosti. Glavne faze i njihove karakteristike. Preduvjeti matematizacije povijesne znanosti. Značenje razvoja statističkih metoda za razvoj povijesnog znanja.

Socioekonomska istraživanja matematičkim metodama u predrevolucionarnoj i sovjetskoj historiografiji 20-ih godina (, itd.)

Matematičke i statističke metode u djelima povjesničara 60-90-ih. Kompjuterizacija znanosti i širenje matematičkih metoda. Stvaranje baza podataka i perspektiva razvoja informacijske potpore povijesnim istraživanjima. Najvažniji rezultati primjene matematičkih metoda u društveno-ekonomskim i povijesno-kulturološkim istraživanjima (i dr.).

Korelacija matematičkih metoda s drugim metodama povijesnog istraživanja: povijesno-komparativnom, povijesno-tipološkom, strukturnom, sistemskom, povijesno-genetičkom metodom. Temeljna metodološka načela za primjenu matematičkih i statističkih metoda u povijesnim istraživanjima.

Tema 2 . STATISTIČKI POKAZATELJI

Osnovne tehnike i metode statističkog proučavanja društvenih pojava: statističko promatranje, pouzdanost statističkih podataka. Osnovni oblici statističkog promatranja, svrha promatranja, predmet i jedinica promatranja. Statistički dokument kao povijesni izvor.

Statistički pokazatelji (pokazatelji volumena, razine i omjera), njihove glavne funkcije. Kvantitativna i kvalitativna strana statističkog pokazatelja. Vrste statističkih pokazatelja (volumetrijski i kvalitativni; pojedinačni i generalizirajući; intervalni i momentni).

Glavni zahtjevi za izračun statističkih pokazatelja, osiguravajući njihovu pouzdanost.

Odnos statističkih pokazatelja. Kartica rezultata. Opći pokazatelji.

Apsolutne vrijednosti, definicija. Vrste apsolutnih statističkih vrijednosti, njihovo značenje i metode dobivanja. Apsolutne vrijednosti kao izravni rezultat sažetka statističkih podataka promatranja.

Mjerne jedinice, njihov izbor ovisno o prirodi fenomena koji se proučava. Prirodne, troškovne i radne jedinice mjere.

Relativne vrijednosti. Glavni sadržaj relativnog pokazatelja, oblik njihovog izražavanja (koeficijent, postotak, ppm, decimil). Ovisnost oblika i sadržaja relativnog pokazatelja.

Baza za usporedbu, izbor baze pri izračunavanju relativnih vrijednosti. Osnovni principi izračuna relativnih pokazatelja, osiguravanje usporedivosti i pouzdanosti apsolutnih pokazatelja (po teritoriju, rasponu objekata itd.).

Relativne vrijednosti strukture, dinamike, usporedbe, koordinacije i intenziteta. Načini njihovog izračunavanja.

Odnos apsolutnih i relativnih vrijednosti. Potreba za njihovom složenom primjenom.

Tema 3. GRUPIRANJE PODATAKA. TABLICE.

Sumarni pokazatelji i grupiranje u povijesnim studijama. Zadaci koje rješavaju ove metode u znanstvenom istraživanju: sistematizacija, generalizacija, analiza, pogodnost percepcije. Statistička populacija, jedinice promatranja.

Zadaci i glavni sadržaj sažetka. Sažetak – druga faza statističkog istraživanja. Vrste sumarnih pokazatelja (jednostavni, pomoćni). Glavne faze izračuna zbirnih pokazatelja.

Grupiranje je glavna metoda obrade kvantitativnih podataka. Zadaci grupiranja i njihovo značenje u znanstvenom istraživanju. Vrste grupiranja. Uloga grupacija u analizi društvenih pojava i procesa.

Glavne faze izgradnje grupiranja: određivanje populacije koja se proučava; izbor atributa grupiranja (kvantitativne i kvalitativne karakteristike; alternativne i nealternativne; faktorske i efektivne); raspodjela populacije u skupine ovisno o vrsti grupiranja (određivanje broja skupina i veličine intervala), ljestvica za mjerenje znakova (nominalna, ordinalna, intervalna); izbor oblika prikaza grupiranih podataka (tekst, tablica, grafikon).

Tipološko grupiranje, definicija, glavne zadaće, načela izgradnje. Uloga tipološkog grupiranja u proučavanju društveno-ekonomskih tipova.

Strukturno grupiranje, definicija, glavni zadaci, principi konstrukcije. Uloga strukturalnog grupiranja u proučavanju strukture društvenih pojava

Analitičko (faktorsko) grupiranje, definicija, glavne zadaće, principi konstrukcije, uloga analitičkog grupiranja u analizi odnosa društvenih pojava. Potreba za integriranim korištenjem i proučavanjem grupacija za analizu društvenih pojava.

Opći zahtjevi za konstrukciju i dizajn stolova. Izrada rasporeda tablice. Detalji tablice (numeriranje, naslov, nazivi stupaca i redaka, simboli, označavanje brojeva). Način popunjavanja podataka u tablici.

Tema 4 . GRAFIČKE METODE ZA ANALIZU DRUŠTVENO-EKONOM

INFORMACIJA

Uloga grafikona i grafičkog prikaza u znanstvenom istraživanju. Zadaci grafičkih metoda: osiguranje jasnoće percepcije kvantitativnih podataka; analitički zadaci; karakteristike svojstava znakova.

Statistički grafikon, definicija. Glavni elementi karte: polje karte, grafička slika, prostorne reference, reference mjerila, eksplikacija karte.

Vrste statističkih grafikona: linijski grafikon, značajke njegove konstrukcije, grafičke slike; stupčasti dijagram (histogram), definiranje pravila za konstruiranje histograma u slučaju jednakih i nejednakih intervala; tortni dijagram, definicija, metode konstrukcije.

Poligon distribucije obilježja. Normalna distribucija obilježja i njegov grafički prikaz. Značajke distribucije znakova koji karakteriziraju društvene pojave: kosa, asimetrična, umjereno asimetrična distribucija.

Linearni odnos između obilježja, obilježja grafičkog prikaza linearnog odnosa. Značajke linearne ovisnosti u karakterizaciji društvenih pojava i procesa.

Koncept trenda dinamičke serije. Identifikacija trenda pomoću grafičkih metoda.

Tema 5. PROSJECI

Prosječne vrijednosti u znanstvenim istraživanjima i statistici, njihova suština i definicija. Osnovna svojstva prosječnih vrijednosti kao generalizirajuće karakteristike. Odnos metode prosjeka i grupiranja. Opći i grupni prosjeci. Uvjeti tipičnosti prosjeka. Glavni problemi istraživanja koje rješavaju prosjeci.

Metode izračunavanja prosjeka. Aritmetička sredina - jednostavna, ponderirana. Osnovna svojstva aritmetičke sredine. Osobitosti izračunavanja prosjeka za diskretne i intervalne nizove distribucije. Ovisnost metode izračuna aritmetičke sredine, ovisno o prirodi izvornih podataka. Značajke interpretacije aritmetičke sredine.

Medijan - prosječni pokazatelj strukture stanovništva, definicija, osnovna svojstva. Određivanje medijana indikatora za rangiranu kvantitativnu seriju. Izračun medijana za indikator predstavljen grupiranjem intervala.

Moda je prosječan pokazatelj strukture stanovništva, osnovnih svojstava i sadržaja. Određivanje moda za diskretne i intervalne serije. Značajke povijesne interpretacije mode.

Odnos aritmetičke sredine, medijana i modusa, potreba njihove integrirane uporabe, provjera tipičnosti aritmetičke sredine.

Tema 6. POKAZATELJI VARIJACIJE

Proučavanje fluktuacije (varijabilnosti) vrijednosti atributa. Glavni sadržaj mjera disperzije svojstva, te njihova uporaba u istraživačkim aktivnostima.

Apsolutni i prosječni pokazatelji varijacije. Varijacijski raspon, glavni sadržaj, metode proračuna. Prosječno linearno odstupanje. Standardna devijacija, glavni sadržaj, metode proračuna za diskretne i intervalne kvantitativne serije. Koncept disperzije obilježja.

Relativni pokazatelji varijacije. Koeficijent oscilacije, glavni sadržaj, metode proračuna. Koeficijent varijacije, glavni sadržaj proračunskih metoda. Značenje i specifičnosti primjene pojedinog pokazatelja varijacije u proučavanju socioekonomskih obilježja i pojava.

Tema 7.

Proučavanje promjena društvenih pojava tijekom vremena jedan je od najvažnijih zadataka socioekonomske analize.

Pojam dinamičkog niza. Trenutni i intervalni vremenski nizovi. Zahtjevi za konstrukciju dinamičkog niza. Usporedivost u nizu dinamike.

Pokazatelji promjena u nizu dinamike. Glavni sadržaj pokazatelja serije dinamike. razina reda. Osnovni i lančani indikatori. Apsolutni porast razine dinamike, osnovni i lančani apsolutni porasti, metode proračuna.

Stope rasta. Osnovne i lančane stope rasta. Značajke njihove interpretacije. Pokazatelji stope rasta, glavni sadržaj, metode izračuna osnovnih i lančanih stopa rasta.

Prosječna razina niza dinamike, glavni sadržaj. Tehnike izračunavanja aritmetičke sredine za trenutne nizove s jednakim i nejednakim intervalima i za intervalne nizove s jednakim intervalima. Prosječni apsolutni rast. Prosječna stopa rasta. Prosječna stopa rasta.

Sveobuhvatna analiza međusobno povezanih vremenskih serija. Identifikacija općeg razvojnog trenda - trenda: metoda pomičnog prosjeka, uvećanje intervala, analitičke metode obrade vremenskih serija. Pojam interpolacije i ekstrapolacije vremenskih serija.

Tema 8.

Potreba za utvrđivanjem i objašnjenjem odnosa za proučavanje društveno-ekonomskih pojava. Vrste i oblici odnosa koji se proučavaju statističkim metodama. Pojam funkcionala i korelacije. Glavni sadržaj korelacijske metode i zadaci koji se njome rješavaju u znanstvenim istraživanjima. Glavne faze korelacijske analize. Osobitosti interpretacije koeficijenata korelacije.

Koeficijent linearne korelacije, svojstva obilježja za koja se može izračunati koeficijent linearne korelacije. Načini izračuna linearnog koeficijenta korelacije za grupirane i negrupirane podatke. Regresijski koeficijent, glavni sadržaj, metode izračuna, značajke interpretacije. Koeficijent determinacije i njegova smislena interpretacija.

Granice primjene glavnih varijanti koeficijenata korelacije ovisno o sadržaju i obliku prikaza početnih podataka. Koeficijent korelacije. Koeficijent korelacije ranga. Koeficijenti povezanosti i kontingencije za alternativna kvalitativna obilježja. Približne metode za određivanje odnosa između obilježja: Fechnerov koeficijent. Koeficijent autokorelacije. Informacijski koeficijenti.

Metode sređivanja koeficijenata korelacije: korelacijska matrica, metoda plejada.

Metode višedimenzionalne statističke analize: faktorska analiza, komponentna analiza, regresijska analiza, klaster analiza. Mogućnosti modeliranja povijesnih procesa za proučavanje društvenih pojava.

Tema 9. UZORCI ISTRAŽIVANJA

Razlozi i uvjeti za provođenje selektivnog istraživanja. Potreba povjesničara za korištenjem metoda parcijalnog proučavanja društvenih objekata.

Glavne vrste djelomičnog istraživanja: monografsko, metoda glavnog niza, ogledno istraživanje.

Definicija metode uzorkovanja, glavna svojstva uzorkovanja. Reprezentativnost uzorka i pogreška uzorkovanja.

Faze istraživanja uzorkovanja. Određivanje veličine uzorka, osnovne tehnike i metode za određivanje veličine uzorka (matematičke metode, tablica velikih brojeva). Praksa određivanja veličine uzorka u statistici i sociologiji.

Metode formiranja uzorka populacije: pravilno slučajno uzorkovanje, mehaničko uzorkovanje, tipično i ugniježđeno uzorkovanje. Metodologija organiziranja selektivnih popisa stanovništva, proračunskih anketa obitelji radnika i seljaka.

Metodologija dokazivanja reprezentativnosti uzorka. Slučajne, sustavne pogreške uzorkovanja i pogreške promatranja. Uloga tradicionalnih metoda u određivanju pouzdanosti rezultata uzorka. Matematičke metode za izračunavanje pogreške uzorkovanja. Ovisnost pogreške o volumenu i vrsti uzorka.

Značajke interpretacije rezultata uzorka i distribucije pokazatelja uzorka populacije na opću populaciju.

Prirodni uzorak, glavni sadržaj, značajke formiranja. Problem reprezentativnosti prirodnog uzorka. Glavne faze dokazivanja reprezentativnosti prirodnog uzorka: korištenje tradicionalnih i formalnih metoda. Metoda kriterija predznaka, metoda serija - kao načini dokazivanja svojstva slučajnosti uzorka.

Koncept malog uzorka. Osnovni principi njegove uporabe u znanstvenim istraživanjima

Tema 11. METODE ZA FORMALIZIRANJE INFORMACIJA IZ MASOVNIH IZVORA

Potreba za formaliziranjem informacija iz masovnih izvora za dobivanje skrivenih informacija. Problem mjerenja informacija. Kvantitativne i kvalitativne značajke. Ljestvice za mjerenje kvantitativnih i kvalitativnih obilježja: nominalna, ordinalna, intervalna. Glavne faze mjerenja izvorne informacije.

Vrste izvora mase, značajke njihova mjerenja. Metodologija izrade jedinstvenog upitnika na temelju materijala strukturiranog, polustrukturiranog povijesnog izvora.

Značajke mjerenja informacija nestrukturiranog narativnog izvora. Analiza sadržaja, njegov sadržaj i mogućnosti korištenja. Vrste analize sadržaja. Analiza sadržaja u sociološkim i povijesnim istraživanjima.

Međuodnos matematičko-statističkih metoda obrade informacija i metoda formalizacije izvornih informacija. Informatizacija istraživanja. Baze podataka i banke podataka. Tehnologija baze podataka u socio-ekonomskim istraživanjima.

Zadaci za samostalan rad

Za učvršćivanje gradiva predavanja studentima se nude zadaci za samostalan rad na sljedećim temama kolegija:

Relativni pokazatelji Prosječni pokazatelji Metoda grupiranja Grafičke metode Pokazatelji dinamike

Izvedbu zadataka kontrolira nastavnik i preduvjet je za pristupanje kolokviju.

Indikativni popis pitanja za test

1. Matematizacija znanosti, bit, preduvjeti, stupnjevi matematizacije

2. Glavne faze i značajke matematizacije povijesne znanosti

3. Preduvjeti za korištenje matematičkih metoda u povijesnim istraživanjima

4. Statistički pokazatelj, suština, funkcije, vrste

3. Metodološka načela korištenja statističkih pokazatelja u povijesnim istraživanjima

6. Apsolutne vrijednosti

7. Relativne vrijednosti, sadržaj, oblici izražavanja, osnovni principi računanja.

8. Vrste relativnih vrijednosti

9. Zadaci i glavni sadržaj sažetka podataka

10. Grupiranje, glavni sadržaj i zadaci u studiju

11. Glavne faze izgradnje grupacije

12. Pojam atributa grupiranja i njegova stupnjevanja

13. Vrste grupiranja

14. Pravila za izradu i dizajn tablica

15. Dinamički niz, zahtjevi za konstrukciju dinamičkog niza

16. Statistički grafikon, definicija, struktura, zadaci koje treba riješiti

17. Vrste statističkih grafikona

18. Distribucija obilježja poligona. Normalna distribucija značajke.

19. Linearni odnos između obilježja, metode određivanja linearnosti.

20. Pojam trenda dinamičke serije, načini njegovog određivanja

21. Prosječne vrijednosti u znanstvenom istraživanju, njihova suština i glavna svojstva. Uvjeti tipičnosti prosjeka.

22. Vrste prosječnih pokazatelja stanovništva. Odnos prosjeka.

23. Statistički pokazatelji dinamike, opće karakteristike, vrste

24. Apsolutni pokazatelji promjena u vremenskim serijama

25. Relativni pokazatelji promjena u vremenskim serijama (stope rasta, stope rasta)

26. Prosječni pokazatelji dinamičke serije

27. Pokazatelji varijacije, glavni sadržaj i zadaci koje treba riješiti, vrste

28. Vrste nekontinuiranog promatranja

29. Izborni studij, glavni sadržaj i zadaci koje treba riješiti

30. Uzorak i opća populacija, osnovna svojstva uzorka

31. Faze istraživanja uzorkovanja, opće karakteristike

32. Određivanje veličine uzorka

33. Načini formiranja ogledne populacije

34. Pogreška uzorkovanja i metode za njezino određivanje

35. Reprezentativnost uzorka, čimbenici koji utječu na reprezentativnost

36. Prirodno uzorkovanje, problem reprezentativnosti prirodnog uzorkovanja

37. Glavne faze dokazivanja reprezentativnosti prirodnog uzorka

38. Metoda korelacije, suština, glavni zadaci. Značajke interpretacije koeficijenata korelacije

39. Statističko promatranje kao metoda prikupljanja podataka, glavne vrste statističkog promatranja.

40. Vrste koeficijenata korelacije, opće karakteristike

41. Linearni koeficijent korelacije

42. Koeficijent autokorelacije

43. Metode formalizacije povijesnih izvora: metoda jedinstvenog upitnika

44. Metode formalizacije povijesnih izvora: metoda analize sadržaja

III.Raspodjela sati po temama i vrstama rada:

prema nastavnom planu i programu specijalnosti (br. 000 - dokumentologija i upravljanje dokumentima)

Ime

odjeljaka i tema

Auditorne lekcije

Samostalni rad

uključujući

Uvod. Matematizacija znanosti

Statistički pokazatelji

Grupiranje podataka. stolovi

Prosječne vrijednosti

Indikatori varijacije

Statistički pokazatelji dinamike

Metode multivarijatne analize. Koeficijenti korelacije

Studija uzorka

Metode formalizacije informacija

Raspodjela sati po temama i vrstama rada

prema nastavnom planu i programu specijalnosti br. 000 - povijesna i arhivska znanost

Ime

odjeljaka i tema

Auditorne lekcije

Samostalni rad

uključujući

Praktične (seminari, laboratorijski rad)

Uvod. Matematizacija znanosti

Statistički pokazatelji

Grupiranje podataka. stolovi

Grafičke metode za analizu socioekonomskih informacija

Prosječne vrijednosti

Indikatori varijacije

Statistički pokazatelji dinamike

Metode multivarijatne analize. Koeficijenti korelacije

Studija uzorka

Metode formalizacije informacija

IV. Oblik završne kontrole - pomak

v. Nastavno-metodička potpora kolegiju

Slavko metode u povijesnom istraživanju. Udžbenik. Jekaterinburg, 1995

Mazurove metode u povijesnom istraživanju. Smjernice. Jekaterinburg, 1998

dodatna literatura

Andersen T. Statistička analiza vremenskih serija. M., 1976.

Borodkinova statistička analiza u povijesnom istraživanju. M., 1986

Borodkinova informatika: faze razvoja // Nova i novija povijest. 1996. br.1.

Tihonov za humanističke znanosti. M., 1997. (monografija).

Garskov i banke podataka u povijesnim istraživanjima. Göttingen, 1994

Gerchukove metode u statistici. M., 1968

Družininova metoda i njezina primjena u društveno-ekonomskim istraživanjima. M., 1970

Jessen R. Metode statističkih istraživanja. M., 1985

Jeannie K. Prosječne vrijednosti. M., 1970

Juzbaševljeva teorija statistike. M., 1995.

Rumjancevljeva teorija statistike. M., 1998. (monografija).

Shmoylova studija glavnog trenda i odnosa u nizu dinamike. Tomsk, 1985

Yeats F. Metoda uzorkovanja u popisima i anketama / per. s engleskog. . M., 1976

Povijesna informatika. M., 1996.

Kovalchenko povijesno istraživanje. M., 1987

Računalo u ekonomskoj povijesti. Barnaul, 1997

Krug ideja: modeli i tehnologije povijesne informatike. M., 1996

Krug ideja: Tradicije i trendovi u povijesnoj informatici. M., 1997. (monografija).

Krug ideja: makro- i mikro pristupi u povijesnoj informatici. M., 1998. (monografija).

Krug ideja: Povijesna informatika na pragu 21. stoljeća. Čeboksari, 1999

Krug ideja: Povijesna informatika u informacijskom društvu. M., 2001. (monografija).

Opća teorija statistike: Udžbenik / ur. i. M., 1994.

Radionica iz teorije statistike: Proc. džeparac M., 2000. (monografija).

Statistika Eliseeva. M., 1990

Slavko-statističke metode u povijesnim i istraživačkim M., 1981

Metode Slavka u proučavanju povijesti sovjetske radničke klase. M., 1991

Statistički rječnik / ur. . M., 1989

Teorija statistike: udžbenik / ur. , M., 2000. (monografija).

Ursulsko društvo. Uvod u društvenu informatiku. M., 1990

Schwartz G. Metoda uzorkovanja / per. s njim. . M., 1978

Matematičke metode operacijskih istraživanja

model regresijske analize programmatic

Uvod

Opis predmetnog područja i postavljanje problema istraživanja

Praktični dio

Zaključak

Bibliografija

Uvod

U ekonomiji, osnova gotovo svake aktivnosti je predviđanje. Već na temelju prognoze izrađuje se plan djelovanja i mjera. Dakle, možemo reći da je prognoza makroekonomskih varijabli temeljna sastavnica planova svih gospodarskih subjekata. Predviđanje se može provoditi i na temelju kvalitativnih (ekspertnih) i kvantitativnih metoda. Potonji sami po sebi ne mogu učiniti ništa bez kvalitativne analize, kao što stručne ocjene moraju biti potkrijepljene zdravim izračunima.

Sada su prognoze, čak i na makroekonomskoj razini, scenarijske prirode i razvijaju se prema sljedećem principu: što ako… , - i često su preliminarna faza i opravdanje za glavne nacionalne gospodarske programe. Makroekonomske prognoze obično se izrađuju s vremenskim rokom od godinu dana. Suvremena praksa funkcioniranja gospodarstva zahtijeva kratkoročne prognoze (pola godine, mjesec, desetljeće, tjedan). Namijenjen za poslove naprednog informiranja pojedinih sudionika u gospodarstvu.

S promjenama u objektima i zadacima prognoziranja promijenio se i popis metoda prognoziranja. Adaptivne metode kratkoročnog predviđanja dobile su brzi razvoj.

Suvremeno ekonomsko predviđanje zahtijeva od programera svestranu specijalizaciju, znanja iz različitih područja znanosti i prakse. Zadaće prognostičara uključuju poznavanje znanstvenog (obično matematičkog) aparata prognoziranja, teorijskih osnova procesa prognoziranja, tokova informacija, softvera, interpretacije rezultata prognoziranja.

Glavna funkcija prognoze je potkrijepiti moguće stanje objekta u budućnosti ili odrediti alternativne putove.

Važnost benzina kao glavne vrste goriva danas je teško precijeniti. A jednako je teško precijeniti utjecaj njegove cijene na gospodarstvo bilo koje zemlje. Priroda razvoja gospodarstva zemlje u cjelini ovisi o dinamici cijena goriva. Povećanje cijena benzina uzrokuje povećanje cijena industrijske robe, dovodi do povećanja inflatornih troškova u gospodarstvu i smanjenja profitabilnosti energetski intenzivnih industrija. Trošak naftnih derivata jedna je od sastavnica cijena roba na potrošačkom tržištu, a troškovi transporta utječu na strukturu cijena svih roba široke potrošnje i usluga bez iznimke.

Posebno je važno pitanje cijene benzina u ukrajinskom gospodarstvu u razvoju, gdje svaka promjena cijena izaziva trenutnu reakciju u svim njegovim sektorima. Međutim, utjecaj ovog čimbenika nije ograničen samo na sferu gospodarstva, već se i mnogi politički i društveni procesi mogu pripisati posljedicama njegovih fluktuacija.

Stoga je proučavanje i predviđanje dinamike ovog pokazatelja od posebne važnosti.

Svrha ovog rada je predvidjeti cijene goriva u bliskoj budućnosti.

1. Opis predmetnog područja i postavljanje problema istraživanja

Ukrajinsko tržište benzina teško se može nazvati stalnim ili predvidljivim. A razloga za to ima više, počevši od činjenice da je sirovina za proizvodnju goriva nafta čije cijene i obim proizvodnje određuju ne samo ponuda i potražnja na domaćem i inozemnom tržištu, već i državna politika, kao i posebni ugovori između proizvodnih poduzeća. U uvjetima jake ovisnosti ukrajinskog gospodarstva, ono ovisi o izvozu čelika i kemikalija, a cijene tih proizvoda stalno se mijenjaju. A kad već govorimo o cijenama benzina, ne može se ne primijetiti njihov uzlazni trend. Unatoč politici ograničavanja koju provodi država, njihov rast je uobičajen za većinu potrošača. Cijene naftnih derivata u Ukrajini danas se mijenjaju svakodnevno. Oni uglavnom ovise o cijeni nafte na svjetskom tržištu ($/barel) i visini poreznog opterećenja.

Proučavanje cijena benzina vrlo je relevantno u ovom trenutku, budući da cijene drugih dobara i usluga ovise o tim cijenama.

U ovom ćemo radu razmotriti ovisnost cijena benzina o vremenu i faktorima kao što su:

ü cijene nafte, američki dolar po barelu

ü službeni tečaj dolara (NBU), grivna za američki dolar

ü indeks potrošačkih cijena

Cijena benzina, koji je proizvod prerade nafte, izravno je povezana s cijenom navedenog prirodnog resursa i obujmom njegove proizvodnje. Tečaj dolara ima značajan utjecaj na cjelokupno ukrajinsko gospodarstvo, posebice na formiranje cijena na domaćim tržištima. Izravna veza ovog parametra s cijenama benzina izravno ovisi o tečaju američkog dolara. CPI odražava opću promjenu cijena unutar zemlje, a budući da je ekonomski dokazano da promjena cijena nekih dobara u velikoj većini slučajeva (u uvjetima slobodne konkurencije) dovodi do povećanja cijena drugih dobara , razumno je pretpostaviti da promjena cijena robe u cijeloj zemlji utječe na proučavani pokazatelj na djelu.

Opis matematičkog aparata korištenog u proračunima

Regresijska analiza

Regresijska analiza je metoda modeliranja izmjerenih podataka i proučavanja njihovih svojstava. Podaci se sastoje od parova vrijednosti zavisne varijable (varijabla odgovora) i nezavisne varijable (varijabla objašnjenja). Regresijski model<#"19" src="doc_zip1.jpg" />. Regresijska analiza je potraga za funkcijom koja opisuje ovaj odnos. Regresija se može prikazati kao zbroj neslučajnih i slučajnih komponenti. gdje je funkcija regresijske ovisnosti, a aditivna slučajna varijabla s nultim mat očekivanjem. Pretpostavka o prirodi distribucije ove veličine naziva se hipoteza generiranja podataka<#"8" src="doc_zip6.jpg" />ima Gaussovu distribuciju<#"20" src="doc_zip7.jpg" />.

Problem pronalaženja regresijskog modela nekoliko slobodnih varijabli postavlja se na sljedeći način. Daje se uzorak<#"24" src="doc_zip8.jpg" />vrijednosti slobodnih varijabli i skup odgovarajućih vrijednosti zavisne varijable. Ovi skupovi se označavaju kao skup početnih podataka.

Zadan je regresijski model - parametarska obitelj funkcija ovisno o parametrima i slobodnim varijablama. Potrebno je pronaći najvjerojatnije parametre:

Funkcija vjerojatnosti ovisi o hipotezi generiranja podataka i dana je Bayesovim zaključivanjem<#"justify">Metoda najmanjeg kvadrata

Metoda najmanjih kvadrata je metoda pronalaženja optimalnih parametara linearne regresije, tako da je zbroj kvadrata pogrešaka (reziduala regresije) minimalan. Metoda se sastoji u minimiziranju euklidske udaljenosti između dva vektora - vektora oporavljenih vrijednosti zavisne varijable i vektora stvarnih vrijednosti zavisne varijable.

Zadatak metode najmanjih kvadrata je odabrati vektor za minimiziranje pogreške. Ova greška je udaljenost od vektora do vektora. Vektor leži u prostoru stupaca matrice, budući da postoji linearna kombinacija stupaca ove matrice s koeficijentima. Pronalaženje rješenja metodom najmanjih kvadrata ekvivalentno je problemu pronalaženja točke koja leži najbliže i nalazi se u prostoru stupca matrice.

Dakle, vektor mora biti projekcija na prostor stupca, a rezidualni vektor mora biti okomit na ovaj prostor. Ortogonalnost je da je svaki vektor u prostoru stupaca linearna kombinacija stupaca s nekim koeficijentima, odnosno da je vektor. Za sve u prostoru, ovi vektori moraju biti okomiti na rezidual:

Budući da ova jednakost mora biti istinita za proizvoljan vektor, onda

Rješenje metodom najmanjih kvadrata nekonzistentnog sustava koji se sastoji od jednadžbi s nepoznanicama je jednadžba

koja se naziva normalnom jednadžbom. Ako su stupci matrice linearno neovisni, tada je matrica invertibilna i jedino rješenje

Projekcija vektora na prostor stupaca matrice ima oblik

Matrica se naziva projekcijska matrica vektora na prostor stupca matrice. Ova matrica ima dva glavna svojstva: idempotentna je i simetrična, . Vrijedi i obrnuto: matrica s ova dva svojstva je matrica projekcije na svoj prostor stupaca.

Neka imamo statističke podatke o parametru y ovisno o x. Te podatke prikazujemo u obrascu

xx1 x2 …..xja…..xng *g 1*g 2*......g ja* …..g n *

Metoda najmanjih kvadrata dopušta zadanu vrstu ovisnosti y= ?(x) odabrati njegove numeričke parametre tako da krivulja y= ?(x) prikazao eksperimentalne podatke na najbolji način prema zadanom kriteriju. Razmotrite opravdanost sa stajališta teorije vjerojatnosti za matematičku definiciju parametara uključenih u ? (x).

Pretpostavimo da je prava ovisnost y o x točno izražena formulom y= ?(x). Eksperimentalne točke prikazane u tablici 2 odstupaju od ove ovisnosti zbog pogrešaka mjerenja. Pogreške mjerenja podliježu normalnom zakonu prema Ljapunovljevom teoremu. Razmotrimo neku vrijednost argumenta x ja . Rezultat eksperimenta je slučajna varijabla y ja , raspodijeljen prema normalnom zakonu s matematičkim očekivanjem ?(x ja ) i sa standardnom devijacijom ?ja karakterizira grešku mjerenja. Neka je točnost mjerenja u svim točkama x=(x 1, X 2, …, X n ) je isti, tj. ?1=?2=…=?n =?. Tada je zakon normalne distribucije Yi izgleda kao:

Kao rezultat niza mjerenja dogodio se sljedeći događaj: slučajne varijable (y 1*,y 2*, …, god *).

Opis odabranog softverskog proizvoda

Mathcad - računalni algebarski sustav iz klase sustava za računalno potpomognuto projektiranje<#"justify">4. Praktični dio

Zadatak studije je prognozirati cijene benzina. Početna informacija je vremenska serija od 36 tjedana - od svibnja 2012. do prosinca 2012.

Statistički podaci (36 tjedana) prikazani su u matrici Y. Zatim ćemo izraditi matricu H, koja će biti potrebna za pronalaženje vektora A.

Predstavimo početne podatke i vrijednosti izračunate pomoću modela:

Za ocjenu kvalitete modela koristimo koeficijent determinacije.

Prvo, pronađimo prosječnu vrijednost Xs:

Dio varijance, koji je posljedica regresije, u ukupnoj varijanci indikatora Y karakterizira koeficijent determinacije R2.

Koeficijent determinacije, uzima vrijednosti od -1 do +1. Što je njegova vrijednost koeficijenta po modulu bliža 1, to je bliži odnos efektivne značajke Y s proučavanim faktorima X.

Vrijednost koeficijenta determinacije služi kao važan kriterij za ocjenu kvalitete linearnih i nelinearnih modela. Što je veći udio objašnjene varijacije, to je manja uloga drugih faktora, što znači da regresijski model dobro aproksimira početne podatke i takav regresijski model se može koristiti za predviđanje vrijednosti efektivnog pokazatelja. Dobili smo koeficijent determinacije R2 = 0,78, dakle regresijska jednadžba objašnjava 78% varijance efektivnog svojstva, a 22% njegove varijance (tj. rezidualne varijance) otpada na udio ostalih faktora.

Stoga zaključujemo da je model adekvatan.

Na temelju dobivenih podataka moguće je napraviti prognozu cijena goriva za 37. tjedan 2013. godine. Formula za izračun je sljedeća:

Izračunata prognoza pomoću ovog modela: cijena benzina je 10,434 UAH.

Zaključak

U ovom smo radu pokazali mogućnost provođenja regresijske analize za predviđanje cijena benzina za buduća razdoblja. Svrha kolegija bila je učvrstiti znanja iz kolegija "Matematičke metode operacijskog istraživanja" i stjecati vještine u razvoju softvera koji omogućuje automatizaciju operacijskog istraživanja u zadanom predmetnom području.

Prognoza buduće cijene benzina, naravno, nije jednoznačna, što je zbog osobitosti početnih podataka i razvijenih modela. Međutim, na temelju dobivenih informacija, razumno je pretpostaviti da, naravno, cijene benzina neće pasti u bliskoj budućnosti, već će najvjerojatnije ostati na istoj razini ili će lagano rasti. Naravno, čimbenici koji se odnose na očekivanja potrošača, carinsku politiku i mnoge druge čimbenike ovdje nisu uzeti u obzir, ali želim napomenuti da su u velikoj mjeri obostrano otplativi . I bilo bi sasvim razumno primijetiti da je nagli skok cijena benzina u ovom trenutku doista vrlo dvojben, što je, prije svega, povezano s politikom koju provodi vlada.

Bibliografija

1.Buyul A., Zöfel P. SPSS: umjetnost obrade informacija. Analiza statističkih podataka i obnavljanje skrivenih obrazaca - St. Petersburg: OOO "DiaSoftUP", 2001. - 608 str.

2. Internetski resursi http://www.ukrstat.gov.ua/

3. Internetski resursi http://index.minfin.com.ua/

Internetski resursi http://fx-commodities.ru/category/oil/

Podučavanje

Trebate li pomoć u učenju teme?

Naši stručnjaci će vam savjetovati ili pružiti usluge podučavanja o temama koje vas zanimaju.
Pošaljite prijavu naznačite temu upravo sada kako biste saznali o mogućnosti dobivanja konzultacija.

Projektna metoda, koja ima ogroman potencijal za formiranje univerzalnih odgojno-obrazovnih aktivnosti, postaje sve raširenija u školskom obrazovnom sustavu, ali je projektnu metodu prilično teško „uklopiti“ u razredni sustav. U redovnu lekciju uključujem mini studije. Ovaj oblik rada otvara velike mogućnosti za formiranje kognitivne aktivnosti i osigurava uzimanje u obzir individualnih karakteristika učenika, otvara put za razvoj vještina na velikim projektima.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

“Ako učenik u školi nije ništa naučio sam stvarati, onda će u životu samo oponašati, kopirati, jer malo je onih koji bi, naučivši kopirati, bili u stanju samostalno primijeniti te informacije.” L. N. Tolstoj.

Karakteristična značajka modernog obrazovanja je nagli porast količine informacija koje učenici trebaju naučiti. A stupanj razvijenosti učenika mjeri se i ocjenjuje njegovom sposobnošću da samostalno usvaja nova znanja i koristi ih u nastavnim i praktičnim aktivnostima. Suvremeni pedagoški proces zahtijeva korištenje inovativnih tehnologija u nastavi.

Savezni državni obrazovni standard nove generacije zahtijeva korištenje tehnologija tipa aktivnosti u obrazovnom procesu, metode projektiranja i istraživačkih aktivnosti definirane su kao jedan od uvjeta za provedbu glavnog obrazovnog programa.

Posebna se uloga daje takvim aktivnostima u nastavi matematike i to nije slučajno. Matematika je ključ razumijevanja svijeta, osnova znanstvenog i tehnološkog napretka i važna sastavnica razvoja osobnosti. Osmišljen je da u osobi razvije sposobnost razumijevanja značenja zadatka koji mu je dodijeljen, sposobnost logičkog zaključivanja, da nauči vještine algoritamskog razmišljanja.

Prilično je teško projektnu metodu uklopiti u razredno-satni sustav. Pokušavam inteligentno kombinirati tradicionalni sustav i sustav usmjeren na učenika uključivanjem istraživačkih elemenata u redovnu lekciju. Navest ću niz primjera.

Dakle, kada proučavamo temu "Krug", s učenicima provodimo sljedeću studiju.

Matematička studija "Krug".

1. Razmislite o tome kako izgraditi krug, koji su alati potrebni za to. Oznaka kruga.
2. Da bismo definirali krug, pogledajmo koja svojstva ima ova geometrijska figura. Spojimo središte kružnice s točkom koja pripada kružnici. Izmjerimo duljinu ovog segmenta. Ponovimo pokus tri puta. Napravimo zaključak.
3. Isječak koji spaja središte kruga s bilo kojom točkom na njemu naziva se polumjer kruga. Ovo je definicija radijusa. Oznaka radijusa. Koristeći ovu definiciju, konstruirajte kružnicu polumjera 2cm5mm.
4. Konstruiraj kružnicu proizvoljnog radijusa. Izgradite radijus, izmjerite ga. Zabilježite rezultate mjerenja. Izgradite još tri različita radijusa. Koliko se radijusa može nacrtati u kružnici.
5. Pokušajmo, poznavajući svojstvo točaka kruga, dati njegovu definiciju.
6. Konstruiraj kružnicu proizvoljnog radijusa. Spojite dvije točke kruga tako da ovaj segment prolazi kroz središte kruga. Taj se segment naziva promjer. Definirajmo promjer. Oznaka promjera. Izgradite još tri promjera. Koliko promjera ima kružnica.
7. Konstruiraj kružnicu proizvoljnog radijusa. Izmjerite promjer i radijus. Usporedite ih. Ponovite eksperiment još tri puta s različitim krugovima. Donesite zaključak.
8. Spoji bilo koje dvije točke na kružnici. Dobiveni segment naziva se tetiva. Definirajmo akord. Izgradite još tri akorda. Koliko tetiva ima krug.
9. Je li radijus tetiva. Dokaži.
10. Je li promjer tetiva. Dokaži.

Istraživački radovi mogu biti propedeutički. Nakon ispitivanja kruga, mogu se razmotriti brojna zanimljiva svojstva koja učenici mogu formulirati na razini hipoteze, a zatim tu hipotezu dokazati. Na primjer, sljedeća studija:

"Matematičko istraživanje"

1. Konstruiraj kružnicu polumjera 3 cm i nacrtaj joj promjer. Spojite krajeve promjera s proizvoljnom točkom na kružnici i izmjerite kut koji čine tetive. Izvedite iste konstrukcije za još dva kruga. Što primjećujete.
2. Ponovite pokus za kružnicu proizvoljnog radijusa i postavite hipotezu. Može li se smatrati dokazanim uz pomoć izvedenih konstrukcija i mjerenja.

Pri proučavanju teme "Međusobni raspored linija na ravnini" matematičko učenje se izvodi u grupama.

Zadaci za grupe:

1. Skupina.

1. U jedan koordinatni sustav nacrtajte grafove funkcija

Y=2x, y=2x+7, y=2x+3, y=2x-4, y=2x-6.

2. Odgovorite na pitanja popunjavanjem tablice: