Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva. Nod i nok dva broja, Euklidski algoritam

Razmotrimo rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm. Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Odluka. Cijeli put koji će dečki proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki od njih mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike za broj 75. Dobivamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti višekratni od 60. Dobivamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva bit će brojevi, 300, 600 itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje problema, najmanja udaljenost na kojoj dečki naprave cijeli broj koraka bit će 300 cm. Dječak će ići ovim putem u 4 koraka, a djevojka će morati napraviti 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dvaju prirodnih brojeva a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva, nije potrebno za te brojeve u nizu zapisivati ​​sve višekratnike.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate rastaviti ove brojeve na proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve čimbenike koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobivamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Umnožak ovih brojeva bit će najmanji zajednički faktor za te brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
• 2. Zapišite osnovne čimbenike koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim čimbenicima dodajte sve one koji su u razgradnji ostatka, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite umnožak svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Višekratnik broja je broj koji je djeljiv danim brojem bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim brojem u skupini. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, morate pronaći proste faktore zadanih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Broj višekratnika

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja od kojih je svaki manji od 10. Ako su dati veliki brojevi, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

1. Višekratnik broja je broj koji je djeljiv danim brojem bez ostatka. U tablici množenja može se pronaći više brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja da biste usporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati napisati duge nizove višekratnika da biste pronašli zbroj. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

   Primena faktorizacija

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dati manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, pa se ova metoda može koristiti.

   2. Faktorizirajte prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnožite, dobijete zadani broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\puta 10=20) i 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti faktori broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapišite ih kao izraz: .

   3. Razdijelite drugi broj u proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste rastavili na faktor prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) i 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapišite ih kao izraz: .

   4. Zapišite čimbenike zajedničke za oba broja. Napišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju razlaganje brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\puta) i prekriži 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor 2, pa napišite 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a druga 2 prekriži u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu precrtani u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\put 2\put 5) obje dvojke (2) su precrtane jer su zajednički čimbenici. Faktor 5 nije precrtan, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\put 2\puts 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\put 7\put 3\puts 2) obje su dvojke (2) također prekrižene. Faktori 7 i 3 nisu precrtani, pa operaciju množenja zapišite na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\put 2\put 5\put 7\puts 3).

   6. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\put 2\put 5\put 7\puts 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

      Pronalaženje zajedničkih djelitelja

      1. Nacrtajte mrežu kao što biste to učinili za igru ​​tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne linije koje se sijeku (pod pravim kutom) s dvije druge paralelne linije. To će rezultirati u tri retka i tri stupca (rešetka izgleda kao znak #). Upišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. U prvi red i treći stupac upiši drugi broj.

         • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 18 i 30. U prvi red i drugi stupac upišite 18, a u prvi red i treći stupac upišite 30.

      2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

         • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, upišite 2 u prvi red i prvi stupac.

      3. Podijelite svaki broj s prvim djeliteljem. Svaki količnik upiši ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

         • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa napiši 9 ispod 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napiši 15 ispod 30.

      4. Pronađite djelitelj zajednički za oba kvocijenta. Ako takvog djelitelja nema, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, upišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

         • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

      5. Svaki kvocijent podijelite s drugim djeliteljem. Zapišite svaki rezultat dijeljenja ispod odgovarajućeg kvocijenta.

         • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa napiši 3 pod 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa napiši 5 ispod 15.

      6. Ako je potrebno, nadopunite mrežu dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake sve dok kvocijent ne dobije zajednički djelitelj.

      7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem retku mreže. Zatim napišite označene brojeve kao operaciju množenja.

         • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u posljednjem redu, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\put 3\put 3\puts 5).

      8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Time će se izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

         • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\put 3\put 3\puts 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 18 i 30 je 90.

      Euklidov algoritam

      1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostane kada se podijele dva broja.

         • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
           15 je djeljivo
           6 je djelitelj
           2 je privatno
           3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djelitelj od $a$, a broj $a$ naziva se višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, a za označavanje se koristi oznaka:

$gcd \ (a;b) \ ​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo:

Razložimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Dobiveni broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite gcd brojeva $48$ i $60$.

Odluka:

Pronađite skup djelitelja $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Sada pronađimo skup djelitelja $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Nađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički višekratnik prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodan broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Uobičajeni višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi izvornikom bez ostatka. Na primjer, za brojeve 25$ i 50$ zajednički će višekratnici biti brojevi 50,100,150,200$ itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat će se najmanjim zajedničkim višekratnikom i označavati ga s LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore
2. Napišite čimbenike koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu na prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema prikazanom algoritmu. Za ovo

Rastaviti brojeve na proste faktore

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im čimbenike koji su dio drugog i ne idu u prvi

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često je vrlo dugotrajno. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vdots b$, tada je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako je $a\vdots b$, tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, tada je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako je $a\vdots c$ i $b\vdots c$, tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj $a$ i $b$ je djelitelj $D(a;b)$

Dolje predstavljeni materijal logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo govoriti o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pozornost posvetite rješavanju primjera. Najprije pokažimo kako se LCM dvaju brojeva izračunava u terminima GCD tih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika faktoringom brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračun LCM-a negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na odnosu između LCM-a i GCD-a. Postojeći odnos između LCM-a i GCD-a omogućuje vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70 .

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Upotrijebimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Odgovor:

LCM (126, 70) = 630 .

Primjer.

Što je LCM(68, 34)?

Odluka.

Kao 68 je jednako djeljivo s 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Odgovor:

LCM (68, 34) = 68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoriranjem brojeva u proste faktore

Drugi način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na faktoriranju brojeva u proste faktore. Ako napravimo umnožak svih prostih čimbenika ovih brojeva, nakon čega iz tog umnožaka izuzmemo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima tih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku tih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih čimbenika uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak umnošku svih prostih čimbenika koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite umnožak svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve čimbenike koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobivamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo umnožak svih čimbenika koji sudjeluju u proširenjima ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Isključimo iz ovog proizvoda sve čimbenike koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Tako, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odgovor:

LCM (441, 700) = 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM-a pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako faktorima iz razgradnje broja a dodamo čimbenike koji nedostaju iz proširenja broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo čimbenike koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobivamo razlaganje brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz dekompozicije broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz dekompozicije broja 648 , dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

Odgovor:

LCM (84, 648) = 4 536 .

Pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo pronađemo m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . To jest, m 2 =1 260 .

Sada nalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 \u003d 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prema tome, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . To jest, m 4 \u003d 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik izvorna četiri broja je 94 500.

Odgovor:

LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija zadanih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva jednak je umnošku koji se sastoji na sljedeći način: čimbenici koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim čimbenicima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobivenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore.

Primjer.

Nađi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo dobivamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (oni su 2, 2, 3 i 7) trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, budući da su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Osim faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 11 i 13 iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2 2 2 2 3 7 11 13 koji je jednak 48 048 .

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teorem koji uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja te navesti primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo uobičajeni višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višekratnik cijelih brojeva je cijeli broj koji je višekratnik svih zadanih brojeva. Zapravo, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti s bilo kojim od zadanih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore navedenoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Također će broj 12 biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 zajednički su višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istodobno, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12, 6, − 24, 72, 468, − 100 010 004 i broj bilo kojih drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva koji nisu nula.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotne brojeve, ispada da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva na isti način kao i broj - k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Je li moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može pronaći za bilo koje cijele brojeve.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dano k cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k. Broj koji dobijemo tijekom množenja brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se sa svakim od faktora koji su bili uključeni u izvorni proizvod. To znači da je umnožak brojeva a 1, a 2, …, a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ti cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajedničkih višekratnika. Zapravo, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će umnožak brojeva k · z , gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z . S obzirom da je broj brojeva beskonačan, tada je broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višestruk (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanjeg broja iz zadanog skupa brojeva, koji smo razmatrali u odjeljku Usporedba cijelih brojeva. Imajući na umu ovaj koncept, formuliramo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveći praktični značaj među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik zadanih cijelih brojeva je najmanji pozitivni zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj zadanih brojeva. Kratica NOK najčešće se koristi za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Skraćenica za najmanji zajednički višestruki broj za brojeve a 1, a 2, …, a k izgledat će kao LCM (a 1, a 2, …, a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. Oni. LCM (6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja - 2, 12, 15 i 3 bit će jednak 60. Skraćenica će biti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ne za sve grupe zadanih brojeva najmanji zajednički višekratnik je očit. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i NOD-a

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova utvrđuje se teoremom.

Teorem 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b , odnosno LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv s a , postoji i neki cijeli broj z , pod kojom je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljivo sa b, pa onda a k podjeljeno sa b.

Ako uvedemo novu oznaku za gcd (a, b) kao d, tada možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje će jednakosti biti međusobno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a k podjeljeno sa b. Sada se ovaj uvjet može zapisati na sljedeći način:
a 1 d k podjeljeno sa b 1 d, što je ekvivalentno uvjetu a 1 k podjeljeno sa b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu relativno prostih brojeva, ako a 1 i b 1 su međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 usprkos činjenici da a 1 k podjeljeno sa b 1, onda b 1 treba podijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u jednakost M = a k izraz oblika b: d t. To nam omogućuje da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. Na t=1 možemo dobiti najmanji pozitivni zajednički višekratnik a i b , jednak a b: d, pod uvjetom da su brojevi a i b pozitivan.

Dakle, dokazali smo da je LCM (a, b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućuje vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više zadanih brojeva.

Definicija 3

Teorem ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva isti su kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom umnošku.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Budući da su a i b međusobno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate sukcesivno pronaći LCM dvaju brojeva.

Teorem 2

Pretvarajmo se to a 1, a 2, …, a k su neki pozitivni cijeli brojevi. Za izračunavanje LCM m k te brojeve moramo uzastopno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOO(m 2 , a 3) , … , m k = NOO(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prvi zaključak prvog teorema o kojem se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo točnost drugog teorema. Rezoniranje se gradi prema sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 podudaraju s višekratnicima njihovog LCM-a, zapravo se podudaraju s višekratnicima broja m2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2, …, a k podudaraju sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, podudaraju se s višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1, a 2, …, a k je m k.

Dakle, dokazali smo teorem.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter