Razlomci, operacije s razlomcima. Operacija s običnim razlomcima

Razlomci su obični i decimalni. Kada učenik sazna za postojanje potonjeg, on u svakoj prilici počinje prevoditi sve što je moguće u decimalni oblik, čak i ako to nije potrebno.

Čudno je da se sklonosti srednjoškolaca i studenata mijenjaju, jer je lakše izvesti mnoge aritmetičke operacije s običnim razlomcima. A vrijednosti s kojima se maturanti nose ponekad je jednostavno nemoguće pretvoriti u decimalni oblik bez gubitka. Kao rezultat toga, obje vrste frakcija su, na ovaj ili onaj način, prilagođene slučaju i imaju svoje prednosti i nedostatke. Pogledajmo kako raditi s njima.

Definicija

Razlomci su isti dijelovi. Ako u naranči ima deset kriški, a dobili ste jednu, onda imate 1/10 voća u ruci. S takvim zapisom, kao u prethodnoj rečenici, razlomak će se zvati običan razlomak. Ako zapišete isto kao 0,1 - decimalni. Obje opcije su jednake, ali imaju svoje prednosti. Prva opcija je prikladnija za množenje i dijeljenje, druga - za zbrajanje, oduzimanje i u nizu drugih slučajeva.

Kako pretvoriti razlomak u drugi oblik

Pretpostavimo da imate običan razlomak i želite ga pretvoriti u decimalu. Što trebam učiniti?

Usput, morate unaprijed odlučiti da se nijedan broj ne može bez problema napisati u decimalnom obliku. Ponekad morate zaokružiti rezultat, gubeći određeni broj decimalnih mjesta, a u mnogim područjima - na primjer, u egzaktnim znanostima - to je potpuno nepristupačan luksuz. Istodobno, radnje s decimalnim i običnim razlomcima u 5. razredu dopuštaju takav prijenos s jedne vrste na drugu bez smetnji, barem kao trening.

Ako iz nazivnika, množenjem ili dijeljenjem s cijelim brojem, možete dobiti vrijednost koja je višekratna od 10, prijenos će proći bez ikakvih poteškoća: ¾ se pretvara u 0,75, 13/20 - u 0,65.

Inverzni postupak je još lakši, jer uvijek možete dobiti običan razlomak iz decimalnog razlomka bez gubitka u točnosti. Na primjer, 0,2 postaje 1/5, a 0,08 postaje 4/25.

Interne pretvorbe

Prije izvođenja zajedničkih radnji s običnim razlomcima, morate pripremiti brojeve za moguće matematičke operacije.

Prije svega, trebate sve razlomke u primjeru dovesti u jedan opći oblik. Moraju biti obični ili decimalni. Odmah rezervirajte da je množenje i dijeljenje prikladnije izvesti s prvim.

U pripremi brojeva za daljnje radnje pomoći će vam pravilo poznato kao i korišteno kako u prvim godinama studiranja predmeta, tako i u višoj matematici koja se izučava na sveučilištima.

Svojstva frakcija

Pretpostavimo da imate neku vrijednost. Recimo 2/3. Što se događa ako brojnik i nazivnik pomnožite s 3? Dobiti 6/9. Što ako je milijun? 2000000/3000000. Ali pričekajte, jer se broj uopće ne mijenja kvalitativno - 2/3 ostaje jednako 2000000/3000000. Mijenja se samo forma, ne i sadržaj. Ista stvar se događa kada su oba dijela podijeljena istom vrijednošću. Ovo je glavno svojstvo razlomka, koje će vam više puta pomoći u izvođenju radnji s decimalnim i običnim razlomcima na testovima i ispitima.

Množenje brojnika i nazivnika istim brojem naziva se proširenje razlomka, a dijeljenje smanjenje. Moram reći da je prekriživanje istih brojeva na vrhu i na dnu prilikom množenja i dijeljenja razlomaka iznenađujuće ugodan postupak (naravno, kao dio sata matematike). Čini se da je odgovor već blizu i primjer je praktički riješen.

Nepravilni razlomci

Nepravilan razlomak je onaj kod kojeg je brojnik veći ili jednak nazivniku. Drugim riječima, ako se cijeli dio može razlikovati od njega, on potpada pod ovu definiciju.

Ako se takav broj (veći ili jednak jedan) predstavi kao običan razlomak, nazvat će se nepravilnim. A ako je brojnik manji od nazivnika - točno. Obje vrste su jednako prikladne u provedbi mogućih radnji s običnim razlomcima. Mogu se slobodno množiti i dijeliti, zbrajati i oduzimati.

Ako se u isto vrijeme odabere cijeli broj, a u isto vrijeme postoji i ostatak u obliku razlomka, rezultirajući broj će se nazvati mješovitim. U budućnosti ćete se susresti s raznim načinima kombiniranja takvih struktura s varijablama, kao i rješavanjem jednadžbi gdje je to znanje potrebno.

Aritmetičke operacije

Ako je sve jasno s osnovnim svojstvom razlomka, kako se onda ponašati pri množenju razlomaka? Radnje s običnim razlomcima u razredu 5 uključuju sve vrste aritmetičkih operacija koje se izvode na dva različita načina.

Množenje i dijeljenje su vrlo jednostavni. U prvom slučaju, brojnici i nazivnici dvaju razlomaka jednostavno se množe. U drugom - isto, samo poprečno. Dakle, brojnik prvog razlomka množi se nazivnik drugog i obrnuto.

Da biste izvršili zbrajanje i oduzimanje, morate izvršiti dodatnu radnju - dovesti sve komponente izraza u zajednički nazivnik. To znači da se donji dijelovi razlomaka moraju promijeniti na istu vrijednost - višekratnu oba dostupna nazivnika. Na primjer, za 2 i 5 bit će 10. Za 3 i 6 - 6. Ali što onda učiniti s vrhom? Ne možemo ostaviti kako je bilo da smo promijenili donji. Prema osnovnom svojstvu razlomka množimo brojnik s istim brojem kao i nazivnik. Ova operacija se mora izvesti na svakom od brojeva koje ćemo zbrajati ili oduzimati. Međutim, takve radnje s običnim razlomcima u 6. razredu već se izvode "na stroju", a poteškoće nastaju tek u početnoj fazi proučavanja teme.

Usporedba

Ako dva razlomka imaju isti nazivnik, onda će onaj s većim brojnikom biti veći. Ako su gornji dijelovi isti, onda će onaj s manjim nazivnikom biti veći. Treba imati na umu da se takve uspješne situacije za usporedbu rijetko događaju. Najvjerojatnije se i gornji i donji dijelovi izraza neće podudarati. Zatim se morate sjetiti mogućih radnji s običnim razlomcima i koristiti tehniku koja se koristi za zbrajanje i oduzimanje. Osim toga, zapamtite da ako govorimo o negativnim brojevima, tada će veći razlomak u apsolutnoj vrijednosti biti manji.

Prednosti običnih razlomaka

Događa se da učitelji djeci kažu jednu frazu, čiji se sadržaj može izraziti na sljedeći način: što se više informacija daje pri formuliranju zadatka, to će rješenje biti lakše. Zvuči li čudno? Ali stvarno: s velikim brojem poznatih vrijednosti, možete koristiti gotovo bilo koju formulu, ali ako se navede samo nekoliko brojeva, možda će biti potrebna dodatna razmišljanja, morat ćete zapamtiti i dokazati teoreme, dati argumente u prilog svoje ispravnosti ...

Zašto to radimo? Štoviše, obični razlomci, uz svu svoju glomaznost, mogu uvelike pojednostaviti život studenta, omogućujući vam da smanjite čitave linije vrijednosti prilikom množenja i dijeljenja, a prilikom izračunavanja zbroja i razlike izvlačite uobičajene argumente i , opet ih smanjite.

Kada je potrebno izvršiti zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima, transformacije se provode u korist prvog: kako prevesti 3/17 u decimalni oblik? Samo uz gubitak informacija, nikako drugačije. Ali 0,1 se može predstaviti kao 1/10, a zatim kao 17/170. A zatim se dva rezultirajuća broja mogu dodati ili oduzeti: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Zašto su decimale korisne?

Ako su radnje s običnim razlomcima prikladnije za izvođenje, tada je zapisivanje svega uz njihovu pomoć iznimno nezgodno, decimale ovdje imaju značajnu prednost. Usporedi: 1748/10000 i 0,1748. To je ista vrijednost predstavljena u dvije različite verzije. Naravno, drugi način je lakši!

Osim toga, decimale je lakše predstaviti jer svi podaci imaju zajedničku bazu koja se razlikuje samo po redovima veličine. Recimo, lako možemo prepoznati popust od 30% i čak ga ocijeniti značajnim. Hoćete li odmah shvatiti što je više - 30% ili 137/379? Dakle, decimalni razlomci osiguravaju standardizaciju izračuna.

U srednjoj školi učenici rješavaju kvadratne jednadžbe. Ovdje je već iznimno problematično izvoditi radnje s običnim razlomcima, budući da formula za izračunavanje vrijednosti varijable sadrži kvadratni korijen zbroja. U prisutnosti razlomka koji se ne može svesti na decimalu, rješenje postaje toliko komplicirano da postaje gotovo nemoguće izračunati točan odgovor bez kalkulatora.

Dakle, svaki način predstavljanja razlomaka ima svoje prednosti u odgovarajućem kontekstu.

Oblici upisa

Postoje dva načina za pisanje radnji s običnim razlomcima: kroz vodoravnu liniju, u dva "sloja" i kroz kosu crtu (aka "kosa crta") - u redak. Kada učenik piše u bilježnicu, prva opcija je obično prikladnija, a time i češća. Raspodjela niza brojeva u ćelije pridonosi razvoju pažnje u izračunima i transformacijama. Kada pišete u niz, možete nehotice zbuniti redoslijed radnji, izgubiti sve podatke - odnosno pogriješiti.

Vrlo često u naše vrijeme postoji potreba za ispisom brojeva na računalu. Možete odvojiti razlomke tradicionalnom vodoravnom trakom pomoću funkcije u programu Microsoft Word 2010 i novijim. Činjenica je da u ovim verzijama softvera postoji opcija koja se zove "formula". Prikazuje pravokutno transformabilno polje unutar kojeg možete kombinirati bilo koje matematičke simbole, sastaviti i razlomke s dva i "četvera". U nazivniku i brojniku možete koristiti zagrade, znakove operacija. Kao rezultat, moći ćete zapisati sve zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima u tradicionalnom obliku, odnosno onako kako vas to uče u školi.

Ako koristite standardni uređivač teksta Notepad, tada će svi razlomčki izrazi morati biti napisani kroz kosu crtu. Nažalost, ovdje nema drugog puta.

Zaključak

Dakle, razmotrili smo sve osnovne radnje s običnim razlomcima, kojih, pokazalo se, nije toliko.

Ako se isprva može činiti da je ovo složeni odjeljak matematike, onda je ovo samo privremeni dojam - sjetite se, jednom ste tako razmišljali o tablici množenja, pa čak i ranije - o uobičajenim knjigama i brojanju od jedan do deset.

Važno je razumjeti da se razlomci koriste posvuda u svakodnevnom životu. Bavit ćete se novcem i inženjerskim izračunima, informacijskom tehnologijom i glazbenom pismenošću, i to posvuda – posvuda! - pojavit će se razlomci. Stoga, nemojte biti lijeni i temeljito proučite ovu temu - pogotovo jer nije tako teško.

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). tj.:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz s desne strane):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Obratite pažnju na praktične savjete, i bit će ih manje (greške)!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! To nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka – prijeđite na obične razlomke.

3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.

4. Razlomačke izraze na više razina svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Samo nakon pogledaj odgovore.

Izračunati:

Jeste li se odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Posebno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Složimo se da će se "radnje s razlomcima" u našoj lekciji shvatiti kao radnje s običnim razlomcima. Razlomak je razlomak koji ima atribute kao što su brojnik, razlomak i nazivnik. Time se obični razlomak razlikuje od decimalnog, koji se od običnog dobiva smanjenjem nazivnika na višekratnik 10. Decimalni razlomak se piše zarezom koji odvaja cijeli broj od razlomka. Govorit ćemo o operacijama s običnim razlomcima, jer upravo oni uzrokuju najveće poteškoće učenicima koji su zaboravili osnove ove teme, obrađene u prvoj polovici školskog tečaja matematike. Istodobno, pri transformaciji izraza u višoj matematici uglavnom se koriste operacije s običnim razlomcima. Neke kratice razlomaka nešto vrijede! Decimalni razlomci ne uzrokuju velike poteškoće. Zato samo naprijed!

Dva razlomka i nazivaju se jednaki ako .

Na primjer, jer

Razlomci i (od ), i (od ) su također jednaki.

Očito su oba razlomka i jednaka. To znači da ako se brojnik i nazivnik danog razlomka pomnože ili podijele s istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak zadanom:.

Ovo svojstvo naziva se osnovnim svojstvom razlomka.

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka brojnika i nazivnika razlomka. Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože s -1, dobivamo. To znači da se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se istovremeno mijenjaju predznaci brojnika i nazivnika. Ako promijenite predznak samo brojnika ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak:

Smanjenje frakcije

Koristeći osnovno svojstvo razlomka, možete dati razlomak zamijeniti drugim razlomkom jednakim zadanom, ali s manjim brojnikom i nazivnikom. Ova zamjena naziva se redukcija frakcije.

Neka je, na primjer, zadan razlomak. Brojevi 36 i 48 imaju najveći zajednički djelitelj 12. Tada

U općem slučaju, smanjenje razlomka je uvijek moguće ako brojnik i nazivnik nisu međusobno prosti brojevi. Ako su brojnik i nazivnik relativno prosti brojevi, tada se razlomak naziva nesvodljivim.

Dakle, smanjenje razlomka znači dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka zajedničkim faktorom. Sve navedeno vrijedi za frakcijske izraze koji sadrže varijable.

Primjer 1 Smanjite frakciju

Odluka. Faktorizirati brojnik u faktore, nakon što smo prethodno predstavili monom - 5 xy kao zbroj - 2 xy - 3xy, dobivamo

Za faktorizaciju nazivnika koristimo formulu razlike kvadrata:

Kao rezultat

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Neka su dva razlomka i dati su. Imaju različite nazivnike: 5 i 7. Koristeći osnovno svojstvo razlomka, te razlomke možete zamijeniti drugim jednakim njima, i to tako da će rezultirajući razlomci imati iste nazivnike. Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka sa 7, dobivamo

Pomnožimo brojnik i nazivnik s 5, dobivamo

Dakle, razlomci se svode na zajednički nazivnik:

Ali to nije jedino rješenje problema: na primjer, ovi se razlomci također mogu svesti na zajednički nazivnik od 70:

i općenito na bilo koji nazivnik djeljiv i sa 5 i sa 7.

Razmotrimo još jedan primjer: smanjimo razlomak i na zajednički nazivnik. Argumentirajući kao u prethodnom primjeru, dobivamo

Ali u ovom slučaju, možete dovesti razlomke na zajednički nazivnik, manji od umnoška nazivnika tih razlomaka. Pronađite najmanji zajednički višekratnik 24 i 30: LCM(24, 30) = 120 .

Budući da je 120:4=5, da bi se zapisao razlomak s nazivnikom 120, i brojnik i nazivnik moraju se pomnožiti s 5, taj se broj naziva dodatnim faktorom. Sredstva .

Nadalje, dobivamo 120:30=4. Pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka s dodatnim faktorom 4, dobivamo .

Dakle, ti se razlomci svode na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka je najmanji mogući zajednički nazivnik.

Za frakcijske izraze koji uključuju varijable, zajednički nazivnik je polinom koji je djeljiv nazivnikom svakog razlomka.

Primjer 2 Pronađite zajednički nazivnik razlomaka i .

Odluka. Zajednički nazivnik ovih razlomaka je polinom, budući da je djeljiv s oba i sa. Međutim, ovaj polinom nije jedini koji može biti zajednički nazivnik ovih razlomaka. Može biti i polinom , i polinom , i polinom itd. Obično uzimaju takav zajednički nazivnik da je svaki drugi zajednički nazivnik djeljiv s odabranim bez ostatka. Takav nazivnik naziva se najmanji zajednički nazivnik.

U našem primjeru najmanji zajednički nazivnik je . dobio:

;

Uspjeli smo razlomke dovesti na najmanji zajednički nazivnik. To se dogodilo tako da se brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnoži s , a brojnik i nazivnik drugog razlomka s . Polinomi i nazivaju se dodatnim faktorima, redom, za prvi i drugi razlomak.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Dodavanje frakcija definirano je kako slijedi:

Na primjer,

Ako je a b = d, onda

To znači da je za zbrajanje razlomaka s istim nazivnikom dovoljno zbrojiti brojnike, a nazivnik ostaviti istim. Na primjer,

Ako se zbroje razlomci s različitim nazivnicima, tada se razlomci obično svode na najmanji zajednički nazivnik, a zatim se zbrajaju brojnici. Na primjer,

Sada razmotrite primjer zbrajanja frakcijskih izraza s varijablama.

Primjer 3 Pretvorite izraz u jedan razlomak

Odluka. Nađimo najmanji zajednički nazivnik. Da bismo to učinili, najprije faktoriziramo nazivnike.

Razlomci su obični brojevi, također se mogu zbrajati i oduzimati. Ali zbog činjenice da imaju nazivnik, ovdje su potrebna složenija pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka s istim nazivnicima. Zatim:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, zbrojite njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je brojnik drugog oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjen.

Unutar svakog izraza nazivnici razlomaka su jednaki. Po definiciji zbrajanja i oduzimanja razlomaka dobivamo:

Kao što vidite, ništa komplicirano: samo zbrojite ili oduzmite brojnike - i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Najčešće zaborave da se nazivnik ne mijenja. Na primjer, kada ih zbrajaju, oni se također počinju zbrajati, a to je u osnovi pogrešno.

Riješiti se loše navike zbrajanja nazivnika je prilično jednostavno. Pokušajte učiniti isto kada oduzimate. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (odjednom!) će izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom zauvijek: pri zbrajanju i oduzimanju nazivnik se ne mijenja!

Također, mnogi ljudi griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zbrka sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje - plus.

Ovaj problem je također vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojnik - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju sve je jednostavno, a u drugom ćemo brojiteljima razlomaka dodati minuse:

Što ako su nazivnici različiti

Ne možete izravno zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Barem mi je ova metoda nepoznata. Međutim, izvorni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da nazivnici postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih se govori u lekciji "Dovođenje razlomaka u zajednički nazivnik", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika metodom "križno". U drugom ćemo tražiti LCM. Imajte na umu da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posljednji čimbenici u tim proširenjima su jednaki, a prvi su međusobno prosti. Prema tome, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Što ako razlomak ima cijeli broj

Mogu ti ugoditi: različiti nazivnici razlomaka nisu najveće zlo. Mnogo više pogrešaka dolazi kada je cijeli dio istaknut u razlomcima.

Naravno, za takve razlomke postoje vlastiti algoritmi zbrajanja i oduzimanja, ali oni su prilično komplicirani i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolje je koristiti jednostavan dijagram u nastavku:

Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobivamo normalne članove (čak i s različitim nazivnicima), koji se izračunavaju prema gore navedenim pravilima;
Zapravo, izračunajte zbroj ili razliku dobivenih razlomaka. Kao rezultat toga, praktički ćemo pronaći odgovor;
Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, vršimo inverznu transformaciju, t.j. riješimo se nepravilnog razlomka, ističući cijeli broj u njemu.

Pravila za prijelaz na nepravilne razlomke i isticanje cjelobrojnog dijela detaljno su opisana u lekciji "Što je brojčani razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Nazivnici unutar svakog izraza su jednaki, pa ostaje sve razlomke pretvoriti u nepravilne i brojati. Imamo:

Kako bih pojednostavio izračune, preskočio sam neke očite korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena uz posljednja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.

Ponovno pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere i razmislite o tome. Ovdje početnici puno griješe. Vole davati takve zadatke na kontrolnom radu. Također ćete ih više puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: Opća shema računarstva

U zaključku, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći pronaći zbroj ili razliku dva ili više razlomaka:

Ako je cijeli broj istaknut u jednom ili više razlomaka, pretvorite te razlomke u neispravne;
Dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim ako, naravno, to nisu učinili sastavljači zadataka);
Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima;
Smanjite rezultat ako je moguće. Ako se razlomak pokazalo netočnim, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije pisanja odgovora.