Primjer #9

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.

Budući da je donja granica zbrajanja 1, zajednički član niza je napisan pod znakom zbroja: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))$ . Prvo, utvrdimo je li ova serija pozitivna, t.j. je li nejednakost $u_n≥ 0$ istinita? Faktor $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, to je jasno, ali što je s tangentom luka? Nema ništa komplicirano s arktangovima: budući da $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, onda $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0$ . Zaključak: naša serija je pozitivna. Primijenimo usporedni test za proučavanje pitanja konvergencije ovog niza.

Prvo izaberimo seriju s kojom ćemo usporediti. Ako je $n\to\infty$ onda je $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. Stoga $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Zašto je to? Ako pogledamo tablicu na kraju ovog dokumenta, vidjet ćemo formulu $\arctg x\sim x$ za $x\to 0$. Koristili smo ovu formulu, samo u našem slučaju $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

U izrazu $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ tangenta luka za razlomak $\frac(\pi)(\sqrt (2n- 1))$. Dobivamo sljedeće: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. S takvim smo razlomcima već radili prije. Odbacivanjem "dodatnih" elemenata dolazimo do razlomka $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Zadane serije ćemo usporediti pomoću . Budući da je $\frac(5)(6)≤ 1$, tada je niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ razilazi se.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(poravnano)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(poravnano) \desno| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

Od $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Napominjem da bi u ovom slučaju umjesto ark tangente u izrazu zajedničkog pojma niza mogao postojati sinus, arcsinus ili tangenta. Rješenje bi ostalo isto.

Odgovor: serija se razilazi.

Primjer #10

Istražite niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ za konvergenciju.

Budući da je donja granica zbrajanja jednaka 1, zajednički član niza zapisuje se pod znakom zbroja: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Budući da za bilo koju vrijednost $x$ imamo $-1≤\cos x≤ 1$, onda je $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Prema tome, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, tj. $u_n≥ 0$. Imamo posla s pozitivnom serijom.

Ako je $n\to\infty$ onda je $\frac(7)(n)\to 0$. Stoga $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $ . Zašto je to? Ako pogledamo tablicu na kraju ovog dokumenta, vidjet ćemo formulu $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ za $x\to 0$. Koristili smo ovu formulu, samo u našem slučaju $x=\frac(7)(n)$.

Zamijenimo izraz $1-\cos\frac(7)(n)$ s $\frac(49)(2n^2)$. Odbacivanjem "dodatnih" elemenata dolazimo do razlomka $\frac(1)(n^2)$. Upravo ćemo s nizom $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ usporediti dati niz pomoću . Budući da je $2 > 1$, niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ konvergira.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\desno|= \lijevo|\begin(poravnano)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(poravnano)\desno| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

Od $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Odgovor: niz se konvergira.

Primjer #11

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$.

Budući da je donja granica zbrajanja jednaka 1, zajednički član niza zapisuje se pod znakom zbroja: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Budući da su oba faktora pozitivna, onda je $u_n >0$, tj. imamo posla s pozitivnom serijom.

Ako je $n\to\infty$ onda je $\frac(3)(n)\to 0$. Stoga $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Formula koju smo koristili nalazi se u tablici na kraju ovog dokumenta: $e^x-1 \sim x$ za $x\to 0$. U našem slučaju $x=\frac(3)(n)$.

Zamijenimo izraz $e^\frac(3)(n)-1$ s $\frac(3)(n)$, čime ćemo dobiti $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Odbacivanjem broja dolazimo do razlomka $\frac(1)(n)$. Upravo ćemo s harmonijskim nizom $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ usporediti dati niz pomoću . Dopustite da vas podsjetim da se harmonijski niz razilazi.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\desno)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(poravnano)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(poravnano)\desno| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

Od $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Odgovor: serija se razilazi.

Primjer #12

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$.

Budući da je donja granica zbrajanja 1, zajednički član niza zapisuje se pod znakom zbroja: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Budući da za bilo koju vrijednost od $n$ imamo $n^3+7 > n^3+5$, tada je $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Prema tome, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, tj. $u_n > 0$. Imamo posla s pozitivnom serijom.

Uočiti ekvivalentnost koja je potrebna u ovom slučaju donekle je teško. Zapišimo izraz ispod logaritma u malo drugačijem obliku:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\desno)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ pravo). $$

Sada je formula vidljiva: $\ln(1+x)\sim x$ za $x\to 0$. Budući da za $n\to\infty$ imamo $\frac(2)(n^3+5)\to 0$, onda $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \desno)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Zamijenimo izraz $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ s $\frac(2)(n^3+5)$. Odbacivanjem "dodatnih" elemenata dolazimo do razlomka $\frac(1)(n^3)$. Upravo ćemo s nizom $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ usporediti dati niz pomoću . Budući da je $3 > 1$, niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ konvergira.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\desno))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\desno|= \lijevo|\početi(poravnano)&\frac(2)(n^3+5)\do 0;\\&\ln\lijevo(1+\frac(2)( n^3+5)\desno)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(poravnano)\desno|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

Od $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Odgovor: niz se konvergira.

Primjer #13

Istražite niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Budući da je donja granica zbrajanja 1, zajednički član niza je napisan pod znakom zbroja: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Neka je zadan niz pozitivnih brojeva $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Formulirajmo nužni kriterij za konvergenciju niza:

1. Ako se niz konvergira, tada je granica njegovog zajedničkog člana jednaka nuli: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Ako granica zajedničkog člana niza nije jednaka nuli, tada se niz divergira: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Generalizirani harmonijski niz

Ovaj niz je napisan na sljedeći način: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Štoviše, ovisno o $ p $, niz konvergira ili divergira:

1. Ako je $ p = 1 $, tada se niz $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ divergira i naziva se harmonijskim, unatoč činjenici da je zajednički pojam $ a_n = \frac(1 )( n) \do 0 $. Zašto je to? U napomeni je rečeno da nužni kriterij ne daje odgovor o konvergenciji, već samo o divergenciji niza. Stoga, ako primijenimo dovoljan test, kao što je integralni Cauchyjev test, tada postaje jasno da se niz divergira!
2. Ako je $ p \leqslant 1 $, tada se niz divergira. Primjer, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, gdje je $ p = \frac(1)(2) $
3. Ako je $ p > 1 $, tada red konvergira. Primjer, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, gdje je $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Primjeri rješenja

Primjer 1

Dokažite divergenciju niza $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

Odluka

Serija je pozitivna, zapisujemo zajednički pojam: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Izračunajte granicu na $ n \do \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Zagradite $ n $ u nazivniku, a zatim ga smanjite: $$ = \lim_(n \do \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \do \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Budući da smo dobili da je $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, traženi Cauchyjev test nije zadovoljen i niz se stoga divergira. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračuna i prikupiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete kredit od učitelja!

Odgovor

Serija se razilazi

dodatak

Internetska stranica usluge pomoći će vam da pronađete zbroj niza na mreži i brojčanog niza i funkcionalnog niza. Zbroj niza za matematičare je nešto posebno u razumijevanju analize brojčanih veličina i prijelaza do granice. O općem rješenju serijala u proteklih nekoliko stoljeća rečeno je i napisano mnogo korisnih radova. Za svakog nastavnika osobno važna je dužnost prenijeti svoje stečeno znanje iz matematike do konačnog slušatelja, odnosno učenika. Lakše je tražiti takav zbroj niza 1/n. Zbroj niza 1/n^2 bit će vam predstavljen u kratkom zapisu. Uz određivanje zbroja niza online numeričkog niza, stranica može pronaći takozvani djelomični zbroj niza online. To će svakako pomoći za analitičke prikaze, kada zbroj online niza treba izraziti i pronaći ga kao rješenje granice brojčanog slijeda parcijalnih zbroja niza. U svojoj srži, zbroj niza nije ništa drugo nego inverzna operacija proširenja funkcije u niz. Operacije su gotovo recipročne prirode. Dogodilo se da se konvergencija niza proučava nakon položenog tečaja predavanja iz matematičke analize nakon granica. Pronađeno rješenje niza znači rezultat njegovog proučavanja za konvergenciju ili divergenciju. Ovaj rezultat je jedinstveno određen. U usporedbi s analozima, stranica ima svoje neosporne prednosti, jer može pronaći zbroj niza na mreži i brojčanog i funkcionalnog niza, što vam omogućuje da nedvosmisleno odredite područje konvergencije početne početne serije , koristeći gotovo svu poznatu metodologiju znanosti. Na temelju teorije nizova, nužni uvjet za konvergenciju brojčanog niza u svakom trenutku bit će jednakost nuli granice zajedničkog člana brojevnog niza u beskonačnosti. Ali ovaj uvjet nije dovoljan pri uspostavljanju konvergencije numeričkog niza na mreži. Odmaknimo se malo od gorućeg problema i raspravljajmo s drugačije filozofske pozicije o nizovima u matematici. Za vas će ovo rješenje serije online postati najbolji kalkulator i pomoćnik za svaki dan. Uopće nije želja odsjedati lijepe zimske dane za nastavu, kada vam je zbroj reda na dva računa pred očima. Ako netko treba odrediti samu kilometražu reda, to će potrajati nekoliko sekundi nakon preliminarnog unosa točnih podataka. Iako slične stranice zahtijevaju naknadu za svoje usluge, nastojimo biti korisni svima koji žele pokušati naučiti kako samostalno rješavati primjere pomoću naše jednostavne usluge. Prema Vašem nahođenju, rješenje serije možemo prikazati online na bilo kojem modernom uređaju, odnosno u bilo kojem pregledniku, tako da će pronaći i dokazati da zbroj serije 1/n beskonačno divergira biti jednostavan zadatak. Uvijek zapamtite kako se zbroj niza 1/n^2 konvergira i ima veliko semantičko značenje u matematici. Ali zbroj konačne serije obično se određuje nakon korištenja, na primjer, integralnog znaka ili Raabeovog znaka, za koje malo ljudi zna na običnim sveučilištima. Određivanjem konvergencije nizova online, znanstvenici su izveli različite dovoljne znakove konvergencije ili divergencije niza. Poznatiji i često korišteni od ovih metoda su predznaci D "Alemberta, Cauchyjev znak konvergencije, Raabeov znak konvergencije, znak za usporedbu numeričkih nizova i integralni znak konvergencije brojevnog niza. Takav broj Posebnu pozornost zaslužuju nizovi u kojima se predznaci pojmova moraju striktno izmjenjivati ​​jedan za drugim od minusa do plusa i obrnuto, a apsolutne vrijednosti tih brojčanih nizova monotono, odnosno ravnomjerno, smanjuju se. U praksi se proučavanje pokazalo se da je za takve numeričke nizove dovoljan nužni kriterij za konvergenciju niza koji se izmjenjuju znakom na mreži, odnosno da je granica zajedničkog pojma jednaka nultom nizu brojeva u beskonačnosti. Zbroj niza pronađen na ovaj način je ekvivalentan drugim korištenim metodama. Konvergencija niza zahtijeva ogroman gubitak vremena, budući da sam proces uključuje cjelovito proučavanje funkcije. Postoji mnogo različitih stranica koje pružaju usluge za izračunavanje zbroja niza na mreži, npr. kao i proširenje funkcija u nizu u dir imati online u bilo kojoj točki iz domene definicije funkcije koja se proučava. Lako je jednostavno proširiti funkciju u niz online u ovim uslugama, budući da se za izračun derivacije koristi funkcional, ali inverzna operacija - pronaći zbroj funkcionalnog online niza čiji članovi nisu brojevi, već funkcije , često je nemoguće u praksi zbog poteškoća koje nastaju zbog nedostatka potrebnih računalnih resursa.. Koristite naš resurs za izračunavanje zbroja nizova online, provjerite i učvrstite svoje znanje. Ako se zbroj serije razilazi, tada nećemo dobiti očekivani rezultat za daljnje radnje u nekom zajedničkom zadatku. To se može unaprijed izbjeći primjenom svog znanja kao stručnjaka. Konačno, nemoguće je ne spomenuti kako je zbroj niza 1/n najjednostavniji u izrazu i često se navodi kao primjer. Čak i kada žele pokazati neki znak konvergencije u slučaju, dokazuju to za zbroj niza 1/n^2, jer je takav prikaz za učenike transparentan i učenici se ne zbune. Budući da imamo izraz za složeni opći član niza, onda bi zbroj konačnog niza bio koristan ako se za majorizirajući niz (u odnosu na izvorni) dokaže da konvergira. S druge strane, do konvergencije niza dolazi bez obzira na početne uvjete problema. Samo naša servisna stranica može ponuditi najbolje rješenje redova, jer samo mi jamčimo uštedu vašeg vremena uspoređujući trošak izračuna s korisnošću i točnosti rezultata. Budući da se željeni zbroj niza u većini slučajeva može predstaviti velikim nizom, samo ga je svrsishodnije proučavati. Dakle, konvergencija niza iz majorizirajućeg općeg pojma nedvosmisleno će ukazivati ​​na konvergenciju glavnog izraza, a problem će se odmah riješiti sam.Nastavnici visokih učilišta također mogu koristiti naše rješenje niza online i provjeriti rad svojih pitomaca. U nekim slučajevima, zbroj niza može se izračunati u zadatku za fiziku, kemiju ili primijenjenu disciplinu, a da se ne zaglavi u rutinskim proračunima, kako se ne bi skrenulo s glavnog smjera pri proučavanju nekog prirodnog procesa. Za početak, obično najviše zapišu da ne mogu jesti pojednostavljeni izraz u obliku zbroja niza 1/n, i ovaj pristup je opravdan. Broj Pi je prisutan u mnogim računskim operacijama, ali se može reći da je zbroj niza 1/n^2 klasičan primjer konvergencije harmonijskog niza u beskonačnosti. Što uopće znači izraz "zbroj konačnog niza"? A to znači samo da konvergira i da granica njegovih parcijalnih zbroja ima određenu brojčanu vrijednost. Ako se konvergencija serije potvrdi i to će utjecati na konačnu stabilnost sustava, tada je moguće promijeniti ulazne parametre problema i pokušati to ponoviti. Za kraj, želimo vam dati savjet koji je na prvi pogled implicitan, ali vrlo koristan u praksi. Čak i ako imate dovoljno iskustva u rješavanju nizova i ne trebate takve usluge za rješavanje nizova na mreži, predlažemo da započnete pronalaženje zbroja niza određivanjem konvergencije niza. Provedite samo minutu na ovu radnju, koristeći stranicu, tako da tijekom izračunavanja zbroja serije samo ovu činjenicu imajte na umu. Neće biti suvišno! O zbroju niza se puno pisalo na stranicama za matematiku, priloženo je mnogo ilustracija, jer su u prošlom stoljeću znanstvenici simbolima označavali izraze za zbroj niza. Uglavnom, malo se toga promijenilo, ali ima zanimljivih trenutaka. Ako se konvergencija serije online čini nemogućom, samo provjerite unesene podatke i mirno ponovite zahtjev. Ipak, bolje je prvo još jednom provjeriti zajednički pojam serije. I svako online rješenje serije odmah će se pojaviti na stranici, ne morate kliknuti na dodatne linkove da biste dobili odgovor na zadatak. Najbolje, prema mišljenju stručnjaka, učenike čini zahtjevnijim u odabiru kalkulatora rješenja serije. Koncept konvergencije nizova, odnosno postojanje konačnog zbroja, uložen je u zbroj niza kao online servis. Uz ovaj dio uvode se osnovne teme kao što su integrali i derivacije, budući da su sve usko povezane. Razgovarajmo zajedno s nama kako se zbroj niza 1/n divergira kako varijabla teži beskonačnosti. Međutim, drugi zbroj takvog niza kao što je 1/n^2 će, naprotiv, konvergirati i poprimiti konačni numerički izraz. Zanimljivo je proučavati slučajeve u kojima se zbroj konačnog niza predstavlja postupno kao međuparcijalni zbroji niza s postupnim povećanjem varijable za jednu, ili možda nekoliko jedinica odjednom. Preporučujemo da provjerite konvergenciju niza online nakon vlastitih rješenja zadataka. To će vam omogućiti detaljno razumijevanje teme i povećanje razine znanja. Ne zaboravite na to nikada, trudimo se samo za vas. Jednom na satu, učitelj je pokazao rješenje serije na mreži uz pomoć računalne tehnologije. Moram reći da se svima jako svidjelo. Nakon ovog incidenta, kalkulator je bio tražen tijekom cijelog studija matematike. Neće biti suvišno provjeriti kako kalkulator izračunava zbroj serije online u nekoliko sekundi nakon što zatražite prikaz rezultata. Odmah će postati jasno u kojem smjeru vrijedi zadržati tijek rješavanja problema. Budući da se u nekim skupim udžbenicima ne piše puno o konvergenciji serijala, bolje je skinuti nekoliko dobrih izvještaja eminentnih znanstvenika s interneta i pohađati tečaj njihove metodologije. Rezultat će biti dobar. Prilikom rješavanja niza ne može se isključiti prvi znak konvergencije, odnosno tendencija nuli granice njezina zajedničkog člana. Iako to nije dovoljan uvjet, uvijek je nužan. Cjelovitost riješenog primjera stvara ugodan osjećaj kod učenika kada shvati da je zbroj niza izračunat bez pribjegavanja natuknicama. Udžbenici su namijenjeni kao vodič za primjenu vaših vještina u praksi. Kako zaboravljate obrađeno gradivo, svaki četvrtak morate odvojiti najmanje pet minuta za letimičan pregled predavanja, inače ćete sve zaboraviti do početka sesije, a još više ćete zaboraviti kako se izračunava konvergencija niza . Počnite s jednom, a zatim nadvladajte svoju lijenost. Nije ni čudo da su učitelji prisiljeni dokazivati ​​kako će zbroj niza 1/n odstupiti. Ali ako se, ipak, zbroj niza 1/n ^ 2 predstavi kao izmjenični niz, tada se neće dogoditi ništa strašno - na kraju krajeva, apsolutni niz tada konvergira! I naravno, zbroj konačnog niza može vas posebno zanimati kada sami proučavate ovu disciplinu. Lavovski dio primjera rješava se d'Alembertovom metodom, a rješenje niza u ovom slučaju svodi se na izračunavanje granica, kao omjera susjednih članova, odnosno sljedećeg prema prethodnom. Stoga vam želimo puno sreće u rješavanju matematike i da nikada ne pogriješite! Uzmimo kao temeljnu osnovu takozvano rješenje serijala online u smjeru istraživačkog neslaganja, uključivanja temeljnih načela i znanstvenih interdisciplinarnih pravaca. Dopustite da vam pronađemo odgovor i da vam potvrdno kažemo da se zbroj niza rješava nekoliko bitno različitih metoda, ali je na kraju rezultat isti. Nagovještaj o konvergenciji niza nije uvijek očigledan studentima, čak i ako im se unaprijed kaže odgovor, iako ih to, naravno, gura na ispravno rješenje. Apstrakcija u matematici, iako izbija na prvo mjesto, ipak je potkrijepljena teorijom i u tren oka dokazuje neke nepobitne činjenice. Kod online rješavanja nizova ne može se propustiti takav aspekt kao što je primjenjivost ili neprimjenjivost osnovnih teorijskih načela konvergencije brojevnog niza i predstavljanja složenog zbroja niza u nekoj pojednostavljenoj verziji za što ugodniji izgled. Ali postoje slučajevi kada će se zbroj niza 1 / n konvergirati i nećemo vas zamarati ovim incidentom, jer sve što trebate učiniti je zamijeniti neki cijeli broj umjesto simbola beskonačnosti i tada će se cijeli zbroj svesti na uobičajeni aritmetički niz. Harmonični niz je zbroj niza 1/n^2, tada je mreža na bilo koju povišenu snagu.

Redovi za čajnike. Primjeri rješenja

Svi preživjeli dobrodošli u drugu godinu! U ovoj lekciji, odnosno u nizu lekcija, naučit ćemo kako upravljati redovima. Tema nije jako teška, ali da biste je svladali trebat će vam znanje iz prvog tečaja, posebno morate razumjeti koja je granica, i moći pronaći najjednostavnije granice. Međutim, u redu je, tijekom objašnjenja dat ću odgovarajuće poveznice na potrebne lekcije. Nekim čitateljima tema matematičkih nizova, metoda rješavanja, znakova, teorema može se činiti osebujnom, pa čak i pretencioznom, apsurdnom. U ovom slučaju ne trebate puno "opteretiti", prihvaćamo činjenice kakve jesu i samo učimo rješavati tipične, uobičajene zadatke.

1) Redovi za čajnike, a za samovare odmah zadovoljan :)

Za ultrabrzu pripremu na temu postoji ekspresni tečaj u pdf formatu, uz pomoć kojeg je zaista moguće "podići" praksu u samo jednom danu.

Koncept brojevnog niza

Općenito brojevni niz može se napisati ovako:
Ovdje:
- matematička ikona zbroja;
– zajednički pojam serije(sjetite se ovog jednostavnog izraza);
- varijabla - "brojac". Zapis znači da se zbrajanje provodi od 1 do "plus beskonačnost", to jest, prvo imamo, zatim, zatim, i tako dalje - do beskonačnosti. Varijabla ili se ponekad koristi umjesto varijable. Zbrajanje ne počinje nužno od jedan, u nekim slučajevima može početi od nule, od dva ili od bilo kojeg prirodni broj.

U skladu s varijablom "counter", bilo koja serija može se detaljno oslikati:
– i tako u nedogled.

Pojmovi - Ovo BROJEVI, koji se zovu članova red. Ako su svi nenegativni (veće ili jednako nuli), onda se takav niz zove pozitivni brojevni pravac.

Primjer 1

Usput, ovo je već "borbeni" zadatak - u praksi je često potrebno snimiti nekoliko članova serije.

Prvo, zatim:
Onda, onda:
Onda, onda:

Proces se može nastaviti unedogled, ali prema uvjetu je bilo potrebno napisati prva tri člana niza, pa zapisujemo odgovor:

Obratite pažnju na temeljnu razliku od brojčani niz,
u kojem se pojmovi ne zbrajaju, već se tako tretiraju.

Primjer 2

Zapišite prva tri člana niza

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.

Čak i za naizgled složenu seriju, nije je teško opisati u proširenom obliku:

Primjer 3

Zapišite prva tri člana niza

Zapravo, zadatak se izvodi usmeno: mentalno zamjena u zajedničkom terminu serije prvo, zatim i. Eventualno:

Ostavite odgovor ovako bolje je ne pojednostavljivati ​​dobivene pojmove niza, tj ne udovoljavaju radnje: , , . Zašto? Odgovorite u obrascu učitelju mnogo lakše i praktičnije provjeriti.

Ponekad postoji i obrnuto

Primjer 4

Ovdje nema jasnog algoritma rješenja. samo morate vidjeti uzorak.
U ovom slučaju:

Za provjeru, rezultirajuća serija može se "obojiti natrag" u proširenom obliku.

Ali primjer je malo teži za samostalno rješenje:

Primjer 5

Napišite zbroj u sažetom obliku sa zajedničkim članom niza

Provjerite ponovno tako da napišete seriju u proširenom obliku

Konvergencija brojevnih nizova

Jedan od ključnih ciljeva teme je ispitivanje niza na konvergenciju. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Redrazilazi se. To znači da je beskonačan zbroj jednak beskonačnosti: bilo koji zbroj općenito ne postoji, kao npr. u seriji
(usput, ovdje je primjer serije s negativnim pojmovima). Dobar primjer divergentnog niza brojeva naišao je na početku lekcije: . Ovdje je sasvim očito da je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog, dakle i stoga se serija razilazi. Još trivijalniji primjer: .

2) Redkonvergira. To znači da je beskonačan zbroj jednak nekom konačni broj: . Nema na čemu: Ovaj niz konvergira i njegov zbroj je nula. Smisaoniji primjer je beskonačno opadajući geometrijska progresija, poznata nam od škole: . Zbroj članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije izračunava se po formuli: , gdje je prvi član progresije, a njegova baza, koja se u pravilu piše kao ispravan razlomci. U ovom slučaju: , . Tako: Dobiva se konačan broj, što znači da red konvergira, što je i trebalo dokazati.

Međutim, u velikoj većini slučajeva pronađite zbroj niza nije tako jednostavno, pa se stoga u praksi za proučavanje konvergencije niza koriste posebni znakovi, koji su teorijski dokazani.

Postoji nekoliko znakova konvergencije niza: nužni kriterij za konvergenciju niza, kriteriji usporedbe, d'Alembertov kriterij, Cauchyjev kriterij, znak Leibniza i neki drugi znakovi. Kada primijeniti koji znak? Ovisi o uobičajenom terminu serije, slikovito rečeno – o “nadevu” serije. I vrlo brzo ćemo sve staviti na police.

! Za daljnje učenje trebate dobro razumjeti, što je granica i dobro je moći otkriti nesigurnost forme. Za ponavljanje ili proučavanje materijala pogledajte članak Ograničenja. Primjeri rješenja.

Neophodan kriterij za konvergenciju niza

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli: .

Obratno nije točno u općem slučaju, tj. ako , tada se nizovi mogu i konvergirati i divergirati. I tako se ovaj znak koristi za opravdanje divergencija red:

Ako je zajednički pojam serije ne ide na nulu, tada se serija razilazi

Ili ukratko: ako , onda se niz razilazi. Konkretno, moguća je situacija kada granica uopće ne postoji, kao npr. ograničiti. Ovdje su odmah potkrijepili divergenciju jedne serije :)

No mnogo je češće granica divergentnog niza jednaka beskonačnosti, dok umjesto "x" djeluje kao "dinamička" varijabla. Osvježimo znanje: granice s "x" nazivaju se granicama funkcija, a granice s varijablom "en" - granicama brojčanih nizova. Očigledna razlika je u tome što varijabla "en" uzima diskretne (diskontinuirane) prirodne vrijednosti: 1, 2, 3, itd. Ali ta činjenica malo utječe na metode rješavanja granica i metode otkrivanja nesigurnosti.

Dokažimo da se niz iz prvog primjera divergira.
Uobičajeni član serije:

Zaključak: red razilazi se

Potrebna značajka često se koristi u stvarnim praktičnim zadacima:

Primjer 6

U brojniku i nazivniku imamo polinome. Onaj tko je pažljivo pročitao i shvatio način otkrivanja nesigurnosti u članku Ograničenja. Primjeri rješenja, sigurno je to shvatio kada su najveće potencije brojnika i nazivnika jednak, onda je granica konačni broj .

Podijelite brojnik i nazivnik sa

Studijska serija razilazi se, budući da nužni kriterij za konvergenciju niza nije zadovoljen.

Primjer 7

Ispitajte konvergenciju niza

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Dakle, kada nam se da BILO KOJI broj brojeva, prvenstveno provjeravamo (mentalno ili na nacrt): teži li njegov zajednički izraz nuli? Ako ne teži, izrađujemo rješenje po primjeru primjera br. 6, 7 i dajemo odgovor da se niz razilazi.

Koje smo vrste naizgled divergentnih nizova razmatrali? Odmah je jasno da se redovi poput ili razilaze. Serija iz primjera br. 6, 7 također se razilazi: kada brojnik i nazivnik sadrže polinome, a najviši stupanj brojnika veći je ili jednak najvišem stupnju nazivnika. U svim tim slučajevima pri rješavanju i oblikovanju primjera koristimo se potrebnim kriterijem za konvergenciju niza.

Zašto se znak zove potrebno? Shvatite na najprirodniji način: kako bi se niz konvergirao, potrebno tako da njegov zajednički pojam teži nuli. I sve bi bilo u redu, ali ovo nedovoljno. Drugim riječima, ako zajednički član niza teži nuli, TO NE ZNAČI da se niz konvergira- može se i konvergirati i razilaziti!

Upoznajte:

Ovaj red se zove harmonijski niz. Molim te zapamti! Među brojčanim serijama primabalerina je. Točnije balerina =)

Lako je to vidjeti , ALI. U teoriji matematičke analize se dokazuje da harmonijski niz se razilazi.

Također biste trebali zapamtiti koncept generaliziranog harmonijskog niza:

1) Ovaj red razilazi se na . Na primjer, nizovi se razilaze, , .
2) Ovaj red konvergira na . Na primjer, serija , , . Još jednom naglašavam da nam u gotovo svim praktičnim zadacima uopće nije važno čemu je jednak zbroj npr. niza, važna je sama činjenica njegove konvergencije.

Riječ je o elementarnim činjenicama iz teorije redova koje su već dokazane, a pri rješavanju nekog praktičnog primjera može se sa sigurnošću pozvati npr. na divergenciju niza ili na konvergenciju niza.

Općenito, materijal koji se razmatra vrlo je sličan proučavanje nepravih integrala, a onima koji su proučavali ovu temu bit će lakše. Pa za one koji nisu studirali duplo je lakše :)

Dakle, što učiniti ako zajednički pojam serije IDE na nulu? U takvim slučajevima, da biste riješili primjere, trebate koristiti druge, dovoljan znakovi konvergencije/divergencije:

Kriteriji za usporedbu pozitivnih brojeva

skrećem vam pažnju da je ovdje riječ samo o pozitivnim brojevnim nizovima (s nenegativnim članovima).

Postoje dva znaka usporedbe, jedan od njih jednostavno ću nazvati znak za usporedbu, drugi - granični znak usporedbe.

Prvo razmotrite znak za usporedbu, bolje rečeno, prvi dio:

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako se zna, da je red konvergira, i, počevši od nekog broja , vrijedi nejednakost, zatim niz konvergira također.

Drugim riječima: Konvergencija niza s većim članovima podrazumijeva konvergenciju niza s manjim članovima. U praksi, nejednakost je često općenito zadovoljena za sve vrijednosti:

Primjer 8

Ispitajte konvergenciju niza

Prvo, provjeravamo(mentalno ili na nacrt) izvršenje:
, što znači da se nije moglo “svući s malo krvi”.

Gledamo u “paket” generaliziranog harmonijskog niza i, fokusirajući se na najviši stupanj, nalazimo sličan niz: iz teorije je poznato da konvergira.

Za sve prirodne brojeve vrijedi očita nejednakost:

a veći nazivnici odgovaraju manjim razlomcima:
, što znači da se prema kriteriju usporedbe proučavana serija konvergira zajedno sa pored .

Ako sumnjate, nejednakost se uvijek može detaljno oslikati! Zapišimo konstruiranu nejednakost za nekoliko brojeva "en":
Ako tada
Ako tada
Ako tada
Ako tada
….
a sada je sasvim jasno da je nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve "en".

Analizirajmo kriterij usporedbe i riješeni primjer s neformalnog stajališta. Ipak, zašto se niz konvergira? Evo zašto. Ako se niz konvergira, onda ima nešto konačni iznos : . A budući da svi članovi serije manji odgovarajući članovi niza, onda je panj jasno da zbroj niza ne može biti veći od broja , a još više od toga, ne može biti jednak beskonačnosti!

Slično, možemo dokazati konvergenciju "sličnih" nizova: , , itd.

! Bilješka da u svim slučajevima imamo “plus” u nazivnicima. Prisutnost barem jednog minusa može ozbiljno zakomplicirati korištenje razmatranog značajka usporedbe. Na primjer, ako se niz na isti način usporedi s konvergentnim nizom (za prve članove zapiše nekoliko nejednakosti), tada uvjet uopće neće biti ispunjen! Ovdje možete izbjeći i odabrati za usporedbu drugu konvergentnu seriju, na primjer, , ali to će za sobom povlačiti nepotrebne rezervacije i druge nepotrebne poteškoće. Stoga je za dokazivanje konvergencije niza mnogo lakše koristiti marginalni kriterij usporedbe(vidi sljedeći odlomak).

Primjer 9

Ispitajte konvergenciju niza

I u ovom primjeru predlažem da sami razmislite drugi dio značajke usporedbe:

Ako se zna, da je red razilazi se, i počevši od nekog broja (često od prve) vrijedi nejednakost, tada niz također razilazi.

Drugim riječima: Divergencija niza s manjim članovima podrazumijeva divergenciju niza s većim članovima.

Što treba učiniti?
Potrebno je usporediti proučavani niz s divergentnim harmonijskim nizom. Za bolje razumijevanje, konstruirajte neke specifične nejednakosti i uvjerite se da je nejednakost istinita.

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, u praksi se upravo razmatrana značajka usporedbe rijetko koristi. Pravi "radni konj" brojčanog niza je marginalni kriterij usporedbe, a u pogledu učestalosti korištenja, samo znak d'Alemberta.

Granični znak usporedbe brojčanih pozitivnih nizova

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je granica omjera zajedničkih članova ovih nizova jednaka konačan broj različit od nule: , tada se oba niza konvergiraju ili razilaze u isto vrijeme.

Kada se koristi kriterij granične usporedbe? Granični znak za usporedbu koristi se kada su "nadjev" serije polinomi. Ili jedan polinom u nazivniku, ili polinomi u brojniku i nazivniku. Po želji, polinomi mogu biti pod korijenima.

Pozabavimo se serijama za koje je zastao prethodni znak usporedbe.

Primjer 10

Ispitajte konvergenciju niza

Usporedi ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo granični test usporedbe. Poznato je da se niz konvergira. Ako možemo pokazati da jest konačni različit od nule broj, dokazat će se da i niz konvergira.

Dobiva se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .

Zašto je serija odabrana za usporedbu? Da smo odabrali bilo koji drugi niz iz "isječka" generaliziranog harmonijskog niza, onda ne bismo uspjeli u limitu konačni različit od nule brojevi (možete eksperimentirati).

Bilješka: kada koristimo značajku marginalne usporedbe, nebitno, kojim redoslijedom sastaviti odnos zajedničkih članova, u razmatranom primjeru odnos bi se mogao nacrtati obrnuto: - to ne bi promijenilo bit stvari.