Isti množitelji se ne poništavaju. Ekstrakcija cjelobrojnog dijela razlomka

Ovaj članak nastavlja temu transformacije algebarskih razlomaka: razmotrite takvu akciju kao što je smanjenje algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo kratice i analizirajmo praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje kratice algebarskog razlomka

U materijalima na običnoj frakciji razmatrali smo njezinu redukciju. Smanjenje običnog razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.

Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.

Definicija 1

Algebarsko smanjenje razlomaka je dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (samo broj može biti zajednički nazivnik), polinom, posebno monom ili broj, može poslužiti kao zajednički faktor za brojnik i nazivnik algebarskog razlomka.

Na primjer, algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, kao rezultat dobivamo: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti varijablom x, a to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Također je moguće reducirati dati razlomak monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.

Konačni cilj redukcije algebarskog razlomka je razlomak jednostavnijeg oblika, u najboljem slučaju nesvodivi razlomak.

Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?

Opet, iz materijala o običnim frakcijama, znamo da postoje reducibilne i nesvodljive frakcije. Nesvodljivi - to su razlomci koji nemaju zajedničke faktore brojnika i nazivnika, osim 1.

S algebarskim razlomcima sve je isto: mogu, ali i ne moraju imati zajedničke faktore brojnika i nazivnika. Prisutnost zajedničkih čimbenika omogućuje pojednostavljenje izvornog ulomka smanjenjem. Kada ne postoje zajednički čimbenici, nemoguće je optimizirati zadani ulomak metodom redukcije.

U općim slučajevima, za određenu vrstu frakcije, prilično je teško razumjeti je li podložna redukciji. Naravno, u nekim slučajevima je očigledna prisutnost zajedničkog faktora brojnika i nazivnika. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 · x 2 3 · y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3 .

U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da ga je moguće smanjiti za x, ili y, ili za x · y. Pa ipak, primjeri algebarskih razlomaka su mnogo češći, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće - jednostavno je odsutan.

Na primjer, razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 možemo smanjiti za x - 1, dok navedeni zajednički faktor nije u zapisu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ne može se smanjiti, jer brojnik i nazivnik nemaju zajednički faktor.

Dakle, pitanje pronalaženja kontraktibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno, a često je lakše raditi s razlomkom zadanog oblika nego pokušati saznati je li on skupljiv. U ovom slučaju se događaju takve transformacije koje nam u pojedinim slučajevima omogućuju da odredimo zajednički faktor brojnika i nazivnika ili zaključimo da je razlomak nesvodljiv. Detaljno ćemo analizirati ovo pitanje u sljedećem odlomku članka.

Algebarsko pravilo redukcije razlomaka

Algebarsko pravilo redukcije razlomaka sastoji se od dva uzastopna koraka:

pronalaženje zajedničkih faktora brojnika i nazivnika;
u slučaju pronalaska takvog, provedba izravnog djelovanja smanjenja razlomka.

Najprikladnija metoda za pronalaženje zajedničkih nazivnika je faktoriziranje polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku zadanog algebarskog razlomka. To vam omogućuje da odmah vizualno vidite prisutnost ili odsutnost uobičajenih čimbenika.

Sama radnja redukcije algebarskog razlomka temelji se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom jednakošću undefined , gdje su a , b , c neki polinomi, a b i c nisu nula. Prvi je korak reducirati razlomak na oblik a c b c , u kojem odmah uočavamo zajednički faktor c . Drugi korak je izvođenje redukcije, t.j. prijelaz u razlomak oblika a b .

Tipični primjeri

Unatoč određenoj očitosti, razjasnimo poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci identično su jednaki 1 na cijelom ODZ-u varijabli ovog razlomka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Budući da su obični razlomci poseban slučaj algebarskih razlomaka, prisjetimo se kako se oni reduciraju. Prirodni brojevi zapisani u brojniku i nazivniku rastavljaju se na proste faktore, zatim se zajednički faktori smanjuju (ako ih ima).

Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Umnožak jednostavnih identičnih faktora može se zapisati kao stupnjevi, a u procesu redukcije razlomaka koristiti svojstvo dijeljenja stupnjeva s istim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(brojnik i nazivnik podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili, radi jasnoće, na temelju svojstava množenja i dijeljenja, dat ćemo rješenju sljedeći oblik:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka, u kojima brojnik i nazivnik imaju monome s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer 1

Zadan je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Moguće je zapisati brojnik i nazivnik danog razlomka kao umnožak prostih faktora i varijabli, a zatim smanjiti:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Međutim, racionalniji način bi bio da se rješenje zapiše kao izraz s potencijama:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kada se u brojniku i nazivniku algebarskog razlomka nalaze razlomci brojčanih koeficijenata, postoje dva moguća načina daljnjih radnji: ili odvojeno podijeliti te razlomke, ili se prvo riješiti razlomačkih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika nekim prirodnim brojem . Posljednja se transformacija provodi zbog glavnog svojstva algebarskog razlomka (o tome možete pročitati u članku "Svođenje algebarskog razlomka na novi nazivnik").

Primjer 2

Zadan je razlomak 2 5 x 0 , 3 x 3 . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Razlomak je moguće smanjiti na ovaj način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pokušajmo riješiti problem drugačije, nakon što smo se prethodno riješili razlomaka koeficijenata - množimo brojnik i nazivnik s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika ovih koeficijenata, t.j. po LCM(5, 10) = 10. Tada dobivamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kada reduciramo opće algebarske razlomke, u kojima brojnici i nazivnici mogu biti i monomi i polinomi, moguć je problem kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili više od toga, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili utvrdila činjenica njegove odsutnosti, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka se faktoriziraju.

Primjer 3

Zadan je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba ga skratiti.

Riješenje

Faktorizirajmo polinome u brojniku i nazivniku. Napravimo zagrade:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti korištenjem skraćenih formula za množenje:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno se vidi da je moguće smanjiti razlomak zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo smanjenje:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Zapisujemo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Događa se da su zajednički faktori skriveni brojčanim koeficijentima. Tada je pri redukciji razlomaka optimalno izbaciti brojčane faktore na višim potencijama brojnika i nazivnika.

Primjer 4

Zadan je algebarski razlomak 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Treba ga smanjiti ako je moguće.

Riješenje

Na prvi pogled brojnik i nazivnik nemaju zajednički nazivnik. Međutim, pokušajmo pretvoriti zadani razlomak. Izbacimo faktor x u brojnik:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izvadimo numeričke koeficijente na višim potencijama ovih polinoma:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sada zajednički množitelj postaje vidljiv, provodimo redukciju:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naglasimo da vještina redukcije racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti faktorizacije polinoma.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ćemo detaljno analizirati kako smanjenje frakcije. Prvo, razgovarajmo o onome što se zove smanjenje frakcije. Nakon toga, razgovarajmo o reduciranju svodljivog razlomka u nesvodljivi oblik. Zatim dobivamo pravilo za smanjenje razlomaka i, na kraju, razmatramo primjere primjene ovog pravila.

Navigacija po stranici.

Što znači smanjiti razlomak?

Znamo da se obični razlomci dijele na svodljive i nesvodljive razlomke. Iz naziva se može pretpostaviti da se svodljivi razlomci mogu reducirati, ali nesvodljivi ne.

Što znači smanjiti razlomak? Smanjite frakciju- to znači podijeliti njegov brojnik i nazivnik s pozitivnim i ne-jedan. Jasno je da se kao rezultat redukcije razlomka dobiva novi razlomak s manjim brojnikom i nazivnikom, te je, zbog glavnog svojstva razlomka, dobiveni razlomak jednak izvornom.

Na primjer, smanjimo obični razlomak 8/24 dijeljenjem brojnika i nazivnika s 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Budući da je 8:2=4 i 24:2=12, kao rezultat ove redukcije dobije se razlomak 4/12, koji je jednak izvornom razlomku 8/24 (vidi jednaki i nejednaki razlomci). Kao rezultat toga, imamo .

Redukcija običnih razlomaka u nesvodljivi oblik

Obično je krajnji cilj redukcije razlomka dobiti nesmanjivi razlomak koji je jednak izvornom reducibilnom razlomku. Taj se cilj može postići smanjenjem izvornog reduciranog razlomka za brojnik i nazivnik. Ovo smanjenje uvijek rezultira nesvodljivim razlomkom. Doista, razlomak je nesvodiv, budući da je poznato da i - . Ovdje kažemo da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj za koji se taj razlomak može smanjiti.

Tako, redukcija običnog razlomka u nesvodljivi oblik sastoji se u dijeljenju brojnika i nazivnika izvornog reduciranog razlomka s njihovim GCD.

Analizirajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Budući da je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesmanjivog razlomka 1/3. Dakle, .

Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači svođenje izvornog razlomka u nesvodljivi oblik. Drugim riječima, smanjenje razlomaka se vrlo često naziva dijeljenjem brojnika i nazivnika s njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem (a ne s bilo kojim od njihovih zajedničkih djelitelja).

Kako smanjiti razlomak? Pravilo i primjeri redukcije razlomaka

Ostaje samo analizirati pravilo za smanjenje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti ovaj razlomak.

Pravilo smanjenja razlomaka sastoji se od dva koraka:

prvo se pronalazi GCD brojnika i nazivnika razlomka;
drugo, brojnik i nazivnik razlomka dijele se s njihovim GCD, što daje nesmanjivi razlomak jednak izvornom.

Hajdemo analizirati primjer smanjenja frakcije prema zadanom pravilu.

Primjer.

Smanjite razlomak 182/195.

Odluka.

Napravimo oba koraka propisana pravilom redukcije razlomaka.

Prvo nalazimo gcd(182, 195) . Najprikladnije je koristiti Euklid algoritam (vidi): 195=182 1+13 , 182=13 14 , odnosno gcd(182, 195)=13 .

Sada brojnik i nazivnik razlomka 182/195 podijelimo s 13, a dobijemo nesvodljivi razlomak 14/15, koji je jednak izvornom razlomku. Time je dovršeno smanjenje frakcije.

Ukratko, rješenje se može napisati na sljedeći način:

Odgovor:

Na tome, sa smanjenjem frakcija, možete završiti. Ali da biste upotpunili sliku, razmotrite još dva načina smanjenja razlomaka, koji se obično koriste u blagim slučajevima.

Ponekad je brojnik i nazivnik reduciranog razlomka lak. Smanjenje razlomka u ovom slučaju je vrlo jednostavno: samo trebate ukloniti sve zajedničke čimbenike iz brojnika i nazivnika.

Vrijedi napomenuti da ova metoda izravno slijedi iz pravila redukcije razlomaka, budući da je umnožak svih zajedničkih prostih čimbenika brojnika i nazivnika jednak njihovom najvećem zajedničkom djelitelju.

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Smanjite razlomak 360/2940.

Odluka.

Rastavimo brojnik i nazivnik na proste faktore: 360=2 2 2 3 3 5 i 2 940=2 2 3 5 7 7 . Tako, .

Sada se riješimo zajedničkih čimbenika u brojniku i nazivniku, radi praktičnosti jednostavno ih prekrižimo: .

Konačno, pomnožimo preostale faktore: , i smanjenje razlomka je završeno.

Evo sažetka rješenja: .

Odgovor:

Razmotrimo još jedan način smanjenja razlomka, koji se sastoji u sekvencijalnom smanjenju. Ovdje se na svakom koraku razlomak smanjuje za neki zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, koji je ili očit ili lako određen korištenjem

Kad učenik prijeđe u srednju školu, matematika se dijeli na 2 predmeta: algebru i geometriju. Koncepta je sve više, zadaci postaju sve teži. Neki ljudi imaju poteškoća s razumijevanjem razlomaka. Propustio sam prvu lekciju na ovu temu, i voila. razlomci? Pitanje koje će mučiti cijeli školski život.

Pojam algebarskog razlomka

Počnimo s definicijom. Pod, ispod algebarski razlomak Razumiju se P/Q izrazi, gdje je P brojnik, a Q nazivnik. Pod abecednim unosom može se sakriti broj, numerički izraz, brojčano-abecedni izraz.

Prije nego što se zapitate kako riješiti algebarske razlomke, prvo morate shvatiti da je takav izraz dio cjeline.

U pravilu je cjelina 1. Broj u nazivniku pokazuje na koliko je dijelova podijeljena jedinica. Brojnik je potreban da bi se saznalo koliko je elemenata uzeto. Razlomka odgovara znaku dijeljenja. Dopušteno je zabilježiti frakcijski izraz kao matematičku operaciju "Dijeljenje". U ovom slučaju, brojnik je dividenda, nazivnik je djelitelj.

Osnovno pravilo za obične razlomke

Kada učenici prolaze kroz ovu temu u školi, daju im se primjeri za učvršćivanje. Da biste ih ispravno riješili i pronašli različite načine izlaska iz teških situacija, morate primijeniti osnovno svojstvo razlomaka.

Zvuči ovako: Ako pomnožite i brojnik i nazivnik s istim brojem ili izrazom (osim nule), tada se vrijednost običnog razlomka neće promijeniti. Poseban slučaj ovog pravila je podjela oba dijela izraza na isti broj ili polinom. Takve transformacije nazivaju se identičnim jednakostima.

U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka, kako izvršiti množenje, dijeljenje i smanjenje razlomaka.

Matematičke operacije s razlomcima

Razmotrite kako riješiti glavno svojstvo algebarskog razlomka, kako ga primijeniti u praksi. Ako trebate pomnožiti dva razlomka, zbrojiti ih, podijeliti jedan s drugim ili oduzeti, uvijek morate slijediti pravila.

Dakle, za operaciju zbrajanja i oduzimanja treba pronaći dodatni faktor kako bi se izrazi doveli do zajedničkog nazivnika. Ako su u početku razlomci dati istim izrazima Q, onda morate izostaviti ovu stavku. Kada se pronađe zajednički nazivnik, kako riješiti algebarske razlomke? Zbrojite ili oduzmite brojnike. Ali! Treba imati na umu da ako se ispred razlomka nalazi znak "-", svi znakovi u brojniku su obrnuti. Ponekad ne biste trebali izvoditi nikakve zamjene i matematičke operacije. Dovoljno je promijeniti predznak ispred razlomka.

Izraz se često koristi kao smanjenje frakcije. To znači sljedeće: ako se brojnik i nazivnik podijele s izrazom koji nije jedinica (isto za oba dijela), onda se dobiva novi razlomak. Dividenda i djelitelj su manji nego prije, ali zbog osnovnog pravila razlomaka ostaju jednaki izvornom primjeru.

Svrha ove operacije je dobiti novi nesvodljivi izraz. Ovaj se problem može riješiti smanjenjem brojnika i nazivnika za najveći zajednički djelitelj. Algoritam rada sastoji se od dvije točke:

Nalaženje GCD-a za oba dijela razlomka.
Podijelimo brojnik i nazivnik s pronađenim izrazom i dobijemo nesvodljivi razlomak jednak prethodnom.

Donja tablica prikazuje formule. Radi praktičnosti, možete ga ispisati i nositi sa sobom u bilježnici. Međutim, kako u budućnosti, prilikom rješavanja testa ili ispita, ne bi bilo poteškoća u pitanju rješavanja algebarskih razlomaka, ove formule moraju se naučiti napamet.

Neki primjeri s rješenjima

S teorijske točke gledišta, razmatra se pitanje kako riješiti algebarske razlomke. Primjeri navedeni u članku pomoći će vam da bolje razumijete materijal.

1. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

2. Pretvorite razlomke i dovedite ih na zajednički nazivnik.

Nakon proučavanja teoretskog dijela i razmatranja praktičnih pitanja, pitanja se više ne smiju postavljati.

Podjela a brojnik i nazivnik razlomka na njihovom zajednički djelitelj, što se razlikuje od jedinstva, zove se smanjenje frakcije.

Da biste smanjili obični razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik istim prirodnim brojem.

Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika zadanog razlomka.

Moguće su sljedeće obrasci za evidenciju odluka Primjeri za redukciju običnih frakcija.

Student ima pravo izabrati bilo koji oblik snimanja.

Primjeri. Pojednostavite razlomke.

Smanjite razlomak za 3 (brojnik podijelite s 3;

podijeli nazivnik s 3).

Smanjujemo razlomak za 7.

Označene radnje izvodimo u brojniku i nazivniku razlomka.

Dobiveni ulomak se smanjuje za 5.

Smanjimo ovaj razlomak 4) na 5 7³- najveći zajednički djelitelj (GCD) brojnika i nazivnika, koji se sastoji od zajedničkih faktora brojnika i nazivnika uzetih na stepen s najmanjim eksponentom.

Razložimo brojnik i nazivnik ovog razlomka na jednostavne faktore.

dobivamo: 756=2² 3³ 7 i 1176=2³ 3 7².

Odredite GCD (najveći zajednički djelitelj) brojnika i nazivnika razlomka 5) .

Ovo je proizvod zajedničkih faktora uzetih s najmanjim eksponentima.

gcd (756; 1176) = 2² 3 7.

Brojnik i nazivnik ovog razlomka dijelimo s njihovim GCD, tj. sa 2² 3 7 dobivamo nesvodljivi razlomak 9/14 .

I bilo je moguće zapisati proširenja brojnika i nazivnika kao umnožak prostih faktora, bez korištenja koncepta stupnja, a zatim smanjiti razlomak prekrižavanjem istih faktora u brojniku i nazivniku. Kada nema više identičnih faktora, preostale faktore množimo zasebno u brojniku i zasebno u nazivniku i ispisujemo dobiveni razlomak 9/14 .

I konačno, bilo je moguće smanjiti ovaj udio 5) postupno, primjenjujući znakove dijeljenja brojeva i na brojnik i na nazivnik razlomka. Razmislite ovako: brojevi 756 i 1176 završavaju paran broj, pa su oba djeljiva sa 2 . Smanjujemo razlomak za 2 . Brojnik i nazivnik novog razlomka su brojevi 378 i 588 također podijeljena na 2 . Smanjujemo razlomak za 2 . Primjećujemo da broj 294 - čak i 189 je neparan, a smanjenje za 2 više nije moguće. Provjerimo znak djeljivosti brojeva 189 i 294 na 3 .

(1+8+9)=18 je djeljivo s 3, a (2+9+4)=15 je djeljivo s 3, stoga i sami brojevi 189 i 294 dijele se na 3 . Smanjujemo razlomak za 3 . Unaprijediti, 63 je djeljiv sa 3 i 98 - Ne. Iterirajte preko ostalih primarnih faktora. Oba broja su djeljiva sa 7 . Smanjujemo razlomak za 7 i dobijemo nesvodljivi razlomak 9/14 .

U ovom članku ćemo pogledati osnovne operacije s algebarskim razlomcima:

smanjenje frakcije
množenje razlomaka
podjela razlomaka

Počnimo s kratice algebarskih razlomaka.

Naizgled, algoritam očito.

Do reducirati algebarske razlomke, potreba

1. Faktorizirajte brojnik i nazivnik razlomka.

2. Smanjite iste množitelje.

Međutim, školarci često griješe "smanjujući" ne faktore, već termine. Na primjer, postoje amateri koji "smanjuju" u razlomcima i dobivaju kao rezultat, što, naravno, nije točno.

Razmotrimo primjere:

1. Smanjite frakciju:

1. Brojnik faktoriziramo prema formuli kvadrata zbroja, a nazivnik prema formuli razlike kvadrata

2. Brojnik i nazivnik podijelite sa

2. Smanjite frakciju:

1. Faktorizirajte brojnik. Budući da brojnik sadrži četiri člana, primjenjujemo grupiranje.

2. Faktor nazivnika. Isto vrijedi i za grupiranje.

3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:

Množenje algebarskih razlomaka.

Kod množenja algebarskih razlomaka brojnik množimo brojnikom, a nazivnik množimo nazivnikom.

Važno! Ne morate žuriti s množenjem u brojniku i nazivniku razlomka. Nakon što smo zapisali umnožak brojnika razlomaka u brojnik, i umnožak nazivnika u nazivnik, trebamo svaki čimbenik rastaviti na faktore i smanjiti razlomak.

Razmotrimo primjere:

3. Pojednostavite izraz:

1. Napišimo umnožak razlomaka: u brojniku umnožak brojnika, a u nazivniku umnožak nazivnika:

2. Faktoriziramo svaku zagradu:

Sada moramo smanjiti iste množitelje. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u predznaku: a kao rezultat dijeljenja prvog izraza s drugim, dobivamo -1.

Tako,

Dijeljenje algebarskih razlomaka vršimo prema sljedećem pravilu:

tj Da biste podijelili s razlomkom, trebate pomnožiti s "obrnutim".

Vidimo da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje, i množenje se u konačnici svodi na smanjenje razlomaka.

Razmotrimo primjer:

4. Pojednostavite izraz: