Diferencijalni račun. Diferencijalni i integralni račun

Nastaje krug čiji su najistaknutiji predstavnici bili braća Bernoulli (Jacob i Johann) i Lopital. Godine, koristeći se predavanjima I. Bernoullija, L'Hopital je napisao prvi udžbenik u kojem je prikazao novu metodu primijenjenu na teoriju ravninskih krivulja. Nazvao ga je Analiza infinitezimala, dajući tako jedno od imena novoj grani matematike. Prezentacija se temelji na konceptu varijabli među kojima postoji neka veza, zbog koje promjena jedne povlači promjenu druge. U Lopitalu je ta veza dana uz pomoć ravnih krivulja: ako M (\displaystyle M) je pokretna točka ravninske krivulje, zatim njezine kartezijeve koordinate x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y), koje se nazivaju apscisa i ordinata krivulje, su varijable, a promjena x (\displaystyle x) povlači za sobom promjenu y (\displaystyle y). Pojam funkcije je odsutan: želeći reći da je ovisnost varijabli dana, Lopital kaže da je "priroda krivulje poznata". Koncept diferencijala uvodi se na sljedeći način:

Infinitezimalni dio, po kojem varijabla kontinuirano raste ili opada, naziva se njezin diferencijal ... Za označavanje diferencijala varijable, koji je sam izražen jednim slovom, koristit ćemo znak ili simbol d (\displaystyle d). ... Infinitezimalni dio, za koji diferencijal varijable vrijednosti kontinuirano raste ili opada, naziva se ... drugi diferencijal.

Ove definicije objašnjene su geometrijski, sa sl. infinitezimalni inkrementi prikazani su kao konačni. Razmatranje se temelji na dva zahtjeva (aksioma). Prvi:

Zahtijeva se da se dvije količine koje se međusobno razlikuju samo beskrajno malom količinom mogu uzeti [prilikom pojednostavljivanja izraza?] ravnodušno jedna umjesto druge.

Stoga ispada x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), Nadalje

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Drugi zahtjev je:

Zahtijeva se da se zakrivljena linija može promatrati kao zbirka beskonačnog skupa beskonačno malih ravnih linija.

Nastavak svake takve linije naziva se tangenta na krivulju. Istraživanje tangente kroz točku M = (x , y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital veliku važnost pridaje količini

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

dostižući ekstremne vrijednosti na točkama infleksije krivulje, dok je omjer d y (\displaystyle dy) do d x (\displaystyle dx) ne pridaje se poseban značaj.

Pronalaženje točaka ekstrema je vrijedno pažnje. Ako uz kontinuirani porast apscise x (\displaystyle x) ordinata y (\displaystyle y) prvo raste pa opada, zatim diferencijal d y (\displaystyle dy) u početku pozitivno u usporedbi s d x (\displaystyle dx) a zatim negativan.

Ali bilo koja kontinuirano rastuća ili opadajuća količina ne može se pretvoriti iz pozitivne u negativnu bez prolaska kroz beskonačnost ili nulu ... Iz toga slijedi da razlika najveće i najmanje veličine mora biti jednaka nuli ili beskonačnosti.

Ova formulacija vjerojatno nije besprijekorna, ako se prisjetimo prvog zahtjeva: neka, recimo, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), onda na temelju prvog zahtjeva

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

na nuli, desna strana je nula, ali lijeva nije. Navodno je to trebalo reći d y (\displaystyle dy) može se transformirati u skladu s prvim zahtjevom tako da u maksimalnoj točki d y = 0 (\displaystyle dy=0). . U primjerima je sve jasno, a samo u teoriji infleksijskih točaka Lopital piše da d y (\displaystyle dy) jednako je nuli u najvećoj točki, kada se podijeli s d x (\displaystyle dx) .

Nadalje, uz pomoć samih diferencijala, formuliraju se uvjeti za ekstremum i razmatra veliki broj složenih problema, uglavnom povezanih s diferencijalnom geometrijom u ravnini. Na kraju knjige, u pogl. 10, navedeno je ono što se danas naziva L'Hopitalovim pravilom, iako u ne sasvim običnom obliku. Neka vrijednost ordinate y (\displaystyle y) krivulja se izražava kao razlomak čiji brojnik i nazivnik nestaju na . Zatim točka krivulje sa x = a (\displaystyle x=a) ima ordinatu y (\displaystyle y), jednak omjeru diferencijala brojnika i diferencijala nazivnika, uzeto na x = a (\displaystyle x=a).

Prema L'Hopitalovoj zamisli, ono što je on napisao bio je prvi dio Analize, dok je drugi trebao sadržavati integralni račun, odnosno način pronalaska veze varijabli prema poznatoj povezanosti njihovih diferencijala. Njegovo prvo izlaganje dao je Johann Bernoulli u svojoj Matematička predavanja o metodi integrala. Ovdje je dana metoda za uzimanje većine elementarnih integrala i naznačene su metode za rješavanje mnogih diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Ukazujući na praktičnu korisnost i jednostavnost nove metode, Leibniz je napisao:

Ono što čovjek upućen u ovu računicu može dobiti u samo tri retka, ostali su najučeniji ljudi bili prisiljeni tražiti, slijedeći složene zaobilaznice.

Euler

Leonard Euler

Promjene koje su se dogodile tijekom sljedećih pola stoljeća odražavaju se u Eulerovoj opsežnoj raspravi. Prikazom analize otvara se dvotomni "Uvod", koji sadrži istraživanja različitih prikaza elementarnih funkcija. Pojam "funkcija" prvi put se pojavljuje tek kod Leibniza, ali ga je Euler iznio u prve uloge. Izvorno tumačenje pojma funkcije bilo je da je funkcija izraz za brojanje (njemački Rechnungsausdrϋck) ili analitički izraz.

Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove varijabilne količine i brojeva ili stalnih količina.

Naglašavajući da "glavna razlika između funkcija leži u načinu na koji su sastavljene od varijabli i konstanti", Euler nabraja akcije "pomoću kojih se količine mogu kombinirati i miješati jedna s drugom; te radnje su: zbrajanje i oduzimanje, množenje i dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena; ovdje treba uključiti i rješavanje [algebarskih] jednadžbi. Osim ovih operacija, koje se nazivaju algebarskim, postoje mnoge druge, transcendentalne, kao što su: eksponencijalne, logaritamske i bezbrojne druge, koje donosi integralni račun. Takvo tumačenje omogućilo je jednostavno rješavanje funkcija s više vrijednosti i nije zahtijevalo objašnjenje nad kojim se poljem funkcija smatra: izraz za brojanje definiran je za složene vrijednosti varijabli čak i kada to nije potrebno za problem u razmatranju.

Operacije u izražavanju bile su dopuštene samo u konačnom broju, a transcendentno je prodiralo uz pomoć beskonačno velikog broja ∞ (\displaystyle \infty ). U izrazima se ovaj broj koristi uz prirodne brojeve. Na primjer, takav izraz za eksponent smatra se valjanim

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\lijevo(1+(\frac (x)(\infty ))\desno)^(\infty )),

u kojoj su tek kasniji autori vidjeli prijelaz do granice. Napravljene su razne transformacije s analitičkim izrazima, što je Euleru omogućilo pronalaženje prikaza za elementarne funkcije u obliku nizova, beskonačnih proizvoda itd. Euler transformira izraze za brojanje na isti način kao što to čine u algebri, ne obraćajući pozornost na mogućnost izračunavanje vrijednosti funkcije u točki za svaku iz napisanih formula.

Za razliku od L'Hôpitala, Euler detaljno razmatra transcendentalne funkcije, a posebno dvije njihove najproučavanije klase - eksponencijalnu i trigonometrijsku. Otkriva da se sve elementarne funkcije mogu izraziti aritmetičkim operacijama i dvjema operacijama - uzimanjem logaritma i eksponenta.

Sam tijek dokaza savršeno pokazuje tehniku korištenja beskonačno velikog. Nakon što je pomoću trigonometrijske kružnice odredio sinus i kosinus, Euler iz formula za zbrajanje zaključuje sljedeće:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Pretpostavljajući n = ∞ (\displaystyle n=\infty ) i z = n x (\displaystyle z=nx), on prima

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\desno)^(\infty )+\lijevo(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \desno)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

odbacivanje infinitezimalnih vrijednosti višeg reda. Koristeći ovaj i sličan izraz, Euler također dobiva svoju poznatu formulu

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Nakon što je naznačio različite izraze za funkcije koje se sada nazivaju elementarnim, Euler nastavlja razmatrati krivulje u ravnini, nacrtane slobodnim pokretom ruke. Po njegovom mišljenju, nije moguće pronaći jedan analitički izraz za svaku takvu krivulju (vidi također Kontroverzu oko struna). U 19. stoljeću, na prijedlog Casoratija, ova se izjava smatrala pogrešnom: prema Weierstrassovom teoremu, svaka kontinuirana krivulja u modernom smislu može se približno opisati polinomima. Zapravo, Eulera ovo jedva da je uvjerilo, jer još uvijek trebamo ponovno napisati prijelaz do granice pomoću simbola ∞ (\displaystyle \infty ).

Eulerov prikaz diferencijalnog računa započinje teorijom konačnih razlika, a zatim u trećem poglavlju slijedi filozofsko objašnjenje da je "infinitezimalna veličina točno nula", što ponajviše nije odgovaralo Eulerovim suvremenicima. Tada se iz konačnih razlika s infinitezimalnim prirastom formiraju diferencijali, a iz Newtonove interpolacijske formule Taylorova formula. Ova metoda u osnovi seže do rada Taylora (1715). U ovom slučaju Euler ima stabilnu relaciju d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), koji se, međutim, smatra omjerom dviju infinitezimala. Posljednja poglavlja posvećena su približnom proračunu pomoću nizova.

U integralnom računu s tri volumena, Euler uvodi koncept integrala na sljedeći način:

Funkcija čiji je diferencijal = X d x (\displaystyle =Xdx), naziva se njegov integral i označava se znakom S (\displaystyle S) postavljen ispred.

U cjelini, ovaj dio Eulerove rasprave posvećen je općenitijem problemu integriranja diferencijalnih jednadžbi s modernog stajališta. Čineći to, Euler pronalazi niz integrala i diferencijalnih jednadžbi koje vode do novih funkcija, na primjer, Γ (\displaystyle \Gamma )-funkcije, eliptičke funkcije itd. Strogi dokaz njihove neelementarnosti dao je 1830-ih Jacobi za eliptičke funkcije i Liouville (vidi elementarne funkcije).

Lagrange

Sljedeći veliki rad, koji je odigrao značajnu ulogu u razvoju koncepta analize, bio je Teorija analitičkih funkcija Lagrangea i opsežno prepričavanje Lagrangeova djela, koje je Lacroix napravio na pomalo eklektičan način.

U želji da se potpuno riješi infinitezimalnog, Lagrange je preokrenuo vezu između izvedenica i Taylorovog niza. Lagrange je pod analitičkom funkcijom razumio proizvoljnu funkciju koja se istražuje metodama analize. Samu je funkciju označio kao , dajući grafički način za pisanje ovisnosti - ranije je Euler upravljao samo s varijablama. Za primjenu metoda analize, prema Lagrangeu, potrebno je da se funkcija proširi u niz

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\točke ),

čiji će koeficijenti biti nove funkcije x (\displaystyle x). Ostaje imenovati p (\displaystyle p) derivaciju (diferencijalni koeficijent) i označiti je kao f ′ (x) (\displaystyle f"(x)). Dakle, koncept derivacije uveden je na drugoj stranici rasprave i bez pomoći infinitezimalnih veličina. Ostalo je primijetiti da

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

pa koeficijent q (\displaystyle q) je dvostruka derivacija derivacije f (x) (\displaystyle f(x)), to je

q = 1 2 ! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2}f""(x)} !} itd.

Ovakav pristup tumačenju pojma derivacije koristi se u modernoj algebri i poslužio je kao osnova za stvaranje Weierstrassove teorije analitičkih funkcija.

Lagrange je djelovao na takve nizove kao formalne i dobio niz izvanrednih teorema. Konkretno, po prvi put i prilično rigorozno dokazao je rješivost početnog problema za obične diferencijalne jednadžbe u formalnim potencijskim redovima.

Pitanje procjene točnosti aproksimacija dobivenih parcijalnim zbrojevima Taylorovog niza prvi je postavio Lagrange: na kraju Teorije analitičkih funkcija izveo je ono što se danas zove Taylorova Lagrangeova formula ostatka. Međutim, za razliku od modernih autora, Lagrange nije vidio potrebu koristiti ovaj rezultat za opravdanje konvergencije Taylorovog niza.

Pitanje mogu li se funkcije korištene u analizi doista proširiti u potencijski niz kasnije je postalo predmet rasprave. Naravno, Lagrange je znao da se u nekim točkama elementarne funkcije možda neće proširiti u niz potencije, ali u tim točkama one se ni na koji način ne mogu razlikovati. Koshy u svom Algebarska analiza dao funkciju kao protuprimjer

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

produžen za nulu na nuli. Ova je funkcija posvuda glatka na realnoj osi i ima nula Maclaurinovih redova na nuli, što stoga ne konvergira vrijednosti f (x) (\displaystyle f(x)). Protiv ovog primjera, Poisson je prigovorio da je Lagrange definirao funkciju kao jedan analitički izraz, dok je u Cauchyjevom primjeru funkcija različito dana na nuli, a kada x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Tek je krajem 19. stoljeća Pringsheim dokazao da postoji beskonačno diferencijabilna funkcija dana jednim izrazom za koji se Maclaurinov red razlikuje. Primjer takve funkcije je izraz

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

Daljnji razvoj

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun proučava definiciju, svojstva i primjene funkcija izvoda. Postupak nalaženja derivacije naziva se diferencijacija. S obzirom na funkciju i točku u njezinoj domeni, derivacija u toj točki način je kodiranja finog ponašanja te funkcije u blizini te točke. Pronalaženjem derivacije funkcije u svakoj točki domene može se definirati nova funkcija tzv izvodna funkcija ili jednostavno izvedenica od izvorne funkcije. U matematičkom jeziku, derivacija je linearno preslikavanje koje ima jednu funkciju kao ulaz, a drugu kao izlaz. Ovaj koncept je apstraktniji od većine procesa proučavanih u elementarnoj algebri, gdje funkcije obično imaju jedan broj kao ulaz, a drugi kao izlaz. Na primjer, ako se funkciji udvostručenja daje ulaz od tri, izlaz će biti šest; ako je ulaz u kvadratnu funkciju tri, izlaz će biti devet. Derivacija također može imati kvadratnu funkciju kao ulaz. To znači da derivacija uzima sve informacije o funkciji kvadriranja, to jest: kada je ulaz dva, daje četiri kao izlaz, pretvara tri u devet, četiri u šesnaest i tako dalje, i koristi te informacije za dobivanje druge funkcije . (Derivacija kvadratne funkcije samo je funkcija udvostručenja.)

Najčešći simbol za označavanje izvedenice je oznaka nalik apostrofu koja se naziva prime. Dakle, izvod funkcije f tamo je f', izgovara se "f stroke". Na primjer, ako f(x) = x 2 je onda funkcija kvadriranja f'(x) = 2x je njegova derivacija, ovo je funkcija udvostručenja.

Ako je ulaz funkcije vrijeme, tada je izvod promjena u odnosu na vrijeme. Na primjer, ako f je funkcija koja ovisi o vremenu, a daje izlaz položaja kuglice u vremenu, zatim izvod f određuje promjenu položaja lopte u vremenu, odnosno brzinu lopte.

Neodređeni integral je primitivna, odnosno operacija inverzna izvodnici. F je neodređeni integral od f u slučaju kada f je izvedenica od F. (Ova upotreba velikih i malih slova za funkciju i njezin neodređeni integral uobičajena je u računici.)

Određeni integral ulazna funkcija i izlazna vrijednost je broj koji je jednak površini plohe omeđene grafom funkcije, osi x i dva odsječka ravne linije od grafa funkcije do osi x u točkama izlazne vrijednosti. U tehničkom smislu, definitivni integral je granica zbroja površina pravokutnika, koji se naziva Riemannova suma.

Primjer iz fizike je izračun prijeđene udaljenosti tijekom hodanja u bilo kojem trenutku.

D i s t a n c e = Brzina ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (Udaljenost) =\mathrm (Brzina) \cdot \mathrm (Vrijeme) )

Ako je brzina konstantna, dovoljna je operacija množenja, ali ako brzina varira, tada moramo primijeniti snažniju metodu izračuna udaljenosti. Jedna od tih metoda je približni izračun rastavljanjem vremena na odvojena kratka razdoblja. Zatim množenjem vremena u svakom intervalu s bilo kojom od brzina u tom intervalu i zatim zbrajanjem svih približnih udaljenosti (Riemannova suma) prijeđenih u svakom intervalu, dobivamo ukupnu prijeđenu udaljenost. Osnovna ideja je da ako koristite vrlo kratke intervale, tada će brzina u svakom od njih ostati više-manje konstantna. Međutim, Riemannova suma daje samo približnu udaljenost. Da bismo pronašli točnu udaljenost, moramo pronaći granicu svih takvih Riemannovih zbrojeva.

Ako a f(x) na dijagramu lijevo predstavlja promjenu brzine tijekom vremena, zatim prijeđenu udaljenost (između trenutaka a i b) je područje zasjenjenog područja s.

Za približnu procjenu ovog područja moguća je intuitivna metoda koja se sastoji od dijeljenja udaljenosti između a i b na određeni broj jednakih odsječaka (odsječaka) duljine Δx. Za svaki segment možemo odabrati jednu vrijednost funkcije f(x). Nazovimo ovu vrijednost h. Zatim područje pravokutnika s bazom Δx i visine h daje udaljenost (vrijeme Δx pomnoženo s brzinom h) prošao u ovom segmentu. Svakom segmentu je pridružena prosječna vrijednost funkcije na njemu f(x)=h. Zbroj svih takvih pravokutnika daje aproksimaciju površine ispod krivulje, što je procjena ukupne prijeđene udaljenosti. Smanjenje Δx dat će više pravokutnika iu većini slučajeva biti bolja aproksimacija, ali da bismo dobili točan odgovor moramo izračunati granicu na Δx teži nuli.

Simbol integracije je ∫ (\displaystyle \int ), produženo pismo S(S označava "zbir"). Određeni integral se piše kao:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

i glasi: "integral od a prije b funkcije f iz x na x". Oznaka koju je predložio Leibniz dx ima za cilj podijeliti područje ispod krivulje u beskonačan broj pravokutnika tako da njihova širina Δx je infinitezimalna veličina dx. U formulaciji računa temeljenog na granicama, notacija

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

treba shvatiti kao operator koji uzima funkciju kao ulaz i daje broj jednak površini. dx nije broj i ne može se s njim množiti f(x).

Neodređeni integral ili antiderivacija se piše kao:

∫ f (x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Funkcije koje se razlikuju po konstanti imaju iste derivacije, pa je stoga antiderivacija dane funkcije zapravo familija funkcija koje se razlikuju samo po konstanti. Budući da je izvod funkcije g = x² + C, gdje C- bilo koja konstanta, jednaka y′ = 2x, tada je antiderivat potonjeg određen formulom:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Konstanta nedefiniranog tipa C u antiderivaciji je poznata kao konstanta integracije.

Newton-Leibnizova teorema

Newtonov – Leibnizov teorem, koji se također naziva glavni teorem analize navodi da su diferenciranje i integracija međusobno inverzne operacije. Točnije, radi se o vrijednosti antiderivacija za pojedine integrale. Budući da je općenito lakše izračunati antiderivaciju nego primijeniti formulu određenog integrala, teorem pruža praktičan način za izračunavanje određenih integrala. Također se može protumačiti kao točna izjava da je diferencijacija inverzna integracija.

Teorem kaže: ako funkcija f kontinuirano na intervalu [ a, b] i ako F postoji funkcija čija je derivacija jednaka f na intervalu ( a, b), zatim:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Osim toga, za bilo koji x iz intervala ( a, b)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Ovaj uvid, koji su napravili i Newton i Leibniz, koji su svoje rezultate temeljili na ranijim spisima Isaaca Barrowa, bio je ključan za brzo širenje analitičkih rezultata nakon što je njihov rad postao poznat. Temeljni teorem daje algebarsku metodu za izračunavanje mnogih definitivnih integrala bez ograničavanja procesa, pronalaženjem antiderivacijske formule. Osim toga, pojavio se prototip za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe povezuju nepoznate funkcije s njihovim izvodnicama, koriste se posvuda u mnogim znanostima.

Prijave

Matematička analiza ima široku primjenu u fizici, informatici, statistici, inženjerstvu, ekonomiji, poslovanju, financijama, medicini, demografiji i drugim područjima u kojima se može izgraditi matematički model za rješavanje problema, a potrebno je pronaći njegovo optimalno rješenje.

Konkretno, gotovo svi pojmovi u klasičnoj mehanici i elektromagnetizmu neraskidivo su povezani jedni s drugima upravo pomoću klasične matematičke analize. Na primjer, s obzirom na poznatu distribuciju gustoće objekta, njegova masa, momenti tromosti, kao i ukupna energija u potencijalnom polju mogu se pronaći pomoću diferencijalnog računa. Još jedan upečatljiv primjer primjene matematičke analize u mehanici je drugi Newtonov zakon: povijesno gledano, on izravno koristi pojam "stopa promjene" u formulaciji "Sila \u003d masa × ubrzanje", budući da je ubrzanje vremenska derivacija brzine ili drugi izvod vremena iz putanje ili prostornog položaja.

Matematička analiza također se koristi za pronalaženje približnih rješenja jednadžbi. U praksi, ovo je standardni način rješavanja diferencijalnih jednadžbi i pronalaženja korijena u većini aplikacija. Primjeri su Newtonova metoda, metoda jednostavne iteracije i metoda linearne aproksimacije. Na primjer, kada se izračunava putanja svemirske letjelice, koristi se varijanta Eulerove metode za aproksimaciju krivuljastih tokova gibanja u odsutnosti gravitacije.

Bibliografija

enciklopedijski članci

// Enciklopedijski leksikon: U 17 sv. - St. Petersburg. : Vrsta. A. Plushard, 1835.-1841.
// Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Obrazovna literatura

Standardni udžbenici

Dugi niz godina u Rusiji su popularni sljedeći udžbenici:

Kurant, R. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa (u dva sveska). Glavna metodološka spoznaja kolegija: prvo se jednostavno izlažu glavne ideje, a zatim se daju rigorozni dokazi. Napisao ju je Courant dok je bio profesor na Sveučilištu u Göttingenu 1920-ih pod utjecajem Kleinovih ideja, a zatim je prenesena na američko tlo 1930-ih. Ruski prijevod iz 1934. i njegovo ponovno tiskanje daje tekst prema njemačkom izdanju, prijevod iz 1960-ih (tzv. 4. izdanje) kompilacija je njemačke i američke verzije udžbenika i stoga je vrlo opširan.
Fikhtengolts G. M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa (u tri sveska) i zadataknik.
Demidovich B.P. Zbirka zadataka i vježbi iz matematičke analize.
Lyashko I. I. i drugi. Priručnik za višu matematiku, vol. 1-5.

Neka sveučilišta imaju vlastite smjernice za analizu:

Moskovsko državno sveučilište, MehMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Predavanja iz matematike. analiza.
Zorić V. A. Matematička analiza. I. dio M.: Nauka, 1981. 544 str.
Zorić V. A. Matematička analiza. Dio II. M.: Nauka, 1984. 640 str.
Kamynin L.I. Tečaj matematičke analize (u dva sveska). Moskva: Moscow University Press, 2001.

V. A. Iljin, V. A. Sadovničij, Bl. H. Sendov. Matematička analiza / Ed.

Student mora:

znati:

definicija limesa funkcije u točki;

svojstva limesa funkcije u točki;

Izvanredne formule ograničenja;

određivanje neprekidnosti funkcije u točki,

svojstva neprekidnih funkcija;

definicija derivacije, njezino geometrijsko i fizičko značenje; tablične derivacije, pravila diferenciranja;

pravilo za izračunavanje izvoda složene funkcije; definicija diferencijala funkcije, njezina svojstva; definicija derivacija i diferencijala viših redova; određivanje ekstrema funkcije, konveksne funkcije, točaka infleksije, asimptota;

definicija neodređenog integrala, njegova svojstva, tablični integrali;

· formule za integraciju promjenom varijable i po dijelovima za neodređeni integral;

definicija određenog integrala, njegova svojstva, osnovna formula integralnog računa - Newton-Leibnizova formula;

· formule za integraciju promjenom varijable i dijelovima za određeni integral;

· geometrijsko značenje određenog integrala, primjena određenog integrala.

biti u mogućnosti:

Izračunati limite nizova i funkcija; otkriti nesigurnosti;

· izračunavati derivacije složenih funkcija, derivacije i diferencijale viših redova;

pronaći ekstreme i točke infleksije funkcija;

· proučavati funkcije uz pomoć derivacija i graditi njihove grafove.

Izračunati neodređene i određene integrale metodom promjene varijable i po dijelovima;

· integrirati racionalne, iracionalne i neke trigonometrijske funkcije, primijeniti univerzalnu supstituciju; primijeniti određeni integral za pronalaženje površina ravnih likova.

Ograničenje funkcije. Svojstva ograničenja funkcije. Jednostrana ograničenja. Limit zbroja, umnoška i kvocijenta dviju funkcija. Kontinuirane funkcije, njihova svojstva. Kontinuitet elementarnih i složenih funkcija. Izvanredna ograničenja.

Definicija derivacije funkcije. Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija. Diferencijabilnost funkcije. Funkcijski diferencijal. Derivacija složene funkcije. Pravila diferenciranja: izvod zbroja, umnožak i kvocijent. Derivacije i diferencijali viših redova. Otkrivanje neizvjesnosti. Rastuće i padajuće funkcije, uvjeti rasta i pada. Ekstremi funkcija, nužan uvjet za postojanje ekstrema. Pronalaženje ekstrema pomoću prve derivacije. Konveksne funkcije. Točke infleksije. Asimptote. Studija pune funkcije.

Neodređeni integral, njegova svojstva. Tablica osnovnih integrala. Metoda promjene varijabli. Integracija po dijelovima. Integracija racionalnih funkcija. Integracija nekih iracionalnih funkcija. Univerzalna zamjena.

Određeni integral, njegova svojstva. Osnovna formula integralnog računa. Integracija promjenom varijable i dijelovima u određenom integralu. Primjene određenog integrala.

DIFERENCIJALNI RAČUN, grana matematičke analize koja proučava derivacije, diferencijale i njihovu primjenu na proučavanje funkcija. Diferencijalni račun razvio se kao samostalna disciplina u 2. polovici 17. stoljeća pod utjecajem radova I. Newtona i G. W. Leibniza, u kojima su formulirali glavne odredbe diferencijalnog računa i uočili međusobno inverznu prirodu diferencijacije i integracije. Od tog vremena, diferencijalni račun se razvio u bliskoj vezi s integralnim računom, čineći s njim glavni dio matematičke analize (ili analize infinitezimala). Stvaranje diferencijalnog i integralnog računa otvorilo je novu eru u razvoju matematike, dovelo do pojave niza novih matematičkih disciplina (teorija nizova, teorija diferencijalnih jednadžbi, diferencijalna geometrija, varijacijski račun, funkcionalna analiza) i značajno je proširio mogućnosti primjene matematike na pitanja prirodnih znanosti i tehnike.

Diferencijalni račun temelji se na temeljnim pojmovima kao što su realni broj, funkcija, granica, kontinuitet. Ti su koncepti poprimili suvremeni oblik tijekom razvoja diferencijalnog i integralnog računa. Glavne ideje i koncepti diferencijalnog računa povezani su s proučavanjem funkcija u malom, tj. u malim susjedstvima pojedinih točaka, što zahtijeva stvaranje matematičkog aparata za proučavanje funkcija čije se ponašanje u dovoljno malom susjedstvu svake točke njihova je domena definiranja bliska ponašanju linearne funkcije ili polinom. Ovaj aparat se temelji na konceptima derivacije i diferencijala. Pojam derivacije nastao je u vezi s velikim brojem različitih problema u prirodnim znanostima i matematici, koji su doveli do izračunavanja limita iste vrste. Najvažniji od tih zadataka je određivanje brzine gibanja materijalne točke po pravoj liniji i konstrukcija tangente na krivulju. Pojam diferencijala povezan je s mogućnošću aproksimacije funkcije u malom susjedstvu promatrane točke pomoću linearne funkcije. Za razliku od koncepta derivacije funkcije realne varijable, koncept diferencijala može se lako prenijeti na funkcije općenitije prirode, uključujući preslikavanja iz jednog euklidskog prostora u drugi, preslikavanja Banachovih prostora u druge Banachove prostore i služi kao jedan od temeljnih pojmova funkcionalne analize.

Izvedenica. Neka se materijalna točka giba duž osi Oy, a x označava vrijeme koje se računa od nekog početnog trenutka. Opis ovog gibanja dan je funkcijom y = f(x), koja svakom trenutku vremena x pridružuje koordinatu y točke gibanja. Ova se funkcija u mehanici naziva zakon gibanja. Važna karakteristika gibanja (osobito ako je neravnomjerno) je brzina gibajuće točke u svakom trenutku vremena x (ta brzina se naziva i trenutna brzina). Ako se točka kreće duž osi Oy prema zakonu y \u003d f (x), tada u proizvoljnom vremenu x ima koordinatu f (x), au trenutku x + Δx - koordinatu f (x + Δx ), gdje je Δx prirast vremena . Broj Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koji se naziva inkrement funkcije, je put koji prijeđe pokretna točka u vremenu od x do x + Δx. Stav

koji se naziva omjer razlike, prosječna je brzina točke u vremenskom intervalu od x do x + Δx. Trenutna brzina (ili jednostavno brzina) pokretne točke u trenutku x je granica kojoj teži prosječna brzina (1) kada vremenski interval Δx teži nuli, tj. granica (2)

Pojam trenutne brzine dovodi do pojma derivacije. Derivacija proizvoljne funkcije y \u003d f (x) u danoj fiksnoj točki x naziva se granica (2) (pod uvjetom da ta granica postoji). Derivacija funkcije y \u003d f (x) u danoj točki x označena je jednim od simbola f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Operacija nalaženja izvoda (ili prijelaza s funkcije na njezin izvod) naziva se diferenciranje.

Problem konstruiranja tangente na ravninsku krivulju, definiranu u kartezijskom koordinatnom sustavu Oxy jednadžbom y \u003d f (x), u nekoj točki M (x, y) (sl.) također dovodi do granice (2) . Dajući priraštaj Δx argumentu x i uzimajući točku M' s koordinatama (x + Δx, f(x) + Δx) na krivulji), odredite tangentu u točki M kao granični položaj sekante MM' kako točka M' teži M (tj. dok Δx teži nuli). Budući da je zadana točka M kroz koju prolazi tangenta, konstrukcija tangente svodi se na određivanje njenog nagiba (tj. tangensa njezinog kuta nagiba na os Ox). Povlačeći ravnu liniju MR paralelnu s osi Ox, dobiva se da je nagib sekante MM' jednak omjeru

U limesu pri Δx → 0, nagib sekante prelazi u nagib tangente, koja se ispostavlja jednakom limesu (2), odnosno izvodnici f’(x).

Niz drugih problema prirodnih znanosti također dovodi do pojma derivacije. Na primjer, jakost struje u vodiču definirana je kao granica lim Δt→0 Δq/Δt, gdje je Δq pozitivni električni naboj prenesen kroz presjek vodiča u vremenu Δt, brzina kemijske reakcije definirana je kao lim Δt→0 ΔQ/Δt, gdje je ΔQ promjena količine materije tijekom vremena Δt i, općenito, derivacija neke fizikalne veličine u odnosu na vrijeme je brzina promjene te količine.

Ako je funkcija y \u003d f (x) definirana i u samoj točki x iu nekoj njezinoj okolini i ima derivaciju u točki x, tada je ta funkcija kontinuirana u točki x. Primjer funkcije y \u003d |x|, definirane u bilo kojem susjedstvu točke x \u003d 0, kontinuirane u ovoj točki, ali nema derivaciju u x \u003d 0, pokazuje da postojanje u ovoj točki općenito nije slijede iz kontinuiteta funkcije u zadanoj točkastoj derivaciji. Štoviše, postoje funkcije koje su kontinuirane u svakoj točki svoje domene definicije, ali nemaju derivaciju ni u jednoj točki ove domene.

U slučaju kada je funkcija y \u003d f (x) definirana samo desno ili samo lijevo od točke x (na primjer, kada je x granična točka segmenta na kojem je ova funkcija dana), koncepti desne i lijeve derivacije funkcije y \u003d f (x) uvode se u točki x. Desna derivacija funkcije y \u003d f (x) u točki x definirana je kao granica (2) pod uvjetom da Δx teži nuli, ostajući pozitivna, a lijeva derivacija definirana je kao granica (2) pod uvjetom da je Δx teži nuli, ostajući negativan. Funkcija y \u003d f (x) ima derivaciju u točki x ako i samo ako ima desnu i lijevu derivaciju međusobno jednaku u toj točki. Gornja funkcija y = |x| ima desnu derivaciju jednaku 1 u točki x = 0 i lijevu derivaciju jednaku -1, a budući da desna i lijeva derivacija nisu međusobno jednake, ova funkcija nema derivaciju u točki x = 0. U klasa funkcija koje imaju derivaciju, operacija diferenciranja je linearna, tj. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), i (αf(x))' = αf '(x) za bilo koji broj a. Osim toga, vrijede sljedeća pravila razlikovanja:

Izvodnice nekih elementarnih funkcija su:

α - bilo koji broj, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Derivacija bilo koje elementarne funkcije je opet elementarna funkcija.

Ako derivacija f'(x), pak, ima derivaciju u danoj točki x, tada se derivacija funkcije f'(x) naziva druga derivacija funkcije y = f(x) u točki x i označen jednim od simbola f''(x), y'', ÿ, d 2 f/dx 2, d 2 y/dx 2, D 2 f(x).

Za materijalnu točku koja se kreće duž osi Oy prema zakonu y \u003d f (x), druga derivacija je ubrzanje ove točke u trenutku x. Derivacije bilo kojeg cjelobrojnog reda n definirane su na sličan način, označene simbolima f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Diferencijal. Funkcija y \u003d f (x), čija domena definicije sadrži neko susjedstvo točke x, naziva se diferencijabilnom u točki x ako njezin prirast u ovoj točki, koji odgovara prirastu argumenta Δx, tj. vrijednost Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) može se prikazati u obliku i označava se simbolom dy ili df(x). Geometrijski, za fiksnu vrijednost x i promjenjivi inkrement Δx, diferencijal je inkrement ordinate tangente, tj. segmenta PM "(Sl.). Diferencijal dy je funkcija i točke x i prirast Δx. Diferencijal se naziva glavni linearni dio prirasta funkcije, jer kada je fiksna vrijednost x veličina dy je linearna funkcija od Δh, a razlika Δu - dy je beskonačno mala u odnosu na Δh kao Δh → 0. Za funkciju f(h) = x, po definiciji, dx = Δh, odnosno diferencijal nezavisna varijabla dx poklapa se sa svojim priraštajem Δh. To omogućuje da se izraz za diferencijal prepiše kao dy=Adx.

Za funkciju jedne varijable, koncept diferencijala je usko povezan s konceptom derivacije: da bi funkcija y \u003d f (x) imala diferencijal u točki x, potrebno je i dovoljno da ona ima konačnu derivaciju f '(x) u ovoj točki, dok je jednakost dy = f'(x)dx. Vizualno značenje ove izjave je da tangenta na krivulju y \u003d f (x) u točki s apscisom x nije samo granični položaj sekante, već i ravna linija, koja u beskonačno malom susjedstvu točka x je uz krivulju y \u003d f (x) bliže od bilo koje druge ravne linije. Dakle, uvijek je A(x) = f'(x), a zapis dy/dx možemo shvatiti ne samo kao zapis za derivaciju f'(x), već i kao omjer diferencijala funkcije i argumenta . Na temelju jednakosti dy = f'(x)dx, pravila za pronalaženje diferencijala slijede izravno iz odgovarajućih pravila za derivacije. Također se razmatraju diferencijali drugog i višeg reda.

Prijave. Diferencijalni račun uspostavlja veze između svojstava funkcije f(x) i njezinih derivacija (ili diferencijala), koji su sadržaj glavnih teorema diferencijalnog računa. Ovi teoremi uključuju tvrdnju da su sve točke ekstrema diferencijabilne funkcije f(x) koje leže unutar njezine domene definicije među korijenima jednadžbe f'(x) = 0, te često korištenu formulu konačnog prirasta (Lagrangeovu formulu) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), gdje je a<ξ0 podrazumijeva strogo povećanje funkcije, a uvjet f '' (x)\u003e 0 - njenu strogu konveksnost. Osim toga, diferencijalni račun omogućuje izračunavanje raznih vrsta granica funkcija, posebice granica omjera dviju funkcija, koje su nesigurnosti oblika 0/0 ili oblika ∞/∞ (vidi Otkrivanje nesigurnosti) . Diferencijalni račun je posebno pogodan za proučavanje elementarnih funkcija čije su derivacije eksplicitno ispisane.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli. Metode diferencijalnog računa koriste se za proučavanje funkcija više varijabli. Za funkciju dviju varijabli u = f(x, y), njezina parcijalna derivacija u odnosu na x u točki M(x, y) je derivacija ove funkcije u odnosu na x za fiksni y, definirana kao

i označen jednim od simbola f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ili ∂f(x,y)'/∂x. Parcijalna derivacija funkcije u = f(x,y) u odnosu na y definirana je i označena na sličan način. Vrijednost Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) naziva se ukupni prirast funkcije i u točki M (x, y). Ako se ova vrijednost može prikazati kao

gdje A i B ne ovise o Δh i Δu, a α teži nuli pri

tada se funkcija u = f(x, y) naziva diferencijabilnom u točki M(x, y). Zbroj AΔx + BΔy naziva se totalni diferencijal funkcije u = f(x, y) u točki M(x, y) i označava se simbolom du. Budući da A \u003d f’x (x, y), B = f’y (x, y), a priraštaji Δx i Δy mogu se uzeti jednaki njihovim diferencijalima dx i dy, ukupni diferencijal du može se napisati kao

Geometrijski, diferencijabilnost funkcije dviju varijabli u = f(x, y) u danoj točki M (x, y) znači da njezin graf postoji u toj točki tangentne ravnine, a diferencijal te funkcije je prirast primjene točke tangentne ravnine koja odgovara priraštajima dx i dy nezavisnim varijablama. Za funkciju dviju varijabli pojam diferencijala puno je važniji i prirodniji od pojma parcijalnih derivacija. Za razliku od funkcije jedne varijable, da bi funkcija dviju varijabli u = f(x, y) bila diferencijabilna u danoj točki M(x, y), nije dovoljno da konačne parcijalne derivacije f'x( x, y) i f' y(x, y). Nužan i dovoljan uvjet da funkcija u = f(x, y) bude diferencijabilna u točki M(x, y) je postojanje konačnih parcijalnih derivacija f'x(x, y) i f'y(x, y) i teži nuli pri

količinama

Brojnik ove količine dobiva se tako da se prvo uzme priraštaj funkcije f(x, y) koji odgovara priraštaju Δx njezinog prvog argumenta, a zatim se uzme priraštaj rezultirajuće razlike f(x + Δx, y) - f (x, y), što odgovara priraštaju Δy njegovih drugih argumenata. Dovoljan jednostavan uvjet za diferencijabilnost funkcije u = f(x, y) u točki M(x, y) je postojanje kontinuiranih parcijalnih derivacija f'x(x, y) i f'y(x, y) ) u ovom trenutku.

Slično se definiraju parcijalne derivacije viših redova. Parcijalne derivacije ∂ 2 f/∂h 2 i ∂ 2 f/∂u 2 , kod kojih se oba diferenciranja provode u jednoj varijabli, nazivaju se čistim, a parcijalne derivacije ∂ 2 f/∂h∂u i ∂ 2 f/∂ u∂h - mješovito. U svakoj točki gdje su obje mješovite parcijalne derivacije neprekidne, one su međusobno jednake. Ove definicije i zapisi prenose se na slučaj većeg broja varijabli.

Povijesni ocrt. Odvojene probleme određivanja tangenti na krivulje i pronalaženja maksimalnih i minimalnih vrijednosti varijabli riješili su matematičari antičke Grčke. Na primjer, pronađeni su načini za konstruiranje tangenti na koničke presjeke i neke druge krivulje. Međutim, metode koje su razvili stari matematičari bile su daleko od ideja diferencijalnog računa i mogle su se primijeniti samo u vrlo posebnim slučajevima. Do sredine 17. stoljeća postalo je jasno da se mnogi od spomenutih problema, uz druge (primjerice, problem određivanja trenutne brzine) mogu riješiti pomoću istog matematičkog aparata, koristeći derivacije i diferencijale. Oko 1666. I. Newton razvio je metodu fluksova (v. fluksni račun). Newton je posebno razmatrao dva problema mehanike: problem određivanja trenutne brzine gibanja iz poznate ovisnosti puta o vremenu i problem određivanja puta prijeđenog u određenom vremenu iz poznate trenutne brzine. Newton je kontinuirane funkcije vremena nazvao fluentima, a brzine njihove promjene fluktuacijama. Stoga su Newtonovi glavni pojmovi bili derivacija (fluksija) i neodređeno sastavni(tečno). Metodu fluksija pokušao je potkrijepiti uz pomoć teorije limita, koja je u to vrijeme bila nerazvijena.

Sredinom 1670-ih, G. W. Leibniz je razvio prikladne algoritme za diferencijalni račun. Osnovni Leibnizovi pojmovi bili su diferencijal kao infinitezimalni inkrement funkcije i definitivni integral kao zbroj beskonačno velikog broja diferencijala. Uveo je oznaku diferencijala i integrala, izraz "diferencijalni račun", primio niz pravila za diferencijaciju i predložio prikladnu simboliku. Daljnji razvoj diferencijalnog računa u 17. stoljeću odvijao se uglavnom putem koji je zacrtao Leibniz; u ovoj su fazi važnu ulogu odigrala djela J. i I. Bernoullija, B. Taylora i dr.

Sljedeća faza u razvoju diferencijalnog računa povezana je s radovima L. Eulera i J. Lagrangea (18. st.). Euler je prvi počeo predstavljati diferencijalni račun kao analitičku disciplinu, neovisnu o geometriji i mehanici. Ponovno je upotrijebio derivaciju kao temeljni koncept diferencijalnog računa. Lagrange je pokušao algebarski izgraditi diferencijalni račun, koristeći proširenja funkcija u redove potencija; uveo je pojam "derivacija" i oznake y' i f'(x). Početkom 19. stoljeća problem utemeljenja diferencijalnog računa na temelju teorije limita u osnovi je riješen, ponajviše zahvaljujući radovima O. Cauchyja, B. Bolzana i C. Gaussa. Duboko analiza Početni koncepti diferencijalnog računa povezani su s razvojem teorije skupova i teorije funkcija realnih varijabli krajem 19. - početkom 20. stoljeća.

Lit .: Povijest matematike: U 3 sv., M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Povijest matematike. 2. izd. M., 1974.; Nikolsky S. M. Tečaj matematičke analize. 6. izd. M., 2001: Zorich V. A. Matematička analiza: U 2. dijelu 4. izd. M., 2002.; Kudryavtsev L.D. Tečaj matematičke analize: U 3 toma, 5. izdanje. M., 2003-2006; Fikhtengolts G. M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa: U 3 sveska, 8. izdanje. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Osnove matematičke analize. 7. izd. M., 2004. Dio 1. 5. izd. M., 2004. 2. dio; Iljin V. A., Sadovničij V. A., Sendov Bl. X. Matematička analiza. 3. izd. M., 2004. Dio 1. 2. izd. M., 2004. 2. dio; Iljin V. A., Kurkina L. V. Viša matematika. 2. izd. M., 2005. (monografija).

Račun je grana računa koja proučava izvod, diferencijale i njihovu upotrebu u proučavanju funkcije.

Povijest izgleda

Diferencijalni račun nastao je kao samostalna disciplina u drugoj polovici 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji su formulirali osnovne odredbe u diferencijalnom računu i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od tog trenutka disciplina se razvijala zajedno s računom integrala, čineći temelj matematičke analize. Pojava ovih računa otvorila je novo moderno razdoblje u matematičkom svijetu i uzrokovala pojavu novih disciplina u znanosti. Također je proširila mogućnost primjene matematičke znanosti u prirodnim znanostima i tehnologiji.

Osnovni koncepti

Diferencijalni račun temelji se na temeljnim pojmovima matematike. To su: kontinuitet, funkcija i granica. Nakon nekog vremena poprimili su moderan izgled, zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Proces stvaranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku primijenjene, a potom i znanstvene metode dogodilo se prije pojave filozofske teorije koju je stvorio Nikola Kuzanski. Njegovi se radovi smatraju evolucijskim razvojem prosudbi drevne znanosti. Unatoč činjenici da sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičke znanosti je neosporan. Kuzansky je bio jedan od prvih koji je napustio razmatranje aritmetike kao najpreciznijeg područja znanosti, dovodeći u pitanje matematiku tog vremena.

Za stare matematičare jedinica je bila univerzalni kriterij, dok je filozof kao novu mjeru umjesto točnog broja predložio beskonačnost. U tom smislu, prikaz preciznosti u matematičkoj znanosti je izokrenut. Znanstveno znanje, prema njemu, dijeli se na racionalno i intelektualno. Drugi je točniji, prema znanstveniku, budući da prvi daje samo približan rezultat.

Ideja

Glavna ideja i koncept diferencijalnog računa odnosi se na funkciju u malim okolinama određenih točaka. Da bi se to postiglo, potrebno je stvoriti matematički aparat za proučavanje funkcije čije je ponašanje u malom susjedstvu utvrđenih točaka blisko ponašanju polinoma ili linearne funkcije. Ovo se temelji na definiciji derivacije i diferencijala.

Pojava je uzrokovana velikim brojem problema iz prirodnih znanosti i matematike, koji su doveli do pronalaženja vrijednosti limesa iste vrste.

Jedan od glavnih zadataka koji se daju kao primjer, počevši od srednje škole, je odrediti brzinu kretanja točke po ravnoj liniji i konstruirati tangentu na tu krivulju. Diferencijal je povezan s tim, budući da je moguće aproksimirati funkciju u malom susjedstvu razmatrane točke linearne funkcije.

U usporedbi s konceptom derivacije funkcije realne varijable, definicija diferencijala jednostavno prelazi na funkciju opće prirode, posebno na prikaz jednog euklidskog prostora na drugi.

Izvedenica

Neka se točka pomiče u smjeru osi Oy, za vrijeme koje uzimamo x, a koje se računa od određenog početka trenutka. Takvo kretanje se može opisati funkcijom y=f(x), koja je pridružena svakom vremenskom trenutku x koordinate točke koja se pomiče. U mehanici se ova funkcija naziva zakon gibanja. Glavna karakteristika gibanja, posebno neravnomjernog, je Kada se točka giba duž osi Oy prema zakonu mehanike, tada u slučajnom vremenskom trenutku x dobiva koordinatu f (x). U trenutku x + Δx, gdje Δx označava prirast vremena, njegova koordinata će biti f(x + Δx). Tako nastaje formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koja se naziva prirast funkcije. Predstavlja put koji prijeđe točka u vremenu od x do x + Δx.

U vezi s pojavom te brzine u trenutku vremena uvodi se izvod. U proizvoljnoj funkciji, derivacija u fiksnoj točki naziva se granica (pod uvjetom da postoji). Može se označiti određenim simbolima:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces izračuna derivacije naziva se diferencijacija.

Diferencijalni račun funkcije više varijabli

Ova metoda računanja koristi se u proučavanju funkcije s nekoliko varijabli. U prisutnosti dviju varijabli x i y, parcijalna derivacija u odnosu na x u točki A naziva se derivacija ove funkcije u odnosu na x s fiksnim y.

Može se prikazati sljedećim simbolima:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ili ∂f(x,y)'/∂x.

Potrebne vještine

Za uspješno učenje i sposobnost rješavanja difuza potrebne su vještine integracije i diferencijacije. Da biste lakše razumjeli diferencijalne jednadžbe, trebali biste dobro razumjeti temu derivacije, a također ne škodi naučiti kako tražiti derivaciju implicitno zadane funkcije. To je zbog činjenice da će u procesu učenja često biti potrebno koristiti integrale i diferencijaciju.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

U gotovo svim testovima koji se odnose na postoje 3 vrste jednadžbi: homogene, s razdvojivim varijablama, linearne nehomogene.

Postoje i rjeđe varijante jednadžbi: s totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednadžbe i druge.

Osnove rješenja

Prvo se morate sjetiti algebarskih jednadžbi iz školskog tečaja. Sadrže varijable i brojeve. Da biste riješili običnu jednadžbu, trebate pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju zadani uvjet. U pravilu, takve jednadžbe imale su jedan korijen, a za provjeru točnosti trebalo je samo zamijeniti tu vrijednost za nepoznatu.

Diferencijalna jednadžba je slična ovoj. Općenito, takva jednadžba prvog reda uključuje:

neovisna varijabla.
Derivacija prve funkcije.
funkcija ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima jedna od nepoznanica, x ili y, može nedostajati, ali to nije toliko važno, budući da je prisutnost prve derivacije, bez derivacija višeg reda, neophodna da bi rješenje i diferencijalni račun bili točni.

Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći skup svih funkcija koje odgovaraju zadanom izrazu. Takav skup funkcija često se naziva opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Integralni račun

Integralni račun jedna je od grana matematičke analize koja proučava koncept integrala, svojstva i metode za njegovo izračunavanje.

Često se izračunavanje integrala događa pri izračunavanju površine krivocrtne figure. Ovo područje znači granicu do koje područje poligona upisanog u danu figuru teži s postupnim povećanjem njegove strane, dok te strane mogu biti manje od bilo koje prethodno navedene proizvoljne male vrijednosti.

Glavna ideja u izračunavanju površine proizvoljne geometrijske figure je izračunati površinu pravokutnika, odnosno dokazati da je njegova površina jednaka umnošku duljine i širine. Što se tiče geometrije, sve konstrukcije se rade pomoću ravnala i šestara i tada je odnos dužine i širine racionalna veličina. Kada izračunavate površinu pravokutnog trokuta, možete utvrditi da ako stavite isti trokut pored njega, formira se pravokutnik. U paralelogramu se površina izračunava na sličan, ali malo kompliciraniji način, preko pravokutnika i trokuta. U poligonima, površina se izračunava kroz trokute uključene u nju.

Pri određivanju milosti proizvoljne krivulje, ova metoda neće raditi. Ako ga podijelite na pojedinačne kvadrate, bit će nepopunjenih mjesta. U ovom slučaju, pokušavaju se koristiti dvije naslovnice, s pravokutnicima na vrhu i dnu, kao rezultat toga, one uključuju graf funkcije, ali ne. Metoda podjele na te pravokutnike ostaje važna ovdje. Također, ako uzmemo podjele koje se sve više smanjuju, tada područje iznad i ispod mora konvergirati na određenu vrijednost.

Treba se vratiti na metodu podjele na pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirao definiciju integrala, koju su stvorili Leibniz i Newton, kao područje podgrafa. U ovom slučaju razmatrane su figure koje se sastoje od određenog broja okomitih pravokutnika i dobivene dijeljenjem segmenta. Kada, kako se particija smanjuje, postoji granica do koje se smanjuje površina slične figure, ta se granica naziva Riemannov integral funkcije na danom intervalu.

Druga metoda je konstrukcija Lebesgueovog integrala, koja se sastoji u činjenici da se za mjesto dijeljenja definiranog područja na dijelove integranda i zatim sastavljanja integralnog zbroja iz vrijednosti dobivenih u tim dijelovima, njegov raspon vrijednosti se dijeli na intervale, a zatim zbraja s odgovarajućim mjerama inverznih slika ovih integrala.

Moderne pogodnosti

Jedan od glavnih priručnika za proučavanje diferencijalnog i integralnog računa napisao je Fikhtengolts - "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa". Njegov je udžbenik temeljni vodič za proučavanje matematičke analize, koji je doživio mnoga izdanja i prijevode na druge jezike. Stvoren za studente i dugo se koristi u mnogim obrazovnim institucijama kao jedno od glavnih pomagala u učenju. Daje teorijske podatke i praktične vještine. Prvi put objavljen 1948.

Algoritam istraživanja funkcije

Za istraživanje funkcije metodama diferencijalnog računa potrebno je slijediti već zadani algoritam:

Pronađite opseg funkcije.
Pronađite korijene zadane jednadžbe.
Izračunajte ekstreme. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju i točke u kojima je jednaka nuli.
Zamijenite dobivenu vrijednost u jednadžbu.

Varijante diferencijalnih jednadžbi

DE prvog reda (inače, diferencijalni račun jedne varijable) i njihove vrste:

Jednadžba odvojene varijable: f(y)dy=g(x)dx.
Najjednostavnije jednadžbe, ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, imaju formulu: y"=f(x).
Linearni nehomogeni DE prvog reda: y"+P(x)y=Q(x).
Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Jednadžba s ukupnim diferencijalima: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihove vrste:

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim vrijednostima koeficijenata: y n +py"+qy=0 p, q pripada R.
Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnom vrijednošću koeficijenata: y n +py"+qy=f(x).
Linearna homogena diferencijalna jednadžba: y n +p(x)y"+q(x)y=0, i nehomogena jednadžba drugog reda: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Diferencijalne jednadžbe višeg reda i njihove vrste:

Diferencijalna jednadžba koja dopušta niži red: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Linearna jednadžba višeg reda je homogena: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, i nehomogena: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Faze rješavanja zadatka diferencijalnom jednadžbom

Uz pomoć daljinskog upravljanja ne rješavaju se samo matematička ili fizikalna pitanja, već i razni problemi iz biologije, ekonomije, sociologije i drugih stvari. Unatoč velikoj raznolikosti tema, pri rješavanju takvih problema treba se pridržavati jednog logičkog slijeda:

Kompilacija DU. Jedan od najtežih koraka koji zahtijeva maksimalnu preciznost, jer će svaka pogreška dovesti do potpuno pogrešnih rezultata. Treba uzeti u obzir sve faktore koji utječu na proces i odrediti početne uvjete. Također se treba temeljiti na činjenicama i logičnim zaključcima.
Rješenje formulirane jednadžbe. Ovaj proces je jednostavniji od prve točke, jer zahtijeva samo stroge matematičke izračune.
Analiza i ocjena dobivenih rezultata. Izvedeno rješenje treba evaluirati kako bi se utvrdila praktična i teorijska vrijednost rezultata.

Primjer primjene diferencijalnih jednadžbi u medicini

Primjena daljinskog upravljanja u području medicine javlja se prilikom izgradnje epidemiološkog matematičkog modela. Pritom ne treba zaboraviti da se te jednadžbe nalaze iu biologiji i kemiji, koje su bliske medicini, jer proučavanje različitih bioloških populacija i kemijskih procesa u ljudskom tijelu igra važnu ulogu u tome.

U gornjem primjeru epidemije može se razmotriti širenje infekcije u izoliranom društvu. Stanovnici se dijele u tri vrste:

Zaraženi, broj x(t), čine jedinke, nositelji infekcije, od kojih je svaka zarazna (razdoblje inkubacije je kratko).
Druga vrsta uključuje osjetljive jedinke y(t) koje se mogu zaraziti kontaktom sa zaraženim jedinkama.
Treća vrsta uključuje imune jedinke z(t), koje su imune ili su umrle od bolesti.

Broj jedinki je konstantan, ne uzimaju se u obzir rođena, prirodna umiranja i migracije. Temeljit će se na dvije hipoteze.

Postotak incidencije u određenoj vremenskoj točki je x(t)y(t) (na temelju pretpostavke da je broj slučajeva proporcionalan broju presjeka između bolesnih i osjetljivih predstavnika, koji će u prvoj aproksimaciji biti proporcionalan x(t)y(t)), u Dakle, broj oboljelih raste, a broj osjetljivih opada brzinom koja se izračunava formulom ax(t)y(t) (a > 0).

Broj imunih osoba koje su stekle imunitet ili umrle raste brzinom koja je proporcionalna broju oboljelih, bx(t) (b > 0).

Kao rezultat toga, moguće je sastaviti sustav jednadžbi uzimajući u obzir sva tri pokazatelja i na temelju toga izvući zaključke.

Primjer uporabe u ekonomiji

Diferencijalni račun često se koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak u ekonomskoj analizi je proučavanje veličina iz ekonomije, koje su zapisane u obliku funkcije. Ovo se koristi pri rješavanju problema kao što su promjene u dohotku odmah nakon povećanja poreza, uvođenje carina, promjena u prihodima poduzeća kada se promijeni trošak proizvodnje, u kojem omjeru se umirovljeni radnici mogu zamijeniti novom opremom. Za rješavanje takvih pitanja potrebno je konstruirati funkciju veze iz ulaznih varijabli, koje se zatim proučavaju pomoću diferencijalnog računa.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije pokazatelje: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najniže troškove i tako dalje. Svaki takav indikator je funkcija jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može promatrati kao funkcija inputa rada i kapitala. U tom smislu, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti može se svesti na pronalaženje maksimuma ili minimuma funkcije iz jedne ili više varijabli.

Problemi ove vrste stvaraju klasu ekstremnih problema u ekonomskom polju, čije rješenje zahtijeva diferencijalni račun. Kada ekonomski indikator treba minimizirati ili maksimizirati kao funkciju drugog indikatora, tada će u točki maksimuma omjer prirasta funkcije i argumenata težiti nuli ako priraštaj argumenta teži nuli. Inače, kada takav omjer teži nekoj pozitivnoj ili negativnoj vrijednosti, navedena točka nije prikladna, jer povećanjem ili smanjenjem argumenta možete promijeniti zavisnu vrijednost u željenom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računa, to će značiti da je traženi uvjet za maksimum funkcije nulta vrijednost njezine derivacije.

U ekonomiji često postoje zadaci pronalaženja ekstremuma funkcije s nekoliko varijabli, jer se ekonomski pokazatelji sastoje od mnogo faktora. Takva su pitanja dobro proučena u teoriji funkcija više varijabli, primjenom metoda diferencijalnog izračuna. Takvi problemi uključuju ne samo maksimizirane i minimizirane funkcije, već i ograničenja. Takva pitanja vezana su za matematičko programiranje, a rješavaju se uz pomoć posebno razvijenih metoda, također temeljenih na ovoj grani znanosti.

Među metodama diferencijalnog računa koje se koriste u ekonomiji važan dio je marginalna analiza. U ekonomskoj sferi ovaj se pojam odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih pokazatelja i rezultata pri promjeni obujma stvaranja, potrošnje, na temelju analize njihovih graničnih pokazatelja. Ograničavajući pokazatelj je derivacija ili parcijalne derivacije s više varijabli.

Diferencijalni račun nekoliko varijabli važna je tema u polju matematičke analize. Za detaljno proučavanje možete koristiti različite udžbenike za visoko obrazovanje. Jedan od najpoznatijih stvorio je Fikhtengolts - "Tečaj diferencijalnog i integralnog računa". Kao što naziv govori, vještine rada s integralima od velike su važnosti za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Kada se izvede diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, treba napomenuti, pridržava se istih osnovnih pravila. Da bi se funkcija proučavala u praksi diferencijalnim računom, dovoljno je slijediti već postojeći algoritam koji se daje u srednjoj školi i tek se malo komplicira kada se uvedu nove varijable.