6. razred

LEKCIJA 12 Poglavlje 1 . Odnosi, proporcije, postoci (26 sati)

Predmet . Izravna i inverzna proporcija. C/r br. 3.

Cilj. P provjeriti znanje učenika na temu Proporcije. Definirajte izravno proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine. Naučite rješavati probleme na ovu temu.

Tijekom nastave.

Opcija 1. Opcija 1.

Riješiti proporciju: Riješiti proporciju:

1)
, 1)
,

,
,

. Odgovor:
.
. Odgovor:
.

2) , 2)
,

,
,

. Odgovor: .
. Odgovor:
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Odgovor:
.
. Odgovor:
.

Objašnjenje novog gradiva.

Izravna i inverzna proporcija.

multimedijska ploča. Elektronska prijava. Katalog. Animacija. Potrošnja struje u stanu. (1 min 31 s)

(Slajd 2). Neka olovka košta 3 p. (ovo je cijena). Tada je lako izračunati trošak dva, tri itd. ručke prema formuli: .

Broj ručki, kom.

Trošak, r.

Imajte na umu da s povećanjem broja olovaka nekoliko puta, njihov se trošak povećava za isti iznos.

Kaže se da je trošak kupnje izravno proporcionalan broju kupljenih olovaka.

(Slajd 3). Definicija. Dvije se veličine nazivajuizravno proporcionalan , ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos.

Ako su dvije veličine izravno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti tih veličina jednaki.

(Slajd 4). Primjeri izravno proporcionalnih veličina:

1. Opseg kvadrata i duljina stranice kvadrata izravno su proporcionalni.
.

2. Ako je brzina kretanja konstantna, tada su prijeđeni put i vrijeme kretanja izravno proporcionalni.
.

3. Ako je produktivnost rada konstantna, tada su količina obavljenog rada i vrijeme izravno proporcionalni.
.

4. Prihod kino blagajne izravno je proporcionalan broju prodanih ulaznica po istoj cijeni. itd.

(Slajd 5). Zadatak 1 . Za 5 bilježnica u kavezu plaća se 40 rubalja. Koliko će platiti 12 istih bilježnica?

Količina Trošak

5 bilježnica - 40 rubalja. Izravna proporcionalnost

12 bilježnica - x r.

Odluka.

Jer količine izravno proporcionalan jednaki

,

,

.

96 str. platiti 12 bilježnica. Odgovor: 96 str.

(Slajd 6). Žele kupiti za 120 rubalja. nekoliko istih knjiga. Tada je lako izračunati broj knjiga za 10 rubalja, 20 rubalja, 30 rubalja. 40 r. itd. prema formuli:
.

Cijena, r.

Broj knjiga, kom.

Imajte na umu da se s povećanjem cijene knjige nekoliko puta njihov broj smanjuje za isti iznos. .

Kažu da je broj kupljenih knjiga obrnuto njihovu cijenu.

(Slajd 7). Definicija. Dvije se veličine nazivajuobrnuto proporcionalan , ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se smanji za isti iznos.

Ako su količine obrnuto proporcionalne, tada je omjer vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru vrijednosti druge veličine.

(Slajd 8). Primjeri obrnuto proporcionalnih veličina:

1. Ako je prijeđeni put konstantan, tada su brzina kretanja i vrijeme kretanja obrnuto proporcionalni.
.

2. Ako je produktivnost rada konstantna, tada su količina obavljenog rada i vrijeme obrnuto proporcionalni.
.

(Slajd 9). Zadatak 2 . 6 radnika završi posao za 5 sati. Koliko će vremena trebati 3 radnika da završe ovaj posao?

Količina Vrijeme

6 radnika - 5 sati Obrnuta proporcionalnost

3 radnika - x h

Odluka.

Jer količine obrnuto proporcionalan, zatim omjere dviju proizvoljnih vrijednosti iste količine jednaka je obrnutom omjer odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

,

,

.

Za 10 sati, 3 radnika će se nositi s ovim poslom. Odgovor: 10 sati

Algoritam za rješavanje problema.

Sastaviti kratka bilješka te odrediti vrstu proporcionalnosti. (Istoimene vrijednosti su ispisane jedna ispod druge)

Postavite omjer.

• Ako dvije količine izravno proporcionalan, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dviju odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

  Ako dvije količine obrnuto proporcionalan, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti jedne veličine jednak obrnutom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

Nađi nepoznati član proporcije.

Analizirajte rezultat i zapišite odgovor.

Rješenje vježbi.

Uch.s.21 br. 75 (a). 100 g otopine sadrži 4 g soli. Koliko soli sadrži 300 g ove otopine?

Otopina soli

100 g - 4 g Izravna proporcionalnost

300 g - x g

Odluka.

Jer količine izravno proporcionalan, zatim omjere dviju proizvoljnih vrijednosti prve veličine jednaki omjer dviju odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

,

,

.

U 300 g ove otopine nalazi se 12 g soli. Odgovor: 12 g.

Uch.s.22 br. 88. Neki posao će odraditi 6 ljudi za 18 dana. Za koliko dana će 9 ljudi raditi isti posao, jednako uspješno kao i prvi?

Količina Vrijeme

6 osoba - 18 dana. Obrnuta proporcionalnost kg rude bogate željezom. Koliko rude zamjenjuje 4 tone starog metala?

Domaća zadaća.§ 1.5 (učiti teoriju). br. 73, 75 (b), 77(a), 84 (b).

Za rješavanje sustava linearne jednadžbe s dvije varijable metodom zamjene postupamo na sljedeći način:

1) izrazimo jednu varijablu kroz drugu u jednoj od jednadžbi sustava (x kroz y ili y kroz x);

2) dobiveni izraz zamijenimo drugom jednadžbom sustava i dobijemo linearnu jednadžbu s jednom varijablom;

3) dobivenu linearnu jednadžbu riješimo s jednom varijablom i pronađemo vrijednost te varijable;

4) pronađena vrijednost varijable zamjenjuje se u izraz (1) za drugu varijablu i nalazimo vrijednost te varijable.

Primjeri. Riješite sustav linearnih jednadžbi metodom supstitucije.

Izraziti x kroz y iz 1. jednadžbe. Dobivamo: x \u003d 7 + y. Umjesto izraza (7 + y) zamjenjujemo x u 2. jednadžbu sustava.

Dobili smo jednadžbu: 3 · (7+y)+2y=16. Ovo je jedna varijabla jednadžba na. Mi to rješavamo. Otvorimo zagrade: 21+3y+2y=16. Prikupljanje pojmova s ​​varijablom na na lijevoj strani, a slobodni pojmovi na desnoj. Prilikom prijenosa člana iz jednog dijela jednakosti u drugi, predznak člana mijenjamo u suprotan.

Dobivamo: 3y + 2y \u003d 16-21. Predstavljamo poput pojmova u svakom dijelu jednadžbe. 5y=-5. Obje strane jednakosti dijelimo koeficijentom varijable. y=-5:5; y=-1. Zamijenite ovu vrijednost na u izraz x=7+y i pronađi x. Dobivamo: x=7-1; x=6. Par vrijednosti varijabli x=6 i y=-1 je rješenje za ovaj sustav.

Zapiši: (6; -1). Odgovor: (6; -1). Zgodno je zapisati ove argumente kako je prikazano u nastavku, tj. sustavi jednadžbi - lijevo jedan ispod drugog. Desno - izračuni, potrebna objašnjenja, provjera rješenja itd.

Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije varijable metodom zamjene i metodom zbrajanja.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i vodi detaljno rješenje s objašnjenjima koraka rješenja na dva načina: metodom zamjene i metodom dodavanja.

Ovaj program Može biti korisno za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo angažirati učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili jednostavno želite to učiniti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili osposobljavanje njihovih mlađa braća ili sestre, dok se razina obrazovanja iz područja zadataka koji se rješavaju povećava.

Pravila za unos jednadžbi

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Prilikom unosa jednadžbi možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, jednadžbe se najprije pojednostavljuju. Jednadžbe nakon pojednostavljenja moraju biti linearne, tj. oblika ax+by+c=0 s točnošću reda elemenata.
Na primjer: 6x+1 = 5(x+y)+2

U jednadžbama možete koristiti ne samo cijele brojeve, već i frakcijski brojevi kao decimalni i obični razlomci.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cjelobrojni i razlomački dio decimalni razlomci može se odvojiti točkom ili zarezom.
Na primjer: 2.1n + 3.5m = 55

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može djelovati kao brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Kad uđete brojčani razlomak Brojnik je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
cijeli dio odvojeno od razlomka ampersandom: &

Primjeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Riješite sustav jednadžbi

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript vam je onemogućen u pregledniku.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sek...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odlučuješ što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Metoda zamjene

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom zamjene:
1) izraziti jednu varijablu iz neke jednadžbe sustava u terminima druge;
2) umjesto ove varijable dobiveni izraz zamijeniti drugom jednadžbom sustava;

$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(niz) \desno. $$

Izrazimo iz prve jednadžbe y kroz x: y = 7-3x. Zamjenom izraza 7-3x umjesto y u drugu jednadžbu, dobivamo sustav:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(niz) \desno. $$

Lako je pokazati da prvi i drugi sustav imaju ista rješenja. U drugom sustavu druga jednadžba sadrži samo jednu varijablu. Riješimo ovu jednadžbu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Strelica desno -5x+14-6x=3 \Strelica desno -11x=-11 \Strelica desno x=1 $$

Zamjenom broja 1 umjesto x u jednadžbu y=7-3x, nalazimo odgovarajuću vrijednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rješenje sustava

Zovu se sustavi jednadžbi u dvije varijable koje imaju ista rješenja ekvivalent. Sustavi koji nemaju rješenja također se smatraju ekvivalentnim.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi zbrajanjem

Razmotrimo još jedan način rješavanja sustava linearnih jednadžbi - metodu zbrajanja. Prilikom rješavanja sustava na ovaj način, kao i kod rješavanja metodom supstitucije, prelazimo s zadanog sustava na drugi njemu ekvivalentan sustav u kojem jedna od jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Redoslijed radnji pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi metodom zbrajanja:
1) pomnožiti jednadžbe člana sustava po članu, birajući faktore tako da koeficijenti za jednu od varijabli postanu suprotni brojevi;
2) zbrajati pojam po član lijevi i desni dio jednadžbe sustava;
3) nastalu jednadžbu riješiti s jednom varijablom;
4) pronaći odgovarajuću vrijednost druge varijable.

Primjer. Riješimo sustav jednadžbi:
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

U jednadžbama ovog sustava koeficijenti za y su suprotni brojevi. Zbrajajući član po član lijevi i desni dio jednadžbe, dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 3x=33. Zamijenimo jednu od jednadžbi sustava, na primjer prvu, s jednadžbom 3x=33. Idemo po sustav
$$ \lijevo\( \begin(niz)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(niz) \desno. $$

Iz jednadžbe 3x=33 nalazimo da je x=11. Zamjenom ove vrijednosti x u jednadžbu \(x-3y=38 \) dobivamo jednadžbu s varijablom y: \(11-3y=38 \). Riješimo ovu jednadžbu:
\(-3y=27 \Strelica desno y=-9 \)

Dakle, našli smo rješenje sustava jednadžbi dodavanjem: \(x=11; y=-9 \) ili \((11; -9) \)

Koristeći činjenicu da su u jednadžbama sustava koeficijenti za y suprotni brojevi, sveli smo njegovo rješenje na rješenje ekvivalentni sustav(zbrajanjem oba dijela svake od jednadžbi izvorne sim-teme), u kojoj jedna od jednadžbi sadrži samo jednu varijablu.

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Grafički prikaz funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik slenga mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

Sustav linearnih jednadžbi u dvije nepoznanice su dvije ili više linearnih jednadžbi za koje morate pronaći sve opća rješenja. Razmotrit ćemo sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Opći oblik sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice prikazan je na donjoj slici:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Ovdje su x i y nepoznate varijable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 su neke realni brojevi. Rješenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice je par brojeva (x, y) takav da ako se ti brojevi zamijene u jednadžbe sustava, onda se svaka od jednadžbi sustava pretvara u pravu jednakost. Razmotrimo jedan od načina rješavanja sustava linearnih jednadžbi, odnosno metodu zamjene.

Algoritam za rješavanje metodom supstitucije

Algoritam za rješavanje sustava linearnih jednadžbi metodom supstitucije:

1. Odaberite jednu jednadžbu (bolje je izabrati onu u kojoj su brojevi manji) i iz nje izrazite jednu varijablu kroz drugu, na primjer, x kroz y. (možete i od y do x).

2. Zamijenite rezultirajući izraz umjesto odgovarajuće varijable u drugoj jednadžbi. Tako dobivamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom.

3. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednadžbu i dobivamo rješenje.

4. Dobivenu otopinu zamjenjujemo u izraz dobiven u prvom odlomku, iz rješenja dobivamo drugu nepoznanicu.

5. Provjerite dobivenu otopinu.

Primjer

Da bi bilo jasnije, riješimo mali primjer.

Primjer 1 Riješite sustav jednadžbi:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Odluka:

1. Iz prve jednadžbe ovog sustava izražavamo varijablu x. Imamo x= (12 -2*y);

2. Zamijenimo ovaj izraz u drugu jednadžbu, dobivamo 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Dobivenu linearnu jednadžbu rješavamo: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Dobiveni rezultat zamjenjujemo u izraz dobiven u prvom odlomku. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Provjeravamo dobiveno rješenje, za to zamjenjujemo brojeve pronađene u izvornom sustavu.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Dobili smo točne jednakosti, dakle, ispravno smo pronašli rješenje.

Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije

Prisjetimo se što je sustav jednadžbi.

Sustav dviju jednadžbi s dvije varijable su dvije jednadžbe napisane jedna ispod druge, objedinjene vitičastom zagradom. Rješavanje sustava znači pronaći par brojeva koji će istovremeno biti rješenje i prve i druge jednadžbe.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s takvim načinom rješavanja sustava kao što je metoda zamjene.

Pogledajmo sustav jednadžbi:

Ovaj sustav možete riješiti grafički. Da bismo to učinili, morat ćemo izgraditi grafove svake od jednadžbi u jednom koordinatnom sustavu, pretvarajući ih u oblik:

Zatim pronađite koordinate točke presjeka grafova, što će biti rješenje sustava. Ali grafički način daleko od uvijek zgodno, jer razlikuje se po niskoj točnosti, pa čak i po nepristupačnosti. Pogledajmo pobliže naš sustav. Sada izgleda ovako:

Vidi se da su lijeve strane jednadžbe jednake, što znači da i desne strane moraju biti jednake. Tada dobivamo jednadžbu:

Ovo je poznata jednadžba s jednom varijablom koju znamo riješiti. Prebacimo nepoznate pojmove na lijevu stranu, a poznate - na desnu, ne zaboravljajući pri prijenosu promijeniti znakove +, -. dobivamo:

Sada zamjenjujemo pronađenu vrijednost x u bilo koju jednadžbu sustava i nalazimo vrijednost y. U našem je sustavu prikladnije koristiti drugu jednadžbu y \u003d 3 - x, nakon zamjene dobivamo y = 2. Sada analizirajmo obavljeni rad. Prvo, u prvoj jednadžbi izrazili smo varijablu y u terminima varijable x. Tada je dobiveni izraz - 2x + 4 zamijenjen u drugu jednadžbu umjesto varijable y. Zatim smo riješili rezultirajuću jednadžbu s jednom varijablom x i pronašli njezinu vrijednost. I kao zaključak, koristili smo pronađenu vrijednost x da pronađemo drugu varijablu y. Ovdje se postavlja pitanje: je li bilo potrebno izraziti varijablu y iz obje jednadžbe odjednom? Naravno da ne. Mogli bismo izraziti jednu varijablu u terminima druge samo u jednoj jednadžbi sustava i koristiti je umjesto odgovarajuće varijable u drugoj. Štoviše, može se izraziti bilo koja varijabla iz bilo koje jednadžbe. Ovdje izbor ovisi isključivo o praktičnosti računa. Matematičari su ovaj postupak nazvali algoritam za rješavanje sustava dviju jednadžbi s dvije varijable metodom supstitucije.Evo kako to izgleda.

1. Izrazite jednu od varijabli u terminima druge u jednoj od jednadžbi sustava.

2. Zamijenite rezultirajući izraz umjesto odgovarajuće varijable u drugoj jednadžbi sustava.

3. Riješi rezultirajuću jednadžbu s jednom varijablom.

4. Zamijenite pronađenu vrijednost varijable u izraz dobiven u prvom odlomku i pronađite vrijednost druge varijable.

5. Odgovor zapišite kao par brojeva koji su pronađeni u trećem i četvrtom koraku.

Pogledajmo još jedan primjer. Riješite sustav jednadžbi:

Ovdje je zgodnije izraziti varijablu y iz prve jednadžbe. Dobivamo y \u003d 8 - 2x. Rezultirajući izraz mora se zamijeniti za y u drugoj jednadžbi. dobivamo:

Ovu jednadžbu zapisujemo zasebno i rješavamo. Prvo otvorimo zagrade. Dobivamo jednadžbu 3x - 16 + 4x \u003d 5. Skupimo nepoznate članove na lijevoj strani jednadžbe, a poznate na desnoj strani i damo slične pojmove. Dobivamo jednadžbu 7x \u003d 21, dakle x \u003d 3.

Sada, koristeći pronađenu vrijednost x, možete pronaći:

Odgovor: par brojeva (3; 2).

Tako smo u ovoj lekciji naučili rješavati sustave jednadžbi s dvije nepoznanice na analitički, točan način, bez pribjegavanja sumnjivim grafičkim metodama.

Popis korištene literature:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dijela, 1. dio, Udžbenik za obrazovne ustanove/ A.G. Mordkovich. - 10. izd., prerađeno - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. razred u 2 dijela, 2. dio, Zadatak za obrazovne ustanove / [A.G. Mordkovich i drugi]; uredio A.G. Mordkovich - 10. izdanje, revidirano - Moskva, Mnemosyne, 2007.
3. NJU. Tulchinskaya, Algebra 7. razred. Blitz anketa: vodič za studente obrazovnih institucija, 4. izdanje, prerađeno i dopunjeno, Moskva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. razred. Tematski verifikacijski rad u novi oblik za studente obrazovnih ustanova, ur. A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. razred. Samostalan rad za studente obrazovnih ustanova, ur. A.G. Mordkovich - 6. izdanje, stereotipno, Moskva, "Mnemosyne", 2010.