mali. Budući da s font-size:14.0pt">~ (vidi ), onda ~ .

S obzirom na to, dobivamo:

pa se serija razilazi.

D) veličina fonta:14.0pt">,

stoga se serija razilazi.

Stanje je potrebno, ali nedovoljno Uvjet konvergencije niza: postoji skup nizova za koje, ali koji se ipak razilaze.

Primjer 3 Istražite konvergenciju serije font-size:14.0pt"> Odluka. primijeti da https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , tj. nužni uvjet konvergencije je zadovoljen. djelomični zbroj

lijevo">

- jednom

pa font-size:14.0pt"> što znači da se niz po definiciji razlikuje.

Dovoljni uvjeti za konvergenciju predznak pozitivnih redova

Neka bude . Zatim serijafont-size:14.0pt"> Znak za usporedbu

Neka bude a znak su pozitivne serije. Ako je nejednakost zadovoljena za sve, tada konvergencija niza slijedi iz konvergencije niza, a iz divergencije niza

Ovaj znak ostaje važeći ako je nejednakost https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, ali samo počevši od nekog broja. Može se protumačiti kako slijedi: ako se veći niz konvergira, tada se manji niz sve više konvergira; ako se manji niz divergira, onda se i veći razilazi.

Primjer 4 Istražite konvergenciju redaka 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Odluka.

A) Imajte na umu da font-size:14.0pt"> za sve . Serija sa zajedničkim pojmom

B) Usporedite redak s redom ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> divergira, pa se i serija razilazi.

Unatoč jednostavnosti formulacije kriterija usporedbe, u praksi je prikladniji sljedeći teorem, koji je njegova posljedica.

Granični znak usporedbe

Neka bude https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – pozitivna serija. Ako postoji konačan i različit od nule limit , zatim oba reda i

konvergiraju u isto vrijeme ili razilaze u isto vrijeme.

Kao niz koji se koristi za usporedbu s podacima, niz obrasca . Takva serija se zove blizu Dirichleta. U primjerima 3 i 4 pokazano je da Dirichletov niz sa i divergira. Može za sada-

recimo da je redak veličina fonta:14.0pt"> .

Ako , onda red pozvao harmonik. Harmonski niz se razilazi.

Primjer 5 Istražite nizove konvergencijekorištenjem kriterija granične usporedbe, ako

Odluka. a) Budući da za dovoljno velike https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, i

~ , dakle ~ font-size:14.0pt">usporedba s danim harmonijskim nizom font-size:14.0pt">, tj.

font-size:14.0pt"> Budući da je granica konačna i različita od nule, a harmonijski niz divergira, ovaj niz se također razilazi.

B) Za dovoljno velike https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> je uobičajeni član serije za usporedbu s ovim:

Veličina fonta:14.0pt">Serija se konvergira ( Dirichletov redak s veličinom fonta:16.0pt">), pa se i ovaj niz konvergira.

NA) , tako beskonačno mali font-size:14.0pt"> možete

biti zamijenjen vrijednošću koja mu odgovara na(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> s veličinom fonta: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Takvi iznosi nazivaju se beskrajni redovi, a njihovi su uvjeti pojmovi serije. (Elipsa znači da je broj pojmova beskonačan.) Rješenja složenih matematičkih problema rijetko se mogu predstaviti u točnom obliku pomoću formula. Međutim, u većini slučajeva ova rješenja mogu se zapisati kao serije. Nakon što se takvo rješenje pronađe, metode teorije redova omogućuju nam da procijenimo koliko članova niza treba uzeti za određene izračune ili kako napisati odgovor u najprikladnijem obliku. Uz brojčane serije možemo smatrati tzv. funkcionalni redovi, čiji su pojmovi funkcije . Mnoge funkcije mogu se predstaviti pomoću niza funkcija. Proučavanje brojčanih i funkcionalnih nizova važan je dio računanja.

U primjerima (1) i (2) relativno je lako pogoditi po kojem se zakonu tvore uzastopni pojmovi. Zakon formiranja članova niza može biti mnogo manje očit. Na primjer, za seriju (3) postat će jasno ako je ovaj niz napisan u sljedećem obliku:

Konvergentni redovi.

Budući da je dodavanje beskonačnog broja članova niza fizički nemoguće, potrebno je odrediti što točno treba razumjeti pod zbroj beskonačnog niza. Može se zamisliti da se te operacije zbrajanja i oduzimanja izvode uzastopno, jedna za drugom, na primjer, na računalu. Ako se rezultirajući zbrojevi (djelomični zbroji) sve više približavaju određenom broju, onda je razumno ovaj broj nazvati zbrojem beskonačnog niza. Dakle, zbroj beskonačnog niza može se definirati kao granica niza djelomičnih zbroja. Štoviše, takav se niz naziva konvergentan.

Pronalaženje zbroja niza (3) nije teško ako primijetite da se transformirani niz (4) može zapisati kao

Uzastopni parcijalni zbrojevi nizova (5) su

itd.; možete vidjeti da parcijalni zbroji teže 1. Dakle, ovaj niz konvergira i njegov zbroj je 1.

Kao primjer beskonačnog niza, razmotrite beskonačne decimalne razlomke. Dakle, 0,353535... je beskonačan ponavljajući decimalni razlomak, što je kompaktan način zapisivanja niza

Ovdje je jasan zakon formiranja uzastopnih članova. Slično, 3,14159265... znači

ali zakon formiranja sljedećih članova niza ovdje nije očit: znamenke čine decimalni proširenje broja str, a teško je odmah reći što je, na primjer, 100.000 znamenka, iako se teoretski ta brojka može izračunati.

Divergentni redovi.

Za beskonačan niz koji se ne konvergira kaže se da divergira (takav niz se zove odvojit). Na primjer, red

divergira, budući da su njegovi parcijalni zbroji 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,.... Ovi zbroji ne teže ni jednom broju kao granici, budući da uzimanjem dovoljno članova niza možemo napraviti parcijalni suma ma koliko velika. Red

također divergira, ali iz drugog razloga: parcijalni zbrojevi ovog niza naizmjence se okreću na 1, zatim na 0 i ne teže granici.

Zbrajanje.

Pronaći zbroj konvergentnog niza (sa zadanom točnošću) sukcesivnim zbrajanjem njegovih članova, iako je teoretski moguće, praktički je teško implementirati. Na primjer, red

konvergira, a njegov zbroj s točnošću od deset decimalnih mjesta iznosi 1,6449340668, ali da bismo ga izračunali s ovom točnošću, bilo bi potrebno uzeti cca. 20 milijardi članova. Takvi se nizovi obično sažimaju tako da se prvo transformiraju različitim tehnikama. U ovom slučaju koriste se algebarske ili računske metode; na primjer, može se pokazati da je zbroj niza (8) jednak str 2 /6.

Notacija.

Kada radite s beskonačnim nizovima, korisno je imati prikladnu notaciju. Na primjer, konačni zbroj serije (8) može se zapisati kao

Ovaj unos ukazuje na to n sukcesivno postavljeni na 1, 2, 3, 4 i 5, a rezultati se zbrajaju:

Slično, niz (4) se može zapisati kao

gdje simbol Ґ označava da imamo posla s beskonačnim nizom, a ne s njegovim konačnim dijelom. Simbol S (sigma) naziva se znak zbrajanja.

Beskonačna geometrijska progresija.

Uspjeli smo zbrojiti niz (4) jer je postojala jednostavna formula za njegove djelomične zbrojeve. Slično, može se pronaći zbroj niza (2), ili općenito,

ako r uzima vrijednosti između –1 i 1. U ovom slučaju, zbroj niza (9) jednak je 1/(1 – r); za druge vrijednosti r serija (9) divergira.

Možete zamisliti periodične decimale kao što je 0,353535... kao još jedan način pisanja beskonačne geometrijske progresije.

Ovaj izraz se također može napisati kao

gdje je serija (9) s r= 0,01; dakle, zbroj niza (10) jednak je

Na isti način, svaki periodični decimalni razlomak može se predstaviti kao obični razlomak.

Znakovi konvergencije.

U općem slučaju ne postoji jednostavna formula za parcijalne zbrojeve beskonačnog niza, pa se za utvrđivanje konvergencije ili divergencije niza koriste posebne metode. Na primjer, ako su svi članovi niza pozitivni, tada se može pokazati da red konvergira ako svaki od njegovih članova ne prelazi odgovarajući član drugog niza, za koji je poznato da konvergira. U prihvaćenom zapisu to se može napisati na sljedeći način: ako a n i 0 i konvergira, zatim konvergira ako je 0 j b n Ј a n. Na primjer, budući da niz (4) konvergira i

onda možemo zaključiti da niz (8) također konvergira. Usporedba je glavna metoda za utvrđivanje konvergencije mnogih nizova uspoređivanjem s najjednostavnijim konvergentnim redovima. Ponekad se koriste posebniji kriteriji konvergencije (mogu se naći u literaturi o teoriji nizova.) Evo još nekoliko primjera konvergentnih nizova s ​​pozitivnim pojmovima:

Usporedba se također može koristiti za utvrđivanje divergencije niza. Ako se niz divergira, tada se i niz divergira ako je 0 J b n Ј a n.

Primjeri divergentnih nizova su nizovi

a posebno od harmonijski niz

Divergencija ovog niza može se provjeriti prebrojavanjem sljedećih djelomičnih zbroja:

itd. Dakle, parcijalni zbroji koji završavaju na pojmove 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j premašuju parcijalne zbrojeve divergentnog niza (6), te stoga niz (14) mora divergirati.

Apsolutna i uvjetna konvergencija.

Za linije poput

metoda usporedbe nije primjenjiva, jer pojmovi ove serije imaju različite predznake. Kada bi svi članovi niza (15) bili pozitivni, dobili bismo niz (3) za koji je poznato da konvergira. Može se pokazati da to podrazumijeva i konvergenciju niza (15). Kada se promjenom predznaka negativnih članova niza u suprotne može pretvoriti u konvergentni, kažu da je izvorni niz apsolutno konvergira.

Izmjenični harmonijski niz (1) nije apsolutno konvergentan, budući da niz (14), koji se sastoji od istih, ali samo pozitivnih članova, ne konvergira. Međutim, uz pomoć posebnih kriterija konvergencije za izmjenične nizove može se pokazati da red (1) zapravo konvergira. Konvergentni niz koji ne konvergira apsolutno naziva se uvjetno konvergentan.

Operacije s redovima.

Na temelju definicije konvergentnog niza, lako je pokazati da njegova konvergencija nije narušena brisanjem ili dodjeljivanjem konačnog broja pojmova, kao i množenjem ili dijeljenjem svih članova niza istim brojem ( naravno, dijeljenje s 0 je isključeno). Za bilo koje preuređenje članova apsolutno konvergentnog niza, njegova se konvergencija ne krši, a zbroj se ne mijenja. Na primjer, budući da je zbroj niza (2) 1, zbroj niza

također je jednak 1, budući da se ovaj niz dobiva iz niza (2) zamjenom susjednih članova (1. član s 2. itd.). Možete proizvoljno promijeniti redoslijed članova apsolutno konvergentnog niza, sve dok su svi članovi izvornog niza prisutni u novom nizu. S druge strane, preuređivanje članova uvjetno konvergentnog niza može promijeniti njegov zbroj, pa čak i učiniti ga divergentnim. Štoviše, uvjeti uvjetno konvergentnog niza uvijek se mogu preurediti tako da konvergiraju bilo kojem unaprijed određenom zbroju.

Dvije konvergentne serije S a n i S b n može se dodavati (ili oduzimati) pojam po član, tako da se zbroj novog niza (koji također konvergira) dodaje zbrojima izvornog niza, u našoj notaciji

Pod dodatnim uvjetima, na primjer, ako se oba niza apsolutno konvergiraju, mogu se međusobno pomnožiti, kao što se radi za konačne zbrojeve, a rezultirajući dvostruki niz ( Pogledaj ispod) će konvergirati umnošku zbroja izvornog niza.

Sumabilnost.

Unatoč činjenici da se naša definicija konvergencije beskonačnog niza čini prirodnom, ona nije jedina moguća. Zbroj beskonačnog niza može se odrediti i na druge načine. Razmotrimo, na primjer, niz (7), koji se može sažeto napisati kao

Kao što smo već rekli, njegovi parcijalni zbroji naizmjenično poprimaju vrijednosti 1 i 0, pa se stoga niz ne konvergira. Ali ako naizmjence formiramo uparne prosjeke njegovih parcijalnih zbroja (trenutni prosjek), t.j. Ako prvo izračunamo prosjek prvog i drugog parcijalnog zbroja, zatim prosjek drugog i trećeg, trećeg i četvrtog itd., tada će svaki takav prosjek biti jednak 1/2, pa će stoga granica parnih prosjeka također biti jednak 1/2. U ovom slučaju se kaže da je niz zbrojiv navedenom metodom i da je njegov zbroj jednak 1/2. Predložene su mnoge metode zbrajanja koje omogućuju pripisivanje zbroja prilično velikim klasama divergentnih redova i na taj način korištenje nekih divergentnih redova u izračunima. Za većinu je namjena metoda zbrajanja korisna, međutim, samo ako, primijenjena na konvergentni niz, daje svoj konačni zbroj.

Serija sa složenim pojmovima.

Do sada smo prešutno pretpostavljali da imamo posla samo s realnim brojevima, ali sve definicije i teoremi vrijede za nizove s kompleksnim brojevima (osim što zbrojevi koji se mogu dobiti preuređivanjem članova uvjetno konvergentnih nizova ne mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti).

funkcionalni redovi.

Kao što smo već primijetili, članovi beskonačnog niza mogu biti ne samo brojevi, već i funkcije, npr.

Zbroj takvog niza je također funkcija čija se vrijednost u svakoj točki dobiva kao granica parcijalnih zbroja izračunatih u toj točki. Na sl. 1 prikazuje grafikone nekoliko parcijalnih zbroja i zbroj niza (s x, varira od 0 do 1); s n(x) znači zbroj prvog nčlanova. Zbroj niza je funkcija jednaka 1 pri 0 J x x = 1. Funkcionalni nizovi mogu konvergirati za iste vrijednosti x i ne slažu se s drugima; u našem primjeru, niz konvergira na –1J x x.

Zbroj funkcionalnog niza može se razumjeti na različite načine. U nekim je slučajevima važnije znati da su parcijalni zbrojevi bliski (u ovom ili onom smislu) nekoj funkciji na cijelom intervalu ( a, b) nego dokazati konvergenciju ili divergenciju niza u pojedinim točkama. Na primjer, označavajući djelomični zbroj n-th red do kraja s n(x), kažemo da red konvergira u srednjem kvadratu prema zbroju s(x), ako

Niz se može konvergirati u srednjem kvadratu čak i ako se ne konvergira ni u jednoj točki. Postoje i druge definicije konvergencije funkcionalnog niza.

Neke funkcionalne serije nazvane su prema funkcijama koje uključuju. Kao primjer možemo dati redove stepena i njihove sume:

Prvi od ovih nizova konvergira za sve x. Drugi red konvergira za | x| r x r x| J 1 ako r> 0 (osim kada r je nenegativan cijeli broj; u potonjem slučaju, niz završava nakon konačnog broja članova). Formula (17) naziva se binomna ekspanzija za proizvoljni stupanj.

Dirichletova serija.

Dirichletovi redovi su funkcionalni nizovi oblika S (1/ a n x), gdje su brojevi a n povećati neograničeno; Primjer Dirichletovog niza je Riemannova zeta funkcija

Dirichletovi redovi se često koriste u teoriji brojeva.

trigonometrijski niz.

Ovo je naziv funkcionalnog niza koji sadrži trigonometrijske funkcije; trigonometrijski redovi posebne vrste koji se koriste u harmonijskoj analizi nazivaju se Fourierovi redovi. Primjer Fourierove serije je serija

F( x), koji ima sljedeće svojstvo: ako uzmemo određeni djelomični zbroj niza (18), na primjer, zbroj njegova prva tri člana, tada razlika između f(x) i ovaj djelomični zbroj izračunat za neku vrijednost x, bit će mala za sve vrijednosti x blizu 0. Drugim riječima, iako ne možemo postići dobru aproksimaciju funkcije f(x) u bilo kojoj određenoj točki x, daleko od nule, uzimajući čak i vrlo mnogo pojmova serije, ali za x blizu 0, samo nekoliko njegovih pojmova daje vrlo dobru aproksimaciju. Takvi se redovi nazivaju asimptotski. U numeričkim izračunima, asimptotski su redovi obično korisniji od konvergentnih, budući da pružaju prilično dobru aproksimaciju uz pomoć malog broja članova. Asimptotski nizovi se široko koriste u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj fizici.

Dvostruki redovi.

Ponekad morate zbrojiti dvodimenzionalne nizove brojeva

Možemo zbrojiti red po red, a zatim zbrojiti zbrojeve redaka. Općenito govoreći, nemamo posebnog razloga da preferiramo retke u odnosu na stupce, ali ako se zbrajanje prvo vrši preko stupaca, rezultat može biti drugačiji. Na primjer, razmotrite dvostruki red

Ovdje svaki red konvergira u zbroj jednak 0, pa je zbroj zbroja reda također jednak nuli. S druge strane, zbroj članova prvog stupca je 1, a svih ostalih stupaca je 0, tako da je zbroj zbroja nad stupcima 1. Jedini "prikladni" konvergentni dvostruki nizovi su apsolutno konvergentni dvostruki nizovi : mogu se zbrajati po recima ili stupcima, kao i na bilo koji drugi način, a iznos je uvijek isti. Ne postoji prirodna definicija uvjetne konvergencije dvostrukih nizova.

Osnovne definicije.

Definicija. Zove se zbroj članova beskonačnog niza brojeva numerički niz.

U isto vrijeme, brojke
zvat će se članovi serije, i u nčest je član serije.

Definicija. Zbroji
,n = 1, 2, … pozvao privatni (djelomični) iznosi red.

Stoga je moguće razmotriti nizove parcijalnih zbroja niza S 1 , S 2 , …, S n , …

Definicija. Red
pozvao konvergentan ako se niz njegovih parcijalnih zbroja konvergira. Zbroj konvergentnog niza je granica niza njegovih parcijalnih zbroja.

Definicija. Ako se slijed parcijalnih zbroja niza razilazi, t.j. nema ograničenja ili ima beskonačnu granicu, tada se niz naziva odvojit i nikakav iznos mu nije dodijeljen.

svojstva reda.

1) Konvergencija ili divergencija niza neće biti narušena ako promijenite, odbacite ili dodate konačan broj članova u niz.

2) Razmotrimo dva reda
i
, gdje je C konstantan broj.

Teorema. Ako je red
konvergira i njegov zbroj jeS, zatim red
također konvergira, a njegov zbroj je CS. (C  0)

3) Razmotrimo dva reda
i
.iznos ili razlika ovi će se redovi zvati red
, gdje se elementi dobivaju kao rezultat zbrajanja (oduzimanja) izvornih elemenata s istim brojevima.

Teorema. Ako su redovi
i
konvergiraju i njihovi su sumi jednaki.Si , zatim red
također konvergira i njegov je zbroj jednakS +  .

Razlika dvaju konvergentnih nizova također će biti konvergentni niz.

Zbroj konvergentnog i divergentnog niza bit će divergentni niz.

Nemoguće je dati opću tvrdnju o zbroju dva divergentna niza.

Kod proučavanja nizova uglavnom se rješavaju dva problema: proučavanje konvergencije i pronalaženje zbroja niza.

Cauchyjev kriterij.

(nužni i dovoljni uvjeti za konvergenciju niza)

Da bi slijed
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo
postojao je brojN, koji nan > Ni bilo kojestr> 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi sljedeća nejednakost:

.

Dokaz. (potreba)

Neka bude
, zatim za bilo koji broj
postoji broj N takav da je nejednakost

izvodi se za n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0, također vrijedi nejednakost
. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobivamo:

Potreba je dokazana. Dokaz dovoljnosti nećemo razmatrati.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za niz.

Da bi za broj
bio konvergentan nužan i dovoljan da za bilo
postojao je brojNtakav da kodn> Ni bilo kojestr>0 bi zadovoljilo nejednakost

.

Međutim, u praksi nije baš zgodno koristiti Cauchyjev kriterij izravno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji kriteriji konvergencije:

1) Ako je red
konvergira, potrebno je da zajednički pojam u n gravitirao prema nuli. Međutim, ovaj uvjet nije dovoljan. Možemo samo reći da ako zajednički pojam ne teži nuli, tada se niz točno razilazi. Na primjer, takozvani harmonijski niz je divergentan, iako njegov zajednički izraz teži nuli.

Primjer. Istražiti konvergenciju niza

Nađimo
- nije zadovoljen nužni kriterij konvergencije pa se niz divergira.

2) Ako red konvergira, tada je niz njegovih parcijalnih zbroja omeđen.

Međutim, ova značajka također nije dovoljna.

Na primjer, niz 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergira jer slijed njegovih parcijalnih zbroja divergira zbog činjenice da

Međutim, u ovom slučaju slijed parcijalnih zbroja je ograničen, jer
za bilo koje n.

Serija s nenegativnim pojmovima.

Kada proučavamo nizove s konstantnim predznakom, ograničavamo se na razmatranje nizova s ​​nenegativnim članovima, budući da kada se jednostavno pomnože s -1, ovi se nizovi mogu koristiti za dobivanje nizova s ​​negativnim članovima.

Teorema. Za konvergenciju serije
kod nenegativnih članova potrebno je i dovoljno da parcijalni zbrojevi niza budu ograničeni.

Znak usporedbe serija s nenegativnim članovima.

Neka budu dva reda
i
na u n , v n  0 .

Teorema. Ako je a u n  v n za bilo koje n, zatim iz konvergencije niza
prati konvergenciju niza
, te od divergencije serije
prati divergenciju serije
.

Dokaz. Označiti sa S n i  n djelomični zbrojevi nizova
i
. Jer prema teoremu, niz
konvergira, tada su njegovi parcijalni zbroji ograničeni, tj. za sve n n  M, gdje je M neki broj. Ali pošto u n  v n, onda S n   n zatim djelomični zbrojevi niza
također su ograničeni, a to je dovoljno za konvergenciju.

Primjer. Istražite nizove konvergencije

Jer
, i harmonijski niz divergira, onda se niz razilazi
.

Primjer.

Jer
, i red
konvergira (kao opadajuća geometrijska progresija), zatim niz
konvergira također.

Također se koristi sljedeći kriterij konvergencije:

Teorema. Ako je a
i postoji granica
, gdjehje broj različit od nule, zatim niz
i
ponašaju se na isti način u smislu konvergencije.

Znak d'Alemberta.

(Jean Leron d'Alembert (1717. - 1783.) - francuski matematičar)

Ako za seriju
uz pozitivne pojmove, postoji brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost

zatim red
konvergira ako je za sve dovoljno velikonstanje

zatim red
razilazi se.

Ograničavajući znak d'Alemberta.

Ograničavajući d'Alembertov test posljedica je gornjeg d'Alembertovog testa.

Ako postoji granica
, zatim na < 1 ряд сходится, а при  > 1 - divergira. Ako je a = 1, onda se na pitanje konvergencije ne može odgovoriti.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza .

Zaključak: niz se konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza

Zaključak: niz se konvergira.

Cauchyjev znak. (radikalni znak)

Ako za seriju
s nenegativnim članovima postoji brojq<1, что для всех достаточно больших nnejednakost

,

zatim red
konvergira ako je za sve dovoljno velikonnejednakost

zatim red
razilazi se.

Posljedica. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд сходится, а при >1 red se razilazi.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza
.

Zaključak: niz se konvergira.

Primjer. Odrediti konvergenciju niza
.

Oni. Cauchyjev kriterij ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji niza. Provjerimo ispunjenje potrebnih uvjeta konvergencije. Kao što je gore spomenuto, ako se niz konvergira, tada zajednički član niza teži nuli.

,

dakle, nužni uvjet za konvergenciju nije zadovoljen, što znači da red divergira.

Integralni Cauchyjev test.

Ako je a (x) je kontinuirana pozitivna funkcija koja se smanjuje na intervalu i
zatim integrali
i
ponašaju se isto u smislu konvergencije.

Promjenjivi redovi.

Naizmjenični redovi.

Izmjenični niz može se napisati kao:

gdje

Leibnizov znak.

Ako je izmjenična serija apsolutne vrijednostiu i smanjenje
a zajednički pojam teži nuli
, tada se niz konvergira.

Apsolutna i uvjetna konvergencija nizova.

Razmotrimo neke izmjenične nizove (s terminima proizvoljnih predznaka).

(1)

i niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova niza (1):

(2)

Teorema. Konvergencija niza (2) podrazumijeva konvergenciju niza (1).

Dokaz. Serija (2) je pored nenegativnih pojmova. Ako niz (2) konvergira, tada prema Cauchyjevom kriteriju za bilo koji >0 postoji broj N takav da je za n>N i bilo koji cijeli broj p>0 istinita sljedeća nejednakost:

Prema svojstvu apsolutnih vrijednosti:

Odnosno, prema Cauchyjevom kriteriju, konvergencija niza (2) implicira konvergenciju niza (1).

Definicija. Red
pozvao apsolutno konvergentan ako se niz konvergira
.

Očito se za nizove konstantnog predznaka koncepti konvergencije i apsolutne konvergencije podudaraju.

Definicija. Red
pozvao uvjetno konvergentan, ako konvergira, i niz
razilazi se.

d'Alembertov i Cauchyjev test za izmjenične serije.

Neka bude
- izmjenične serije.

Znak d'Alemberta. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд
bit će apsolutno konvergentna, a kada >

Cauchyjev znak. Ako postoji granica
, zatim na <1 ряд
bit će apsolutno konvergentna, a kada >1 red će biti divergentan. Kada je =1, znak ne daje odgovor o konvergenciji niza.

Svojstva apsolutno konvergentnih redova.

1) Teorema. Za apsolutnu konvergenciju niza
potrebno je i dovoljno da se može predstaviti kao razlika dvaju konvergentnih nizova s ​​nenegativnim članovima.

Posljedica. Uvjetno konvergentni niz je razlika dvaju divergentnih nizova s ​​nenegativnim članovima koji teže nuli.

2) U konvergentnom nizu, svako grupiranje članova niza koje ne mijenja njihov redoslijed čuva konvergenciju i veličinu niza.

3) Ako niz konvergira apsolutno, tada se niz dobiven iz njega bilo kojom permutacijom članova također apsolutno konvergira i ima isti zbroj.

Preuređivanjem uvjeta uvjetno konvergentnog niza, može se dobiti uvjetno konvergentan niz koji ima bilo koji unaprijed određeni zbroj, pa čak i divergentni niz.

4) Teorema. Uz bilo koje grupiranje članova apsolutno konvergentnog niza (u ovom slučaju, broj grupa može biti i konačan i beskonačan, a broj članova u skupini može biti konačan ili beskonačan), dobiva se konvergentni niz, zbroj od kojih je jednak zbroju izvornog niza.

5) Ako su redovi i apsolutno konvergiraju i njihovi zbroji su jednaki. S i , zatim niz sastavljen od svih proizvoda oblika
uzet bilo kojim redoslijedom, također apsolutno konvergira i njegov je zbroj jednak S - umnožak zbroja pomnoženog niza.

Ako se, međutim, množi uvjetno konvergentni niz, tada rezultat može biti divergentni niz.

Funkcionalne sekvence.

Definicija. Ako članovi niza nisu brojevi, već funkcije iz x, tada se serija zove funkcionalna.

Proučavanje konvergencije funkcionalnih nizova teže je od proučavanja numeričkih nizova. Isti funkcionalni niz može, za iste vrijednosti varijable x konvergiraju, au drugima - razilaze se. Stoga se pitanje konvergencije funkcionalnih nizova svodi na određivanje tih vrijednosti varijable x za koje se niz konvergira.

Skup takvih vrijednosti naziva se regija konvergencije.

Budući da je granica svake funkcije uključene u područje konvergencije niza određeni broj, tada će granica funkcionalnog niza biti određena funkcija:

Definicija. Slijed ( f n (x) } konvergira funkcionirati f(x) na segmentu , ako je za bilo koji broj >0 i bilo koju točku x iz segmenta koji se razmatra postoji broj N = N(, x) takav da je nejednakost

izvodi se za n>N.

Uz odabranu vrijednost >0, svaka točka segmenta odgovara svom broju i stoga će postojati beskonačan broj brojeva koji odgovaraju svim točkama segmenta. Ako odaberete najveći od svih ovih brojeva, tada će ovaj broj biti prikladan za sve točke segmenta, tj. bit će zajednička za sve točke.

Definicija. Slijed ( f n (x) } konvergira jednoliko funkcionirati f(x) na intervalu ako za bilo koji broj >0 postoji broj N = N() takav da je nejednakost

izvodi se za n>N za sve točke segmenta .

Primjer. Razmotrite slijed

Ovaj niz konvergira na cijeloj brojevnoj osi funkciji f(x)=0 , jer

Nacrtajmo ovaj niz:

sinx

Kao što se može vidjeti, kako se broj povećava n graf slijeda približava se osi x.

funkcionalni redovi.

Definicija. Privatni (djelomični) iznosi funkcionalni raspon
funkcije se pozivaju

Definicija. Funkcionalni raspon
pozvao konvergentan u točki ( x=x 0 ) ako slijed njegovih parcijalnih zbroja konvergira u ovoj točki. Ograničenje redoslijeda
pozvao iznos red
u točki x 0 .

Definicija. Skup svih vrijednosti x, za koji se niz konvergira
pozvao regija konvergencije red.

Definicija. Red
pozvao jednoliko konvergentan na segmentu ako slijed parcijalnih zbroja ovog niza jednoliko konvergira na ovom segmentu.

Teorema. (Cauchyjev kriterij za jednoliku konvergenciju niza)

Za jednoliku konvergenciju niza
potrebno i dovoljno da za bilo koji broj >0 postojao je takav brojN( ), koji nan> Ni bilo koje cjelinestr>0 nejednakosti

vrijedi za sve x na segmentu [a, b].

Teorema. (Weierstrassov test uniformne konvergencije)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. - 1897.) - njemački matematičar)

Red
konvergira jednoliko i apsolutno na segmentu [a, b], ako moduli njegovih članova na istom segmentu ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog numeričkog niza s pozitivnim članovima:

oni. postoji nejednakost:

.

Također kažu da je u ovom slučaju funkcionalna serija
diplomirao numerički niz
.

Primjer. Istražite nizove konvergencije
.

Kao
uvijek, očito je da
.

Poznato je da opći harmonijski niz konvergira kada je =3>1, tada, u skladu s Weierstrassovim testom, proučavani niz konvergira jednoliko i, štoviše, u bilo kojem intervalu.

Primjer. Istražite nizove konvergencije .

Na segmentu [-1,1] nejednakost
oni. prema Weierstrassovom testu, proučavani niz konvergira na ovom segmentu, a divergira na intervalima (-, -1)  (1, ).

Svojstva jednoliko konvergentnih redova.

1) Teorem o kontinuitetu zbroja niza.

Ako članovi serije
- kontinuirano na intervalu [a, b] i red konvergira jednoliko, zatim njegov zbrojS(x) je kontinuirana funkcija na segmentu [a, b].

2) Teorem o integraciji niza po članu.

Ravnomjerno konvergentno na segmentu [a, b] niz s kontinuiranim članovima može se integrirati pojam po član na ovom segmentu, t.j. niz sastavljen od integrala njegovih članova u intervalu [a, b] , konvergira integralu zbroja niza nad ovim segmentom.

3) Teorem o diferencijaciji niza po članu.

Ako članovi serije
konvergirajući na segmentu [a, b] su kontinuirane funkcije s kontinuiranim derivacijama i nizovi sastavljeni od tih derivacija
konvergira jednoliko na ovom intervalu, tada se zadani niz također jednoliko konvergira i može se diferencirati član po član.

Na temelju činjenice da je zbroj niza neka funkcija varijable x, možete izvesti operaciju predstavljanja funkcije kao niza (proširivanje funkcije u niz), koja se široko koristi u integraciji, diferencijaciji i drugim operacijama s funkcijama.

U praksi se često koristi proširenje funkcija u potencijski niz.

Serija snage.

Definicija. snaga sljedeća zove se serija

.

Za proučavanje konvergencije potencijskih redova prikladno je koristiti d'Alembertov test.

Primjer. Istražite nizove konvergencije

Primjenjujemo d'Alembertov znak:

.

Nalazimo da se ovaj niz konvergira na
i razilazi se na
.

Sada definirajmo konvergenciju u graničnim točkama 1 i –1.

Za x = 1:
Niz konvergira prema Leibnizovom testu (vidi sl. Leibnizov znak.).

Za x = -1:
niz divergira (harmonijski niz).

Abelove teoreme.

(Niels Henrik Abel (1802. - 1829.) - norveški matematičar)

Teorema. Ako je niz snaga
konvergira nax = x 1 , onda konvergira i, štoviše, apsolutno za sve
.

Dokaz. Prema uvjetu teorema, budući da su članovi niza ograničeni, onda

gdje k je neki konstantan broj. Sljedeća nejednakost je tačna:

Iz ove nejednakosti se vidi da x< x 1 numeričke vrijednosti članova našeg niza bit će manje (u svakom slučaju, ne više) od odgovarajućih članova niza na desnoj strani gore napisane nejednakosti, koji tvore geometrijsku progresiju. Nazivnik ove progresije prema uvjetu teorema manji je od jedan, dakle, ova progresija je konvergentan niz.

Stoga na temelju usporednog testa zaključujemo da je serija
konvergira, što znači niz
apsolutno konvergira.

Dakle, ako je red snage
konvergira u točki x 1 , tada konvergira apsolutno u bilo kojoj točki intervala duljine 2 centriran na točku x = 0.

Posljedica. Ako na x = x 1 serija divergira, onda se razilazi za sve
.

Dakle, za svaki niz stupnjeva postoji pozitivan broj R takav da za sve x takav da
niz konvergira apsolutno, i za sve
red se razilazi. U ovom slučaju se zove broj R polumjer konvergencije. Interval (-R, R) se zove interval konvergencije.

Imajte na umu da ovaj interval može biti zatvoren s jedne ili dvije strane, a ne zatvoren.

Polumjer konvergencije može se pronaći pomoću formule:

Primjer. Pronađite područje konvergencije niza

Pronalaženje polumjera konvergencije
.

Stoga, ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost x. Zajednički pojam ove serije teži nuli.

Teorema. Ako je niz snaga
konvergira za pozitivnu vrijednost x=x 1 , tada jednoliko konvergira u bilo kojem unutarnjem intervalu
.

Radnje s nizom potenciranja.

Redovi za čajnike. Primjeri rješenja

Svi preživjeli dobrodošli u drugu godinu! U ovoj lekciji, odnosno u nizu lekcija, naučit ćemo kako upravljati redovima. Tema nije jako teška, ali da biste je svladali trebat će vam znanje iz prvog tečaja, posebno morate razumjeti koja je granica, i moći pronaći najjednostavnije granice. Međutim, u redu je, tijekom objašnjenja dat ću odgovarajuće poveznice na potrebne lekcije. Nekim čitateljima tema matematičkih nizova, metoda rješavanja, znakova, teorema može se činiti osebujnom, pa čak i pretencioznom, apsurdnom. U ovom slučaju ne morate puno “opteretiti”, prihvaćamo činjenice kakve jesu i jednostavno učimo rješavati tipične, uobičajene zadatke.

1) Redovi za čajnike, a za samovare odmah zadovoljan :)

Za ultrabrzu pripremu na temu postoji ekspresni tečaj u pdf formatu, uz pomoć kojeg je zaista moguće "podići" praksu u samo jednom danu.

Koncept brojevnog niza

Općenito brojevni niz može se napisati ovako:
Ovdje:
- matematička ikona zbroja;
– zajednički pojam serije(sjetite se ovog jednostavnog izraza);
- varijabla - "brojac". Zapis znači da se zbrajanje provodi od 1 do "plus beskonačnost", to jest, prvo imamo , zatim , zatim , i tako dalje - do beskonačnosti. Varijabla ili se ponekad koristi umjesto varijable. Zbrajanje ne počinje nužno od jedan, u nekim slučajevima može početi od nule, od dva ili od bilo kojeg prirodni broj.

U skladu s varijablom "counter", bilo koja serija može se detaljno oslikati:
– i tako u nedogled.

Pojmovi - Ovo BROJEVI, koji se zovu članova red. Ako su svi nenegativni (veće ili jednako nuli), onda se takav niz zove pozitivni brojevni pravac.

Primjer 1

Usput, ovo je već "borbeni" zadatak - u praksi je često potrebno snimiti nekoliko članova serije.

Prvo, zatim:
Onda, onda:
Onda, onda:

Proces se može nastaviti unedogled, ali prema uvjetu je bilo potrebno napisati prva tri člana niza, pa zapisujemo odgovor:

Obratite pažnju na temeljnu razliku od brojčani niz,
u kojem se pojmovi ne zbrajaju, već se tako tretiraju.

Primjer 2

Zapišite prva tri člana niza

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.

Čak i za naizgled složenu seriju, nije je teško opisati u proširenom obliku:

Primjer 3

Zapišite prva tri člana niza

Zapravo, zadatak se izvodi usmeno: mentalno zamjena u zajedničkom terminu serije prvo, zatim i. Eventualno:

Ostavite odgovor ovako bolje je ne pojednostavljivati ​​dobivene pojmove niza, tj ne udovoljavaju radnje: , , . Zašto? Odgovorite u obrascu učitelju mnogo lakše i praktičnije provjeriti.

Ponekad postoji i obrnuto

Primjer 4

Ovdje nema jasnog algoritma rješenja. samo morate vidjeti uzorak.
U ovom slučaju:

Za provjeru, rezultirajuća serija može se "obojiti natrag" u proširenom obliku.

Ali primjer je malo teži za samostalno rješenje:

Primjer 5

Napišite zbroj u sažetom obliku sa zajedničkim članom niza

Provjerite ponovno tako da napišete seriju u proširenom obliku

Konvergencija brojevnih nizova

Jedan od ključnih ciljeva teme je ispitivanje niza na konvergenciju. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Redrazilazi se. To znači da je beskonačan zbroj jednak beskonačnosti: bilo koji zbroj općenito ne postoji, kao npr. u seriji
(usput, ovdje je primjer serije s negativnim pojmovima). Dobar primjer divergentnog niza brojeva naišao je na početku lekcije: . Ovdje je sasvim očito da je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog, dakle i stoga se serija razilazi. Još trivijalniji primjer: .

2) Redkonvergira. To znači da je beskonačan zbroj jednak nekom konačni broj: . Nema na čemu: Ovaj niz konvergira i njegov zbroj je nula. Smisaoniji primjer je beskonačno opadajući geometrijska progresija, poznata nam od škole: . Zbroj članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije izračunava se po formuli: , gdje je prvi član progresije, a njegova baza, koja se u pravilu piše kao ispravan razlomci. U ovom slučaju: , . Tako: Dobiva se konačan broj, što znači da red konvergira, što je i trebalo dokazati.

Međutim, u velikoj većini slučajeva pronađite zbroj niza nije tako jednostavno, pa se stoga u praksi za proučavanje konvergencije niza koriste posebni znakovi, koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko znakova konvergencije niza: nužni kriterij za konvergenciju niza, kriteriji usporedbe, d'Alembertov kriterij, Cauchyjev kriterij, znak Leibniza i neki drugi znakovi. Kada primijeniti koji znak? Ovisi o uobičajenom terminu serije, slikovito rečeno – o “nadevu” serije. I vrlo brzo ćemo sve staviti na police.

! Za daljnje učenje trebate dobro razumjeti, što je granica i dobro je moći otkriti nesigurnost forme. Za ponavljanje ili proučavanje materijala pogledajte članak Ograničenja. Primjeri rješenja.

Neophodan kriterij za konvergenciju niza

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli: .

Obratno nije točno u općem slučaju, tj. ako , tada se nizovi mogu i konvergirati i divergirati. I tako se ovaj znak koristi za opravdanje divergencija red:

Ako je zajednički pojam serije ne ide na nulu, tada se serija razilazi

Ili ukratko: ako , onda se niz razilazi. Konkretno, moguća je situacija kada granica uopće ne postoji, kao npr. ograničiti. Ovdje su odmah potkrijepili divergenciju jedne serije :)

No mnogo je češće granica divergentnog niza jednaka beskonačnosti, dok umjesto "x" djeluje kao "dinamička" varijabla. Osvježimo znanje: granice s "x" nazivaju se granicama funkcija, a granice s varijablom "en" - granicama brojčanih nizova. Očigledna razlika je u tome što varijabla "en" uzima diskretne (diskontinuirane) prirodne vrijednosti: 1, 2, 3, itd. Ali ta činjenica malo utječe na metode rješavanja granica i metode otkrivanja nesigurnosti.

Dokažimo da se niz iz prvog primjera divergira.
Uobičajeni član serije:

Zaključak: red razilazi se

Potrebna značajka često se koristi u stvarnim praktičnim zadacima:

Primjer 6

U brojniku i nazivniku imamo polinome. Onaj tko je pažljivo pročitao i shvatio način otkrivanja nesigurnosti u članku Ograničenja. Primjeri rješenja, sigurno je to shvatio kada su najveće potencije brojnika i nazivnika jednak, onda je granica konačni broj .

Podijelite brojnik i nazivnik sa

Studijska serija razilazi se, budući da nužni kriterij za konvergenciju niza nije zadovoljen.

Primjer 7

Ispitajte konvergenciju niza

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Dakle, kada nam se da BILO KOJI broj brojeva, prvenstveno provjeravamo (mentalno ili na nacrt): teži li njegov zajednički izraz nuli? Ako ne teži, izrađujemo rješenje po primjeru primjera br. 6, 7 i dajemo odgovor da se niz razilazi.

Koje smo vrste naizgled divergentnih nizova razmatrali? Odmah je jasno da se redovi poput ili razilaze. Serija iz primjera br. 6, 7 također se razilazi: kada brojnik i nazivnik sadrže polinome, a najviši stupanj brojnika je veći ili jednak najvišem stupnju nazivnika. U svim tim slučajevima pri rješavanju i oblikovanju primjera koristimo se potrebnim kriterijem za konvergenciju niza.

Zašto se znak zove potrebno? Shvatite na najprirodniji način: kako bi se niz konvergirao, potrebno tako da njegov zajednički pojam teži nuli. I sve bi bilo u redu, ali ovo nedovoljno. Drugim riječima, ako zajednički član niza teži nuli, TO NE ZNAČI da se niz konvergira- može se i konvergirati i razilaziti!

Upoznajte:

Ovaj red se zove harmonijski niz. Molim te zapamti! Među brojčanim serijama primabalerina je. Točnije balerina =)

Lako je to vidjeti , ALI. U teoriji matematičke analize se dokazuje da harmonijski niz se razilazi.

Također biste trebali zapamtiti koncept generaliziranog harmonijskog niza:

1) Ovaj red razilazi se na . Na primjer, nizovi se razilaze, , .
2) Ovaj red konvergira na . Na primjer, serija , , . Još jednom naglašavam da nam u gotovo svim praktičnim zadacima uopće nije važno koliki je zbroj npr. niza, važna je sama činjenica njegove konvergencije.

To su elementarne činjenice iz teorije redova koje su već dokazane, a pri rješavanju nekog praktičnog primjera može se sa sigurnošću pozvati npr. na divergenciju niza ili na konvergenciju niza.

Općenito, materijal koji se razmatra vrlo je sličan proučavanje nepravih integrala, a onima koji su proučavali ovu temu bit će lakše. Pa za one koji nisu studirali duplo je lakše :)

Dakle, što učiniti ako zajednički pojam serije IDE na nulu? U takvim slučajevima, da biste riješili primjere, trebate koristiti druge, dovoljan znakovi konvergencije/divergencije:

Kriteriji za usporedbu pozitivnih brojeva

skrećem vam pažnju da je ovdje riječ samo o pozitivnim brojevnim nizovima (s nenegativnim članovima).

Postoje dva znaka usporedbe, jedan od njih jednostavno ću nazvati znak za usporedbu, drugi - granični znak usporedbe.

Prvo razmotrite znak za usporedbu, bolje rečeno, prvi dio:

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako se zna, da je red konvergira, i, počevši od nekog broja , vrijedi nejednakost, zatim niz konvergira također.

Drugim riječima: Konvergencija niza s većim članovima podrazumijeva konvergenciju niza s manjim članovima. U praksi, nejednakost je često općenito zadovoljena za sve vrijednosti:

Primjer 8

Ispitajte konvergenciju niza

Prvo, provjeravamo(mentalno ili na nacrt) izvršenje:
, što znači da se nije moglo “svući s malo krvi”.

Gledamo u "paket" generaliziranog harmonijskog niza i, fokusirajući se na najviši stupanj, nalazimo sličan niz: Iz teorije je poznato da konvergira.

Za sve prirodne brojeve vrijedi očita nejednakost:

a veći nazivnici odgovaraju manjim razlomcima:
, što znači da se prema kriteriju usporedbe proučavana serija konvergira zajedno sa pored .

Ako sumnjate, nejednakost se uvijek može detaljno oslikati! Zapišimo konstruiranu nejednakost za nekoliko brojeva "en":
Ako tada
Ako tada
Ako tada
Ako tada
….
a sada je sasvim jasno da je nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve "en".

Analizirajmo kriterij usporedbe i riješeni primjer s neformalnog stajališta. Ipak, zašto se niz konvergira? Evo zašto. Ako se niz konvergira, onda ima nešto konačni iznos : . A budući da svi članovi serije manji odgovarajući članovi niza, onda je panj jasan da zbroj niza ne može biti veći od broja , a još više od toga, ne može biti jednak beskonačnosti!

Slično, možemo dokazati konvergenciju "sličnih" nizova: , , itd.

! Bilješka da u svim slučajevima imamo “plus” u nazivnicima. Prisutnost barem jednog minusa može ozbiljno zakomplicirati korištenje razmatranog značajka usporedbe. Na primjer, ako se niz na isti način usporedi s konvergentnim nizom (za prve članove napiše nekoliko nejednakosti), tada uvjet uopće neće biti ispunjen! Ovdje možete izbjeći i odabrati za usporedbu drugu konvergentnu seriju, na primjer, , ali to će za sobom povlačiti nepotrebne rezervacije i druge nepotrebne poteškoće. Stoga je za dokazivanje konvergencije niza mnogo lakše koristiti marginalni kriterij usporedbe(vidi sljedeći odlomak).

Primjer 9

Ispitajte konvergenciju niza

I u ovom primjeru predlažem da sami razmislite drugi dio značajke usporedbe:

Ako se zna, da je red razilazi se, i počevši od nekog broja (često od prve) vrijedi nejednakost, tada niz također razilazi.

Drugim riječima: Divergencija niza s manjim članovima podrazumijeva divergenciju niza s većim članovima.

Što treba učiniti?
Potrebno je usporediti proučavani niz s divergentnim harmonijskim nizom. Za bolje razumijevanje, konstruirajte neke specifične nejednakosti i uvjerite se da je nejednakost istinita.

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, u praksi se upravo razmatrana značajka usporedbe rijetko koristi. Pravi "radni konj" brojčanog niza je marginalni kriterij usporedbe, a u pogledu učestalosti korištenja, samo znak d'Alemberta.

Granični znak usporedbe brojčanih pozitivnih nizova

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je granica omjera zajedničkih članova ovih nizova jednaka konačan broj različit od nule: , tada se oba niza konvergiraju ili razilaze u isto vrijeme.

Kada se koristi kriterij granične usporedbe? Granični znak za usporedbu koristi se kada su "nadjev" serije polinomi. Ili jedan polinom u nazivniku, ili polinomi u brojniku i nazivniku. Po želji, polinomi mogu biti pod korijenima.

Pozabavimo se serijama za koje je zastao prethodni znak usporedbe.

Primjer 10

Ispitajte konvergenciju niza

Usporedi ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo granični test usporedbe. Poznato je da se niz konvergira. Ako možemo pokazati da jest konačni različit od nule broj, dokazat će se da i niz konvergira.

Dobiva se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .

Zašto je serija odabrana za usporedbu? Da smo odabrali bilo koji drugi niz iz "isječka" generaliziranog harmonijskog niza, onda ne bismo uspjeli u limitu konačni različit od nule brojevi (možete eksperimentirati).

Bilješka: kada koristimo značajku marginalne usporedbe, nebitno, kojim redoslijedom sastaviti odnos zajedničkih članova, u razmatranom primjeru odnos bi se mogao nacrtati obrnuto: - to ne bi promijenilo bit stvari.