Prosjek u matematici aritmetička vrijednost brojeva (ili samo prosjek) je zbroj svih brojeva u ovaj skup podijeljeno njihovim brojem. Ovo je najopćenitiji i najrašireniji koncept. Srednja veličina. Kao što ste već shvatili, da biste pronašli, morate zbrojiti sve brojeve koji su vam dani i rezultat podijeliti s brojem pojmova.

Što je aritmetička sredina?

Pogledajmo primjer.

Primjer 1. Zadani su brojevi: 6, 7, 11. Treba pronaći njihovu prosječnu vrijednost.

Riješenje.

Najprije pronađimo zbroj svih zadanih brojeva.

Sada dobiveni zbroj podijelimo s brojem članova. Budući da imamo tri člana, podijelit ćemo s tri.

Stoga je prosjek 6, 7 i 11 8. Zašto 8? Da, jer će zbroj 6, 7 i 11 biti isti kao tri osmice. To se jasno vidi na ilustraciji.

Prosječna vrijednost pomalo podsjeća na "poravnanje" niza brojeva. Kao što vidite, hrpe olovaka postale su jedna razina.

Razmotrite još jedan primjer kako biste učvrstili stečeno znanje.

Primjer 2 Zadani su brojevi: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Treba pronaći njihovu aritmetičku sredinu.

Riješenje.

Nalazimo zbroj.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podijelite s brojem pojmova (u ovom slučaju 15).

Stoga je prosječna vrijednost ovog niza brojeva 22.

Sada razmislite negativni brojevi. Prisjetimo se kako ih sažeti. Na primjer, imate dva broja 1 i -4. Nađimo njihov zbroj.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Znajući ovo, razmotrite još jedan primjer.

Primjer 3 Odredi srednju vrijednost niza brojeva: 3, -7, 5, 13, -2.

Riješenje.

Pronalaženje zbroja brojeva.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Budući da ima 5 članova, dobiveni zbroj podijelimo s 5.

Stoga je aritmetička sredina brojeva 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

U našem vremenu tehnološkog napretka, mnogo je prikladnije koristiti za pronalaženje prosječne vrijednosti računalni programi. Microsoft Office Excel je jedan od njih. Pronalaženje prosjeka u Excelu je brzo i jednostavno. Štoviše, ovaj je program uključen u programski paket Microsoft Officea. Smatrati kratke upute, vrijednost korištenja ovog programa.

Kako biste izračunali prosječnu vrijednost niza brojeva, morate koristiti funkciju AVERAGE. Sintaksa za ovu funkciju je:
=Prosjek(argument1, argument2, ... argument255)
gdje su argument1, argument2, ... argument255 ili brojevi ili reference ćelija (ćelije znače raspone i nizove).

Da bi bilo jasnije, testirajmo stečeno znanje.

1. U ćelije C1 - C6 upiši brojeve 11, 12, 13, 14, 15, 16.
2. Odaberite ćeliju C7 klikom na nju. U ovoj ćeliji prikazat ćemo prosječnu vrijednost.
3. Pritisnite karticu "Formule".
4. Odaberite Više funkcija > Statistički za otvaranje
5. Odaberite PROSJEČNO. Nakon toga bi se trebao otvoriti dijaloški okvir.
6. Odaberite i povucite ćelije C1-C6 tamo da postavite raspon u dijaloškom okviru.
7. Potvrdite svoje radnje tipkom OK.
8. Ako ste sve napravili kako treba, u ćeliji C7 bi trebao biti odgovor - 13.7. Kada kliknete na ćeliju C7, funkcija (=Prosjek(C1:C6)) će se prikazati u traci formule.

Vrlo je korisno koristiti ovu funkciju za računovodstvo, fakture ili kada samo trebate pronaći prosjek vrlo dugog raspona brojeva. Stoga se često koristi u uredima i velikim tvrtkama. To vam omogućuje da vodite evidenciju u redu i omogućuje brzo izračunavanje nečega (na primjer, prosječni mjesečni prihod). Također sa koristeći Excel možete pronaći srednju vrijednost funkcije.

Kako izračunati prosjek brojeva u Excelu

Pronađite srednju vrijednost aritmetički brojevi u Excelu možete koristiti .

Sintaksa AVERAGE

=PROSJEK(broj1,[broj2],…) - ruska verzija

Argumenti PROSJEČNO

• broj 1- prvi broj ili niz brojeva, za izračunavanje aritmetičke sredine;
• broj2(Neobavezno) – drugi broj ili niz brojeva za izračun aritmetičke sredine. Maksimalni iznos argumenti funkcije - 255.

Za izračun učinite sljedeće korake:

• Odaberite bilo koju ćeliju;
• U nju upiši formulu =PROSJEČNO(
• Odaberite raspon ćelija za koje želite napraviti izračun;
• Pritisnite tipku "Enter" na tipkovnici

Funkcija će izračunati prosječnu vrijednost u navedenom rasponu među ćelijama koje sadrže brojeve.

Kako pronaći prosječnu vrijednost zadanog teksta

Ako u rasponu podataka ima praznih redaka ili teksta, funkcija ih tretira kao "nulu". Ako podaci sadrže Booleovi izrazi FALSE ili TRUE, tada funkcija tretira FALSE kao "nulu", a TRUE kao "1".

Kako pronaći aritmetičku sredinu prema uvjetu

Funkcija se koristi za izračunavanje prosjeka prema uvjetu ili kriteriju. Na primjer, recimo da imamo podatke o prodaji proizvoda:

Naš zadatak je izračunati prosječnu prodaju olovaka. Da bismo to učinili, poduzet ćemo sljedeće korake:

• U ćeliji A13 napišite naziv proizvoda "Olovke";
• U ćeliji B13 unesimo formulu:

=PROSJEČNOIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Raspon ćelija “ A2:A10” pokazuje na popis proizvoda u kojem ćemo pretraživati ​​riječ „Olovke”. Argument A13 ovo je poveznica na ćeliju s tekstom koji ćemo tražiti među cijelim popisom proizvoda. Raspon ćelija “ B2:B10” je raspon s podacima o prodaji proizvoda među kojima će funkcija pronaći „Olovke” i izračunati prosječnu vrijednost.

Prosječna vrijednost je generalizirajući pokazatelj koji karakterizira tipičnu razinu fenomena. Izražava vrijednost atributa, povezanu s jedinicom populacije.

Prosječna vrijednost je:

1) najtipičnija vrijednost atributa za populaciju;

2) obujam znaka populacije, ravnomjerno raspoređen među jedinicama populacije.

Karakteristika za koju se izračunava prosječna vrijednost u statistici se naziva "prosječno".

Prosjek uvijek generalizira kvantitativnu varijaciju svojstva, tj. otplaćuju u prosječnim iznosima individualne razlike populacijskih jedinica zbog slučajnih okolnosti. Za razliku od prosjeka apsolutna vrijednost, koji karakterizira razinu atributa zasebne jedinice populacije, ne dopušta usporedbu vrijednosti atributa za jedinice koje pripadaju različitim populacijama. Dakle, ako je potrebno usporediti razine nagrađivanja radnika u dva poduzeća, onda je nemoguće uspoređivati ​​dva zaposlenika različitih poduzeća na ovoj osnovi. Plaće radnika odabranih za usporedbu možda nisu tipične za ta poduzeća. Ako uspoređujemo veličinu fondova plaća u promatranim poduzećima, tada se ne uzima u obzir broj zaposlenih te je stoga nemoguće utvrditi gdje je razina plaća viša. U konačnici, mogu se uspoređivati ​​samo prosjeci, tj. Koliko prosječno zarađuje jedan radnik u svakoj tvrtki? Stoga se nameće potreba za izračunavanjem prosječne vrijednosti kao generalizirajuće karakteristike populacije.

Važno je napomenuti da u procesu usrednjavanja agregatna vrijednost razina atributa ili njezina konačna vrijednost (u slučaju izračuna prosječnih razina u vremenskoj seriji) mora ostati nepromijenjena. Drugim riječima, pri izračunavanju prosječne vrijednosti, volumen svojstva koje se proučava ne bi trebao biti iskrivljen, a izrazi napravljeni pri izračunavanju prosjeka moraju nužno imati smisla.

Izračunavanje prosjeka jedna je od uobičajenih tehnika generalizacije; prosjek negira ono što je zajedničko (tipično) svim jedinicama proučavane populacije, au isto vrijeme zanemaruje razlike između pojedinih jedinica. U svakoj pojavi i njenom razvoju postoji kombinacija slučajnosti i nužde. Prilikom izračunavanja prosjeka na temelju djelovanja zakona velike brojke slučajnosti se međusobno poništavaju, uravnotežuju, stoga je moguće apstrahirati od beznačajnih obilježja pojave, od kvantitativne vrijednosti karakteristika u svakom konkretnom slučaju. U sposobnosti apstrahiranja od nasumičnosti pojedinačnih vrijednosti, fluktuacija i laži znanstvena vrijednost prosjeci kao generalizirajuće karakteristike populacija.

Da bi prosjek bio doista tipičan, mora se izračunati prema određenim načelima.

Zadržimo se na nekima generalni principi korištenje prosjeka.

1. Prosjek treba odrediti za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica.

2. Prosjek treba izračunati za populaciju koja se sastoji od dovoljno velikog broja jedinica.

3. Prosjek treba izračunati za populaciju čije su jedinice u normalnom, prirodnom stanju.

4. Prosjek treba izračunati uzimajući u obzir ekonomski sadržaj pokazatelja koji se proučava.

5.2. Vrste prosjeka i metode njihova izračunavanja

Razmotrimo sada vrste prosjeka, značajke njihovog izračuna i područja primjene. Prosječne vrijednosti podijeljene su u dvije velike klase: prosjeci snage, strukturni prosjeci.

Prosjeci po zakonu potencije uključuju najpoznatije i najčešće korištene vrste, kao što su geometrijska sredina, aritmetička sredina i srednji kvadrat.

Modus i medijan smatraju se strukturnim prosjecima.

Zadržimo se na prosjecima snage. Prosjeci snage, ovisno o prikazu početnih podataka, mogu biti jednostavni i težinski. jednostavni prosjek izračunava se iz negrupiranih podataka i ima sljedeći opći oblik:

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) prosječnog obilježja;

n je broj opcija.

Prosječne težine izračunava se prema grupiranim podacima i ima opći oblik

,

gdje je X i varijanta (vrijednost) prosječne značajke ili srednja vrijednost intervala u kojem se varijanta mjeri;

m je eksponent srednje vrijednosti;

f i - frekvencija koja pokazuje koliko se puta pojavljuje i-ta vrijednost prosječni znak.

Ako izračunamo sve vrste prosjeka za iste početne podatke, tada njihove vrijednosti neće biti iste. Ovdje vrijedi pravilo majoracije prosjeka: s povećanjem eksponenta m, odgovarajuća prosječna vrijednost također raste:

U statističkoj praksi češće od drugih vrsta ponderiranih prosjeka koriste se aritmetički i harmonijski ponderirani prosjeci.

Vrste moćnih sredstava

Vrsta snage sredini	Indeks stupnjevi (m)	Formula za izračun
		Jednostavan	ponderiran
harmonik
Geometrijski
Aritmetika
kvadratni
kubični

Harmonijska sredina ima složeniju strukturu od aritmetičke sredine. Harmonijska sredina se koristi za izračune kada ponderi nisu jedinice populacije - nositelji svojstva, već umnošci tih jedinica i vrijednosti svojstva (tj. m = Xf). Prosječni harmonijski prost trebao bi se koristiti u slučajevima određivanja, na primjer, prosječnih troškova rada, vremena, materijala po jedinici učinka, po dijelu za dva (tri, četiri itd.) poduzeća, radnika angažiranih u proizvodnji ista vrsta proizvoda, isti dio, proizvod.

Glavni zahtjev za formulu za izračun prosječne vrijednosti je da sve faze izračuna imaju stvarno smisleno opravdanje; dobiveni prosjek treba zamijeniti pojedinačne vrijednosti znak za svaki objekt bez prekidanja veze između pojedinačnih i sumarnih pokazatelja. Drugim riječima, prosječnu vrijednost treba izračunati tako da kada se svaka pojedinačna vrijednost uprosječenog pokazatelja zamijeni njegovom prosječnom vrijednošću, neki konačni zbirni pokazatelj ostane nepromijenjen, srodni ili na drugi način s prosjekom. Ovaj rezultat se zove određujući jer priroda njegovog odnosa s pojedinačnim vrijednostima određuje specifičnu formulu za izračunavanje prosječne vrijednosti. Pokažimo to pravilo na primjeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

najčešće se koristi pri izračunavanju prosječne vrijednosti pojedinih relativnih vrijednosti dinamike.

Geometrijska sredina se koristi ako je dan niz lančanih relativnih vrijednosti dinamike, pokazujući, na primjer, povećanje proizvodnje u usporedbi s razinom prošla godina: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Jasno je da obim proizvodnje prošle godine određuje se njegovom početnom razinom (q 0) i kasnijim rastom tijekom godina:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Uzimajući q n kao određujući pokazatelj i zamjenjujući pojedinačne vrijednosti dinamičkih pokazatelja prosječnim, dolazimo do relacije

Odavde

Za proučavanje se koristi posebna vrsta prosjeka - strukturni prosjeci unutarnja struktura nizu distribucije karakterističnih vrijednosti, kao i za procjenu prosječne vrijednosti (potencnog tipa), ako se prema raspoloživim statističkim podacima ne može izvršiti njezin izračun (npr. ako u razmatranom primjeru nije bilo podataka o objema obujmu proizvodnje i visini troškova po grupama poduzeća) .

Indikatori se najčešće koriste kao strukturni prosjeci. moda - najčešće ponavljana vrijednost obilježja – i medijan - vrijednost značajke koja dijeli uređeni niz svojih vrijednosti na dva dijela jednaka po broju. Kao rezultat toga, u jednoj polovici populacijskih jedinica vrijednost atributa ne prelazi srednju razinu, au drugoj polovici nije niža od nje.

Ako osobina koja se proučava ima diskretne vrijednosti, tada nema posebnih poteškoća u izračunavanju moda i medijana. Ako su podaci o vrijednostima atributa X prikazani u obliku uređenih intervala njegove promjene (intervalne serije), izračun moda i medijana postaje nešto kompliciraniji. Jer srednja vrijednost dijeli cjelokupnu populaciju na dva jednaka po broju dijela, ispostavilo se da je u jednom od intervala predznaka X. Interpolacijom se vrijednost medijana nalazi u ovom intervalu medijana:

,

gdje je X Me donja granica srednjeg intervala;

h Me je njegova vrijednost;

(Zbroj m) / 2 - polovica ukupnog broja opažanja ili polovica volumena pokazatelja koji se koristi kao ponder u formulama za izračun prosječne vrijednosti (u apsolutnom ili relativnom iznosu);

S Me-1 je zbroj opažanja (ili volumen značajke ponderiranja) akumuliran prije početka srednjeg intervala;

m Me je broj opažanja ili volumen značajke ponderiranja u srednjem intervalu (također u apsolutnom ili relativnom smislu).

Pri izračunavanju modalne vrijednosti obilježja prema podacima intervalne serije potrebno je obratiti pozornost na činjenicu da su intervali isti, jer o tome ovisi pokazatelj učestalosti vrijednosti karakteristike X. Za intervalni niz s u jednakim razmacima vrijednost moda je definirana kao

,

gdje je X Mo donja vrijednost modalnog intervala;

m Mo je broj opažanja ili volumen značajke težine u modalnom intervalu (u apsolutnom ili relativnom smislu);

m Mo-1 - isto za interval koji prethodi modalnom;

m Mo+1 - isto za interval koji slijedi modal;

h je vrijednost intervala promjene svojstva u skupinama.

ZADATAK 1

Grupa ima sljedeće podatke industrijska poduzeća za izvještajnu godinu

№ poduzeća	Obim proizvodnje, milijun rubalja		Prosječan broj zaposlenih, pers.	Dobit, tisuća rubalja
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Potrebno je izvršiti grupiranje poduzeća za razmjenu proizvoda, uzimajući sljedeće intervale:

do 200 milijuna rubalja


od 200 do 400 milijuna rubalja


1. od 400 do 600 milijuna rubalja
   

   Za svaku skupinu i za sve zajedno odredite broj poduzeća, obujam proizvodnje, prosječan broj zaposlenih, prosječni učinak po zaposlenom. Rezultate grupiranja potrebno je prikazati u obliku statističke tablice. Formulirajte zaključak.
   

   RIJEŠENJE
   

   Napravimo grupiranje poduzeća za razmjenu proizvoda, izračunavanje broja poduzeća, obujma proizvodnje, prosječnog broja zaposlenih prema formuli jednostavnog prosjeka. Rezultati grupiranja i izračuna sažeti su u tablici.
   

   Grupe prema obujmu proizvodnje	№ poduzeća	Obim proizvodnje, milijun rubalja	Prosječna godišnja cijena dugotrajne imovine, milijun rubalja	prosječno spavanje sočan broj zaposlenih, pers.	Dobit, tisuća rubalja	Prosječni učinak po radniku
   1 grupa do 200 milijuna rubalja	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Prosječna razina		198,3			24,9
   2 grupa od 200 do 400 milijuna rubalja	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Prosječna razina		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grupa od 400 do 600 milijuna	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Prosječna razina		512,9	34,4	1421	120,9
   Ukupno ukupno		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Zbirni prosjek		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Zaključak. Dakle, u promatranom agregatu, najveći broj poduzeća prema proizvodu spada u treću skupinu - sedam, odnosno polovica poduzeća. Vrijednost prosječne godišnje vrijednosti dugotrajne imovine također je u ovoj skupini, kao i velika vrijednost prosječnog broja zaposlenih - 9974 ljudi, poduzeća prve skupine su najmanje profitabilna.
   

   ZADATAK 2
   

   Imamo sljedeće podatke o poduzećima tvrtke
   

   Broj poduzeća koje pripada poduzeću	I četvrt		II četvrtina
   	Izlaz, tisuća rubalja		Odrađeno radnim čovjek-danima	Prosječna proizvodnja po radniku po danu, rub.
   	59390,13

Tema 5. Prosjeci kao statistički pokazatelji

Pojam prosjeka. Opseg prosječnih vrijednosti u statističkoj studiji

Prosječne vrijednosti koriste se u fazi obrade i sažimanja dobivenih primarnih statističkih podataka. Potreba za određivanjem prosječnih vrijednosti je zbog činjenice da za različite jedinice proučavanih populacija pojedinačne vrijednosti iste osobine, u pravilu, nisu iste.

Prosječna vrijednost nazovite pokazatelj koji karakterizira generaliziranu vrijednost značajke ili skupine značajki u ispitivanoj populaciji.

Ako proučavamo populaciju s kvalitativno homogene osobine, tada se prosječna vrijednost ovdje pojavljuje kao tipičan prosjek. Na primjer, za skupine radnika u određenoj industriji s fiksnom razinom dohotka, određena je tipična prosječna potrošnja na osnovne potrepštine, tj. tipični prosjek generalizira kvalitativno homogene vrijednosti atributa u danoj populaciji, a to je udio izdataka radnika u ovoj skupini na osnovna dobra.

U proučavanju populacije s kvalitativno heterogenim karakteristikama, atipični prosječni pokazatelji mogu doći do izražaja. Takvi su npr. prosječni pokazatelji proizvedenog nacionalnog dohotka po glavi stanovnika (razni dobne skupine), prosječni prinosi žitarica u cijeloj Rusiji (područja različitih klimatskih zona i različiti usjevi žitarica), prosječne stope nataliteta stanovništva u svim regijama zemlje, prosječne temperature preko određeno razdoblje itd. Ovdje prosječne vrijednosti generaliziraju kvalitativno heterogene vrijednosti obilježja ili sistemskih prostornih agregata (međunarodna zajednica, kontinent, država, regija, okrug itd.) ili dinamičkih agregata produženih u vremenu (stoljeće, desetljeće, godina, godišnje doba itd.). ) . Ovi prosjeci se nazivaju prosjeci sustava.

Dakle, značenje prosječnih vrijednosti sastoji se u njihovoj generalizirajućoj funkciji. Prosjek zamjenjuje veliki broj pojedinačne vrijednosti osobine, otkrivanje opća svojstva, svojstven svim jedinicama populacije. To vam zauzvrat omogućuje izbjegavanje slučajnih uzroka i prepoznavanje opći obrasci zbog uobičajenih uzroka.

Vrste prosječnih vrijednosti i metode za njihov izračun

Na pozornici statistička obrada Mogu se postavljati različiti istraživački problemi za čije je rješenje potrebno odabrati odgovarajući prosjek. U ovom slučaju potrebno je voditi se sljedećim pravilom: vrijednosti koje predstavljaju brojnik i nazivnik prosjeka moraju biti logično povezane jedna s drugom.

prosjeci snage;

strukturni prosjeci.

Uvedimo sljedeću oznaku:

Vrijednosti za koje se izračunava prosjek;

Prosjek, gdje linija iznad označava da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti;

Učestalost (ponovljivost vrijednosti pojedinih svojstava).

Razni prosjeci se izvode iz opća formula snaga znači:

(5.1)

za k = 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = -2 - srednji kvadrat.

Prosjeci su jednostavni ili ponderirani. ponderirani prosjeci zovu se količine koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve, pa se stoga svaka varijanta mora pomnožiti s tim brojem. Drugim riječima, "težine" su brojevi populacijskih jedinica u različitim skupinama, tj. svaka je opcija "ponderirana" svojom učestalošću. Frekvencija f naziva se statistička težina ili prosjek težine.

Aritmetička sredina- najčešća vrsta medija. Koristi se kada se izračun provodi na negrupiranim statističkim podacima, gdje se želi dobiti prosječni zbroj. Aritmetička sredina je takva prosječna vrijednost obilježja, nakon čijeg primitka ukupni volumen obilježja u populaciji ostaje nepromijenjen.

Formula aritmetičke sredine (jednostavna) ima oblik

gdje je n veličina populacije.

Na primjer, prosječna plaća zaposlenika poduzeća izračunava se kao aritmetički prosjek:

Odlučujući pokazatelji ovdje su plaće svakog zaposlenika i broj zaposlenih u poduzeću. Pri izračunu prosjeka ukupan iznos plaća ostao je isti, ali takoreći ravnomjerno raspoređen na sve radnike. Na primjer, potrebno je izračunati prosječnu plaću zaposlenika male tvrtke u kojoj je zaposleno 8 ljudi:

Pri izračunavanju prosječnih vrijednosti pojedinačne vrijednosti značajke koja se osrednjava može se ponavljati, pa se izračun prosječne vrijednosti vrši na temelju grupiranih podataka. U ovom slučaju pričamo o korištenju aritmetička sredina ponderirana, što izgleda

(5.3)

Dakle, treba izračunati prosječnu cijenu dionice dioničkog društva na burzi. Poznato je da su transakcije obavljene unutar 5 dana (5 transakcija), broj prodanih dionica po prodajnom tečaju raspoređen je na sljedeći način:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 rub.

3 - 700 ak. - 1015 rubalja.

4 - 550 ak. - 900 rubalja.

5 - 850 ak. - 1150 rubalja.

Početni omjer za određivanje prosječne cijene dionice je omjer ukupni iznos transakcije (OSS) na broj prodanih dionica (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

U ovom slučaju prosječna cijena dionice bila je jednaka

Potrebno je poznavati svojstva aritmetičke sredine, što je vrlo važno kako za njezino korištenje tako i za njezino izračunavanje. Mogu se razlikovati tri osnovna svojstva, što je prije svega dovelo do široke uporabe aritmetičke sredine u statističkim i ekonomskim izračunima.

Svojstvo jedan (nula): zbroj pozitivnih odstupanja pojedinačnih vrijednosti obilježja od njegove srednje vrijednosti jednak je zbroju negativna odstupanja. Ovo je vrlo važno svojstvo, jer pokazuje da će se sva odstupanja (i s + i s -) zbog slučajnih uzroka međusobno poništiti.

Dokaz:

Drugo svojstvo (minimalno): zbroj kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti atributa od aritmetičke sredine manji je nego od bilo kojeg drugog broja (a), tj. je minimalni broj.

Dokaz.

Sastavite zbroj kvadrata odstupanja od varijable a:

(5.4)

Da bismo pronašli ekstrem ove funkcije, potrebno je njezinu derivaciju u odnosu na a izjednačiti s nulom:

Odavde dobivamo:

(5.5)

Stoga je ekstrem zbroja kvadrata odstupanja postignut na . Ovaj ekstrem je minimum, jer funkcija ne može imati maksimum.

Svojstvo tri: aritmetička sredina konstantna vrijednost jednaka je ovoj konstanti: za a = const.

Pored ova tri najvažnija svojstva aritmetička sredina, postoje tzv svojstva dizajna, koji postupno gube na značaju u vezi s uporabom elektroničkih računala:

ako se pojedinačna vrijednost atributa svake jedinice pomnoži ili podijeli s stalni broj, tada će se aritmetička sredina povećati ili smanjiti za isti iznos;

aritmetička sredina se neće promijeniti ako se težina (učestalost) svake vrijednosti obilježja podijeli s konstantnim brojem;

ako se pojedinačne vrijednosti atributa svake jedinice smanjuju ili povećavaju za isti iznos, tada će se aritmetička sredina smanjiti ili povećati za isti iznos.

Prosječni harmonik. Ovaj prosjek se naziva recipročni aritmetički prosjek, budući da se ova vrijednost koristi kada je k = -1.

Jednostavna harmonijska sredina koristi se kada su težine karakterističnih vrijednosti iste. Njegova se formula može izvesti iz osnovna formula, zamjenjujući k = -1:

Na primjer, moramo izračunati Prosječna brzina dva automobila koja su prešla isti put, ali različitim brzinama: prvi - brzinom od 100 km / h, drugi - 90 km / h. Metodom harmonijske sredine izračunavamo prosječnu brzinu:

U statističkoj praksi češće se koristi harmonijski ponderirani, čija formula ima oblik

Ova formula se koristi u slučajevima kada težine (ili volumeni fenomena) za svaki atribut nisu jednaki. U izvornom omjeru, brojnik je poznat za izračunavanje prosjeka, ali je nazivnik nepoznat.

Jednostavna aritmetička sredina je prosječni izraz, u kojem se određuje ukupni volumen danog atributa agregati podaci su ravnomjerno raspoređeni među svim jedinicama uključenim u ovaj skup. Dakle, prosječni godišnji učinak proizvodnje po radniku je takva vrijednost obujma proizvodnje koja bi pala na svakog zaposlenika kada bi se cjelokupni obujam proizvodnje ravnomjerno rasporedio na sve zaposlenike organizacije. Aritmetička sredina proste vrijednosti izračunava se po formuli:

jednostavna aritmetička sredina- Jednak omjeru zbroja pojedinačnih vrijednosti atributa prema broju atributa u agregatu

Primjer 1. Tim od 6 radnika prima 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisuća rubalja mjesečno.

Odredite prosječnu plaću Rješenje: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisuća rubalja.

Aritmetički ponderirani prosjek

Ako je obujam skupa podataka velik i predstavlja niz distribucije, tada se izračunava ponderirana aritmetička sredina. Ovako se utvrđuje ponderirana prosječna cijena po jedinici proizvodnje: ukupni trošak proizvodnje (zbroj proizvoda njegove količine i cijene jedinice proizvodnje) podijeli se s ukupnom količinom proizvodnje.

To predstavljamo u obliku sljedeće formule:

Ponderirana aritmetička sredina- jednak je omjeru (zbroj umnožaka vrijednosti atributa i učestalosti ponavljanja ovog atributa) prema (zbroju učestalosti svih atributa). Koristi se kada se varijante proučavane populacije pojavljuju nejednako broj puta.

Primjer 2. Nađite prosječne mjesečne plaće radnika u trgovini

Plaća jednog radnika tisuća rubalja; x	Broj radnika F

Prosječna plaća se može dobiti dijeljenjem ukupne plaće sa ukupni broj radnici:

Odgovor: 3,35 tisuća rubalja.

Aritmetička sredina za intervalni niz

Pri izračunu aritmetičke sredine za niz intervalnih varijacija prvo se određuje prosjek za svaki interval kao poluzbroj gornje i donje granice, a zatim prosjek cijelog niza. U slučaju otvorenih intervala, vrijednost donjeg ili gornjeg intervala određena je vrijednošću intervala koji su im susjedni.

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni.

Primjer 3. Definirati prosječna dob večernji studenti.

Dob u godinama!!x??	Broj studenata	Srednja vrijednost intervala	Umnožak sredine intervala (godine) i broja učenika
		(18 + 20) / 2 \u003d 19 18 in ovaj slučaj donja granica intervala. Izračunato kao 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ili više		(30 + 34) / 2 = 32

Prosjeci izračunati iz intervalnih serija su približni. Stupanj njihove aproksimacije ovisi o tome u kojoj se mjeri stvarna raspodjela populacijskih jedinica unutar intervala približava ujednačenoj.

Pri izračunavanju prosjeka, ne samo apsolutnih, već i relativne vrijednosti(frekvencija).