Opća definicija izvedenice. Derivat zbroja i razlike

Derivat funkcije jedna je od najtežih tema u školskom kurikulumu. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je izvedenica i zašto je potrebna.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Derivat je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni triju funkcija. Što mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću izvedenicu.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tijekom godine:

Sve na grafikonu možete vidjeti odmah, zar ne? Kostyin prihod više se nego udvostručio u šest mjeseci. I Grišina su primanja također porasla, ali tek nešto. A Matthewov prihod smanjio se na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, t.j. izvedenica, - drugačiji. Što se tiče Matveya, derivat njegovog prihoda općenito je negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja s x. Očito, ista funkcija u različitim točkama može imati različitu vrijednost derivacije – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije označava se s .

Pokažimo kako pronaći pomoću grafa.

Crta se graf neke funkcije. Uzmi točku na njemu s apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivat funkcije u točki jednak je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Imajte na umu - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.

Ponekad učenici pitaju koja je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna crta koja ima jedinu zajedničku točku s grafom u ovom odjeljku, štoviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Nađimo . Sjećamo se da je tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne noge i susjedne. Iz trokuta:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se zadaci često nalaze na ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Podsjetimo da je ravna crta dana jednadžbom

Količina u ovoj jednadžbi naziva se nagib ravne linije. Jednaka je tangenti kuta nagiba ravne linije prema osi.

.

Shvaćamo to

Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivat funkcije u točki jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangenti nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite derivacije u različitim točkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija u nekim područjima povećava, a u drugima smanjuje, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf, nacrtana u točki, tvori oštar kut; s pozitivnim smjerom osi. Dakle, izvod je pozitivan u točki.

U tom trenutku naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut; s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangenta tupog kuta negativna, derivacija u točki je negativna.

Evo što se događa:

Ako je funkcija rastuća, njezin izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, derivacija je negativna.

A što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u (maksimalna točka) i (minimalna točka) tangenta horizontalna. Stoga je tangenta nagiba tangente u tim točkama nula, a derivacija je također nula.

Točka je maksimalna točka. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".

U točki - minimalnoj točki - derivacija je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: uz pomoć derivacije možete saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je derivacija pozitivna, tada se funkcija povećava.

Ako je derivacija negativna, tada je funkcija opadajuća.

U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak s plusa na minus.

U minimalnoj točki derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tablice:

	povećava	maksimalni bod	opadajući	minimalna točka	povećava
+	0	-	0	+

Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, s ozbiljnijim proučavanjem funkcija i izvedenica.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekoj točki jednaka nuli, ali funkcija u ovoj točki nema ni maksimum ni minimum. Ovaj tzv :

U točki je tangenta na graf horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvedenice se ne mijenja – ostao je pozitivan kakav je bio.

Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u danoj točki.

Ali kako pronaći derivaciju ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferencijacije. . Isaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) prvi su radili na polju pronalaženja izvedenica.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je prikladan za pronalaženje derivacije.

Za pronalaženje izvedenice, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odrediti koje radnje (produkt, zbroj, količnik) ove funkcije su povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije proizvoda, zbroja i kvocijenta - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Iz pravila diferencijacije doznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, t.j.

Iz tablice derivacija doznajemo da je derivacija "X" jednaka jedan, a derivacija sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član s konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka derivacije:

Ako još uvijek postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona u pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo odmah k njima.

Tablica derivacija jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvijek jednak jedan. Ovo je također važno zapamtiti
3. Derivat stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentna derivacija
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat tangente luka
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat kvocijenta
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj točki , zatim u istoj točki funkcije

i

oni. derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj točki , tada je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

oni. derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od tih funkcija i derivacije druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju umnožaka izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

mogu se razlikovati u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku i njihov kvocijent diferencibilan.u/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o tim derivacijama ima u članku."Derivat proizvoda i kvocijenta".

Komentar. Ne biste trebali brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana njegova derivacija je jednaka nuli, a kod konstantnog faktora uzeta je iz predznaka derivacija. To je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, ta pogreška više ne čini.

A ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav je slučaj analiziran u primjeru 10) .

Druga česta pogreška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Tako derivacija složene funkcije posvećen zasebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Djelovanja s moćima i korijenima i Radnje s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije s moćima i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbroja razlomaka s potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak poput , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao derivacija "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbroj proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. Od nas se traži da pronađemo derivaciju kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika. dobivamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojniku u primjeru 2. Također ne zaboravimo da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku, uzet sa predznakom minus u trenutnom primjeru:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobro došli u razred "Izvod zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o derivacijama sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite derivaciju funkcije

Odluka. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije kvocijenta, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere u matematici bez znanja o derivaciji i metodama za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njezino fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dano u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se inkrement argumenata. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangenti kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje izvedenice: vremenska derivacija puta jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Doista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u jednom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izvadite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štoviše, to se mora učiniti. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite u pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavnite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivat zbroja dviju funkcija jednak je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dokazivati ​​ovaj teorem, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivat umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Odluka:

Ovdje je važno reći o izračunu derivacija složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je umnošku derivacije ove funkcije s obzirom na međuargument derivacijom međuargumenata s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim množimo s derivacijom samog međuargumena s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo razgovarati o izvedenicama za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunu izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskom servisu. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najtežu kontrolu i nositi se sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili izračunom izvedenica.

Sastavite omjer i izračunajte granicu.

Odakle tablica izvedenica i pravila diferencijacije? Zahvaljujući jednom ograničenju. Čini se kao magija, ali u stvarnosti - spretnost ruku i bez prijevare. Na lekciji Što je izvedenica? Počeo sam razmatrati konkretne primjere, gdje sam, koristeći definiciju, pronašao derivacije linearne i kvadratne funkcije. U svrhu kognitivnog zagrijavanja nastavit ćemo ometati tablica izvedenica, brusiti algoritam i tehnička rješenja:

Primjer 1

Zapravo, potrebno je dokazati poseban slučaj derivacije potencijske funkcije, koji se obično pojavljuje u tablici: .

Odluka tehnički formalizirana na dva načina. Počnimo s prvim, već poznatim pristupom: ljestve počinju daskom, a derivirajuća funkcija počinje derivacijom u točki.

Smatrati neki(specifična) točka kojoj pripada domene funkcija koja ima derivaciju. Postavite inkrement u ovom trenutku (naravno, ne daljeo/o -ja) i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Izračunajmo granicu:

Nesigurnost 0:0 eliminira se standardnom tehnikom koja se razmatra još u prvom stoljeću prije Krista. Pomnožite brojnik i nazivnik s spojnim izrazom :

Tehnika rješavanja takve granice detaljno je obrađena u uvodnoj lekciji. o granicama funkcija.

Budući da se BILO KOJA točka intervala može odabrati kao, tada, zamjenom , dobivamo:

Odgovor

Još jednom, radujmo se logaritmima:

Primjer 2

Nađite derivaciju funkcije koristeći definiciju derivacije

Odluka: razmotrimo drugačiji pristup promicanju istog zadatka. To je potpuno isto, ali racionalnije u smislu dizajna. Ideja je riješiti se indeksa na početku rješenja i koristiti slovo umjesto slova.

Smatrati proizvoljan točka kojoj pripada domene funkciju (interval ) i postavite inkrement u njoj. I ovdje, usput, kao iu većini slučajeva, možete učiniti bez ikakvih rezervi, budući da je logaritamska funkcija diferencibilna u bilo kojoj točki u domeni definicije.

Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo izvedenicu:

Lakoća dizajna uravnotežena je konfuzijom koju početnici (i ne samo) mogu doživjeti. Uostalom, navikli smo na činjenicu da se slovo "X" mijenja u granici! Ali ovdje je sve drugačije: - starinski kip, i - živi posjetitelj, koji veselo hoda hodnikom muzeja. To jest, "x" je "kao konstanta".

Komentirati ću uklanjanje neizvjesnosti korak po korak:

(1) Koristimo svojstvo logaritma .

(2) U zagradama dijelimo brojnik nazivnikom član po član.

(3) U nazivniku umjetno množimo i dijelimo s "x" kako bismo iskoristili divna granica , dok kao beskonačno mali ističe.

Odgovor: po definiciji izvedenice:

Ili ukratko:

Predlažem da samostalno konstruiramo još dvije tablične formule:

Primjer 3

U ovom slučaju, sastavljeni prirast je odmah prikladno svesti na zajednički nazivnik. Približan uzorak zadatka na kraju lekcije (prva metoda).

Primjer 3:Odluka : razmotriti neku točku , koji pripada opsegu funkcije . Postavite inkrement u ovom trenutku i sastavite odgovarajući prirast funkcije:

Nađimo derivaciju u točki :

Budući da kao možete odabrati bilo koju točku opseg funkcije , onda i
Odgovor : po definiciji izvedenice

Primjer 4

Pronađite derivaciju po definiciji

I ovdje se sve mora svesti na divna granica. Rješenje je uokvireno na drugi način.

Slično, niz drugih tablične izvedenice. Potpuni popis može se naći u školskom udžbeniku, ili, na primjer, 1. svesku Fichtenholtza. Ne vidim puno smisla u prepisivanju iz knjiga i dokaza o pravilima diferencijacije - oni su također generirani formulom.

Primjer 4:Odluka , u vlasništvu , i postavite povećanje u njemu

Nađimo izvedenicu:

Iskorištavanje divne granice

Odgovor : a-priorat

Primjer 5

Nađite derivaciju funkcije koristeći definiciju derivacije

Odluka: Koristite prvi vizualni stil. Razmotrimo neku točku koja pripada , postavimo prirast argumenta u njoj. Tada je odgovarajući prirast funkcije:

Možda neki čitatelji još nisu u potpunosti razumjeli načelo po kojem bi se trebao napraviti prirast. Uzimamo točku (broj) i u njoj nalazimo vrijednost funkcije: , odnosno u funkciju umjesto"x" treba zamijeniti. Sada također uzimamo vrlo specifičan broj i također ga zamjenjujemo u funkciju umjesto"x": . Zapisujemo razliku, dok je to potrebno u potpunosti staviti u zagrade.

Povećanje sastavljene funkcije korisno je odmah pojednostaviti. Za što? Olakšati i skratiti rješenje daljnje granice.

Koristimo formule, otvaramo zagrade i reduciramo sve što se može smanjiti:

Puretina je bez crijeva, nema problema s pečenjem:

Budući da se za kvalitetu može odabrati bilo koji realni broj, izvršimo zamjenu i dobijemo .

Odgovor: a-priorat.

Za potrebe provjere, nalazimo izvedenicu koristeći pravila diferencijacije i tablice:

Uvijek je korisno i ugodno znati točan odgovor unaprijed, pa je bolje mentalno ili na nacrtu diferencirati predloženu funkciju na "brzi" način na samom početku rješenja.

Primjer 6

Nađi derivaciju funkcije po definiciji derivacije

Ovo je "uradi sam" primjer. Rezultat leži na površini:

Primjer 6:Odluka : razmotriti neku točku , u vlasništvu , i postavite inkrement argumenta u njemu . Tada je odgovarajući prirast funkcije:


Izračunajmo derivaciju:


Tako:
Jer kao može se odabrati bilo koji realni broj i
Odgovor : a-priorat.

Vratimo se stilu #2:

Primjer 7

Hajdemo odmah saznati što bi se trebalo dogoditi. Po pravilo diferencijacije složene funkcije:

Odluka: razmotrite proizvoljnu točku koja pripada , postavite inkrement argumenta u njoj i sastavite prirast funkcije:

Nađimo izvedenicu:


(1) Koristite trigonometrijska formula .

(2) Ispod sinusa otvaramo zagrade, ispod kosinusa prikazujemo slične pojmove.

(3) Pod sinusom smanjujemo članove, pod kosinusom dijelimo brojnik nazivnikom član po član.

(4) Zbog neparnosti sinusa izbacujemo “minus”. Pod kosinusom označavamo da je pojam .

(5) Umjetno množimo nazivnik za korištenje prva divna granica. Tako se eliminira neizvjesnost, češljamo rezultat.

Odgovor: a-priorat

Kao što vidite, glavna poteškoća razmatranog problema počiva na složenosti samog ograničenja + blagoj originalnosti pakiranja. U praksi se susreću obje metode projektiranja, stoga oba pristupa opisujem što detaljnije. Oni su ekvivalentni, ali ipak, po mom subjektivnom dojmu, za lutke je svrsishodnije da se drže 1. opcije s “X nula”.

Primjer 8

Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije

Primjer 8:Odluka : razmotriti proizvoljnu točku , u vlasništvu , postavimo u njemu prirast i povećaj funkciju:

Nađimo izvedenicu:

Koristimo trigonometrijsku formulu i prva izvanredna granica:


Odgovor : a-priorat

Analizirajmo rjeđu verziju problema:

Primjer 9

Nađite derivaciju funkcije u točki koristeći definiciju derivacije.

Prvo, što bi trebalo biti dno? Broj

Izračunajmo odgovor na standardni način:

Odluka: sa stajališta jasnoće, ovaj zadatak je mnogo jednostavniji, budući da formula umjesto toga uzima u obzir određenu vrijednost.

Postavljamo prirast u točki i sastavljamo odgovarajući prirast funkcije:

Izračunaj derivaciju u točki:

Koristimo vrlo rijetku formulu za razliku tangenta i još jednom reducirati rješenje na prva divna granica:

Odgovor: po definiciji derivacije u točki.

Zadatak nije tako teško riješiti i "općenito" - dovoljno ga je zamijeniti ili jednostavno, ovisno o metodi dizajna. U ovom slučaju, naravno, ne dobivate broj, već funkciju derivacije.

Primjer 10

Koristeći definiciju, pronađite derivaciju funkcije u točki (od kojih se jedna može pokazati beskonačnom), o kojoj sam već govorio općenito teorijska lekcija o izvedenici.

Neke djelomično zadane funkcije također su diferencibilne u točkama "spoja" grafa, na primjer, mačka-pas ima zajedničku derivaciju i zajedničku tangentu (os apscise) u točki . Krivulja, da se može razlikovati po ! Oni koji to žele mogu se uvjeriti u to na uzoru upravo riješenog primjera.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali omogućuje besplatno korištenje.
Datum izrade stranice: 11.06.2017

Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg se traži odrediti jednu od sljedećih veličina:

1. Vrijednost derivacije u nekoj točki x 0,
2. Visoke ili niske točke (ekstremalne točke),
3. Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije prikazane u ovom problemu su uvijek kontinuirane, što uvelike pojednostavljuje rješenje. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, sasvim je u moći i najslabijih učenika, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Za pronalaženje vrijednosti derivacije, ekstremnih točaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.

Pažljivo pročitajte uvjet zadatka B9 kako ne biste napravili glupe pogreške: ponekad naiđu prilično obimni tekstovi, ali postoji nekoliko važnih uvjeta koji utječu na tijek rješenja.

Izračun vrijednosti izvedenice. Metoda u dvije točke

Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj točki x 0 , i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj točki, primjenjuje se sljedeći algoritam:

1. Pronađite dvije "adekvatne" točke na grafu tangente: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove točke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Točno zapišite koordinate - to je ključna točka rješenja, a svaka pogreška ovdje vodi do pogrešnog odgovora.
2. Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Konačno, nalazimo vrijednost derivacije D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti inkrement funkcije s inkrementom argumenta - i to će biti odgovor.

Još jednom napominjemo: točke A i B treba tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što je često slučaj. Tangenta će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke, inače je problem pogrešno formuliran.

Razmotrimo točke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađimo priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Nađimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .

Razmotrite točke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite prirast:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sada nalazimo vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadatak. Slika prikazuje graf funkcije y \u003d f (x) i tangentu na nju u točki s apscisom x 0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x 0 .

Razmotrite točke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite prirast:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osi OX, derivacija funkcije u točki dodira jednaka je nuli. U ovom slučaju ne morate ništa izračunati - samo pogledajte grafikon.

Izračunavanje visokih i najnižih bodova

Ponekad se umjesto grafa funkcije u zadatku B9 daje graf derivacije i potrebno je pronaći maksimalnu ili minimalnu točku funkcije. U ovom scenariju, metoda s dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, definirajmo terminologiju:

1. Točka x 0 naziva se maksimalnom točkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove točke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Točka x 0 naziva se minimalnom točkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove točke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku na grafu derivacije, dovoljno je izvršiti sljedeće korake:

1. Ponovno nacrtajte graf izvedenice, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što praksa pokazuje, dodatni podaci samo ometaju rješenje. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
2. Doznajte predznake derivacije na razmacima između nula. Ako je za neku točku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak derivacije je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad osi OX, tada je f'(x) ≥ 0. Obrnuto, ako graf derivacije leži ispod osi OX, tada je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovno provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus, postoji minimalna točka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna točka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova shema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u problemu B9.

Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−5; 5]. Pronađite minimalnu točku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Riješimo se nepotrebnih informacija - ostavit ćemo samo granice [−5; 5] i nule derivacije x = −3 i x = 2.5. Također obratite pažnju na znakove:

Očito, u točki x = −3, predznak derivacije se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna točka.

Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu točku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule derivacije x = −1,7 i x = 5. Zabilježite predznake derivacije na rezultirajućem grafu. Imamo:

Očito, u točki x = 5, predznak derivacije se mijenja iz plusa u minus - ovo je maksimalna točka.

Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−6; 4]. Pronađite broj maksimalnih točaka funkcije f(x) koje pripadaju intervalu [−4; 3].

Iz uvjeta zadatka proizlazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa omeđen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule derivacije unutar njega. Naime, točke x = −3,5 i x = 2. Dobivamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna točka x = 2. U njoj se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus.

Mala napomena o točkama s necjelobrojnim koordinatama. Na primjer, u zadnjem zadatku razmatrana je točka x = −3,5, ali s istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno formuliran, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke "bez određenog mjesta stanovanja" nisu izravno uključene u rješavanje problema. Naravno, s cijelim točkama takav trik neće uspjeti.

Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja funkcije

U takvom se problemu, poput točaka maksimuma i minimuma, predlaže pronaći područja u kojima sama funkcija raste ili opada iz grafa derivacije. Prvo, definirajmo što su uzlazno i ​​silazno:

1. Funkcija f(x) naziva se rastućom na segmentu ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz ovog odsječka istinita tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) naziva se opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 iz ovog odsječka istinita tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Oni. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formuliramo dovoljne uvjete za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njezin izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njezin izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f'(x) ≤ 0.

Ove tvrdnje prihvaćamo bez dokaza. Tako dobivamo shemu za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja, koja je u mnogočemu slična algoritmu za izračunavanje točaka ekstrema:

1. Uklonite sve suvišne informacije. Na izvornom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije pa ostavljamo samo njih.
2. Označite predznake derivacije u razmacima između nula. Gdje je f'(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f'(x) ≤ 0, ona opada. Ako zadatak ima ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje izračunati traženu vrijednost u problemu.

Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−3; 7.5]. Pronađite intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite zbroj cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, ponovno crtamo graf i označavamo granice [−3; 7.5], kao i nule derivacije x = −1.5 i x = 5.3. Zatim označavamo predznake izvedenice. Imamo:

Budući da je derivacija negativna na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje zbrojiti sve cijele brojeve koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Slika prikazuje graf derivacije funkcije f(x) definirane na segmentu [−10; 4]. Pronađite intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite duljinu najvećeg od njih.

Riješimo se suvišnih informacija. Ostavljamo samo granice [−10; 4] i nule derivacije, za koje se ovaj put ispostavilo da su četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zabilježite predznake derivacije i dobijete sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, t.j. gdje je f'(x) ≥ 0. Na grafu postoje dva takva intervala: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove duljine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Budući da je potrebno pronaći duljinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrijednost l 2 = 5.