Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano brojčani niz :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 pozvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći itd. Broj a n pozvao n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 sekvence članova a n +1 pozvao naknadni (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate odrediti metodu koja vam omogućuje da pronađete član niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje sa formule n-tog pojma , odnosno formula koja vam omogućuje da odredite član niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed naizmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Slijed se može odrediti ponavljajuća formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši s nekim, preko prethodnih (jedan ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako je a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti konačni i beskrajna .

Slijed se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajna ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajna. ◄

Slijed se zove povećavajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Slijed se zove jenjavajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja, ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monotoni niz .

Monotoni nizovi, posebno, su rastuće sekvence i opadajuće sekvence.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodan broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između sljedećih i prethodnih članova dane aritmetičke progresije je uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njezin prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronađite trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Poslužimo se gornjom tvrdnjom. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kao

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članovi aritmetičke progresije jednak je umnošku polovice zbroja ekstremnih članova s ​​brojem članova:

Iz ovoga posebno proizlazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, tada su količine a 1 , a n, d, n iS n povezane dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• ako d > 0 , onda se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će slijed biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako je za bilo koji prirodan broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njezin prvi član i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti pojam se može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da je istinito i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da je niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Poslužimo se gornjom tvrdnjom. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th pojam geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova ove progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kao

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, tada su količine b 1 , b n, q, n i S n povezane dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q odvijaju se sljedeće svojstva monotonosti :

• napredovanje se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako je a q< 0 , tada je geometrijska progresija znakovno naizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n pojmovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , tj

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija ne mora biti opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznak alternativan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj na koji je zbroj prvog n uvjeti progresije uz neograničeno povećanje broja n . Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija usko su povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , onda

zapisnik a b 1, zapisnik a b 2, zapisnik a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom dnevnik aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Prva razina

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019.)

Numerički niz

Pa sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš slijed:

Dodijeljeni broj je specifičan samo za jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundarna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav brojčani niz naziva se aritmetička progresija.
Pojam "progresija" uveo je rimski autor Boecije još u 6. stoljeću i shvaćao ga se u širem smislu kao beskrajni brojčani niz. Naziv "aritmetika" prenio je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, zbrojen istim brojem. Taj se broj naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Shvaćam? Usporedite naše odgovore:
Je aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na zadanu progresiju () i pokušajmo pronaći vrijednost njezinog th člana. postojati dva način da ga pronađete.

1. Metoda

Možemo dodati prethodnu vrijednost broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo puno za rezimirati - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije jednak je.

2. Metoda

Što ako bismo trebali pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri zbrajanju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate prethodnoj vrijednosti dodati razliku aritmetičke progresije. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku ... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, pogledajmo što čini vrijednost --og člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Usporedite svoje unose s odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovodimo je u opći oblik i dobivamo:

Jednadžba aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.

Povećanje- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazni- progresije u kojima je svaka sljedeća vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunu izraza u rastućim i opadajućim izrazima aritmetičke progresije.
Provjerimo to u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva:

Od tad:

Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Usporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Zakomplicirajmo zadatak – izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je zadan sljedeći uvjet:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, a zatim ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplicirano, ali što ako su nam dati brojevi u uvjetu? Slažem se, postoji mogućnost pogreške u izračunima.
Sada razmislite, je li moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku pomoću bilo koje formule? Naravno, da, i sada ćemo to pokušati iznijeti.

Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni član progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Zbrojimo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbroj prethodnog i sljedećih članova progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da bismo pronašli vrijednost progresijskog člana s poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je zbrojiti i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.

Dobro napravljeno! Znate gotovo sve o napredovanju! Ostaje saznati samo jednu formulu koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika drugih razreda, na satu zadala sljedeći zadatak: „Izračunaj zbroj svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo. " Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao točan odgovor na zadatak, dok je većina kolega iz razreda drznika nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat ...

Mladi Carl Gauss primijetio je uzorak koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Trebamo pronaći zbroj zadanih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno zbrojiti sve vrijednosti, ali što ako trebamo pronaći zbroj njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Opišimo napredovanje koje nam je dano. Promotrite pomno istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Pokušao? Što ste primijetili? Ispravno! Njihovi su iznosi jednaki

Sada odgovori, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je dana? Naravno, točno polovica svih brojeva, tj.
Na temelju činjenice da je zbroj dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobivamo da je ukupan zbroj jednak:
.
Dakle, formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu zbroja, formulu th člana.
Što si dobio?

Dobro napravljeno! Vratimo se sada na problem koji je zadan Carlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbroj brojeva koji počinju od -tog, a zbroj brojeva koji počinju od -tog.

Koliko ste dobili?
Gauss se pokazao da je zbroj članova jednak i zbroj članova. Jeste li tako odlučili?

Zapravo, formulu za zbroj članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki znanstvenik Diofant još u 3. stoljeću, a kroz to vrijeme duhoviti su ljudi silovito koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnju piramide... Slika prikazuje jednu njegovu stranu.

Kažete gdje je tu napredak? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok opeke postavljene u bazu. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, napredovanje izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbroj th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih opeka potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Točan odgovor su blokovi:

Vježbati

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u tjednima ako je napravila čučnjeve na prvom treningu.
2. Koliki je zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je baza zidanja trupci.

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (tjedni = dani).

   Odgovor: Za dva tjedna Maša bi trebala čučnuti jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva na pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:

   Odgovor: Zbroj svih neparnih brojeva sadržanih u jednak je.

3. Prisjetite se problema s piramidama. U našem slučaju, a, budući da je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo hrpa slojeva, tj.
   Zamijenite podatke u formuli:

   Odgovor: U zidanju su trupci.

Sumirati

1. - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva jednaka i jednaka. Povećava se i smanjuje.
2. Pronalaženje formule. član aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se pronaći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKI NAPREDAK. SREDNJA RAZINA

Numerički niz

Sjednimo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći tko je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih pobrojati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki se broj može povezati s određenim prirodnim brojem, i to samo s jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj s brojem naziva se -ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (npr.), a svaki član tog niza - istim slovom s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja slijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

n-ti izraz formula

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali --ti pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije pomoću takve formule, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. Zatim:

E, sad je jasno koja je formula?

U svakom retku zbrajamo do, pomnoženo s nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Odluka:

Prvi član je jednak. A koja je razlika? A evo što:

(uostalom, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovaj iznos za nekoliko minuta. Uočio je da je zbroj prvog i zadnjeg broja jednak, zbroj drugog i pretposljednjeg jednak, zbroj trećeg i trećeg s kraja isti, i tako dalje. Koliko ima takvih parova? Tako je, točno pola broja svih brojeva, tj. Tako,

Opća formula za zbroj prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

Primjer:
Pronađite zbroj svih dvoznamenkastih višekratnika.

Odluka:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći dobiva se dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju čine aritmetičku progresiju s prvim članom i razlikom.

Formula za th član za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvoznamenkasti?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije bit će jednak. Zatim zbroj:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svaki dan sportaš trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u tjednima ako je prvi dan pretrčao km m?
2. Biciklist svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana putovao je km. Koliko dana mora voziti da prijeđe kilometar? Koliko će kilometara prijeći posljednjeg dana putovanja?
3. Cijena hladnjaka u trgovini svake se godine smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njezine parametre. U ovom slučaju, (tjedni = dani). Morate odrediti zbroj prvih članova ove progresije:
   .
   Odgovor:
2. Ovdje je dano:, potrebno je pronaći.
   Očito, morate koristiti istu formulu zbroja kao u prethodnom problemu:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, pa odgovor.
   Izračunajmo prijeđenu udaljenost tijekom posljednjeg dana koristeći formulu --og člana:
   (km).
   Odgovor:

3. S obzirom na: . Pronaći: .
   Ne postaje lakše:
   (trljati).
   Odgovor:

ARITHMETIČKI NAPREDAK. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija raste () i opada ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

zapisuje se kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina za pronalaženje zbroja:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Koncept brojčanog niza podrazumijeva da svakom prirodnom broju odgovara neka realna vrijednost. Takav niz brojeva može biti i proizvoljan i imati određena svojstva – progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati pomoću prethodnog.

Aritmetička progresija je niz brojčanih vrijednosti u kojem se njegovi susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i sljedećeg člana - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u napredovanju: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetička progresija, prema svojoj definiciji, je niz, u kojem je a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) - a(j-1).

dodijeliti:

• Rastuća progresija, u kojem slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, …
• smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Razlika progresije i njezinih proizvoljnih elemenata

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), tada se razlika za ovaj niz može utvrditi na temelju relacije:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, dakle d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njezin prvi pojam

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njezin zbroj

Zbroj progresije je zbroj njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali budući da a(j) = a(1) + d(j – 1), zatim S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Prilikom izučavanja algebre u srednjoj školi (9. razred) jedna od važnih tema je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije – geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Što je aritmetička progresija?

Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju razmatrane progresije, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Aritmetika ili je takav skup uređenih racionalnih brojeva čiji se svaki član razlikuje od prethodnog po nekoj konstantnoj vrijednosti. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.

Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva bit će aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., budući da je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, budući da razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Neka a n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Razlika je označena latiničnim slovom d. Tada su sljedeći izrazi istiniti:

1. Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Za određivanje zbroja prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.

Za razumijevanje bilo kojeg primjera aritmetičke progresije s rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da se svaki problem dotičnog tipa temelji na njihovoj upotrebi. Također, ne zaboravite da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1 .

Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana

Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.

Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu je potrebno pronaći pet članova.

Već iz uvjeta zadatka proizlazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definirati na dva načina:

1. Izračunajmo prvo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, može se uzeti bilo koja dva druga pojma koji stoje jedan do drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Budući da je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda d \u003d a 5 - a 4, odakle dobivamo: a 5 \u003d a 4 + d. Zamijenimo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, pa je prvo trebate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u zadnji izraz dobivamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, oba rješenja dovode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi se nizovi nazivaju opadajućim jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.

Primjer #2: razlika u napredovanju

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak, dajte primjer kako pronaći razliku aritmetičke progresije.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tako je odgovoreno na prvi dio zadatka.

Da biste vratili slijed na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer br. 3: napredovanje

Zakomplicirajmo još više stanje problema. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Može se navesti sljedeći primjer: navedena su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da se između njih smjeste još tri člana.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto zauzeti brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti pojam, koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 što se poklopilo sa stanjem problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim problemima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugog tipa: neka su dana dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. O ovim brojevima u stanju problema ništa se ne zna. Ipak, napišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.

Navedeni sustav najlakše je riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle je razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.

Primjer #5: Zbroj

Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.

Neka je data brojčana progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije, ovaj se problem može riješiti, odnosno uzastopno zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti odmah, čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je primijetiti da se ovaj problem naziva "Gaussovim", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio u mislima riješiti u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbroji biti točno 50 (100 / 2), tada je za dobivanje točnog odgovora dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbroj pojmova od n do m

Još jedan tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadani niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim ih uzastopno zbrajati. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se rješavanje ovog problema drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbroja, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Dobivena formula je pomalo glomazna, međutim, zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.

Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi se problemi temelje na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješenjem.

Drugi savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i razbiti opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Kad to shvatite, nije tako teško.

Mnogi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nisu svi dobro svjesni što je to. U ovom članku dat ćemo odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Dakle, ako govorimo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), onda to znači da postoji neki niz brojeva koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu razlikuju se za istu vrijednost. Matematički, ovo se piše ovako:

Ovdje n znači broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv proizlazi iz prikazane formule).

Što znači znati razliku d? O tome koliko su međusobno udaljeni susjedni brojevi. Međutim, poznavanje d je nužan, ali ne i dovoljan uvjet za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Morate znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element niza koji se razmatra, na primjer, 4, a10, ali se u pravilu koristi prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije već su dovoljne za prelazak na rješavanje konkretnih problema. Ipak, prije nego što se zada aritmetička progresija, te će biti potrebno pronaći njezinu razliku, predstavljamo nekoliko korisnih formula, čime ćemo olakšati daljnji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Doista, svatko može provjeriti ovu formulu jednostavnim nabrajanjem: ako zamijenimo n = 1, onda ćemo dobiti prvi element, ako zamijenimo n = 2, tada izraz daje zbroj prvog broja i razlike, i tako dalje.

Uvjeti mnogih zadataka sastavljeni su na način da je za poznati par brojeva, čiji su brojevi također dati u nizu, potrebno obnoviti cijeli niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo ovaj problem riješiti na opći način.

Dakle, recimo da su nam dana dva elementa s brojevima n i m. Koristeći gornju formulu, možemo sastaviti sustav od dvije jednadžbe:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Za pronalaženje nepoznatih veličina koristimo se dobro poznatom jednostavnom metodom rješavanja takvog sustava: lijevi i desni dio oduzimamo u paru, a jednakost ostaje važeća. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo eliminirali jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Dobili smo vrlo jednostavnu formulu: da bismo izračunali razliku d u skladu s uvjetima zadatka, potrebno je samo uzeti omjer razlika između samih elemenata i njihovih serijskih brojeva. Treba obratiti pozornost na jednu važnu točku: uzimaju se razlike između "stariji" i "mlađi" članovi, odnosno n> m ("senior" - što znači da stoji dalje od početka niza, njegova apsolutna vrijednost može biti bilo više ili manje više "mlađi" element).

Izraz za razliku d progresije treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješenja zadatka kako bi se dobila vrijednost prvog člana.

U naše doba razvoja računalne tehnologije mnogi školarci pokušavaju pronaći rješenja za svoje zadatke na internetu, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Na takav zahtjev tražilica će prikazati niz web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (mogu biti dva člana progresije ili zbroj nekih od njih) i odmah dobiti odgovor. Ipak, takav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu razvoja učenika i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Riješimo prvi problem, pri čemu nećemo koristiti nijednu od navedenih formula. Neka su zadani elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi su blizu jedan drugom u nizu. Koliko se puta razlika d treba dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d, dobivamo 7. element, drugi put - osmi, konačno, treći put - deveti). Koji broj tri puta treba dodati tri da dobijemo 18? Ovo je broj pet. Stvarno:

Dakle, nepoznata razlika je d = 5.

Naravno, rješenje se moglo napraviti odgovarajućom formulom, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješenja problema trebalo bi postati jasan i živopisan primjer što je aritmetička progresija.

Zadatak sličan prethodnom

Sada riješimo sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, možete ponovno posegnuti za metodom rješavanja "na čelo". Ali budući da su dati elementi serije, koji su relativno udaljeni, takva metoda postaje ne baš prikladna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. Koliko je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ovaj rezultat razlikuje se za samo 0,1% od vrijednosti navedene u uvjetu. Stoga se zaokruživanje na stotinke može smatrati dobrim izborom.

Zadaci za primjenu formule za člana

Razmotrimo klasičan primjer problema određivanja nepoznatog d: pronađite razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada se zadaju dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1 , tada ne morate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. U ovom slučaju imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Točan broj smo dobili prilikom dijeljenja, pa nema smisla provjeravati točnost izračunatog rezultata, kao što je to učinjeno u prethodnom stavku.

Riješimo još jedan sličan problem: trebali bismo pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo sličan pristup prethodnom i dobivamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Što još trebate znati o aritmetičkoj progresiji

Uz probleme pronalaženja nepoznate razlike ili pojedinih elemenata, često je potrebno riješiti i probleme zbroja prvih članova niza. Razmatranje ovih problema je izvan okvira teme članka, međutim, radi cjelovitosti informacija, donosimo opću formulu za zbroj n brojeva niza:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2