Kako pretvoriti logaritam u zajedničku bazu. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Prikupljeno kod nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudski nalog, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriju Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

\(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)

Hajde da to lakše objasnimo. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednak stupnju, na koji se \(2\) mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma se obično piše na njegovoj razini, a baza se upisuje u indeksu bliže predznaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet prema osnovici od pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: do kojeg stupnja treba podići bazu da biste dobili argument?

na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koji stepen treba povisiti \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugi. Tako:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koji se stepen \(\sqrt(5)\) treba povisiti da bi se dobilo \(1\)? I koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koji se stepen \(\sqrt(7)\) treba povisiti da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je samom sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koji stepen treba povisiti \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo što je razlomni stupanj, pa je kvadratni korijen potencija \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Odluka :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebamo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga sa x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Strelica lijevo desno\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Koje veze \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer se oba broja mogu predstaviti dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Na lijevoj strani koristimo svojstva stupnjeva: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Osnove su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo to razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da bi jednakost funkcionirala. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Što jednako x? To je poanta.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno napisati ovaj broj? Da bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer kad bismo to htjeli napisati u obliku decimalni razlomak, tada bi izgledalo ovako: \(1.892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Odluka :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Koristimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Strelica lijevo desno\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude lijevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomaknite \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se pojavljuju tako često da je s njima izmišljen poseban kratki zapis za logaritme:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam je zapisan kao \(\ln(a)\).

tj. \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: logaritam čija je baza 10 piše se \(\lg(a)\).

tj. \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Glavni logaritamski identitet' i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno slijedi iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

prisjetimo se kratka bilješka definicije logaritma:

ako je \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

To jest, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formulu \(a^(b)=c\) . Ispostavilo se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritma možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Odluka :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Također vrijedi i obrnuto: bilo koji broj može se napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) je također jednako \(2\), tako da možete napisati i \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ dnevnik_(7)(49)...\)

Dakle, ako trebamo, možemo to dvoje napisati kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak i u jednadžbi, čak iu izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo napišemo kvadratnu bazu kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje upisujemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ dnevnik_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ dnevnik_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Odluka :

Odgovor : \(1\)

(od grčkog λόγος - "riječ", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) naziva se takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevima b razumom a formuliran kao eksponent na koji se mora povisiti broj a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizlazi da je izračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednadžbe a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućuje odmah određivanje vrijednost logaritma kada je broj pod predznakom logaritma određena snaga baze. Doista, formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki s. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom stupanj broja.

Pominje se izračun logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimajući logaritam. Prilikom uzimanja logaritma, umnožak faktora se pretvara u zbroj članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja zadana baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U tom se slučaju zbrojevi članova pretvaraju u umnožak faktora.

Vrlo često se koriste realni logaritmi s bazama 2 (binarni), e Eulerov broj e ≈ 2,718 ( prirodni logaritam) i 10 (decimalno).

Na ovoj fazi prikladno razmotriti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer je u prvom od njih negativan broj stavljen pod znak logaritma, u drugom - negativan broj u bazi, a u trećoj - i negativan broj pod znakom logaritma i jedan u bazi.

Uvjeti za određivanje logaritma.

Vrijedi odvojeno razmotriti uvjete a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto su poduzeta ova ograničenja. To će nam pomoći s jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što izravno proizlazi iz gore navedene definicije logaritma.

Uzmite uvjet a≠1. Budući da je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 bit će bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu nejasnoću, uzimamo a≠1.

Dokažimo nužnost uvjeta a>0. Na a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda sukladno tome zapisnik 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula na bilo koji stepen različit od nule nula. Kako bi se otklonila ova dvosmislenost, uvjet a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, budući da je eksponent s racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Upravo iz tog razloga stanje a>0.

I posljednji uvjet b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, jer je x=log α b, te vrijednost stupnja s pozitivnom bazom a uvijek pozitivan.

Značajke logaritama.

Logaritmi karakterizira osebujna značajke, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšali mukotrpni izračuni. U prijelazu "u svijet logaritama" množenje se pretvara u puno lakše zbrajanje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tablice, koje su drugi znanstvenici povećali i detaljnije, bile su naširoko korištene u znanstvenim i inženjerskim izračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronički kalkulatori i računala.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 izračunavamo

4. gdje .

Primjer 2 Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ta pravila se moraju znati – bez njih niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne funkcioniraju!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice, mnogi ispitni radovi. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - praktički bez promjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je to vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, t.j. u sam logaritam možete unijeti brojeve ispred predznaka logaritma. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

mislim da posljednji primjer potrebno je pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri kata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti na brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima za zbrajanje i oduzimanje logaritma, posebno sam naglasio da rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali je u ovom slučaju cijeli izraz „obrnut“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numerički izrazi. Koliko su zgodne moguće je procijeniti tek pri odlučivanju logaritamske jednadžbe i nejednakosti.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim preseljenjem u novi temelj. Razmotrimo nekoliko ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim odgonetnuli logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su točni potenci. Zapišimo to i riješimo se pokazatelja:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na zadanu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u ovom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Još jednom pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi "vise" na njemu.

Kao i nove formule za pretvorbu baze, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa ista baza, dobivamo:

Ako netko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same ove baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, isprintajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost istinita

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na temelju logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) susrećemo se prilično često. Ostali su donekle složeni, ali u nizu zadataka neophodni su za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset obično se naziva logaritam baze deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da u zapisniku nisu upisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam baze dva je

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom varijablom

Integralni ili antiderivativni logaritam određen je ovisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Radi razumijevanja gradiva, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski kurikulum i sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. gdje .

Po izgledu složen izraz korištenjem niza pravila pojednostavljuje se u obliku

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x ako

Odluka. Za izračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbroj pojmova

Ovo je tek početak upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine – uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jedno ništa manje važna tema- logaritamske nejednakosti...

Osnovna svojstva logaritama

Ta pravila se moraju znati – bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - praktički bez promjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada ćemo malo zakomplicirati zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do posljednjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Osnovu i argument logaritma koji tamo stoji predstavili su u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri kata.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima za zbrajanje i oduzimanje logaritma, posebno sam naglasio da rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je zadan logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali je u ovom slučaju cijeli izraz „obrnut“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule rijetko se nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je ocijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim preseljenjem u novi temelj. Razmotrimo nekoliko ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim odgonetnuli logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su točni potenci. Zapišimo to i riješimo se pokazatelja:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na zadanu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule za pretvorbu baze, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same ove baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, isprintajte ga i riješite probleme.

Uputa

Zapišite zadani logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegov zapis skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, tada se zapisuje izraz: ln b je prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Kada nađete dvije funkcije iz zbroja, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i zbrojiti rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti s drugom i dodati derivaciju druge funkcije, pomnoženu s prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bismo pronašli derivaciju kvocijenta dviju funkcija, potrebno je od umnoška derivacije dividende pomnoženog s funkcijom djelitelja oduzeti umnožak derivacije djelitelja pomnoženog s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to po funkciji djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako se da složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti derivaciju unutarnje funkcije i derivaciju vanjske. Neka je y=u(v(x)), tada je y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i zadaci za izračunavanje derivacije u točki. Neka je dana funkcija y=e^(x^2+6x+5), trebate pronaći vrijednost funkcije u točki x=1.
1) Pronađite derivaciju funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u zadanu točku y"(1)=8*e^0=8

Slični Videi

Koristan savjet

Naučiti tablicu elementarnih izvedenica. Ovo će uštedjeti puno vremena.

Izvori:

konstantna derivacija

Dakle, što je drugačije ir racionalna jednadžba od racionalnog? Ako je nepoznata varijabla pod znakom korijen, tada se jednadžba smatra iracionalnom.

Uputa

Glavna metoda za rješavanje takvih jednadžbi je metoda podizanja oba dijela jednadžbe u kvadrat. Međutim. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obje strane dobiva se 2x-5=4x-7. Takvu jednadžbu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednadžbe. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednadžbi umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost ne vrijedi za kvadratni korijen. Stoga je 1 vanjski korijen, i stoga zadana jednadžba nema korijena.

Dakle, iracionalna se jednadžba rješava metodom kvadriranja oba njezina dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je nužno odrezati stranih korijena. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornu jednadžbu.

Razmotrite još jednu.
2x+vx-3=0
Naravno, ova se jednadžba može riješiti pomoću iste jednadžbe kao i prethodna. Prijenos spojeva jednadžbe, koji nemaju kvadratni korijen, desna strana a zatim upotrijebite metodu kvadriranja. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Sukladno tome, dobit ćete jednadžbu poput 2y2+y-3=0. Odnosno, uobičajeno kvadratna jednadžba. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednadžbe vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijena, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. Ovo zahtijeva učiniti identične transformacije dok se cilj ne postigne. Dakle, uz pomoć jednostavnih aritmetičke operacije zadatak će biti riješen.

Trebat će vam

- papir;
- olovka.

Uputa

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbroja (razlika), razlika kvadrata, zbroj (razlika), kocka zbroja (razlika)). Osim toga, ima ih mnogo trigonometrijske formule, koji su u biti isti identiteti.

Doista, kvadrat zbroja dva člana jednak je kvadratu prvog plusa dvostruki proizvod prvi prema drugom i plus kvadrat drugog, tj. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Pojednostavite oboje

Opći principi rješenja

Ponoviti udžbenik matematička analiza ili viša matematika, što je određeni integral. Kao što znate, rješenje određeni integral postoji funkcija čija će derivacija dati integrand. Ova funkcija naziva se primitivnim. Prema ovom principu konstruiraju se osnovni integrali.
Odredite oblikom integranda koji od tabličnih integrala pripada ovaj slučaj. To nije uvijek moguće odmah odrediti. Često, tablični oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.

Metoda zamjene varijable

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, čiji je argument neki polinom, zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na temelju omjera nove i stare varijable odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti nova vrsta prijašnji integral, blizak ili čak odgovarajući bilo kojem tabličnom.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prelazak s ovih integrala na skalarne. Jedno od takvih pravila je omjer Ostrogradsky-Gauss. Ovaj zakon omogućuje vam da prijeđete s toka rotora na neki vektorska funkcija na trostruki integral nad divergencijom zadanog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaska antiderivata potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo uključite vrijednost Gornja granica u izraz za antiderivat. Dobit ćete neki broj. Zatim od dobivenog broja oduzmite drugi broj, rezultirajuću donju granicu antiderivata. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, zamijenite je u antiderivativna funkcija potrebno je ići do granice i pronaći ono čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati predstaviti geometrijske granice integracije kako biste razumjeli kako izračunati integral. Uostalom, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravnine koje ograničavaju volumen koji se integrira.