Pronađite kut između gradijenata funkcija. Vektorska analiza skalarno polje površine i linije razine usmjerena derivacija derivacija skalarnog polja gradijent osnovna svojstva gradijentna invarijantna definicija pravila izračuna gradijentnog gradijenta

1 0 Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu plohu (ili na liniju razine ako je polje ravno).

2 0 Gradijent je usmjeren u smjeru povećanja funkcije polja.

3 0 Modul gradijenta jednak je najvećoj derivaciji u smjeru u danoj točki polja:

Ova svojstva daju nepromjenjivu karakteristiku gradijenta. Kažu da vektor gradU označava smjer i veličinu najveće promjene u skalarnom polju u danoj točki.

Napomena 2.1. Ako je funkcija U(x,y) funkcija dviju varijabli, tada je vektor

(2.3)

leži u oksi ravnini.

Neka U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) funkcije diferencibilne u točki M 0 (x,y,z). Tada vrijede sljedeće jednakosti:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, gdje , U=U() ima derivaciju u odnosu na .

Primjer 2.1. Zadana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Odrediti gradijent funkcije u točki M(-2;3;4).

Odluka. Prema formuli (2.2) imamo

.

Površine razine ovog skalarnog polja su obitelj sfera x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor avioni.

Primjer 2.2. Pronađite gradijent skalarnog polja U=x-2y+3z.

Odluka. Prema formuli (2.2) imamo

Ravne površine zadanog skalarnog polja su ravnine

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnina ove obitelji.

Primjer 2.3. Pronađite najstrmiji nagib plohe U=x y u točki M(2;2;4).

Odluka. Imamo:

Primjer 2.4. Pronaći jedinični vektor normalna na ravnu plohu skalarnog polja U=x 2 +y 2 +z 2 .

Odluka. Površine razine zadanog skalarnog polja sfere x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu, tako da

Definira vektor normale na plohu razine u točki M(x,y,z). Za jedinični normalni vektor dobivamo izraz

, gdje

.

Primjer 2.5. Pronađite gradijent polja U= , gdje su i konstantni vektori, r je vektor radijusa točke.

Odluka. Neka bude

Zatim:
. Po pravilu diferencijacije determinante dobivamo

Stoga,

Primjer 2.6. Pronađite gradijent udaljenosti , gdje je P(x,y,z) točka polja koje se proučava, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna točka.

Odluka. Imamo - jedinični vektor smjera.

Primjer 2.7. Nađite kut između gradijenata funkcija u točki M 0 (1,1).

Odluka. Nalazimo gradijente ovih funkcija u točki M 0 (1,1), imamo

; Kut između gradU i gradV u točki M 0 određuje se iz jednakosti

Stoga =0.

Primjer 2.8. Pronađite derivaciju s obzirom na smjer, radijus vektor je jednak

(2.4)

Odluka. Pronalaženje gradijenta ove funkcije:

Zamjenom (2.5) u (2.4) dobivamo

Primjer 2.9. Pronađite u točki M 0 (1;1;1) smjer najveće promjene u skalarnom polju U=xy+yz+xz i veličinu te najveće promjene u ovoj točki.

Odluka. Smjer najveće promjene polja označen je vektorom grad U(M). Nalazimo ga:

I stoga, . Ovaj vektor određuje smjer najvećeg porasta dato polje u točki M 0 (1;1;1). Vrijednost najveće promjene u polju u ovom trenutku jednaka je

.

Primjer 3.1. Pronađite vektorske linije vektorskog polja gdje je konstantni vektor.

Odluka. Imamo tako

(3.3)

Pomnožite brojnik i nazivnik prvog razlomka s x, drugog s y, trećeg sa z i zbrojite član po član. Koristeći svojstvo proporcije, dobivamo

Stoga xdx+ydy+zdz=0, što znači

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Sada pomnožimo brojnik i nazivnik prvog razlomka (3.3) s c 1, drugog s c 2, trećeg s c 3 i zbrojimo član po član, dobivamo

Odakle c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

I, dakle, s 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-konst.

Potrebne jednadžbe vektorskih linija

Ove jednadžbe pokazuju da se vektorske linije dobivaju kao rezultat presjeka sfera koje imaju zajedničko središte u ishodištu s ravninama, okomito na vektor . Iz toga slijedi da su vektorske linije kružnice čija su središta na pravoj liniji koja prolazi ishodištem u smjeru vektora c. Ravnine kružnica su okomite na navedenu liniju.

Primjer 3.2. Pronađite vektorsku liniju polja prolazeći kroz točku (1,0,0).

Odluka. Diferencijalne jednadžbe vektorske linije

dakle imamo . Rješavanje prve jednadžbe. Ili ako uvedemo parametar t, tada ćemo imati U ovom slučaju jednadžbu poprima oblik ili dz=bdt, odakle z=bt+c 2 .

Zadatak 2. Pronađite kosinus kuta a između gradijenta polja u točkama A(1, 2, 2) i B(-3, 1, 0). Odluka.

Zadatak 3. Za funkciju pronađite derivaciju duž unutarnje normale na cilindrična površina x 2 + z 2 = a 2 + c 2 u točki M 0(a, b, c). Odluka. Neka je f(x, y, z) = x 2 + z 2. Površina data u uvjetu je ravna površina za f koja prolazi točkom M 0. Imamo Funkcija f u točki M 0 najbrže raste u smjeru grad f, dakle, u smjeru normalnom na zadanu površinu.

Na temelju oblika funkcije f zaključujemo da je to smjer vanjske normale. Stoga će jedinični vektor unutarnje normale u točki M 0 biti jednak

Zadatak 5. Izračunajte tok vektorskog polja a = (z 2 - x, 1, y 5) kroz unutarnja površina S: y 2 = 2 x odsječeno ravninama: x = 2, z = 0, z = 3. Rješenje.

Odluka. Metoda I Kontura L - kružnica polumjera R, koja leži u ravnini z = 3. Odaberimo orijentaciju kao što je prikazano na slici, tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Parametarske jednadžbe izgledaju krugovi

II način. Da bismo izračunali cirkulaciju prema Stokesovom teoremu, biramo neku plohu S prevučenu konturom. Prirodno je uzeti kao S kružnicu koja za granicu ima konturu L. Jednadžba površine S ima oblik: Prema odabranoj orijentaciji konture, normala na površinu mora se uzeti jednakom

Zadatak 7. Koristeći Stokesov teorem, pronađite kruženje vektorskog polja preko presjeka x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ravninom z = 0. Rješenje. Prema Stokesovoj formuli

Zadatak 8. Pronađite vektorski tok kroz dio kugle x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , za x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, u smjeru vanjske normale. Odluka. Po definiciji vektorskog strujanja kroz površinu, nalazimo

Ako je u svakoj točki u prostoru ili dijelu prostora definirana vrijednost određene veličine, onda se kaže da je polje te veličine zadano. Polje se naziva skalarno ako je razmatrana vrijednost skalarna, tj. dobro karakterizira svojim brojčana vrijednost. Na primjer, temperaturno polje. Skalarno polje je zadano skalarnom funkcijom točke u = /(M). Ako se u prostor uvede kartezijanski koordinatni sustav, tada postoji funkcija tri varijable x, yt z - koordinate točke M: Definicija. Ravna površina skalarnog polja je skup točaka u kojima funkcija f(M) poprima istu vrijednost. Jednadžba površine razine Primjer 1. Pronađite površine razine skalarnog polja VEKTORSKA ANALIZA Površine razine skalarnog polja i linije razine Smjerna derivacija Derivatni gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje stupnja -4 prema definiciji a Gradient jednadžba površine će biti. Ovo je jednadžba kugle (s F 0) sa središtem na ishodištu. Skalarno polje naziva se ravno ako je polje isto u svim ravninama paralelnim s nekom ravninom. Ako se navedena ravnina uzme kao ravnina xOy, tada funkcija polja neće ovisiti o z koordinati, tj. bit će funkcija samo argumenata x i y, a također i značenja. Jednadžba razine razine - Primjer 2. Nađite linije razine skalarnog polja Ravne linije zadane su jednadžbama. Kod c = 0 dobivamo par linija, dobivamo obitelj hiperbola (slika 1.). 1.1. Smjerni izvod Neka postoji skalarno polje definirano skalarnom funkcijom u = /(Af). Uzmimo točku Afo i izaberimo smjer određen vektorom I. Uzmimo drugu točku M tako da vektor M0M bude paralelan s vektorom 1 (slika 2). Označimo duljinu MoM vektora s A/, a prirast funkcije /(Af) - /(Afo), koji odgovara pomaku D1, s ​​Di. Stav određuje Prosječna brzina promjena skalarnog polja po jedinici duljine u zadani smjer Neka sada teži nuli tako da vektor M0M cijelo vrijeme ostaje paralelan s vektorom I. Definicija. Ako za D/O postoji konačna granica relacije (5), onda se ona naziva derivacijom funkcije u danoj točki Afo na zadani smjer I i označava se simbolom zr!^. Dakle, po definiciji, Ova definicija nije povezana s izborom koordinatnog sustava, odnosno ima **varijantni karakter. Nađimo izraz za derivaciju s obzirom na smjer u Kartezijanski sustav koordinate. Neka je funkcija / diferencibilna u točki. Razmotrimo vrijednost /(Af) u točki. Tada se ukupni prirast funkcije može zapisati u sljedećem obliku: gdje i simboli znače da su parcijalne derivacije izračunate u točki Afo. Stoga su ovdje veličine jfi, ^ kosinus smjera vektora. Budući da su vektori MoM i I suusmjereni, njihovi kosinusi smjera su isti: Budući da se M Afo, stalno se smjestio na pravoj liniji, paralelno s vektorom 1, onda su kutovi konstantni, pa Konačno, iz jednakosti (7) i (8) dobivamo Eamuan i 1. Parcijalne derivacije su derivacije funkcije i u smjerovima koordinatnih osi s vanjskim nno- Primjer 3. Pronađite derivacija funkcije prema točki Vektor ima duljinu. Njegov kosinus smjera: Formulom (9) imat ćemo Činjenica da, znači da se skalarno polje u točki u danom smjeru starosti- Za ravno polje, derivacija u smjeru I u točki izračunava se formulom gdje je a kut koji formira vektor I s osi Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) za izračun derivacije duž smjera I u danoj točki Afo ostaje na snazi ​​čak i kada točka M teži točki Mo duž krivulje za koju je vektor I tangentan u točki PrISp 4. Izračunajte derivacija skalarnog polja u točki Afo(l, 1). koja pripada paraboli u smjeru ove krivulje (u smjeru rastuće apscise). Smjer ] parabole u točki je smjer tangente na parabolu u ovoj točki (slika 3). Neka tangenta na parabolu u točki Afo tvori kut o s osi Ox. Odakle onda usmjeravajući kosinus tangente Izračunajmo vrijednosti i u točki. Sada po formuli (10) dobivamo. Naći derivaciju skalarnog polja u točki u smjeru kružnice Vektorska jednadžba kružnice ima oblik. Nalazimo jedinični vektor m tangente na kružnicu Točka odgovara vrijednosti parametra. Gradijent skalarnog polja Neka je skalarno polje definirano skalarnom funkcijom za koju se pretpostavlja da je diferencibilna. Definicija. Gradijent skalarnog polja » u danoj točki M je vektor označen simbolom grad i definiran jednakošću Jasno je da ovaj vektor ovisi i o funkciji / i o točki M u kojoj se izračunava njegova derivacija. Neka je 1 jedinični vektor u smjeru Tada se formula za usmjerenu derivaciju može napisati na sljedeći način: . dakle, derivacija funkcije i u smjeru 1 jednaka je točkasti proizvod gradijenta funkcije u(M) po jediničnom vektoru 1° smjera I. 2.1. Osnovna svojstva gradijenta Teorem 1. Gradijent skalarnog polja okomit je na plohu razine (ili na liniju razine ako je polje ravno). (2) Provući proizvoljna točka M je ravna ploha u = const i odaberite glatku krivulju L na toj plohi koja prolazi kroz točku M (slika 4). Neka je I vektor tangent na krivulju L u točki M. Budući da je na površini razine u(M) = u(M|) za bilo koju točku Mj ∈ L, onda je, s druge strane, = (gradu, 1°) . Tako. To znači da su vektori grad i i 1° ortogonalni. Dakle, vektor grad i je ortogonan na bilo koju tangentu na plohu razine u točki M. Dakle, ortogonan je na samu plohu razine u točki M. Teorem 2 Gradijent je usmjeren u smjeru rastuće funkcije polja. Ranije smo dokazali da je gradijent skalarnog polja usmjeren duž normale na ravnu plohu, koja može biti orijentirana ili prema porastu funkcije u(M) ili prema njezinu smanjenju. Označimo s n normalu plohe razine orijentiranu u smjeru rastuće funkcije ti(M), a derivaciju funkcije u pronađimo u smjeru te normale (slika 5). Imamo Budući da prema uvjetu sa slike 5 i stoga VEKTORSKA ANALIZA Skalno polje Površine i linije razine Derivat u smjeru Derivat Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila za izračunavanje gradijenta Iz toga slijedi da je grad i je usmjerena u istom smjeru kao i ona koju smo odabrali normalni n, tj. u smjeru rastuće funkcije u(M). Teorem 3. Duljina gradijenta jednaka je najvećoj derivaciji s obzirom na smjer u danoj točki polja, (ovdje se uzima max $ u svim mogućim smjerovima u danoj točki M do točke). Imamo gdje je kut između vektora 1 i grad n. Budući da je najveća vrijednost Primjer 1. Pronađite smjer najvećeg i apsolutnog skalarnog polja u točki i također veličinu ove najveće promjene u navedenoj točki. Smjer najveće promjene u skalarnom polju označen je vektorom. Imamo tako Ovaj vektor određuje smjer najvećeg povećanja polja do točke. Vrijednost najveće promjene u polju u ovom trenutku je 2,2. Invarijantna definicija gradijenta Veličine koje karakteriziraju svojstva predmeta koji se proučava i ne ovise o izboru koordinatnog sustava nazivaju se invarijantama. ovaj objekt. Na primjer, duljina krivulje je invarijanta ove krivulje, ali kut tangente na krivulju s x-osi nije invarijanta. Na temelju tri svojstva gradijenta skalarnog polja dokazana gore, možemo dati sljedeće invarijantna definicija gradijent. Definicija. Gradijent skalarnog polja je vektor usmjeren duž normale na površinu razine u smjeru rastuće funkcije polja i koji ima duljinu jednaku najvećoj derivaciji smjera (u danoj točki). Neka je jedinični normalni vektor usmjeren u smjeru rastućeg polja. Zatim Primjer 2. Pronađite gradijent udaljenosti - neka fiksna točka, i M(x,y,z) - trenutni. 4 Imamo gdje je jedinični vektor smjera. Pravila za izračun gradijenta gdje je c konstantan broj. Gornje formule dobivene su izravno iz definicije gradijenta i svojstava izvedenica. Po pravilu diferencijacije proizvoda Dokaz je sličan dokazu svojstva Neka je F(u) diferencijabilna skalarna funkcija. Tada 4 Prema definiciji gradijenta, imamo Primijeni na sve pojmove s desne strane pravilo diferencijacije složena funkcija. Dobivamo Konkretno, Formula (6) slijedi iz ravnine formule na dvije fiksne točke ove ravnine. Razmotrimo proizvoljnu elipsu s žarištima Fj i F] i dokažimo da svaka svjetlosna zraka koja izlazi iz jednog žarišta elipse, nakon refleksije od elipse, ulazi u njezino drugo žarište. Linije razine funkcije (7) su VEKTORSKA ANALIZA Skalarna polja Površine i linije razine Smjerna derivacija Izvedba Gradijent skalarnog polja Osnovna svojstva gradijenta Invarijantna definicija gradijenta Pravila proračuna gradijenta Jednadžbe (8) opisuju obitelj elipsa sa žarištima u točkama F ) i Fj. Prema rezultatu primjera 2, imamo Dakle, gradijent dato polje jednak vektoru PQ dijagonale romba izgrađene na jediničnim vektorima od r? i radijus vektori. povučen u točku P(x, y) iz žarišta F| i Fj, te stoga leži na simetrali kuta između ovih radijus vektora (slika 6). Prema Tooromu 1, gradijent PQ je okomit na elipsu (8) u točki. Stoga, sl.6. normala na elipsu (8) u bilo kojoj točki prepolovi kut između vektora radijusa povučenih u ovu točku. Odavde i iz činjenice da je upadni kut jednak kutu refleksije, dobivamo: zraka svjetlosti koja izlazi iz jednog žarišta elipse, reflektirajući se od njega, sigurno će pasti u drugo žarište ove elipse.