Događaj 2 akcija. Teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti: glavni zadaci

prijepis

1 odgovor = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P(4, 5, 6) = a) P 4 = 24; b) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, nedovoljno, 9, radnje na događaje Događaj se naziva slučajnim ili mogućim ako rezultat testa dovodi do pojave ili nepojave ovog događaja . Na primjer, gubitak grba pri bacanju novčića; ispuštanje lica s brojem bodova jednakim 3 prilikom bacanja kocke. Događaj se naziva izvjesnim ako će se, pod uvjetima ispitivanja, definitivno dogoditi. Na primjer, vađenje bijele kuglice iz urne koja sadrži samo bijele kuglice; ne ispusti više od 6 bodova pri bacanju kocke. Za događaj se kaže da je nemoguć ako se, u uvjetima testa, zna da se ne dogodi. Na primjer, gubitak sedam bodova pri bacanju jedne kocke; izvlačenje više od četiri asa iz običnog špila karata. Slučajni događaji su označeni latiničnim slovima abecede A, B, C i tako dalje. Događaji su zajednički i nespojivi. Događaji se nazivaju nespojivim ako, pod ispitnim uvjetima, pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. Primjerice, gubitak grba i repova jednim bacanjem novčića; pogodio i promašio jednim udarcem. Događaji se nazivaju zajedničkim ako, u uvjetima ispitivanja, pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugih. Na primjer, pogoditi metu i promašiti kada pucate s dvije puške u isto vrijeme; gubitak dva grba pri bacanju dva novčića. Događaji se nazivaju jednako vjerojatnim ako je, pod uvjetima danog testa, vjerojatnost da se svaki od tih događaja dogodi jednaka. Primjeri jednako vjerojatnih događaja: gubitak grba i gubitak repova u jednom bacanju novčića; trinaest

2 spuštanje broja bodova od 1 do 6 pri bacanju jedne kocke. Događaj C, koji se sastoji u pojavi barem jednog od događaja A ili B, naziva se zbroj (unija) događaja i označava se C = A + B (C = A B). Događaj C, koji se sastoji u zajedničkom nastupu događaja A i B, naziva se umnožak (presjek) tih događaja i označava se C = A B (C = A B). Događaj C, koji se sastoji u tome da se događaj a ne dogodi, naziva se suprotnim događajem i označava se s A. Zbroj suprotnih događaja je određeni događaj Ω, odnosno A + A = Ω. Umnožak suprotnih događaja je nemoguć događaj (V), odnosno A A = V. Skup mogućih događaja čini potpunu skupinu ako se barem jedan od ovih događaja pojavi kao rezultat testiranja: n A i = Ω. i=1 Na primjer, kada se baca kocka, ispadanje od jednog do šest bodova čini kompletnu grupu događaja Događaj A od četiri testirane žarulje, sve neispravne; događaj B sve žarulje su dobre. Što znače događaji: 1) A + B; 2) A B; 3) A; 4) B? Odluka. 1) Događaj A je da su sve žarulje neispravne, a događaj B da su sve žarulje ispravne. Zbroj događaja A + B znači da sve žarulje moraju biti ili neispravne ili ispravne. 2) Žarulje događaja A B moraju biti i neispravne i dobre, tako da je događaj A B nemoguć. 3) A sve žarulje su neispravne, dakle A barem jedna žarulja je dobra. 4) B sve žarulje su dobre, dakle B je barem jedna žarulja neispravna. četrnaest

3 2.2. Jedan broj se nasumično uzima iz tablice slučajnih brojeva. Događaj A odabrani broj je djeljiv s 2, događaj B odabrani broj je djeljiv s 3. Što znače događaji: 1) A+B; 2) A B; 3) A B? Odluka. 1) Zbroj događaja a + B je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od događaja A ili B, to jest, slučajno odabrani broj mora biti djeljiv sa 2, 3 ili 6. 2) proizvod događaja A B znači da se događaji A i B događaju u isto vrijeme. Stoga odabrani broj mora biti djeljiv sa 6. 3) A B odabrani broj nije djeljiv sa Dva strijelca ispaljuju jedan hitac u istu metu. Događaj A prvi strijelac pogodi metu; događaj B drugi strijelac pogađa metu. Što znače događaji: a) A + B; b) A B; c) A + B; d) A B? Odluka. a) Događaj A+B znači: barem jedan od strijelaca pogodi metu; b) događaj A B znači: obje strijele pogodile su metu; c) događaj A+B znači: najmanje jedan promašaj; d) događaji A B znači: obojica griješe Dva šahista igraju jednu partiju. Događaj A će pobijediti prvi igrač, događaj B drugi igrač. Koji događaj treba dodati navedenom skupu da se dobije kompletna grupa događaja? Odluka. Događaj C izvlačenje S obzirom na dva duplikata bloka a 1 i a 2. Zapišite događaj da je sustav zatvoren. Odluka. Uvedemo sljedeću notaciju: 1 događaj, koji se sastoji u činjenici da je blok a 1 uslužan; a1 a A 2 2 događaj koji blokira a 2 je zdrav; S je događaj da je sustav zatvoren. Blokovi su redundantni, pa će sustav biti zatvoren kada barem jedan od blokova radi, odnosno S = A 1 + A Zadan je sustav od tri bloka a 1, a 2, b. Zapišite događaje - 15

4 kravata, koja se sastoji u činjenici da je sustav zatvoren. Odluka. Uvedemo oznaku: A 1 a a 1 2 b sljedeći događaj, koji se sastoji u činjenici da je blok a 1 upotrebljiv; Događaj 2 koji blokira 2 je zdrav; B događaj koji se sastoji u činjenici da je blok b zdrav; S je događaj da je sustav zatvoren. Razbijmo sustav na dva dijela. Zatvaranje sustava koji se sastoji od duplikata blokova, kao što vidimo, može se zapisati kao događaj A 1 + A 2. Za zatvaranje cijelog sustava uvijek je potrebna upotrebljivost bloka B, stoga je S = (A 1 + A 2) B. Zadaci za samostalno rješenje 2.7 . Jedan broj se nasumično uzima iz tablice slučajnih brojeva. Događaj A odabrani broj je djeljiv s 5, događaj B ovaj broj završava nulom. Što znače događaji: 1) A+B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Tri strijelca pucaju u metu. Događaji: 1 pogodak prvog strijelca u metu; 2 pogodak drugog strijelca; 3 pogodio treći strijelac. Napravite potpunu grupu događaja U kutiji se nalazi nekoliko loptica iste veličine, ali različitih boja: bijela, crvena, plava. Događaj K i nasumično uzeta crvena kugla; događaj B i je bijeli; događaj C i je plave boje. Vade se dvije loptice u nizu (i = 1, 2 je redni broj izvađenih loptica). Zapišite sljedeće događaje: a) događaj A, druga nasumično uzeta kuglica se pokazala plavom; b) događaj A; c) događaj B su obje loptice crvene? Sastavite kompletnu skupinu događaja Tri metka se ispaljuju u metu. S obzirom na događaje A i (i = 1, 2, 3) koji pogađaju metu tijekom i-tog hica. Izrazite kroz A i i A i sljedeće događaje: 1) niti jedan pogodak u 16

5 gola; 2) jedan pogodak u metu; 3) dva pogotka u metu; 4) tri pogotka u metu; 5) najmanje jedan pogodak u metu; 6) barem jedan promašaj Jesu li sljedeći događaji nespojljivi: a) iskustvo bacanja novčića; događaji: A izgled grba, B izgled brojeva; b) doživjeti dva hica u metu; događaji: Najmanje jedan pogodak, barem jedan promašaj Jesu li sljedeći događaji jednako mogući: a) iskustvo bacanja novčića; događaji: A izgled grba, B izgled brojeva; b) iskustvo bacanja savijenog novčića; događaji: A izgled grba, B izgled brojeva; c) iskustvo: pucanje u metu; događaji: A pogodak, B promašaj Da li sljedeći događaji čine kompletnu grupu događaja: a) iskustvo bacanja novčića; događaji: A grb, B lik; b) iskustvo bacanja dva novčića; događaji: A dva grba, B dva broja Baci kocku. Označimo događaje: A gubitak 6 bodova, B gubitak 3 boda, C gubitak parnog broja bodova; D ispusti broj bodova koji je višekratnik tri. Kakvi su odnosi između ovih događaja? Neka su A, B, C proizvoljni događaji. Što znače sljedeći događaji: ABC; ABC; A+BC; ABC+ABC+ +ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Kroz proizvoljne događaje A, B, C pronađite izraze za sljedeće događaje: a) dogodio se samo događaj A; b) dogodili su se A i B, C se nije dogodilo; c) sva tri događaja su se dogodila; d) se dogodio barem jedan od ovih događaja; e) dogodila su se najmanje dva događaja; e) dogodio se jedan i samo jedan događaj; g) dogodila su se dva i samo dva događaja; 17

ELEMENTI TEORIJE VJEROJATNOSTI. Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce koji nastaju u slučajnim pokusima. Ishod testa je slučajan u odnosu na test, ako tijekom ovog

1 Osnovni pojmovi kombinatorike 1 Definicija primjene Umnožak svih prirodnih brojeva od 1 do uključivo n naziva se n-faktorijalom i piše se Primjer Izračunaj 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Pouzdan događaj. Događaj se naziva izvjesnim ako će se nužno dogoditi pod određenim skupom uvjeta. Simbol: Ω (točno). Nemoguć događaj. Događaj koji

TEMA 1. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI. KLASIČNE I GEOMETRIJSKE VJEROJATNOSTI Predmet teorije vjerojatnosti. Koncept slučajnog događaja. Prostor elementarnih događaja. klasični i geometrijski

1.1. Klasična definicija vjerojatnosti Osnovni koncept teorije vjerojatnosti je koncept slučajnog događaja. Slučajni događaj je događaj koji pod određenim uvjetima može

Glavne odredbe teorije vjerojatnosti Događaj se naziva slučajnim s obzirom na određene uvjete, koji se pod provedbom ovih uvjeta mogu dogoditi ili ne dogoditi. Teorija vjerojatnosti ima

( σ-algebra - polje slučajnih događaja - prva skupina Kolmogorovljevih aksioma - druga skupina Kolmogorovljevih aksioma - osnovne formule teorije vjerojatnosti - teorem zbrajanja vjerojatnosti - uvjetna vjerojatnost

Predmet teorije vjerojatnosti U raznim granama znanosti i tehnologije često se javljaju situacije kada se rezultat svakog od mnogih provedenih eksperimenata ne može unaprijed predvidjeti, ali je moguće istražiti

SADRŽAJ TEMA III. UVOD U TEORIJU VJEROJATNOSTI... 2 1. REFERENTNI MATERIJALI... 2 1.1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.2. RADNJE NA SLUČAJNE DOGAĐAJE... 4 1.3. KLASIČNA DEFINICIJA

LEKCIJA 3 UVOD U TEORIJU VJEROJATNOSTI METODOLOŠKE PREPORUKE MISIS 2013 ODOBRENO: D.E. Kaputkin predsjednik Prosvjetno-metodičkog povjerenstva za provedbu Ugovora s Odjelom za školstvo planine.

1.6. Neovisni testovi. Bernoullijeva formula Prilikom rješavanja probabilističkih problema često se mora suočiti sa situacijama u kojima se isti test ponavlja mnogo puta, a ishod svakog testa

Vjerojatnost. Što je? Teorija vjerojatnosti, kao što ime govori, bavi se vjerojatnostima. Okruženi smo mnogim stvarima i pojavama o kojima je, ma koliko znanost bila napredna, nemoguće davati točna predviđanja.

Vježba 1. Određivanje vjerojatnosti Svojstva slučajnih događaja 1. [Wentzel E.S., 1.1.] Čine li sljedeće skupine događaja cjelovitu skupinu: a) Iskustvo bacanja novčića; događaji: b) Iskustvo bacanja

PREDMET. TEOREME ZBIRANJA I MNOŽENJA VJEROJATNOSTI Operacije nad slučajnim događajima. Algebra događaja. Koncept kompatibilnosti događaja. Kompletna grupa događaja. Ovisnost i neovisnost slučajnih događaja. Uvjetno

Predavanje 2. Teoremi zbrajanja i množenja vjerojatnosti Zbroj i umnožak događaja

Matematika (BkPl-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 akademska godina, 1. semestar Predavanje 5. Tema: Kombinatorika, uvod u teoriju vjerojatnosti 1 Tema: Kombinatorika Kombinatorika je grana matematike koja proučava

Tema lekcije: "Najjednostavniji vjerojatnosni problemi." Učiteljica matematike 11. razreda Pereverzeva N.S. MOU Lyceum 6 Izvanredno je da znanost, koja je započela razmatranjem kockanja, obećava da će postati najvažnija

Elementi teorije vjerojatnosti. Plan. 1. Događaji, vrste događaja. 2. Vjerojatnost događaja a) Klasična vjerojatnost događaja. b) Statistička vjerojatnost događaja. 3. Algebra događaja a) Zbroj događaja. Vjerojatnost

Tema 33 “Vjerojatnost događaja” Svi često kažemo “ovo je nevjerojatno”, “vjerojatnije”, “ovo je malo vjerojatno” itd., kada pokušavamo predvidjeti pojavu događaja. Pri čemu

Federalna agencija za obrazovanje Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics NE Lugina RADIONICA O TEORIJI VJEROJATNOSTI Udžbenik Tomsk 2006 Recenzenti: Cand.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria i matemaatiline statistika Predavanje 1 Slučajni događaji Radnje na događaje Õppejõud: I. Gusseva TEORIJA VJEROJATNOSTI Uvod Teorija vjerojatnosti se bavi

VJEROJATNOST SLUČAJNOG DOGAĐAJA Kolmogorovljevi aksiomi Godine 1933. AN Kolmogorov je u svojoj knjizi "Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti" dao aksiomatsku potporu teorije vjerojatnosti. „To znači da poslije

Domaća zadaća 1 "Teorija vjerojatnosti" Zadatak 1. 1.1. Postoji pet ulaznica u vrijednosti od jedne rublje, tri ulaznice po tri rublje i dvije ulaznice po pet rubalja. Tri ulaznice se izvlače nasumično. Odrediti vjerojatnost

Ispit iz primijenjene matematike za studente 2. godine dopisnog obrazovanja Više ekonomske škole, smjer priprema 08.03.01. konstrukcija. Opcija 1. 1) Prirodni broj ne veći od

Praktični rad 3 Algebra događaja. Zbrajanje i množenje vjerojatnosti Svrha rada: ovladati izračunom vjerojatnosti zajedničkih događaja, definiranjem vjerojatnosti pomoću formula zbroja i proizvoda. Oprema

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA RUSKE FEDERACIJE VOLGOGRAD DRŽAVNO TEHNIČKO SVEUČILIŠTE VOLGA POLITEHNIČKI INSTITUT ODSJEK ZA MATEMATIKU Teorija vjerojatnosti (uvod) 1. dio Metodički

Odjel za matematiku i informatiku Matematika Nastavno-metodički kompleks za studente srednjeg stručnog obrazovanja koji studiraju korištenjem daljinskih tehnologija Modul 6 Elementi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike

OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI. 3.1. Slučajni događaji. Svaka znanost, proučavajući fenomene materijalnog svijeta, operira s određenim pojmovima, među kojima nužno ima temeljnih;

Praktični rad 2 Tema 2 Formula ukupne vjerojatnosti i Bayesova formula Ponavljanje pokusa (Bernoullijeva shema). Reći ćemo da događaji H 1, H 2, H n čine kompletnu grupu, ako kao rezultat pokusa:

13 Zbrajanje i množenje vjerojatnosti Događaj A naziva se posebnim slučajem događaja B ako se, kada se dogodi A, dogodi B i zabilježi se B: Događaji A i B nazivaju se jednakima ako je svaki od njih poseban slučaj

KOMBINATORIJA VJEROJATNOSTI Tema 5 Sadržaj predavanja 1 Uvod 2 3 4 Sljedeći odlomak 1 Uvod 2 3 4 Problem... Problem... Problem... ... i rješenje: Djevojčica

Tema predavanja: ALGEBRA DOGAĐAJA OSNOVNI TEOREMI O VJEROJATNOSTI Algebra događaja Zbroj događaja naziva se događaj S = + koji se sastoji u pojavi barem jednog od njih Umnožak događaja i naziva se

Predavanje 9

KONTROLNI ZADACI Ispit 1 Opcija 1 1. Među 0 keramičkih proizvoda koje je trgovina zaprimila nalaze se 4 neispravna. Kako bi provjerio kvalitetu, trgovac nasumično odabire dva proizvoda. Pronađite vjerojatnost

(definicije - slučajni događaj - operacije nad vjerojatnošću događaja na diskretnom prostoru elementarnih ishoda klasična definicija primjera vjerojatnosti primjer hipergeometrijske distribucije

PRKTIKUM Osnovne formule kombinatorike Vrste događaja Radnje na događaje Klasična vjerojatnost Geometrijska vjerojatnost Osnovne formule kombinatorike Kombinatorika proučava broj kombinacija,

1. PREDAVANJE TEORIJA VJEROJATNOSTI Teorija vjerojatnosti je znanost koja proučava pravilnosti u slučajnim pojavama. Slučajna pojava je takva pojava da, uz opetovanu reprodukciju istih

1 Vjerojatnost Eksperimentalni podaci obrađuju se različitim metodama. Obično, istraživač, nakon što je dobio eksperimentalne podatke o jednoj ili više grupa ispitanika i od njih odredio

Osnove teorije vjerojatnosti Predavanje 2 Sadržaj 1. Uvjetna vjerojatnost 2. Vjerojatnost umnoška događaja 3. Vjerojatnost zbroja događaja 4. Formula ukupne vjerojatnosti Zavisni i nezavisni događaji Definicija

Tema: Teorija vjerojatnosti Disciplina: Matematika Autori: Nefedova G.A. Datum: 9.0.0. Vjerojatnost slučajnog događaja može biti jednaka. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Vjerojatnost određenog događaja je jednaka.

Teorija vjerojatnosti Plan predavanja P O vjerojatnosti kao znanosti P Osnovne definicije vjerojatnosti P Učestalost slučajnog događaja Definicija vjerojatnosti P 4 Primjena kombinatorike na brojanje

Čiv kroz S događaj, koji se sastoji u činjenici da sustav nije zatvoren, može se zapisati: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Slično rješenju zadataka 2.5, 2.6, dobivamo S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Tema 8 Diskretne slučajne varijable. Često je rezultat slučajnog eksperimenta broj. Na primjer, možete baciti kocku i dobiti jedan od brojeva:,3,4,5,6. Možete se odvesti do benzinske postaje

Uvjetna vjerojatnost. Teorem množenja vjerojatnosti Broj:..B Problem: Vjerojatnost zajedničke pojave neovisnih događaja A i B određena je formulom Odgovori:). P(A)PA(B)). P(A) + P(B)).

Predavanje 10 TEMA Osnove teorije vjerojatnosti (2. dio). Autor: Maksim Igorevič Pisarevsky, predavač u Centru za predsveučilišnu obuku, Nacionalno istraživačko nuklearno sveučilište MEPhI. Moskva, 2017. Definicije i svojstva Osnovne definicije teorije

Zadatak Rješavanje problema iz teorije vjerojatnosti Tema: "Vjerojatnost slučajnog događaja." Zadatak. Novčić se baca tri puta zaredom. Pod ishodom pokusa podrazumijevamo niz X X X. gdje je svaki

Test 01 1. Slučajni događaji i njihova klasifikacija. 2. Matematičko očekivanje slučajne varijable. 3. U kutiji se nalazi 15 crvenih, 9 plavih i 6 zelenih loptica. Nasumce se izvlači 6 loptica. Kolika je vjerojatnost

LEKCIJA 1 SLUČAJNI DOGAĐAJI Glavni pojam prirodne znanosti je pojam eksperimenta, bez obzira na to, priroda ili istraživač izvodi ovaj eksperiment.

Rješavanje zadataka iz zbirke Chudesenkoovih zadataka teorije vjerojatnosti -0. Opcija 6 Zadatak. Bacaju se dvije kocke. Odredite vjerojatnost da: a) zbroj broja bodova ne prelazi N; b) rad

DRŽAVNO SVEUČILIŠTE TOMSK Ekonomski fakultet RADIONICA O TEORIJI VJEROJATNOSTI I MATEMATIČKOJ STATISTICI ZA EKONOMISTE DIO Tomsk 06 ODOBRENO od strane Katedre za matematičke metode i informacije

1 DIO I. TEORIJA VJEROJATNOSTI POGLAVLJE 1. 1. Elementi kombinatorike Definicija 1. Primjeri: Definicija. -faktorijalni je broj označen sa !, dok! = 1** * za sve prirodne brojeve 1, ; osim,

Stavak: Opći koncepti Teorija vjerojatnosti Slučajni događaji Definicija: Teorija vjerojatnosti je matematička znanost koja proučava kvantitativne obrasce u slučajnim pojavama Teorija vjerojatnosti nije

Evaluacijski alati za tekuće praćenje napretka, srednje certificiranje na temelju rezultata svladavanja discipline i nastavno-metodička potpora samostalnom radu učenika 1 Varijante kontrolnog rada

Vorobyov V.V. "Licej" u Kalachinsku, Omska regija Radionica o rješavanju problema iz teorije vjerojatnosti i matematičke statistike

A.V. Udžbenik teorije vjerojatnosti bez klubova Nižnji Novgorod 06 Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije Federalna državna proračunska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

Knjiga zadataka Chudesenko, teorija vjerojatnosti, varijanta Bacaju se dvije kocke. Odredite vjerojatnost da: a zbroj broja bodova ne prelazi N ; b umnožak broja bodova ne prelazi N; u

Sastavila: izvanredna profesorica Zavoda za medicinsku i biološku fiziku Romanova N.Yu. Teorija vjerojatnosti 1 predavanje Uvod. Teorija vjerojatnosti je matematička znanost koja proučava obrasce slučajnih pojava.

MVDubatovskaya Teorija vjerojatnosti i matematička statistika Predavanje 3 Metode za određivanje vjerojatnosti 0 Klasična definicija vjerojatnosti Svaki od mogućih rezultata eksperimenta nazivamo elementarnim

1. Vlak se sastoji od 12 vagona. Svaki od 7 putnika nasumično bira bilo koji automobil. Nađite vjerojatnosti sljedećih događaja: A = (svi putnici su se ukrcali u prva tri automobila); B = (svi putnici su ušli u različite

Elementi teorije vjerojatnosti Slučajni događaji Deterministički procesi U znanosti i tehnologiji razmatraju se procesi čiji se ishod može sa sigurnošću predvidjeti: Ako se razlika primijeni na krajeve vodiča

Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "NACIONALNO ISTRAŽIVAČKO POLITEHNIČKO SVEUČILIŠTE TOMSK" PREDAVANJE O TEORIJI

1 Klasična definicija vjerojatnosti 1 Špil od 3 karte pažljivo se miješa Nađite vjerojatnost da su sva četiri asa u špilu jedan za drugim bez ukrštanja ostalih karata Broj rješenja

Predavanje 3. UVJETNA VJEROJATNOST I NEZAVISNOST DOGAĐAJA FORMULA UKUPNE VJEROJATNOSTI I BAYESOV TEOREM SVRHA PREDAVANJA: definirati pojmove uvjetne vjerojatnosti i neovisnosti događaja; konstruirati pravilo množenja

KONTROLNI ZADACI Zadatak. Potrebno je riješiti problem koji odgovara broju vaše opcije. Kutija sadrži zavojnice od četiri boje: bijela 5 crvena zelena plava 0. Kolika je vjerojatnost da nasumično

1. U košari je 14 jabuka, od kojih su 4 crvene. Nasumično (bez povratka) dobili su 4 jabuke. Nađite vjerojatnost da su točno 3 crvene boje uhvaćene. 2. Nasumično se sastavlja popis od 20 poslovnih poziva.

1. Brojevi 1,..., n su nasumičnim redoslijedom. Nađite vjerojatnost da su brojevi 1, 2 i 3 jedan do drugog zadanim redoslijedom. 2. Od deset ekipa, četiri idu u finale. Pod pretpostavkom da svaki

FEDERALNA DRŽAVNA PRORAČUNSKA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA "Čeljabinska državna akademija za kulturu i umjetnost" Odsjek za informatiku TEORIJA VJEROJATNOSTI

TEMA 1 Kombinatorika Izračun vjerojatnosti Zadatak 1B Na nacionalnom nogometnom kupu sudjeluje 17 momčadi Na koliko načina postoji raspodjela zlatne, srebrne i brončane medalje? Ukoliko

Predstavljamo koncept nasumično događaji. Budući da ćemo u budućnosti razmatrati samo slučajne događaje, onda ćemo ih, počevši od ovog trenutka, u pravilu zvati jednostavno događajima.

Bilo koji set elementarni ishodi, ili, drugim riječima, proizvoljan podskup prostori elementarnih ishoda, nazvao događaj .

Elementarni ishodi koji su elementi razmatranog podskupa (događaji) nazivaju se elementarni ishodi, povoljan dano događaj , ili generiranje Ovaj događaj .

Događaji će biti označeni velikim latiničnim slovima, dopunivši ih indeksima ako je potrebno, na primjer: ALI, NA 1 ,S 3 itd.

Kažu da je događaj ALI dogodilo (ili dogodilo) ako se neki od elementarnih ishoda pojavio kao rezultat eksperimenta.

Napomena 1. Radi praktičnosti prezentiranja materijala, pojam “događaj” kao podskup prostora elementarnih događaja Ω poistovjećuje se s pojmom “događaj nastao kao rezultat iskustva” ili “događaj se sastoji u pojavi nekog elementarnog ishodi”.

Dakle, u primjeru 2, gdje
, događaj ALI je podskup
. Ali također ćemo reći da događaj ALI je pojava bilo kojeg od elementarnih ishoda

Primjer 1.5. U primjeru 2 pokazano je da s jednim bacanjem kocke

gdje - elementarni ishod, koji se sastoji u gubitku i bodova. Razmotrite sljedeće događaje: ALI- gubitak parnog broja bodova; NA- gubitak neparnog broja bodova; S- gubitak broja bodova koji je višestruki od tri. Očito je da

,
,

Događaj koji se sastoji od svih elementarnih ishoda, t.j. događaj koji se nužno događa u danom iskustvu naziva se određenim događajem.

Određeni događaj se označava slovom Ω .

Događaj , suprotno određenom događaju Ω, naziva se nemoguće. Očito nemoguć događaj ne može se pojaviti kao rezultat iskustva. Na primjer, ispuštanje više od šest bodova prilikom bacanja kocke. Nemogući događaj će biti označen sa Ø.

Nemogući događaj ne sadrži nikakav elementarni događaj. To odgovara takozvanom "praznom skupu", koji ne sadrži niti jednu točku.

Geometrijski, slučajni događaji su predstavljeni skupovima točaka u domeni Ω, t.j. područja koja leže unutar Ω (slika 1.1). Pouzdan događaj odgovara cijeloj regiji Ω.

U teoriji vjerojatnosti nad događajima se izvode razne operacije čija ukupnost čini tzv algebra događaja, usko povezan s algebrom logike, široko korišten u modernim računalima.

Riža. 1.1 Sl. 1.2

Da bismo razmotrili probleme algebre događaja, uvodimo glavne definicije.

Dva se događaja zovu ekvivalent (ekvivalent) ako se sastoje od istih elementarnih događaja. Ekvivalentnost događaja je označena znakom jednakosti:

ALI=NA.

Događaj B naziva se posljedica događaja ALI:

ALINA,

Ako iz izgleda ALI slijedi izgled NA. Očito ako ALINA i NAALI, onda ALI=NA, ako ALINA i NAS, onda ALIS(slika 1.2).

iznos ili udruga dva događaja ALI i NA takav se događaj zove S, koji se sastoji ili u realizaciji događaja ALI, ili događaji NA, ili događaji ALI i NA zajedno. Uvjetno napisano ovako:

S=ALI+NA ili S=ALI
NA.

Zbroj bilo kojeg broja događaji ALI 1 ,ALI 2 , … , ALI n se zove događaj S, koji se sastoji u pojavi barem jednog od ovih događaja i zapisuje se kao

ili

raditi ili preklapanje (raskrižje) dva događaja ALI i NA naziva događajem S, koji se također sastoji u realizaciji događaja ALI, i događaji NA. Uvjetno napisano ovako:

S=AB ili S=ALINA.

Proizvod bilo kojeg broja događaja definiran je slično. Događaj S, ekvivalentno proizvodu n događaji ALI 1 ,ALI 2 , … , ALI n je napisano kao

ili
.

Zbroj i umnožak događaja imaju sljedeća svojstva.

ALI+NA=NA+ALI.

(ALI+NA)+S=ALI+(NA+S)=ALI+NA+S.

AB=VA.

(AB)S=ALI(Sunce)=ABC.

ALI(NA+S)=AB+AC.

Većinu ih je lako provjeriti sami. Za to preporučujemo korištenje geometrijskog modela.

Predstavljamo dokaz 5. svojstva.

Događaj ALI(NA+S) sastoji se od elementarnih događaja koji pripadaju i ALI i NA+S, tj. događaj ALI i barem jedan od događaja NA,S. Drugim riječima, ALI(NA+S) je skup elementarnih događaja koji pripadaju ili događaju AB, ili događaj AC, tj. događaj AB+AC. Geometrijski događaj ALI(NA+S) je zajednički dio regija ALI i NA+S(slika 1.3.a), i događaj AB+AC- spajanje područja AB i AC(slika 1.3.b), t.j. isto područje ALI(NA+S).

Riža. 1.3.a sl. 1.3.b

Događaj S, što znači da je događaj ALI događa i događaj NA ne dogodi, zove se razlika događaji ALI i NA. Uvjetno napisano ovako:

S=ALI-NA.

Događaji ALI i NA pozvao zgloba ako se mogu pojaviti na istom suđenju. To znači da postoje takvi elementarni događaji koji su dio i ALI i NA u isto vrijeme (slika 1.4).

Događaji ALI i NA pozvao nespojivo , ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog, t.j. ako AB= Ø. Drugim riječima, ne postoji niti jedan elementarni događaj koji bi bio dio i ALI i NA u isto vrijeme (slika 1.5). Konkretno, suprotni događaji i uvijek nespojivo.

Riža. 1.4 Sl. 1.5

Događaji
pozvao parno nespojivo ako su bilo koja dva od njih nespojiva.

Događaji
oblik puna grupa , ako su u paru nespojive i zajedno daju pouzdan događaj, t.j. ako za bilo koji i, k

Ø;
.

Očito, svaki elementarni događaj mora biti dio jednog i samo jednog događaja cijele grupe
. Geometrijski, to znači da je cijelo područje Ω regije
podijeliti po n dijelovi koji nemaju zajedničkih točaka među sobom (slika 1.6).

Suprotni događaji i predstavljaju najjednostavniji slučaj kompletne grupe.

Možete izvoditi razne radnje na događajima dok primate druge događaje. Definirajmo ove radnje.

Definicija 2.13.

Ako se za svako ispitivanje u kojem se dogodi neki događaj ALI, događa se i događaj NA, zatim događaj ALI pozvao poseban slučaj događaji B.

Također kažu da je a podrazumijeva B i napiši: ( ALI uloženo u NA) ili (slika 2.1).

Na primjer, neka događaj ALI sastoji se u pojavi dva boda pri bacanju kocke, i događaju NA sastoji se u pojavi parnog broja bodova pri bacanju kocke B = (2; 4; 6). Zatim događaj ALI postoji poseban slučaj događaja NA jer je dva paran broj. Možemo zapisati.

Riža. 2.1 . Događaj ALI- poseban slučaj događaja NA

Definicija 2.14.

Ako je a ALI podrazumijeva NA, a NA podrazumijeva ALI, zatim ovi događaji jednaki su , budući da zajedno napadaju ili ne napadaju zajedno.

Iz čega i (slijedi) A = B.

Na primjer, ALI- događaj koji se sastoji u tome da je na kocki ispao paran broj manji od tri. Ovaj događaj je ekvivalentan događaju NA, koji se sastoji u činjenici da je broj 2 ispao na kockici.

Definicija 2.15.

Događaj koji se sastoji od zajedničkog nastupa oba događaja i ALI, i NA, Zove se križanje ovih događaja A∩B, ili raditi ovih događaja AB(slika 2.2).

Riža. 2.2. Sjecište događaja

Na primjer, neka događaj ALI sastoji se u gubitku parnog broja bodova pri bacanju kocke, tada njegovoj ofenzivi pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 2, 4 i 6 bodova. ALI -(2; 4; 6). Događaj NA sastoji se u gubitku više bodova od tri pri bacanju kocke, tada njegovom nastanku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 4, 5 i 6 bodova. NA= (4; 5; 6). Zatim raskrižjem ili proizvodom događaja ALI i NA dogodit će se događaj koji se sastoji od gubitka parnog broja bodova većeg od tri (događaj ALI, i događaj NA):

A∩B =AB={4; 6}.

Sjecište događaja, od kojih je jedan ALI- gubitak dame iz špila karata, i još jedan NA- gubitak trefova, bit će kraljica trepavica.

Bilješka. Ako dva događaja ALI i NA su nespojive, onda je njihova zajednička ofenziva nemoguća AB = 0.

Definicija 2.16.

Događaj koji se sastoji od pojave ili događaja ALI, ili događaji NA(barem jedan od događaja, barem jedan od ovih događaja), naziva se njihovo sjedinjenje ALI i NA, ili zbroj događaja ALI i NA a označava se s A + B (slika 2.3).

Riža. 2.3. Spajanje događaja

Na primjer, događaj ALI sastoji se u gubitku parnog broja bodova pri bacanju kocke, tada njegovom nastanku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 2, 4 i 6 bodova, ili ALI -(2; 4; 6). događaj NA sastoji se u gubitku više bodova od tri pri bacanju kocke, tada njegovom početku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 4, 5 i 6 bodova, ili B = (4; 5; 6). Zatim sindikat, odnosno zbroj događaja ALI i NA dogodit će se događaj koji se sastoji u gubitku barem jednog od njih - ili paran broj bodova, ili broj bodova veći od tri (izveden ili događaj ALI, ili događaj NA):

A ∩ B = A + B ={2; 4; 5; 6}.

Definicija 2.17.

Događaj koji se sastoji u činjenici da je događaj ALI ne dogodi, naziva se suprotnim od događaja ALI a označava se sa Ā (slika 2.4).

Riža. 2.4. Suprotni događaji

Na primjer, neka događaj ALI sastoji se u gubitku parnog broja bodova pri bacanju kocke, tada njegovom nastanku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 2, -4 i 6 bodova, ili A =(2; 4; 6). Zatim događaj Ā sastoji se u gubitku neparnog broja bodova, a njegovom nastanku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 1., 3. i 5. bodova. Ā ={1;3;5}.

Definicija 2.18.

Događaj (A i B), koji se sastoji u tome da ALI događa, ali se ne događa, naziva se razlika događaja ALI i NA a označava se sa A-B. Međutim, od ove se oznake može odustati, budući da iz definicije proizlazi da A - B -(slika 2.5).

Riža. 2.5. Razlika događaja ALI i NA

Na primjer, neka događaj ALI sastoji se u gubitku parnog broja bodova pri bacanju kocke, dakle A =(2; 4; 6). Događaj NA sastoji se u gubitku većeg broja bodova od tri. NA= {4; 5; 6}.

Zatim - događaj koji se sastoji u gubitku broja bodova najviše tri, a njegovom nastanku pogoduju elementarni događaji koji se sastoje od gubitka 1., 2. i 3. bodova. = {1; 2; 3}.

razlika događaja ALI i NA dogodit će se događaj koji se sastoji u tome da se događaj izvrši ALI a događaj se ne izvršava NA. Njegovoj ofenzivi pogoduje elementarni događaj koji se sastoji od gubitka 2 boda:

A-B= A∩= {2}.

Definicije sume i proizvodi događaji se odnose na više događaja:

A + B + ... + N =(ALI ili NA, ili ili N) (2.1)

postoji događaj koji se sastoji u pojavi najmanje jedan od događaja A, B, ... N;

AB ... N =(ALI i NA i... i N), (2.2)

postoji događaj koji zajednička ofenziva svi događaji A, B, ... N.

Slično su definirani zbroj i umnožak beskonačnog broja događaja A 1, A 2, ... A p, ...

Imajte na umu da su ipak neka pravila algebre sačuvana za radnje nad događajima. Na primjer, postoji komutativni zakon (komunikativnost):

A + B \u003d B + A, AB \u003d BA,(2.3)

distributivni zakon (distributivnost) vrijedi:

(A + B) C \u003d AC + BC,(2.4)

budući da lijeva i desna strana predstavljaju događaj koji događaj C i barem jedan od događaja ALI i NA. Zakon o udruživanju (udruženju) također vrijedi:

A + (B + C) \u003d (A + B) + C \u003d A + B + C;

A(BC) = (AB)C = ABC.(2.5)

Osim toga, postoje takve jednakosti koje bi se u običnoj algebri činile apsurdnim. Na primjer, za bilo koji A, B, C:

AA=A(2.6)

A+A= ALI(2.7)

A+AB= ALI(2.8)

AB + C \u003d (A + C) (B + C)(2.9)

Suprotni događaji su povezani:

Zakon dvostruke negacije:

= A;(2.10)

zakon isključene sredine

ALI + = Ω. (njihov zbroj je određeni događaj); (2.11)

Zakon kontradikcije:

A =Ø (proizvod njihovog nemogućeg događaja). (2.12)

Jednakosti (2.6)-(2.12) dokazuju se za tvrdnje u tečaju diskretne matematike. Pozivamo čitatelja da to sam provjeri koristeći se definicijama zbroja i umnoška događaja.

Ako je a B \u003d A 1 + A 2 + ... + A str i događaji ALI su parno nekompatibilni, tj. svaki je nespojiv s drugim: A j A k= Ø u i≠k reći da je događaj B se dijeli na posebne slučajeve A 1, A 2 , ..., A str. Na primjer, događaj NA, koji se sastoji u gubitku neparnog broja bodova, dijeli se na posebne slučajeve E 1, E 3, E 5, koji se sastoji u gubitku 1, 3 i 5 bodova.

Na temelju definicije radnji na događaje možemo jasnije definirati kompletnu skupinu događaja.

Definicija 2.19.

Ako je a A 1 + A 2 + ... + A str = Ω , tj. ako barem jedan od događaja A 1 + A 2 + ... + A str mora se svakako ostvariti, a ako u isto vrijeme A j nespojivo u paru (tj. određeni događaj Ω dijele na posebne slučajeve A 1 + A 2 + ... + A str), tada kažemo da događaji A 1 + A 2 + ... + A strčine cjelovitu grupu događaja. Dakle, ako A 1 + A 2 + ... + A str- kompletna skupina događaja, tada se na svakom testu nužno javlja jedan i samo jedan od događaja A 1 + A 2 + ... + A str.

Na primjer, kada se baca kocka, kompletna grupa događaja također uključuje događaje E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 i E 6, koji se sastoji u gubitku 1, 2, 3,4, 5 i 6 bodova.

Opći opis problema: vjerojatnosti nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U tim problemima postoji potreba za takvim operacijama nad vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj A- pogoditi patku iz prvog hica, događaj B- pogodio iz drugog hica. Zatim zbroj događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.

Zadaci drugačijeg tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će ili sva tri puta ispasti grb, ili da će grb ispasti barem jednom. Ovo je problem množenja.

Zbrajanje vjerojatnosti nespojivih događaja

Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada je potrebno izračunati vjerojatnost kombinacije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.

Zbroj događaja A i B odrediti A + B ili A ∪ B. Zbroj dvaju događaja je događaj koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja. To znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo ako se događaj dogodi tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.

Ako događaji A i B su međusobno nedosljedni i njihove su vjerojatnosti dane, vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog ispitivanja izračunava se zbrajanjem vjerojatnosti.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:

Primjerice, u lovu su ispaljena dva hica. Događaj ALI– pogoditi patku iz prvog hica, događaj NA– pogodak iz drugog udarca, događaj ( ALI+ NA) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja ALI i NA dakle su nespojivi događaji ALI+ NA- pojava barem jednog od ovih događaja ili dva događaja.

Primjer 1 Kutija sadrži 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da se kuglica u boji (ne bijela) uzme bez gledanja.

Odluka. Pretpostavimo da je događaj ALI– “crvena lopta je uzeta”, i događaj NA- "Plava lopta je uzeta." Tada je događaj "uzeta je obojena (ne bijela) lopta". Pronađite vjerojatnost događaja ALI:

i događaji NA:

Događaji ALI i NA- međusobno nespojive, jer ako se uzme jedna lopta, ne mogu se uzeti loptice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za nekoliko nespojivih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1:

Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:

Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost kompletnog skupa događaja je 1.

Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima. str i q. Posebno,

iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:

Primjer 2 Meta na ploči je podijeljena u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pucati u metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu i vjerojatnost da strijelac promaši metu.

Rješenje: Pronađite vjerojatnost da strijelac pogodi metu:

Pronađite vjerojatnost da strijelac promaši metu:

Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Zbrajanje vjerojatnosti zajedničkih događaja

Kaže se da su dva slučajna događaja zajednička ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada bacate kocku, događaj ALI smatra se pojava broja 4, a događaj NA- ispuštanje paran broj. Budući da je broj 4 paran broj, ta su dva događaja kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerojatnosti nastanka jednog od međusobno zajedničkih događaja.

Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja, od čega se oduzima vjerojatnost zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:

Jer događaji ALI i NA kompatibilan, događaj ALI+ NA nastaje ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB. Prema teoremu zbrajanja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:

Događaj ALI nastaje ako se dogodi jedan od dva nespojiva događaja: ili AB. Međutim, vjerojatnost nastanka jednog događaja iz nekoliko nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih ovih događaja:

Slično:

Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti za zajedničke događaje:

Pri korištenju formule (8) treba uzeti u obzir da događaji ALI i NA Može biti:

međusobno neovisni;
međusobno ovisni.

Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:

Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:

Ako događaji ALI i NA su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nekompatibilne događaje je sljedeća:

Primjer 3 U auto utrkama, kada vozite u prvom automobilu, vjerojatnost pobjede, kada vozite u drugom automobilu. Pronaći:

vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;

1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, dakle o događajima ALI(prvi auto pobjeđuje) i NA(drugi automobil pobjeđuje) - neovisni događaji. Pronađite vjerojatnost da oba auta pobijede:

2) Pronađite vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:

Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Sami riješite problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Bacaju se dva novčića. Događaj A- gubitak grba na prvom novcu. Događaj B- gubitak grba na drugom novcu. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .

Množenje vjerojatnosti

Umnožavanje vjerojatnosti koristi se kada treba izračunati vjerojatnost logičnog produkta događaja.

U ovom slučaju, slučajni događaji moraju biti neovisni. Kaže se da su dva događaja međusobno neovisna ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost nastanka drugog događaja.

Teorem množenja vjerojatnosti za nezavisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dva neovisna događaja ALI i NA jednak je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se po formuli:

Primjer 5 Novčić se baca tri puta zaredom. Nađite vjerojatnost da će grb sva tri puta ispasti.

Odluka. Vjerojatnost da će grb pasti pri prvom bacanju novčića, drugi put i treći put. Nađite vjerojatnost da će grb ispasti sva tri puta:

Zadatke za množenje vjerojatnosti riješite sami, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 6 Tu je kutija s devet novih teniskih loptica. Za igru se uzimaju tri lopte, nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti ne razlikuju odigrane i neigrani lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u petercu neće biti neodigranih lopti?

Primjer 7 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Pet karata se izvlače nasumično, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Pronađite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".

Primjer 8 Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerojatnost da su sve četiri ove karte iste boje.

Primjer 9 Isti problem kao u primjeru 8, ali se svaka karta nakon izvlačenja vraća u špil.

Složeniji zadaci, u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak nekoliko događaja, na stranici "Razni zadaci za zbrajanje i množenje vjerojatnosti" .

Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati oduzimanjem umnoška vjerojatnosti suprotnih događaja od 1, odnosno po formuli.