Geometrijske transformacije grafova funkcija tablica. Transformiranje grafova trigonometrijskih funkcija

Hipoteza: Ako proučavate kretanje grafa tijekom formiranja jednadžbe funkcija, tada možete vidjeti da se svi grafovi povinuju opći obrasci stoga je moguće formulirati opće zakone bez obzira na funkcije, što će omogućiti ne samo olakšavanje konstrukcije grafova različitih funkcija, već i njihovo korištenje u rješavanju problema.

Svrha: Proučiti kretanje grafova funkcija:

1) Zadatak proučavanja književnosti

2) Naučite graditi grafove različitih funkcija

3) Naučite kako pretvoriti grafikone linearne funkcije

4) Razmotrite korištenje grafova u rješavanju problema

Predmet proučavanja: Grafovi funkcija

Predmet istraživanja: Kretanja grafova funkcija

Relevantnost: Konstrukcija grafova funkcija u pravilu oduzima puno vremena i zahtijeva pažnju učenika, ali poznavajući pravila za transformaciju grafova funkcija i grafova osnovnih funkcija, možete brzo i jednostavno izgraditi grafove funkcija, što će omogućiti ne samo da dovršite zadatke za crtanje funkcijskih grafova, već i riješite povezane probleme (da biste pronašli maksimum (minimalna visina vremena i točka susreta))

Ovaj projekt je koristan svim učenicima škole.

Pregled literature:

U literaturi se raspravlja o načinima konstruiranja grafa različitih funkcija, kao i primjerima transformacije grafova tih funkcija. U različitim tehničkim procesima koriste se grafovi gotovo svih glavnih funkcija, što omogućuje jasniji prikaz tijeka procesa i programiranje rezultata

Trajna funkcija. Ova funkcija je dana formulom y = b, gdje je b neki broj. raspored trajna funkcija je pravac paralelan s osi x i prolazi kroz točku (0; b) na osi y. Graf funkcije y \u003d 0 je os apscise.

Vrste funkcija 1Izravna proporcionalnost. Ova funkcija je dana formulom y \u003d kx, gdje je koeficijent proporcionalnosti k ≠ 0. Graf izravne proporcionalnosti je ravna crta koja prolazi kroz ishodište.

Linearna funkcija. Takva je funkcija dana formulom y = kx + b, gdje su k i b realni brojevi. Graf linearne funkcije je ravna linija.

Grafovi linearne funkcije mogu se sijeći ili biti paralelni.

Dakle, linije grafova linearnih funkcija y \u003d k 1 x + b 1 i y \u003d k 2 x + b 2 sijeku se ako je k 1 ≠ k 2; ako je k 1 = k 2 , tada su pravci paralelni.

2 Inverzna proporcionalnost je funkcija koja je dana formulom y \u003d k / x, gdje je k ≠ 0. K se naziva koeficijent inverzna proporcionalnost. Graf inverzne proporcionalnosti je hiperbola.

Funkcija y \u003d x 2 predstavljena je grafom koji se naziva parabola: na intervalu [-~; 0] funkcija se smanjuje, u intervalu se funkcija povećava.

Funkcija y \u003d x 3 raste duž cijelog brojevnog pravca i grafički je predstavljena kubičnom parabolom.

Funkcija napajanja sa prirodni pokazatelj. Ova funkcija je dana formulom y \u003d x n, gdje je n prirodni broj. Grafovi funkcija snage s prirodnim eksponentom ovise o n. Na primjer, ako je n = 1, tada će graf biti ravna linija (y = x), ako je n = 2, onda će graf biti parabola, itd.

Funkcija snage s cijelim brojem negativan pokazatelj predstavljen formulom y \u003d x -n, gdje je n prirodni broj. Ova je funkcija definirana za sve x ≠ 0. Graf funkcije također ovisi o eksponentu n.

Funkcija snage s pozitivnim frakcijski pokazatelj. Ova funkcija je predstavljena formulom y \u003d x r, gdje je r pozitivan nesmanjivi razlomak. Ova funkcija također nije ni parna ni neparna.

Grafikon koji prikazuje odnos zavisnih i nezavisnih varijabli na koordinatnoj ravnini. Grafikon služi za vizualni prikaz ovih elemenata.

Nezavisna varijabla je varijabla koja može poprimiti bilo koju vrijednost u opsegu funkcije (gdje zadanu funkciju ima smisla (ne može se podijeliti s nulom)

Za crtanje grafa funkcije,

1) Pronađite ODZ (raspon prihvatljivih vrijednosti)

2) uzeti neke proizvoljne vrijednosti za nezavisnu varijablu

3) Pronađite vrijednost zavisne varijable

4) Izgradite koordinatna ravnina označite ove točke na njemu

5) Po potrebi povežite njihove linije, istražite dobiveni graf Transformacija grafova elementarnih funkcija.

Pretvorba grafikona

NA čistom obliku osnovne elementarne funkcije susrećemo se, nažalost, ne tako često. Mnogo je vjerojatnije nositi se elementarne funkcije dobiveni od osnovnih elementarnih zbrajanjem konstanti i koeficijenata. Grafovi takvih funkcija mogu se izgraditi primjenom geometrijskih transformacija na grafove odgovarajućih osnovnih elementarnih funkcija (ili idite na novi sustav koordinate). Na primjer, formula kvadratne funkcije je kvadratna parabola formula komprimirana tri puta u odnosu na os ordinate, simetrično prikazana u odnosu na os apscise, pomaknuta protiv smjera ove osi za 2/3 jedinice i pomaknuta duž smjera ordinatne osi za 2 jedinice.

Razumijemo ove geometrijske transformacije grafa funkcije korak po korak koristeći konkretne primjere.

Uz pomoć geometrijskih transformacija grafa funkcije f (x) može se konstruirati graf bilo koje funkcije formule oblika, gdje je formula koeficijent kompresije ili ekspanzije duž osi oy, odnosno ox, minus znakovi ispred formule i formule koeficijenata označavaju simetričan prikaz grafa u odnosu na koordinatne osi, a i b definiraju pomak u odnosu na apscisnu i ordinatnu os.

Dakle, postoje tri vrste geometrijskih transformacija grafa funkcije:

Prvi tip je skaliranje (kompresija ili ekspanzija) duž apscisa i ordinatne osi.

Potreba za skaliranjem je naznačena koeficijentima formule koji nisu jedan, ako je broj manji od 1, tada se graf komprimira u odnosu na oy i rasteže u odnosu na ox, ako je broj veći od 1, tada se protežemo duž ordinatne osi a skupljaju se duž osi apscise.

Drugi tip je simetričan (zrcalni) prikaz u odnosu na koordinatne osi.

Potrebu za ovom transformacijom označavaju predznaci minus ispred koeficijenata formule (u ovom slučaju graf prikazujemo simetrično u odnosu na os vola) i formule (u ovom slučaju graf prikazujemo simetrično s u odnosu na os y). Ako nema znakova minusa, ovaj korak se preskače.

Sažetak sata algebre i početak analize u 10. razredu

na temu: „Konverzija grafikona trigonometrijske funkcije»

Svrha lekcije: sistematizirati znanje na temu "Svojstva i grafovi trigonometrijskih funkcija y = sin (x), y = cos (x)".

Ciljevi lekcije:

• ponoviti svojstva trigonometrijskih funkcija y \u003d sin (x), y \u003d cos (x);
• ponovite formule redukcije;
• konverzija grafova trigonometrijskih funkcija;
• razviti pažnju, pamćenje, logično mišljenje; aktivirati mentalna aktivnost sposobnost analize, generalizacije i zaključivanja;
• odgoj marljivosti, marljivosti u postizanju cilja, zainteresiranosti za predmet.

Oprema za nastavu:ikt

Vrsta lekcije: učenje novog

Tijekom nastave

Prije lekcije 2 učenika na ploči grade grafikone od svoje domaće zadaće.

Vrijeme organiziranja:

Bok dečki!

Danas ćemo u lekciji pretvoriti grafove trigonometrijskih funkcija y \u003d sin (x), y \u003d cos (x).

Usmeni rad:

Provjera domaće zadaće.

rješavanje zagonetki.

Učenje novog gradiva

Sve transformacije grafova funkcija su univerzalne - prikladne su za sve funkcije, uključujući i trigonometrijske. Ovdje se ograničavamo na kratak podsjetnik na glavne transformacije grafova.

Transformacija grafova funkcija.

Zadana je funkcija y \u003d f (x). Počinjemo graditi sve grafove iz grafa ove funkcije, a zatim s njom izvodimo radnje.

Funkcija

Što učiniti s rasporedom

y = f(x) + a

Sve točke prvog grafa podižemo za jedinicu prema gore.

y = f(x) – a

Sve točke prvog grafa spuštene su za jedinicu prema dolje.

y = f(x + a)

Sve točke prvog grafa pomičemo za jedinicu ulijevo.

y = f (x - a)

Sve točke prvog grafa pomičemo za jedinicu udesno.

y = a*f(x),a>1

Popravljamo nule na mjestu, gornje točke pomičemo više puta, donje spuštamo niže za puta.

Graf će se "rastezati" gore-dolje, nule ostaju na mjestu.

y = a*f(x), a<1

Popravljamo nule, gornje točke će se spustiti jednom, donje će porasti puta. Grafikon će se "smanjiti" na x-os.

y=-f(x)

Zrcalite prvi graf oko x-osi.

y = f(ax), a<1

Učvrstite točku na y-osi. Svaki segment na x-osi se povećava za puta. Grafikon će se protezati od y-osi u različitim smjerovima.

y = f(ax), a>1

Učvrstite točku na osi ordinate, svaki segment na osi apscise se smanjuje za puta. Grafikon će se "smanjiti" na y-os s obje strane.

y= | f(x)|

Dijelovi grafa koji se nalaze ispod x osi su zrcaljeni. Cijeli graf će se nalaziti u gornjoj poluravnini.

Sheme rješenja.

1)y = sin x + 2.

Gradimo graf y \u003d sin x. Svaku točku grafikona podižemo za 2 jedinice (također nule).

2)y \u003d cos x - 3.

Gradimo graf y \u003d cos x. Svaku točku grafikona spuštamo za 3 jedinice.

3)y = cos (x - /2)

Gradimo graf y \u003d cos x. Sve točke n/2 pomičemo udesno.

4) y = 2 grijeh x .

Gradimo graf y \u003d sin x. Ostavljamo nule na mjestu, podižemo gornje točke 2 puta, spuštamo donje za isti iznos.

PRAKTIČNI RAD Iscrtavanje trigonometrijskih funkcija pomoću programa Advanced Grapher.

Nacrtajmo funkciju y = -cos 3x + 2.

1. Nacrtajmo funkciju y \u003d cos x.
2. Odrazite ga oko x-osi.
3. Ovaj graf se mora stisnuti tri puta duž x-osi.
4. Konačno, takav graf mora biti podignut za tri jedinice duž y-osi.

y = 0,5 sinx.

y=0,2 cos x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) Pronađite grešku i popravite je.

V. Povijesna građa. Eulerova poruka.

Leonhard Euler najveći je matematičar 18. stoljeća. Rođen u Švicarskoj. Dugi niz godina živio je i radio u Rusiji, član Petrogradske akademije.

Zašto bismo trebali znati i zapamtiti ime ovog znanstvenika?

Do početka 18. stoljeća trigonometrija je još uvijek bila nedovoljno razvijena: nije bilo simbola, formule su bile ispisane riječima, bilo ih je teško asimilirati, nejasno je bilo i pitanje znakova trigonometrijskih funkcija u različitim četvrtima kruga, samo su kutovi ili lukovi shvaćeni kao argument trigonometrijske funkcije. Tek u djelima Eulera trigonometrija je dobila moderan izgled. Upravo je on počeo razmatrati trigonometrijsku funkciju broja, t.j. argument se počeo shvaćati ne samo kao lukovi ili stupnjevi, već i kao brojevi. Euler je sve trigonometrijske formule izveo iz nekoliko osnovnih, pojednostavio pitanje znakova trigonometrijske funkcije u različitim četvrtima kruga. Za označavanje trigonometrijskih funkcija uveo je simbole: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Na pragu 18. stoljeća javlja se novi smjer u razvoju trigonometrije - analitički. Ako se prije toga glavnim ciljem trigonometrije smatralo rješenje trokuta, onda je Euler trigonometriju smatrao znanošću o trigonometrijskim funkcijama. Prvi dio: doktrina o funkciji dio je opće nauke o funkcijama koja se proučava u matematičkoj analizi. Drugi dio: rješenje trokuta - poglavlje geometrija. Takve je inovacije napravio Euler.

VI. Ponavljanje

Samostalni rad "Dodaj formulu."

VII. Sažetak lekcije:

1) Što ste novo naučili na lekciji danas?

2) Što još želite znati?

3) Ocjenjivanje.

Tekst rada postavljen je bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Datoteke poslova" u PDF formatu

Uvod

Transformacija grafova funkcije jedan je od osnovnih matematičkih pojmova koji su izravno povezani s praktičnim aktivnostima. Transformacija grafova funkcija prvi put se susreće u 9. razredu algebre pri proučavanju teme "Kvadratna funkcija". Kvadratna funkcija se uvodi i proučava u bliskoj vezi s kvadratnim jednadžbama i nejednadžbama. Također, mnogi matematički koncepti razmatraju se grafičkim metodama, na primjer, u razredima 10-11, proučavanje funkcije omogućuje pronalaženje područja definicije i opsega funkcije, područja smanjenja ili povećanja, asimptota, intervali stalnog predznaka itd. Ovo važno pitanje dostavlja se i GIA-i. Iz toga proizlazi da je konstrukcija i transformacija grafova funkcija jedan od glavnih zadataka nastave matematike u školi.

Međutim, za crtanje mnogih funkcija može se koristiti niz metoda za olakšavanje konstrukcije. Gore navedeno definira relevantnost istraživačke teme.

Predmet proučavanja je proučavanje transformacije grafova u školskoj matematici.

Predmet studija - proces konstruiranja i transformacije grafova funkcija u srednjoj školi.

problemsko pitanje: je li moguće izgraditi graf nepoznate funkcije, posjedujući vještinu transformacije grafova elementarnih funkcija?

Cilj: crtanje funkcije u nepoznatoj situaciji.

Zadaci:

1. Analizirati nastavni materijal o proučavanom problemu. 2. Identificirajte sheme za transformaciju grafova funkcija u školskom kolegiju matematike. 3. Odaberite najučinkovitije metode i alate za konstruiranje i pretvaranje grafova funkcija. 4. Znati primijeniti ovu teoriju u rješavanju problema.

Potrebna osnovna znanja, vještine, sposobnosti:

Odrediti vrijednost funkcije pomoću vrijednosti argumenta na različite načine specificiranja funkcije;

Izgraditi grafove proučavanih funkcija;

Opišite ponašanje i svojstva funkcija iz grafa i, u najjednostavnijim slučajevima, iz formule pronađite najveću i najmanju vrijednost iz grafa funkcije;

Opisi uz pomoć funkcija raznih ovisnosti, njihov grafički prikaz, interpretacija grafova.

Glavni dio

Teorijski dio

Kao početni graf funkcije y = f(x), izabrat ću kvadratnu funkciju y=x 2 . Razmotrit ću slučajeve transformacije ovog grafa povezane s promjenama u formuli koja definira ovu funkciju i izvući zaključke za bilo koju funkciju.

1. Funkcija y = f(x) + a

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate točaka grafa) se mijenjaju brojem a, u usporedbi sa "starom" vrijednošću funkcije. To dovodi do paralelnog prijevoda grafa funkcije duž osi OY:

gore ako je a > 0; dolje ako a< 0.

ZAKLJUČAK

Dakle, graf funkcije y=f(x)+a dobiva se iz grafa funkcije y=f(x) pomoću paralelne translacije duž y-osi za jedinice gore ako je a > 0, te pomoću a jedinica dolje ako a< 0.

2. Funkcija y = f(x-a),

U novoj formuli, vrijednosti argumenata (apscise točaka grafikona) se mijenjaju brojem a, u usporedbi sa "starom" vrijednošću argumenata. To dovodi do paralelnog prijenosa grafa funkcije duž osi OX: udesno ako je< 0, влево, если a >0.

ZAKLJUČAK

Dakle, graf funkcije y= f(x - a) dobiva se iz grafa funkcije y=f(x) paralelnim prevođenjem duž osi apscise za jedinicu ulijevo ako je a > 0, i za jedinicu udesno ako a< 0.

3. Funkcija y = k f(x), gdje je k > 0 i k ≠ 1

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate točaka grafa) se mijenjaju k puta u odnosu na "staru" vrijednost funkcije. To dovodi do: 1) "istezanja" od točke (0; 0) duž osi OY za k puta, ako je k > 1, 2) "kompresije" do točke (0; 0) duž osi OY za faktor od 0, ako je 0< k < 1.

ZAKLJUČAK

Stoga: da biste izgradili graf funkcije y = kf(x), gdje je k > 0 i k ≠ 1, trebate pomnožiti ordinate točaka zadanog grafa funkcije y = f(x) s k. Takva se transformacija naziva rastezanjem od točke (0; 0) duž osi OY za k puta ako je k > 1; kontrakcija do točke (0; 0) duž osi OY za faktor ako je 0< k < 1.

4. Funkcija y = f(kx), gdje je k > 0 i k ≠ 1

U novoj formuli, vrijednosti argumenta (apscisa točaka grafikona) mijenjaju se k puta u odnosu na "staru" vrijednost argumenta. To dovodi do: 1) “istezanja” od točke (0; 0) duž osi OX za 1/k puta ako je 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ZAKLJUČAK

I tako: da biste izgradili graf funkcije y = f(kx), gdje je k > 0 i k ≠ 1, trebate pomnožiti apscise točaka zadanog grafa funkcije y=f(x) s k . Takva transformacija naziva se rastezanjem od točke (0; 0) duž osi OX za 1/k puta ako je 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funkcija y = - f (x).

U ovoj formuli vrijednosti funkcije (koordinate točaka grafa) su obrnute. Ova promjena rezultira simetričnim prikazom izvornog grafa funkcije oko x-osi.

ZAKLJUČAK

Da biste izgradili graf funkcije y = - f (x), potreban vam je graf funkcije y = f (x)

odražavaju simetrično oko osi OX. Takva transformacija naziva se transformacija simetrije oko osi OX.

6. Funkcija y = f (-x).

U ovoj formuli vrijednosti argumenta (apscise točaka grafa) su obrnute. Ova promjena rezultira simetričnim prikazom izvornog grafa funkcije u odnosu na os OY.

Primjer za funkciju y \u003d - x² ova transformacija nije primjetna, jer je ova funkcija parna i graf se ne mijenja nakon transformacije. Ova transformacija je vidljiva kada je funkcija neparna i kada nije ni parna ni neparna.

7. Funkcija y = |f(x)|.

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate točaka grafa) su pod znakom modula. To dovodi do nestanka dijelova grafa izvorne funkcije s negativnim ordinatama (odnosno onih koji se nalaze u donjoj poluravni u odnosu na os Ox) i simetričnom prikazu tih dijelova u odnosu na os Ox.

8. Funkcija y= f (|x|).

U novoj formuli vrijednosti argumenata (apscise točaka grafa) su ispod znaka modula. To dovodi do nestanka dijelova grafa izvorne funkcije s negativnim apscisama (odnosno onih koji se nalaze u lijevoj poluravni u odnosu na os OY) i njihove zamjene dijelovima izvornog grafa koji su simetrični u odnosu na OY. os.

Praktični dio

Razmotrimo nekoliko primjera primjene gornje teorije.

PRIMJER 1.

Odluka. Preobrazimo se ovu formulu:

1) Izgradimo graf funkcije

PRIMJER 2.

Nacrtajte funkciju zadanu formulom

Odluka. Preobrazimo ovu formulu isticanjem u njoj kvadratni trinom binomni kvadrat:

1) Izgradimo graf funkcije

2) Izvršite paralelni prijenos konstruiranog grafa na vektor

PRIMJER 3.

ZADATAK IZ UPOTREBE Iscrtavanje funkcije po komadima

Funkcijski graf Funkcijski graf y=|2(x-3)2-2|; jedan

Paralelni prijenos.

PRIJENOS UZ Y-OSI

f(x) => f(x) - b
Neka je potrebno nacrtati funkciju y \u003d f (x) - b. Lako je vidjeti da su ordinate ovog grafa za sve vrijednosti x na |b| jedinice manje od odgovarajućih ordinata grafa funkcija y = f(x) za b>0 i |b| više jedinica - na b 0 ili gore na b Za crtanje funkcije y + b = f(x), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite x-os na |b| jedinice gore za b>0 ili za |b| jedinice dolje na b

PRIJENOS UZ X-OSI

f(x) => f(x + a)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(x + a). Razmotrimo funkciju y = f(x), koja u nekoj točki x = x1 poprima vrijednost y1 = f(x1). Očito će funkcija y = f(x + a) poprimiti istu vrijednost u točki x2, čija je koordinata određena iz jednakosti x2 + a = x1, t.j. x2 = x1 - a, a razmatrana jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti iz domene funkcije. Stoga se graf funkcije y = f(x + a) može dobiti paralelnim pomicanjem grafa funkcije y = f(x) duž osi x ulijevo za |a| jedinice za a > 0 ili udesno za |a| jedinice za a Za crtanje funkcije y = f(x + a), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite y-os na |a| jedinice desno za a>0 ili |a| jedinice lijevo za a

primjeri:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Odraz.

GRAFIKANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Očito, funkcije y = f(-x) i y = f(x) imaju jednake vrijednosti u točkama čije su apscise jednake u apsolutna vrijednost, ali suprotnog znaka. Drugim riječima, ordinate grafa funkcije y = f(-x) u području pozitivnih (negativnih) vrijednosti x bit će jednake ordinatama grafa funkcije y = f(x) s negativnim (pozitivnim) x vrijednostima koje odgovaraju apsolutnoj vrijednosti. Tako dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(-x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i prikazati je duž y-osi. Dobiveni graf je graf funkcije y = f(-x)

GRAFICANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinate grafa funkcije y = - f(x) za sve vrijednosti argumenta jednake su apsolutnoj vrijednosti, ali suprotne po predznaku od ordinata grafa funkcije y = f(x) za iste vrijednosti argumenta. Tako dobivamo sljedeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = - f(x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i odraziti je oko x-osi.

primjeri:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformacija.

DEFORMACIJA GRAFIKA UZ Y-OSI

f(x) => kf(x)
Razmotrimo funkciju oblika y = k f(x), gdje je k > 0. Lako je vidjeti da za jednake vrijednosti argumenta, ordinate grafa ove funkcije bit će k puta veće od ordinata grafa funkcije y \u003d f (x) za k > 1 ili 1/k puta manje od ordinata grafa funkcija y = f (x) za k Da biste nacrtali graf funkcije y = k f (x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i povećati njezine ordinate za k puta za k > 1 (rastegnuti graf duž os ordinate) ili smanjite njegove ordinate za 1/k puta za k
k > 1- koji se proteže od osi Ox
0 - kompresija na os OX

DEFORMACIJA GRAFIKA UZ X-OSI

f(x) => f(kx)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(kx), gdje je k>0. Razmotrimo funkciju y = f(x), koja u proizvoljna točka x = x1 uzima vrijednost y1 = f(x1). Očito, funkcija y = f(kx) uzima istu vrijednost u točki x = x2, čija je koordinata određena jednakošću x1 = kx2, a ova jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti x iz domenu funkcije. Posljedično, graf funkcije y = f(kx) je komprimiran (za k 1) duž osi apscise u odnosu na graf funkcije y = f(x). Tako dobivamo pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(kx), nacrtajte funkciju y = f(x) i smanjite njezinu apscisu za k puta za k>1 (smanjite graf duž apscise) ili povećajte njezinu apscisu za 1/k puta za k
k > 1- kompresija na os Oy
0 - koje se proteže od osi OY

Rad su izveli Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov pod nadzorom Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Osnovne elementarne funkcije u čistom obliku bez transformacije su rijetke, pa se najčešće mora raditi s elementarnim funkcijama koje se iz osnovnih dobivaju dodavanjem konstanti i koeficijenata. Takvi se grafovi grade korištenjem geometrijskih transformacija zadanih elementarnih funkcija.

Pogledajmo primjer kvadratna funkcija oblika y \u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2, čiji je graf parabola y \u003d x 2, koja je komprimirana tri puta u odnosu na O y i simetrična u odnosu na O x, štoviše, pomaknut za 2 3 za O x udesno, za 2 jedinice za O na gore. Na koordinatnoj liniji to izgleda ovako:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geometrijske transformacije grafa funkcije

Primjenom geometrijskih transformacija zadanog grafa dobivamo da je graf predstavljen funkcijom oblika ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b kada su k 1 > 0 , k 2 > 0 kompresija omjeri na 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1 , k 2 > 1 duž O y i O x. Znak ispred koeficijenata k 1 i k 2 označava simetričan prikaz grafa u odnosu na osi, a i b ga pomiču duž O x i O y.

Definicija 1

Postoje 3 vrste grafika geometrijske transformacije:

• Skaliranje duž O x i O y. Na to utječu koeficijenti k 1 i k 2, pod uvjetom da 1 nije jednako, kada je 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, tada se graf rasteže duž O y i komprimira duž O x.
• Simetrični prikaz oko koordinatnih osi. Ako postoji znak “-” ispred k 1, simetrija ide u odnosu na O x, prije k 2 ide u odnosu na O y. Ako nedostaje "-", tada se točka odluke preskače;
• Paralelni prijevod (pomak) duž O x i O y. Transformacija se izvodi kada koeficijenti a i b nisu jednaki 0 ​​. Ako je vrijednost a pozitivna, tada se graf pomiče ulijevo za | a | jedinice, ako je negativan a , onda udesno za istu udaljenost. Vrijednost b određuje kretanje duž osi O y, što znači da ako je b pozitivan, funkcija se pomiče gore, a ako je b negativan, pomiče se dolje.

Razmotrite rješenja koristeći primjere, počevši od funkcije snage.

Primjer 1

Transformirajte y = x 2 3 i nacrtajte funkciju y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

Odluka

Predstavite funkcije ovako:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Gdje je k 1 = 2, obratite pažnju na prisutnost "-", a \u003d - 1 2, b \u003d 3. Odavde dobivamo da su geometrijske transformacije napravljene rastezanjem duž O y dvaput, prikazano simetrično u odnosu na O x, pomaknuto udesno za 1 2 i gore za 3 jedinice.

Ako predstavimo izvornu funkciju snage, dobivamo to

kada se dvaput razvuče duž O y, imamo to

Preslikavanje simetrično u odnosu na O x ima oblik

i pomaknite se udesno za 1 2

pomicanje 3 jedinice gore ima oblik

Razmotrit ćemo transformacije eksponencijalne funkcije na primjerima.

Primjer 2

Grafikonirajte eksponencijalnu funkciju y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

Odluka.

Transformiramo funkciju na temelju svojstava funkcije potencije. Onda to dobivamo

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Ovo pokazuje da dobivamo lanac transformacija y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Dobili smo da je original eksponencijalna funkcija ima oblik

Stisnuvši dvaput duž O y daje

Protežući se duž O x

Simetrično preslikavanje s obzirom na O x

Preslikavanje je simetrično u odnosu na O y

Pomaknite gore 8 jedinica

Razmotrimo rješenje na primjeru logaritamska funkcija y = log(x) .

Primjer 3

Konstruirajte funkciju y = ln e 2 · - 1 2 x 3 koristeći transformaciju y = ln (x) .

Odluka

Da biste to riješili, trebate koristiti svojstva logaritma, tada dobivamo:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Transformacije logaritamske funkcije izgledaju ovako:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Nacrtajte graf izvorne logaritamske funkcije

Sustav komprimiramo prema O y

Protežemo se duž O x

Napravimo preslikavanje s obzirom na O y

Napravimo pomak za 2 jedinice, dobivamo

Za transformaciju grafova trigonometrijske funkcije potrebno je u shemu uklopiti rješenja oblika ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b. Potrebno je da k 2 bude jednak T k 2 . Stoga dobivamo 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Razmotrimo primjere rješavanja zadataka s transformacijama y = sin x .

Primjer 4

Nacrtajte y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 koristeći transformacije funkcije y=sinx.

Odluka

Potrebno je funkciju dovesti u oblik ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Za ovo:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Vidi se da je k 1 \u003d 3, k 2 \u003d 1 2, a \u003d - 3, b \u003d - 2. Budući da postoji "-" prije k 1, ali ne prije k 2, tada dobivamo lanac transformacija oblika:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Detaljna konverzija sinusnog vala. Prilikom crtanja izvorne sinusoide y = sin (x), nalazimo da se T = 2 π smatra najmanjim pozitivnim periodom. Pronalaženje maksimuma u točkama π 2 + 2 π · k ; 1 , a minimum - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Istezanje duž O y izvodi se tri puta, što znači da će se povećanje amplitude oscilacija povećati za 3 puta. T = 2 π je najmanji pozitivno razdoblje. Maksimumi idu na π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , minimumi - - π 2 + 2 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Kada se dvaput istegnemo duž O x, dobivamo da se najmanji pozitivni period povećava za 2 puta i jednak je T = 2 π k 2 = 4 π. Maksimumi idu na π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , minimumi - in - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Slika se proizvodi simetrično u odnosu na O x. Najmanje pozitivno razdoblje u ovaj slučaj ne mijenja se i jednak je T = 2 π k 2 = 4 π . Maksimalni prijelaz izgleda kao - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , a minimum je π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Grafikon je pomaknut prema dolje za 2 jedinice. U najmanjem zajedničkom razdoblju nema promjene. Pronalaženje maksimuma s prijelazom na točke - π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , minimumi - π + 3 + 4 π · k ; - 5 , k ∈ Z .

Na ovoj fazi graf trigonometrijske funkcije smatra se transformiranim.

Smatrati detaljna konverzija funkcije y = cos x .

Primjer 5

Nacrtajte funkciju y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 koristeći transformaciju funkcije oblika y = cos x .

Odluka

Prema algoritmu, zadanu funkciju svesti na oblik ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Onda to dobivamo

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

Iz uvjeta se može vidjeti da je k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1, gdje k ​​2 ima "-", a nema ga prije k 1.

Odavde dobivamo da dobivamo graf trigonometrijske funkcije oblika:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Korak po korak kosinusna transformacija s grafičkom ilustracijom.

Na zadanom rasporedu y = cos (x) može se vidjeti da je najmanji zajednički period jednak T = 2 π . Pronalaženje maksimuma u 2 π · k ; 1, k ∈ Z i minimumi π + 2 π · k; - 1 , k ∈ Z .

Kada se rasteže duž O y za faktor 32, amplituda titranja se povećava za faktor 32. T = 2 π je najmanji pozitivni period. Pronalaženje maksimuma u 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi u π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Kada se dvaput komprimira duž O x, dobivamo da je najmanji pozitivni period broj T = 2 π k 2 = π . Maksimumi se prenose na π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Simetrično preslikavanje s obzirom na O y. Budući da je graf neparan, neće se promijeniti.

Prilikom pomicanja grafa za 1 . U najmanjem pozitivnom razdoblju T = π nema promjena. Pronalaženje maksimuma u π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Kada se pomakne za 1, najmanji pozitivni period je T = π i ne mijenja se. Pronalaženje maksimuma u π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , minimumi u π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .

Transformacija kosinusne funkcije je dovršena.

Razmotrimo transformacije na primjeru y = t g x .

Primjer 6

Nacrtajte funkciju y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 koristeći transformacije funkcije y = t g (x) .

Odluka

Za početak je potrebno zadanu funkciju dovesti u oblik ± k 1 f ± k 2 x + a + b, nakon čega dobivamo da

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Jasno se vidi da k 1 \u003d 1 2, k 2 \u003d 2 3, a \u003d - π 2, b \u003d π 3, a ispred koeficijenata k 1 i k 2 stoji "-". Dakle, nakon transformacije tangentoida, dobivamo

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Korak po korak transformacija tangentoida s grafičkom slikom.

Imamo da je originalni graf y = t g (x) . Pozitivna promjena perioda je T = π. Područje definicije je - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Stisnemo 2 puta duž O y. T \u003d π se smatra najmanjim pozitivnim razdobljem, gdje je domena definicije - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Rastegnite duž O x 3 2 puta. Izračunajmo najmanji pozitivni period, a bio je jednak T = π k 2 = 3 2 π . I domena funkcije s koordinatama - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , mijenja se samo domena definicije.

Simetrija ide na stranu O x. Razdoblje se u ovom trenutku neće mijenjati.

Koordinatne osi je potrebno prikazati simetrično. Područje definicije u ovom slučaju je nepromijenjeno. Grafikon je isti kao i prije. To sugerira da je tangentna funkcija neparna. Ako se neparna funkcija postavite simetrično preslikavanje O x i O y, tada ćemo transformirati u izvornu funkciju.