Как решать систему рациональных неравенств. Дробные рациональные неравенства

Пусть надо найти числовые значения х, при которых превращаются в верные числовые неравенства одновременно несколько рациональных неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему рациональных неравенств с одним неизвестным х.

Чтобы решить систему рациональных неравенств, надо найти все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех найденных решений и будет решением системы.

Пример: Решить систему неравенств

(х -1)(х - 5)(х - 7) < 0,

Сначала решаем неравенство

(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0.

Применяя метод интервала (рис. 1), находим, что множество всех решении неравенства (2) состоит из двух интервалов: (-, 1) и (5, 7).

Рисунок 1

Теперь решим неравенство

Применяя метод интервалов (рис. 2), находим, что множество всех решении неравенства (3) также состоит их двух интервалов: (2, 3) и (4, +).

Теперь надо найти общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем координатную ось х и отметим на ней найденные решения. Теперь ясно, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал(5, 7) (рис. 3).

Следовательно, множество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).

Пример: Решить систему неравенств

х2 - 6х + 10 < 0,

Решим сначала неравенство

х 2 - 6х + 10 < 0.

Применяя метод выделения полного квадрата, можно написать, что

х 2 - 6х + 10 = х 2 - 2х3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (х - 3) 2 +1.

Поэтому неравенство (2) можно записать в виде

(х - 3) 2 + 1 < 0,

откуда видно, что оно не имеет решении.

Теперь можно не решать неравенство

так как ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.

Пример: Решить систему неравенств

Рассмотрим сначала первое неравенство; имеем

1 < 0, < 0.

С помощью кривой знаков находим решения этого неравенства: х < -2; 0 < x < 2.

Решим теперь второе неравенство заданной системы. Имеем x 2 - 64 < 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Отметив найденные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Пример: Решить систему неравенств

Преобразуем первое неравенство системы:

х 3 (х - 10)(х + 10) 0, или х(х - 10)(х + 10) 0

(т.к. множители в нечетных степенях можно заменять соответствующими множителями первой степени); с помощью метода интервалов найдем решения последнего неравенства: -10 х 0, х 10.

Рассмотрим второе неравенство системы; имеем

Находим (рис. 8) х -9; 3 < x < 15.

Объединив найденные решения, получим (рис. 9) х 0; х > 3.

Пример: Найти целочисленные решения системы неравенств:

х + y < 2,5,

Решение: Приведем систему к виду

Складывая первое и второе неравенства, имеем y < 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

откуда -1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Тема урока "Решение систем рациональных неравенств"

Класс 10

Тип урока: поисковый

Цель: поиск способов решения неравенств с модулем, применение метода интервалов в новой ситуации.

Задачи урока:

Проверить умения и навыки в решении рациональных неравенств и их систем; - показать учащимся возможности применения метода интервалов при решении неравенств с модулем;

Научить логически мыслить;

Выработать навык самооценки своей работы;

Научить выражать свои мысли,

Научить аргументированно отстаивать свою точку зрения;

Сформировать у учащихся положительный мотив учения;

Развить самостоятельность учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент (1мин)

Здравствуйте, сегодня мы с вами продолжим изучение темы "Система рациональных неравенств", будем применять свои знания и умения в новой ситуации.

Запишите число и тему урока "Решение систем рациональных неравенств". Сегодня я вас приглашаю в путешествие по дорогам математики, где вас ожидают испытания, проверка на прочность. У вас на партах лежат дорожные карты с заданиями, путевой лист самооценки, который в конце путешествия сдадите мне (диспетчеру).

Девизом путешествия будет служить афоризм "Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий» . Возьмите с собой ваш багаж знаний. Включите мыслительный процесс и в путь. В дороге нас будет сопровождать дорожное радио. Звучит фрагмент музыки (1 мин). Потом резкий звук сигнала.

II. Этап проверки знаний. Работа в группах. «Досмотр багажа»,

Вот и первое испытание «Досмотр багажа», проверка ваших знаний по теме

Сейчас вы разделитесь на группы по 3 или 4 человека. У каждого на парте есть листок с заданием. Распределите эти задания между собой, решите их, на общем листе запишите готовые ответы. Группа, состоящая из 3 человек, выбирает 3 любые задания. Кто выполнит все задания, сообщит об этом учителю. Я или мои помощники сверим ответы, и если хоть один ответ будет неверным, группе возвращается листок на перепроверку . (ответы дети не видят, им только сообщается, в каком задании неверный ответ). Победит та группа, которая первой без ошибок справиться со всеми заданиями. Вперёд за победой.

Звучит очень тихая музыка.

Если закончат работу две или три группы одновременно, то учителю поможет проверить кто-то из ребят другой группы. Ответы на листе у учителя (4 экземпляра).

Работа останавливается, когда появится группа-победитель.

Не забудьте заполнить путевой лист самооценки. И едем дальше.

Лист с заданием для «Досмотра багажа»

1) 3)

2) 4)

III. Этап актуализации знаний и открытие новых знаний. «Эврика»

Досмотр показал, что багаж знаний у вас есть.

Но в дороге всякие ситуации бывают, иногда требуется смекалка, а не забыли ли вы прихватить её с собой, проверим.

Вы научились решать системы рациональных неравенств методом интервалов. Сегодня мы посмотрим, при решении каких задач целесообразно применение этого метода. Но сначала вспомним, что такое модуль.

1. Продолжите предложения «Модуль числа равен самому числу, если..." (устно)

«Модуль числа равен противоположному числу, если...»

2. Пусть А(Х) -многочлен от x

Продолжите запись:

Ответ:

Запишите выражение, противоположное выражению А(х)

А(х) = 5 - 4х; А(х) = 6х 2 - 4х + 2

А(х)= -А(х)=

На доске пишет ученик, ребята, записывают в тетради.

3. Сейчас попробуем найти способ решения квадратичного неравенства с модулем

Ваши предложения по решению этого неравенства.

Выслушать предложения ребят.

Если предложений не будет, то задать вопрос: «Можно ли решить это неравенство с помощью систем неравенств?»

Выходит ученик, решает.

IV. Этап первичного закрепления новых знаний, составление алгоритма решения. Пополнение багажа.

(Работа в группах по 4 человека).

Сейчас я вам предлагаю пополнить ваш багаж. Будете работать в группах. Каждой группе выдаются по 2 карточки с заданиями.

На первой карточке нужно записать системы для решения неравенств, представленных на доске и разработать алгоритм решения подобных неравенств, решать не нужно.

Первая карточка у групп разная, вторая одинаковая

Что получилось?

Под каждым уравнением на доске нужно написать совокупность систем.

Выходят 4 ученика, и пишут системы. В это время с классом обсуждаем алгоритм .

V. Этап закрепления знаний. «Дорога домой».

Багаж пополнен, теперь пора в обратный путь. Сейчас решите самостоятельно любое из предложенных неравенств с модулем в соответствии с составленным алгоритмом.

С вами в пути опять будет дорожное радио.

Включить тихую фоновую музыку . Учитель проверяет оформление и при необходимости консультирует.

Задания на доске.

Работу закончили. Сверьте ответы (они на обратной стороне доски), заполните путевой лист самооценки.

Постановка домашнего задания .

Запишите домашнее задание (перепишите в тетрадь неравенства, которые не сделали или сделали с ошибками, дополнительно № 84 (а) на стр. 373 учебника по желанию)

VI. Этап релаксации .

Чем полезно было для вас это путешествие?

Чему вы научились?

Подведите итоги. Подсчитайте, сколько баллов каждый из вас заработал. (ребята называют итоговый балл). Листы с самооценкой сдайте диспетчеру, то есть мне.

Закончить урок я хочу притчей.

«Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?», и тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу», а третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве Храма!»»

Урок окончен.

Лист самооценки

Фамилия, имя, класс		Количество баллов
Работа в группе по решению неравенств или систем неравенств.	2 балла, если выполнил верно без посторонней помощи; 1 балл, если выполнил верно с посторонней помощью; 0 баллов, если не выполнил задание 1 балл дополнительный за победу группы

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки:

Запишем решение:

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.