Sistem koordinat hiasan. Koordinat Cartesan

Sistem segi empat tepat koordinat pada satah dibentuk oleh dua paksi koordinat yang saling berserenjang X’X dan Y’Y. Paksi koordinat bersilang pada titik O, yang dipanggil asal koordinat, arah positif dipilih pada setiap paksi. Arah positif paksi (dalam sistem koordinat kanan) dipilih supaya apabila paksi X'X diputar lawan jam sebanyak 90 °, arah positifnya bertepatan dengan arah positif paksi Y'Y. Empat sudut (I, II, III, IV) yang dibentuk oleh paksi koordinat X'X dan Y'Y dipanggil sudut koordinat (lihat Rajah 1).

Kedudukan titik A pada satah ditentukan oleh dua koordinat x dan y. Koordinat-x adalah sama dengan panjang segmen OB, koordinat-y ialah panjang segmen OC dalam unit yang dipilih. Segmen OB dan OC ditakrifkan oleh garisan yang dilukis dari titik A selari dengan paksi Y’Y dan X’X, masing-masing. Koordinat x dipanggil absis titik A, koordinat y dipanggil ordinat titik A. Mereka menulisnya seperti ini: A (x, y).

Jika titik A terletak sudut koordinat I, maka titik A mempunyai absis positif dan ordinat. Jika titik A terletak pada sudut koordinat II, maka titik A mempunyai absis negatif dan ordinat positif. Jika titik A terletak pada sudut koordinat III, maka titik A mempunyai absis dan koordinat negatif. Jika titik A terletak pada sudut koordinat IV, maka titik A mempunyai absis positif dan ordinat negatif.

Sistem koordinat segi empat tepat dalam ruang dibentuk oleh tiga paksi koordinat yang saling berserenjang OX, OY dan OZ. Paksi koordinat bersilang pada titik O, yang dipanggil asalan, pada setiap paksi arah positif yang ditunjukkan oleh anak panah dipilih, dan unit ukuran segmen pada paksi. Unit ukuran adalah sama untuk semua paksi. OX - paksi absis, OY - paksi ordinat, OZ - paksi gunaan. Arah positif paksi dipilih supaya apabila paksi OX diputar mengikut arah lawan jam sebanyak 90°, arah positifnya bertepatan dengan arah positif paksi OY, jika putaran ini diperhatikan dari sisi arah positif paksi OZ. . Sistem koordinat sedemikian dipanggil betul. Jika ibu jari tangan kanan ambil untuk arah X, indeks untuk arah Y, dan yang tengah untuk arah Z, maka sistem koordinat tangan kanan terbentuk. Jari-jari tangan kiri yang serupa membentuk sistem koordinat kiri. Sistem koordinat kanan dan kiri tidak boleh digabungkan supaya paksi yang sepadan bertepatan (lihat Rajah 2).

Kedudukan titik A dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat x, y dan z. Koordinat x adalah sama dengan panjang segmen OB, koordinat y adalah sama dengan panjang segmen OC, koordinat z ialah panjang segmen OD dalam unit yang dipilih. Segmen OB, OC dan OD ditakrifkan oleh satah yang dilukis dari titik A selari dengan satah YOZ, XOZ dan XOY, masing-masing. Koordinat x dipanggil absis titik A, koordinat y dipanggil koordinat titik A, koordinat z dipanggil aplikasi titik A. Mereka menulisnya seperti ini: A (a, b, c).

Horts

Sistem koordinat segi empat tepat (mana-mana dimensi) juga diterangkan oleh satu set orts , diarahkan bersama dengan paksi koordinat. Bilangan ort adalah sama dengan dimensi sistem koordinat, dan semuanya berserenjang antara satu sama lain.

DALAM kes tiga dimensi orts tersebut biasanya dilambangkan i j k atau e x e y e z . Dalam kes ini, dalam kes sistem koordinat yang betul, formula berikut dengan produk vektor vektor adalah sah:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

cerita

René Descartes adalah orang pertama yang memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat dalam Discourse on the Method pada tahun 1637. Oleh itu, sistem koordinat segi empat tepat juga dipanggil - Sistem koordinat kartesian. Kaedah koordinat untuk menerangkan objek geometri meletakkan asas bagi geometri analisis. Pierre Fermat juga menyumbang kepada pembangunan kaedah koordinat, tetapi karyanya pertama kali diterbitkan selepas kematiannya. Descartes dan Fermat menggunakan kaedah koordinat hanya pada satah.

Kaedah koordinat untuk ruang tiga dimensi mula digunakan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18.

lihat juga

Pautan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apakah "Sistem koordinat Cartesian" dalam kamus lain:

Sistem koordinat Cartesian, sistem koordinat rectilinear pada satah atau di angkasa (biasanya dengan paksi yang saling berserenjang dan skala yang sama di sepanjang paksi). Dinamakan sempena R. Descartes (lihat DECARTS Rene). Descartes pertama kali memperkenalkan... Kamus ensiklopedia

SISTEM KOORDINAT CARTESIAN- sistem koordinat segi empat tepat pada satah atau dalam ruang, di mana skala sepanjang paksi adalah sama dan paksi koordinat saling berserenjang. D. s. k. dilambangkan dengan huruf x:, y untuk titik pada satah atau x, y, z untuk titik dalam ruang. (Cm.……

SISTEM KOORDINAT CARTEAN, sistem yang diperkenalkan oleh René DECARTES, di mana kedudukan sesuatu titik ditentukan oleh jarak daripadanya ke garisan yang saling bersilang (paksi). Dalam versi sistem yang paling mudah, paksi (yang dilambangkan sebagai x dan y) adalah berserenjang. ... ... Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal

Sistem koordinat kartesian

Sistem koordinat rectilinear (Lihat Koordinat) pada satah atau di angkasa (biasanya dengan skala yang sama di sepanjang paksi). R. Descartes sendiri dalam "Geometri" (1637) hanya menggunakan sistem koordinat pada satah (secara umum, serong). Selalunya…… Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Satu set definisi yang melaksanakan kaedah koordinat, iaitu satu cara untuk menentukan kedudukan titik atau badan menggunakan nombor atau simbol lain. Set nombor yang menentukan kedudukan titik tertentu dipanggil koordinat titik ini. Dalam ... ... Wikipedia

sistem kartesian- Dekarto koordinačių sistem statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Sistem kartesian; Sistem koordinat cartesian vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Sistem kartesian, f; Sistem kartesian ... ... Fizikos terminų žodynas

SISTEM KOORDINAT- satu set syarat yang menentukan kedudukan titik pada garis lurus, pada satah, dalam ruang. Terdapat pelbagai S. hingga.: Cartesian, oblik, silinder, sfera, curvilinear, dll. Kuantiti linear dan sudut yang menentukan kedudukan ... ... Ensiklopedia Politeknik Hebat

Sistem koordinat rectilinear ortonormal dalam ruang Euclidean. D. ms. k. pada satah diberikan oleh dua paksi koordinat langsung yang saling berserenjang, pada setiap satunya arah positif dipilih dan segmen unit ... Ensiklopedia Matematik

Sistem koordinat segi empat tepat ialah sistem koordinat segi empat tepat dengan paksi yang saling berserenjang pada satah atau di angkasa. Sistem koordinat yang paling mudah dan oleh itu paling biasa digunakan. Ia sangat mudah dan digeneralisasikan secara langsung untuk ... ... Wikipedia

Buku

Pengiraan dinamik bendalir. Asas teori. Buku teks, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Buku ini dikhaskan untuk pembentangan yang sistematik asas teori untuk menetapkan matlamat pemodelan matematik aliran cecair dan gas. Perhatian istimewa fokus pada pembinaan...

Sistem tertib dua atau tiga paksi bersilang berserenjang antara satu sama lain dengan permulaan biasa rujukan (asal) dan unit biasa panjang dipanggil sistem koordinat Cartesan segi empat tepat .

Sistem koordinat Cartesan Am (sistem koordinat affine) mungkin juga termasuk tidak semestinya paksi berserenjang. Sebagai penghormatan kepada ahli matematik Perancis Rene Descartes (1596-1662), sistem koordinat sedemikian dinamakan di mana unit panjang yang sama dikira pada semua paksi dan paksinya lurus.

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah mempunyai dua kapak sistem koordinat Cartesan segi empat tepat di angkasa - tiga kapak. Setiap titik pada satah atau dalam ruang ditentukan oleh satu set koordinat - nombor mengikut panjang unit sistem koordinat.

Perhatikan bahawa, seperti berikut dari definisi, terdapat sistem koordinat Cartesian pada garis lurus, iaitu, dalam satu dimensi. Pengenalan koordinat Cartesian pada garis lurus adalah salah satu cara di mana mana-mana titik pada garis lurus diberikan nombor nyata yang jelas, iaitu, koordinat.

Kaedah koordinat, yang timbul dalam karya René Descartes, menandakan penstrukturan semula revolusioner semua matematik. peluang untuk mentafsir persamaan algebra(atau ketaksamaan) dalam bentuk imej geometri (graf) dan, sebaliknya, cari penyelesaian masalah geometri menggunakan formula analisis, sistem persamaan. Ya, ketidaksamaan z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy dan terletak di atas satah ini sebanyak 3 unit.

Dengan bantuan sistem koordinat Cartesian, kepunyaan titik ke lengkung yang diberikan sepadan dengan fakta bahawa nombor x Dan y memenuhi beberapa persamaan. Jadi, koordinat titik pada bulatan berpusat titik yang diberikan (a; b) memenuhi persamaan (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah

Dua paksi berserenjang pada satah dengan asalan yang sama dan bentuk unit skala yang sama Sistem koordinat Cartesian pada satah . Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y . Paksi ini juga dipanggil paksi koordinat. Nyatakan dengan Mx Dan My masing-masing unjuran titik arbitrari M pada gandar lembu Dan Oy. Bagaimana untuk mendapatkan unjuran? Melewati titik itu M lembu. Garisan ini bersilang dengan paksi lembu pada titik Mx. Melewati titik itu M garis lurus berserenjang dengan paksi Oy. Garisan ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Ini ditunjukkan dalam rajah di bawah.

x Dan y mata M kami akan memanggil masing-masing magnitud segmen yang diarahkan OMx Dan OMy. Nilai segmen arah ini dikira masing-masing sebagai x = x0 - 0 Dan y = y0 - 0 . Koordinat Cartesan x Dan y mata M abscissa Dan menyelaraskan . Hakikat bahawa titik M mempunyai koordinat x Dan y, dilambangkan seperti berikut: M(x, y) .

Paksi koordinat membahagikan satah kepada empat kuadran , yang penomborannya ditunjukkan dalam rajah di bawah. Ia juga menunjukkan susunan tanda untuk koordinat titik, bergantung pada lokasinya dalam satu atau kuadran lain.

Sebagai tambahan kepada koordinat segi empat tepat Cartesian dalam satah, sistem koordinat kutub juga sering dipertimbangkan. Mengenai kaedah peralihan dari satu sistem koordinat ke yang lain - dalam pelajaran sistem koordinat kutub .

Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat di angkasa

Koordinat Cartesan dalam ruang angkasa diperkenalkan dalam analogi lengkap dengan koordinat Cartesan pada satah.

Tiga paksi yang saling berserenjang dalam ruang (paksi koordinat) dengan asalan yang sama O dan bentuk unit skala yang sama Sistem koordinat segi empat tepat Cartesian di angkasa .

Salah satu paksi ini dipanggil paksi lembu, atau paksi-x , yang lain - paksi Oy, atau paksi-y , ketiga - paksi Oz, atau pakai paksi . biarlah Mx, My Mz- unjuran titik sewenang-wenangnya M ruang pada paksi lembu , Oy Dan Oz masing-masing.

Melewati titik itu M lembulembu pada titik Mx. Melewati titik itu M satah berserenjang dengan paksi Oy. Satah ini bersilang dengan paksi Oy pada titik My. Melewati titik itu M satah berserenjang dengan paksi Oz. Satah ini bersilang dengan paksi Oz pada titik Mz.

Cartesian koordinat segi empat tepat x , y Dan z mata M kami akan memanggil masing-masing magnitud segmen yang diarahkan OMx, OMy Dan OMz. Nilai segmen arah ini dikira masing-masing sebagai x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Dan z = z0 - 0 .

Koordinat Cartesan x , y Dan z mata M dinamakan sesuai abscissa , menyelaraskan Dan applique .

Diambil secara berpasangan, paksi koordinat terletak di dalam satah koordinat xOy , yOz Dan zOx .

Masalah tentang titik dalam sistem koordinat Cartes

Contoh 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi-x.

Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-x terletak pada paksi-x itu sendiri, iaitu paksi. lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat (koordinat pada paksi Oy, yang paksi-x bersilang pada titik 0), sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi-x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Contoh 2 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini pada paksi-y.

Penyelesaian. Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-y terletak pada paksi-y itu sendiri, iaitu paksi. Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan abscissa (koordinat pada paksi lembu, yang paksi-y bersilang pada titik 0), sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi titik-titik ini pada paksi-y:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Contoh 3 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

lembu .

lembu lembu lembu, akan mempunyai absis yang sama seperti titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan nilai mutlak koordinat titik yang diberikan, dan bertentangan dengannya dalam tanda. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini mengenai paksi lembu :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Selesaikan sendiri masalah pada sistem koordinat Cartesian, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 4 Tentukan di mana kuadran (suku, angka dengan kuadran - pada akhir perenggan "Sistem koordinat Cartesian segi empat tepat pada satah") titik itu boleh ditemui M(x; y) , Jika

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Contoh 5 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Cari koordinat titik simetri dengan titik ini mengenai paksi Oy .

Kami terus menyelesaikan masalah bersama

Contoh 6 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Cari koordinat titik simetri dengan titik ini mengenai paksi Oy .

Penyelesaian. Putar 180 darjah mengelilingi paksi Oy segmen garisan terarah dari paksi Oy sehingga ke tahap ini. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri dengan yang diberikan berkenaan dengan paksi. Oy, akan mempunyai ordinat yang sama dengan titik yang diberikan, dan abscissa sama dengan nilai mutlak dengan absis titik yang diberikan, dan bertentangan dalam tanda dengannya. Oleh itu, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini mengenai paksi Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Contoh 7 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan pada satah

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Cari koordinat titik-titik yang simetri kepada titik-titik ini berkenaan dengan asalan.

Penyelesaian. Kami berputar 180 darjah di sekeliling asal segmen yang diarahkan dari asal ke titik tertentu. Dalam rajah, di mana kuadran satah ditunjukkan, kita melihat bahawa titik simetri kepada titik tertentu berkenaan dengan asal koordinat akan mempunyai absis dan ordinat sama dalam nilai mutlak dengan absis dan ordinat titik yang diberikan. , tetapi bertentangan dalam tanda kepada mereka. Jadi kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada titik ini berkenaan dengan asalan:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Contoh 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Cari koordinat unjuran titik-titik ini:

1) dalam kapal terbang Oxy ;

2) ke kapal terbang Oxz ;

3) ke kapal terbang Oyz ;

4) pada paksi absis;

5) pada paksi-y;

6) pada paksi applique.

1) Unjuran titik pada satah Oxy terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan ordinat sama dengan absis dan ordinat bagi titik yang diberikan, dan aplikasi sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Unjuran titik pada satah Oxz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai absis dan terpakai sama dengan absis dan menggunakan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Unjuran titik pada satah Oyz terletak pada satah ini sendiri, dan oleh itu mempunyai ordinat dan aplikasi sama dengan ordinat dan aplikasi titik tertentu, dan absis sama dengan sifar. Jadi kita mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Seperti berikut dari bahagian teori pelajaran ini, unjuran titik ke paksi-x terletak pada paksi-x itu sendiri, iaitu paksi. lembu, dan oleh itu mempunyai absis sama dengan absis titik itu sendiri, dan ordinat dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi ordinat dan aplikasi bersilang dengan absis pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi-x:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Unjuran titik pada paksi-y terletak pada paksi-y itu sendiri, iaitu paksi Oy, dan oleh itu mempunyai ordinat sama dengan ordinat titik itu sendiri, dan absis dan aplikasi unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan aplikasi bersilang dengan paksi ordinat pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik-titik ini pada paksi-y:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Unjuran titik pada paksi terpakai terletak pada paksi terpakai itu sendiri, iaitu, paksi Oz, dan oleh itu mempunyai pengaplikasi sama dengan pengaplikasi titik itu sendiri, dan absis dan ordinat unjuran adalah sama dengan sifar (memandangkan paksi absis dan ordinat bersilang dengan paksi gunaan pada titik 0). Kami mendapat koordinat berikut bagi unjuran titik ini pada paksi terpakai:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Contoh 9 Mata diberi dalam sistem koordinat Cartesan di angkasa

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Cari koordinat titik yang simetri kepada titik ini berkenaan dengan:

1) kapal terbang Oxy ;

2) kapal terbang Oxz ;

3) kapal terbang Oyz ;

4) paksi absis;

5) paksi-y;

6) paksi applique;

7) asal koordinat.

1) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oxy Oxy, akan mempunyai absis dan ordinat sama dengan absis dan ordinat bagi titik yang diberikan, dan applicate sama magnitud dengan applicate bagi titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda kepadanya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oxz untuk jarak yang sama. Menurut rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada yang diberikan berkenaan dengan paksi Oxz, akan mempunyai absis dan menggunakan sama dengan absis dan menggunakan titik yang diberikan, dan ordinat sama dengan magnitud dengan ordinat titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda dengannya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Majukan" titik di sisi lain paksi Oyz untuk jarak yang sama. Menurut rajah yang memaparkan ruang koordinat, kita melihat bahawa titik simetri kepada yang diberikan berkenaan dengan paksi Oyz, akan mempunyai ordinat dan applicate sama dengan ordinat dan applicate bagi titik yang diberikan, dan abscissa sama magnitud dengan abscissa titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda dengannya. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan satah Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Dengan analogi dengan titik simetri pada satah dan titik dalam ruang simetri kepada data berkenaan dengan satah, kami perhatikan bahawa dalam kes simetri tentang beberapa paksi sistem koordinat Cartes di angkasa, koordinat pada paksi yang simetri ditetapkan. akan mengekalkan tandanya, dan koordinat pada dua paksi yang lain akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik yang diberikan, tetapi bertentangan dalam tanda.

4) Abscissa akan mengekalkan tandanya, manakala ordinat dan aplikasi akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi-x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinat akan mengekalkan tandanya, manakala absis dan applicate akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi-y:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Pemohon akan mengekalkan tandanya, dan absis dan ordinat akan bertukar tanda. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data tentang paksi terpakai:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Dengan analogi dengan simetri dalam kes titik pada satah, dalam kes simetri tentang asalan, semua koordinat titik simetri kepada yang diberikan akan sama dalam nilai mutlak dengan koordinat titik tertentu, tetapi bertentangan sebagai tanda kepada mereka. Jadi, kita mendapat koordinat titik berikut yang simetri kepada data berkenaan dengan asal.

Pada abad II SM. saintis Yunani Hipparchus mencadangkan untuk mengepung pada peta Bumi selari dan meridian, menutupnya seolah-olah dengan grid bersyarat, dan masukkan koordinat geografi- latitud dan longitud.

Benar, sebelum itu, ahli astronomi menggunakan teknik ini, mengkaji bilik kebal syurga.

Pada abad II Masihi. ahli astronomi dan ahli matematik Yunani kuno yang terkenal Claudius Ptolemy secara aktif menggunakan longitud dan latitud sebagai koordinat geografi.
Tetapi mensistematisasikan konsep-konsep ini pada abad ke-17 Rene Descartes.

Rene Descartes (1596 - 1650) - ahli matematik Perancis, ahli falsafah, ahli fizik dan fisiologi.
Dialah yang mencipta sistem koordinat pada tahun 1637 yang digunakan di seluruh dunia dan diketahui oleh setiap pelajar sekolah. Ia juga dipanggil "Sistem koordinat Cartesian".

Apakah jenis orang Descartes?

Descartes berasal dari keluarga bangsawan dan merupakan anak bongsu (ketiga) dalam keluarga. Beliau dilahirkan pada tahun 1596 di Perancis. Ibunya meninggal dunia ketika dia berumur 1 tahun. Rene mendapat yang hebat pendidikan rendah di Kolej La Fleche yang berprestij. Di sini dia belajar dengan paderi Jesuit.

Semasa sepuluh tahun di kolej, Descartes memperoleh kemahiran menulis, mempelajari seni muzik dan dramatik, dan juga menguasai usaha mulia seperti menunggang kuda dan ilmu pedang.
Selepas menghabiskan dua tahun lagi di Universiti Poitiers, dia menerima ijazah dalam bidang perundangan, tetapi meninggalkan kerjaya peguam.
Rene mendaftar masuk perkhidmatan ketenteraan dan mula mengembara secara meluas di Eropah.

Descartes kemudian tinggal di Belanda selama kira-kira dua puluh tahun. Belanda yang bertolak ansur pada abad ketujuh belas melakukannya dengan baik tanpa perkara-perkara seperti inkuisisi, ajaran sesat, pemusnahan dan pembakaran di pancang, yang mengancam semua pemikir asal Eropah. Di sini, tidak seperti negara lain, ia tidak perlu membayar untuk idea mereka.
Descartes menjalankan surat-menyurat yang meluas dengan saintis terbaik di Eropah, paling banyak mengkaji pelbagai ilmu, menulis buku. Dia belajar astronomi dan perubatan.

Ahli fisiologi hebat Ivan Petrovich Pavlov menganggap Descartes sebagai pendahulu

penyelidikan mereka. Rene Descartes adalah orang pertama yang mencadangkan konsep refleks.

(Monumen kepada R. Descartes. Pemahat: I.F. Bezpalov. Alamat: Lorong patung saintis hebat di Koltushi.)

Dia punya frasa terkenal: "Cogito, ergo sum",
yang dalam bahasa Latin bermaksud:
"Saya fikir, oleh itu saya."

Sistem koordinat kartesian

Untuk menetapkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian pada satah, garis yang saling berserenjang, dipanggil paksi, dipilih.
Titik persilangan paksi - "O" dipanggil asalan.
Pada setiap paksi (OX dan OY), arah positif ditetapkan dan unit skala (segmen tunggal) dipilih.

Kedudukan titik A pada satah ditentukan oleh dua koordinat x dan y.
Koordinat-x adalah sama dengan panjang segmen OB, koordinat-y ialah panjang segmen OC dalam unit yang dipilih.
Koordinat x dipanggil absis titik A, koordinat y dipanggil ordinat titik A.
Setiap titik pada satah koordinat sepadan dengan sepasang nombor: absis dan ordinatnya: (x; y). Dan sebaliknya: setiap pasangan nombor sepadan dengan satu titik pada satah koordinat.

Dalam ruang di mana kedudukan titik boleh ditakrifkan sebagai unjurannya ke garis tetap yang bersilang pada satu titik, dipanggil asalan. Unjuran ini dipanggil koordinat titik, dan garisan dipanggil paksi koordinat.

DALAM kes am pada satah sistem koordinat Cartesan ( sistem affine koordinat) diberikan oleh titik O (asal koordinat) dan pasangan tertib vektor e 1 dan e 2 (vektor asas) yang dilampirkan padanya tidak terletak pada garis lurus yang sama. Garis lurus yang melalui asalan dalam arah vektor asas dipanggil paksi koordinat sistem koordinat Cartesan yang diberikan. Yang pertama, ditentukan oleh vektor e 1, dipanggil paksi absis (atau paksi Lembu), yang kedua ialah paksi ordinat (atau paksi Oy). Sistem koordinat Cartes itu sendiri dilambangkan dengan Oe 1 e 2 atau Oxy. Koordinat Cartesian bagi titik M (Rajah 1) dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e 2 ialah pasangan nombor tertib (x, y), yang merupakan pekali pengembangan vektor OM dari segi asas (e 1, e 2 ), iaitu, x dan y adalah sedemikian rupa sehingga OM \u003d xe 1 + ye 2. Nombor x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Jika dua sistem koordinat Cartesan Oe 1 e 2 dan 0'e' 1 e' 2 diperkenalkan pada satah supaya vektor asas (e' 1 , e' 2 ) dinyatakan dalam sebutan vektor asas (e 1 , e 2) mengikut formula

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

dan titik O' mempunyai koordinat (x 0, y 0) dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e 2 , kemudian koordinat (x, y) bagi titik M dalam sistem koordinat Cartes Oe 1 e2 dan koordinat (x' , y') daripada titik yang sama dalam sistem koordinat Cartes O'e 1 e' 2 dikaitkan dengan hubungan

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Sistem koordinat Cartesan dipanggil segi empat tepat jika asas (e 1 , e 2 ) adalah ortonormal, iaitu, vektor e 1 dan e 2 saling berserenjang dan mempunyai panjang, sama dengan satu(vektor e 1 dan e 2 dipanggil orts dalam kes ini). Dalam sistem koordinat Cartesian segi empat tepat, koordinat x dan y bagi titik M ialah kuantiti unjuran ortogon titik M pada paksi Ox dan Oy, masing-masing. Dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat Oxy, jarak antara titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) ialah √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2

Formula untuk peralihan daripada satu sistem koordinat Cartesan segi empat tepat Oxy ke sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang lain O'x'y', yang asalnya O' dari sistem koordinat Cartesan Oxy ialah O'(x0, y0), mempunyai bentuk

x \u003d x’cosα - y’sinα + x 0, y \u003d x’sin α + y’cosα + y 0

x \u003d x’cosα + y’sinα + x 0, y \u003d x’sinα - y’cosα + y 0.

Dalam kes pertama, sistem O'x'y' dibentuk dengan memutarkan vektor asas e 1 ; e 2 pada sudut α dan pemindahan seterusnya asal koordinat O ke titik O’ (Rajah 2),

dan dalam kes kedua - dengan memutarkan vektor asas e 1, e 2 dengan sudut α, kemudian memantulkan paksi yang mengandungi vektor e 2 berbanding dengan garis lurus yang membawa vektor e 1, dan menggerakkan asalan O ke titik O ' (Rajah 3).

Kadangkala sistem koordinat Cartesian serong digunakan, yang berbeza daripada segi empat tepat kerana sudut antara vektor asas unit bukanlah yang betul.

Begitu juga, sistem koordinat Cartes umum (sistem koordinat afine) dalam ruang ditakrifkan: titik O ditetapkan - asal koordinat dan tiga tertib vektor e 1, e 2, e 3 (vektor asas) yang dilampirkan padanya yang tidak berbaring dalam satah yang sama. Seperti dalam kes satah, paksi koordinat ditentukan - paksi absis (paksi lembu), paksi ordinat (paksi Oy) dan paksi terpakai (paksi Oz) (Rajah 4).

Sistem koordinat Cartesan dalam ruang dilambangkan dengan Oe 1 e 2 e 3 (atau Oxyz). Satah yang melalui sepasang paksi koordinat dipanggil satah koordinat. Sistem koordinat Cartesian di angkasa dipanggil betul jika putaran dari paksi Ox ke paksi Oy berada dalam arah yang bertentangan dengan pergerakan mengikut arah jam, jika anda melihat satah Oxy dari satu titik pada semiaxis positif Oz, sebaliknya koordinat Cartesian sistem dipanggil kiri. Jika vektor asas e 1 , e 2 , e 3 mempunyai panjang sama dengan satu dan berserenjang berpasangan, maka sistem koordinat Cartesan dipanggil segi empat tepat. Kedudukan satu sistem koordinat Cartesian segi empat tepat dalam ruang berbanding dengan sistem koordinat Cartesan segi empat tepat yang lain dengan orientasi yang sama ditakrifkan oleh tiga sudut Euler.

Sistem koordinat Cartesian dinamakan sempena R. Descartes, walaupun dalam karyanya "Geometri" (1637) sistem koordinat serong telah dipertimbangkan, di mana koordinat titik hanya boleh positif. Dalam edisi 1659-61, Geometri telah ditambah dengan karya ahli matematik Belanda I. Gudde, di mana buat pertama kalinya kedua-dua positif dan nilai negatif koordinat. Sistem koordinat Cartesian spatial telah diperkenalkan oleh ahli matematik Perancis F. Lair (1679). Pada awal abad ke-18, notasi x, y, z untuk koordinat Cartesan telah ditubuhkan.

SISTEM KOORDINAT CARTESIAN SISTEM KOORDINAT CARTESIAN

SISTEM KOORDINAT CARTESE, sistem koordinat rectilinear pada satah atau di angkasa (biasanya dengan paksi saling berserenjang dan skala yang sama di sepanjang paksi). Dinamakan sempena R. Descartes (cm. DECARTS Rene).
Descartes adalah orang pertama yang memperkenalkan sistem koordinat, yang jauh berbeza daripada yang diterima umum hari ini. Dia menggunakan sistem koordinat serong dalam satah, mempertimbangkan lengkung berkenaan dengan beberapa garis lurus sistem tetap rujukan. Kedudukan titik lengkung telah ditetapkan menggunakan sistem segmen selari yang condong atau berserenjang dengan garis asal. Descartes tidak memperkenalkan paksi koordinat kedua, tidak menetapkan arah rujukan dari asal. Hanya pada abad ke-18 terbentuk pemahaman moden sistem koordinat, dinamakan sempena Descartes.
***
Untuk menetapkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, garis yang saling berserenjang, dipanggil paksi, dipilih. Titik persimpangan O dipanggil asal koordinat. Setiap paksi diberi arah positif dan unit skala dipilih. Koordinat titik P dianggap positif atau negatif bergantung pada separuh paksi mana unjuran titik jatuh P.
Sistem koordinat 2D
P pada satah dalam sistem koordinat dua dimensi dipanggil diambil dengan tanda tertentu jarak (dinyatakan dalam unit skala) titik ini kepada dua garis yang saling berserenjang - paksi koordinat atau unjuran vektor jejari r mata P pada dua paksi koordinat yang saling berserenjang.
Dalam sistem koordinat dua dimensi, paksi mengufuk dipanggil paksi absis (paksi OX), paksi menegak- paksi ordinat (paksi OY). Arah positif dipilih pada paksi OX- ke kanan, pada paksi OY- naik. Koordinat x Dan y dipanggil absis dan ordinat titik, masing-masing. Tatatanda P(a,b) bermakna titik P pada satah mempunyai absis a dan ordinat b.
Sistem koordinat 3D
Koordinat titik segi empat tepat Cartesian P V ruang tiga dimensi dipanggil diambil dengan tanda tertentu jarak (dinyatakan dalam unit skala) titik ini kepada tiga satah koordinat yang saling berserenjang atau unjuran vektor jejari (cm. RADIUS-VECTOR) r mata P tiga paksi koordinat yang saling berserenjang.
Melalui titik sewenang-wenangnya di angkasa O- asal koordinat - tiga garis serenjang berpasangan dilukis: paksi OX(paksi absis), paksi OY(paksi-y), paksi OZ(paksi pakai).
Pada paksi koordinat, anda boleh menetapkan vektor unit i, j, k sepanjang kapak OX,OY, oz masing-masing.
Bergantung kepada kedudukan relatif arah positif paksi koordinat, sistem koordinat kanan dan kiri adalah mungkin. Sebagai peraturan, sistem koordinat yang betul digunakan. Dalam sistem koordinat yang betul, arah positif dipilih seperti berikut: sepanjang paksi OX- pada pemerhati; sepanjang paksi OY - ke kanan; sepanjang paksi OZ - atas. Dalam sistem koordinat kanan, putaran terpendek dari paksi-X ke paksi-Y adalah mengikut arah lawan jam; jika, serentak dengan putaran sedemikian, kita bergerak sepanjang arah positif paksi Z, maka kita mendapat pergerakan mengikut peraturan skru kanan.
Notasi P(a,b,c) bermaksud titik P mempunyai absis a, ordinat b dan applicate c.
Setiap tiga kali ganda nombor (a, b, c) menentukan satu titik P. Oleh itu, sistem koordinat Cartesan segi empat tepat mewujudkan korespondensi satu dengan satu antara set titik dalam ruang dan set tiga tertib nombor nyata.
Selain paksi koordinat, terdapat juga satah koordinat. Permukaan koordinat yang mana salah satu koordinat kekal malar adalah di sini satah selari dengan satah koordinat, dan garis koordinat di mana hanya satu perubahan koordinat adalah garis lurus, selari paksi koordinat. Permukaan koordinat bersilang di sepanjang garis koordinat.
satah koordinat XOY mengandungi paksi OX Dan OY, satah koordinat YOZ mengandungi paksi OY Dan OZ, satah koordinat XOZ mengandungi paksi OX Dan OZ.

Kamus ensiklopedia. 2009 .

Lihat apa "SISTEM KOORDINAT CARTES" dalam kamus lain:

Sistem koordinat segi empat tepat atau Cartesian ialah sistem koordinat yang paling biasa di satah dan di angkasa. Kandungan 1 Sistem koordinat segi empat tepat pada satah ... Wikipedia

Sistem koordinat kartesian

Buku

Pengiraan dinamik bendalir. Asas teori. Buku teks, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Buku ini ditumpukan kepada pembentangan sistematik asas teori untuk menetapkan masalah pemodelan matematik aliran bendalir dan gas. Perhatian khusus diberikan kepada isu pembinaan ...