Apabila mengkaji persamaan garis lurus pada satah dan dalam ruang tiga dimensi kita bergantung pada algebra vektor. Di mana makna istimewa mempunyai vektor arah garis lurus dan vektor normal garis lurus. Dalam artikel ini, kita akan melihat lebih dekat pada vektor normal garis lurus. Mari kita mulakan dengan definisi vektor biasa langsung, kami memberi contoh dan ilustrasi grafik. Seterusnya, kita teruskan mencari koordinat bagi vektor normal garis lurus menggunakan persamaan garis lurus yang diketahui, sambil menunjukkan penyelesaian terperinci tugasan.

Navigasi halaman.

Vektor garis biasa - definisi, contoh, ilustrasi.

Untuk memahami bahan, anda perlu mempunyai pemahaman yang jelas tentang garis lurus, satah, dan juga mengetahui definisi asas yang berkaitan dengan vektor. Oleh itu, kami mengesyorkan anda terlebih dahulu menyegarkan bahan artikel terus di atas kapal terbang, lurus di angkasa, idea pesawat dan.

Mari kita takrifkan vektor normal bagi garis lurus.

Definisi.

garis vektor biasa ialah sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada mana-mana garis berserenjang dengan yang diberikan.

Daripada takrifan vektor normal garis lurus, adalah jelas bahawa wujudnya set tak terhingga vektor normal bagi garisan yang diberikan.

Takrif vektor normal garis dan takrif vektor arah garis membolehkan kita membuat kesimpulan bahawa mana-mana vektor normal garis tertentu adalah berserenjang dengan mana-mana vektor arah garis ini.

Mari kita berikan contoh vektor normal bagi garis lurus.

Biarkan Oxy diberikan di dalam kapal terbang. Salah satu set vektor normal bagi garis koordinat Ox ialah vektor koordinat . Sesungguhnya, vektor itu bukan sifar dan terletak pada garis koordinat Oy , yang berserenjang dengan paksi Ox . Set semua vektor normal garis koordinat Ox dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxy boleh diberikan sebagai .

Dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxyz dalam ruang tiga dimensi, vektor normal garis Oz ialah vektor . Vektor koordinat juga merupakan vektor biasa bagi garis Oz. Jelas sekali, mana-mana vektor bukan sifar yang terletak dalam mana-mana satah berserenjang dengan paksi Oz akan menjadi vektor biasa bagi garisan Oz.

Koordinat vektor normal garis lurus - mencari koordinat vektor normal garis lurus menggunakan persamaan garis lurus ini yang diketahui.

Jika kita menganggap garis lurus dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxy, maka persamaan garis lurus pada satah sejenis akan sepadan dengannya, dan vektor normal garis lurus akan ditentukan oleh koordinatnya (lihat artikel) . Ini menimbulkan persoalan: "bagaimana untuk mencari koordinat vektor normal garis lurus apabila kita mengetahui persamaan garis lurus ini"?

Mari kita cari jawapan kepada soalan yang dikemukakan untuk garis lurus yang diberikan pada satah oleh persamaan pelbagai jenis.

Jika garis lurus pada satah mentakrifkan persamaan am bagi garis lurus bentuk , maka pekali A dan B ialah koordinat yang sepadan bagi vektor normal garis ini.

Contoh.

Cari koordinat bagi beberapa vektor garis biasa .

Penyelesaian.

Oleh kerana garis lurus diberikan oleh persamaan am, kita boleh segera menulis koordinat vektor normalnya - ia adalah pekali yang sepadan di hadapan pembolehubah x dan y. Iaitu, vektor normal garis mempunyai koordinat .

Jawapan:

Salah satu nombor A atau B dalam persamaan umum garis lurus boleh sama dengan sifar. Ini tidak sepatutnya mengganggu anda. Mari kita lihat satu contoh.

Contoh.

Nyatakan mana-mana vektor garis biasa .

Penyelesaian.

Kami diberi persamaan am yang tidak lengkap bagi garis lurus. Ia boleh ditulis semula dalam bentuk , dari mana koordinat vektor normal baris ini kelihatan serta-merta: .

Jawapan:

Persamaan garis lurus dalam segmen bentuk atau persamaan garis lurus dengan cerun boleh dengan mudah dikurangkan kepada persamaan am garis lurus, dari mana koordinat vektor normal garis lurus ini ditemui.

Contoh.

Cari koordinat bagi vektor normal garis itu.

Penyelesaian.

Sangat mudah untuk beralih daripada persamaan garis lurus dalam segmen kepada persamaan umum garis lurus: . Oleh itu, vektor normal baris ini mempunyai koordinat .

Jawapan:

Jika garis mentakrifkan persamaan kanonik garis pada satah bentuk atau persamaan parametrik garis lurus pada satah bentuk , maka koordinat vektor normal adalah lebih sukar untuk diperolehi. Daripada persamaan ini, koordinat vektor arah garis lurus dapat dilihat serta-merta -. Mencari koordinat bagi vektor normal garis ini membolehkan dan .

Ia juga mungkin untuk mendapatkan koordinat vektor normal garis dengan mengurangkan persamaan kanonik garis atau persamaan parametrik garis kepada persamaan am. Untuk melakukan ini, lakukan transformasi berikut:

Cara mana yang anda suka terpulang kepada anda.

Mari tunjukkan contoh.

Contoh.

Cari beberapa vektor garis biasa .

Penyelesaian.

Vektor arah lurus ialah vektor. garis vektor biasa adalah berserenjang dengan vektor, maka dan sama dengan sifar: . Daripada kesamaan ini, memberikan n x nilai sebenar bukan sifar sewenang-wenangnya, kita dapati n y . Biarkan n x =1 , kemudian , oleh itu, vektor normal bagi garis asal mempunyai koordinat .

Penyelesaian kedua.

Mari kita beralih daripada persamaan kanonik garis lurus kepada persamaan am: . Kini koordinat vektor biasa baris ini telah kelihatan.

Jawapan:

Persamaan satah. Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah?
Susunan bersama kapal terbang. Tugasan

Geometri ruang tidak jauh lebih rumit daripada geometri "rata", dan penerbangan kami ke angkasa lepas bermula dengan artikel ini. Untuk memahami topik, seseorang mesti mempunyai pemahaman yang baik vektor, di samping itu, adalah wajar untuk membiasakan diri dengan geometri pesawat - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, jadi maklumat akan dicerna dengan lebih baik. Dalam satu siri pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan artikel Persamaan garis lurus pada satah. Tetapi kini Batman telah meninggalkan TV skrin rata dan dilancarkan dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulakan dengan lukisan dan simbol. Secara skematik, satah boleh dilukis sebagai segi empat selari, yang memberikan kesan ruang:

Pesawat itu tidak terhingga, tetapi kita mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sekepingnya. Dalam amalan, sebagai tambahan kepada segi empat selari, bujur atau awan juga dilukis. Atas sebab teknikal, adalah lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara ini dan dalam kedudukan ini. Pesawat sebenar, yang akan kami pertimbangkan contoh praktikal, boleh diatur mengikut kehendak anda - ambil lukisan secara mental di tangan anda dan putarkannya di ruang angkasa, memberikan satah sebarang cerun, sebarang sudut.

Notasi: adalah kebiasaan untuk menetapkan pesawat dalam huruf Yunani kecil, nampaknya supaya tidak mengelirukan mereka terus di atas kapal terbang atau dengan lurus di angkasa. Saya sudah biasa menggunakan surat itu. Dalam lukisan, ia adalah huruf "sigma", dan bukan lubang sama sekali. Walaupun, pesawat berlubang, ia pastinya sangat lucu.

Dalam sesetengah kes, adalah mudah untuk menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip untuk menetapkan pesawat, contohnya, .

Jelas sekali, pesawat itu ditentukan secara unik oleh tiga titik yang berbeza tidak berbaring pada garis lurus yang sama. Oleh itu, sebutan tiga huruf pesawat agak popular - mengikut mata milik mereka, sebagai contoh, dll. Selalunya surat disertakan dalam kurungan: , supaya tidak mengelirukan satah dengan angka geometri yang lain.

Untuk pembaca yang berpengalaman, saya akan berikan menu pintasan:

• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan dua vektor?
• Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana lama menunggu:

Persamaan am satah

Persamaan am satah mempunyai bentuk , di mana pekalinya serentak bukan sifar.

Beberapa pengiraan teori dan masalah praktikal adalah sah untuk asas ortonormal biasa dan untuk asas affine ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor). Untuk kesederhanaan, kita akan menganggap bahawa semua peristiwa berlaku dalam asas ortonormal dan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan.

Dan sekarang mari kita berlatih sedikit imaginasi spatial. Tidak mengapa jika anda mengalaminya buruk, sekarang kami akan mengembangkannya sedikit. Malah bermain saraf memerlukan latihan.

Dalam sangat kes am, apabila nombor bukan sifar, satah memotong ketiga-tiga paksi koordinat. Sebagai contoh, seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahawa pesawat itu terus bergerak tanpa had ke semua arah, dan kami mempunyai peluang untuk menggambarkan hanya sebahagian daripadanya.

Pertimbangkan persamaan termudah bagi satah:

Bagaimana untuk memahami persamaan yang diberikan? Fikirkanlah: "Z" SELALU, untuk sebarang nilai "X" dan "Y" adalah sama dengan sifar. Persamaan ini adalah "asli" satah koordinat. Sesungguhnya, secara rasmi persamaan itu boleh ditulis semula seperti berikut: , dari mana jelas kelihatan bahawa kita tidak peduli, nilai "x" dan "y" diambil, adalah penting bahawa "z" adalah sama dengan sifar.

Begitu juga:
ialah persamaan satah koordinat ;
ialah persamaan satah koordinat.

Mari kita rumitkan masalah sedikit, pertimbangkan satah (di sini dan seterusnya dalam perenggan kita menganggap bahawa pekali berangka tidak sama dengan sifar). Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk: . Bagaimana untuk memahaminya? "X" adalah SENTIASA, untuk sebarang nilai "y" dan "z" adalah sama dengan nombor tertentu. Satah ini selari dengan satah koordinat. Contohnya, satah selari dengan satah dan melalui satu titik.

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan satah koordinat;
- persamaan satah yang selari dengan satah koordinat.

Tambah ahli: . Persamaan boleh ditulis semula seperti ini: , iaitu, "Z" boleh menjadi apa sahaja. Apakah maksudnya? "X" dan "Y" disambungkan dengan nisbah yang melukis garis lurus tertentu dalam satah (anda akan mengenali persamaan garis lurus dalam satah?). Memandangkan Z boleh menjadi apa-apa, baris ini "direplikasi" pada sebarang ketinggian. Jadi persamaan mentakrifkan satah selari dengan paksi koordinat

Begitu juga:
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat;
- persamaan satah, yang selari dengan paksi koordinat.

Jika sebutan bebas adalah sifar, maka pesawat akan terus melalui paksi yang sepadan. Contohnya, "perkadaran langsung" klasik:. Lukis garis lurus dalam satah dan darab secara mental ke atas dan ke bawah (kerana “z” ialah sebarang). Kesimpulan: kapal terbang, diberikan oleh persamaan, melalui paksi koordinat.

Kami membuat kesimpulan kajian: persamaan satah melalui asal. Nah, di sini agak jelas bahawa titik itu memenuhi persamaan yang diberikan.

Dan, akhirnya, kes yang ditunjukkan dalam lukisan: - satah berkawan dengan semua paksi koordinat, sementara ia sentiasa "memotong" segitiga yang boleh terletak di mana-mana lapan oktan.

Ketaksamaan linear dalam ruang

Untuk memahami maklumat, perlu belajar dengan baik ketaksamaan linear dalam satah kerana banyak perkara akan serupa. Perenggan itu akan menjadi gambaran keseluruhan ringkas dengan beberapa contoh, kerana bahan itu agak jarang dalam amalan.

Jika persamaan mentakrifkan satah, maka ketaksamaan
bertanya separuh ruang. Jika ketidaksamaan tidak ketat (dua yang terakhir dalam senarai), maka penyelesaian ketidaksamaan, sebagai tambahan kepada separuh ruang, termasuk satah itu sendiri.

Contoh 5

Cari vektor normal unit bagi satah itu .

Penyelesaian: Vektor unit ialah vektor yang panjangnya ialah satu. Tandakan vektor yang diberi melalui . Agak jelas bahawa vektor adalah kolinear:

Mula-mula, kita keluarkan vektor normal daripada persamaan satah: .

Bagaimana untuk mencari vektor unit? Untuk mencari vektor unit, anda perlukan setiap koordinat vektor dibahagikan dengan panjang vektor.

Mari kita tulis semula vektor biasa dalam bentuk dan cari panjangnya:

Mengikut perkara di atas:

Jawab:

Semak: , yang diperlukan untuk menyemak.

Pembaca yang telah mengkaji dengan teliti perenggan terakhir pelajaran, mungkin menyedarinya koordinat vektor unit adalah betul-betul kosinus arah vektor:

Mari kita menyimpang dari masalah yang dibongkar: apabila anda diberi vektor bukan sifar sewenang-wenangnya, dan mengikut syarat ia diperlukan untuk mencari kosinus arahnya (lihat tugasan terakhir pelajaran Hasil darab titik bagi vektor), maka anda, sebenarnya, juga mencari kolinear vektor unit kepada yang diberikan. Malah, dua tugasan dalam satu botol.

Keperluan untuk mencari vektor normal unit timbul dalam beberapa masalah analisis matematik.

Kami memikirkan memancing vektor biasa, sekarang kami akan menjawab soalan yang bertentangan:

Bagaimana untuk menulis persamaan untuk satah menggunakan titik dan vektor normal?

Pembinaan tegar vektor biasa dan titik ini terkenal dengan sasaran dart. Sila hulurkan tangan anda ke hadapan dan pilih secara mental titik sewenang-wenangnya ruang, sebagai contoh, kucing kecil di papan sisi. Jelas sekali, melalui titik ini, anda boleh melukis satu satah berserenjang dengan tangan anda.

Persamaan satah yang melalui titik berserenjang dengan vektor dinyatakan dengan formula:

Untuk mengkaji persamaan garis lurus, adalah perlu untuk mempunyai pemahaman yang baik tentang algebra vektor. Adalah penting untuk mencari vektor arah dan vektor normal garis. Artikel ini akan mempertimbangkan vektor normal garis lurus dengan contoh dan lukisan, mencari koordinatnya jika persamaan garis lurus diketahui. Penyelesaian terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Untuk menjadikan bahan lebih mudah dihadam, anda perlu memahami konsep garis, satah dan takrifan yang dikaitkan dengan vektor. Mula-mula, mari kita berkenalan dengan konsep vektor garis lurus.

Definisi 1

Vektor garis biasa sebarang vektor bukan sifar yang terletak pada mana-mana garis berserenjang dengan yang diberi dipanggil.

Jelas bahawa terdapat set tak terhingga bagi vektor normal yang terletak pada garisan tertentu. Pertimbangkan rajah di bawah.

Kita dapati bahawa garis itu berserenjang dengan salah satu daripada dua garis selari yang diberikan, kemudian keserenjangannya memanjang ke garis selari kedua. Oleh itu kita mendapat bahawa set vektor normal garis selari ini bertepatan. Apabila garis a dan a 1 selari, dan n → dianggap sebagai vektor normal bagi garis a , ia juga dianggap sebagai vektor normal untuk garis a 1 . Apabila garis a mempunyai vektor langsung, maka vektor t · n → adalah bukan sifar untuk sebarang nilai parameter t, dan juga normal untuk garis a.

Dengan menggunakan definisi vektor normal dan arah, seseorang boleh membuat kesimpulan bahawa vektor normal adalah berserenjang dengan arah. Pertimbangkan satu contoh.

Jika satah O x y diberikan, maka set vektor untuk O x ialah vektor koordinat j → . Ia dianggap bukan sifar dan tergolong dalam paksi koordinat O y, berserenjang dengan O x. Seluruh set vektor normal berkenaan dengan O x boleh ditulis sebagai t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Sistem segi empat tepat O x y z mempunyai vektor normal i → berkaitan dengan garis O z . Vektor j → juga dianggap normal. Ini menunjukkan bahawa mana-mana vektor bukan sifar yang terletak dalam mana-mana satah dan berserenjang dengan O z dianggap normal untuk O z .

Koordinat vektor normal garis - mencari koordinat vektor normal garis daripada persamaan garis yang diketahui

Apabila mempertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat O x y, kita dapati bahawa persamaan garis lurus pada satah sepadan dengannya, dan penentuan vektor normal dibuat oleh koordinat. Jika persamaan garis lurus diketahui, tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor normal, maka adalah perlu untuk mengenal pasti pekali daripada persamaan A x + B y + C = 0, yang sepadan dengan koordinat vektor normal bagi garis lurus yang diberi.

Contoh 1

Satu garis lurus bentuk 2 x + 7 y - 4 = 0 _ diberi, cari koordinat bagi vektor normal.

Penyelesaian

Dengan syarat, kita mempunyai bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan umum, yang bermaksud bahawa perlu untuk menulis pekali, yang merupakan koordinat vektor normal. Oleh itu, koordinat vektor mempunyai nilai 2 , 7 .

Jawapan: 2 , 7 .

Ada kalanya A atau B daripada persamaan adalah sifar. Mari kita pertimbangkan penyelesaian tugas sedemikian dengan contoh.

Contoh 2

Nyatakan vektor normal untuk garis yang diberi y - 3 = 0 .

Penyelesaian

Dengan syarat, kita diberi persamaan umum garis lurus, yang bermaksud kita menulisnya dengan cara ini 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Sekarang kita boleh melihat dengan jelas pekali, yang merupakan koordinat bagi vektor biasa. Jadi, kita dapati bahawa koordinat bagi vektor normal ialah 0 , 1 .

Jawapan: 0 , 1 .

Jika persamaan diberikan dalam segmen bentuk x a + y b = 1 atau persamaan dengan faktor cerun y = k · x + b , maka adalah perlu untuk mengurangkan kepada persamaan am garis lurus, di mana seseorang boleh mencari koordinat vektor normal garis lurus ini.

Contoh 3

Cari koordinat bagi vektor normal jika persamaan garis lurus x 1 3 - y = 1 diberi.

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu beralih daripada persamaan dalam selang x 1 3 - y = 1 kepada persamaan am. Kemudian kita mendapat bahawa x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Ini menunjukkan bahawa koordinat bagi vektor normal mempunyai nilai 3 , - 1 .

Jawapan: 3 , - 1 .

Jika garis ditakrifkan oleh persamaan kanonik garis pada satah x - x 1 a x = y - y 1 a y atau oleh parametrik x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , maka mendapat koordinat menjadi lebih rumit. Menurut persamaan ini, dapat dilihat bahawa koordinat vektor arah akan menjadi a → = (a x , a y) . Kemungkinan mencari koordinat bagi vektor normal n → adalah mungkin disebabkan oleh keadaan bahawa vektor n → dan a → adalah berserenjang.

Ia adalah mungkin untuk mendapatkan koordinat vektor biasa dengan menggunakan kanonik atau persamaan parametrik langsung kepada umum. Kemudian kita dapat:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Untuk penyelesaiannya, anda boleh memilih mana-mana cara yang mudah.

Contoh 4

Cari vektor normal bagi garis yang diberi x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Penyelesaian

Daripada garis lurus x - 2 7 = y + 3 - 2 jelas bahawa vektor arah akan mempunyai koordinat a → = (7 , - 2) . Vektor normal n → = (n x , n y) bagi garis yang diberi adalah berserenjang dengan a → = (7 , - 2) .

Mari kita ketahui apakah hasil kali skalar itu bersamaan. Untuk mencari produk titik vektor a → = (7 , - 2) dan n → = (n x , n y) kita tulis a → , n → = 7 n x - 2 n y = 0 .

Nilai n x adalah sewenang-wenangnya, anda harus mencari n y . Jika n x = 1, maka kita mendapat bahawa 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Oleh itu, vektor normal mempunyai koordinat 1 , 7 2 .

Penyelesaian kedua ialah datang ke Pandangan umum persamaan kanonik. Untuk ini, kami mengubah

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Hasil koordinat vektor normal ialah 2 , 7 .

Jawapan: 2, 7 atau 1 , 7 2 .

Contoh 5

Nyatakan koordinat bagi vektor normal bagi garis x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu melakukan transformasi untuk pergi ke bentuk umum garis lurus. Jom buat:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Ini menunjukkan bahawa koordinat bagi vektor normal ialah - 3 , 0 .

Jawapan: - 3 , 0 .

Mari kita pertimbangkan kaedah untuk mencari koordinat vektor normal dalam persamaan garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh sistem segi empat tepat koordinat O x y z .

Apabila garis diberikan oleh persamaan satah bersilang A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , maka vektor normal bagi satah merujuk kepada A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, maka kita mendapat vektor dalam bentuk n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Apabila garis ditakrifkan menggunakan persamaan kanonik ruang, mempunyai bentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z atau parametrik, mempunyai bentuk x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , maka a x , a y dan a z dianggap sebagai koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus yang diberi. Mana-mana vektor bukan sifar boleh menjadi normal untuk baris tertentu, dan menjadi berserenjang dengan vektor a → = (a x , a y , a z) . Ia berikutan daripada ini bahawa mencari koordinat normal dengan parametrik dan persamaan kanonik dibuat menggunakan koordinat vektor yang berserenjang vektor yang diberi a → = (a x , a y , a z) .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Dalam kes yang paling umum, normal pada permukaan mewakili kelengkungan setempatnya, dan dengan itu arah pantulan spekular (Rajah 3.5). Berhubung dengan pengetahuan kita, kita boleh mengatakan bahawa normal ialah vektor yang menentukan orientasi muka (Rajah 3.6).

nasi. 3.5 Rajah. 3.6

Banyak algoritma penyingkiran garis dan permukaan tersembunyi hanya menggunakan tepi dan bucu, jadi untuk menggabungkannya dengan model pencahayaan, anda perlu mengetahui nilai anggaran normal pada tepi dan bucu. Biarkan persamaan satah muka poligon diberikan, maka normal kepada bucu sepunya adalah sama dengan nilai purata normal kepada semua poligon yang menumpu kepada bucu ini. Sebagai contoh, dalam rajah. 3.7 arah anggaran normal pada satu titik V 1 Terdapat:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

di mana a 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - pekali persamaan satah tiga poligon P 0 , P 1 , P 4 , sekeliling V 1 . Ambil perhatian bahawa jika anda ingin mencari arah normal sahaja, maka membahagikan hasilnya dengan bilangan muka tidak perlu.

Jika persamaan satah tidak diberikan, maka normal kepada bucu boleh ditentukan dengan purata hasil darab vektor semua tepi yang bersilang pada bucu. Sekali lagi, memandangkan V 1 teratas dalam Rajah. 3.7, cari arah anggaran normal:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

nasi. 3.7 - Penghampiran normal kepada permukaan poligon

Ambil perhatian bahawa hanya normal luar diperlukan. Di samping itu, jika vektor yang terhasil tidak dinormalisasi, maka nilainya bergantung pada bilangan dan luas poligon tertentu, serta pada bilangan dan panjang tepi tertentu. Pengaruh poligon dengan kawasan yang lebih besar dan tulang rusuk yang lebih panjang.

Apabila normal permukaan digunakan untuk menentukan keamatan dan transformasi perspektif dilakukan pada imej objek atau pemandangan, maka normal perlu dikira sebelum pembahagian perspektif. Jika tidak, arah normal akan diherotkan, dan ini akan menyebabkan keamatan yang ditentukan oleh model pencahayaan ditentukan dengan salah.

Jika penerangan analitikal satah (permukaan) diketahui, maka normal dikira secara langsung. Mengetahui persamaan satah setiap muka polihedron, anda boleh mencari arah normal luar.

Jika persamaan satah ialah:

maka vektor normal kepada satah ini ditulis seperti berikut:

, (3.18)

di mana
- vektor unit paksi x,y,z masing-masing.

Nilai d dikira menggunakan titik sewenang-wenang kepunyaan satah, sebagai contoh, untuk titik (
)

Contoh. Pertimbangkan poligon rata 4 sisi yang diterangkan oleh 4 bucu V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) dan V4(1,1,1) (lihat Rajah. 3.7).

Persamaan satah mempunyai bentuk:

x + y + z - 1 = 0.

Mari kita dapatkan normal pada satah ini menggunakan hasil vektor sepasang vektor yang merupakan tepi bersebelahan dengan salah satu bucu, contohnya, V1:

Banyak algoritma penyingkiran garis dan permukaan tersembunyi hanya menggunakan tepi atau bucu, jadi untuk menggabungkannya dengan model pencahayaan, anda perlu mengetahui nilai anggaran normal pada tepi dan bucu.

Biarkan persamaan satah muka polihedron diberikan, maka normal kepada bucu sepunya mereka adalah sama dengan nilai purata normal kepada semua muka yang menumpu pada bucu ini.