Kaedah lelaran mudah dengan parameter optimum. Kaedah berulang untuk menyelesaikan slough

Kaedah lelaran mudah, juga dipanggil kaedah penghampiran berturut-turut, - Ini algoritma matematik mencari nilai kuantiti yang tidak diketahui dengan menapisnya secara beransur-ansur. Intipati kaedah ini ialah, seperti namanya, secara beransur-ansur menyatakan yang berikutnya dari anggaran awal, mereka mendapat hasil yang lebih dan lebih halus. Kaedah ini digunakan untuk mencari nilai pembolehubah dalam fungsi yang diberikan, serta dalam menyelesaikan sistem persamaan, kedua-dua linear dan bukan linear.

Pertimbangkan bagaimana kaedah ini direalisasikan apabila menyelesaikan SLAE. Kaedah lelaran mudah mempunyai algoritma berikut:

1. Pengesahan keadaan penumpuan dalam matriks asal. Teorem penumpuan: jika matriks asal sistem mempunyai penguasaan pepenjuru (iaitu, dalam setiap baris, unsur-unsur pepenjuru utama mestilah lebih besar dalam modulus daripada jumlah unsur pepenjuru sekunder dalam modulo), maka kaedah itu lelaran mudah- menumpu.

2. Matriks sistem asal tidak selalu mempunyai penguasaan pepenjuru. Dalam kes sedemikian, sistem boleh diubah suai. Persamaan yang memenuhi syarat penumpuan dibiarkan tanpa disentuh, dan dengan yang tidak, ia membentuk gabungan linear, i.e. darab, tolak, tambah persamaan antara satu sama lain sehingga hasil yang dikehendaki diperolehi.

Jika dalam sistem yang terhasil terdapat pekali yang menyusahkan pada pepenjuru utama, maka terma bentuk c i *x i ditambah kepada kedua-dua bahagian persamaan sedemikian, tanda-tandanya mesti bertepatan dengan tanda-tanda unsur pepenjuru.

3. Transformasi sistem yang terhasil kepada bentuk biasa:

x - =β - +α*x -

Ini boleh dilakukan dalam banyak cara, sebagai contoh, seperti berikut: dari persamaan pertama, nyatakan x 1 dari segi yang tidak diketahui lain, dari yang kedua - x 2, dari yang ketiga - x 3, dsb. Di sini kami menggunakan formula:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Anda harus sekali lagi memastikan bahawa sistem bentuk normal yang terhasil memenuhi syarat penumpuan:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, manakala i= 1,2,...n

4. Kami mula menggunakan, sebenarnya, kaedah penghampiran berturut-turut itu sendiri.

x (0) - anggaran awal, kita ungkapkan melaluinya x (1) , kemudian melalui x (1) kita ungkapkan x (2) . Formula am A bentuk matriks kelihatan seperti itu:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Kami mengira sehingga kami mencapai ketepatan yang diperlukan:

maks |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Jadi, mari kita lihat kaedah lelaran mudah dalam amalan. Contoh:
Selesaikan SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 dengan ketepatan ε=10 -3

Mari kita lihat sama ada unsur pepenjuru mendominasi modulo.

Kami melihat bahawa hanya persamaan ketiga yang memenuhi syarat penumpuan. Kami mengubah persamaan pertama dan kedua, tambahkan kedua kepada persamaan pertama:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

Kurangkan yang pertama dari yang ketiga:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

Kami telah menukar sistem asal kepada sistem yang setara:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Sekarang mari kita kembalikan sistem kepada normal:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Kami menyemak penumpuan proses lelaran:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 , iaitu. syaratnya dipenuhi.

0,3947
Tekaan awal x(0) = 0.4762
0,8511

Menggantikan nilai ini ke dalam persamaan bentuk normal, kami memperoleh nilai berikut:

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

Menggantikan nilai baru, kita mendapat:

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

Kami meneruskan pengiraan sehingga kami lebih dekat dengan nilai yang memenuhi syarat yang diberikan.

x(7) = 0.441091

Mari kita semak ketepatan keputusan yang diperoleh:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Keputusan yang diperoleh dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan asal memenuhi sepenuhnya syarat persamaan.

Seperti yang kita dapat lihat, kaedah lelaran yang mudah memberikan agak keputusan yang tepat, walau bagaimanapun, untuk menyelesaikan persamaan ini, kami terpaksa menghabiskan banyak masa dan melakukan pengiraan yang menyusahkan.

Pertimbangkan linear persamaan algebra

Jom belanja sikit transformasi yang setara. Kami mendarab kedua-dua bahagian sistem dengan faktor skalar yang sama, kemudian kami menambah vektor ke bahagian kanan dan kiri sistem. Sistem persamaan kini boleh ditulis dalam bentuk yang sesuai untuk lelaran:

(2.15)

Sekarang mari kita bina urutan penghampiran kepada penyelesaian sistem. Kami memilih vektor arbitrari - anggaran awal kepada penyelesaian. Selalunya, ia hanya diandaikan sebagai vektor sifar. Kemungkinan besar, anggaran awal tidak memenuhi (2.15) dan, akibatnya, sistem asal. Apabila ia digantikan ke dalam persamaan asal, percanggahan timbul. Mengira percanggahan, menggunakan (2.15), kita boleh memperhalusi penghampiran kepada penyelesaian, dengan mengandaikan bahawa

Mengikut anggaran pertama, percanggahan dikira sekali lagi, proses diteruskan. Dalam perjalanan lelaran, kami memperoleh rumusan setara kaedah yang dipanggil kaedah lelaran mudah, adalah seperti berikut. Penyelesaian (2.15) didapati sebagai had jujukan penghampiran, istilah yang disambungkan oleh hubungan rekursif (ia bersamaan dengan yang diberikan di atas, vektor baki dikecualikan daripada tatatanda):

(2.16)

(atau mana-mana vektor sewenang-wenangnya). Jika had urutan sedemikian wujud, maka seseorang bercakap tentang penumpuan proses berulang kepada penyelesaian SLAE .

Terdapat bentuk lain penulisan kaedah lelaran, seperti

Untuk , formula terakhir sepadan dengan proses lelaran satu parameter yang dibincangkan di atas kaedah lelaran mudah. Untuk , - n -langkah proses berulang eksplisit, untuk , - kaedah lelaran mudah tanpa parameter lelaran. Dalam kes apabila, kaedah berulang dipanggil tersirat- untuk pengiraan anggaran seterusnya Untuk menyelesaikannya, anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear (biasanya lebih mudah daripada asal).

Teorem ( keadaan yang mencukupi penumpuan kaedah lelaran mudah). Proses lelaran (2.16) menumpu kepada penyelesaian SLAE pada kadar janjang geometri apabila syarat dipenuhi:

Bukti.

Biarkan penyelesaian yang tepat bagi sistem (2). Menolak daripada (2.16)-(2.15), kita memperoleh , atau, menandakan ralat , kita memperoleh persamaan untuk evolusi ralat Rantaian ketaksamaan adalah sah: , di mana

Ia berikutan daripada ini bahawa apabila

Daripada ketidaksamaan seseorang boleh mendapatkan anggaran bilangan lelaran yang diperlukan untuk mencapai ketepatan, i.e. untuk memenuhi syarat Anggaran ini mempunyai bentuk

Teorem (kriteria penumpuan kaedah lelaran mudah (tiada bukti)). Biarkan SLAE (2.15) mempunyai penyelesaian yang unik. Kemudian untuk penumpuan proses lelaran (2.16) adalah perlu dan mencukupi bahawa semua nilai eigen matriks oleh nilai mutlak adalah kurang daripada satu.

Bandingkan dalam kuantiti operasi aritmetik langsung dan kaedah berulang. Kaedah Gaussian tanpa memilih elemen utama memerlukan

Operasi aritmetik; kaedah lelaran mudah (2.16) , di mana i ialah bilangan anggaran yang diperlukan untuk mencapai ketepatan yang diberikan. Jadi, untuk saya< n/3 метод итераций становится предпочтительнее. В tugasan sebenar, pada asasnya, sebagai tambahan, kaedah berulang boleh dibuat lebih cekap dengan menukar parameter lelaran. Dalam beberapa kes kaedah berulang ternyata lebih stabil berkenaan dengan pengumpulan ralat pembundaran daripada garis lurus.

Kuliah Kaedah berulang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear algebra.

Keadaan penumpuan proses lelaran Kaedah Jacobi Kaedah Seidel

Kaedah lelaran mudah

Sistem persamaan algebra linear dipertimbangkan

Untuk menggunakan kaedah lelaran, sistem mesti dikurangkan kepada bentuk yang setara

Kemudian, penghampiran awal kepada penyelesaian sistem persamaan dipilih, dan urutan penghampiran kepada punca ditemui.

Untuk proses berulang untuk menumpu, adalah memadai bahawa keadaan
(norma matriks). Kriteria penamatan untuk lelaran bergantung pada kaedah lelaran yang digunakan.

kaedah Jacobi .

Cara paling mudah untuk membawa sistem ke bentuk yang sesuai untuk lelaran adalah seperti berikut:

Daripada persamaan pertama sistem, kami menyatakan yang tidak diketahui x 1 , daripada persamaan kedua sistem yang kita nyatakan x 2, dsb.

Akibatnya, kita memperoleh sistem persamaan dengan matriks B, di mana unsur sifar berada pada pepenjuru utama, dan unsur yang selebihnya dikira dengan formula:

Komponen vektor d dikira dengan formula:

Formula pengiraan kaedah lelaran mudah ialah:

atau dalam notasi koordinat kelihatan seperti ini:

Kriteria untuk penamatan lelaran dalam kaedah Jacobi mempunyai bentuk:

Jika
, maka kriteria yang lebih mudah untuk menamatkan lelaran boleh digunakan

Contoh 1 Penyelesaian sistem persamaan linear dengan kaedah Jacobi.

Biarkan sistem persamaan diberikan:

Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem dengan ketepatan

Kami membawa sistem ke bentuk yang sesuai untuk lelaran:

Kami memilih anggaran awal, sebagai contoh,

ialah vektor sebelah kanan.

Kemudian lelaran pertama kelihatan seperti ini:

Anggaran berikut kepada penyelesaian diperoleh dengan cara yang sama.

Cari norma bagi matriks B.

Kami akan menggunakan norma

Oleh kerana jumlah modul unsur dalam setiap baris ialah 0.2, maka
, jadi kriteria untuk menamatkan lelaran dalam masalah ini ialah

Mari kita mengira norma perbezaan vektor:

Kerana
ketepatan yang ditentukan dicapai pada lelaran keempat.

Jawapan: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Kaedah Seidel .

Kaedah tersebut boleh dianggap sebagai pengubahsuaian kaedah Jacobi. Idea utama ialah apabila mengira seterusnya (n+1)-penghampiran ke yang tidak diketahui x i di i>1 gunakan sudah dijumpai (n+1)- menghampiri yang tidak diketahui x 1 ,x 2 , ...,x i - 1, bukan n anggaran ke-, seperti dalam kaedah Jacobi.

Formula pengiraan kaedah dalam tatatanda koordinat kelihatan seperti ini:

Syarat penumpuan dan kriteria penamatan untuk lelaran boleh diambil sama seperti dalam kaedah Jacobi.

Contoh 2 Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Seidel.

Pertimbangkan secara selari penyelesaian 3 sistem persamaan:

Kami membawa sistem kepada bentuk yang sesuai untuk lelaran:

Perhatikan bahawa keadaan penumpuan
dilakukan hanya untuk sistem pertama. Kami mengira 3 anggaran pertama kepada penyelesaian dalam setiap kes.

sistem pertama:

Penyelesaian yang tepat ialah nilai: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Proses lelaran menumpu.

sistem ke-2:

Ia dapat dilihat bahawa proses lelaran menyimpang.

Penyelesaian yang tepat x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

sistem ke-3:

Ia boleh dilihat bahawa proses lelaran bergelung.

Penyelesaian yang tepat x 1 = 1, x 2 = 2 .

Biarkan matriks sistem persamaan A adalah simetri dan pasti positif. Kemudian, untuk sebarang pilihan anggaran awal, kaedah Seidel menumpu. Syarat tambahan mengenai kekecilan norma sesetengah matriks tidak dikenakan di sini.

Kaedah lelaran mudah.

Jika A ialah matriks pasti simetri dan positif, maka sistem persamaan sering dikurangkan kepada bentuk yang setara:

x=x-τ(A x- b), τ ialah parameter lelaran.

Formula pengiraan kaedah lelaran mudah dalam kes ini ialah:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

dan parameter τ > 0 dipilih supaya, jika boleh, nilai minimum

Biarkan λ min dan λ max ialah nilai eigen minimum dan maksimum bagi matriks A. Pilihan optimum ialah parameter

Dalam kes ini
menerima nilai minimum sama dengan:

Contoh 3 Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan lelaran mudah. (dalam MathCAD)

Biarkan sistem persamaan Ax = b

Untuk membina proses berulang cari sendiri nombor matriks A:

- menggunakan fungsi terbina dalam untuk mencari nilai eigen.

Kira parameter lelaran dan semak keadaan penumpuan

Keadaan penumpuan dipenuhi.

Mari kita ambil anggaran awal - vektor x0, tetapkan ketepatan kepada 0.001 dan cari anggaran awal menggunakan program di bawah:

Penyelesaian yang tepat

Komen. Jika program mengembalikan rez matriks, maka anda boleh melihat semua lelaran yang ditemui.

1. Biarkan satu segmen diketahui yang mengandungi satu punca persamaan f(x) = 0. Fungsi f ialah fungsi boleh dibezakan secara berterusan pada segmen ini (f(x)нC 1 ). Jika syarat ini dipenuhi, kaedah lelaran mudah boleh digunakan.

2. Berdasarkan fungsi f(x), fungsi j(x) dibina yang memenuhi tiga syarat: ia mesti boleh dibezakan secara berterusan (j(x)нC 1 ), supaya persamaan x = j(x) adalah bersamaan dengan persamaan f(x)=0; sepatutnya juga menterjemah segmen ke dalam diri anda.

Kami akan mengatakan bahawa fungsi j ( x ) menterjemah segmen [ a , b ] ke dalam dirinya jika ada x Î [ a , b ], y = j ( x ) juga milik[ a , b ] ( y Î [ a , b ]).

Syarat ketiga dikenakan pada fungsi j(x):

Formula kaedah: x n +1 = j(xn).

3. Apabila ketiga-tiga syarat ini dipenuhi, untuk sebarang anggaran awal x 0 н jujukan lelaran x n +1 = j(x n) menumpu kepada punca persamaan: x = j(x) pada segmen ().

Sebagai peraturan, sebagai x 0 salah satu hujung dipilih.

,

di mana e ialah ketepatan yang ditentukan

Nombor x n +1 di bawah syarat menghentikan proses berulang adalah nilai anggaran punca persamaan f(x) = 0 pada segmen , didapati dengan kaedah lelaran mudah dengan ketepatan e .

Bina algoritma untuk menapis punca persamaan: x 3 + 5x - 1 = 0 pada segmen dengan lelaran mudah dengan ketepatan e .

1. Fungsi f(x) = x 3 +5x-1 boleh dibezakan secara berterusan pada segmen yang mengandungi satu punca persamaan.

2. Kesukaran terbesar dalam kaedah lelaran mudah ialah pembinaan fungsi j(x) yang memenuhi semua syarat:

Pertimbangkan: .

Persamaan x = j 1 (x) adalah bersamaan dengan persamaan f(x) = 0, tetapi fungsi j 1 (x) tidak boleh dibezakan secara berterusan pada selang .

nasi. 2.4. Graf fungsi j 2 (x)

Sebaliknya, oleh itu, . Oleh itu: ialah fungsi boleh dibezakan secara berterusan. Perhatikan bahawa persamaan: x = j 2 (x) adalah bersamaan dengan persamaan f(x) = 0 . Daripada graf (Rajah 2.4) dapat dilihat bahawa fungsi j 2 (x) menterjemahkan segmen ke dalam dirinya sendiri.

Syarat bahawa fungsi j(x) mengubah segmen menjadi dirinya sendiri boleh dirumuskan semula seperti berikut: biarkan menjadi domain fungsi j(x), dan menjadi domain j(x).

Jika segmen tergolong dalam segmen , maka fungsi j(x) mengambil segmen itu ke dalam dirinya sendiri.

, .

Semua syarat untuk fungsi j(x) dipenuhi.

Formula proses lelaran: x n +1 = j 2(xn).

3. Anggaran awal: x 0 = 0.

4. Syarat untuk menghentikan proses lelaran:

nasi. 2.5. deria geometri kaedah lelaran mudah

.

Apabila syarat ini dipenuhi, x n +1 – nilai anggaran akar pada ruas, ditemui dengan lelaran mudah dengan ketepatan e. Pada rajah. 2.5. penggunaan kaedah lelaran mudah digambarkan.

Teorem penumpuan dan anggaran ralat

Biarkan segmen mengandungi satu punca persamaan x = j(x), fungsi j(x ) boleh dibezakan secara berterusan pada segmen , menterjemah segmen ke dalam dirinya, dan keadaan:

.

Kemudian untuk sebarang anggaran awal x 0 О susulan menumpu kepada punca persamaan y = j(x ) pada segmen dan anggaran ralat:

.

Kestabilan kaedah lelaran mudah. Di bawah syarat teorem penumpuan, algoritma kaedah lelaran mudah adalah stabil.

Kerumitan kaedah lelaran mudah. Jumlah memori komputer yang diperlukan untuk melaksanakan kaedah lelaran mudah adalah diabaikan. Pada setiap langkah, anda perlu menyimpan x n , x n +1 , q Dan e.

Mari kita anggarkan bilangan operasi aritmetik yang diperlukan untuk melaksanakan kaedah lelaran mudah. Mari kita tulis anggaran untuk nombor n 0 = n 0 (e) supaya, untuk semua n ³ n 0, ketaksamaan berikut berlaku:

Ia berikutan daripada anggaran ini bahawa semakin hampir q kepada perpaduan, semakin perlahan kaedah itu menumpu.

Komen. Tidak wujud peraturan Am membina j(x) daripada f(x) dengan cara yang semua syarat teorem penumpuan dipenuhi. Pendekatan berikut sering digunakan: fungsi j dipilih sebagai fungsi j(x) = x + k × f(x), di mana k – tetap.

Apabila memprogramkan kaedah lelaran yang mudah, menghentikan proses lelaran selalunya memerlukan dua syarat untuk dipenuhi serentak:

Dan .

Semua kaedah lelaran lain yang akan kami pertimbangkan adalah kes khas kaedah lelaran mudah. Sebagai contoh, apabila Kaedah Newton adalah kes khas kaedah lelaran mudah.

Dalam bahagian ini, kami mempertimbangkan proses lelaran pegun apabila parameter matriks dan lelaran jangan bergantung pada indeks , dan buktikan teorem berikut pada syarat yang mencukupi untuk penumpuannya.

Teorem Samarsky

biarlah ialah matriks pasti positif bersebelahan sendiri:

,
,

ialah matriks pasti positif, - nombor positif:

,
.

Kemudian untuk sebarang pilihan anggaran sifar proses berulang yang ditakrifkan oleh formula rekursif , menumpu kepada penyelesaian sistem asal.

Sebelum meneruskan ke pembuktian teorem, mari kita bincangkan dengan lebih terperinci keperluan utamanya, kepastian positif matriks
. Keperluan ini boleh ditulis semula sebagai:

,
,
.

iaitu, khususnya, ia menganggap bahawa matriks adalah pasti positif. Di samping itu, ketidaksamaan menentukan selang di mana parameter boleh berubah :

.

Selepas kenyataan ini, kita meneruskan ke pembuktian teorem. Mari kita nyatakan daripada nisbah melalui :

dan gantikan ke dalam formula berulang untuk urutan lelaran. Hasilnya, kami mendapat:

.

Perbezaan antara formula berulang dan ialah ia adalah homogen.

Matriks adalah pasti positif. Oleh itu, ia tidak merosot dan mempunyai songsang
. Dengan bantuan dia hubungan berulang boleh diselesaikan mengenai
:

, Jadi
.

Mendarab kedua-dua belah kesamaan di sebelah kiri dengan matriks , kita memperoleh satu lagi hubungan berulang

.

Pertimbangkan urutan fungsi positif:

.

Mari kita karang ungkapan yang sama untuk
dan mengubahnya menggunakan formula berulang dan:

Dari percantuman diri matriks dan formula mengikuti

Akibatnya, formula mengambil bentuk:

Oleh itu, urutan fungsi tertakluk kepada syarat
membentuk jujukan tidak meningkat secara monoton yang dibatasi dari bawah dengan sifar

.

,

di mana
adalah pemalar positif yang ketat. Akibatnya, mengikut dan kita akan ada

Daripada ketidaksamaan ini dan penumpuan jujukan fungsi mengikuti itu
di
. Pada gilirannya
, Jadi

Teorem telah terbukti.

1. Kaedah lelaran mudah.

Nama ini diberikan kepada kaedah di mana, sebagai matriks matriks identiti dipilih:
, dan parameter berulang diandaikan bebas daripada nombor lelaran . Dalam erti kata lain, kaedah lelaran mudah ialah kaedah pegun eksplisit apabila lelaran seterusnya
dikira dengan formula rekursif

Kami akan menganggap bahawa matriks memenuhi syarat teorem Samarskii,
, maka formula yang menentukan sempadan selang penumpuan berkenaan dengan parameter lelaran , mengambil borang

.

biarlah
- asas ortonormal bagi vektor eigen bagi operator yang sepadan dengan matriks . Dengan kepastian positif, semua nilai eigennya adalah positif. Mari kita pertimbangkan mereka bernombor dalam susunan menurun:

Mari kita menguraikan vektor
mengikut asas vektor eigen

Akibatnya, ia mengikuti daripada formula bahawa kaedah lelaran mudah menumpu untuk mana-mana tergolong dalam selang

.

Kami akan membina kajian lanjut tentang kaedah lelaran mudah pada analisis khusus formula rekursif. Mari kita perkenalkan matriks pengendali peralihan

,

dan tulis semula formula sebagai

.

Pada masa yang sama, kesilapan
akan memenuhi hubungan berulang yang serupa, hanya homogen

.

Mari kita buktikan dua lema yang membolehkan kita menyiasat dengan lebih lengkap keadaan bagi penumpuan kaedah lelaran mudah.

Lema 1

Biarkan operator yang menjana matriks , mempunyai vektor eigen dengan nilai eigen , kemudian operator peralihan yang dijana oleh matriks , juga mempunyai vektor eigen , tetapi dengan nilai tersendiri

.

Buktinya adalah asas. Ia dijalankan melalui pengesahan langsung

Untuk matriks bersebelahan sendiri matriks juga bersebelahan sendiri. Oleh itu, normanya ditentukan oleh nilai eigen terbesar dalam nilai mutlak
:

.

Lemma 2

Untuk kaedah lelaran mudah untuk menumpu kepada penyelesaian sistem untuk sebarang pilihan anggaran awal, adalah perlu dan mencukupi bahawa semua nilai eigen pengendali peralihan adalah modulo kurang daripada satu:

,

Kecukupan. Keadaan itu bermakna bahawa norma matriks , menurut, akan menjadi kurang daripada perpaduan:
. Hasilnya, kita dapat

Pada
.

Keperluan. Mari kita anggap bahawa antara nilai eigen ditemui sekurang-kurangnya satu , yang tidak memenuhi syarat lemma, iaitu,

.

Marilah kita memilih sebutan sifar bagi jujukan lelaran dalam bentuk
, Di mana penyelesaian sistem, maka sebutan sifar bagi jujukan ralat akan bertepatan dengan vektor eigen operator lompat :
. Akibatnya formula berulang untuk ahli urutan ralat berikut akan diambil dalam bentuk:

,
.

i.e.
. Keperluan untuk memenuhi ketidaksamaan untuk semua nilai eigen kerana penumpuan kaedah lelaran mudah terbukti.

Lemma 2 mentakrifkan program untuk penyiasatan lanjut tentang penumpuan kaedah lelaran mudah: adalah perlu untuk menetapkan julat variasi parameter di mana semua nilai eigen memenuhi ketidaksamaan. Ia mudah dilakukan. Pada rajah. 1 menunjukkan graf menurun fungsi linear
. Mereka semua datang dari sudut yang sama
,
dan turun disebabkan oleh pekali negatif pada , dan fungsi menurun terpantas
. Apabila ia mengambil makna
, syarat untuknya tidak lagi dipenuhi:

, pada
.

Nilai yang ditemui ialah sempadan selang penumpuan kaedah lelaran mudah

.

Kita sudah tahu ketidaksamaan ini. Ia diperoleh lebih awal daripada teorem Samarskii sebagai syarat yang mencukupi untuk penumpuan. Analisis tambahan berdasarkan Lemma 2 membolehkan kami memperhalusi hasilnya. Sekarang kami telah menetapkan bahawa keahlian parameter lelaran selang adalah syarat yang perlu dan mencukupi untuk penumpuan kaedah lelaran mudah.

Mari kita beralih kepada kajian kadar penumpuan kaedah. Anggaran ralat menunjukkan bahawa ia berkurangan mengikut hukum janjang geometri dengan penyebut

.

Pertimbangkan Rajah. 2, yang akan membantu kami menganalisis formula ini. Ia serupa dengan Rajah 1, cuma ia menunjukkan graf bukan fungsi
, dan modul mereka. Pada kecil semua nilai eigen
adalah positif, dan yang terbesar adalah
, yang berkurangan dengan peningkatan pada kelajuan paling rendah. Walau bagaimanapun, melalui titik
nilai eigen
, tanda berubah, menjadi negatif. Akibatnya, kini modulus dengan peningkatan tidak berkurang, tetapi bertambah
menghampiri nilai membataskan perpaduan.

Cari pada segmen
titik , di mana fungsi menurun
berbanding dengan fungsi yang semakin meningkat
. Ia ditentukan oleh persamaan

yang memberi

.

Hasilnya, kami mendapat:

Nilai terkecilnya ialah norma matriks mencapai pada
:

.

Formula menunjukkan bahawa untuk matriks yang tidak bersyarat, walaupun dengan pilihan optimum parameter lelaran
norma matriks hampir kepada perpaduan, supaya penumpuan kaedah lelaran mudah ternyata menjadi perlahan dalam kes ini.

Kesimpulannya, kita perhatikan bahawa formula yang menentukan sempadan selang penumpuan , dan formula untuk nilai optimum parameter lelaran adalah terutamanya kepentingan teori. Biasanya, apabila menyelesaikan SLAE, nombor ciri terbesar dan terkecil matriks tidak diketahui, jadi hitung kuantiti Dan tidak mungkin lebih awal. Akibatnya, parameter berulang selalunya perlu memilih secara langsung dalam proses pengiraan secara percubaan dan kesilapan.

Tugasan 2.

Pertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui

dan bina penyelesaian anggaran untuknya menggunakan kaedah lelaran mudah.

Marilah kita segera menulis penyelesaian sistem

,
,

untuk kemudian dapat membandingkannya dengan ahli urutan lelaran.

Mari kita beralih kepada penyelesaian sistem dengan kaedah lelaran mudah. Matriks sistem mempunyai bentuk

.

Ia adalah bersebelahan sendiri dan pasti positif, kerana

Mari kita susun persamaan ciri untuk matriks dan cari akarnya:

,

,

Ia boleh digunakan untuk menentukan sempadan selang penumpuan dan nilai optimum parameter lelaran :

,
.

Untuk membina urutan lelaran, kami memilih beberapa nilai parameter lelaran pada selang penumpuan, contohnya,
. Dalam kes ini, formula berulang untuk syarat urutan lelaran mengambil bentuk:

, Di mana

Ambil anggaran awal yang paling mudah
dan tulis beberapa sebutan pertama bagi urutan lelaran , mengira percanggahan bagi setiap daripada mereka
. Hasilnya, kami mendapat:

,
,
,

,
,
,

,
,
,

,
,
.

Norma sisa, walaupun perlahan, tetapi berkurangan, yang menunjukkan penumpuan proses. Perkara yang sama dapat dilihat daripada perbandingan istilah-istilah urutan lelaran dengan penyelesaian sistem. Penumpuan perlahan adalah disebabkan oleh keadaan matriks yang lemah :

.