Cari vektor eigen matriks. Sistem persamaan linear homogen

Vektor eigen bagi matriks segi empat sama ialah, apabila didarab dengan matriks tertentu, menghasilkan vektor kolinear. Dengan kata mudah, apabila matriks didarab dengan vektor eigen, yang terakhir kekal sama, tetapi didarab dengan beberapa nombor.

Definisi

Vektor eigen ialah vektor bukan sifar V, yang, apabila didarab dengan matriks persegi M, menjadi dirinya sendiri, ditambah dengan beberapa nombor λ. Dalam tatatanda algebra, ini kelihatan seperti:

M × V = λ × V,

di mana λ ialah nilai eigen bagi matriks M.

Pertimbangkan contoh berangka. Untuk kemudahan menulis, nombor dalam matriks akan dipisahkan dengan koma bertitik. Katakan kita mempunyai matriks:

M = 0; 4;
6; 10.

Mari kita darabkannya dengan vektor lajur:

V = -2;

Apabila mendarab matriks dengan vektor lajur, kami juga mendapat vektor lajur. Tegas bahasa matematik formula untuk mendarab matriks 2 × 2 dengan vektor lajur akan kelihatan seperti ini:

M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
M21 x V11 + M22 x V21.

M11 bermaksud elemen matriks M, berdiri di baris pertama dan lajur pertama, dan M22 ialah elemen yang terletak di baris kedua dan lajur kedua. Untuk matriks kami, unsur-unsur ini ialah M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Untuk vektor lajur, nilai-nilai ini ialah V11 = –2, V21 = 1. Menurut formula ini, kita mendapat yang berikut hasil darab matriks segi empat sama dengan vektor:

M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Untuk kemudahan, kami menulis vektor lajur ke dalam satu baris. Jadi, kita telah mendarabkan matriks segi empat sama dengan vektor (-2; 1), menghasilkan vektor (4; -2). Jelas sekali, ini adalah vektor yang sama didarab dengan λ = -2. lambda masuk kes ini menandakan nilai eigen bagi matriks.

Vektor eigen bagi matriks ialah vektor kolinear, iaitu objek yang tidak mengubah kedudukannya dalam ruang apabila ia didarab dengan matriks. Konsep kolineariti dalam algebra vektor serupa dengan istilah keselarian dalam geometri. Dalam tafsiran geometri vektor kolinear- Ini adalah segmen terarah selari dengan panjang yang berbeza. Sejak zaman Euclid, kita tahu bahawa satu baris mempunyai bilangan garis tak terhingga yang selari dengannya, jadi adalah logik untuk mengandaikan bahawa setiap matriks mempunyai nombor tak terhingga vektor eigen.

Daripada contoh sebelumnya, dapat dilihat bahawa kedua-dua (-8; 4), dan (16; -8), dan (32, -16) boleh menjadi vektor eigen. Semua ini adalah vektor kolinear sepadan dengan nilai eigen λ = -2. Apabila mendarab matriks asal dengan vektor ini, kita masih akan mendapat vektor sebagai hasilnya, yang berbeza daripada asal sebanyak 2 kali. Itulah sebabnya, apabila menyelesaikan masalah untuk mencari vektor eigen, ia diperlukan untuk mencari hanya objek vektor bebas linear. Selalunya, untuk matriks n × n, terdapat nombor n-th bagi vektor eigen. Kalkulator kami direka bentuk untuk analisis matriks segi empat sama tertib kedua, jadi hampir selalu dua vektor eigen akan ditemui sebagai hasilnya, kecuali apabila ia bertepatan.

Dalam contoh di atas, kami mengetahui terlebih dahulu vektor eigen bagi matriks asal dan menentukan nombor lambda secara visual. Walau bagaimanapun, dalam amalan, segala-galanya berlaku sebaliknya: pada mulanya terdapat nilai eigen dan hanya kemudian vektor eigen.

Algoritma penyelesaian

Mari kita lihat semula matriks asal M dan cuba cari kedua-dua vektor eigennya. Jadi matriks kelihatan seperti:

M = 0; 4;
6; 10.

Sebagai permulaan, kita perlu menentukan nilai eigen λ, yang mana kita perlu mengira penentu matriks berikut:

(0 − λ); 4;
6; (10 − λ).

Matriks ini diperoleh dengan menolak λ yang tidak diketahui daripada unsur-unsur pada pepenjuru utama. Penentu ditentukan oleh formula standard:

detA = M11 × M21 − M12 × M22
detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Oleh kerana vektor kami tidak boleh sifar, kami mengambil persamaan yang terhasil sebagai bersandar secara linear dan menyamakan detA penentu kami kepada sifar.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Mari kembangkan kurungan dan dapatkan persamaan ciri matriks:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ini adalah standard persamaan kuadratik, yang perlu diselesaikan dari segi diskriminasi.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Punca diskriminasi ialah sqrt(D) = 14, jadi λ1 = -2, λ2 = 12. Sekarang untuk setiap nilai lambda, kita perlu mencari vektor eigen. Mari kita nyatakan pekali sistem untuk λ = -2.

M − λ × E = 2; 4;
6; 12.

Dalam formula ini, E ialah matriks identiti. Berdasarkan matriks yang diperoleh, kami akan menyusun sistem persamaan linear:

2x + 4y = 6x + 12y

di mana x dan y ialah unsur vektor eigen.

Mari kumpulkan semua X di sebelah kiri dan semua Y di sebelah kanan. Jelas sekali - 4x = 8y. Bahagikan ungkapan dengan - 4 dan dapatkan x = -2y. Sekarang kita boleh menentukan vektor eigen pertama matriks dengan mengambil sebarang nilai yang tidak diketahui (ingat tentang infiniti vektor eigen bersandar secara linear). Mari kita ambil y = 1, kemudian x = -2. Oleh itu, vektor eigen pertama kelihatan seperti V1 = (–2; 1). Kembali ke permulaan artikel. Objek vektor inilah yang kami darabkan dengan matriks untuk menunjukkan konsep vektor eigen.

Sekarang mari kita cari vektor eigen untuk λ = 12.

M - λ × E = -12; 4
6; -2.

Mari kita susun sistem persamaan linear yang sama;

-12x + 4y = 6x − 2y
-18x = -6y
3x=y.

Sekarang mari kita ambil x = 1, maka y = 3. Oleh itu, vektor eigen kedua kelihatan seperti V2 = (1; 3). Apabila mendarab matriks asal dengan vektor yang diberi, hasilnya akan sentiasa menjadi vektor yang sama didarab dengan 12. Ini melengkapkan algoritma penyelesaian. Sekarang anda tahu bagaimana untuk menentukan vektor eigen bagi matriks secara manual.

penentu;
surih, iaitu jumlah unsur pada pepenjuru utama;
pangkat, iaitu jumlah maksimum baris/lajur bebas linear.

Program ini beroperasi mengikut algoritma di atas, meminimumkan proses penyelesaian. Adalah penting untuk menunjukkan bahawa dalam program lambda dilambangkan dengan huruf "c". Mari kita lihat contoh berangka.

Contoh program

Mari kita cuba untuk menentukan vektor eigen untuk matriks berikut:

M=5; 13;
4; 14.

Mari masukkan nilai ini ke dalam sel kalkulator dan dapatkan jawapan dalam bentuk berikut:

Kedudukan matriks: 2;
Penentu matriks: 18;
Surih matriks: 19;
Pengiraan vektor eigen: c 2 − 19.00c + 18.00 (persamaan ciri);
Pengiraan vektor eigen: 18 (nilai lambda pertama);
Pengiraan vektor eigen: 1 (nilai lambda kedua);
Sistem persamaan vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
Sistem persamaan vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
Eigenvector 1: (1; 1);
Eigenvector 2: (-3.25; 1).

Oleh itu, kami telah memperoleh dua vektor eigen bebas linear.

Kesimpulan

Algebra linear dan geometri analitik adalah mata pelajaran standard untuk mana-mana pelajar baru kepakaran teknikal. Sejumlah besar vektor dan matriks adalah menakutkan, dan mudah untuk membuat kesilapan dalam pengiraan yang menyusahkan itu. Program kami akan membolehkan pelajar menyemak pengiraan mereka atau menyelesaikan masalah mencari vektor eigen secara automatik. Terdapat kalkulator algebra linear lain dalam katalog kami, gunakannya dalam kajian atau kerja anda.

Cara tampal formula matematik ke laman web?

Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke dalam tapak dalam bentuk gambar yang Wolfram Alpha jana secara automatik. Di samping kesederhanaan, ini cara universal akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan saya fikir ia akan berfungsi selama-lamanya), tetapi ia sudah ketinggalan zaman.

Jika anda sentiasa menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya mengesyorkan anda menggunakan MathJax, perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan tatatanda matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.

Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod mudah, anda boleh menyambungkan skrip MathJax dengan cepat ke tapak anda, yang akan berada dalam saat yang tepat memuat turun secara automatik dari pelayan jauh (senarai pelayan); (2) muat naik skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua adalah lebih kompleks dan memakan masa dan akan membolehkan anda mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa cara sekalipun. Walaupun kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama, kerana ia lebih mudah, lebih cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikuti contoh saya, dan dalam masa 5 minit anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak web anda.

Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya di antara teg Dan atau betul-betul selepas tag . Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlahankan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik menjejaki dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, maka ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda menampal kod kedua, maka halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.

Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod beban di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat dengan permulaan templat (by the way, ini tidak perlu sama sekali , kerana skrip MathJax dimuatkan secara tidak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML dan anda sudah bersedia untuk membenamkan formula matematik ke dalam halaman web anda.

Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa sedemikian dipanggil lelaran.

Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub pusat dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Ternyata satu set yang terdiri daripada 20 baki kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini selama-lamanya, kami mendapat span Menger.

www.site membolehkan anda mencari . Laman web ini membuat pengiraan. Dalam beberapa saat, pelayan akan mengeluarkan penyelesaian yang betul. Persamaan ciri untuk matriks akan jadi ungkapan algebra, ditemui oleh peraturan untuk mengira penentu matriks matriks, manakala pada pepenjuru utama akan terdapat perbezaan dalam nilai unsur pepenjuru dan pembolehubah. Apabila mengira persamaan ciri untuk matriks dalam talian, setiap elemen matriks akan didarab dengan unsur-unsur lain yang sepadan matriks. Cari dalam mod dalam talian mungkin hanya untuk persegi matriks. Cari operasi persamaan ciri untuk matriks dalam talian datang untuk mengira jumlah algebra produk unsur matriks hasil daripada mencari penentu matriks, hanya untuk tujuan menentukan persamaan ciri untuk matriks dalam talian. Operasi ini mengambil masa tempat istimewa secara teori matriks, membolehkan anda mencari nilai eigen dan vektor menggunakan akar . Mencari tugas persamaan ciri untuk matriks dalam talian adalah untuk memperbanyakkan unsur matriks dengan penjumlahan seterusnya produk ini mengikut peraturan tertentu. www.site jumpa persamaan ciri untuk matriks dimensi yang diberikan dalam mod dalam talian. pengiraan persamaan ciri untuk matriks dalam talian untuk dimensi tertentu, ini ialah mencari polinomial dengan pekali berangka atau simbolik yang ditemui oleh peraturan untuk mengira penentu matriks- sebagai jumlah hasil darab unsur yang sepadan matriks, hanya untuk tujuan menentukan persamaan ciri untuk matriks dalam talian. Mencari polinomial berkenaan dengan pembolehubah bagi segi empat sama matriks, sebagai definisi persamaan ciri untuk matriks, biasa dalam teori matriks. Nilai punca polinomial persamaan ciri untuk matriks dalam talian digunakan untuk mentakrifkan vektor eigen dan nilai eigen Untuk matriks. Namun, jika penentu matriks akan menjadi sifar, maka persamaan ciri matriks akan tetap wujud, tidak seperti sebaliknya matriks. Untuk mengira persamaan ciri untuk matriks atau cari beberapa sekali gus persamaan ciri matriks, anda perlu menghabiskan banyak masa dan usaha, sementara pelayan kami akan mencari persamaan ciri untuk matriks dalam talian. Dalam kes ini, jawapan dengan mencari persamaan ciri untuk matriks dalam talian akan betul dan dengan ketepatan yang mencukupi, walaupun nombor semasa mencari persamaan ciri untuk matriks dalam talian akan menjadi tidak rasional. Di tapak www.site entri aksara dibenarkan dalam elemen matriks, itu dia persamaan ciri untuk matriks dalam talian boleh diwakili dalam bentuk simbolik umum semasa mengira matriks persamaan ciri dalam talian. Adalah berguna untuk menyemak jawapan yang diperoleh semasa menyelesaikan masalah mencari persamaan ciri untuk matriks dalam talian menggunakan tapak www.site. Apabila melakukan operasi pengiraan polinomial - persamaan ciri matriks, adalah perlu untuk memberi perhatian dan sangat tertumpu dalam menyelesaikan masalah ini. Sebaliknya, laman web kami akan membantu anda menyemak keputusan anda mengenai topik tersebut matriks persamaan ciri dalam talian. Jika anda tidak mempunyai masa untuk pemeriksaan panjang masalah yang diselesaikan, maka www.site pastinya akan menjadi alat yang mudah untuk menyemak apabila mencari dan mengira persamaan ciri untuk matriks dalam talian.

". Bahagian pertama menggariskan peruntukan yang paling minimum diperlukan untuk memahami kemometrik, dan bahagian kedua mengandungi fakta yang perlu anda ketahui untuk pemahaman yang lebih mendalam tentang kaedah analisis multivariate. Pembentangan digambarkan melalui contoh yang dibuat dalam buku kerja Excel. Matriks.xls yang disertakan bersama dokumen ini.

Pautan kepada contoh diletakkan dalam teks sebagai objek Excel. Contoh-contoh ini bersifat abstrak, ia tidak terikat dengan tugas dalam apa cara sekalipun. kimia Analisis. Contoh Nyata penggunaan algebra matriks dalam kemometrik dibincangkan dalam teks lain yang dikhaskan untuk pelbagai aplikasi kemometrik.

Kebanyakan pengukuran yang dijalankan dalam kimia analisis tidak langsung tetapi tidak langsung. Ini bermakna dalam eksperimen, bukannya nilai analit C (kepekatan) yang dikehendaki, nilai lain diperolehi x(isyarat) berkaitan tetapi tidak sama dengan C, i.e. x(C) ≠ C. Sebagai peraturan, jenis pergantungan x(C) tidak diketahui, tetapi mujurlah dalam kimia analitik kebanyakan ukuran adalah berkadar. Ini bermakna sebagai kepekatan C dalam a kali, isyarat X akan meningkat dengan jumlah yang sama., i.e. x(a C) = a x(C). Selain itu, isyarat juga bersifat aditif, jadi isyarat daripada sampel yang mengandungi dua bahan dengan kepekatan C 1 dan C 2 akan menjadi adalah sama dengan jumlah isyarat daripada setiap komponen, i.e. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). Perkadaran dan ketambahan bersama-sama memberi kelinearan. Banyak contoh boleh diberikan untuk menggambarkan prinsip lineariti, tetapi ia cukup untuk menyebut dua yang paling contoh yang jelas- kromatografi dan spektroskopi. Ciri kedua yang wujud dalam eksperimen dalam kimia analitik ialah berbilang saluran. Peralatan analisis moden secara serentak mengukur isyarat untuk banyak saluran. Sebagai contoh, keamatan penghantaran cahaya diukur untuk beberapa panjang gelombang sekaligus, i.e. julat. Oleh itu, dalam eksperimen kita berurusan dengan pelbagai isyarat x 1 , x 2 ,...., x n mencirikan set kepekatan C 1 ,C 2 , ..., C m bahan yang terdapat dalam sistem yang dikaji.

nasi. 1 Spektrum

Jadi, eksperimen analitik dicirikan oleh lineariti dan multidimensi. Oleh itu, adalah mudah untuk mempertimbangkan data eksperimen sebagai vektor dan matriks dan memanipulasinya menggunakan radas algebra matriks. Keberhasilan pendekatan ini digambarkan oleh contoh yang ditunjukkan dalam , yang menunjukkan tiga spektrum diambil untuk 200 panjang gelombang dari 4000 hingga 4796 cm–1. pertama ( x 1) dan kedua ( x 2) spektrum diperolehi untuk sampel standard di mana kepekatan dua bahan A dan B diketahui: dalam sampel pertama [A] = 0.5, [B] = 0.1, dan dalam sampel kedua [A] = 0.2, [ B] = 0.6. Apa yang boleh dikatakan tentang sampel baru yang tidak diketahui, spektrumnya ditunjukkan x 3 ?

Pertimbangkan tiga spektrum eksperimen x 1 , x 2 dan x 3 sebagai tiga vektor dimensi 200. Menggunakan algebra linear, seseorang boleh menunjukkannya dengan mudah x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , jadi sampel ketiga jelas mengandungi hanya bahan A dan B dalam kepekatan [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 dan [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. Maklumat asas

1.1 Matriks

Matriks dipanggil jadual nombor segi empat tepat, contohnya

nasi. 2 Matriks

Matriks dilambangkan dengan huruf tebal besar ( A), dan elemen mereka - sepadan huruf kecil dengan indeks, i.e. a ij . Indeks pertama nombor baris dan nombor kedua lajur. Dalam kemometrik, adalah kebiasaan untuk menandakan nilai maksimum indeks dengan huruf yang sama dengan indeks itu sendiri, tetapi menggunakan huruf besar. Oleh itu, matriks A boleh juga ditulis sebagai ( a ij , i = 1,..., saya; j = 1,..., J). Untuk contoh matriks saya = 4, J= 3 dan a 23 = −7.5.

Sepasang nombor saya Dan J dipanggil dimensi matriks dan dilambangkan sebagai saya× J. Contoh matriks dalam kemometrik ialah set spektrum yang diperolehi untuk saya sampel pada J panjang gelombang.

1.2. Operasi paling mudah dengan matriks

Matriks boleh darab dengan nombor. Dalam kes ini, setiap elemen didarab dengan nombor ini. Sebagai contoh -

nasi. 3 Mendarab matriks dengan nombor

Dua matriks yang sama dimensi boleh mengikut unsur lipat Dan tolak. Sebagai contoh,

nasi. 4 Penambahan matriks

Hasil daripada pendaraban dengan nombor dan penambahan, matriks yang sama dimensi diperolehi.

Matriks sifar ialah matriks yang terdiri daripada sifar. Ia ditetapkan O. Ia adalah jelas bahawa A+O = A, A−A = O dan 0 A = O.

Matriks boleh transpose. Semasa operasi ini, matriks terbalik, i.e. baris dan lajur ditukar. Transposisi ditunjukkan dengan tanda sempang, A" atau indeks A t . Justeru, jika A = {a ij , i = 1,..., saya; j = 1,...,J), Itu A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., saya). Sebagai contoh

nasi. 5 Transposisi matriks

Jelas sekali bahawa ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t .

1.3. Pendaraban matriks

Matriks boleh membiak, tetapi hanya jika mereka mempunyai dimensi yang sesuai. Mengapa ini berlaku akan jelas dari definisi. Produk matriks A, dimensi saya× K, dan matriks B, dimensi K× J, dipanggil matriks C, dimensi saya× J, yang unsurnya ialah nombor

Oleh itu untuk produk AB adalah perlu bahawa bilangan lajur dalam matriks kiri A adalah sama dengan bilangan baris dalam matriks kanan B. Contoh produk matriks -

Rajah.6 Hasil darab matriks

Peraturan pendaraban matriks boleh dirumuskan seperti berikut. Untuk mencari unsur matriks C berdiri di persimpangan i-baris ke- dan j-lajur ke ( c ij) mesti didarabkan unsur demi unsur i-baris ke- matriks pertama A pada j-lajur ke matriks kedua B dan tambah semua hasil. Jadi dalam contoh yang ditunjukkan, elemen dari baris ketiga dan lajur kedua diperolehi sebagai hasil tambah unsur-bijak baris ketiga. A dan lajur kedua B

Rajah 7 Unsur hasil darab matriks

Hasil darab matriks bergantung kepada susunan, i.e. AB ≠ BA, sekurang-kurangnya atas sebab dimensi. Ia dikatakan tidak komutatif. Walau bagaimanapun, hasil darab matriks adalah bersekutu. Maksudnya begitu ABC = (AB)C = A(BC). Selain itu, ia juga bersifat pengedaran, i.e. A(B+C) = AB+AC. Ia adalah jelas bahawa AO = O.

1.4. Matriks segi empat sama

Jika bilangan lajur sesuatu matriks adalah sama dengan bilangan barisnya ( saya = J=N), maka matriks sedemikian dipanggil segi empat sama. Dalam bahagian ini, kami hanya akan mempertimbangkan matriks sedemikian. Di antara matriks ini, seseorang boleh memilih matriks dengan sifat khas.

bersendirian matriks (ditandakan saya dan kadangkala E) ialah matriks di mana semua elemen adalah sama dengan sifar, kecuali untuk yang pepenjuru, yang sama dengan 1, i.e.

Jelas sekali AI = IA = A.

Matriks dipanggil pepenjuru, jika semua elemennya, kecuali yang menyerong ( a ii) adalah sama dengan sifar. Sebagai contoh

nasi. 8 Matriks pepenjuru

Matriks A dipanggil atas segi tiga, jika semua elemennya yang terletak di bawah pepenjuru adalah sama dengan sifar, i.e. a ij= 0, pada i>j. Sebagai contoh

nasi. 9 Atas matriks segi tiga

Matriks segi tiga yang lebih rendah ditakrifkan sama.

Matriks A dipanggil simetri, Jika A t = A. Dalam kata lain a ij = a ji. Sebagai contoh

nasi. 10 Matriks simetri

Matriks A dipanggil ortogon, Jika

A t A = AA t = saya.

Matriks dipanggil biasa Jika

1.5. Jejak dan penentu

Mengikuti matriks segi empat sama A(ditandakan Tr( A) atau Sp( A)) ialah jumlah unsur pepenjurunya,

Sebagai contoh,

nasi. 11 Surih matriks

Ia adalah jelas bahawa

Sp(α A) = α Sp( A) Dan

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

Ia boleh ditunjukkan bahawa

Sp( A) = Sp( A t), Sp( saya) = N,

dan juga itu

Sp( AB) = Sp( BA).

Satu lagi ciri penting matriks persegi adalah miliknya penentu(ditandakan dengan det( A)). Definisi penentu dalam kes am agak rumit, jadi kita akan mulakan dengan pilihan yang paling mudah - matriks A dimensi (2×2). Kemudian

Untuk matriks (3×3), penentu akan sama dengan

Dalam kes matriks ( N× N) penentu dikira sebagai hasil tambah 1 2 3 ... N= N! istilah, setiap satunya adalah sama dengan

Indeks k 1 , k 2 ,..., kN ditakrifkan sebagai semua pilih atur tertib yang mungkin r nombor dalam set (1, 2, ... , N). Pengiraan penentu matriks adalah prosedur yang kompleks, yang dalam praktiknya dijalankan menggunakan program khas. Sebagai contoh,

nasi. 12 Penentu matriks

Kami perhatikan hanya sifat yang jelas:

det( saya) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. vektor

Jika matriks hanya mempunyai satu lajur ( J= 1), maka objek sedemikian dipanggil vektor. Lebih tepat lagi, vektor lajur. Sebagai contoh

Matriks yang terdiri daripada satu baris juga boleh dipertimbangkan, sebagai contoh

Objek ini juga merupakan vektor, tetapi vektor baris. Apabila menganalisis data, adalah penting untuk memahami vektor yang kita hadapi - lajur atau baris. Jadi spektrum yang diambil untuk satu sampel boleh dianggap sebagai vektor baris. Kemudian set keamatan spektrum pada beberapa panjang gelombang untuk semua sampel hendaklah dianggap sebagai vektor lajur.

Dimensi vektor ialah bilangan elemennya.

Adalah jelas bahawa mana-mana vektor lajur boleh diubah menjadi vektor baris dengan transposisi, i.e.

Dalam kes-kes di mana bentuk vektor tidak dinyatakan secara khusus, tetapi hanya vektor dikatakan, maka ia bermaksud vektor lajur. Kami juga akan mematuhi peraturan ini. Vektor dilambangkan dengan huruf kecil terus huruf tebal. Vektor sifar ialah vektor yang kesemua elemennya adalah sama dengan sifar. Ia dilambangkan 0 .

1.7. Operasi paling mudah dengan vektor

Vektor boleh ditambah dan didarab dengan nombor dengan cara yang sama seperti matriks. Sebagai contoh,

nasi. 13 Operasi dengan vektor

Dua vektor x Dan y dipanggil kolinear, jika terdapat nombor α sedemikian

1.8. Produk vektor

Dua vektor yang sama dimensi N boleh berganda. Biar ada dua vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t dan y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Berpandukan peraturan pendaraban "baris demi lajur", kita boleh membuat dua produk daripadanya: x t y Dan xy t . Kerja pertama

dipanggil skalar atau dalaman. Hasilnya ialah nombor. Ia juga menggunakan tatatanda ( x,y)= x t y. Sebagai contoh,

nasi. 14 Hasil darab dalam (skalar).

Kerja kedua

dipanggil luaran. Hasilnya ialah matriks dimensi ( N× N). Sebagai contoh,

nasi. 15 Produk luar

vektor, produk skalar yang sama dengan sifar dipanggil ortogon.

1.9. Norma vektor

Hasil darab skalar bagi vektor dengan dirinya sendiri dipanggil kuasa dua skalar. Nilai ini

mentakrifkan segi empat sama panjang vektor x. Untuk menandakan panjang (juga dipanggil kebiasaan vektor) notasi digunakan

Sebagai contoh,

nasi. 16 Norma vektor

Vektor panjang unit (|| x|| = 1) dipanggil dinormalisasi. vektor bukan sifar ( x ≠ 0 ) boleh dinormalkan dengan membahagikannya dengan panjang, i.e. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Di sini e = x/||x|| ialah vektor ternormal.

Vektor dipanggil ortonormal jika semuanya dinormalisasi dan ortogon berpasangan.

1.10. Sudut antara vektor

Hasil kali skalar mentakrifkan dan sudutφ antara dua vektor x Dan y

Jika vektor adalah ortogon, maka cosφ = 0 dan φ = π/2, dan jika ia adalah kolinear, maka cosφ = 1 dan φ = 0.

1.11. Perwakilan vektor bagi matriks

Setiap matriks A saiz saya× J boleh diwakili sebagai satu set vektor

Di sini setiap vektor a j ialah j-vektor lajur dan baris ke- b i ialah i-baris ke- matriks A

1.12. Vektor bersandar linear

Vektor dengan dimensi yang sama ( N) boleh ditambah dan didarab dengan nombor, sama seperti matriks. Hasilnya ialah vektor dengan dimensi yang sama. Biarkan terdapat beberapa vektor dengan dimensi yang sama x 1 , x 2 ,...,x K dan bilangan nombor yang sama α α 1 , α 2 ,...,α K. vektor

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α K x K

dipanggil gabungan linear vektor x k .

Jika terdapat nombor bukan sifar α tersebut k ≠ 0, k = 1,..., K, Apa y = 0 , maka set vektor sedemikian x k dipanggil bergantung secara linear. Jika tidak, vektor dipanggil bebas linear. Contohnya, vektor x 1 = (2, 2) t dan x 2 = (−1, −1) t adalah bersandar secara linear, kerana x 1 +2x 2 = 0

1.13. Kedudukan matriks

Pertimbangkan satu set K vektor x 1 , x 2 ,...,x K dimensi N. Kedudukan sistem vektor ini ialah bilangan maksimum vektor bebas linear. Contohnya dalam set

terdapat hanya dua vektor bebas linear, sebagai contoh x 1 dan x 2 , jadi pangkatnya ialah 2.

Jelas sekali, jika terdapat lebih banyak vektor dalam set daripada dimensinya ( K>N), maka mereka semestinya bergantung secara linear.

Kedudukan matriks(dilambangkan dengan pangkat ( A)) ialah pangkat sistem vektor yang terdiri daripadanya. Walaupun mana-mana matriks boleh diwakili dalam dua cara (vektor lajur atau vektor baris), ini tidak menjejaskan nilai kedudukan, kerana

1.14. matriks songsang

matriks segi empat sama A dipanggil tidak merosot jika ia mempunyai unik terbalik matriks A-1 , ditentukan oleh syarat

AA −1 = A −1 A = saya.

Matriks songsang tidak wujud untuk semua matriks. Syarat yang perlu dan mencukupi untuk tidak merosot ialah

det( A) ≠ 0 atau pangkat( A) = N.

Penyongsangan matriks ialah prosedur kompleks yang mana terdapat program khas. Sebagai contoh,

nasi. 17 Penyongsangan matriks

Kami memberikan formula untuk kes termudah - matriks 2 × 2

Jika matriks A Dan B tidak merosot, maka

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Matriks songsang pseudo

Jika matriks A adalah merosot dan matriks songsang tidak wujud, maka dalam beberapa kes seseorang boleh menggunakan pseudo-inverse matriks, yang ditakrifkan sebagai matriks sedemikian A+ itu

AA + A = A.

Matriks pseudo-inverse bukan satu-satunya dan bentuknya bergantung pada kaedah pembinaan. Contohnya untuk matriks segi empat tepat kaedah Moore-Penrose boleh digunakan.

Jika bilangan lajur kurang daripada bilangan baris, kemudian

A + =(A t A) −1 A t

Sebagai contoh,

nasi. 17a Penyongsangan matriks pseudo

Jika bilangan lajur lebih banyak nombor baris, kemudian

A + =A t ( AA t) −1

1.16. Pendaraban vektor dengan matriks

vektor x boleh didarab dengan matriks A dimensi yang sesuai. Dalam kes ini, vektor lajur didarab di sebelah kanan Ax, dan rentetan vektor berada di sebelah kiri x t A. Jika dimensi vektor J, dan dimensi matriks saya× J maka hasilnya ialah vektor dimensi saya. Sebagai contoh,

nasi. 18 Pendaraban Vektor-Matriks

Jika matriks A- segi empat sama ( saya× saya), kemudian vektor y = Ax mempunyai dimensi yang sama seperti x. Ia adalah jelas bahawa

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Oleh itu matriks boleh dianggap sebagai transformasi linear bagi vektor. khususnya x = x, lembu = 0 .

2. Maklumat tambahan

2.1. Sistem persamaan linear

biarlah A- saiz matriks saya× J, A b- vektor dimensi J. Pertimbangkan persamaan

Ax = b

berkenaan dengan vektor x, dimensi saya. Pada asasnya, ini adalah sistem saya persamaan linear dengan J tidak diketahui x 1 ,...,x J. Penyelesaian wujud jika dan hanya jika

pangkat ( A) = pangkat( B) = R,

di mana B ialah matriks dimensi tambahan saya×( J+1) yang terdiri daripada matriks A, berlapik dengan lajur b, B = (A b). Jika tidak, persamaan tidak konsisten.

Jika R = saya = J, maka penyelesaiannya adalah unik

x = A −1 b.

Jika R < saya, maka terdapat banyak pelbagai penyelesaian, yang boleh dinyatakan dalam sebutan gabungan linear J−R vektor. Sistem persamaan homogen Ax = 0 dengan matriks segi empat sama A (N× N) tidak mempunyai penyelesaian remeh (x ≠ 0 ) jika dan hanya jika det( A) = 0. Jika R= pangkat( A)<N, maka ada N−R penyelesaian bebas linear.

2.2. Bentuk dwilinear dan kuadratik

Jika A- Ini matriks segi empat sama, A x Dan y- vektor dimensi yang sepadan, kemudian hasil darab skalar bentuk x t Ay dipanggil bilinear bentuk yang ditakrifkan oleh matriks A. Pada x = y ungkapan x t Ax dipanggil kuadratik bentuk.

2.3. Matriks pasti positif

matriks segi empat sama A dipanggil pasti positif, jika untuk sebarang vektor bukan sifar x ≠ 0 ,

x t Ax > 0.

The negatif (x t Ax < 0), bukan negatif (x t Ax≥ 0) dan tidak positif (x t Ax≤ 0) matriks tertentu.

2.4. Penguraian Cholesky

Jika matriks simetri A adalah pasti positif, maka terdapat matriks segi tiga yang unik U dengan unsur-unsur positif, yang mana

A = U t U.

Sebagai contoh,

nasi. 19 Penguraian Cholesky

2.5. penguraian kutub

biarlah A ialah matriks segi empat sama tidak merosot dimensi N× N. Kemudian ada yang unik polar prestasi

A = SR,

di mana S ialah matriks simetri bukan negatif, dan R ialah matriks ortogon. matriks S Dan R boleh ditakrifkan secara eksplisit:

S 2 = AA t atau S = (AA t) ½ dan R = S −1 A = (AA t) −½ A.

Sebagai contoh,

nasi. 20 Penguraian kutub

Jika matriks A adalah merosot, maka penguraian tidak unik - iaitu: S masih bersendirian, tetapi R mungkin ramai. Penguraian kutub mewakili matriks A sebagai gabungan mampatan/regangan S dan berpusing R.

2.6. Vektor eigen dan nilai eigen

biarlah A ialah matriks segi empat sama. vektor v dipanggil vektor sendiri matriks A, Jika

Av = λ v,

di mana nombor λ dipanggil nilai eigen matriks A. Oleh itu, penjelmaan yang dilakukan oleh matriks A atas vektor v, dikurangkan kepada regangan atau pemampatan mudah dengan faktor λ. Vektor eigen ditentukan sehingga pendaraban dengan pemalar α ≠ 0, i.e. Jika v ialah vektor eigen, kemudian α v juga merupakan vektor eigen.

2.7. Nilai eigen

Di matriks A, dimensi ( N× N) tidak boleh lebih besar daripada N nilai eigen. Mereka berpuas hati persamaan ciri

det( A − λ saya) = 0,

menjadi persamaan algebra N-perintah ke-. Khususnya, untuk matriks 2×2, persamaan ciri mempunyai bentuk

Sebagai contoh,

nasi. 21 Nilai eigen

Set nilai eigen λ 1 ,..., λ N matriks A dipanggil spektrum A.

Spektrum mempunyai pelbagai sifat. khususnya

det( A) = λ 1×...×λ N, Sp( A) = λ 1 +...+λ N.

Nilai eigen bagi matriks arbitrari boleh menjadi nombor kompleks, tetapi jika matriks itu simetri ( A t = A), maka nilai eigennya adalah nyata.

2.8. Eigenvectors

Di matriks A, dimensi ( N× N) tidak boleh lebih besar daripada N eigenvectors, setiap satunya sepadan dengan nilainya sendiri. Untuk menentukan vektor eigen v n anda perlu menyelesaikan sistem persamaan homogen

(A − λ n saya)v n = 0 .

Ia mempunyai penyelesaian yang tidak remeh kerana det( A-λ n saya) = 0.

Sebagai contoh,

nasi. 22 Eigenvectors

Vektor eigen bagi matriks simetri adalah ortogon.

Nilai eigen (nombor) dan vektor eigen.
Contoh penyelesaian

Jadi diri sendiri

Daripada kedua-dua persamaan ia mengikuti bahawa .

Mari letakkan kemudian: .

Akibatnya: ialah vektor eigen kedua.

Jom ulang perkara penting penyelesaian:

– sistem yang terhasil pasti mempunyai keputusan bersama(persamaan adalah bergantung secara linear);

- "Y" dipilih sedemikian rupa sehingga ia adalah integer dan koordinat "x" pertama ialah integer, positif dan sekecil mungkin.

– kami menyemak bahawa penyelesaian tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Jawab .

"Pusat pemeriksaan" pertengahan sudah cukup, jadi pemeriksaan kesamaan, pada dasarnya, adalah berlebihan.

Dalam pelbagai sumber maklumat, koordinat vektor eigen sering ditulis bukan dalam lajur, tetapi dalam baris, contohnya: (dan, sejujurnya, saya sendiri pernah menulisnya dalam baris). Pilihan ini boleh diterima, tetapi berdasarkan topik transformasi linear secara teknikal lebih mudah digunakan vektor lajur.

Mungkin penyelesaiannya kelihatan sangat panjang kepada anda, tetapi itu hanya kerana saya mengulas contoh pertama dengan terperinci.

Contoh 2

matriks

Kami berlatih sendiri! Contoh anggaran reka bentuk akhir tugasan pada akhir pelajaran.

Kadang-kadang anda perlu lakukan tugas tambahan, iaitu:

tulis penguraian kanonik matriks itu

Apa ini?

Jika vektor eigen matriks terbentuk asas, maka ia boleh diwakili sebagai:

Di manakah matriks yang terdiri daripada koordinat vektor eigen, - pepenjuru matriks dengan nilai eigen yang sepadan.

Penguraian matriks ini dipanggil berkanun atau pepenjuru.

Pertimbangkan matriks contoh pertama. Vektor dia sendiri bebas linear(bukan kolinear) dan membentuk asas. Mari kita buat matriks daripada koordinatnya:

hidup pepenjuru utama matriks mengikut susunan yang sewajarnya nilai eigen terletak, dan elemen selebihnya adalah sama dengan sifar:
- sekali lagi saya menekankan kepentingan pesanan: "dua" sepadan dengan vektor pertama dan oleh itu terletak di lajur pertama, "tiga" - kepada vektor ke-2.

Mengikut algoritma biasa untuk mencari matriks songsang atau Kaedah Gauss-Jordan cari . Tidak, itu bukan kesilapan menaip! - di hadapan anda adalah jarang, seperti gerhana matahari peristiwa apabila songsangan sepadan dengan matriks asal.

Ia kekal untuk menulis penguraian kanonik matriks:

Sistem boleh diselesaikan dengan transformasi asas dan dalam contoh berikut kita akan menggunakan kaedah ini. Tetapi di sini kaedah "sekolah" berfungsi lebih cepat. Daripada persamaan ke-3 kita nyatakan: - gantikan ke dalam persamaan kedua:

Oleh kerana koordinat pertama ialah sifar, kita memperoleh sistem , daripada setiap persamaan yang mana ia mengikutinya.

Dan lagi memberi perhatian kepada kehadiran wajib hubungan linear. Jika hanya penyelesaian remeh yang diperolehi , maka sama ada nilai eigen didapati salah, atau sistem telah disusun / diselesaikan dengan ralat.

Koordinat padat memberi nilai

Eigenvector:

Dan sekali lagi, kami menyemak bahawa penyelesaian yang ditemui memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam perenggan berikut dan dalam tugasan seterusnya, saya mengesyorkan agar hasrat ini diterima sebagai peraturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, mengikut prinsip yang sama, kami memperoleh sistem seterusnya:

Daripada persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: - gantikan ke dalam persamaan ketiga:

Oleh kerana koordinat "zeta" adalah sama dengan sifar, kami memperoleh sistem , daripada setiap persamaan yang diikutinya pergantungan linear.

biarlah

Kami menyemak bahawa penyelesaian memenuhi setiap persamaan sistem.

Oleh itu, vektor eigen: .

3) Dan, akhirnya, sistem sepadan dengan nilainya sendiri:

Persamaan kedua kelihatan paling mudah, jadi kami menyatakannya daripadanya dan menggantikannya ke dalam persamaan 1 dan 3:

Semuanya baik-baik saja - pergantungan linear telah didedahkan, yang kami gantikan ke dalam ungkapan:

Akibatnya, "X" dan "Y" telah dinyatakan melalui "Z": . Dalam praktiknya, tidak perlu untuk mencapai hanya perhubungan sedemikian; dalam beberapa kes adalah lebih mudah untuk menyatakan kedua-dua melalui atau dan melalui . Atau pun "kereta api" - contohnya, "X" melalui "Y", dan "Y" melalui "Z"

Mari letakkan kemudian:

Kami menyemak bahawa penyelesaian yang ditemui memenuhi setiap persamaan sistem dan tulis vektor eigen ketiga

Jawab: vektor eigen:

Secara geometri, vektor ini mentakrifkan tiga arah spatial yang berbeza ("Di sana dan kembali lagi"), mengikut mana transformasi linear menukarkan vektor bukan sifar (eigenvectors) kepada vektor sejajar dengannya.

Jika mengikut syarat ia diperlukan untuk mencari pengembangan kanonik , maka ini boleh dilakukan di sini, kerana nilai eigen yang berbeza sepadan dengan vektor eigen bebas linear yang berbeza. Kami membuat matriks daripada koordinat mereka, matriks pepenjuru daripada relevan nilai eigen dan cari matriks songsang .

Jika, mengikut syarat, perlu menulis matriks transformasi linear dalam asas vektor eigen, kemudian kita berikan jawapan dalam borang . Terdapat perbezaan, dan perbezaan yang ketara! Untuk matriks ini ialah matriks "de".

Cabar dengan lebih banyak lagi pengiraan mudah Untuk keputusan bebas:

Contoh 5

Cari vektor eigen bagi penjelmaan linear yang diberikan oleh matriks

Apabila mencari nombor anda sendiri, cuba jangan bawa kes itu ke polinomial darjah ke-3. Di samping itu, penyelesaian sistem anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya - tiada kesamaran di sini; dan vektor yang anda temui mungkin berbeza daripada vektor sampel sehingga berkadaran dengan koordinat masing-masing. Contohnya, dan . Adalah lebih menyenangkan dari segi estetika untuk membentangkan jawapan dalam bentuk , tetapi tidak mengapa jika anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, semuanya ada had yang munasabah, versi tidak kelihatan sangat baik.

Anggaran sampel akhir tugasan pada akhir pelajaran.

Bagaimana untuk menyelesaikan masalah dalam kes pelbagai nilai eigen?

Algoritma umum tetap sama, tetapi ia mempunyai keistimewaannya sendiri, dan adalah dinasihatkan untuk mengekalkan beberapa bahagian penyelesaian dalam gaya akademik yang lebih ketat:

Contoh 6

Cari nilai eigen dan vektor eigen

Penyelesaian

Sudah tentu, mari gunakan huruf besar lajur pertama yang hebat:

Dan selepas penguraian trinomial segi empat sama untuk pengganda:

Akibatnya, nilai eigen diperoleh, dua daripadanya adalah gandaan.

Jom cari sendiri vektor:

1) Kami akan berurusan dengan askar keseorangan mengikut skema "dipermudahkan":

Daripada dua persamaan terakhir, kesamaan jelas kelihatan, yang, jelas, harus digantikan ke dalam persamaan pertama sistem:

Tiada kombinasi yang lebih baik:
Eigenvector:

2-3) Sekarang kita keluarkan beberapa sentri. Dalam kes ini, ia mungkin sama ada dua atau satu eigenvector. Tanpa mengira kepelbagaian akar, kami menggantikan nilai dalam penentu , yang membawa kita perkara berikut sistem persamaan linear homogen:

Eigenvectors adalah betul-betul vektor
sistem keputusan asas

Sebenarnya, sepanjang pelajaran, kami hanya terlibat dalam mencari vektor sistem asas. Hanya buat sementara waktu istilah ini tidak diperlukan terutamanya. By the way, pelajar-pelajar yang cekap yang, dalam penyamaran persamaan homogen, akan terpaksa menghisapnya sekarang.

Satu-satunya tindakan ialah mengalih keluar garisan tambahan. Hasilnya ialah matriks "satu per tiga" dengan "langkah" formal di tengah.
– pembolehubah asas, – pembolehubah bebas. Terdapat dua pembolehubah bebas, jadi terdapat juga dua vektor sistem asas.

Mari kita nyatakan pembolehubah asas dari segi pembolehubah bebas: . Faktor sifar di hadapan "x" membolehkannya mengambil apa-apa nilai (yang juga boleh dilihat dengan jelas daripada sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, lebih mudah untuk menulis penyelesaian umum bukan dalam baris, tetapi dalam lajur:

Pasangan sepadan dengan vektor eigen:
Pasangan sepadan dengan vektor eigen:

Catatan : pembaca yang canggih boleh mengambil vektor ini secara lisan - hanya dengan menganalisis sistem , tetapi beberapa pengetahuan diperlukan di sini: terdapat tiga pembolehubah, kedudukan matriks sistem- unit bermakna sistem keputusan asas terdiri daripada 3 – 1 = 2 vektor. Walau bagaimanapun, vektor yang ditemui dapat dilihat dengan sempurna walaupun tanpa pengetahuan ini, semata-mata pada tahap intuitif. Dalam kes ini, vektor ketiga akan ditulis dengan "lebih cantik": . Walau bagaimanapun, kata berhati-hati, dalam contoh lain pemilihan mudah mungkin tidak, itulah sebabnya tempahan ditujukan untuk mereka yang berpengalaman. Selain itu, mengapa tidak ambil sebagai vektor ketiga, katakan, ? Lagipun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor adalah bebas secara linear. Pilihan ini, pada dasarnya, sesuai, tetapi "bengkok", kerana vektor "lain" ialah gabungan linear vektor sistem asas.

Jawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh yang sama untuk penyelesaian buat sendiri:

Contoh 7

Cari nilai eigen dan vektor eigen

Contoh anggaran penamat pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa dalam kedua-dua contoh ke-6 dan ke-7, tiga kali ganda vektor eigen bebas linear diperoleh, dan oleh itu matriks asal boleh diwakili dalam penguraian kanonik. Tetapi raspberi seperti itu tidak berlaku dalam semua kes:

Contoh 8