Definisi persamaan garis lurus dari dua titik. Persamaan garis yang melalui titik, persamaan garis yang melalui dua titik, sudut antara dua garis, kecerunan garis

Pelajaran dari siri "Algoritma Geometrik"

Hello pembaca yang dikasihi!

Hari ini kita akan mula mempelajari algoritma yang berkaitan dengan geometri. Hakikatnya ialah terdapat banyak masalah Olympiad dalam sains komputer yang berkaitan dengan geometri pengiraan, dan penyelesaian masalah sedemikian sering menyebabkan kesukaran.

Dalam beberapa pelajaran, kita akan mempertimbangkan beberapa submasalah asas yang menjadi asas penyelesaian bagi kebanyakan masalah geometri pengiraan.

Dalam pelajaran ini, kita akan menulis program untuk mencari persamaan garis lurus melalui yang diberikan dua titik. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan sedikit pengetahuan tentang geometri pengiraan. Kami akan menumpukan sebahagian daripada pelajaran untuk mengenali mereka.

Maklumat daripada geometri pengiraan

Geometri pengiraan ialah satu cabang sains komputer yang mengkaji algoritma untuk menyelesaikan masalah geometri.

Data awal untuk masalah sedemikian boleh menjadi satu set titik pada satah, satu set segmen, poligon (diberikan, sebagai contoh, oleh senarai bucunya mengikut urutan jam), dsb.

Hasilnya boleh sama ada jawapan kepada beberapa soalan (seperti titik kepunyaan segmen, dua segmen bersilang, ...), atau beberapa objek geometri (contohnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik tertentu, luas poligon, dsb.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri pengiraan hanya pada satah dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menggunakan kaedah geometri pengiraan, adalah perlu untuk menterjemah imej geometri ke dalam bahasa nombor. Kami akan menganggap bahawa sistem koordinat Cartesan diberikan pada satah, di mana arah putaran lawan jam dipanggil positif.

Kini objek geometri menerima ungkapan analitikal. Jadi, untuk menetapkan titik, cukup untuk menentukan koordinatnya: sepasang nombor (x; y). Segmen boleh ditentukan dengan menentukan koordinat hujungnya, garis lurus boleh ditentukan dengan menentukan koordinat sepasang titiknya.

Tetapi alat utama untuk menyelesaikan masalah adalah vektor. Izinkan saya mengingatkan anda, oleh itu, beberapa maklumat tentang mereka.

Segmen garisan AB, yang mempunyai titik A dianggap permulaan (titik permohonan), dan titik DALAM- penghujungnya dipanggil vektor AB dan dilambangkan dengan sama ada , atau huruf kecil tebal, sebagai contoh A .

Untuk menandakan panjang vektor (iaitu, panjang segmen yang sepadan), kami akan menggunakan simbol modul (contohnya, ).

Vektor arbitrari akan mempunyai koordinat yang sama dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan yang sepadan:

,

titik di sini A Dan B mempunyai koordinat masing-masing.

Untuk pengiraan, kami akan menggunakan konsep sudut berorientasikan, iaitu sudut yang mengambil kira kedudukan relatif vektor.

Sudut berorientasikan antara vektor a Dan b positif jika putaran jauh daripada vektor a kepada vektor b dilakukan dalam arah positif (lawan arah jam) dan negatif dalam kes lain. Lihat rajah.1a, rajah.1b. Ia juga dikatakan bahawa sepasang vektor a Dan b berorientasikan positif (negatif).

Oleh itu, nilai sudut berorientasikan bergantung pada susunan penghitungan vektor dan boleh mengambil nilai dalam selang .

Banyak masalah geometri pengiraan menggunakan konsep vektor (skew atau pseudoscalar) produk vektor.

Hasil darab vektor bagi vektor a dan b ialah hasil darab panjang vektor ini dan sinus sudut di antara keduanya:

.

Hasil darab vektor bagi vektor dalam koordinat:

Ungkapan di sebelah kanan ialah penentu tertib kedua:

Tidak seperti definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ini ialah skalar.

Tanda hasil silang menentukan kedudukan vektor relatif antara satu sama lain:

a Dan b berorientasikan positif.

Jika nilainya ialah , maka pasangan vektor a Dan b berorientasikan negatif.

Hasil silang bagi vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika ia adalah kolinear ( ). Ini bermakna mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari.

Mari kita pertimbangkan beberapa tugas mudah yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.

Mari kita takrifkan persamaan garis lurus dengan koordinat dua titik.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik berbeza yang diberikan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik tidak bertepatan diberikan pada garisan: dengan koordinat (x1;y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Sehubungan itu, vektor dengan permulaan pada titik dan penghujung pada titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) ialah titik arbitrari pada garis kita, maka koordinat vektor ialah (x-x1, y - y1).

Dengan bantuan hasil silang, syarat untuk kolineariti vektor dan boleh ditulis seperti berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis semula persamaan terakhir seperti berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus boleh diberikan dengan persamaan bentuk (1).

Tugasan 1. Koordinat dua titik diberi. Cari perwakilannya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini, kami berkenalan dengan beberapa maklumat daripada geometri pengiraan. Kami menyelesaikan masalah mencari persamaan garis dengan koordinat dua titik.

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan menulis program untuk mencari titik persilangan dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan umum garis lurus dalam satah. Mari kita berikan contoh membina persamaan am garis lurus jika dua titik garis lurus ini diketahui atau jika satu titik dan vektor normal garis lurus ini diketahui. Mari kita kemukakan kaedah untuk mengubah persamaan dalam bentuk am kepada bentuk kanonik dan parametrik.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan diberikan Oxy. Pertimbangkan persamaan darjah pertama atau persamaan linear:

Ax+Oleh+C=0,

(1)

di mana A, B, C ialah beberapa pemalar, dan sekurang-kurangnya satu daripada unsur A Dan B berbeza dengan sifar.

Kami akan menunjukkan bahawa persamaan linear dalam satah mentakrifkan garis lurus. Mari kita buktikan teorem berikut.

Teorem 1. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan pada satah, setiap garis lurus boleh diberikan oleh persamaan linear. Sebaliknya, setiap persamaan linear (1) dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan pada satah mentakrifkan garis lurus.

Bukti. Ia cukup untuk membuktikan bahawa garis L ditentukan oleh persamaan linear untuk mana-mana satu sistem koordinat segi empat tepat Cartes, sejak itu ia akan ditentukan oleh persamaan linear dan untuk sebarang pilihan sistem koordinat segi empat tepat Cartes.

Biarkan garis lurus diberikan pada satah L. Kami memilih sistem koordinat supaya paksi lembu sejajar dengan garisan L, dan paksi Oy adalah berserenjang dengannya. Kemudian persamaan garis L akan mengambil bentuk berikut:

y=0.

(2)

Semua titik pada satu garisan L akan memenuhi persamaan linear (2), dan semua titik di luar garis lurus ini tidak akan memenuhi persamaan (2). Bahagian pertama teorem dibuktikan.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan diberikan dan biarkan persamaan linear (1) diberikan, di mana sekurang-kurangnya satu unsur A Dan B berbeza dengan sifar. Cari lokus titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1). Oleh kerana sekurang-kurangnya satu daripada pekali A Dan B adalah berbeza daripada sifar, maka persamaan (1) mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian M(x 0 ,y 0). (Sebagai contoh, apabila A≠0, titik M 0 (−C/A, 0) tergolong dalam lokus mata yang diberikan). Menggantikan koordinat ini kepada (1) kita memperoleh identiti

Ax 0 +Oleh 0 +C=0.

(3)

Mari kita tolak identiti (3) daripada (1):

A(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Jelas sekali, persamaan (4) adalah bersamaan dengan persamaan (1). Oleh itu, cukup untuk membuktikan bahawa (4) mentakrifkan beberapa baris.

Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, ia mengikuti daripada kesamaan (4) bahawa vektor dengan komponen ( x−x 0 , y−y 0 ) adalah ortogon kepada vektor n dengan koordinat ( A,B}.

Pertimbangkan beberapa baris L melalui titik M 0 (x 0 , y 0) dan berserenjang dengan vektor n(Rajah 1). Biarkan titik M(x,y) tergolong dalam barisan L. Kemudian vektor dengan koordinat x−x 0 , y−y 0 berserenjang n dan persamaan (4) berpuas hati (hasil skalar bagi vektor n dan sama dengan sifar). Sebaliknya, jika titik M(x,y) tidak terletak pada garisan L, kemudian vektor dengan koordinat x−x 0 , y−y 0 bukan ortogon kepada vektor n dan persamaan (4) tidak berpuas hati. Teorem telah terbukti.

Bukti. Oleh kerana garis (5) dan (6) mentakrifkan garis yang sama, vektor normal n 1 ={A 1 ,B 1 ) dan n 2 ={A 2 ,B 2) adalah kolinear. Sejak vektor n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, maka terdapat nombor λ , Apa n 2 =n 1 λ . Oleh itu kami mempunyai: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Mari kita buktikan C 2 =C 1 λ . Adalah jelas bahawa garisan bertepatan mempunyai titik yang sama M 0 (x 0 , y 0). Mendarab persamaan (5) dengan λ dan menolak persamaan (6) daripadanya kita dapat:

Oleh kerana dua kesamaan pertama daripada ungkapan (7) berpuas hati, maka C 1 λ −C 2=0. Itu. C 2 =C 1 λ . Kenyataan itu telah terbukti.

Perhatikan bahawa persamaan (4) mentakrifkan persamaan garis lurus yang melalui titik itu M 0 (x 0 , y 0) dan mempunyai vektor biasa n={A,B). Oleh itu, jika vektor normal garis dan titik kepunyaan garis ini diketahui, maka persamaan am garis boleh dibina menggunakan persamaan (4).

Contoh 1. Garisan melalui satu titik M=(4,−1) dan mempunyai vektor normal n=(3, 5). Bina persamaan am bagi garis lurus.

Penyelesaian. Kami ada: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Untuk membina persamaan umum garis lurus, kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan (4):

Jawapan:

Vektor selari dengan garisan L dan dengan itu berserenjang dengan vektor normal garis L. Mari kita bina vektor garis biasa L, memandangkan hasil darab skalar bagi vektor n dan sama dengan sifar. Kita boleh menulis, sebagai contoh, n={1,−3}.

Untuk membina persamaan am bagi garis lurus, kita menggunakan formula (4). Mari kita gantikan kepada (4) koordinat titik itu M 1 (kita juga boleh mengambil koordinat titik M 2) dan vektor biasa n:

Menggantikan koordinat titik M 1 dan M 2 dalam (9) kita boleh memastikan bahawa garis lurus yang diberikan oleh persamaan (9) melalui titik-titik ini.

Jawapan:

Tolak (10) daripada (1):

Kami telah memperoleh persamaan kanonik bagi garis lurus. vektor q={−B, A) ialah vektor arah bagi garis lurus (12).

Lihat transformasi terbalik.

Contoh 3. Garis lurus dalam satah diwakili oleh persamaan am berikut:

Pindahkan suku kedua ke kanan dan bahagikan kedua ruas persamaan dengan 2 5.

Persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang ialah persamaan yang mentakrifkan garis lurus yang melalui titik tertentu secara kolinear kepada vektor arah.

Biarkan satu titik dan vektor arah diberikan. Titik sewenang-wenangnya terletak pada garis l hanya jika vektor dan adalah kolinear, iaitu, mereka memenuhi syarat:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik garis.

Nombor m , n Dan hlm ialah unjuran vektor arah pada paksi koordinat. Oleh kerana vektor bukan sifar, maka semua nombor m , n Dan hlm tidak boleh menjadi sifar pada masa yang sama. Tetapi satu atau dua daripadanya mungkin sifar. Dalam geometri analitik, sebagai contoh, tatatanda berikut dibenarkan:

,

yang bermaksud bahawa unjuran vektor pada paksi Oy Dan Oz adalah sama dengan sifar. Oleh itu, kedua-dua vektor dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik adalah berserenjang dengan paksi. Oy Dan Oz, iaitu kapal terbang yOz .

Contoh 1 Susun persamaan garis lurus dalam ruang berserenjang dengan satah dan melalui titik persilangan satah ini dengan paksi Oz .

Penyelesaian. Cari titik persilangan satah yang diberi dengan paksi Oz. Oleh kerana mana-mana titik pada paksi Oz, mempunyai koordinat , maka, dengan andaian dalam persamaan satah yang diberikan x=y= 0, kita dapat 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh itu, titik persilangan satah yang diberikan dengan paksi Oz mempunyai koordinat (0; 0; 2) . Oleh kerana garis yang dikehendaki berserenjang dengan satah, ia adalah selari dengan vektor normalnya. Oleh itu, vektor normal boleh berfungsi sebagai vektor arah garis lurus kapal terbang yang diberi.

Sekarang kita tulis persamaan yang dikehendaki bagi garis lurus yang melalui titik itu A= (0; 0; 2) dalam arah vektor :

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus boleh ditakrifkan oleh dua titik yang terletak di atasnya Dan Dalam kes ini, vektor arah garis lurus boleh menjadi vektor . Kemudian persamaan kanonik garisan itu mengambil bentuk

.

Persamaan di atas mentakrifkan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2 Tulis persamaan garis lurus dalam ruang yang melalui titik dan .

Penyelesaian. Kami menulis persamaan garis lurus yang dikehendaki dalam bentuk yang diberikan di atas dalam rujukan teori:

.

Oleh kerana , maka garisan yang dikehendaki adalah berserenjang dengan paksi Oy .

Lurus sebagai garis persilangan satah

Garis lurus dalam ruang boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah tidak selari dan, iaitu, sebagai satu set titik yang memenuhi sistem dua persamaan linear

Persamaan sistem juga dipanggil persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3 Susun persamaan kanonik bagi garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh persamaan am

Penyelesaian. Untuk menulis persamaan kanonik garis lurus atau, yang sama, persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, anda perlu mencari koordinat mana-mana dua titik pada garis lurus. Mereka boleh menjadi titik persilangan garis lurus dengan mana-mana dua satah koordinat, sebagai contoh yOz Dan xOz .

Titik persilangan garis dengan satah yOz mempunyai absis x= 0 . Oleh itu, andaikan dalam sistem persamaan ini x= 0 , kita mendapat sistem dengan dua pembolehubah:

keputusan dia y = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mentakrifkan satu titik A(0; 2; 6) daripada baris yang dikehendaki. Andaikan kemudian dalam sistem persamaan yang diberikan y= 0 , kita mendapat sistem

keputusan dia x = -2 , z= 0 bersama-sama dengan y= 0 mentakrifkan satu titik B(-2; 0; 0) persilangan garis dengan satah xOz .

Sekarang kita menulis persamaan garis lurus yang melalui titik A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau selepas membahagikan penyebutnya dengan -2:

,

Definisi. Mana-mana garisan dalam satah boleh diberikan dengan persamaan tertib pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan pemalar A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut adalah mungkin:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - garisan melalui asalan

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Oleh + C \u003d 0) - garisan selari dengan paksi Lembu

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - garisan selari dengan paksi Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam pelbagai bentuk bergantung kepada sebarang keadaan awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan (3, -1).

Penyelesaian. Pada A = 3 dan B = -1, kita menyusun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu, C = -1 . Jumlah: persamaan yang dikehendaki: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. Pada satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1 jika x 1 = x 2.

Pecahan = k dipanggil faktor cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula di atas, kami mendapat:

Persamaan garis lurus dari titik dan cerun

Jika jumlah Ax + Wu + C = 0 membawa kepada bentuk:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan penetapan garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1, α 2), komponen yang memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 dipanggil vektor arah garis

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita dapat C / A = -3, i.e. persamaan yang dikehendaki:

Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, membahagikan dengan –C, kita dapat: atau

Maksud geometri pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi-x, dan b- koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Diberi persamaan am bagi garis x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal bagi garis lurus

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Vy + C = 0 didarab dengan nombor itu , yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis lurus. Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Diberi persamaan am bagi garis 12x - 5y - 65 = 0. Ia dikehendaki menulis pelbagai jenis persamaan bagi garis ini.

persamaan garis lurus ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

; cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p=5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asalan.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus mempunyai bentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tulis persamaan garis lurus yang melalui titik A (-2, -3) dan asalan.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus mempunyai bentuk: , di mana x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Sudut antara garisan pada satah

Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis ini akan ditakrifkan sebagai

.

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2 . Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 adalah selari apabila pekali A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB adalah berkadar. Jika juga С 1 = λС, maka garisan bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garisan

Teorem. Jika titik M(x 0, y 0) diberikan, maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 ditakrifkan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberi. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis lurus tertentu. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 adalah berserenjang.

Penyelesaian. Kami dapati: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh itu, garisan berserenjang.

Contoh. Bucu bagi segi tiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberi. Cari persamaan bagi ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Penyelesaian. Kami mencari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang dikehendaki ialah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Kemudian y = . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dari mana b = 17. Jumlah: .

Jawapan: 3x + 2y - 34 = 0.

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Terdapat banyak garisan yang tidak terhingga yang boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan, hanya terdapat satu garis lurus.

Dua garisan tidak bertepatan dalam satah sama ada bersilang pada satu titik, atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

• garis bersilang;

• garis lurus adalah selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus barisan- lengkung algebra tertib pertama: dalam sistem koordinat Cartesan, garis lurus

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garisan dalam satah boleh diberikan dengan persamaan tertib pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- garisan melalui asal

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi OU

. B = C = 0, A ≠ 0- garisan bertepatan dengan paksi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- garisan bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh diwakili dalam pelbagai bentuk bergantung kepada mana-mana yang diberikan

keadaan awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Mari kita karang di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk mencari pekali C

kita menggantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang dikehendaki: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2 , z 2), Kemudian persamaan garis lurus,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil faktor cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula di atas, kami mendapat:

Persamaan garis lurus dengan titik dan cerun.

Jika persamaan am bagi garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke borang:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus pada titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x=1, y=2 kita mendapatkan C/ A = -3, iaitu persamaan yang dikehendaki:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, membahagikan dengan -C, kita dapat:

atau , di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan

lurus dengan gandar Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi OU.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal bagi garis lurus.

Jika kedua-dua belah persamaan Ah + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor , yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ * C< 0.

R- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Diberi persamaan am bagi garis lurus 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kecerunan: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis lurus:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p=5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garisan pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Langsung Ah + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 adalah selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Jika juga С 1 \u003d λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu adalah berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garisan Ah + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan perkara itu M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

baris yang diberi. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem telah terbukti.