Polyhedra cembung biasa. Polyhedra

Polyhedra bukan sahaja menduduki tempat yang menonjol dalam geometri, tetapi juga berlaku dalam Kehidupan seharian setiap orang. Apatah lagi barangan rumah buatan buatan dalam bentuk pelbagai poligon, bermula dengan kotak mancis dan diakhiri dengan elemen seni bina, secara semula jadi terdapat juga kristal dalam bentuk kubus (garam), prisma (kristal), piramid (scheelite), oktahedron (berlian), dll.

Konsep polyhedron, jenis polyhedra dalam geometri

Geometri sebagai sains mengandungi bahagian stereometri yang mengkaji ciri dan sifat jasad tiga dimensi, yang sisinya berada dalam ruang tiga dimensi dibentuk oleh satah terhad (muka), dipanggil "polyhedra". Jenis polyhedra termasuk lebih daripada sedozen wakil, berbeza dalam bilangan dan bentuk muka.

Walau bagaimanapun, semua polyhedra mempunyai sifat yang sama:

1. Kesemuanya mempunyai 3 komponen penting: muka (permukaan poligon), bucu (sudut yang terbentuk di persimpangan muka), tepi (sisi rajah atau segmen yang terbentuk pada persimpangan dua muka. ).
2. Setiap tepi poligon menghubungkan dua, dan hanya dua, muka yang bersebelahan antara satu sama lain.
3. Kecembungan bermaksud bahawa badan sepenuhnya terletak hanya pada satu sisi pesawat di mana salah satu muka terletak. Peraturan ini terpakai kepada semua muka polihedron. Angka geometri sedemikian dalam stereometri dipanggil polyhedra cembung. Pengecualian ialah polyhedra berbentuk bintang, yang merupakan terbitan pepejal geometri polihedral biasa.

Polyhedra boleh dibahagikan kepada:

1. Jenis polyhedra cembung, yang terdiri daripada kelas berikut: biasa atau klasik (prisma, piramid, parallelepiped), biasa (juga dipanggil pepejal Platonik), separuh sekata (nama kedua - pepejal Archimedean).
2. Polyhedra tidak cembung (berbintang).

Prisma dan sifatnya

Stereometri sebagai cabang geometri mengkaji sifat-sifat angka tiga dimensi, jenis polyhedra (prisma adalah salah satu daripadanya). Mereka memanggilnya sebagai prisma badan geometri, yang semestinya mempunyai dua muka yang benar-benar serupa (mereka juga dipanggil pangkalan) terletak di satah selari, dan nombor ke-n muka sisi dalam bentuk segiempat selari. Sebaliknya, prisma juga mempunyai beberapa jenis, termasuk jenis polyhedra seperti:

1. Parallelepiped terbentuk jika tapaknya ialah segiempat selari - poligon dengan 2 pasang sudut bertentangan yang sama dan 2 pasang sisi bertentangan yang kongruen.
2. Prisma lurus mempunyai tepi yang berserenjang dengan tapak.
3. dicirikan oleh kehadiran sudut bukan tegak (selain daripada 90) antara muka dan tapak.
4. Prisma sekata dicirikan oleh tapak dalam bentuk dengan muka sisi yang sama.

Sifat utama prisma:

• Asas kongruen.
• Semua tepi prisma adalah sama dan selari antara satu sama lain.
• Semua muka sebelah mempunyai bentuk segi empat selari.

Piramid

Piramid ialah jasad geometri, yang terdiri daripada satu tapak dan nombor ke-n muka segi tiga, disambungkan pada satu titik - puncak. Perlu diingatkan bahawa jika muka sisi piramid semestinya diwakili oleh segi tiga, maka di pangkalan boleh terdapat sama ada poligon segi tiga, atau segi empat, dan pentagon, dan seterusnya ad infinitum. Dalam kes ini, nama piramid akan sepadan dengan poligon di pangkalan. Sebagai contoh, jika terdapat segitiga di dasar piramid - ini adalah segiempat - segi empat, dsb.

Piramid adalah polyhedra seperti kon. Jenis polyhedra kumpulan ini, sebagai tambahan kepada yang disenaraikan di atas, juga termasuk wakil berikut:

1. Piramid sekata mempunyai poligon sekata di tapaknya, dan ketinggiannya diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak atau dihadkan di sekelilingnya.
2. Piramid segi empat tepat terbentuk apabila salah satu tepi sisi bersilang dengan tapak pada sudut tepat. Dalam kes ini, adalah wajar untuk memanggil tepi ini sebagai ketinggian piramid.

Sifat piramid:

• Jika semua tepi sisi piramid adalah kongruen ( sama tinggi), kemudian mereka semua bersilang dengan tapak pada satu sudut, dan di sekeliling pangkalan anda boleh melukis bulatan dengan pusat bertepatan dengan unjuran bahagian atas piramid.
• Jika poligon sekata terletak di dasar piramid, maka semua tepi sisi adalah kongruen, dan muka adalah segi tiga sama kaki.

Polyhedron biasa: jenis dan sifat polyhedra

Dalam stereometri tempat istimewa menduduki badan geometri dengan muka yang sama rata, pada bucunya disambungkan bilangan tepi yang sama. Pepejal ini dipanggil pepejal Platonik, atau polyhedra biasa. Jenis polyhedra dengan sifat sedemikian hanya mempunyai lima angka:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodecahedron.
5. Icosahedron.

Polyhedra biasa berhutang nama mereka kepada ahli falsafah Yunani kuno Plato, yang menggambarkan badan geometri ini dalam tulisannya dan menghubungkannya dengan unsur-unsur semula jadi: bumi, air, api, udara. Angka kelima dianugerahkan persamaan dengan struktur alam semesta. Pada pendapat beliau, atom unsur semula jadi dalam bentuk menyerupai jenis polyhedra biasa. Oleh kerana sifatnya yang paling menarik - simetri, badan geometri ini diwakili minat besar bukan sahaja untuk ahli matematik dan ahli falsafah purba, tetapi juga untuk arkitek, pelukis dan pengukir sepanjang zaman. Kehadiran hanya 5 jenis polyhedra dengan simetri mutlak dianggap sebagai penemuan asas, malah mereka dianugerahkan hubungan dengan prinsip ketuhanan.

Hexahedron dan sifatnya

Dalam bentuk heksagon, pengganti Plato menganggap persamaan dengan struktur atom bumi. Sudah tentu, pada masa ini, hipotesis ini telah disangkal sepenuhnya, yang, bagaimanapun, tidak menghalang angka daripada menarik minda pada zaman moden. tokoh terkenal dengan estetikanya.

Dalam geometri, hexahedron, juga dikenali sebagai kubus, dianggap sebagai kes khas bagi parallelepiped, yang seterusnya, adalah sejenis prisma. Sehubungan itu, sifat kubus dikaitkan dengan satu-satunya perbezaan ialah semua muka dan sudut kubus adalah sama antara satu sama lain. Sifat-sifat berikut mengikuti daripada ini:

1. Semua tepi kubus adalah kongruen dan terletak pada satah selari antara satu sama lain.
2. Semua muka adalah segi empat sama kongruen (terdapat 6 jumlah dalam kubus), mana-mana daripadanya boleh diambil sebagai tapak.
3. Semua sudut interhedral ialah 90.
4. Daripada setiap bucu datang bilangan tepi yang sama, iaitu 3.
5. Kubus itu mempunyai 9 yang kesemuanya bersilang pada titik persilangan pepenjuru hexahedron, dipanggil pusat simetri.

Tetrahedron

Tetrahedron ialah tetrahedron dengan muka yang sama dalam bentuk segi tiga, setiap bucunya ialah titik simpang tiga muka.

Sifat-sifat tetrahedron biasa:

1. Semua muka tetrahedron - ini menunjukkan bahawa semua muka tetrahedron adalah kongruen.
2. Oleh kerana tapak diwakili oleh angka geometri biasa, iaitu, ia mempunyai sisi yang sama, maka muka tetrahedron menumpu pada sudut yang sama, iaitu, semua sudut adalah sama.
3. Jumlah sudut rata pada setiap bucu ialah 180, kerana semua sudut adalah sama, maka sebarang sudut tetrahedron sekata ialah 60.
4. Setiap bucu diunjurkan ke titik persilangan ketinggian muka bertentangan (orthocenter).

Octahedron dan sifatnya

Menghuraikan jenis polyhedra biasa, seseorang tidak boleh gagal untuk mencatat objek seperti oktahedron, yang boleh diwakili secara visual sebagai dua piramid biasa segiempat yang dilekatkan bersama di pangkalan.

Sifat otahedron:

1. Nama badan geometri menunjukkan bilangan mukanya. Oktahedron terdiri daripada 8 segi tiga sama sisi yang kongruen, dalam setiap bucu yang mempunyai bilangan muka yang sama menumpu, iaitu 4.
2. Oleh kerana semua muka oktahedron adalah sama, begitu juga sudut antara mukanya, setiap satunya adalah sama dengan 60, dan jumlah sudut satah mana-mana bucu adalah 240.

Dodecahedron

Jika kita membayangkan bahawa semua muka badan geometri adalah pentagon biasa, maka kita mendapat dodekahedron - angka 12 poligon.

Sifat Dodecahedron:

1. Tiga muka bersilang pada setiap bucu.
2. Semua tepi adalah sama dan mempunyai sama panjang tepi, serta luas yang sama.
3. Dodecahedron mempunyai 15 paksi dan satah simetri, dan mana-mana daripadanya melalui bucu muka dan tengah tepi bertentangan.

ikosahedron

Tidak kurang menarik daripada dodecahedron, icosahedron ialah badan geometri tiga dimensi dengan 20 muka yang sama. Di antara sifat-sifat dua puluh hedron biasa, perkara berikut boleh diperhatikan:

1. Semua muka ikosahedron adalah segi tiga sama kaki.
2. Lima muka menumpu pada setiap bucu polihedron, dan hasil tambah sudut bersebelahan puncak ialah 300.
3. Ikosahedron, seperti dodekahedron, mempunyai 15 paksi dan satah simetri yang melalui titik tengah muka bertentangan.

Poligon separuh sekata

Sebagai tambahan kepada pepejal Platonik, kumpulan polyhedra cembung juga termasuk pepejal Archimedean, yang merupakan polyhedra sekata terpotong. Jenis polyhedra kumpulan ini mempunyai sifat berikut:

1. Badan geometri mempunyai beberapa jenis muka yang sama berpasangan, contohnya, tetrahedron terpenggal mempunyai 8 muka, sama seperti tetrahedron biasa, tetapi dalam kes pepejal Archimedean, 4 muka akan menjadi segi tiga dan 4 akan menjadi heksagon.
2. Semua sudut satu bucu adalah kongruen.

Polihedra bintang

Perwakilan jenis bukan volumetrik badan geometri adalah polyhedra berbentuk bintang, yang mukanya bersilang antara satu sama lain. Mereka boleh dibentuk dengan menggabungkan dua badan tiga dimensi biasa atau dengan meneruskan muka mereka.

Oleh itu, polyhedra berbintang tersebut dikenali sebagai: bentuk berbintang bagi oktahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Polyhedra cembung dipanggil sekata jika semua muka adalah sama. poligon sekata, dan bilangan muka yang sama menumpu pada setiap bucu. Polyhedra sedemikian juga dipanggil pepejal Platonik.

Terdapat hanya lima polyhedra biasa:

Gambar	Jenis polyhedron biasa	Bilangan sisi pada muka	Bilangan tepi bersebelahan dengan bucu	Jumlah bilangan bucu	jumlah bilangan tepi	Jumlah bilangan muka
Tetrahedron
Hexahedron atau kubus
Dodecahedron
ikosahedron

Nama setiap polyhedron berasal nama Yunani bilangan mukanya dan perkataan "tepi".

Tetrahedron

Tetrahedron (bahasa Yunani fefsbedspn - tetrahedron) ialah polihedron dengan empat muka segi tiga, pada setiap bucu yang mana 3 muka bertumpu. Tetrahedron mempunyai 4 muka, 4 bucu dan 6 tepi.

Sifat-sifat tetrahedron

Satah selari yang melalui pasangan tepi silang tetrahedron menentukan saluran paip selari yang dihadkan berhampiran tetrahedron.

Segmen yang menghubungkan puncak tetrahedron dengan titik persilangan median muka bertentangan dipanggil mediannya, dijatuhkan dari bucu ini.

Segmen yang menghubungkan titik tengah tepi silang tetrahedron dipanggil bimedian, yang menghubungkan tepi ini.

Segmen garis yang menghubungkan satu bucu ke satu titik pada muka bertentangan dan berserenjang dengan muka ini dipanggil ketinggiannya daripada bucu yang diberikan.

Teorem. Semua median dan bimedian bagi tetrahedron bersilang pada satu titik. Titik ini membahagikan median dalam nisbah 3:1, mengira dari atas. Titik ini membelah dua bimedian.

Peruntukkan:

• Tetrahedron isohedral, di mana semua muka adalah segi tiga sama antara satu sama lain;
• · tetrahedron ortosentrik, di mana semua ketinggian jatuh dari bucu ke muka bertentangan bersilang pada satu titik;
• tetrahedron segi empat tepat, di mana semua tepi bersebelahan dengan salah satu bucu adalah berserenjang antara satu sama lain;
• tetrahedron biasa, di mana semua muka adalah segi tiga sama sisi;
• bingkai tetrahedron - tetrahedron yang memenuhi mana-mana syarat berikut:
• · Terdapat sfera yang menyentuh semua tepi.
• · Jumlah panjang tepi silang adalah sama.
• · Jumlah sudut dihedral pada tepi bertentangan adalah sama.
• Bulatan yang tertera pada muka adalah tangen secara berpasangan.
• · Semua segiempat yang terhasil daripada perkembangan tetrahedron adalah dihadkan.
• · Serenjang dinaikkan ke muka dari pusat bulatan yang tertulis di dalamnya bersilang pada satu titik.
• tetrahedron yang sepadan, semua dwitingginya adalah sama;
• · tetrahedron insentrik, di mana segmen yang menghubungkan bucu tetrahedron dengan pusat bulatan yang tertera pada muka bertentangan bersilang pada satu titik.

Kubus atau hexahedron sekata ialah polihedron sekata, setiap mukanya ialah segi empat sama. kes istimewa selari dan prisma.

Sifat kubus

• · Empat bahagian kubus ialah heksagon sekata - bahagian ini melalui pusat kubus berserenjang dengan empat pepenjuru utamanya.
• Tetrahedron boleh ditulis dalam kubus dalam dua cara. Dalam kedua-dua kes, empat bucu tetrahedron akan diselaraskan dengan empat bucu kubus, dan kesemua enam tepi tetrahedron akan menjadi milik muka kubus. Dalam kes pertama, semua bucu tetrahedron tergolong dalam muka sudut trihedral, yang bucunya bertepatan dengan salah satu bucu kubus. Dalam kes kedua, tepi silang berpasangan bagi tetrahedron tergolong dalam muka kubus yang bertentangan berpasangan. Tetrahedron sedemikian adalah betul.
• · Satu oktahedron boleh ditulis dalam kubus, lebih-lebih lagi, semua enam bucu oktahedron akan diselaraskan dengan pusat enam muka kubus.
• · Sebuah kubus boleh ditulis dalam oktahedron, lebih-lebih lagi, semua lapan bucu kubus akan terletak di tengah-tengah lapan muka oktahedron.
• · Ikosahedron boleh ditulis dalam kubus, manakala enam tepi selari bersama ikosahedron akan terletak masing-masing pada enam muka kubus, baki 24 tepi berada di dalam kubus. Kesemua dua belas bucu ikosahedron akan terletak pada enam muka kubus.

Diagonal kubus ialah segmen yang menghubungkan dua bucu yang simetri mengenai pusat kubus. pepenjuru kubus ditemui oleh formula

polyhedron icosahedron octahedron dodecahedron

dengan d ialah pepenjuru dan a ialah tepi kubus.

Octahedron

Octahedron (Bahasa Yunani pkfedspn, dari pkfyu Yunani, "lapan" dan Edsb Yunani - "asas") ialah salah satu daripada lima polyhedra sekata cembung, yang dipanggil pepejal Platonik.

Oktahedron mempunyai 8 muka segi tiga, 12 tepi, 6 bucu, 4 tepi menumpu pada setiap bucu.

Jika panjang tepi bagi oktahedron ialah a, maka luasnya permukaan penuh(S) dan isipadu oktahedron (V) dikira dengan formula:

Jejari sfera yang dihadkan mengelilingi oktahedron ialah:

jejari sfera yang ditulis dalam oktahedron boleh dikira dengan formula:

Oktahedron biasa mempunyai simetri Oh, yang sama dengan kubus.

Oktahedron mempunyai bentuk bintang tunggal. Octahedron ditemui oleh Leonardo da Vinci, kemudian, hampir 100 tahun kemudian, ditemui semula oleh Johannes Kepler, dan dinamakan olehnya Stella octangula - bintang oktagon. Oleh itu bentuk ini mempunyai nama kedua "Kepler's stella octangula".

Malah, ia adalah sebatian dua tetrahedra

Dodecahedron

Dodecahedron (dari bahasa Yunani dudekb - dua belas dan edspn - muka), dodecahedron - polyhedron biasa, terdiri daripada dua belas pentagon biasa. Setiap bucu dodekahedron ialah bucu tiga pentagon sekata.

Oleh itu, dodekahedron mempunyai 12 muka (pentagonal), 30 tepi dan 20 bucu (3 tepi menumpu pada setiap satu). Jumlah sudut satah pada setiap 20 bucu ialah 324°.

Dodecahedron mempunyai 3 stellations: dodecahedron stellated kecil, dodecahedron hebat, dodecahedron stellated hebat (dodecahedron stellated great, bentuk akhir). Dua yang pertama ditemui oleh Kepler (1619), yang ketiga oleh Poinsot (1809). Tidak seperti oktahedron, mana-mana bentuk bintang dodekahedron bukanlah sebatian pepejal Platonik, tetapi membentuk polihedron baharu.

Kesemua 3 bintang dodecahedron, bersama-sama dengan ikosahedron yang hebat, membentuk keluarga pepejal Kepler-Poinsot, iaitu, polyhedra tak cembung (berbintang) sekata.

Muka dodecahedron yang hebat ialah pentagon, yang menumpu lima pada setiap bucu. Muka dodecahedron bintang kecil dan besar - bintang berbucu lima(pentagram), yang dalam kes pertama menumpu sebanyak 5, dan dalam kes kedua dengan 3. Bucu dodekahedron berbintang besar bertepatan dengan bucu dodekahedron yang dihadkan. Setiap bucu menghubungkan tiga muka.

Formula asas:

Jika kita mengambil a sebagai panjang tepi, maka luas permukaan dodecahedron ialah:

Isipadu Dodecahedron:

Jejari sfera yang dihadkan:

Jejari sfera bertulis:

Unsur simetri dodecahedron:

· Dodekahedron mempunyai pusat simetri dan 15 paksi simetri.

Setiap paksi melalui titik tengah rusuk selari bertentangan.

Dodecahedron mempunyai 15 satah simetri. Mana-mana satah simetri melepasi setiap muka melalui bucu dan tengah tepi bertentangan.

icosahedron

Icosahedron (dari bahasa Yunani. eykput - dua puluh; -edspn - muka, muka, asas) - polihedron cembung biasa, dua puluh sisi, salah satu pepejal Platonik. Setiap daripada 20 muka adalah segi tiga sama sisi. Bilangan tepi ialah 30, bilangan bucu ialah 12.

Luas S, isipadu V ikosahedron dengan panjang tepi a, serta jejari sfera yang digariskan dan dibataskan dikira dengan rumus:

jejari sfera bertulis:

jejari sfera yang dihadkan:

Hartanah

• Ikosahedron boleh ditulis dalam kubus, manakala enam tepi yang saling berserenjang bagi ikosahedron akan terletak masing-masing pada enam muka kubus, baki 24 tepi di dalam kubus, kesemua dua belas bucu ikosahedron akan terletak pada enam muka kubus. .
• · Tetrahedron boleh ditulis dalam ikosahedron, lebih-lebih lagi, empat bucu tetrahedron akan digabungkan dengan empat bucu ikosahedron.
• · Ikosahedron boleh ditulis dalam dodekahedron, manakala bucu ikosahedron akan diselaraskan dengan pusat muka dodekahedron.
• · Dodekahedron boleh ditulis dalam ikosahedron dengan penjajaran bucu dodekahedron dan pusat muka ikosahedron.
• · Ikosahedron yang dipotong boleh diperolehi dengan memotong 12 bucu untuk membentuk muka dalam bentuk pentagon biasa. Pada masa yang sama, bilangan bucu polihedron baharu bertambah 5 kali ganda (12?5=60), 20 muka segi tiga bertukar menjadi heksagon biasa (jumlah muka menjadi 20+12=32), dan bilangan tepi meningkat kepada 30+12?5=90.

Icosahedron mempunyai 59 bintang, di mana 32 mempunyai simetri ikosahedral lengkap dan 27 tidak lengkap. Salah satu daripada bintang ini (ke-20, mod. 41 menurut Wenninger), dipanggil icosahedron yang hebat, adalah salah satu daripada empat betul Kepler-Poinsot stellated polyhedra. Mukanya ialah segi tiga sekata yang menumpu pada setiap bucu lima; harta ini dikongsi oleh icosahedron yang hebat dengan icosahedron.

Di antara bentuk stellate terdapat juga: sebatian lima oktahedra, sebatian lima tetrahedra, sebatian sepuluh tetrahedra.

Geometri adalah cantik dalam hal itu, tidak seperti algebra, di mana ia tidak selalu jelas apa yang anda fikirkan dan mengapa, ia memberikan penglihatan kepada objek. ini dunia yang indah pelbagai badan menghiasi polyhedra biasa.

Maklumat am tentang polyhedra biasa

Menurut ramai, polyhedra biasa, atau kerana ia juga dipanggil pepejal Platonik, mempunyai sifat unik. Objek ini dikaitkan dengan beberapa hipotesis saintifik. Apabila anda mula mengkaji badan geometri ini, anda memahami bahawa anda tidak tahu apa-apa tentang konsep seperti polyhedra biasa. Pembentangan objek ini di sekolah tidak selalu menarik, jadi ramai yang tidak ingat apa yang dipanggil. Kebanyakan orang hanya ingat kiub. Tiada satu pun jasad dalam geometri adalah sempurna seperti polyhedra biasa. Semua nama badan geometri ini berasal Yunani purba. Mereka bermaksud bilangan muka: tetrahedron - empat sisi, hexahedron - enam sisi, oktahedron - lapan sisi, dodecahedron - dua belas sisi, icosahedron - dua puluh sisi. Semua badan geometri ini diduduki tempat penting dalam konsep Plato tentang alam semesta. Empat daripada mereka mempersonifikasikan unsur atau entiti: tetrahedron - api, ikosahedron - air, kubus - bumi, oktahedron - udara. Dodecahedron merangkumi semua yang wujud. Ia dianggap yang utama, kerana ia adalah simbol alam semesta.

Generalisasi konsep polihedron

Polihedron ialah koleksi nombor terhingga poligon seperti:

• setiap sisi mana-mana poligon adalah pada masa yang sama sisi hanya satu poligon lain pada sisi yang sama;
• daripada setiap poligon yang anda boleh dapatkan kepada yang lain dengan melepasi poligon bersebelahan dengannya.

Poligon yang membentuk polihedron ialah mukanya, dan sisinya ialah tepinya. Bucu polihedra ialah bucu poligon. Jika konsep poligon difahami sebagai garis putus-putus tertutup rata, maka ia datang kepada satu definisi polihedron. Dalam kes apabila konsep ini bermaksud sebahagian daripada pesawat, yang terhad garis putus, ia harus difahami sebagai permukaan yang terdiri daripada kepingan poligon. dipanggil mayat berbaring di sebelah satah bersebelahan dengan mukanya.

Takrif lain bagi polyhedron dan unsur-unsurnya

Polihedron ialah permukaan yang terdiri daripada poligon yang membatasi jasad geometri. Mereka ialah:

• tidak cembung;
• cembung (betul dan salah).

Politop biasa ialah politop cembung dengan simetri maksimum. Unsur-unsur polyhedra biasa:

• tetrahedron: 6 tepi, 4 muka, 5 bucu;
• hexahedron (kubus): 12, 6, 8;
• dodecahedron: 30, 12, 20;
• oktahedron: 12, 8, 6;
• icosahedron: 30, 20, 12.

Teorem Euler

Ia mewujudkan hubungan antara bilangan tepi, bucu dan muka yang secara topologi bersamaan dengan sfera. Dengan menjumlahkan bilangan bucu dan muka (B + D) pelbagai polyhedra sekata dan membandingkannya dengan bilangan tepi, satu corak boleh diwujudkan: jumlah bilangan muka dan bucu sama dengan bilangan tepi (P) meningkat sebanyak 2. Formula ringkas boleh diperolehi:

• C + D = P + 2.

Formula ini adalah benar untuk semua polyhedra cembung.

Definisi asas

Konsep polihedron biasa tidak boleh dihuraikan dalam satu ayat. Ia lebih bermakna dan besar. Untuk badan diiktiraf sedemikian, ia mesti memenuhi beberapa definisi. Jadi, badan geometri akan menjadi polihedron biasa di bawah syarat berikut:

• ia adalah cembung;
• bilangan tepi yang sama menumpu pada setiap bucunya;
• semua mukanya adalah poligon sekata, sama antara satu sama lain;
• semuanya sama.

Sifat polyhedra biasa

Terdapat 5 pelbagai jenis polyhedra biasa:

1. Kubus (hexahedron) - ia mempunyai sudut rata di bahagian atas ialah 90 °. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 270°.
2. Tetrahedron - sudut rata di bahagian atas - 60°. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 180°.
3. Octahedron - sudut rata di bahagian atas - 60°. Ia mempunyai sudut 4 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 240°.
4. Dodecahedron - sudut rata pada bucu 108°. Ia mempunyai sudut 3 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 324°.
5. Icosahedron - ia mempunyai sudut rata di bahagian atas - 60 °. Ia mempunyai sudut 5 sisi. Jumlah sudut rata di bahagian atas ialah 300°.

Luas permukaan jasad geometri (S) ini dikira sebagai luas poligon sekata didarab dengan bilangan mukanya (G):

• S \u003d (a: 2) x 2G ctg π / hlm.

Isipadu polihedron biasa

Nilai ini dikira dengan mendarab isipadu piramid yang betul, di pangkalnya terdapat poligon sekata, mengikut bilangan muka, dan ketinggiannya ialah jejari sfera yang tertulis (r):

• V=1:3rS.

Isipadu polyhedra biasa

Seperti mana-mana badan geometri lain, polyhedra biasa mempunyai isipadu yang berbeza. Di bawah ialah formula yang anda boleh mengiranya:

• tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (kubus): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Hexahedron dan octahedron ialah pepejal geometri dwi. Dalam erti kata lain, mereka boleh diperolehi antara satu sama lain jika pusat graviti muka satu diambil sebagai puncak yang lain, dan sebaliknya. Icosahedron dan dodecahedron juga dua. Hanya tetrahedron adalah dwi kepada dirinya sendiri. Mengikut kaedah Euclid, anda boleh mendapatkan dodekahedron daripada hexahedron dengan membina "bumbung" pada muka kubus. Bucu tetrahedron ialah mana-mana 4 bucu kubus yang tidak bersebelahan secara berpasangan di sepanjang tepi. Dari hexahedron (kubus) anda boleh mendapatkan polyhedra biasa yang lain. Walaupun hakikatnya ada tak terkira, terdapat hanya 5 polyhedra biasa.

Jejari poligon sekata

Setiap jasad geometri ini dikaitkan dengan 3 sfera sepusat:

• diterangkan, melalui puncaknya;
• tertulis, menyentuh setiap wajahnya di tengahnya;
• median, menyentuh semua rusuk di tengah.

Jejari sfera yang diterangkan dikira dengan formula berikut:

• R \u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Jejari sfera tersurat dikira dengan formula:

• R \u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

di mana θ ialah sudut dihedral yang berada di antara muka bersebelahan.

Jejari sfera median boleh dikira menggunakan formula berikut:

• ρ = cos π/p: 2 sin π/j,

di mana nilai h = 4,6,6,10 atau 10. Nisbah jejari yang dihadkan dan tersurat adalah simetri berkenaan dengan p dan q. Ia dikira dengan formula:

• R / r \u003d tg π / p x tg π / q.

Simetri polyhedra

Simetri polyhedra sekata adalah kepentingan utama kepada pepejal geometri ini. Ia difahami sebagai pergerakan badan sedemikian di angkasa, yang meninggalkan bilangan bucu, muka dan tepi yang sama. Dalam erti kata lain, di bawah tindakan transformasi simetri, tepi, bucu, muka sama ada mengekalkan kedudukan asalnya atau bergerak ke kedudukan asal tepi, bucu atau muka lain.

Unsur simetri polyhedra biasa adalah ciri semua jenis jasad geometri tersebut. Di sini kita bercakap tentang transformasi yang sama yang meninggalkan mana-mana titik dalam kedudukan asalnya. Jadi, apabila anda memutarkan prisma poligon, anda boleh mendapatkan beberapa simetri. Mana-mana daripadanya boleh diwakili sebagai hasil pantulan. Simetri yang merupakan hasil darab bilangan pantulan genap dipanggil garis lurus. Jika ia adalah hasil darab bilangan pantulan ganjil, maka ia dipanggil songsang. Oleh itu, semua putaran tentang garis adalah simetri langsung. Sebarang pantulan polihedron ialah simetri songsang.

Untuk lebih memahami unsur simetri polihedra biasa, kita boleh mengambil contoh tetrahedron. Mana-mana garisan yang akan melalui salah satu bucu dan pusat ini angka geometri, juga akan melalui bahagian tengah muka yang bertentangan dengannya. Setiap satu pusingan 120 dan 240° mengelilingi garis kepunyaan majmuk simetri tetrahedron. Oleh kerana ia mempunyai 4 bucu dan 4 muka, terdapat hanya lapan simetri langsung. Mana-mana garisan yang melalui bahagian tengah tepi dan pusat badan ini melalui bahagian tengah tepi bertentangannya. Sebarang putaran 180°, dipanggil separuh pusingan, mengelilingi garis lurus ialah simetri. Oleh kerana tetrahedron mempunyai tiga pasang tepi, terdapat tiga lagi simetri langsung. Berdasarkan perkara di atas, dapat disimpulkan bahawa jumlah nombor simetri langsung, termasuk transformasi identiti akan naik ke dua belas. Tetrahedron tidak mempunyai simetri langsung lain, tetapi ia mempunyai 12 simetri songsang. Oleh itu, tetrahedron dicirikan oleh sejumlah 24 simetri. Untuk kejelasan, anda boleh membina model tetrahedron biasa daripada kadbod dan pastikan badan geometri ini benar-benar mempunyai 24 simetri sahaja.

Dodecahedron dan icosahedron paling hampir dengan sfera badan. Icosahedron mempunyai bilangan terbesar muka, yang terbesar dan paling padat daripada semua boleh ditekan pada sfera yang tertulis. Dodecahedron mempunyai kecacatan sudut terkecil, sudut pepejal terbesar di puncak. Dia boleh mengisi sfera yang diterangkannya sebanyak mungkin.

Perkembangan polyhedra

Yang betul, yang kita semua terpaku pada zaman kanak-kanak, mempunyai banyak konsep. Jika terdapat himpunan poligon, setiap sisinya dikenal pasti dengan hanya satu sisi polihedron, maka pengenalpastian sisi mesti memenuhi dua syarat:

• daripada setiap poligon adalah mungkin untuk pergi ke poligon yang mempunyai sisi yang dikenal pasti;
• sisi yang hendak dikenal pasti mestilah mempunyai panjang yang sama.

Ia adalah set poligon yang memenuhi syarat-syarat ini yang dipanggil pembangunan polihedron. Setiap badan ini mempunyai beberapa daripadanya. Jadi, sebagai contoh, sebuah kubus mempunyai 11 daripadanya.

Untuk menggunakan pratonton pembentangan, buat akaun Google (akaun) dan log masuk: https://accounts.google.com

Kapsyen slaid:

Polyhedra. Bucu, tepi, muka polihedron. TEOREM EULER. Gred 10 Diisi oleh: Kaigorodova S.V.

Polihedron sekata ialah satu di mana semua muka adalah poligon sekata dan semua sudut polihedral pada bucu adalah sama.

Sejak zaman purba, lima polyhedra yang menakjubkan telah diketahui oleh manusia.

Mengikut bilangan muka mereka dipanggil tetrahedron biasa.

hexahedron (hexahedron) atau kubus

oktahedron (octahedron)

dodecahedron (dodecahedron)

icosahedron (dua puluh sisi)

Perkembangan polyhedra biasa

Latar belakang sejarah Empat intipati alam semula jadi diketahui oleh manusia: api, air, tanah dan udara. Menurut Plato, atom-atom mereka kelihatan seperti polyhedra biasa.Plato ahli falsafah Yunani kuno yang hebat, yang hidup pada abad ke-4 - ke-5. BC, percaya bahawa badan-badan ini mempersonifikasikan intipati alam semula jadi.

atom api kelihatan seperti tetrahedron, bumi - hexahedron (kubus) udara - oktahedron air - icosahedron

Tetapi terdapat dodecahedron, yang tidak ada surat-menyurat. Plato mencadangkan bahawa terdapat satu lagi entiti (kelima). Dia memanggilnya eter dunia. Atom-atom intipati kelima ini kelihatan seperti dodekahedron. Plato dan pelajarnya dalam karya mereka perhatian yang besar diberikan kepada polyhedra yang disenaraikan. Oleh itu, polyhedra ini juga dipanggil pepejal Platonik.

Untuk mana-mana polihedron cembung, hubungannya adalah benar: Г+В-Р=2, dengan Г ialah bilangan muka, В ialah bilangan bucu, Р ialah bilangan tepi polihedron yang diberikan. Muka + Bucu - Tepi = 2. Teorem Euler

Ciri-ciri polihedra sekata Polihedron Bilangan sisi muka Bilangan muka menumpu pada setiap bucu Bilangan muka (G) Bilangan tepi (P) Bilangan bucu (V) Tetrahedron 3 3 4 6 4 Hexahedron 4 3 6 12 8 Octahedron 3 4 8 12 6 Icosahedron 3 5 20 30 12 Dodecahedron 5 3 12 30 20

Dualiti Polihedra Biasa Hexahedron (kubus) dan oktahedron membentuk pasangan dwi polyhedra. Bilangan muka satu polihedron adalah sama dengan bilangan bucu yang lain dan begitu juga sebaliknya.

Ambil mana-mana kiub dan pertimbangkan polihedron dengan bucu di tengah-tengah mukanya. Seperti yang anda boleh lihat dengan mudah, kami mendapat oktahedron.

Pusat-pusat muka oktahedron berfungsi sebagai bucu kubus.

Sodium antimoni sulfate ialah tetrahedron. Polyhedra dalam Alam Semula Jadi, Kimia dan Biologi Hablur beberapa bahan yang kita kenali mempunyai bentuk polyhedra biasa. Kristal pirit - model dodecahedron semulajadi. kristal garam meja menyampaikan bentuk kubus. Satu kristal tawas aluminium-potassium mempunyai bentuk oktahedron. Kristal (prisma) Icosahedron telah menjadi pusat perhatian ahli biologi dalam pertikaian mereka mengenai bentuk virus. Virus ini tidak boleh bulat sempurna, seperti yang difikirkan sebelum ini. Untuk menetapkan bentuknya, mereka mengambil pelbagai polihedron, mengarahkan cahaya ke arah mereka pada sudut yang sama seperti aliran atom ke virus. Ternyata hanya satu polihedron yang memberikan bayangan yang sama - icosahedron. Dalam proses pembahagian telur, pertama tetrahedron empat sel terbentuk, kemudian oktahedron, kubus, dan akhirnya struktur dodecahedral-icosahedral gastrula. Dan akhirnya, mungkin yang paling penting, struktur DNA kod genetik kehidupan - ialah sapuan empat dimensi (sepanjang paksi masa) dodekahedron berputar! Dalam molekul metana, ia mempunyai bentuk tetrahedron biasa.

Polyhedra dalam seni "Potret Monna Lisa" Komposisi gambar adalah berdasarkan segitiga emas, yang merupakan bahagian dari pentagon bintang biasa. ukiran "Melancholy" Di latar depan gambar adalah dodecahedron. "Perjamuan Terakhir" Kristus dengan murid-muridnya digambarkan dengan latar belakang dodecahedron telus yang besar.

Polihedron dalam seni bina Muzium Buah-buahan di Yamanashi telah dicipta menggunakan pemodelan tiga dimensi. Menara Spasskaya empat tingkat dengan Gereja Penyelamat Bukan Buatan Tangan adalah pintu masuk utama ke Kazan Kremlin. Didirikan pada abad ke-16 oleh arkitek Pskov Ivan Shiryai dan Postnik Yakovlev, digelar "Barma". Empat peringkat menara ialah kubus, polihedron dan piramid. Menara Spasskaya Kremlin. Rumah Api Muzium Buah Piramid Alexandria

Definisi. Polihedron dipanggil sekata jika: 1) ia cembung; 2) semua mukanya adalah poligon sekata sama antara satu sama lain; 3) menumpu pada setiap bucunya nombor yang sama rusuk; 4) semua dihedralnya adalah sama.

Contoh polihedron sekata ialah kubus: ia ialah polihedron cembung, semua mukanya adalah segi empat sama, tiga tepi menumpu pada setiap bucu, dan semua sudut dihedral kubus adalah betul. Tetrahedron biasa juga merupakan polyhedron biasa.

Persoalannya timbul: berapa banyak pelbagai jenis polyhedra biasa?

Lima jenis polyhedra biasa:

Pertimbangkan polyhedron biasa sewenang-wenangnya M , yang mempunyai bucu B, tepi P dan muka G. Dengan teorem Euler, untuk polihedron ini persamaan berikut dipegang:

V - R + G \u003d 2. (1)

Biarkan setiap muka polihedron yang diberikan mengandungi m tepi (tepi), dan pada setiap bucu bertumpu n tulang rusuk. Jelas sekali,

Oleh kerana polihedron B mempunyai bucu, dan setiap satunya mempunyai n tepi, kita mendapat n tepi. Tetapi mana-mana tepi menghubungkan dua bucu polihedron, jadi setiap tepi akan memasuki produk n dua kali. Jadi polihedron mempunyai pelbagai tulang rusuk. Kemudian

Daripada (1), (3), (4) kita perolehi - Р + = 2, dari mana

+ = + > . (5)

Justeru, kita ada

Daripada ketaksamaan 3 dan 3 ia berikutan bahawa muka polihedron sekata boleh sama ada segi tiga sekata, atau segi empat sekata, atau pentagon sekata. Selain itu, dalam kes m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 kita sampai pada percanggahan dengan keadaan. Oleh itu, lima kes kekal mungkin: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Mari kita pertimbangkan setiap kes ini menggunakan hubungan (5), (4) dan (3).

1) m=n=3(setiap muka polihedron - segi tiga tepat. Ini diketahui oleh kita tetrahedron biasa (« tetrahedron" bermaksud tetrahedron).

2) m = 4, n = 3(setiap muka ialah segi empat sama, dan tiga tepi menumpu pada setiap bucu). Kami ada

P = 12; B = 8; G = 6.

Kami mendapat heksagon biasa, di mana setiap muka adalah segi empat sama. Polihedron ini dipanggil hexahedron biasa dan ialah kubus (" heksaedron"-- hexahedron), sebarang parallelepiped ialah hexahedron.

3) m = 3, n = 4(setiap muka ialah segi tiga sekata, empat tepi menumpu pada setiap bucu). Kami ada

P = 12; B = =6; G \u003d \u003d 8.

Kami mendapat oktahedron biasa, di mana setiap muka adalah segi tiga biasa. Polihedron ini dipanggil oktahedron biasa ("oktahedron" -- oktahedron).

4) m = 5, n = 3(setiap muka ialah pentagon sekata, tiga tepi menumpu pada setiap bucu). Kami ada:

P = 30; B = = 20; G \u003d \u003d 12.

Kami mendapat dodecahedron biasa, di mana setiap muka adalah pentagon biasa. Polihedron ini dipanggil dodecahedron biasa (« dodecahedron"- dodecahedron).

5) m = 3,n = 5(setiap muka ialah segi tiga sekata, lima tepi menumpu pada setiap bucu). Kami ada

P = 30; B = =12; G = = 20.

Kami mendapat bahagian dua puluh yang betul. Polihedron ini dipanggil ikosahedron biasa (« icosahedron"- dua puluh segi).

Oleh itu, kami telah memperoleh teorem berikut.

Teorem. Terdapat lima jenis polyhedra biasa yang berbeza (sehingga persamaan): tetrahedron biasa, hexahedron biasa (kubus), oktahedron biasa, dodekahedron biasa dan ikosahedron biasa.

Kesimpulan ini boleh dicapai dengan cara yang sedikit berbeza.

Sesungguhnya, jika muka polihedron sekata ialah segitiga sekata, dan menumpu pada satu bucu k rusuk, i.e. semua sudut cembung rata k-sudut hedral adalah sama, maka. Oleh itu, nombor asli k boleh mengambil nilai: 3;4;5. manakala Г = , Р = . Berdasarkan teorem Euler, kita mempunyai:

B+-= 2 atau B (6 - k) = 12.

Kemudian pada k\u003d 3 kita dapat: B \u003d 4, G \u003d 4, P \u003d 6 (tetrahedron biasa);

di k = 4 kita dapat: B \u003d 6, G \u003d 8, P \u003d 12 (oktahedron biasa);

di k = 5 kita dapat: B \u003d 12, G \u003d 20, P \u003d 30 (icosahedron biasa).

Jika muka polihedron sekata ialah segiempat sekata, maka. Keadaan ini sepadan dengan satu-satunya nombor asli k= 3. Kemudian: Г = , Р= ; B + - = 2 atau. Jadi, B \u003d 8, G \u003d 6, P \u003d 12 - kita mendapat kubus (hexahedron biasa).

Jika muka polihedron biasa ialah pentagon biasa, maka Syarat ini juga dipenuhi sahaja k= 3 dan Г = ; R = . Begitu juga pengiraan sebelumnya kita dapat: dan B \u003d 20, G \u003d 12, P \u003d 30 (dodecahedron biasa).

Bermula dengan heksagon biasa, mungkin muka polihedron biasa, sudut satah tidak menjadi lebih kecil, dan lebih sempit k= 3 jumlah mereka menjadi sekurang-kurangnya, yang mustahil. Oleh itu, terdapat hanya lima jenis polyhedra biasa.

Angka-angka menunjukkan susun atur setiap lima polyhedra biasa.

tetrahedron biasa

Oktahedron biasa

Hexahedron biasa

Icosahedron biasa

Dodecahedron biasa

Beberapa sifat polyhedra biasa diberikan dalam jadual berikut.

Jenis muka	sudut rata di bahagian atas	Pemandangan sudut polihedral di puncak	Jumlah sudut rata pada bucu				Nama polihedron
Betul segi tiga	3 segi				tetrahedron biasa
Betul segi tiga	4 segi				Oktahedron biasa
Betul segi tiga	5 segi				Icosahedron biasa
	3 segi				Betul hexahedron (kubus)
Betul pentagon	3 segi					Betul dodecahedron

Bagi setiap polyhedra biasa, sebagai tambahan kepada yang telah ditunjukkan, kami paling kerap akan berminat dengan:

• 1. Nilainya sudut dihedral di rusuk (dengan panjang rusuk a).
• 2. Luas jumlah permukaannya (dengan panjang rusuk a).
• 3. Isipadunya (dengan panjang rusuk a).
• 4. Jejari sfera yang dihadkan di sekelilingnya (dengan panjang tepi a).
• 5. Jejari sfera yang tertulis di dalamnya (dengan panjang tepi a).
• 6. Jejari sfera yang menyentuh semua tepinya (dengan panjang tepi a).

Penyelesaian yang paling mudah ialah mengira jumlah luas permukaan polihedron biasa; ia sama dengan Г, di mana Г ialah bilangan muka polihedron biasa, dan ialah luas satu muka.

Ingat sin = , yang memberi kita peluang untuk menulis dalam radikal: ctg =. Memandangkan ini, kami membuat jadual:

a) untuk luas muka polihedron biasa

b) untuk jumlah luas permukaan polihedron biasa

Sekarang mari kita teruskan untuk mengira nilai sudut dihedral bagi polihedron sekata di tepinya. Untuk tetrahedron biasa dan kubus, anda boleh mencari nilai sudut ini dengan mudah.

Dalam dodekahedron biasa, semua sudut satah mukanya adalah sama, oleh itu, menggunakan teorem kosinus untuk sudut trihedral kepada mana-mana sudut tiga segi tiga dodekahedron yang diberikan pada bucunya, kita dapat: cos, dari mana

Pada ABCDMF oktahedron biasa yang digambarkan, anda boleh melihat bahawa sudut dihedral di tepi oktahedron ialah 2arctg.

Untuk mencari nilai sudut dihedral di pinggir ikosahedron sekata, kita boleh mempertimbangkan sudut trihedral ABCD pada bucu A: sudut satahnya BAC dan CAD adalah sama, dan sudut satah ketiga BAD, dengan sudut dihedral B (AC)D = pembohongan, adalah sama dengan (BCDMF - pentagon sekata ). Dengan teorem kosinus untuk sudut trihedral ABCD kita ada: . Memandangkan itu, kita sampai ke mana. Oleh itu, sudut dihedral di pinggir ikosahedron adalah sama.

Jadi, kita mendapat jadual nilai sudut dihedral berikut di tepi polyhedra biasa.

Sebelum mencari isipadu satu atau satu lagi polihedron biasa, kita mula-mula membincangkan cara mencari isipadu polihedron sekata dalam bentuk umum.

Cuba buktikan dahulu bahawa jika pusat setiap muka mana-mana polihedron biasa ialah garis lurus, berserenjang dengan satah muka ini, maka semua garisan yang dilukis akan bersilang pada satu titik TENTANG, jauh dari semua muka polihedron tertentu dengan jarak yang sama, yang kita nyatakan dengan r. titik TENTANG ternyata menjadi pusat sfera yang tertulis dalam polyhedron tertentu, dan r- jejarinya. Dengan menyambungkan titik yang terhasil TENTANG dengan semua bucu polihedron yang diberikan, kita akan membahagikannya kepada Г piramid sama antara satu sama lain (Г ialah bilangan muka polihedron sekata): tapak piramid yang terbentuk ialah r. Kemudian isipadu polihedron ini adalah sama dengan jumlah isipadu semua piramid ini. Oleh kerana polihedron adalah sekata, isipadunya V boleh didapati menggunakan formula:

Ia kekal untuk mencari panjang jejari r.

Untuk melakukan ini, dengan menyambungkan titik TENTANG dengan bahagian tengah KEPADA tepi polihedron, cuba pastikan bahawa senget KO kepada muka polihedron yang mengandungi tepi, buat sudut dengan satah muka ini sama dengan separuh nilai sudut dihedral pada tepi polihedron ini; unjuran adalah serong KO ke atas satah muka ini tergolong dalam apotemanya dan sama dengan jejari bulatan yang tertulis di dalamnya. Kemudian

di mana p ialah separuh perimeter muka. Kemudian daripada (1) dan (2) kita memperoleh formula untuk mengira isipadunya yang sama dengan semua polyhedra biasa:

Formula ini sama sekali tidak diperlukan untuk mencari isipadu kubus, tetrahedron biasa dan oktahedron, tetapi ia menjadikannya agak mudah untuk mencari isipadu ikosahedron dan dodekahedron biasa.