Struktur penyelesaian am persamaan pembezaan homogen linear. Struktur penyelesaian umum

Untuk tidak homogen linear persamaan pembezaan n- pesanan

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

di mana y = y(x) - Tidak fungsi yang diketahui, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - diketahui, berterusan, adil:
1) jika y 1(x) Dan y 2(x) - dua penyelesaian Tidak persamaan homogen, kemudian fungsi
y(x) = y 1(x) - y 2(x) ialah penyelesaian persamaan homogen yang sepadan;
2) jika y 1(x) penyelesaian persamaan tak homogen, dan y 2(x) ialah penyelesaian persamaan homogen yang sepadan, kemudian fungsinya
y(x) = y 1(x) + y 2(x) ialah penyelesaian bagi persamaan tak homogen;
3) jika y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen, dan ych(x) - keputusan sewenang-wenangnya persamaan tak homogen,
kemudian untuk mana-mana nilai awal
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Ungkapan
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
dipanggil penyelesaian biasa persamaan pembezaan tak homogen linear n-perintah ke-.

Untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan tak homogen dengan pekali malar dengan bahagian yang betul dalam borang:
pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)dosa( bx),
di mana pk(x), Q m(x) - polinomial darjah k Dan m Oleh itu, terdapat algoritma mudah untuk membina penyelesaian tertentu, dipanggil kaedah pemilihan.

Kaedah pemilihan, atau kaedah pekali tidak pasti, adalah seperti berikut.
Penyelesaian persamaan yang dikehendaki ditulis sebagai:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + QR(x)exp(a x)dosa( bx))xs,
di mana Pr(x), QR(x) - polinomial darjah r=maks( k, m) Dengan tidak diketahui pekali
pr , pr- 1, ..., hlm 1, hlm 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Oleh itu, untuk mencari penyelesaian biasa persamaan pembezaan tak homogen linear dengan pekali malar berikut
cari penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan (tulis persamaan ciri, cari semua punca persamaan ciri l 1, l 2, ... , ln, menulis sistem asas keputusan y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
cari sebarang penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen ych(x);
tulis ungkapan untuk penyelesaian umum
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar dengan sebelah kanan jenis istimewa. Kaedah pekali tak tentu.

Persamaan pembezaan bentuk (1)

di mana , f ialah fungsi yang diketahui, dipanggil persamaan pembezaan linear bagi tertib ke-n dengan pekali malar. Jika , maka persamaan (1) dipanggil homogen, sebaliknya ia dipanggil tidak homogen.

Untuk persamaan tak homogen linear dengan pekali malar dan dengan sebelah kanan bentuk khas, iaitu, terdiri daripada hasil tambah dan hasil fungsi , penyelesaian tertentu boleh dicari dengan kaedah pekali tak tentu. Bentuk penyelesaian tertentu bergantung pada punca-punca persamaan ciri. Di bawah ialah jadual jenis penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen linear dengan sisi kanan khas.

satah kompleks. Modulus dan hujah bagi nombor kompleks. Nilai utama hujah. deria geometri

Nombor kompleks ditulis sebagai: a + bi. Di sini a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan, i.e. i 2 \u003d -1. Nombor a dipanggil absis, dan b dipanggil ordinat bagi nombor kompleks a + bi. Dua nombor kompleks a + bi dan a - bi dipanggil nombor kompleks konjugasi.

Perwakilan geometri nombor kompleks. Nombor sebenar diwakili oleh titik pada garis nombor:

Di sini titik A bermaksud nombor -3, titik B ialah nombor 2, dan O ialah sifar. Sebaliknya, nombor kompleks diwakili oleh titik pada satah koordinat. Untuk ini, kami memilih koordinat segi empat tepat (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua-dua paksi. Kemudian nombor kompleks a + bi akan diwakili oleh titik P dengan absis a dan ordinat b (lihat Rajah). Sistem koordinat ini dipanggil satah kompleks.

Modulus nombor kompleks ialah panjang OP vektor yang mewakili nombor kompleks pada satah koordinat (kompleks). Modulus nombor kompleks a+ bi dilambangkan dengan | a + bi | atau huruf r dan sama dengan:

Nombor kompleks konjugat mempunyai modulus yang sama. __

Argumen nombor kompleks ialah sudut antara paksi OX dan vektor OP yang mewakili nombor kompleks itu. Oleh itu, tan = b / a .

D U pesanan yang lebih tinggi

Seperti yang telah kita katakan, persamaan pembezaan boleh mengandungi derivatif pelbagai susunan.

Persamaan pembezaan tersebut mempunyai penyelesaian yang mengandungi seberapa banyak pemalar arbitrari penyepaduan → apakah susunan persamaan pembezaan, i.e. untuk persamaan pembezaan tertib ke-2, akan ada dua pemalar arbitrari C1 dan C2, untuk ke-3 →C1, C2, dan C3, dsb.

Oleh itu, penyelesaian umum (kamiran am) bagi persamaan pembezaan sedemikian akan menjadi fungsi

.

Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan tersebut, adalah perlu untuk menetapkan seberapa banyak keadaan awal sebagai susunan persamaan pembezaan, atau berapa banyak pemalar arbitrari yang diperoleh dalam penyelesaian umum.

D jumlah perbezaan. Faktor penyepaduan

Persamaan pembezaan bentuk dipanggil persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan jika sebelah kirinya ialah jumlah pembezaan beberapa fungsi lancar, iaitu Jika , . Perlu dan keadaan yang mencukupi kerana kewujudan fungsi sedemikian mempunyai bentuk:

Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan dalam jumlah pembezaan, anda perlu mencari fungsi. Kemudian penyelesaian umum persamaan pembezaan boleh ditulis dalam bentuk untuk pemalar arbitrari C.

Faktor penyepaduan bagi persamaan pembezaan

fungsi sedemikian dipanggil, selepas pendaraban yang mana persamaan pembezaan bertukar menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan. Jika fungsi M dan N dalam persamaan mempunyai terbitan separa berterusan dan tidak lenyap pada masa yang sama, maka faktor penyepaduan wujud. Walau bagaimanapun, kaedah umum tidak wujud untuk mencarinya.

Struktur penyelesaian umum LNDE

Pertimbangkan persamaan pembezaan tak homogen linear

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− walau apa pun titik awal (x0, y0, ) , x0∈ , terdapat nilai C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 supaya fungsi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) memenuhi keadaan awal y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Penegasan berikut adalah benar (teorem mengenai struktur penyelesaian umum persamaan tak homogen linear).

Jika semua pekali persamaan persamaan pembezaan homogen linear adalah selanjar pada segmen , dan fungsi y1(x), y2(x),..., yn(x) membentuk sistem penyelesaian persamaan homogen yang sepadan, maka penyelesaian am bagi persamaan tak homogen mempunyai bentuk

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

dengan C1,...,Cn ialah pemalar arbitrari, y*(x) ialah penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen.

LNDE daripada pesanan ke-2

Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua.

Persamaan bentuk y " + py" + qy \u003d f (x), dengan p dan q ialah nombor nyata, f(x) - fungsi berterusan, dipanggil persamaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Penyelesaian umum persamaan ialah hasil tambah penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen dan penyelesaian umum persamaan homogen sepadan. Mencari penyelesaian umum bagi persamaan homogen telah dikaji. Untuk mencari penyelesaian tertentu, kami menggunakan kaedah pekali tak tentu, yang tidak mengandungi proses penyepaduan.

Pertimbangkan jenis lain sisi kanan persamaan y" + py" + qy = f(x).

1) Bahagian kanan mempunyai bentuk F(x) = Pn(x), dengan Pn(x) ialah polinomial bagi darjah n. Kemudian penyelesaian tertentu y boleh dicari dalam bentuk di mana Qn (x) ialah polinomial yang sama darjah dengan Pn (x), dan r ialah bilangan punca sifar bagi persamaan ciri.

Contoh. Cari penyelesaian umum bagi persamaan y "- 2y" + y \u003d x + 1.

Penyelesaian: Penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan mempunyai bentuk Y = ex (C1 + C2x) . Oleh kerana tiada punca bagi persamaan ciri k2 – 2k + 1 = 0 adalah sama dengan sifar (k1 = k2 = 1), kami sedang mencari penyelesaian tertentu dalam bentuk di mana A dan B adalah pekali yang tidak diketahui. Membezakan dua kali dan menggantikan, " dan " dalam persamaan ini, kita dapati -2A + Ax + B = x + 1.

Menyamakan pekali pada kuasa x yang sama dalam kedua-dua bahagian persamaan: A = 1, –2A + B = 1, - kita dapati A = 1, B = 3. Jadi, penyelesaian tertentu persamaan yang diberikan mempunyai bentuk = x + 3, dan penyelesaian amnya ialah y = ex (C1 + C2x) + x + 3.

2) Bahagian kanan mempunyai bentuk f(x) = eax Pn(x), dengan Рn (х) ialah polinomial bagi darjah n. Kemudian penyelesaian tertentu harus dicari dalam bentuk di mana Qn(x) ialah polinomial yang sama darjah dengan Pn(x), dan r ialah bilangan punca persamaan ciri yang sama dengan a. Jika a = 0, maka f(x) = Pn(x), iaitu kes 1 berlaku.

LODU dengan pekali malar.

Pertimbangkan persamaan pembezaan

di manakah pemalar sebenar.

Untuk mencari penyelesaian umum Persamaan (8), kita meneruskan seperti berikut. Kami menyusun persamaan ciri untuk persamaan (8): (9)

Biarkan punca persamaan (9), dan di antaranya mungkin terdapat gandaan. mungkin kes berikut:

a) - nyata dan berbeza. Penyelesaian umum persamaan homogen ialah ;

b) punca-punca persamaan ciri adalah nyata, tetapi terdapat gandaan di antara mereka, i.e. , maka penyelesaian umum ialah

c) jika punca-punca persamaan ciri adalah kompleks (k=a±bi), maka penyelesaian umum mempunyai bentuk .

Struktur jumlah. Penyelesaian LODE dari urutan ke-2

Pertimbangkan persamaan pembezaan homogen linear

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Penyelesaian umum persamaan ini pada selang ialah fungsi y = Φ(x, C1,..., Cn) bergantung pada n pemalar arbitrari C1,..., Cn dan memuaskan. syarat berikut:

− untuk mana-mana nilai yang dibenarkan pemalar C1,..., Cn, fungsi y = Φ(x, C1,..., Cn) ialah penyelesaian kepada persamaan pada ;

− walau apa pun titik awal (x0, y0, ) , x0∈ , terdapat nilai C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 supaya fungsi y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) memenuhi keadaan awal y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Pengetahuan tentang sistem asas penyelesaian kepada persamaan memungkinkan untuk membina penyelesaian umum untuk persamaan ini. Ingat takrif penyelesaian am bagi persamaan pembezaan P-perintah ke-

Fungsi
, ditakrifkan dalam beberapa julat pembolehubah
, pada setiap titik di mana kewujudan dan keunikan penyelesaian masalah Cauchy berlaku, dan yang mempunyai terbitan separa berterusan berkenaan dengan X terpulang kepada pesanan P inklusif, dipanggil penyelesaian umum persamaan (15) dalam kawasan yang ditentukan, jika:

sistem persamaan

boleh diselesaikan di kawasan yang ditentukan berkenaan dengan pemalar arbitrari
, Jadi

(16)

2. fungsi
ialah penyelesaian kepada persamaan (15) untuk semua nilai pemalar arbitrari
, dinyatakan oleh formula (16), apabila titik
tergolong dalam kawasan yang dipertimbangkan.

Teorem 1. (pada struktur penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen linear). Jika fungsi
,
, …,
membentuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan linear homogen P-perintah ke-
dalam selang waktu
, iaitu dalam selang kesinambungan pekali, maka fungsi
ialah penyelesaian umum persamaan ini dalam domain D:
,
,
.

Bukti. Pada setiap titik kawasan yang ditunjukkan, kewujudan dan keunikan penyelesaian masalah Cauchy berlaku. Mari kita tunjukkan bahawa fungsi
memenuhi definisi penyelesaian umum kepada persamaan P-perintah ke-.

sistem persamaan

boleh diselesaikan di kawasan tersebut D berkenaan dengan pemalar sewenang-wenangnya
kerana penentu sistem ini ialah penentu Wronsky untuk sistem asas penyelesaian (12) dan, oleh itu, adalah bukan sifar.

2. Fungsi
dengan sifat penyelesaian persamaan linear homogen ialah penyelesaian persamaan
untuk semua nilai pemalar arbitrari
.

Oleh itu, fungsi
adalah penyelesaian umum kepada persamaan
di kawasan D. Teorem telah terbukti.

Contoh.

.

Penyelesaian persamaan ini jelas merupakan fungsi
,
. Penyelesaian ini membentuk sistem penyelesaian asas, kerana

.

Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan asal ialah fungsi .

Struktur penyelesaian am bagi persamaan linear tak homogen tertib ke-n.

Pertimbangkan yang tidak homogen persamaan linear P-perintah ke-

Mari kita tunjukkan bahawa, seperti dalam kes persamaan tak homogen linear tertib pertama, penyepaduan persamaan (1) dikurangkan kepada penyepaduan persamaan homogen, jika satu penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen (1) diketahui.

biarlah
- penyelesaian tertentu persamaan (1), i.e.

,
. (2)

Mari letak
, Di mana z ialah fungsi baru yang tidak diketahui daripada X. Kemudian persamaan (1) mengambil bentuk

atau
,

dari mana, berdasarkan identiti (2), kita memperoleh

. (3)

Ini ialah persamaan linear homogen, bahagian kirinya adalah sama dengan persamaan tak homogen yang dianggap (1). Itu. kami telah memperoleh persamaan homogen yang sepadan dengan persamaan tidak homogen ini (1).

,
, …,
,

ialah sistem asas penyelesaian bagi persamaan homogen (3). Kemudian semua penyelesaian persamaan ini terkandung dalam formula untuk penyelesaian amnya, i.e.

.

Gantikan nilai ini z ke dalam formula
, kita mendapatkan

.

Fungsi yang terhasil ialah penyelesaian umum persamaan (1) di rantau ini D.

Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa penyelesaian am bagi persamaan tidak homogen linear (1) adalah sama dengan hasil tambah beberapa penyelesaian tertentu bagi persamaan ini dan penyelesaian am bagi persamaan linear homogen yang sepadan.

Contoh. Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut

.

Penyelesaian. Kami ada, penyelesaian tertentu bagi persamaan linear tak homogen ini mempunyai bentuk

.

Penyelesaian am bagi persamaan homogen yang sepadan
, seperti yang kami tunjukkan sebelum ini, mempunyai borang

Oleh itu, penyelesaian umum kepada persamaan asal ialah:
.

Dalam banyak kes, tugas mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan tidak homogen dimudahkan dengan menggunakan sifat berikut:

Teorem. Jika dalam persamaan (1) bahagian kanan mempunyai bentuk

dan diketahui bahawa
, A - penyelesaian khusus persamaan
, kemudian jumlah penyelesaian khusus ini +akan menjadi penyelesaian tertentu bagi persamaan (1).

Bukti. Sesungguhnya, sejak dengan syarat adalah penyelesaian khusus kepada persamaan
, A - penyelesaian khusus persamaan
, Itu

,
.

mereka. +ialah penyelesaian tertentu bagi persamaan (1).