Gabungan yang mungkin. Gabungan

Pertimbangkan masalah mengira bilangan sampel daripada set tertentu secara umum. Biar ada beberapa set N, yang terdiri daripada n elemen. Mana-mana subset daripada m elemen boleh dipertimbangkan tanpa mengambil kira susunan mereka, dan dengan itu, i.e. apabila menukar pesanan, pergi ke yang lain m- persampelan.

Kami merumuskan definisi berikut:

Penempatan tanpa ulangan

Dengan meletakkan tanpa mengulangin unsur olehm Nmengandungimpelbagai elemen.

Ia berikutan daripada takrifan bahawa dua susunan berbeza antara satu sama lain, baik dari segi unsur dan susunannya, walaupun unsur-unsur itu sama.

Teorem 3. Bilangan peletakan tanpa pengulangan adalah sama dengan produk m faktor, yang terbesar adalah bilangannya n . Menulis:

Permutasi tanpa pengulangan

Permutasi daripadan unsur dipanggil susunan berbeza bagi setN.

Ia berikutan daripada takrifan ini bahawa dua pilih atur hanya berbeza dalam susunan unsur dan boleh dianggap sebagai kes susunan khas.

Teorem 4. Bilangan pilih atur berbeza tanpa pengulangan dikira dengan formula

Gabungan tanpa pengulangan

Gabungan tanpa pengulangann unsur olehm sebarang subset tak tertib bagi suatu set dipanggilNmengandungim pelbagai elemen.

Ia mengikuti dari definisi bahawa dua kombinasi hanya berbeza dalam unsur, susunannya tidak penting.

Teorem 5. Bilangan gabungan tanpa ulangan dikira menggunakan salah satu daripada formula berikut:

Contoh 1. Terdapat 5 kerusi di dalam bilik. Dalam berapa banyak cara anda boleh meletakkan

a) 7 orang; b) 5 orang; c) 3 orang?

Penyelesaian: a) Pertama sekali, anda perlu memilih 5 orang daripada 7 orang untuk duduk di atas kerusi. Ia boleh dilakukan
cara. Dengan setiap pilihan lima tertentu, seseorang boleh menghasilkan
pilih atur di tempat. Mengikut teorem pendaraban, bilangan kaedah pendaratan yang dikehendaki adalah sama.

Ulasan: Masalahnya boleh diselesaikan hanya menggunakan teorem produk, berhujah seperti berikut: terdapat 7 pilihan untuk mendarat di kerusi 1, 6 pilihan di kerusi ke-2, 5 pada ke-3, 4 pada ke-4 dan ke-5 -3. Maka bilangan cara untuk menempatkan 7 orang di atas 5 kerusi adalah sama dengan . Penyelesaian adalah konsisten dalam kedua-dua cara, kerana

b) Penyelesaiannya jelas -

V) - bilangan pilihan kerusi yang diduduki.

- bilangan penempatan tiga orang di atas tiga kerusi terpilih.

Jumlah pilihan ialah .

Tidak sukar untuk menyemak formula
;

;

Bilangan semua subset bagi set yang terdiri daripada n elemen.

Penempatan dengan pengulangan

Penempatan dengan pengulangan daripadan unsur olehm ialah mana-mana subset tertib bagi suatu setN, yang terdiri daripadam elemen supaya mana-mana elemen boleh dimasukkan dalam subset ini dari 1 hinggamkali, atau tidak sama sekali.

Bilangan peletakan dengan pengulangan dilambangkan dan dikira mengikut formula, yang merupakan akibat daripada teorem pendaraban:

Contoh 2. Biarkan satu set tiga huruf N = (a, b, c) diberikan. Mari kita panggil perkataan mana-mana set huruf yang disertakan dalam set ini. Mari cari bilangan perkataan panjang 2 yang boleh dibentuk daripada huruf ini:
.

Ulasan: Jelas sekali, pengaturan dengan pengulangan juga boleh dipertimbangkan
.

Contoh 3. Ia dikehendaki daripada huruf (a, b) untuk menyusun semua perkataan yang mungkin panjangnya 3. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Jawab:

Kombinatorik ialah cabang matematik yang mengkaji soalan tentang berapa banyak kombinasi berbeza, tertakluk kepada syarat tertentu, boleh dibuat daripada objek yang diberikan. Asas kombinatorik sangat penting untuk menganggar kebarangkalian kejadian rawak, kerana ia adalah mereka yang memungkinkan untuk mengira bilangan asas yang mungkin bagi senario yang berbeza untuk perkembangan peristiwa.

Formula kombinatorik asas

Biarkan terdapat k kumpulan unsur, dan kumpulan ke-i terdiri daripada unsur n i. Mari pilih satu elemen daripada setiap kumpulan. Kemudian jumlah bilangan N cara di mana pilihan sedemikian boleh dibuat ditentukan oleh hubungan N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Contoh 1 Mari kita terangkan peraturan ini dengan contoh mudah. Biarkan terdapat dua kumpulan unsur, kumpulan pertama terdiri daripada n 1 unsur, dan yang kedua - daripada n 2 unsur. Berapa banyak pasangan unsur yang berbeza boleh dibuat daripada dua kumpulan ini supaya pasangan itu mengandungi satu unsur daripada setiap kumpulan? Katakan kita mengambil elemen pertama dari kumpulan pertama dan, tanpa mengubahnya, melalui semua pasangan yang mungkin, menukar hanya elemen dari kumpulan kedua. Terdapat n 2 pasangan sedemikian untuk elemen ini. Kemudian kami mengambil elemen kedua dari kumpulan pertama dan juga membuat semua pasangan yang mungkin untuknya. Terdapat juga n 2 pasangan sedemikian. Oleh kerana hanya terdapat n 1 elemen dalam kumpulan pertama, akan ada n 1 *n 2 pilihan yang mungkin.

Contoh 2 Berapakah bilangan nombor genap tiga digit yang boleh dibuat daripada digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika digit itu boleh diulang?
Penyelesaian: n 1 \u003d 6 (kerana anda boleh mengambil mana-mana digit daripada 1, 2, 3, 4, 5, 6 sebagai digit pertama), n 2 \u003d 7 (kerana anda boleh mengambil sebarang digit daripada 0 sebagai digit kedua , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (kerana anda boleh mengambil sebarang digit dari 0, 2, 4, 6 sebagai digit ketiga).
Jadi, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Dalam kes apabila semua kumpulan terdiri daripada bilangan elemen yang sama, i.e. n 1 =n 2 =...n k =n kita boleh mengandaikan bahawa setiap pilihan dibuat daripada kumpulan yang sama, dan elemen itu kembali kepada kumpulan selepas pilihan. Maka bilangan semua cara memilih adalah sama dengan n k . Cara memilih dalam kombinatorik ini dipanggil pulangkan sampel.

Contoh 3 Berapakah bilangan empat digit yang boleh dibuat daripada nombor 1, 5, 6, 7, 8?
Penyelesaian. Terdapat lima kemungkinan untuk setiap digit nombor empat digit, jadi N=5*5*5*5=5 4 =625.

Pertimbangkan satu set yang terdiri daripada n unsur. Set dalam kombinatorik ini dipanggil Populasi umum.

Bilangan peletakan daripada n elemen mengikut m

Definisi 1. Penginapan dari n unsur oleh m dalam kombinatorik dipanggil sebarang set yang dipesan daripada m pelbagai elemen yang dipilih daripada populasi umum dalam n elemen.

Contoh 4 Susunan berbeza bagi tiga elemen (1, 2, 3) dua dengan dua akan menjadi set (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3). , 2 ). Peletakan boleh berbeza antara satu sama lain dalam unsur dan dalam susunannya.

Bilangan peletakan dalam kombinatorik dilambangkan dengan A n m dan dikira dengan formula:

Ulasan: n!=1*2*3*...*n (baca: "en factorial"), sebagai tambahan, diandaikan bahawa 0!=1.

Contoh 5. Berapakah bilangan dua digit yang terdapat di mana digit puluhan dan digit unit adalah berbeza dan ganjil?
Penyelesaian: kerana terdapat lima digit ganjil iaitu 1, 3, 5, 7, 9, maka masalah ini dikurangkan kepada memilih dan meletakkan dua daripada lima digit yang berbeza dalam dua kedudukan yang berbeza, iaitu. nombor yang diberikan ialah:

Definisi 2. Gabungan daripada n unsur oleh m dalam kombinatorik dipanggil sebarang set tidak teratur daripada m pelbagai elemen yang dipilih daripada populasi umum dalam n elemen.

Contoh 6. Untuk set (1, 2, 3), gabungannya ialah (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Bilangan gabungan n unsur oleh m

Bilangan gabungan dilambangkan dengan C n m dan dikira dengan formula:

Contoh 7 Dalam berapa banyak cara pembaca boleh memilih dua daripada enam buku yang tersedia?

Penyelesaian: Bilangan cara adalah sama dengan bilangan gabungan enam buku dengan dua, i.e. sama dengan:

Pilih atur bagi n unsur

Definisi 3. Pilihalih daripada n unsur dipanggil sebarang set yang dipesan unsur-unsur ini.

Contoh 7a. Semua pilih atur yang mungkin bagi satu set yang terdiri daripada tiga elemen (1, 2, 3) ialah: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Bilangan pilih atur yang berbeza bagi n unsur dilambangkan dengan P n dan dikira dengan formula P n =n!.

Contoh 8 Dalam berapa banyak cara tujuh buku oleh pengarang berbeza boleh disusun dalam satu baris di atas rak?

Penyelesaian: masalah ini adalah mengenai bilangan pilih atur tujuh buku yang berbeza. Terdapat P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 cara untuk menyusun buku.

Perbincangan. Kami melihat bahawa bilangan gabungan yang mungkin boleh dikira mengikut peraturan yang berbeza (permutasi, gabungan, peletakan), dan hasilnya akan berbeza, kerana prinsip mengira dan formula itu sendiri adalah berbeza. Melihat dengan teliti pada definisi, anda dapat melihat bahawa hasilnya bergantung pada beberapa faktor pada masa yang sama.

Pertama, daripada berapa banyak elemen kita boleh menggabungkan set mereka (berapa besar populasi umum unsur).

Kedua, hasilnya bergantung pada saiz set elemen yang kita perlukan.

Akhir sekali, adalah penting untuk mengetahui sama ada susunan unsur dalam set itu penting untuk kita. Mari kita terangkan faktor terakhir dengan contoh berikut.

Contoh 9 Terdapat 20 orang pada mesyuarat ibu bapa. Berapa banyak pilihan yang berbeza untuk komposisi jawatankuasa induk yang ada jika ia harus merangkumi 5 orang?
Penyelesaian: Dalam contoh ini, kami tidak berminat dengan susunan nama dalam senarai jawatankuasa. Jika, akibatnya, orang yang sama muncul dalam komposisinya, maka dari segi makna bagi kami ini adalah pilihan yang sama. Oleh itu, kita boleh menggunakan formula untuk mengira nombor gabungan daripada 20 elemen, 5.

Perkara akan berbeza jika setiap ahli jawatankuasa pada mulanya bertanggungjawab untuk bidang kerja tertentu. Kemudian, dengan senarai gaji jawatankuasa yang sama, 5 mungkin di dalamnya! pilihan pilih atur perkara itu. Bilangan pilihan yang berbeza (kedua-duanya dari segi komposisi dan bidang tanggungjawab) ditentukan dalam kes ini dengan nombor penempatan daripada 20 elemen, 5.

Tugasan untuk ujian kendiri
1. Berapakah bilangan nombor genap tiga digit yang boleh dibuat daripada nombor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 jika nombor itu boleh diulang?

2. Berapakah bilangan lima digit nombor yang dibaca dengan cara yang sama dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri?

3. Terdapat sepuluh mata pelajaran di dalam kelas dan lima pelajaran sehari. Dalam berapa banyak cara anda boleh membuat jadual untuk satu hari?

4. Berapa banyak cara 4 perwakilan boleh dipilih untuk persidangan itu jika terdapat 20 orang dalam kumpulan?

5. Berapa banyak cara lapan surat yang berbeza boleh dimasukkan ke dalam lapan sampul surat yang berbeza jika hanya satu huruf diletakkan dalam setiap sampul surat?

6. Daripada tiga ahli matematik dan sepuluh ahli ekonomi perlu dibuat satu suruhanjaya yang terdiri daripada dua ahli matematik dan enam ahli ekonomi. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Perlu diingatkan bahawa kombinatorik adalah bahagian bebas bagi matematik yang lebih tinggi (dan bukan sebahagian daripada terver) dan buku teks yang berat telah ditulis dalam disiplin ini, yang kandungannya, kadangkala, tidak lebih mudah daripada algebra abstrak. Walau bagaimanapun, sebahagian kecil pengetahuan teori akan mencukupi untuk kami, dan dalam artikel ini saya akan cuba menganalisis asas topik dengan masalah gabungan biasa dalam bentuk yang boleh diakses. Dan ramai di antara anda akan membantu saya ;-)

Apa yang kita akan lakukan? Dalam erti kata yang sempit, kombinatorik ialah pengiraan pelbagai kombinasi yang boleh dibuat daripada set tertentu diskret objek. Objek difahami sebagai mana-mana objek terpencil atau makhluk hidup - manusia, haiwan, cendawan, tumbuhan, serangga, dll. Pada masa yang sama, kombinatorik sama sekali tidak peduli bahawa set itu terdiri daripada pinggan semolina, besi pematerian dan katak paya. Pada asasnya penting bahawa objek ini boleh dikira - terdapat tiga daripadanya. (kebijaksanaan) dan adalah penting bahawa tiada satu pun daripada mereka yang serupa.

Dengan banyak perkara yang telah diselesaikan, sekarang mengenai kombinasi. Jenis gabungan yang paling biasa ialah pilih atur objek, pemilihannya daripada set (gabungan) dan pengedaran (peletakan). Mari lihat bagaimana ini berlaku sekarang:

Pilih atur, gabungan dan peletakan tanpa pengulangan

Jangan takut dengan istilah yang tidak jelas, terutamanya kerana sesetengah daripada mereka sebenarnya tidak begitu berjaya. Mari kita mulakan dengan ekor tajuk - apa yang " tanpa pengulangan"? Ini bermakna dalam bahagian ini kita akan mempertimbangkan set yang terdiri daripada pelbagai objek. Sebagai contoh, ... tidak, saya tidak akan menawarkan bubur dengan besi pematerian dan katak, sesuatu yang lebih lazat adalah lebih baik =) Bayangkan bahawa sebiji epal, pir dan pisang muncul di atas meja di hadapan anda (jika ada mana-mana, keadaan boleh disimulasikan secara sebenar). Kami meletakkan buah-buahan dari kiri ke kanan dalam susunan berikut:

epal / pir / pisang

Soalan satu: Dalam berapa banyak cara ia boleh disusun semula?

Satu kombinasi telah ditulis di atas dan tidak ada masalah dengan yang lain:

epal / pisang / pir
pir / epal / pisang
pir / pisang / epal
pisang / epal / pir
pisang / pir / epal

Jumlah: 6 kombinasi atau 6 pilih atur.

Sebenarnya, tidak sukar untuk menyenaraikan semua kes yang mungkin di sini, tetapi bagaimana jika terdapat lebih banyak item? Sudah dengan empat buah yang berbeza, bilangan gabungan akan meningkat dengan ketara!

Sila buka bahan rujukan (Manual mudah dicetak) dan dalam perenggan nombor 2, cari formula untuk bilangan pilih atur.

Tiada azab - 3 objek boleh disusun semula mengikut cara.

Soalan dua: Dalam berapa banyak cara anda boleh memilih a) satu buah, b) dua buah, c) tiga buah, d) sekurang-kurangnya satu buah?

Kenapa pilih? Jadi mereka menaikkan selera dalam perenggan sebelumnya - untuk makan! =)

a) Satu buah boleh dipilih, jelas, dalam tiga cara - ambil sama ada epal, atau pir, atau pisang. Kiraan rasmi adalah berdasarkan formula untuk bilangan gabungan:

Entri dalam kes ini harus difahami seperti berikut: "dalam berapa banyak cara anda boleh memilih 1 buah daripada tiga?"

b) Kami menyenaraikan semua kemungkinan kombinasi dua buah:

epal dan pir;
epal dan pisang;
pir dan pisang.

Bilangan kombinasi mudah disemak menggunakan formula yang sama:

Entri itu difahamkan sama: "dalam berapa banyak cara anda boleh memilih 2 buah daripada tiga?".

c) Dan akhirnya, tiga buah boleh dipilih dengan cara yang unik:

Ngomong-ngomong, formula untuk bilangan kombinasi juga masuk akal untuk sampel kosong:
Dengan cara ini, anda boleh memilih bukan satu buah - sebenarnya, tidak mengambil apa-apa dan itu sahaja.

d) Berapa banyak cara yang boleh anda ambil sekurang-kurangnya satu buah? Syarat "sekurang-kurangnya satu" menunjukkan bahawa kita berpuas hati dengan 1 buah (mana-mana) atau mana-mana 2 buah atau kesemua 3 buah:
cara anda boleh memilih sekurang-kurangnya satu buah.

Pembaca yang telah mempelajari dengan teliti pelajaran pengenalan tentang teori kebarangkalian sudah memikirkan sesuatu. Tetapi tentang maksud tanda tambah itu nanti.

Untuk menjawab soalan seterusnya, saya memerlukan dua orang sukarelawan ... ... Nah, kerana tiada siapa yang mahu, maka saya akan memanggil lembaga =)

Soalan tiga: Dalam berapa banyak cara satu buah boleh diedarkan kepada Dasha dan Natasha?

Untuk mengedarkan dua buah, anda mesti memilihnya terlebih dahulu. Menurut perenggan "menjadi" soalan sebelumnya, ini boleh dilakukan dengan cara, saya akan menulis semula mereka sekali lagi:

epal dan pir;
epal dan pisang;
pir dan pisang.

Tetapi kini akan terdapat dua kali lebih banyak kombinasi. Pertimbangkan, sebagai contoh, sepasang buah pertama:
anda boleh merawat Dasha dengan epal, dan Natasha dengan pir;
atau sebaliknya - Dasha akan mendapat pir, dan Natasha akan mendapat epal.

Dan pilih atur sedemikian mungkin untuk setiap sepasang buah.

Pertimbangkan kumpulan pelajar yang sama yang pergi ke tarian itu. Dalam berapa banyak cara seorang lelaki dan perempuan boleh digandingkan?

Cara anda boleh memilih 1 lelaki muda;
cara anda boleh memilih 1 perempuan.

Jadi seorang lelaki muda Dan seorang gadis boleh dipilih: cara.

Apabila 1 objek dipilih daripada setiap set, maka prinsip pengiraan gabungan berikut adalah sah: “ setiap objek daripada satu set boleh membentuk pasangan dengan setiap objek set lain.

Iaitu, Oleg boleh menjemput mana-mana daripada 13 gadis untuk menari, Evgeny - juga mana-mana daripada tiga belas, dan orang muda lain mempunyai pilihan yang sama. Jumlah: pasangan yang mungkin.

Perlu diingatkan bahawa dalam contoh ini, "sejarah" pembentukan pasangan tidak penting; Walau bagaimanapun, jika inisiatif diambil kira, maka bilangan gabungan mesti digandakan, kerana setiap daripada 13 gadis itu juga boleh menjemput mana-mana lelaki untuk menari. Semuanya bergantung pada syarat tugas tertentu!

Prinsip yang sama adalah sah untuk kombinasi yang lebih kompleks, contohnya: dalam berapa banyak cara boleh dua lelaki muda dipilih Dan dua gadis untuk mengambil bahagian dalam skit KVN?

Kesatuan DAN menunjukkan dengan jelas bahawa gabungan mesti didarabkan:

Kumpulan artis yang mungkin.

Dalam kata lain, setiap satu sepasang lelaki (45 pasangan unik) boleh bersaing dengan mana-mana sepasang gadis (78 pasangan unik). Dan jika kita mempertimbangkan pengagihan peranan antara peserta, maka akan ada lebih banyak kombinasi. ... Saya benar-benar mahu, tetapi saya tetap akan menahan diri daripada meneruskan, supaya tidak menanamkan dalam diri anda kebencian terhadap kehidupan pelajar =).

Peraturan pendaraban digunakan untuk lebih banyak pengganda:

Tugasan 8

Berapakah bilangan nombor tiga digit yang boleh dibahagi dengan 5?

Penyelesaian: untuk kejelasan, kami menandakan nombor ini dengan tiga asterisk: ***

DALAM ratusan tempat anda boleh menulis mana-mana nombor (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9). Sifar adalah tidak baik, kerana dalam kes ini bilangannya tidak lagi menjadi tiga digit.

Tetapi dalam tempat berpuluh-puluh(“di tengah”) anda boleh memilih mana-mana daripada 10 digit: .

Mengikut syarat, nombor itu mesti boleh dibahagi dengan 5. Nombor itu boleh dibahagi dengan 5 jika ia berakhir dengan 5 atau 0. Oleh itu, dalam digit terkecil, kita berpuas hati dengan 2 digit.

Jumlah, ada: nombor tiga digit yang boleh dibahagi dengan 5.

Pada masa yang sama, kerja itu ditafsirkan seperti berikut: "9 cara anda boleh memilih nombor dalam ratusan tempat Dan 10 cara untuk memilih nombor dalam tempat berpuluh-puluh Dan 2 cara masuk digit unit»

Atau lebih mudah: setiap satu daripada 9 digit kepada ratusan tempat digabungkan dengan masing-masing daripada 10 digit tempat berpuluh-puluh dan dengan masing-masing daripada dua digit digit unit».

Jawab: 180

Dan sekarang…

Ya, saya hampir terlupa tentang ulasan yang dijanjikan untuk masalah No. 5, di mana Borya, Dima dan Volodya boleh diberikan satu kad setiap satu dengan cara yang berbeza. Pendaraban di sini mempunyai makna yang sama: dengan cara anda boleh mengeluarkan 3 kad dari dek DAN dalam setiap sampel untuk menyusun semula cara mereka.

Dan kini masalah untuk penyelesaian bebas ... sekarang saya akan datang dengan sesuatu yang lebih menarik, ... biarlah mengenai versi blackjack Rusia yang sama:

Tugasan 9

Berapa banyak kombinasi kemenangan 2 kad yang ada dalam permainan "mata"?

Bagi mereka yang tidak tahu: menang kombinasi 10 + ACE (11 mata) = 21 mata dan, mari kita pertimbangkan kombinasi kemenangan dua ace.

(urutan kad dalam mana-mana pasangan tidak penting)

Penyelesaian ringkas dan jawapan pada akhir pelajaran.

By the way, ia tidak perlu untuk mempertimbangkan contoh primitif. Blackjack adalah hampir satu-satunya permainan yang terdapat algoritma yang dibenarkan secara matematik yang membolehkan anda mengalahkan kasino. Mereka yang ingin dengan mudah boleh mendapatkan banyak maklumat tentang strategi dan taktik yang optimum. Benar, tuan seperti itu cepat jatuh ke dalam senarai hitam semua pertubuhan =)

Sudah tiba masanya untuk menyatukan bahan yang diliputi dengan beberapa tugas yang kukuh:

Tugasan 10

Vasya mempunyai 4 ekor kucing di rumah.

a) Dalam berapa banyak cara kucing boleh duduk di sudut-sudut bilik?
b) Dalam berapa banyak cara kucing boleh dibiarkan berkeliaran?
c) dalam berapa banyak cara Vasya boleh mengambil dua kucing (satu di sebelah kiri, satu lagi di sebelah kanan)?

Kami membuat keputusan: pertama, sekali lagi perlu diperhatikan bahawa masalahnya adalah mengenai berbeza objek (walaupun kucing adalah kembar seiras). Ini adalah syarat yang sangat penting!

a) Mendiamkan kucing. Pelaksanaan ini tertakluk kepada semua kucing sekali gus
+ lokasi mereka adalah penting, jadi terdapat pilih atur di sini:
cara anda boleh meletakkan kucing di sudut-sudut bilik.

Saya ulangi bahawa apabila mengubah suai, hanya bilangan objek yang berbeza dan kedudukan relatifnya yang penting. Bergantung pada moodnya, Vasya boleh meletakkan haiwan dalam separuh bulatan di atas sofa, berturut-turut di ambang tingkap, dll. - akan ada 24 pilihatur dalam semua kes. Untuk kemudahan, mereka yang ingin boleh membayangkan bahawa kucing itu berbilang warna (contohnya, putih, hitam, merah dan berjalur) dan senaraikan semua kombinasi yang mungkin.

b) Dalam berapa banyak cara kucing boleh dibiarkan berkeliaran?

Diandaikan bahawa kucing berjalan-jalan hanya melalui pintu, manakala soalan itu membayangkan sikap tidak peduli tentang bilangan haiwan - 1, 2, 3 atau semua 4 kucing boleh berjalan-jalan.

Kami mempertimbangkan semua kombinasi yang mungkin:

Cara anda boleh melepaskan berjalan-jalan seekor kucing (mana-mana daripada empat);
cara anda boleh membiarkan dua kucing berjalan-jalan (senarai sendiri pilihan);
cara anda boleh membiarkan tiga kucing berjalan-jalan (salah satu daripada empat kucing itu duduk di rumah);
cara anda boleh melepaskan semua kucing.

Anda mungkin meneka bahawa nilai yang diperoleh harus disimpulkan:
cara untuk membiarkan kucing berjalan-jalan.

Untuk peminat, saya menawarkan versi masalah yang rumit - apabila mana-mana kucing dalam mana-mana sampel boleh keluar secara rawak, melalui pintu dan melalui tingkap di tingkat 10. Akan ada lebih banyak kombinasi!

c) Dalam beberapa cara Vasya boleh mengambil dua ekor kucing?

Keadaan ini melibatkan bukan sahaja pilihan 2 haiwan, tetapi juga penempatan mereka di tangan:
cara anda boleh mengambil 2 ekor kucing.

Penyelesaian kedua: dengan cara anda boleh memilih dua kucing Dan cara-cara menanam setiap pasangan di tangan:

Jawab: a) 24, b) 15, c) 12

Nah, untuk membersihkan hati nurani saya, sesuatu yang lebih khusus mengenai pendaraban gabungan .... Biarkan Vasya mempunyai 5 ekor kucing tambahan =) Berapa banyak cara anda boleh membiarkan 2 ekor kucing berjalan-jalan Dan 1 kucing?

Iaitu, dengan masing-masing sepasang kucing boleh dilepaskan setiap kucing.

Akordion butang lain untuk keputusan bebas:

Tugasan 11

3 penumpang masuk ke dalam lif bangunan 12 tingkat. Semua orang, secara bebas daripada yang lain, boleh keluar di mana-mana (bermula dari tingkat 2) dengan kebarangkalian yang sama. Dalam beberapa cara:

1) Penumpang boleh turun di tingkat yang sama (perintah keluar tidak penting);
2) dua orang boleh turun di satu tingkat dan satu pertiga di tingkat yang lain;
3) orang ramai boleh turun di tingkat yang berbeza;
4) Bolehkah penumpang keluar dari lif?

Dan di sini mereka sering bertanya lagi, saya jelaskan: jika 2 atau 3 orang keluar di tingkat yang sama, maka perintah keluar tidak penting. FIKIRKAN, gunakan formula dan peraturan untuk gabungan tambah/darab. Sekiranya terdapat kesukaran, adalah berguna bagi penumpang untuk memberikan nama dan alasan dalam kombinasi apa yang mereka boleh keluar dari lif. Tidak perlu gusar jika ada yang tidak berjaya, sebagai contoh, titik nombor 2 agak licik.

Penyelesaian lengkap dengan ulasan terperinci pada penghujung tutorial.

Perenggan akhir dikhaskan untuk kombinasi yang juga berlaku agak kerap - menurut penilaian subjektif saya, dalam kira-kira 20-30% masalah gabungan:

Pilih atur, gabungan dan peletakan dengan ulangan

Jenis gabungan yang disenaraikan digariskan dalam perenggan No. 5 bahan rujukan Formula asas kombinatorik, bagaimanapun, sesetengah daripadanya mungkin tidak begitu jelas pada bacaan pertama. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan untuk terlebih dahulu membiasakan diri dengan contoh praktikal, dan hanya kemudian memahami rumusan umum. Pergi:

Pilih atur dengan ulangan

Dalam pilih atur dengan ulangan, seperti dalam pilih atur "biasa", keseluruhan set objek sekali gus, tetapi ada satu perkara: dalam set ini, satu atau lebih elemen (objek) diulang. Memenuhi piawaian seterusnya:

Tugasan 12

Berapa banyak kombinasi huruf yang berbeza boleh diperolehi dengan menyusun semula kad dengan huruf berikut: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Penyelesaian: sekiranya semua huruf berbeza, maka formula remeh harus digunakan, bagaimanapun, agak jelas bahawa untuk set kad yang dicadangkan, beberapa manipulasi akan berfungsi "terbiar", jadi, sebagai contoh, jika anda menukar mana-mana dua kad dengan huruf "K dalam mana-mana perkataan, ia akan menjadi perkataan yang sama. Selain itu, secara fizikal kad boleh sangat berbeza: satu boleh bulat dengan huruf bercetak "K", satu lagi adalah segi empat sama dengan huruf "K" yang dilukis. Tetapi mengikut maksud masalah, walaupun kad sedemikian dianggap sama, kerana syaratnya bertanya tentang gabungan huruf.

Semuanya sangat mudah - secara keseluruhan: 11 kad, termasuk surat:

K - diulang 3 kali;
O - diulang 3 kali;
L - diulang 2 kali;
b - diulang 1 kali;
H - diulang 1 kali;
Dan - berulang 1 kali.

Semak: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, iaitu perkara yang ingin kami periksa.

Mengikut formula bilangan pilih atur dengan ulangan:
pelbagai kombinasi huruf boleh diperolehi. Lebih daripada setengah juta!

Untuk pengiraan pantas nilai faktorial yang besar, adalah mudah untuk menggunakan fungsi Excel standard: kami menjaringkan dalam mana-mana sel =FAKTA(11) dan klik Masuk.

Dalam amalan, agak boleh diterima untuk tidak menulis formula am dan, sebagai tambahan, untuk meninggalkan faktorial unit:

Tetapi ulasan awal tentang surat berulang diperlukan!

Jawab: 554400

Satu lagi contoh tipikal pilih atur dengan ulangan terdapat dalam masalah menyusun buah catur, yang boleh didapati di gudang penyelesaian siap sedia dalam pdf yang sepadan. Dan untuk penyelesaian bebas, saya menghasilkan tugas templat yang kurang:

Tugasan 13

Alexey masuk untuk sukan, dan 4 hari seminggu - olahraga, 2 hari - latihan kekuatan dan 1 hari rehat. Dalam berapa banyak cara dia boleh menjadualkan kelas mingguannya?

Formula tidak berfungsi di sini kerana ia mengambil kira pilih atur bertindih (contohnya, apabila latihan kekuatan pada hari Rabu ditukar dengan latihan kekuatan pada hari Khamis). Dan sekali lagi - sebenarnya, 2 sesi latihan kekuatan yang sama boleh menjadi sangat berbeza antara satu sama lain, tetapi dalam konteks tugas (dari segi jadual), mereka dianggap elemen yang sama.

Penyelesaian dua baris dan jawab pada akhir pelajaran.

Gabungan dengan pengulangan

Ciri ciri gabungan jenis ini ialah sampel diambil daripada beberapa kumpulan, yang setiap satunya terdiri daripada objek yang sama.

Semua orang bekerja keras hari ini, jadi sudah tiba masanya untuk menyegarkan diri anda:

Tugasan 14

Kafeteria pelajar menjual sosej dalam doh, kek keju dan donat. Dalam berapa cara lima kek boleh dibeli?

Penyelesaian: segera beri perhatian kepada kriteria tipikal untuk kombinasi dengan pengulangan - mengikut keadaan, bukan satu set objek seperti itu, tetapi jenis lain objek; diandaikan terdapat sekurang-kurangnya lima hot dog, 5 kek keju dan 5 donat dijual. Pai dalam setiap kumpulan, sudah tentu, berbeza - kerana donat yang sama sekali hanya boleh disimulasikan pada komputer =) Walau bagaimanapun, ciri fizikal pai tidak penting dalam erti masalah, dan hot dog / kek keju / donat dalam kumpulan mereka dianggap sama.

Apa yang boleh ada dalam sampel? Pertama sekali, perlu diingatkan bahawa pasti akan ada pai yang sama dalam sampel (kerana kami memilih 5 keping, dan 3 jenis ditawarkan untuk dipilih). Pilihan di sini untuk setiap rasa: 5 hot dog, 5 kek keju, 5 donat, 3 hot dog + 2 kek keju, 1 hot dog + 2 + kek keju + 2 donat, dsb.

Seperti kombinasi "biasa", susunan pemilihan dan penempatan pai dalam sampel tidak penting - mereka hanya memilih 5 keping dan itu sahaja.

Kami menggunakan formula bilangan kombinasi dengan ulangan:
cara anda boleh membeli 5 pai.

Selamat menjamu selera!

Jawab: 21

Apakah kesimpulan yang boleh dibuat daripada banyak masalah gabungan?

Kadang-kadang, perkara yang paling sukar ialah memahami keadaan.

Contoh yang sama untuk penyelesaian buat sendiri:

Tugasan 15

Dompet itu mengandungi sejumlah besar syiling 1-, 2-, 5- dan 10-ruble. Dalam berapa banyak cara tiga syiling boleh dikeluarkan dari dompet?

Untuk tujuan kawalan diri, jawab beberapa soalan mudah:

1) Bolehkah semua syiling dalam sampel berbeza?
2) Namakan gabungan syiling yang "paling murah" dan paling "mahal".

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Dari pengalaman peribadi saya, saya boleh mengatakan bahawa kombinasi dengan ulangan adalah tetamu yang paling jarang dalam amalan, yang tidak boleh dikatakan mengenai jenis gabungan berikut:

Penempatan dengan ulangan

Daripada set yang terdiri daripada elemen, elemen dipilih, dan susunan elemen dalam setiap sampel adalah penting. Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi jenaka yang agak tidak dijangka ialah kita boleh memilih mana-mana objek set asal seberapa banyak yang kita suka. Secara kiasan, dari "orang ramai tidak akan berkurangan."

Bilakah ia berlaku? Contoh biasa ialah kunci gabungan dengan beberapa cakera, tetapi disebabkan perkembangan teknologi, adalah lebih relevan untuk mempertimbangkan keturunan digitalnya:

Tugasan 16

Berapakah bilangan kod pin 4 digit?

Penyelesaian: sebenarnya, untuk menyelesaikan masalah, sudah cukup untuk mengetahui peraturan kombinatorik: anda boleh memilih digit pertama kod pin dengan cara Dan cara - digit kedua kod pin Dan dalam banyak cara - satu pertiga Dan sebanyak - yang keempat. Oleh itu, mengikut peraturan pendaraban gabungan, kod pin empat digit boleh digubah: dengan cara.

Dan kini dengan formula. Dengan syarat, kami ditawarkan satu set nombor, dari mana nombor dipilih dan diletakkan dalam susunan tertentu, manakala nombor dalam sampel boleh diulang (iaitu mana-mana digit set asal boleh digunakan sewenang-wenangnya beberapa kali). Mengikut formula untuk bilangan peletakan dengan ulangan:

Jawab: 10000

Apa yang terlintas di fikiran di sini ... ... jika ATM "memakan" kad itu selepas percubaan ketiga yang tidak berjaya untuk memasukkan kod pin, maka peluang untuk mengambilnya secara rawak adalah sangat ilusi.

Dan siapa yang mengatakan bahawa tidak ada makna praktikal dalam kombinatorik? Tugas kognitif untuk semua pembaca tapak:

Masalah 17

Mengikut piawaian negeri, plat lesen kereta terdiri daripada 3 nombor dan 3 huruf. Dalam kes ini, nombor dengan tiga sifar tidak dibenarkan, dan huruf dipilih daripada set A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (hanya huruf Cyrillic yang digunakan, ejaannya sepadan dengan huruf Latin).

Berapakah bilangan plat lesen yang berbeza boleh digubah untuk sesuatu wilayah?

Tidak begitu, dengan cara itu, dan banyak lagi. Di kawasan besar, jumlah ini tidak mencukupi, dan oleh itu bagi mereka terdapat beberapa kod untuk inskripsi RUS.

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran. Jangan lupa gunakan peraturan kombinatorik ;-) …Saya ingin bermegah tentang menjadi eksklusif, tetapi ternyata tidak eksklusif =) Saya melihat Wikipedia - ada pengiraan, walau bagaimanapun, tanpa ulasan. Walaupun untuk tujuan pendidikan, mungkin hanya sedikit orang yang menyelesaikannya.

Pelajaran menarik kami telah berakhir, dan pada akhirnya saya ingin mengatakan bahawa anda tidak membuang masa anda - atas sebab formula kombinatorik mencari satu lagi aplikasi praktikal yang penting: ia terdapat dalam pelbagai tugas pada teori kebarangkalian,
dan dalam tugasan mengenai definisi klasik kebarangkalian- terutamanya kerap

Terima kasih semua atas penyertaan aktif anda dan jumpa lagi!

Penyelesaian dan jawapan:

Tugasan 2: Penyelesaian: cari nombor semua pilih atur yang mungkin bagi 4 kad:

Apabila kad dengan sifar berada di tempat pertama, nombor itu menjadi tiga digit, jadi gabungan ini harus dikecualikan. Biarkan sifar berada di tempat pertama, kemudian baki 3 digit dalam digit yang paling tidak bererti boleh disusun semula mengikut cara.

Catatan : sebab terdapat beberapa kad, mudah untuk menyenaraikan semua pilihan tersebut di sini:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Oleh itu, dari set yang dicadangkan, anda boleh membuat:
24 - 6 = 18 nombor empat digit
Jawab : 18

Tugasan 4: Penyelesaian: 3 kad boleh dipilih daripada 36 cara.
Jawab : 7140

Tugasan 6: Penyelesaian: cara.
Satu lagi penyelesaian : cara anda boleh memilih dua orang daripada kumpulan dan dan
2) Set "paling murah" mengandungi 3 syiling ruble, dan set paling "mahal" mengandungi 3 syiling sepuluh ruble.

Tugasan 17: Penyelesaian: cara anda boleh membuat gabungan digital plat lesen, manakala salah satu daripadanya (000) harus dikecualikan:.
cara anda boleh membuat gabungan huruf nombor kereta.
Mengikut peraturan pendaraban gabungan, semuanya boleh terdiri:
nombor kereta
(setiap satu gabungan digital digabungkan dengan masing-masing gabungan huruf).
Jawab : 1726272

Untuk memudahkan menavigasi bahan, saya akan menambah kandungan topik ini:

pengenalan. Set dan pilihan.

Dalam topik ini, kami akan mempertimbangkan konsep asas kombinatorik: pilih atur, gabungan dan peletakan. Mari ketahui intipati dan formula mereka yang membolehkan anda mencari nombor mereka.

Untuk bermula, kami memerlukan beberapa maklumat latar belakang. Mari kita mulakan dengan konsep asas matematik seperti satu set. Konsep set telah diterangkan secara terperinci dalam topik "Konsep set. Kaedah untuk menentukan set" .

Sebuah cerita yang sangat pendek tentang orang ramai: tunjukkan/sembunyikan

Secara ringkasnya, set ialah himpunan objek. Set ditulis dalam kurungan kerinting. Susunan unsur-unsur ditulis tidak penting; pengulangan elemen tidak dibenarkan. Sebagai contoh, set digit nombor 11115555999 ialah: $$1,5,9 $$. Set huruf konsonan dalam perkataan "anak harimau" adalah seperti berikut: $$t, r, r, n, k$$. Notasi $5\dalam A$ bermakna unsur 5 tergolong dalam set $A=$1,5,9 $$. Bilangan unsur dalam set terhingga dipanggil kuasa set ini dan dilambangkan dengan $|A|$. Contohnya, untuk set $A=$1,5,9 $$ yang mengandungi 3 elemen, kita ada: $|A|=3$.

Mari kita pertimbangkan beberapa set terhingga bukan kosong $U$, kardinalitinya adalah sama dengan $n$, $|U|=n$ (iaitu set $U$ mempunyai elemen $n$). Mari kita perkenalkan konsep seperti sampel(sesetengah pengarang memanggilnya tuple). Dengan sampel bersaiz $k$ daripada $n$ elemen (disingkatkan sebagai $(n,k)$-selection) kami maksudkan set elemen $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$, di mana $a_i\in U$. Sesuatu pemilihan dikatakan tersusun jika susunan elemen dinyatakan di dalamnya. Dua sampel tertib yang hanya berbeza dalam susunan unsur adalah berbeza. Jika susunan unsur-unsur sampel tidak signifikan, maka sampel itu dipanggil tidak tertib.

Perhatikan bahawa definisi pemilihan tidak menyatakan apa-apa tentang pengulangan item. Tidak seperti elemen set, elemen pemilihan boleh diulang.

Sebagai contoh, pertimbangkan set $U=$a,b,c,d,e$$. Set $U$ mengandungi 5 elemen, i.e. $|U|=5$. Sampel tanpa ulangan boleh menjadi: $(a,b,c)$. Sampel ini mengandungi 3 elemen, iaitu. saiz sampel ini ialah 3. Dalam erti kata lain, ini ialah $(5,3)$-sampel.

Sampel dengan ulangan boleh menjadi: $(a,a,a,a,a,c,c,d)$. Ia mengandungi 8 elemen, i.e. isipadunya ialah 8. Dalam erti kata lain, ini ialah $(5,8)$-sampel.

Pertimbangkan dua lagi $(5,3)$-sampel: $(a,b,b)$ dan $(b,a,b)$. Jika kita menganggap bahawa sampel kita tidak tertib, maka sampel $(a,b,b)$ adalah sama dengan sampel $(b,a,b)$, i.e. $(a,b,b)=(b,a,b)$. Jika kami menganggap sampel kami dipesan, maka $(a,b,b)\neq(b,a,b)$.

Mari kita lihat contoh lain, kurang abstrak sedikit :) Katakan terdapat enam gula-gula dalam bakul, dan semuanya berbeza. Jika gula-gula pertama diberikan nombor 1, gula-gula kedua ialah nombor 2, dan seterusnya, maka set berikut boleh dikaitkan dengan gula-gula dalam bakul: $U=$1,2,3,4,5 ,6$$. Bayangkan kita secara rawak memasukkan tangan ke dalam bakul untuk mengeluarkan tiga gula-gula. Gula-gula yang ditarik keluar - ini adalah sampelnya. Oleh kerana kita mengeluarkan 3 gula-gula daripada 6, kita mendapat sampel (6,3). Susunan gula-gula diletakkan di tapak tangan adalah tidak relevan sama sekali, jadi sampel ini tidak tertib. Nah, dan kerana semua gula-gula adalah berbeza, sampelnya tanpa pengulangan. Jadi, dalam situasi ini kita bercakap tentang pemilihan (6,3) tidak teratur tanpa ulangan.

Sekarang mari kita pergi dari seberang. Bayangkan kita berada di kilang gula-gula, dan kilang ini mengeluarkan empat jenis gula-gula. Set $U$ dalam situasi ini adalah seperti berikut: $U=$1,2,3,4 $$ (setiap digit bertanggungjawab untuk jenis gula-gulanya sendiri). Sekarang bayangkan bahawa semua gula-gula dituangkan ke dalam satu pelongsor, berhampiran tempat kita berdiri. Dan, menggantikan tapak tangan, kami memilih 20 gula-gula daripada aliran ini. Gula-gula dalam segenggam - ini adalah sampelnya. Adakah susunan gula-gula dalam segenggam itu memainkan peranan? Sememangnya, tidak, jadi sampel tidak teratur. Terdapat hanya 4 jenis gula-gula, dan kami memilih dua puluh keping daripada aliran umum - pengulangan jenis tidak dapat dielakkan. Pada masa yang sama, sampel boleh menjadi sangat berbeza: kita mungkin mempunyai semua gula-gula daripada varieti yang sama. Akibatnya, dalam situasi ini kita berhadapan dengan pilihan (4.20) yang tidak teratur dengan ulangan.

Mari lihat beberapa lagi contoh. Biarkan 7 huruf yang berbeza ditulis pada kubus: k, o, n, f, e, t, a. Huruf-huruf ini membentuk set $U=$k,o,n,f,e,t,a$$. Katakan kita ingin membuat "perkataan" 5 huruf daripada kiub ini. Huruf perkataan ini (contohnya, "confé", "tenko" dan sebagainya) membentuk (7,5)-pilihan: $(k,o,n,f,e)$, $(t,e,n ,k ,o)$ dsb. Jelas sekali, susunan huruf dalam sampel sedemikian adalah penting. Sebagai contoh, perkataan "nokft" dan "kfton" adalah berbeza (walaupun ia terdiri daripada huruf yang sama), kerana ia tidak mempunyai susunan huruf yang sama. Tiada pengulangan huruf dalam "perkataan" sedemikian, kerana hanya terdapat tujuh kiub. Jadi, set huruf bagi setiap perkataan adalah sampel tertib (7,5) tanpa ulangan.

Contoh lain: kita membuat semua jenis nombor lapan digit daripada empat digit 1, 5, 7, 8. Contohnya, 11111111, 15518877, 88881111 dan seterusnya. Set $U$ adalah seperti berikut: $U=$1,5,7,8$$. Digit setiap nombor yang disusun membentuk sampel (4,8). Susunan digit dalam sesuatu nombor adalah penting, i.e. sampel dipesan. Pengulangan dibenarkan, jadi di sini kita berurusan dengan pilihan (4,8)-teratur dengan pengulangan.

Peruntukan tanpa pengulangan $n$ elemen sebanyak $k$

Peruntukan tanpa ulangan $n$ elemen sebanyak $k$ - dipesan $(n,k)$-pilihan tanpa ulangan.

Memandangkan elemen dalam sampel yang sedang dipertimbangkan tidak boleh diulang, kita tidak boleh memilih lebih banyak elemen dalam sampel daripada yang terdapat dalam set asal. Oleh itu, untuk sampel sedemikian, ketaksamaan berikut adalah benar: $n≥ k$. Bilangan peletakan tanpa pengulangan $n$ elemen sebanyak $k$ ditentukan oleh formula berikut:

\mulakan(persamaan)A_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!} \end{equation} !}

Apakah maksud tanda "!"?: tunjukkan/sembunyikan

Rakaman "n!" (baca "en faktorial") menandakan hasil darab semua nombor dari 1 hingga n, i.e.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Mengikut takrifan, diandaikan bahawa $0!=1!=1$. Sebagai contoh, mari cari 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Contoh #1

Abjad terdiri daripada satu set aksara $E=$+,*,0,1,f$$. Mari kita tentukan bilangan perkataan tiga aksara sedemikian dalam abjad ini yang tidak mengandungi huruf berulang.

Dengan perkataan tiga aksara yang kami maksudkan ungkapan seperti "+*0" atau "0f1". Set $E$ mempunyai lima elemen, jadi huruf perkataan tiga aksara membentuk (5,3)-pilihan. Soalan pertama ialah: adakah sampel ini dipesan atau tidak? Perkataan yang berbeza hanya dalam susunan huruf diandaikan berbeza, jadi susunan unsur dalam sampel adalah penting. Jadi sampel dipesan. Soalan kedua: adakah pengulangan dibenarkan atau tidak? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh syarat: perkataan tidak boleh mengandungi huruf berulang. Merumuskan: huruf setiap perkataan yang memenuhi keadaan masalah membentuk sampel tertib (5,3) tanpa ulangan. Dengan kata lain, huruf setiap perkataan membentuk susunan tanpa pengulangan 5 unsur 3. Berikut adalah contoh susunan tersebut:

$$ (+,*,f), \; (*+,f), \; (1+,0) $$

Kami juga berminat dengan jumlah penempatan ini. Mengikut formula (1), bilangan peletakan tanpa pengulangan 5 elemen sebanyak 3 adalah seperti berikut:

$$ A_(5)^(3)=\frac(5{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60. $$ !}

Itu. anda boleh membuat 60 perkataan tiga aksara, yang hurufnya tidak akan diulang.

Jawab: 60.

Peruntukan dengan pengulangan elemen $n$ sebanyak $k$

Peletakan dengan ulangan elemen $n$ melebihi $k$ ialah pilihan $(n,k)$-teratur dengan ulangan.

Bilangan peletakan dengan pengulangan $n$ elemen sebanyak $k$ ditentukan oleh formula berikut:

\begin(persamaan)\bar(A)_(n)^(k)=n^k \end(persamaan)

Contoh #2

Berapakah bilangan nombor lima digit yang boleh dibentuk daripada set digit $$5,7,2$$?

Daripada set nombor ini, anda boleh membuat nombor lima digit 55555, 75222 dan seterusnya. Digit setiap nombor tersebut membentuk (3,5)-sampel: $(5,5,5,5,5)$, $(7,5,2,2,2)$. Mari kita tanya diri kita sendiri: apakah sampel ini? Pertama, digit dalam nombor boleh diulang, jadi kami berurusan dengan sampel dengan ulangan. Kedua, susunan nombor dalam nombor adalah penting. Sebagai contoh, 27755 dan 77255 adalah nombor yang berbeza. Oleh itu, kita berurusan dengan pilihan (3,5)-teratur dengan ulangan. Jumlah bilangan sampel tersebut (iaitu jumlah bilangan lima digit yang diperlukan) boleh didapati menggunakan formula (2):

$$ \bar(A)_(3)^(5)=3^5=243. $$

Oleh itu, daripada digit yang diberi, 243 nombor lima digit boleh dibuat.

Jawab: 243.

Pilih atur tanpa pengulangan elemen $n$

Pilih atur tanpa ulangan unsur $n$ ialah pilihan $(n,n)$- tanpa ulangan.

Malah, pilih atur tanpa pengulangan adalah kes khas penempatan tanpa pengulangan, apabila saiz sampel adalah sama dengan kuasa set asal. Bilangan pilih atur tanpa pengulangan $n$ elemen ditentukan oleh formula berikut:

\mulakan(persamaan)P_(n)=n! \end(persamaan)

Dengan cara ini, formula ini mudah diperoleh jika kita mengambil kira bahawa $P_n=A_(n)^(n)$. Kemudian kita dapat:

$$ P_n=A_(n)^(n)=\frac(n{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$ !}

Contoh #3

Peti beku mengandungi lima hidangan aiskrim daripada pelbagai syarikat. Dalam berapa banyak cara anda boleh memilih susunan di mana ia dimakan?

Biarkan nombor 1 sepadan dengan ais krim pertama, nombor 2 dengan yang kedua, dan seterusnya. Kami akan mendapat set $U=$1,2,3,4,5$$ yang akan mewakili kandungan peti sejuk beku. Pesanan makan boleh $(2,1,3,5,4)$ atau $(5,4,3,1,2)$. Setiap koleksi tersebut ialah (5,5)-sampel. Ia akan teratur dan tanpa pengulangan. Dalam erti kata lain, setiap sampel tersebut ialah pilih atur 5 elemen set asal. Menurut formula (3), jumlah bilangan pilih atur ini ialah:

$$ P_5=5!=120. $$

Oleh itu, terdapat 120 pesanan pesanan makan.

Jawab: 120.

Pilih atur dengan ulangan

Pilih atur dengan ulangan ialah pemilihan $(n,k)$-tertib dengan ulangan di mana elemen $a_1$ diulang $k_1$ kali, $a_2$ diulang $k_2$ kali, dan seterusnya, sehingga elemen terakhir $a_r$, yang diulang $ k_r$ kali. Selain itu, $k_1+k_2+\ldots+k_r=k$.

Jumlah bilangan pilih atur dengan ulangan diberikan oleh:

\mulakan(persamaan)P_(k)(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac(k{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation} !}

Contoh #4

Perkataan dibentuk berdasarkan abjad $U=$a,b,d$$. Berapa banyak perkataan berbeza daripada tujuh aksara boleh digubah jika huruf "a" mesti diulang 2 kali dalam perkataan ini; huruf "b" - 1 kali, dan huruf "d" - 4 kali?

Berikut ialah contoh perkataan carian: "aabdddd", "daddabd" dan sebagainya. Huruf setiap perkataan membentuk (3,7)-sampel dengan pengulangan: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d )$ dan lain-lain. Setiap pemilihan tersebut terdiri daripada dua elemen "a", satu elemen "b", dan empat elemen "d". Dengan kata lain, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=4$. Jumlah bilangan ulangan semua aksara, sudah tentu, adalah sama dengan saiz sampel, i.e. $k=k_1+k_2+k_3=7$. Menggantikan data ini ke dalam formula (4), kita akan mempunyai:

$$ P_7(2,1,4)=\frac(7{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$ !}

Oleh itu, jumlah perkataan yang dicari ialah 105.

Jawab: 105.

Gabungan tanpa ulangan unsur $n$ sebanyak $k$

Gabungan tanpa ulangan $n$ elemen sebanyak $k$ ialah pilihan $(n,k)$-tidak tertib tanpa ulangan.

Jumlah bilangan gabungan tanpa pengulangan $n$ elemen sebanyak $k$ ditentukan oleh formula:

\begin(persamaan)C_(n)^(k)=\frac(n{(n-k)!\cdot k!} \end{equation} !}

Contoh #5

Bakul mengandungi kad di mana integer dari 1 hingga 10 ditulis. 4 kad dikeluarkan dari bakul dan nombor yang ditulis padanya dijumlahkan. Berapa banyak set kad yang berbeza boleh diambil daripada bakul?

Jadi, dalam masalah ini, set awal adalah seperti berikut: $U=$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$$. Daripada set ini, kami memilih empat elemen (iaitu, empat kad dari bakul). Nombor unsur yang ditarik keluar membentuk sampel (10,4). Pengulangan dalam sampel ini tidak dibenarkan, kerana nombor semua kad adalah berbeza. Persoalannya: adakah susunan kad yang dipilih penting atau tidak? Iaitu, sebagai contoh, adakah sampel $(1,2,7,10)$ dan $(10,2,1,7)$ sama atau tidak sama? Di sini anda perlu beralih kepada keadaan masalah. Kad dikeluarkan untuk kemudian mencari jumlah elemen. Dan ini bermakna susunan kad tidak penting, kerana jumlahnya tidak akan berubah daripada menukar tempat syarat. Contohnya, sampel $(1,2,7,10)$ dan sampel $(10,2,1,7)$ akan sepadan dengan nombor yang sama $1+2+7+10=10+2+1+7 = 20$. Kesimpulan: ia berikutan daripada keadaan masalah yang kita berurusan dengan sampel yang tidak teratur. Itu. kita perlu mencari jumlah bilangan sampel tidak tertib (10,4) tanpa ulangan. Dalam erti kata lain, kita perlu mencari bilangan gabungan 10 elemen sebanyak 4. Kami menggunakan formula (5) untuk ini:

$$ C_(10)^(4)=\frac(10{(10-4)!\cdot 4!}=\frac{10!}{6!\cdot 4!}=210. $$ !}

Oleh itu, jumlah bilangan set yang diperlukan ialah 210.

Jawab: 210.

Gabungan dengan pengulangan $n$ elemen sebanyak $k$

Gabungan dengan ulangan $n$ elemen melebihi $k$ ialah pilihan $(n,k)$-tidak tertib dengan ulangan.

Jumlah bilangan gabungan dengan pengulangan $n$ elemen melebihi $k$ ditentukan oleh formula:

\begin(persamaan)\bar(C)_(n)^(k)=\frac((n+k-1){(n-1)!\cdot k!} \end{equation} !}

Contoh #6

Bayangkan kita berada di kilang gula-gula - betul-betul di sebelah penghantar di mana empat jenis gula-gula bergerak. Kami meletakkan tangan kami dalam aliran ini dan mengeluarkan dua puluh daripadanya. Berapa banyak "kombinasi gula-gula" yang berbeza boleh ada dalam segelintir?

Jika kita menganggap bahawa nombor 1 sepadan dengan jenis pertama, nombor 2 sepadan dengan jenis kedua, dan seterusnya, maka set awal dalam masalah kita adalah seperti berikut: $U=\(1,2,3,4\ )$. Daripada set ini, kami memilih 20 elemen (iaitu, 20 gula-gula yang sama daripada penghantar). Sebilangan kecil gula-gula membentuk (4,20)-sampel. Sememangnya, akan ada pengulangan varieti. Persoalannya, adakah susunan elemen dalam pemilihan itu memainkan peranan atau tidak? Ia berikutan daripada keadaan masalah bahawa susunan unsur-unsur tidak penting. Tidak ada bezanya kepada kami sama ada segenggam mengandungi 15 lolipop dahulu, dan kemudian 4 coklat, atau 4 coklat pertama, dan kemudian 15 lolipop. Jadi, kita sedang berurusan dengan sampel tidak tertib (4.20) dengan ulangan. Untuk mencari jumlah bilangan sampel ini, kami menggunakan formula (6):

$$ \bar(C)_(4)^(20)=\frac((4+20-1){(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$ !}

Oleh itu, jumlah gabungan yang dikehendaki ialah 1771.

KOMBINATORIK

Kombinatorik ialah cabang matematik yang mengkaji masalah memilih dan menyusun elemen daripada beberapa set asas mengikut peraturan yang diberikan. Formula dan prinsip kombinatorik digunakan dalam teori kebarangkalian untuk mengira kebarangkalian kejadian rawak dan, dengan itu, untuk mendapatkan undang-undang taburan pembolehubah rawak. Ini, seterusnya, memungkinkan untuk mengkaji undang-undang fenomena rawak jisim, yang sangat penting untuk pemahaman yang betul tentang undang-undang statistik yang menampakkan diri dalam alam semula jadi dan teknologi.

Peraturan untuk penambahan dan pendaraban dalam kombinatorik

Peraturan jumlah. Jika dua tindakan A dan B adalah saling eksklusif, dan tindakan A boleh dilakukan dalam m cara, dan B dalam n cara, maka mana-mana satu daripada tindakan ini (sama ada A atau B) boleh dilakukan dalam n + m cara.

Contoh 1

Terdapat 16 lelaki dan 10 perempuan di dalam kelas. Dalam berapa banyak cara seorang atendan boleh dilantik?

Penyelesaian

Anda boleh melantik sama ada lelaki atau perempuan bertugas, i.e. mana-mana daripada 16 lelaki atau mana-mana daripada 10 perempuan boleh bertugas.

Mengikut peraturan jumlah, kita mendapat bahawa seorang pegawai bertugas boleh ditugaskan 16+10=26 cara.

Peraturan produk. Biarkan ia dikehendaki melakukan tindakan k secara berurutan. Jika tindakan pertama boleh dilakukan dalam n 1 cara, tindakan kedua dalam n 2 cara, ketiga dalam n 3 cara, dan seterusnya sehingga tindakan kth yang boleh dilakukan dalam n k cara, maka semua k tindakan bersama-sama boleh dilakukan:

cara.

Contoh 2

Terdapat 16 lelaki dan 10 perempuan di dalam kelas. Dalam berapa banyak cara boleh dua orang atendan dilantik?

Penyelesaian

Orang pertama yang bertugas boleh sama ada lelaki atau perempuan. Kerana terdapat 16 lelaki dan 10 perempuan dalam kelas, maka anda boleh melantik pegawai bertugas pertama dalam 16 + 10 = 26 cara.

Selepas kami memilih pegawai bertugas pertama, kami boleh memilih yang kedua daripada 25 orang yang tinggal, i.e. 25 cara.

Dengan teorem pendaraban, dua atendan boleh dipilih dalam 26*25=650 cara.

Gabungan tanpa pengulangan. Gabungan dengan pengulangan

Masalah klasik kombinatorik adalah masalah bilangan kombinasi tanpa pengulangan, yang kandungannya boleh dinyatakan dengan soalan: berapa banyak cara boleh pilih m dari n item yang berbeza?

Contoh 3

Anda mesti memilih 4 daripada 10 buku berbeza yang tersedia sebagai hadiah. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian

Kita perlu memilih 4 daripada 10 buku, dan susunan pilihan tidak penting. Oleh itu, anda perlu mencari bilangan gabungan 10 elemen dengan 4:

Pertimbangkan masalah bilangan gabungan dengan ulangan: terdapat r objek yang sama bagi setiap n jenis yang berbeza; berapa banyak cara boleh pilih m() daripada ini (n*r) item?

Contoh 4

Kedai pastri menjual 4 jenis kek: napoleon, eclairs, shortbread dan puff. Dalam berapa cara 7 biji kek boleh dibeli?

Penyelesaian

Kerana di antara 7 kek boleh ada kek dari varieti yang sama, maka bilangan cara untuk membeli 7 kek ditentukan oleh bilangan kombinasi dengan ulangan dari 7 hingga 4.

Penempatan tanpa ulangan. Penempatan dengan ulangan

Masalah klasik kombinatorik adalah masalah bilangan penempatan tanpa pengulangan, yang kandungannya dapat dinyatakan dengan soalan: berapa banyak cara boleh pilih Dan tempat Oleh m berbeza tempat m dari n berbeza barang?

Contoh 5

Beberapa akhbar mempunyai 12 muka surat. Adalah perlu untuk meletakkan empat gambar di muka surat akhbar ini. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan jika tiada halaman surat khabar harus mengandungi lebih daripada satu gambar?

Penyelesaian.

Dalam masalah ini, kami bukan sahaja memilih foto, tetapi meletakkannya di halaman tertentu akhbar, dan setiap halaman akhbar itu harus mengandungi tidak lebih daripada satu foto. Oleh itu, masalah dikurangkan kepada masalah klasik untuk menentukan bilangan penempatan tanpa pengulangan daripada 12 elemen dengan 4 elemen:

Oleh itu, 4 gambar pada 12 muka surat boleh disusun dalam 11880 cara.

Juga, tugas klasik kombinatorik adalah masalah bilangan penempatan dengan pengulangan, yang kandungannya boleh dinyatakan dengan soalan: berapa banyak cara boleh awakbtentera Dan tempat Oleh m berbeza tempat m dari n itemDenganredi yang Terdapat sama?

Contoh 6

Budak lelaki itu mempunyai setem dengan nombor 1, 3 dan 7 dari set untuk permainan papan. Dia memutuskan untuk menggunakan setem ini untuk meletakkan nombor lima digit pada semua buku - untuk menyusun katalog. Berapakah bilangan lima digit berbeza yang boleh dibuat oleh budak lelaki itu?

Permutasi tanpa pengulangan. Pilih atur dengan ulangan

Masalah klasik kombinatorik ialah masalah bilangan pilih atur tanpa pengulangan, yang kandungannya boleh dinyatakan dengan soalan: berapa banyak cara boleh tempat n pelbagai barang pada n berbeza tempat?

Contoh 7

Berapa banyak "perkataan" empat huruf yang boleh dibuat daripada huruf perkataan "perkahwinan"?

Penyelesaian

Set umum ialah 4 huruf perkataan "perkahwinan" (b, p, a, k). Bilangan "perkataan" ditentukan oleh pilih atur 4 huruf ini, i.e.

Untuk kes apabila antara elemen n yang dipilih terdapat sama (pilihan dengan pulangan), masalah bilangan pilih atur dengan ulangan boleh dinyatakan dengan soalan: Dalam berapa banyak cara n objek boleh disusun semula di n tempat yang berbeza jika antara n objek terdapat k jenis yang berbeza (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Contoh 8

Berapa banyak kombinasi huruf yang berbeza boleh dibuat daripada huruf perkataan "Mississippi"?

Penyelesaian

Terdapat 1 huruf "m", 4 huruf "i", 3 huruf "c" dan 1 huruf "p", 9 huruf kesemuanya. Oleh itu, bilangan pilih atur dengan ulangan ialah

RINGKASAN LATAR BELAKANG PADA BAHAGIAN "KOMBINATORIK"