Kemunculan teori kebarangkalian sebagai sains. Teori kebarangkalian

Sesetengah pengaturcara, selepas bekerja dalam pembangunan aplikasi komersial konvensional, sedang memikirkan tentang menguasai pembelajaran mesin dan menjadi penganalisis data. Selalunya mereka tidak faham mengapa kaedah tertentu berfungsi, dan kebanyakan kaedah pembelajaran mesin kelihatan seperti sihir. Malah, pembelajaran mesin adalah berdasarkan statistik matematik, dan itu, seterusnya, berdasarkan teori kebarangkalian. Oleh itu, dalam artikel ini kita akan memberi perhatian kepada konsep asas teori kebarangkalian: kita akan menyentuh definisi kebarangkalian, taburan, dan menganalisis beberapa contoh mudah.

Anda mungkin tahu bahawa teori kebarangkalian dibahagikan secara bersyarat kepada 2 bahagian. Teori kebarangkalian diskret mengkaji fenomena yang boleh diterangkan oleh taburan dengan bilangan terhingga (atau boleh dikira) bagi kemungkinan tingkah laku (balingan dadu, syiling). Teori kebarangkalian berterusan mengkaji fenomena yang diedarkan pada beberapa set padat, contohnya, pada segmen atau dalam bulatan.

Adalah mungkin untuk mempertimbangkan subjek teori kebarangkalian dengan contoh mudah. Bayangkan diri anda sebagai pembangun penembak. Bahagian penting dalam pembangunan permainan dalam genre ini ialah mekanik menembak. Adalah jelas bahawa penembak di mana semua senjata menembak dengan tepat tidak akan menarik minat pemain. Oleh itu, adalah perlu untuk menambah penyebaran pada senjata. Tetapi hanya rawak titik pukulan senjata tidak akan membenarkan penalaan halus, jadi melaraskan keseimbangan permainan akan menjadi sukar. Pada masa yang sama, menggunakan pembolehubah rawak dan pengedarannya, anda boleh menganalisis bagaimana senjata itu akan berfungsi dengan penyebaran tertentu, dan membantu membuat pelarasan yang diperlukan.

Ruang hasil asas

Katakan, daripada beberapa percubaan rawak yang boleh kita ulangi berkali-kali (contohnya, melambung syiling), kita boleh mengeluarkan beberapa maklumat yang boleh diformalkan (kepala atau ekor). Maklumat ini dipanggil hasil asas, dan dinasihatkan untuk mempertimbangkan set semua hasil asas, selalunya dilambangkan dengan huruf Ω (Omega).

Struktur ruang ini bergantung sepenuhnya pada sifat eksperimen. Sebagai contoh, jika kita menganggap menembak pada sasaran bulat yang cukup besar, ruang hasil asas akan menjadi bulatan, untuk kemudahan, diletakkan dengan pusat pada sifar, dan hasilnya akan menjadi titik dalam bulatan ini.

Di samping itu, mereka menganggap set hasil asas - peristiwa (contohnya, mencapai "sepuluh teratas" ialah bulatan sepusat jejari kecil dengan sasaran). Dalam kes diskret, semuanya agak mudah: kita boleh mendapatkan sebarang acara, termasuk atau mengecualikan hasil asas dalam masa yang terhad. Walau bagaimanapun, dalam kes berterusan, segala-galanya adalah lebih rumit: kita memerlukan beberapa kumpulan set yang cukup baik untuk dipertimbangkan, dipanggil algebra, dengan analogi dengan nombor nyata mudah yang boleh ditambah, ditolak, dibahagikan dan didarab. Set dalam algebra boleh bersilang dan digabungkan, dan hasil operasi akan berada dalam algebra. Ini adalah harta yang sangat penting untuk matematik di sebalik semua konsep ini. Keluarga minimum hanya terdiri daripada dua set - set kosong dan ruang hasil asas.

Ukuran dan Kebarangkalian

Kebarangkalian ialah satu cara untuk membuat inferens tentang kelakuan objek yang sangat kompleks tanpa memahami cara ia berfungsi. Oleh itu, kebarangkalian ditakrifkan sebagai fungsi sesuatu peristiwa (daripada kumpulan set yang sangat baik itu), yang mengembalikan nombor - beberapa ciri tentang kekerapan kejadian sedemikian boleh berlaku dalam realiti. Untuk kepastian, ahli matematik bersetuju bahawa nombor ini harus terletak di antara sifar dan satu. Di samping itu, keperluan dikenakan ke atas fungsi ini: kebarangkalian kejadian mustahil adalah sifar, kebarangkalian keseluruhan set hasil adalah perpaduan, dan kebarangkalian untuk menggabungkan dua peristiwa bebas (set terputus) adalah sama dengan jumlah kebarangkalian. . Nama lain untuk kebarangkalian ialah ukuran kebarangkalian. Ukuran Lebesgue yang paling biasa digunakan, yang menyamaratakan konsep panjang, luas, isipadu kepada mana-mana dimensi (isipadu n-dimensi), dan dengan itu ia boleh digunakan untuk kelas set yang luas.

Bersama-sama, set set hasil asas, keluarga set, dan ukuran kebarangkalian dipanggil ruang kebarangkalian. Mari kita lihat bagaimana kita boleh membina ruang kebarangkalian untuk contoh menembak sasaran.

Pertimbangkan menembak pada sasaran bulat besar jejari R yang tidak boleh dilepaskan. Sebagai satu set peristiwa asas, kami meletakkan bulatan berpusat pada asal koordinat jejari R . Memandangkan kita akan menggunakan kawasan (ukuran Lebesgue untuk set dua dimensi) untuk menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, kita akan menggunakan keluarga set boleh diukur (yang mana ukuran ini wujud).

Nota Sebenarnya, ini adalah titik teknikal dan dalam masalah mudah proses menentukan ukuran dan keluarga set tidak memainkan peranan khas. Tetapi adalah perlu untuk memahami bahawa kedua-dua objek ini wujud, kerana dalam banyak buku mengenai teori kebarangkalian, teorem bermula dengan perkataan: " Biarkan (Ω,Σ,P) menjadi ruang kebarangkalian…».

Seperti yang dinyatakan di atas, kebarangkalian keseluruhan ruang hasil asas mestilah sama dengan satu. Kawasan (ukuran Lebesgue dua dimensi, yang akan kita nyatakan dengan λ 2 (A), di mana A ialah peristiwa) bulatan, mengikut formula yang terkenal dari sekolah, ialah π * R 2 . Kemudian kita boleh memperkenalkan kebarangkalian P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , dan nilai ini sudah pun terletak di antara 0 dan 1 untuk sebarang peristiwa A.

Jika kita mengandaikan bahawa memukul mana-mana titik sasaran adalah sama berkemungkinan, pencarian untuk kebarangkalian penembak mengenai beberapa kawasan sasaran dikurangkan kepada mencari kawasan set ini (oleh itu kita boleh membuat kesimpulan bahawa kebarangkalian memukul titik tertentu adalah sifar, kerana luas titik adalah sifar).

Sebagai contoh, kita ingin tahu apakah kebarangkalian bahawa penembak akan memukul "sepuluh" (peristiwa A - penembak memukul set yang betul). Dalam model kami, "sepuluh" diwakili oleh bulatan berpusat pada sifar dan dengan jejari r. Maka kebarangkalian untuk jatuh ke dalam bulatan ini ialah P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Ini adalah salah satu jenis masalah "kebarangkalian geometri" yang paling mudah - kebanyakan masalah ini memerlukan mencari kawasan.

pembolehubah rawak

Pembolehubah rawak ialah fungsi yang menukar hasil asas kepada nombor nyata. Sebagai contoh, dalam masalah yang dipertimbangkan, kita boleh memperkenalkan pembolehubah rawak ρ(ω) — jarak dari titik hentaman ke pusat sasaran. Kesederhanaan model kami membolehkan kami menentukan secara eksplisit ruang hasil asas: Ω = (ω = (x,y) nombor supaya x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Kemudian pembolehubah rawak ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Cara pengabstrakan daripada ruang kebarangkalian. Fungsi pengedaran dan ketumpatan

Adalah baik apabila struktur ruang terkenal, tetapi pada hakikatnya ini tidak selalu berlaku. Walaupun struktur ruang diketahui, ia boleh menjadi kompleks. Untuk menerangkan pembolehubah rawak, jika ungkapannya tidak diketahui, terdapat konsep fungsi taburan, yang dilambangkan dengan F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Fungsi pengedaran mempunyai beberapa sifat:

1. Pertama, ia adalah antara 0 dan 1 .
2. Kedua, ia tidak berkurangan apabila hujahnya x bertambah.
3. Ketiga, apabila nombor -x sangat besar, fungsi pengedaran adalah hampir kepada 0, dan apabila x sendiri besar, fungsi pengedaran adalah hampir kepada 1.

Mungkin maksud binaan ini tidak begitu jelas pada bacaan pertama. Salah satu sifat berguna ialah fungsi pengedaran membolehkan anda mencari kebarangkalian bahawa nilai mengambil nilai dari selang. Jadi, P (pembolehubah rawak ξ mengambil nilai dari selang ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Berdasarkan kesamaan ini, kita boleh menyiasat bagaimana nilai ini berubah jika sempadan a dan b selang adalah hampir.

Biarkan d = b-a , kemudian b = a+d . Dan oleh itu, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Untuk nilai kecil d, perbezaan di atas juga kecil (jika pengedaran berterusan). Adalah masuk akal untuk mempertimbangkan hubungan p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Jika untuk nilai d yang cukup kecil nisbah ini berbeza sedikit daripada beberapa pemalar p ξ (a) , yang tidak bergantung pada d, maka pada ketika ini pembolehubah rawak mempunyai ketumpatan yang sama dengan p ξ (a) .

Nota Pembaca yang sebelum ini menemui konsep terbitan mungkin menyedari bahawa p ξ (a) ialah terbitan bagi fungsi F ξ (x) pada titik a . Walau apa pun, anda boleh mengkaji konsep terbitan dalam artikel yang dikhaskan untuk topik ini di tapak web Mathprofi.

Sekarang makna fungsi taburan boleh ditakrifkan seperti berikut: terbitannya (ketumpatan p ξ , yang kami takrifkan di atas) pada titik a menerangkan kekerapan pembolehubah rawak akan jatuh ke dalam selang kecil berpusat pada titik a (kejiranan titik a) berbanding kejiranan titik lain. Dalam erti kata lain, lebih cepat fungsi pengedaran berkembang, lebih besar kemungkinan nilai sedemikian akan muncul dalam percubaan rawak.

Mari kita kembali kepada contoh. Kita boleh mengira fungsi taburan untuk pembolehubah rawak, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , yang menandakan jarak dari pusat ke titik pukulan rawak pada sasaran. Mengikut takrifan, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Kita boleh mencari ketumpatan p ρ pembolehubah rawak ini. Kami segera ambil perhatian bahawa ia adalah sifar di luar selang, kerana fungsi pengedaran pada selang ini tidak berubah. Pada penghujung selang ini, ketumpatan tidak ditentukan. Di dalam selang, ia boleh didapati menggunakan jadual derivatif (contohnya, dari tapak web Mathprofi) dan peraturan pembezaan asas. Terbitan bagi t 2 /R 2 ialah 2t/R 2 . Ini bermakna kami mendapati ketumpatan pada keseluruhan paksi nombor nyata.

Satu lagi sifat ketumpatan yang berguna ialah kebarangkalian bahawa fungsi mengambil nilai daripada selang dikira menggunakan kamiran ketumpatan sepanjang selang ini (anda boleh membiasakan diri dengan apa itu dalam artikel tentang kamiran tak tentu yang betul, tidak betul, tak tentu di laman web Mathprofi ).

Pada bacaan pertama, kamiran rentang bagi fungsi f(x) boleh dianggap sebagai luas trapezium melengkung. Sisinya ialah serpihan paksi Lembu, celah (paksi koordinat mendatar), segmen menegak yang menghubungkan titik-titik (a,f(a)), (b,f(b)) pada lengkung dengan titik (a, 0), (b,0 ) pada paksi-x. Bahagian terakhir ialah serpihan graf bagi fungsi f daripada (a,f(a)) hingga (b,f(b)) . Kita boleh bercakap tentang kamiran ke atas selang (-∞; b] , apabila untuk nilai negatif yang cukup besar, a, nilai kamiran ke atas selang akan berubah diabaikan kecil berbanding dengan perubahan dalam nombor a. Kamiran ke atas selang ditentukan dengan cara yang sama Topik teknologi maklumat secara umum EN teori kebarangkalian pengiraan kebarangkalian peluang … Buku Panduan Penterjemah Teknikal

Teori kebarangkalian- terdapat sebahagian daripada matematik yang mengkaji hubungan antara kebarangkalian (lihat Kebarangkalian dan Statistik) pelbagai peristiwa. Kami menyenaraikan teorem terpenting yang berkaitan dengan sains ini. Kebarangkalian berlakunya salah satu daripada beberapa peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan ... ... Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

TEORI KEBARANGKALIAN- matematik sains yang membenarkan, mengikut kebarangkalian beberapa peristiwa rawak (lihat), untuk mencari kebarangkalian peristiwa rawak yang dikaitkan dengan k. cara dengan yang pertama. TV moden berdasarkan aksiomatik (lihat kaedah Axiomatic) A. N. Kolmogorov. Pada… … Ensiklopedia sosiologi Rusia

Teori kebarangkalian- satu cabang matematik di mana, mengikut kebarangkalian yang diberikan bagi beberapa peristiwa rawak, kebarangkalian peristiwa lain ditemui, berkaitan dalam beberapa cara dengan yang pertama. Teori kebarangkalian juga mengkaji pembolehubah rawak dan proses rawak. Salah satu yang utama…… Konsep sains semula jadi moden. Glosari istilah asas

teori kebarangkalian- teori tikimybių statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teori kebarangkalian vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teori kebarangkalian, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teori Kebarangkalian- ... Wikipedia

Teori kebarangkalian- disiplin matematik yang mengkaji corak fenomena rawak ... Permulaan sains semula jadi moden

TEORI KEBARANGKALIAN- (teori kebarangkalian) lihat Kebarangkalian ... Kamus sosiologi penerangan yang besar

Teori kebarangkalian dan aplikasinya- ("Teori Kebarangkalian dan Aplikasinya"), jurnal saintifik Jabatan Matematik Akademi Sains USSR. Menerbitkan artikel asal dan komunikasi pendek tentang teori kebarangkalian, soalan umum statistik matematik dan aplikasinya dalam sains semula jadi dan ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Buku

• Teori Kebarangkalian. , Venttsel E.S. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang yang biasa dengan matematik dalam skop kursus sekolah menengah biasa dan berminat dalam aplikasi teknikal teori kebarangkalian, dalam ... Beli untuk 2056 UAH (Ukraine sahaja)
• Teori Kebarangkalian. , Wentzel E.S. Buku ini akan dihasilkan mengikut pesanan anda menggunakan teknologi Print-on-Demand. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang yang biasa dengan matematik dalam jilid biasa ...

Teori kebarangkalian ialah cabang matematik yang mengkaji corak fenomena rawak: peristiwa rawak, pembolehubah rawak, sifat dan operasinya padanya.

Untuk masa yang lama, teori kebarangkalian tidak mempunyai definisi yang jelas. Ia dirumuskan hanya pada tahun 1929. Kemunculan teori kebarangkalian sebagai sains dikaitkan dengan Zaman Pertengahan dan percubaan pertama dalam analisis matematik perjudian (lambung, dadu, rolet). Ahli matematik Perancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre de Fermat menemui corak kebarangkalian pertama yang timbul apabila membaling dadu semasa mengkaji ramalan kemenangan dalam perjudian.

Teori kebarangkalian timbul sebagai sains daripada kepercayaan bahawa keteraturan tertentu mendasari peristiwa rawak besar-besaran. Teori kebarangkalian mengkaji corak ini.

Teori kebarangkalian berkaitan dengan kajian tentang peristiwa, kejadian yang tidak diketahui secara pasti. Ia membolehkan anda menilai tahap kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa berbanding yang lain.

Sebagai contoh: adalah mustahil untuk menentukan dengan jelas hasil lambungan syiling kepala atau ekor, tetapi dengan lambungan berulang, kira-kira bilangan kepala dan ekor yang sama jatuh, yang bermaksud bahawa kebarangkalian bahawa kepala atau ekor akan jatuh ", adalah sama. kepada 50%.

ujian dalam kes ini, pelaksanaan set syarat tertentu dipanggil, iaitu, dalam kes ini, lambungan syiling. Cabaran boleh dimainkan tanpa had bilangan kali. Dalam kes ini, kompleks keadaan termasuk faktor rawak.

Keputusan ujian ialah peristiwa. Peristiwa itu berlaku:

1. Boleh dipercayai (sentiasa berlaku hasil daripada ujian).
2. Mustahil (tidak pernah berlaku).
3. Rawak (mungkin atau mungkin tidak berlaku akibat ujian).

Sebagai contoh, apabila melambung syiling, peristiwa mustahil - duit syiling akan berakhir di tepi, peristiwa rawak - kehilangan "kepala" atau "ekor". Keputusan ujian khusus dipanggil acara asas. Hasil daripada ujian, hanya peristiwa asas berlaku. Keseluruhan semua hasil ujian yang mungkin, berbeza, khusus dipanggil ruang acara asas.

Konsep asas teori

Kebarangkalian- tahap kemungkinan berlakunya peristiwa itu. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin.

Nilai rawak- ini ialah nilai yang, sebagai hasil daripada ujian, boleh mengambil satu atau nilai lain, dan tidak diketahui terlebih dahulu yang mana satu. Contohnya: bilangan balai bomba setiap hari, bilangan pukulan dengan 10 tembakan, dsb.

Pembolehubah rawak boleh dibahagikan kepada dua kategori.

1. Pembolehubah rawak diskret kuantiti sedemikian dipanggil, yang, sebagai hasil daripada ujian, boleh mengambil nilai tertentu dengan kebarangkalian tertentu, membentuk set boleh dikira (satu set yang unsur-unsurnya boleh dinomborkan). Set ini boleh menjadi sama ada terhingga atau tidak terhingga. Sebagai contoh, bilangan pukulan sebelum pukulan pertama pada sasaran adalah pembolehubah rawak diskret, kerana nilai ini boleh mengambil bilangan nilai yang tidak terhingga, walaupun boleh dikira.
2. Pembolehubah rawak berterusan ialah kuantiti yang boleh mengambil sebarang nilai dari beberapa selang terhingga atau tak terhingga. Jelas sekali, bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.

Ruang kebarangkalian- konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada tahun 1930-an untuk memformalkan konsep kebarangkalian, yang menimbulkan perkembangan pesat teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik yang ketat.

Ruang kebarangkalian ialah tiga kali ganda (kadangkala dirangka dalam kurungan sudut: , di mana

Ini adalah set arbitrari, unsur-unsurnya dipanggil peristiwa asas, hasil atau mata;
- sigma-algebra subset dipanggil peristiwa (rawak);
- ukuran atau kebarangkalian kebarangkalian, i.e. ukuran terhingga aditif sigma sedemikian rupa sehingga .

Teorem De Moivre-Laplace- salah satu teorem mengehadkan teori kebarangkalian, yang ditubuhkan oleh Laplace pada tahun 1812. Dia menyatakan bahawa bilangan kejayaan dalam mengulangi eksperimen rawak yang sama dengan dua kemungkinan hasil adalah lebih kurang taburan normal. Ia membolehkan anda mencari nilai anggaran kebarangkalian.

Jika, bagi setiap percubaan bebas, kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak adalah sama dengan () dan ialah bilangan percubaan di mana ia sebenarnya berlaku, maka kebarangkalian kesahan ketaksamaan adalah hampir (untuk besar ) kepada nilai kamiran Laplace.

Fungsi taburan dalam teori kebarangkalian- fungsi yang mencirikan taburan pembolehubah rawak atau vektor rawak; kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai kurang daripada atau sama dengan x, dengan x ialah nombor nyata arbitrari. Di bawah keadaan tertentu, ia menentukan sepenuhnya pembolehubah rawak.

Nilai yang dijangkakan- nilai purata pembolehubah rawak (ini ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak, dipertimbangkan dalam teori kebarangkalian). Dalam kesusasteraan Inggeris, ia dilambangkan dengan, dalam bahasa Rusia -. Dalam statistik, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang kebarangkalian dan pembolehubah rawak yang ditakrifkan di atasnya diberikan. Iaitu, mengikut definisi, fungsi yang boleh diukur. Kemudian, jika terdapat kamiran Lebesgue atas ruang , maka ia dipanggil jangkaan matematik, atau nilai min, dan dilambangkan dengan .

Varians pembolehubah rawak- ukuran sebaran pembolehubah rawak yang diberikan, iaitu sisihan daripada jangkaan matematik. Ditetapkan dalam kesusasteraan Rusia dan dalam bahasa asing. Dalam statistik, sebutan atau sering digunakan. Punca kuasa dua varians dipanggil sisihan piawai, sisihan piawai, atau sebaran piawai.

Biarkan pembolehubah rawak ditakrifkan pada beberapa ruang kebarangkalian. Kemudian

di mana simbol menandakan jangkaan matematik.

Dalam teori kebarangkalian, dua peristiwa rawak dipanggil bebas jika kejadian salah satu daripadanya tidak mengubah kebarangkalian berlakunya yang lain. Begitu juga, dua pembolehubah rawak dipanggil bergantung jika nilai salah satu daripadanya mempengaruhi kebarangkalian nilai yang lain.

Bentuk termudah bagi hukum nombor besar ialah teorem Bernoulli, yang menyatakan bahawa jika kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dalam semua ujian, maka apabila bilangan percubaan bertambah, kekerapan kejadian itu cenderung kepada kebarangkalian kejadian itu dan berhenti menjadi rawak.

Hukum nombor besar dalam teori kebarangkalian menyatakan bahawa min aritmetik bagi sampel terhingga daripada taburan tetap adalah hampir dengan jangkaan min teori bagi taburan itu. Bergantung pada jenis penumpuan, hukum lemah nombor besar dibezakan, apabila penumpuan dalam kebarangkalian berlaku, dan undang-undang kuat nombor besar, apabila penumpuan hampir pasti berlaku.

Maksud umum undang-undang nombor besar ialah tindakan bersama sejumlah besar faktor rawak yang sama dan bebas membawa kepada keputusan yang, dalam had, tidak bergantung kepada peluang.

Kaedah untuk menganggar kebarangkalian berdasarkan analisis sampel terhingga adalah berdasarkan sifat ini. Contoh yang baik ialah ramalan keputusan pilihan raya berdasarkan tinjauan terhadap sampel pengundi.

Teorem had pusat- kelas teorem dalam teori kebarangkalian yang menyatakan bahawa jumlah bilangan pembolehubah rawak bersandar lemah yang cukup besar yang mempunyai kira-kira skala yang sama (tiada satu pun istilah yang mendominasi, tidak memberikan sumbangan yang menentukan kepada jumlah itu) mempunyai taburan yang hampir dengan biasa.

Oleh kerana banyak pembolehubah rawak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor rawak bersandar lemah, taburannya dianggap normal. Dalam kes ini, syarat mesti diperhatikan bahawa tidak ada faktor yang dominan. Teorem had pusat dalam kes ini mewajarkan penggunaan taburan normal.

"Randomness is not accidental"... Bunyinya seperti kata seorang ahli falsafah, tetapi sebenarnya, kajian tentang kemalangan adalah takdir ilmu matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang adalah teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi utama sains ini akan dibentangkan dalam artikel.

Apakah Teori Kebarangkalian?

Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melambungkan syiling ke atas, ia boleh jatuh kepala atau ekor. Selagi syiling berada di udara, kedua-dua kemungkinan ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin berkorelasi 1:1. Jika seseorang diambil dari dek dengan 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, maka anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.

Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam pengertian berangka.

Dari lembaran sejarah

Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.

Pada mulanya, teori kebarangkalian tidak ada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Untuk masa yang lama mereka belajar perjudian dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.

Teknik yang sama telah dicipta oleh Christian Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan oleh beliau.

Tidak penting ialah karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas mendapat bentuknya sekarang berkat aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian telah menjadi salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori kebarangkalian. Peristiwa

Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Acara terdiri daripada tiga jenis:

• Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
• Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam mana-mana senario (syiling akan kekal tergantung di udara).
• rawak. Perkara yang akan atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal duit syiling, bentuknya, kedudukan awal, daya lemparan, dll.

Semua peristiwa dalam contoh dilambangkan dengan huruf Latin besar, kecuali R, yang mempunyai peranan yang berbeza. Sebagai contoh:

• A = "pelajar datang ke kuliah."
• Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah".

Dalam tugas praktikal, peristiwa biasanya direkodkan dalam perkataan.

Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua varian kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi hasilnya. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.

Acara juga serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian antara satu sama lain. Sebagai contoh:

• A = "pelajar itu datang ke kuliah."
• B = "pelajar itu datang ke kuliah."

Peristiwa ini bebas antara satu sama lain, dan penampilan salah satu daripadanya tidak menjejaskan penampilan yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu menghalang kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa boleh didarab dan ditambah, masing-masing, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlah ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A, atau B, atau kedua-duanya boleh berlaku pada masa yang sama. Dalam kes apabila ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil, sama ada A atau B akan tercicir.

Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.

Kini anda boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.

Latihan 1: Firma itu membida kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:

• A = "firma akan menerima kontrak pertama."
• A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
• B = "firma akan menerima kontrak kedua."
• B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
• C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
• C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."

Mari cuba nyatakan situasi berikut menggunakan tindakan pada peristiwa:

• K = "firma akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematik, persamaan akan kelihatan seperti ini: K = ABC.

• M = "firma tidak akan menerima satu kontrak."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Kami merumitkan tugas: H = "firma akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh firma (yang pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin juga direkodkan dengan kaedah yang sepadan. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan sekumpulan "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau kedua, atau yang pertama. Begitu juga, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kebarangkalian

Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:

• klasik;
• statistik;
• geometri.

Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (Gred 9) kebanyakannya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

• Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.

Formula kelihatan seperti ini: P (A) \u003d m / n.

Dan, sebenarnya, satu peristiwa. Jika kebalikan A berlaku, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.

n - semua peristiwa yang boleh berlaku.

Contohnya, A \u003d "tarik keluar kad saman hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:

P(A)=9/36=0.25.

Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad yang sesuai dengan hati akan diambil dari dek ialah 0.25.

kepada matematik yang lebih tinggi

Kini telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian tugasan yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya, mereka beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.

Teori kebarangkalian sangat menarik. Formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) adalah lebih baik untuk mula belajar dari yang kecil - dari definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.

Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan tahap kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan klasik:

Jika formula klasik dikira untuk peramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Ambil, sebagai contoh, tugas kecil.

Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?

A = "penampilan produk berkualiti."

W n (A)=97/100=0.97

Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda dapat 97? Daripada 100 produk yang diperiksa, 3 ternyata tidak berkualiti. Kita tolak 3 daripada 100, kita dapat 97, ini adalah kuantiti produk yang berkualiti.

Sedikit mengenai kombinatorik

Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan mendarab.

Sebagai contoh, terdapat 5 jalan dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Terdapat berapa banyak cara untuk pergi dari bandar A ke bandar C?

Ia mudah: 5x4 = 20, iaitu, terdapat dua puluh cara berbeza untuk pergi dari titik A ke titik C.

Mari kita membuat tugas lebih sukar. Berapa banyak cara yang ada untuk bermain kad dalam solitaire? Dalam dek 36 kad, ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad dari titik permulaan dan darab.

Iaitu, 36x35x34x33x32…x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditandakan sebagai 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab antara mereka sendiri.

Dalam kombinatorik, terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.

Set tertib elemen set dipanggil susun atur. Peletakan boleh berulang, bermakna satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila unsur-unsur tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa ulangan akan kelihatan seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik, ini kelihatan seperti: P n = n!

Gabungan n unsur oleh m ialah sebatian yang mana penting unsur-unsur tersebut dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula Bernoulli

Dalam teori kebarangkalian, dan juga dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik yang cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kemunculan A dalam eksperimen tidak bergantung pada kemunculan atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam ujian sebelumnya atau ujian berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) tidak berubah bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.

Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.

Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat memasuki kedai secara bebas. Apakah kebarangkalian bahawa pelawat akan membuat pembelian?

Penyelesaian: Memandangkan tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kebarangkalian yang mungkin menggunakan formula Bernoulli.

A = "pelawat akan membuat pembelian."

Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (kerana terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m akan berubah daripada 0 (tiada pelanggan akan membuat pembelian) kepada 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.

Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.

Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana C dan p telah pergi. Berkenaan dengan p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C=1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari kita cuba ketahui apakah kebarangkalian untuk membeli barang oleh dua pengunjung.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.

Formula Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak yang tidak mungkin.

Formula asas:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam kes ini, λ = n x p. Berikut adalah formula Poisson yang begitu mudah (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 3 A: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kemunculan bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?

Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas disiplin lain, kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula di atas:

A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."

p = 0.0001 (mengikut syarat tugasan).

n = 100000 (bilangan bahagian).

m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data dalam formula dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang menggunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui. Pada dasarnya, ia boleh didapati dengan formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.

Teorem De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri percubaan boleh ditemui oleh formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh tugasan untuk membantu di bawah.

Mula-mula kita dapati X m , kita gantikan data (semuanya ditunjukkan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ (0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data dalam formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Jadi kebarangkalian bahawa risalah itu akan memukul tepat 267 kali ialah 0.03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian tugas dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula utama adalah seperti berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B ialah peristiwa yang pasti.

P(A|B) - kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku, dengan syarat peristiwa B adalah benar.

Р (В|А) - kebarangkalian bersyarat kejadian В.

Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian masalah yang ada di bawah.

Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, sebahagian daripada telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Ia adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.

A = "telefon yang diambil secara rawak."

B 1 - telefon yang dibuat oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).

Hasilnya, kami mendapat:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - jadi kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.

Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam firma:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Sekarang kita menggantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang yang mudah menjawab, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah mencapai jackpot lebih daripada sekali dengan bantuannya.

Mengenai sifat peristiwa sebenar, dan ia dirumuskan dalam perwakilan visual. Karya terawal saintis dalam bidang teori kebarangkalian bermula pada abad ke-17. Semasa meneliti ramalan kemenangan dalam perjudian, Blaise Pascal dan Pierre Fermat menemui corak kebarangkalian pertama yang berlaku apabila membaling dadu. Di bawah pengaruh persoalan yang dibangkitkan dan dipertimbangkan oleh mereka, Christian Huygens juga terlibat dalam menyelesaikan masalah yang sama. Pada masa yang sama, dia tidak biasa dengan surat-menyurat antara Pascal dan Fermat, jadi dia mencipta teknik penyelesaian itu sendiri. Karya beliau, yang memperkenalkan konsep asas teori kebarangkalian (konsep kebarangkalian sebagai kuantiti peluang; jangkaan matematik untuk kes diskret, dalam bentuk harga peluang), dan juga menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian ( tidak dirumuskan secara eksplisit), diterbitkan selama dua puluh tahun sebelum (1657) penerbitan surat-surat Pascal dan Fermat (1679).

Sumbangan penting kepada teori kebarangkalian telah dibuat oleh Jacob Bernoulli: dia memberikan bukti hukum bilangan besar dalam kes termudah bagi percubaan bebas. Pada separuh pertama abad ke-19, teori kebarangkalian mula digunakan untuk analisis kesilapan pemerhatian; Laplace dan Poisson membuktikan teorem had pertama. Pada separuh kedua abad ke-19, sumbangan utama dibuat oleh saintis Rusia P. L. Chebyshev, A. A. Markov dan A. M. Lyapunov. Pada masa ini, undang-undang nombor besar, teorem had pusat, dan teori rantai Markov telah dibangunkan. Teori kebarangkalian menerima bentuk modennya terima kasih kepada aksiomatisasi yang dicadangkan oleh Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Akibatnya, teori kebarangkalian memperoleh bentuk matematik yang ketat dan akhirnya mula dianggap sebagai salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori

lihat juga

Tulis ulasan tentang artikel "Teori Kebarangkalian"

Nota

Pautan Pengenalan

• Teori kebarangkalian // Ensiklopedia Soviet Besar: [dalam 30 jilid] / ch. ed. A. M. Prokhorov. - ed ke-3. - M. : Ensiklopedia Soviet, 1969-1978.
• - artikel dari ensiklopedia "Round the World"

kesusasteraan

A

• Akhtyamov, A. M. "Kaedah ekonomi dan matematik": buku teks. elaun Bashk. negeri un-t. - Ufa: BSU, 2007.
• Akhtyamov, A. M. Teori Kebarangkalian. - M.: Fizmatlit, 2009

B

• Borovkov, A. A. "Statistik matematik", M.: Nauka, 1984.
• Borovkov, A. A. "Teori Kebarangkalian", M.: Nauka, 1986.
• Buldyk, G. M. , Mn., Lebih tinggi. sekolah, 1989.
• Bulinsky, A. V., Shiryaev, A. N. "Teori proses rawak", M.: Fizmatlit, 2003.
• Bekareva, N. D. «Teori kebarangkalian. Nota kuliah", Novosibirsk NSTU
• Bavrin, I. I. "Higher Mathematics" (Bahagian 2 "Elemen Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik"), M .: Nauka, 2000.

DALAM

• Wentzel E. S. Teori Kebarangkalian.- M.: Nauka, 1969. - 576 hlm.
• Wentzel E. S. Teori Kebarangkalian. - ed. ke-10, dipadamkan .. - M .: "Akademi", 2005. - 576 p. - ISBN 5-7695-2311-5.

G

• Gikhman II, Skorokhod AV Pengenalan kepada teori proses rawak. - M.: Nauka, 1977.
• Gmurman, V. E. "Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik": Proc. elaun - ed. ke-12, disemak - M .: Pendidikan tinggi, 2006.-479 p.: il (Asas Sains).
• Gmurman, V. E. "Panduan untuk Menyelesaikan Masalah dalam Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik": Proc. elaun - ed. ke-11, disemak. - M.: Pendidikan tinggi, 2006.-404 hlm. (Asas Sains).
• Gnedenko, B. V. "Kursus Teori Kebarangkalian", - M.: Nauka, 1988.
• Gnedenko, B. V. "Kursus Teori Kebarangkalian", URSS. M.: 2001.
• Gnedenko B. V., Khinchin A. Ya., 1970.
• Gursky E.I. "Koleksi Masalah dalam Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", - Minsk: Sekolah Tinggi, 1975.

D

• P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Matematik yang lebih tinggi dalam latihan dan tugasan. (Dalam 2 bahagian) - M .: Vyssh.shk, 1986.

E

• A. V. Efimov, A. E. Pospelov dan lain-lain. Bahagian 4 // Koleksi masalah dalam matematik untuk institusi pengajian tinggi. - ed. ke-3, disemak. dan tambahan .. - M .: "Fizmatlit", 2003. - T. 4. - 432 p. - ISBN 5-94052-037-5.

KEPADA

• Kolemaev, V. A. dan lain-lain. "Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", - M.: Sekolah tinggi, 1991.
• Kolmogorov, A. N. "Konsep asas teori kebarangkalian", M.: Nauka, 1974.
• Korshunov, D. A., Foss, S. G. "Koleksi Masalah dan Latihan dalam Teori Kebarangkalian", Novosibirsk, 1997.
• Korshunov, D. A., Chernova, N. I. "Koleksi masalah dan latihan dalam statistik matematik", Novosibirsk. 2001.
• Kremer N. Sh. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik: Buku Teks untuk Sekolah Menengah. - ed. ke-2, disemak. dan tambahan - M: UNITY-DANA, 2004. - 573 p.
• Kuznetsov, A. V. "Penggunaan kriteria kesesuaian dalam pemodelan matematik proses ekonomi", Minsk: BGINH, 1991.

L

• Likholetov I. I., Matskevich I. E. "Panduan untuk Menyelesaikan Masalah dalam Matematik Tinggi, Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", Mn.: Vysh. sekolah, 1976.
• Likholetov I. I. "Matematik Tinggi, Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", Mn.: Vysh. sekolah, 1976.
• Loev M.V "Teori Kebarangkalian", - M .: Rumah penerbitan sastera asing, 1962.

M

• Mankovsky B. Yu., "Jadual kebarangkalian".
• Matskevich I. P., Svirid G. P. “Matematik Tinggi. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", Mn.: Vysh. sekolah, 1993.
• Matskevich I. P., Svirid G. P., Buldyk G. M. Pengumpulan masalah dan latihan dalam matematik yang lebih tinggi. Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", Mn.: Vysh. sekolah, 1996.
• Meyer P.-A. Kebarangkalian dan potensi. Rumah Penerbitan Mir, Moscow, 1973.
• Mlodinov L.

P

• Prokhorov, A. V., V. G. Ushakov, N. G. Ushakov. "Masalah Teori Masalah", Sains. M.: 1986.
• Prokhorov Yu. V., Rozanov Yu. A. "Teori Kebarangkalian", - M.: Nauka, 1967.
• Pugachev, V. S. "Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", Sains. M.: 1979.

R

• Rotar V.I., "Teori Kebarangkalian", - M.: Sekolah tinggi, 1992.

DENGAN

• Sveshnikov A. A. dan lain-lain, "Koleksi Masalah dalam Teori Kebarangkalian, Statistik Matematik dan Teori Fungsi Rawak", - M.: Nauka, 1970.
• Svirid, G. P., Makarenko, Ya. S., Shevchenko, L. I. "Penyelesaian masalah statistik matematik pada PC", Mn., Vysh. sekolah, 1996.
• Sevastyanov B. A., "Kursus Teori Kebarangkalian dan Statistik Matematik", - M.: Nauka, 1982.
• Sevastyanov, B. A., Chistyakov, V. P., Zubkov, A. M. "Koleksi Masalah dalam Teori Kebarangkalian", M.: Nauka, 1986.
• Sokolenko A.I., "Matematik Tinggi", buku teks. M.: Akademi, 2002.

F

• Feller, W. "Pengenalan kepada Teori Kebarangkalian dan Aplikasinya".

X

• Khamitov, G. P., Vedernikova, T. I. "Kebarangkalian dan Statistik", BSUEP. Irkutsk: 2006.

H

• Chistyakov, V.P. "Kursus Teori Kebarangkalian", M., 1982.
• Chernova, N. I. "Teori Kebarangkalian", Novosibirsk. 2007.

W

• Sheinin O. B. Berlin: NG Ferlag, 2005, 329 pp.
• Shiryaev, A. N. "Kebarangkalian", Sains. M.: 1989.
• Shiryaev, A. N. "Asas matematik kewangan stokastik dalam 2 jilid.", FASIS. M.: 1998.

Analisis klasik Teori fungsi Pembezaan dan persamaan integral

Petikan yang mencirikan Teori Kebarangkalian

"Kami ada roti tuan, bro?" dia bertanya.
“Roti Tuhan adalah utuh,” kata Dron dengan bangga, “putera kita tidak memerintahkan untuk menjualnya.
"Berikan dia kepada petani, berikan dia semua yang mereka perlukan: Saya memberi anda izin atas nama saudaramu," kata Puteri Mary.
Drone tidak menjawab dan menarik nafas panjang.
- Anda memberi mereka roti ini, jika ia akan mencukupi untuk mereka. Sebarkan semuanya. Aku perintahkan kepadamu atas nama saudara, dan katakan kepada mereka: apa pun yang menjadi milik kita, begitu juga milik mereka. Kami tidak akan menyimpan apa-apa untuk mereka. Jadi awak cakap.
Drone merenung puteri dengan teliti semasa dia bercakap.
"Pecat saya, ibu, demi Tuhan, hantarkan saya kunci untuk menerima," katanya. - Dia berkhidmat selama dua puluh tiga tahun, tidak melakukan apa-apa yang buruk; berhentilah, demi Allah.
Puteri Mary tidak faham apa yang dia mahu daripadanya dan mengapa dia meminta untuk dipecat. Dia menjawabnya bahawa dia tidak pernah meragui pengabdiannya dan dia bersedia melakukan segala-galanya untuknya dan untuk para petani.

Sejam kemudian, Dunyasha datang kepada puteri dengan berita bahawa Dron telah datang dan semua petani, atas perintah puteri, telah berkumpul di bangsal, ingin bercakap dengan perempuan simpanan.
"Ya, saya tidak pernah memanggil mereka," kata Puteri Marya, "Saya hanya menyuruh Dronushka untuk mengedarkan roti kepada mereka.
- Hanya demi Tuhan, Ibu Puteri, perintahkan mereka untuk menghalau dan jangan pergi kepada mereka. Ini semua penipuan," kata Dunyasha, "tetapi Yakov Alpatych akan datang, dan kami akan pergi ... dan anda tidak keberatan ...
- Apakah jenis penipuan? tanya puteri kehairanan.
“Ya, saya tahu, dengar sahaja saya, demi Tuhan. Tanya saja pada pengasuh. Mereka mengatakan mereka tidak bersetuju untuk meninggalkan pesanan anda.
- Awak jangan cakap apa-apa. Ya, saya tidak pernah mengarahkan untuk pergi ... - kata Puteri Mary. - Panggil Dronushka.
Dron, yang datang, mengesahkan kata-kata Dunyasha: para petani datang atas perintah puteri.
"Ya, saya tidak pernah menghubungi mereka," kata puteri. Anda pasti salah memberitahu mereka. Saya hanya memberitahu anda untuk memberi mereka roti.
Drone mengeluh tanpa menjawab.
"Jika anda memberitahu mereka, mereka akan pergi," katanya.
"Tidak, tidak, saya akan pergi kepada mereka," kata Puteri Mary
Walaupun Dunyasha dan jururawat menghalang, Puteri Mary keluar ke beranda. Dron, Dunyasha, jururawat, dan Mikhail Ivanovich mengikutinya. "Mereka mungkin berfikir bahawa saya menawarkan roti kepada mereka supaya mereka kekal di tempat mereka, dan saya sendiri akan pergi, menyerahkan mereka kepada belas kasihan Perancis," fikir Puteri Mary. - Saya akan menjanjikan mereka sebulan di sebuah apartmen berhampiran Moscow; Saya pasti Andre akan melakukan lebih banyak lagi di tempat saya, "fikirnya, mendekati orang ramai di padang rumput berhampiran kandang pada waktu senja.
Orang ramai, berkerumun bersama-sama, mula kacau, dan topi segera ditanggalkan. Puteri Mary, menundukkan matanya dan menyelitkan kakinya dalam pakaiannya, mendekati mereka. Begitu banyak mata tua dan muda yang pelbagai tertumpu padanya dan terdapat begitu banyak wajah yang berbeza sehingga Puteri Mary tidak melihat satu muka pun dan, merasakan keperluan untuk tiba-tiba bercakap dengan semua orang, tidak tahu apa yang perlu dilakukan. Tetapi sekali lagi, kesedaran bahawa dia adalah wakil bapa dan abangnya memberi kekuatan kepadanya, dan dia dengan berani memulakan ucapannya.
"Saya sangat gembira kerana anda telah datang," Puteri Marya memulakan, tanpa mengangkat matanya dan merasakan betapa cepat dan kuat jantungnya berdegup. “Dronushka memberitahu saya bahawa perang telah merosakkan awak. Ini adalah kesedihan bersama kami, dan saya tidak akan menyelamatkan apa-apa untuk membantu anda. Saya pergi sendiri, kerana ia sudah berbahaya di sini dan musuh sudah dekat ... kerana ... saya memberikan anda segala-galanya, kawan-kawan saya, dan saya meminta anda untuk mengambil segala-galanya, semua roti kami, supaya anda tidak mempunyai perlukan. Dan jika anda diberitahu bahawa saya memberi anda roti supaya anda tinggal di sini, maka ini tidak benar. Sebaliknya, saya meminta anda untuk pergi dengan semua harta anda ke kawasan pinggir bandar kami, dan di sana saya mengambil sendiri dan berjanji bahawa anda tidak akan memerlukan. Kamu akan diberi rumah dan roti. Puteri berhenti. Hanya esakan yang kedengaran dalam orang ramai.
"Saya tidak melakukan ini sendiri," puteri menyambung, "saya melakukan ini atas nama arwah ayah saya, yang adalah tuan yang baik kepada anda, dan untuk abang saya dan anaknya.
Dia berhenti lagi. Tiada siapa yang mengganggu diamnya.
- Celaka adalah perkara biasa kita, dan kita akan membahagikan semuanya kepada separuh. Semua yang saya miliki adalah milik awak,” katanya sambil memandang sekeliling pada wajah-wajah yang berdiri di hadapannya.
Semua mata memandangnya dengan ekspresi yang sama, yang dia tidak faham maksudnya. Sama ada rasa ingin tahu, pengabdian, kesyukuran, atau ketakutan dan ketidakpercayaan, ekspresi pada semua wajah adalah sama.
“Ramai yang berpuas hati dengan kurniaanMu, cuma kami tidak perlu mengambil roti tuan,” kata satu suara dari belakang.
- Ya kenapa? - kata puteri.
Tiada siapa yang menjawab, dan Puteri Mary, melihat sekeliling orang ramai, menyedari bahawa sekarang semua mata yang dia temui serta-merta jatuh.
- Kenapa awak tidak mahu? dia bertanya lagi.
Tiada siapa menjawab.
Puteri Marya berasa berat dari kesunyian ini; dia cuba menangkap pandangan seseorang.
- Kenapa awak tidak bercakap? - puteri berpaling kepada lelaki tua itu, yang, bersandar pada sebatang kayu, berdiri di hadapannya. Beritahu saya jika anda rasa anda memerlukan apa-apa lagi. Saya akan lakukan apa sahaja," katanya sambil menarik perhatiannya. Tetapi dia, seolah-olah marah dengan ini, menundukkan kepalanya sepenuhnya dan berkata:
- Mengapa bersetuju, kita tidak memerlukan roti.
- Baik, patutkah kita berhenti dari segala-galanya? Tidak setuju. Tidak setuju... Tiada persetujuan kami. Kami kasihan kepada anda, tetapi tiada persetujuan kami. Pergi sendiri, seorang diri…” kedengaran orang ramai dari arah berbeza. Dan sekali lagi ungkapan yang sama muncul pada semua wajah orang ramai ini, dan kini mungkin bukan lagi ungkapan rasa ingin tahu dan rasa terima kasih, tetapi ungkapan keazaman yang pahit.
"Ya, awak tidak faham, kan," kata Puteri Marya sambil tersenyum sedih. Kenapa awak tidak mahu pergi? Saya berjanji untuk menampung anda, memberi makan kepada anda. Dan di sini musuh akan merosakkan anda ...
Tetapi suaranya ditenggelamkan oleh suara orang ramai.
- Tidak ada persetujuan kami, biarkan mereka merosakkan! Kami tidak mengambil roti anda, tidak ada persetujuan kami!
Puteri Mary cuba sekali lagi untuk menangkap pandangan seseorang dari orang ramai, tetapi tiada satu pandangan pun ditujukan kepadanya; matanya jelas mengelak darinya. Dia berasa pelik dan tidak selesa.
"Lihat, dia mengajar saya dengan bijak, ikut dia ke kubu!" Hancurkan rumah dan ke dalam perhambaan dan pergi. Bagaimana! Saya akan memberi anda roti! suara kedengaran di khalayak ramai.
Puteri Mary, menundukkan kepalanya, meninggalkan bulatan dan masuk ke dalam rumah. Setelah mengulangi pesanan kepada Dron bahawa perlu ada kuda untuk berlepas esok, dia pergi ke biliknya dan ditinggalkan sendirian dengan fikirannya.

Lama juga pada malam itu, Puteri Marya duduk di tepi tingkap yang terbuka di dalam biliknya, mendengar suara petani bercakap dari kampung, tetapi dia tidak memikirkan mereka. Dia merasakan bahawa tidak kira betapa dia memikirkan tentang mereka, dia tidak dapat memahami mereka. Dia terus memikirkan tentang satu perkara - tentang kesedihannya, yang kini, selepas rehat yang dibuat oleh kebimbangan tentang masa kini, sudah menjadi masa lalu untuknya. Dia kini boleh ingat, dia boleh menangis dan dia boleh berdoa. Ketika matahari terbenam, angin pun reda. Malam itu tenang dan sejuk. Pada pukul dua belas suara mula reda, ayam jantan berkokok, bulan purnama mula muncul dari sebalik pokok linden, kabus embun putih yang segar naik, dan kesunyian menguasai kampung dan rumah.
Satu demi satu, dia membayangkan gambar masa lalu yang dekat - sakit dan saat-saat terakhir ayahnya. Dan dengan kegembiraan yang menyedihkan dia kini memikirkan imej-imej ini, mengemudi dari dirinya dengan ngeri hanya satu idea terakhir tentang kematiannya, yang - dia rasa - dia tidak dapat merenung walaupun dalam khayalannya pada jam yang tenang dan misteri ini. malam itu. Dan gambar-gambar ini muncul kepadanya dengan jelas dan terperinci sehinggakan ia kelihatan sama ada realiti, atau masa lalu, atau masa depan.
Kemudian dia terbayang dengan jelas saat dia diserang angin ahmar dan dia diseret dari taman di Pergunungan Botak dengan lengannya dan dia menggumamkan sesuatu dalam lidah mati pucuk, mengerutkan kening kelabunya dan memandangnya dengan gelisah dan takut-takut.
"Dia mahu memberitahu saya walaupun apa yang dia beritahu saya pada hari kematiannya," fikirnya. "Dia selalu memikirkan apa yang dia katakan kepada saya." Dan sekarang dia teringat dengan semua butiran malam itu di Pergunungan Botak pada malam sebelum pukulan yang berlaku kepadanya, apabila Puteri Mary, menjangkakan masalah, tinggal bersamanya tanpa kehendaknya. Dia tidak tidur dan turun ke bawah dengan berjinjit pada waktu malam dan, pergi ke pintu bilik bunga, tempat ayahnya bermalam malam itu, dia mendengar suaranya. Dia berkata sesuatu kepada Tikhon dengan suara yang letih dan letih. Dia seperti mahu bercakap. "Kenapa dia tak telefon saya? Kenapa dia tidak membenarkan saya berada di sini di tempat Tikhon? fikir dulu dan kini Puteri Marya. - Dia tidak akan memberitahu sesiapa sekarang semua yang ada dalam jiwanya. Saat ini tidak akan pernah kembali untuk dia dan untuk saya apabila dia akan mengatakan semua yang dia ingin ungkapkan, dan saya, dan bukan Tikhon, akan mendengar dan memahaminya. Kenapa saya tidak masuk ke dalam bilik ketika itu? dia fikir. “Mungkin dia akan memberitahu saya apa yang dia katakan pada hari kematiannya. Itupun, dalam perbualan dengan Tikhon, dia bertanya dua kali tentang saya. Dia mahu melihat saya, dan saya berdiri di sana, di luar pintu. Dia sedih, sukar untuk bercakap dengan Tikhon, yang tidak memahaminya. Saya masih ingat bagaimana dia bercakap kepadanya tentang Liza, seolah-olah hidup - dia terlupa bahawa dia sudah mati, dan Tikhon mengingatkannya bahawa dia tidak lagi di sana, dan dia menjerit: "Bodoh." Ia sukar baginya. Saya mendengar dari belakang pintu bagaimana, mengerang, dia berbaring di atas katil dan menjerit dengan kuat: "Ya Tuhanku! Mengapa saya tidak naik kemudian? Apa yang dia akan lakukan kepada saya? Apa yang saya akan rugi? Atau mungkin kemudian dia akan menghiburkan dirinya sendiri, dia akan mengatakan perkataan ini kepada saya. Dan Puteri Marya melafazkan kata-kata penuh kasih sayang yang telah dia ucapkan kepadanya pada hari kematiannya. “Kawan dia nka! - Puteri Marya mengulangi perkataan ini dan menangis teresak-esak yang melegakan jiwanya. Dia melihat wajah lelaki itu di hadapannya kini. Dan bukan wajah yang dikenalinya sejak dia ingat, dan yang selalu dilihatnya dari jauh; dan wajah itu - pemalu dan lemah, yang pada hari terakhir, membungkuk ke mulutnya untuk mendengar apa yang dia katakan, untuk pertama kalinya diperiksa dengan teliti dengan semua kedutan dan butirannya.