Analyse van de resultaten van directe metingen. Foutentheorie

Beoordelen van de betrouwbaarheid van meetresultaten

Waarom treden er fouten op?

Foutclassificatie

Berekening van fouten bij directe metingen

De exacte natuurwetenschappen zijn gebaseerd op metingen. Bij het meten worden de waarden van grootheden uitgedrukt in de vorm van getallen die aangeven hoe vaak de gemeten grootheid groter of kleiner is dan een andere grootheid, waarvan de waarde als eenheid wordt genomen. De numerieke waarden van verschillende grootheden verkregen als resultaat van metingen kunnen van elkaar afhankelijk zijn. De relatie tussen dergelijke grootheden wordt uitgedrukt in de vorm van formules die laten zien hoe de numerieke waarden van sommige grootheden kunnen worden gevonden uit de numerieke waarden van andere.

Tijdens metingen treden onvermijdelijk fouten op. Het is noodzakelijk om de methoden te beheersen die worden gebruikt bij het verwerken van de resultaten van metingen. Hierdoor kunt u leren hoe u uit een reeks metingen resultaten kunt verkrijgen die het dichtst bij de waarheid liggen, inconsistenties en fouten tijdig kunt opmerken, de metingen zelf op intelligente wijze kunt organiseren en de nauwkeurigheid van de verkregen waarden correct kunt beoordelen.

Als de meting bestaat uit het vergelijken van een gegeven grootheid met een andere, homogene grootheid, genomen als eenheid, dan wordt de meting in dit geval direct genoemd.

Directe (directe) metingen- dit zijn metingen waarbij we de numerieke waarde van de gemeten grootheid verkrijgen, hetzij door directe vergelijking met een maatstaf (standaard), hetzij met behulp van instrumenten die zijn gekalibreerd in eenheden van de gemeten grootheid.

Een dergelijke vergelijking wordt echter niet altijd direct gemaakt. In de meeste gevallen wordt niet de grootheid gemeten die ons interesseert, maar andere grootheden die daarmee verbonden zijn door bepaalde relaties en patronen. In dit geval is het, om de vereiste hoeveelheid te meten, noodzakelijk om eerst verschillende andere hoeveelheden te meten, waarvan de waarde door berekening de waarde van de gewenste hoeveelheid bepaalt. Deze meting wordt indirect genoemd.

Indirecte metingen bestaan uit directe metingen van een of meer grootheden die verband houden met de grootheid die wordt bepaald door een kwantitatieve afhankelijkheid, en berekeningen van de grootheid die op basis van deze gegevens wordt bepaald.

Bij metingen zijn altijd meetinstrumenten betrokken, die de ene waarde in overeenstemming brengen met een andere waarde die daarmee samenhangt en die met behulp van onze zintuigen kwantitatief kunnen worden beoordeeld. De stroomsterkte wordt bijvoorbeeld afgestemd op de afbuigingshoek van de pijl op een schaalverdeling. In dit geval moet aan twee belangrijke voorwaarden van het meetproces worden voldaan: ondubbelzinnigheid en reproduceerbaarheid van het resultaat. aan deze twee voorwaarden wordt altijd slechts bij benadering voldaan. Daarom Het meetproces omvat naast het vinden van de gewenste waarde ook een beoordeling van de meetonnauwkeurigheid.

Een moderne ingenieur moet de fout van meetresultaten kunnen beoordelen, rekening houdend met de vereiste betrouwbaarheid. Daarom wordt veel aandacht besteed aan het verwerken van meetresultaten. Bekendheid met de basismethoden voor het berekenen van fouten is een van de hoofdtaken van de laboratoriumwerkplaats.

Er zijn veel redenen voor het optreden van meetfouten. Laten we er een paar opsommen.

· processen die plaatsvinden tijdens de interactie van het apparaat met het meetobject veranderen onvermijdelijk de gemeten waarde. Het meten van de afmetingen van een onderdeel met behulp van een schuifmaat leidt bijvoorbeeld tot compressie van het onderdeel, dat wil zeggen tot een verandering in de afmetingen. Soms kan de invloed van het apparaat op de gemeten waarde relatief klein worden gemaakt, maar soms is deze vergelijkbaar of zelfs groter dan de gemeten waarde zelf.

· Elk apparaat heeft beperkte mogelijkheden voor het ondubbelzinnig bepalen van de gemeten waarde vanwege de imperfectie van het ontwerp. Wrijving tussen verschillende onderdelen in het wijzerblok van een ampèremeter leidt er bijvoorbeeld toe dat een verandering in de stroom met een kleine, maar eindige hoeveelheid geen verandering in de afbuighoek van de wijzer zal veroorzaken.

· Bij alle interactieprocessen van het apparaat met het meetobject is altijd de externe omgeving betrokken, waarvan de parameters kunnen veranderen en vaak op een onvoorspelbare manier. Dit beperkt de reproduceerbaarheid van de meetomstandigheden, en daarmee het meetresultaat.

· Bij het visueel uitvoeren van instrumentmetingen kan er onduidelijkheid ontstaan bij het lezen van de instrumentmetingen vanwege de beperkte mogelijkheden van onze oogmeter.

· De meeste grootheden worden indirect bepaald op basis van onze kennis van de relatie tussen de gewenste grootheid en andere grootheden die direct door instrumenten worden gemeten. Het is duidelijk dat de fout bij indirecte metingen afhankelijk is van de fouten van alle directe metingen. Bovendien dragen de beperkingen van onze kennis over het gemeten object, de vereenvoudiging van de wiskundige beschrijving van de relaties tussen grootheden en het negeren van de invloed van grootheden waarvan de invloed tijdens het meetproces als onbeduidend wordt beschouwd, bij aan fouten bij indirecte metingen.

Foutwaarde metingen van een bepaalde hoeveelheid worden meestal gekenmerkt door:

1. Absolute fout - het verschil tussen de experimenteel gevonden (gemeten) en de werkelijke waarde van een bepaalde grootheid

. (1)

De absolute fout laat zien hoeveel we vergissen bij het meten van een bepaalde waarde van X.

2. Relatieve fout gelijk aan de verhouding tussen de absolute fout en de werkelijke waarde van de gemeten waarde X

De relatieve fout laat zien in welk deel van de werkelijke waarde van X we ons vergissen.

Kwaliteit De resultaten van metingen van een bepaalde grootheid worden gekenmerkt door een relatieve fout. De waarde kan worden uitgedrukt als een percentage.

Uit formules (1) en (2) volgt dat we, om de absolute en relatieve meetfouten te vinden, niet alleen de gemeten, maar ook de werkelijke waarde moeten kennen van de grootheid waarin we geïnteresseerd zijn. Maar als de werkelijke waarde bekend is, hoeven er geen metingen te worden verricht. Het doel van metingen is altijd om de onbekende waarde van een bepaalde grootheid te achterhalen en, zo niet de werkelijke waarde ervan, dan toch op zijn minst een waarde te vinden die er weinig van afwijkt. Daarom zijn de formules (1) en (2), die de omvang van fouten bepalen, in de praktijk niet geschikt. Bij praktische metingen worden fouten niet berekend, maar geschat. Bij de beoordelingen wordt rekening gehouden met de experimentele omstandigheden, de nauwkeurigheid van de methodologie, de kwaliteit van de instrumenten en een aantal andere factoren. Onze taak: leren hoe we een experimentele methodologie kunnen construeren en de uit ervaring verkregen gegevens correct kunnen gebruiken om waarden van gemeten grootheden te vinden die voldoende dicht bij de werkelijke waarden liggen, en om meetfouten redelijkerwijs te evalueren.

Over meetfouten gesproken, we moeten dit allereerst vermelden grove fouten (missers) ontstaan door toezicht van de onderzoeker of door een defect aan de apparatuur. Ernstige fouten moeten worden vermeden. Als wordt vastgesteld dat ze hebben plaatsgevonden, moeten de overeenkomstige metingen worden verworpen.

Experimentele fouten die niet met grove fouten gepaard gaan, zijn onderverdeeld in willekeurig en systematisch.

Metwillekeurige fouten. Als je dezelfde metingen vele malen herhaalt, kun je merken dat hun resultaten vaak niet precies gelijk zijn aan elkaar, maar rond een bepaald gemiddelde 'dansen' (Fig. 1). Fouten die van experiment tot experiment van grootte en teken veranderen, worden willekeurig genoemd. Willekeurige fouten worden onwillekeurig door de onderzoeker geïntroduceerd vanwege de imperfectie van de zintuigen, willekeurige externe factoren, enz. Als de fout van elke individuele meting fundamenteel onvoorspelbaar is, veranderen ze willekeurig de waarde van de gemeten grootheid. Deze fouten kunnen alleen worden beoordeeld met behulp van statistische verwerking van meerdere metingen van de gewenste hoeveelheid.

Systematisch fouten kan in verband worden gebracht met instrumentfouten (onjuiste schaal, ongelijkmatig uitrekkende veer, ongelijkmatige spoed van de micrometerschroef, ongelijke balansarmen, enz.) en met het experiment zelf. Ze behouden hun grootte (en teken!) tijdens het experiment. Als gevolg van systematische fouten fluctueren de experimentele resultaten die als gevolg van willekeurige fouten zijn verspreid, niet rond de werkelijke waarde, maar rond een bepaalde vertekende waarde (Fig. 2). de fout van elke meting van de gewenste hoeveelheid kan vooraf worden voorspeld, waarbij de kenmerken van het apparaat bekend zijn.

Systematische fouten. Systematische fouten veranderen uiteraard de waarden van de gemeten grootheid. De fouten die door instrumenten in metingen worden geïntroduceerd, kunnen het gemakkelijkst worden beoordeeld als ze verband houden met de ontwerpkenmerken van de instrumenten zelf. Deze fouten worden aangegeven in de paspoorten van de apparaten. De fouten van sommige apparaten kunnen worden beoordeeld zonder het gegevensblad te raadplegen. Bij veel elektrische meetinstrumenten wordt de nauwkeurigheidsklasse direct op de schaal aangegeven.

Instrumentnauwkeurigheidsklasse- dit is de verhouding tussen de absolute fout van het apparaat en de maximale waarde van de gemeten grootheid, die met dit apparaat kan worden bepaald (dit is de systematische relatieve fout van dit apparaat, uitgedrukt als een percentage van de schaalwaardering).

Vervolgens wordt de absolute fout van zo'n apparaat bepaald door de relatie:

Voor elektrische meetinstrumenten zijn 8 nauwkeurigheidsklassen geïntroduceerd: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Hoe dichter de gemeten waarde bij de nominale waarde ligt, hoe nauwkeuriger het meetresultaat zal zijn. De maximale nauwkeurigheid (d.w.z. de kleinste relatieve fout) die een bepaald apparaat kan bieden, is gelijk aan de nauwkeurigheidsklasse. Met deze omstandigheid moet rekening worden gehouden bij het gebruik van multischaalinstrumenten. De schaal moet zo worden gekozen dat de gemeten waarde, terwijl deze binnen de schaal blijft, zo dicht mogelijk bij de nominale waarde ligt.

Als de nauwkeurigheidsklasse voor het apparaat niet is gespecificeerd, moeten de volgende regels worden gevolgd:

· De absolute fout van instrumenten met een nonius is gelijk aan de nauwkeurigheid van de nonius.

· De absolute fout van instrumenten met een vaste pijlsteek is gelijk aan de deelwaarde.

· De absolute fout van digitale apparaten is gelijk aan één minimumcijfer.

· Voor alle andere instrumenten wordt aangenomen dat de absolute fout gelijk is aan de helft van de deelwaarde.

Willekeurige fouten. Deze fouten zijn statistisch van aard en worden beschreven door de waarschijnlijkheidstheorie. Er is vastgesteld dat bij een zeer groot aantal metingen de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van een of ander resultaat bij elke individuele meting kan worden bepaald met behulp van de Gaussiaanse normale verdeling. Bij een klein aantal metingen wordt de wiskundige beschrijving van de kans op het verkrijgen van een of ander meetresultaat de Studentenverdeling genoemd (hierover leest u meer in de handleiding “Meetfouten van fysische grootheden”).

Hoe evalueer ik de werkelijke waarde van de gemeten grootheid?

Stel dat we bij het meten van een bepaalde waarde N resultaten ontvangen: . Het rekenkundig gemiddelde van een reeks metingen ligt dichter bij de werkelijke waarde van de gemeten grootheid dan de meeste individuele metingen. Om het resultaat van het meten van een bepaalde waarde te verkrijgen, wordt het volgende algoritme gebruikt.

1). Berekend gemiddeld reeks N directe metingen:

2). Berekend absolute willekeurige fout van elke meting is het verschil tussen het rekenkundig gemiddelde van een reeks N directe metingen en deze meting:

3). Berekend gemiddelde kwadratische absolute fout:

4). Berekend absoluut willekeurige fout. Met een klein aantal metingen kan de absolute willekeurige fout worden berekend via de gemiddelde kwadratische fout en een bepaalde coëfficiënt die de Student-coëfficiënt wordt genoemd:

De Student-coëfficiënt is afhankelijk van het aantal metingen N en de betrouwbaarheidscoëfficiënt (Tabel 1 toont de afhankelijkheid van de Student-coëfficiënt van het aantal metingen bij een vaste waarde van de betrouwbaarheidscoëfficiënt).

Betrouwbaarheidsfactor is de waarschijnlijkheid waarmee de werkelijke waarde van de gemeten waarde binnen het betrouwbaarheidsinterval valt.

Betrouwbaarheidsinterval is een numeriek interval waarin de werkelijke waarde van de gemeten grootheid met een bepaalde waarschijnlijkheid valt.

De Student-coëfficiënt is dus het getal waarmee de gemiddelde kwadratische fout moet worden vermenigvuldigd om de gespecificeerde betrouwbaarheid van het resultaat voor een bepaald aantal metingen te garanderen.

Hoe groter de vereiste betrouwbaarheid voor een bepaald aantal metingen, hoe groter de Student-coëfficiënt. Aan de andere kant: hoe groter het aantal metingen, hoe lager de Student-coëfficiënt voor een gegeven betrouwbaarheid. Bij het laboratoriumwerk van onze werkplaats gaan we ervan uit dat de betrouwbaarheid gegeven is en gelijk is aan 0,9. De numerieke waarden van Student-coëfficiënten voor deze betrouwbaarheid voor verschillende aantallen metingen worden gegeven in Tabel 1.

tafel 1

Aantal metingen N

Coëfficiënt van de student

5). Berekend totale absolute fout. Bij elke meting zijn er zowel willekeurige als systematische fouten. Het berekenen van de totale (totale) absolute meetfout is geen gemakkelijke taak, aangezien deze fouten van verschillende aard zijn.

Voor technische metingen is het zinvol om de systematische en willekeurige absolute fouten op te sommen

Voor de eenvoud van de berekeningen is het gebruikelijk om de totale absolute fout te schatten als de som van de absolute willekeurige en absolute systematische (instrumentele) fouten, als de fouten van dezelfde orde van grootte zijn, en om één van de fouten te verwaarlozen als dat zo is. meer dan een orde van grootte (10 keer) minder dan de andere.

6). De fout en het resultaat zijn afgerond. Omdat het meetresultaat wordt gepresenteerd als een interval van waarden, waarvan de waarde wordt bepaald door de totale absolute fout, is een correcte afronding van het resultaat en de fout belangrijk.

Afronding begint met absolute fout!!! Het aantal significante cijfers dat overblijft in de foutwaarde hangt in het algemeen af van de betrouwbaarheidscoëfficiënt en het aantal metingen. Maar zelfs voor zeer nauwkeurige metingen (bijvoorbeeld astronomisch), waarbij de exacte waarde van de fout belangrijk is, laat u niet meer dan twee significante cijfers achter. Een groter aantal getallen heeft geen zin, aangezien de definitie van fout zelf zijn eigen fout kent. Onze praktijk kent een relatief kleine betrouwbaarheidscoëfficiënt en een klein aantal metingen. Daarom wordt bij afronding (met overmaat) de totale absolute fout op één significant cijfer gelaten.

Het cijfer van het significante cijfer van de absolute fout bepaalt het cijfer van het eerste twijfelachtige cijfer in de resultaatwaarde. Bijgevolg moet de waarde van het resultaat zelf worden afgerond (met correctie) tot dat significante cijfer waarvan het cijfer samenvalt met het cijfer van het significante cijfer van de fout. De geformuleerde regel moet ook worden toegepast in gevallen waarin sommige getallen nullen zijn.

Als het resultaat dat wordt verkregen bij het meten van het lichaamsgewicht is, dan is het noodzakelijk om nullen te schrijven aan het einde van het getal 0,900. De opname zou betekenen dat er niets bekend was over de volgende significante cijfers, terwijl uit de metingen bleek dat deze op nul stonden.

7). Berekend relatieve fout.

Bij het afronden van de relatieve fout is het voldoende om twee significante cijfers over te houden.

R het resultaat van een reeks metingen van een bepaalde fysieke grootheid wordt gepresenteerd in de vorm van een interval van waarden, wat de waarschijnlijkheid aangeeft dat de werkelijke waarde in dit interval valt, dat wil zeggen dat het resultaat in de vorm moet worden geschreven:

Hier is de totale absolute fout, afgerond op het eerste significante cijfer, en de gemiddelde waarde van de gemeten waarde, afgerond rekening houdend met de reeds afgeronde fout. Bij het vastleggen van een meetresultaat moet u de meeteenheid van de waarde aangeven.

Laten we een paar voorbeelden bekijken:

1. Stel dat we bij het meten van de lengte van een segment het volgende resultaat krijgen: cm en cm. Hoe schrijf je het resultaat van het meten van de lengte van een segment correct op? Eerst ronden we de absolute fout af met een overmaat, waarbij één significant cijfer van de fout overblijft op de honderdste plaats. Vervolgens ronden we met de correctie de gemiddelde waarde af op het dichtstbijzijnde honderdste, dat wil zeggen op het significante cijfer waarvan het cijfer samenvalt met het cijfer van het significante cijfer van de fout zie Bereken de relatieve fout

cm; ; .

2. Laten we aannemen dat we bij het berekenen van de geleiderweerstand het volgende resultaat hebben verkregen: En . Eerst ronden we de absolute fout af, waardoor er één significant cijfer overblijft. Vervolgens ronden we het gemiddelde af op het dichtstbijzijnde gehele getal. Bereken de relatieve fout

Het meetresultaat schrijven we als volgt:

; ; .

3. Stel dat we bij het berekenen van de massa van de lading het volgende resultaat kregen: kg en kg. Eerst ronden we de absolute fout af, waardoor er één significant cijfer overblijft kg. Vervolgens ronden we het gemiddelde af op de dichtstbijzijnde tientallen kg. Bereken de relatieve fout

. .

Vragen en taken over de foutentheorie

1. Wat betekent het om een fysieke grootheid te meten? Geef voorbeelden.

2. Waarom treden meetfouten op?

3. Wat is absolute fout?

4. Wat is relatieve fout?

5. Welke fout kenmerkt de kwaliteit van de meting? Geef voorbeelden.

6. Wat is een betrouwbaarheidsinterval?

7. Definieer het concept van “systematische fout”.

8. Wat zijn de oorzaken van systematische fouten?

9. Wat is de nauwkeurigheidsklasse van een meetapparaat?

10. Hoe worden de absolute fouten van verschillende fysieke instrumenten bepaald?

11. Welke fouten worden willekeurig genoemd en hoe ontstaan ze?

12. Beschrijf de procedure voor het berekenen van de gemiddelde kwadratische fout.

13. Beschrijf de procedure voor het berekenen van de absolute willekeurige fout van directe metingen.

14. Wat is een “betrouwbaarheidsfactor”?

15. Van welke parameters en hoe hangt de Student-coëfficiënt af?

16. Hoe wordt de totale absolute fout van directe metingen berekend?

17. Schrijf formules voor het bepalen van de relatieve en absolute fouten van indirecte metingen.

18. Formuleer de regels voor het afronden van het resultaat met een fout.

19. Zoek de relatieve fout bij het meten van de lengte van de muur met behulp van een meetlint met een deelwaarde van 0,5 cm. De gemeten waarde bedroeg 4,66 m.

20. Bij het meten van de lengte van zijden A en B van de rechthoek werden respectievelijk absolute fouten ΔA en ΔB gemaakt. Schrijf een formule om de absolute fout ΔS te berekenen die wordt verkregen bij het bepalen van de oppervlakte op basis van de resultaten van deze metingen.

21. De meting van de kubusrandlengte L had een fout ΔL. Schrijf een formule om de relatieve fout van het volume van een kubus te bepalen op basis van de resultaten van deze metingen.

22. Een lichaam beweegt gelijkmatig versneld vanuit een rusttoestand. Om de versnelling te berekenen, maten we het pad S dat het lichaam aflegde en de tijd van zijn beweging t. De absolute fouten van deze directe metingen waren respectievelijk ΔS en Δt. Leid uit deze gegevens een formule af om de relatieve versnellingsfout te berekenen.

23. Bij het berekenen van het vermogen van het verwarmingsapparaat op basis van meetgegevens werden de waarden Pav = 2361,7893735 W en ΔР = 35,4822 W verkregen. Noteer het resultaat als een betrouwbaarheidsinterval, en rond het indien nodig af.

24. Bij het berekenen van de weerstandswaarde op basis van meetgegevens werden de volgende waarden verkregen: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Noteer het resultaat als een betrouwbaarheidsinterval, en rond het indien nodig af.

25. Bij het berekenen van de wrijvingscoëfficiënt op basis van meetgegevens werden de waarden μav = 0,7823735 en Δμ = 0,03348 verkregen. Noteer het resultaat als een betrouwbaarheidsinterval, en rond het indien nodig af.

26. Er werd een stroomsterkte van 16,6 A bepaald met behulp van een apparaat met een nauwkeurigheidsklasse van 1,5 en een schaalwaarde van 50 A. Zoek de absolute instrumentele en relatieve fouten van deze meting.

27. In een reeks van 5 metingen van de slingerperiode van de slinger werden de volgende waarden verkregen: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Zoek op basis van deze gegevens de absolute willekeurige fout bij het bepalen van de periode.

28. Het experiment waarbij een last van een bepaalde hoogte viel, werd zes keer herhaald. In dit geval werden de volgende waarden van de valtijd van de belasting verkregen: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Zoek de relatieve fout bij het bepalen van het tijdstip van de herfst.

De deelwaarde is een gemeten waarde die ervoor zorgt dat de wijzer één deel afwijkt. De deelwaarde wordt bepaald als de verhouding tussen de bovengrens van de meting van het apparaat en het aantal schaalverdelingen.

In het algemene geval is de procedure voor het verwerken van de resultaten van directe metingen als volgt (er wordt aangenomen dat er geen systematische fouten zijn).

Zaak 1. Het aantal dimensies is minder dan vijf.

1) Met behulp van formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden X, gedefinieerd als het rekenkundig gemiddelde van de resultaten van alle metingen, d.w.z.

2) Met behulp van formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen berekend

3) Met behulp van formule (14) wordt de gemiddelde absolute fout bepaald

4) Met behulp van formule (15) wordt de gemiddelde relatieve fout van het meetresultaat berekend

5) Noteer het eindresultaat in de volgende vorm:

, bij
.

Geval 2. Het aantal dimensies is meer dan vijf.

1) Met behulp van formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden

2) Met behulp van formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen bepaald

3) Met behulp van formule (7) wordt de root mean square error van een enkele meting berekend

4) De standaardafwijking voor de gemiddelde waarde van de gemeten waarde wordt berekend volgens formule (9).

5) Het eindresultaat wordt in het volgende formulier vastgelegd

Soms kunnen willekeurige meetfouten kleiner zijn dan de waarde die het meetapparaat (instrument) kan registreren. In dit geval wordt hetzelfde resultaat verkregen voor een willekeurig aantal metingen. In dergelijke gevallen, zoals de gemiddelde absolute fout
accepteer de helft van de waarde van de schaalverdeling van het apparaat (instrument). Deze waarde wordt soms de maximale of instrumentfout genoemd en wordt aangegeven
(voor noniusinstrumenten en stopwatch
gelijk aan de nauwkeurigheid van het apparaat).

Meting nr.

5.4. Berekening van de totale fout

Absolute fout

; .

5. Relatieve fout of meetnauwkeurigheid

; E = 0,5%.

6. Noteer het eindresultaat

Het eindresultaat voor de onderzochte waarde wordt in het formulier geschreven

Opmerking. Bij de uiteindelijke opname moeten het aantal cijfers van het resultaat en de absolute fout hetzelfde zijn.

6. Grafische weergave van meetresultaten

De resultaten van fysieke metingen worden heel vaak in grafische vorm gepresenteerd. Grafieken hebben een aantal belangrijke voordelen en waardevolle eigenschappen:

a) maken het mogelijk om het type functionele afhankelijkheid te bepalen en de grenzen waarbinnen deze geldig is;

b) een duidelijke vergelijking van experimentele gegevens met de theoretische curve mogelijk maken;

c) bij het construeren van een grafiek compenseren ze sprongen in de loop van de functie die ontstaan als gevolg van willekeurige fouten;

d) het mogelijk maken om bepaalde grootheden te bepalen of grafische differentiatie, integratie, oplossing van vergelijkingen, enz. uit te voeren.

Grafieken worden in de regel gemaakt op speciaal papier (millimeter, logaritmisch, semi-logaritmisch). Het is gebruikelijk om de onafhankelijke variabele langs de horizontale as uit te zetten, dat wil zeggen de waarde waarvan de waarde door de onderzoeker zelf wordt ingesteld, en langs de verticale as - de waarde die hij bepaalt. Houd er rekening mee dat het snijpunt van de coördinaatassen niet hoeft samen te vallen met de nulwaarden van x en y. Bij het kiezen van de oorsprong van coördinaten moet u zich laten leiden door het feit dat het hele gebied van de tekening volledig wordt gebruikt (Fig. 2.).

Op de coördinaatassen van de grafiek worden niet alleen de namen of symbolen van grootheden aangegeven, maar ook hun meeteenheden. De schaal langs de coördinaatassen moet zo worden gekozen dat de gemeten punten zich over het gehele oppervlak van de plaat bevinden. In dit geval moet de schaal eenvoudig zijn, zodat u bij het uitzetten van punten in een grafiek geen rekenkundige berekeningen in uw hoofd hoeft te maken.

Experimentele punten op de grafiek moeten nauwkeurig en duidelijk worden weergegeven. Het is nuttig om punten verkregen onder verschillende experimentele omstandigheden (bijvoorbeeld verwarming en koeling) in verschillende kleuren of met verschillende symbolen uit te zetten. Als de fout van het experiment bekend is, is het beter om in plaats van een punt een kruis of een rechthoek af te beelden, waarvan de afmetingen langs de assen overeenkomen met deze fout. Het wordt niet aanbevolen om experimentele punten met een onderbroken lijn met elkaar te verbinden. De curve in de grafiek moet vloeiend worden getekend, waarbij ervoor moet worden gezorgd dat de experimentele punten zich zowel boven als onder de curve bevinden, zoals weergegeven in figuur 3.

Bij het construeren van grafieken wordt naast een coördinatensysteem met een uniforme schaal gebruik gemaakt van zogenaamde functionele schalen. Door geschikte functies x en y te selecteren, kunt u een eenvoudiger lijn in de grafiek krijgen dan met conventionele constructie. Dit is vaak nodig bij het selecteren van een formule voor een bepaalde grafiek om de parameters ervan te bepalen. Functionele schalen worden ook gebruikt in gevallen waarin het nodig is om een deel van de curve in de grafiek uit te rekken of in te korten. De meest gebruikte functionele schaal is de logaritmische schaal (Fig. 4).

In elk experiment is het aantal metingen van een fysieke grootheid om de een of andere reden altijd beperkt. Vanwege Met Dit kan de taak met zich meebrengen om de betrouwbaarheid van het verkregen resultaat te beoordelen. Met andere woorden, bepaal met welke waarschijnlijkheid kan worden gesteld dat de in dit geval gemaakte fout de vooraf bepaalde waarde ε niet overschrijdt. Deze waarschijnlijkheid wordt gewoonlijk de begenoemd. Laten we het met een letter aanduiden.

Het omgekeerde probleem kan ook worden gesteld: het bepalen van de grenzen van het interval
, dus met een gegeven waarschijnlijkheid men zou kunnen stellen dat de ware betekenis van de kwantiteitsmetingen is zal niet verder gaan dan het gespecificeerde, zogenaamde betrouwbaarheidsinterval.

Het betrouwbaarheidsinterval karakteriseert de nauwkeurigheid van het verkregen resultaat, en de bekarakteriseert de betrouwbaarheid ervan. Methoden voor het oplossen van deze twee groepen problemen zijn beschikbaar en zijn in het bijzonder in detail ontwikkeld voor het geval waarin meetfouten volgens een normale wet worden verdeeld. De waarschijnlijkheidstheorie biedt ook methoden voor het bepalen van het aantal experimenten (herhaalde metingen) die de gespecificeerde nauwkeurigheid en betrouwbaarheid van het verwachte resultaat garanderen. In dit werk worden deze methoden niet in overweging genomen (we beperken ons tot het noemen ervan), omdat dergelijke taken meestal niet worden gesteld bij het uitvoeren van laboratoriumwerk.

Van bijzonder belang is echter het beoordelen van de betrouwbaarheid van het resultaat van metingen van fysieke grootheden met een zeer klein aantal herhaalde metingen. Bijvoorbeeld,
. Dit is precies het geval dat we vaak tegenkomen bij laboratoriumwerk in de natuurkunde. Bij het oplossen van dit soort problemen wordt aanbevolen een methode te gebruiken die gebaseerd is op de Studentenverdeling (wet).

Voor het gemak van de praktische toepassing van de betreffende methode zijn er tabellen waarmee u het betrouwbaarheidsinterval kunt bepalen
, overeenkomend met een gegeven beof het inverse probleem oplossen.

Hieronder vindt u de delen van de genoemde tabellen die nodig kunnen zijn bij het beoordelen van meetresultaten in laboratoriumklassen.

Laten we bijvoorbeeld produceren gelijkwaardige (onder identieke omstandigheden) metingen van een fysieke grootheid en de gemiddelde waarde ervan werd berekend . We moeten een betrouwbaarheidsinterval vinden , overeenkomend met een gegeven be. Het probleem wordt in grote lijnen als volgt opgelost.

Met behulp van de formule rekening houdend met (7) berekenen ze

Dan voor de gegeven waarden N en zoek uit de tabel (Tabel 2) de waarde . De vereiste waarde wordt berekend op basis van de formule

(16)

Bij het oplossen van het inverse probleem wordt de parameter eerst berekend met behulp van formule (16). De gewenste waarde van de bewordt voor een bepaald getal uit de tabel (Tabel 3) gehaald en berekende parameter .

Tafel 2. Parameterwaarde voor een bepaald aantal experimenten

en waarschijnlijkheid van vertrouwen

tafel 3 De waarde van de betrouwbaarheidskans voor een bepaald aantal experimenten N en parameter ε

In het algemene geval is de procedure voor het verwerken van de resultaten van directe metingen als volgt (er wordt aangenomen dat er geen systematische fouten zijn).

Zaak 1. Het aantal dimensies is minder dan vijf.

X, gedefinieerd als het rekenkundig gemiddelde van de resultaten van alle metingen, d.w.z.

2) Met behulp van formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen berekend

3) Met behulp van formule (14) wordt de gemiddelde absolute fout bepaald

4) Met behulp van formule (15) wordt de gemiddelde relatieve fout van het meetresultaat berekend

5) Noteer het eindresultaat in de volgende vorm:

Geval 2. Het aantal dimensies is meer dan vijf.

1) Met behulp van formule (6) wordt het gemiddelde resultaat gevonden

2) Met behulp van formule (12) worden de absolute fouten van individuele metingen bepaald

3) Met behulp van formule (7) wordt de root mean square error van een enkele meting berekend

4) De standaardafwijking voor de gemiddelde waarde van de gemeten waarde wordt berekend volgens formule (9).

5) Het eindresultaat wordt in het volgende formulier vastgelegd

Soms kunnen willekeurige meetfouten kleiner zijn dan de waarde die het meetapparaat (instrument) kan registreren. In dit geval wordt hetzelfde resultaat verkregen voor een willekeurig aantal metingen. In dergelijke gevallen wordt de helft van de waarde van de schaalverdeling van het apparaat (instrument) genomen als de gemiddelde absolute fout. Deze waarde wordt ook wel de maximale of instrumentfout genoemd en wordt aangeduid (voor noniusinstrumenten en een stopwatch is deze gelijk aan de nauwkeurigheid van het instrument).

Beoordelen van de betrouwbaarheid van meetresultaten

In elk experiment is het aantal metingen van een fysieke grootheid om de een of andere reden altijd beperkt. In dit opzicht kan de taak worden gesteld om de betrouwbaarheid van het verkregen resultaat te beoordelen. Met andere woorden, bepaal met welke waarschijnlijkheid kan worden gesteld dat de in dit geval gemaakte fout de vooraf bepaalde waarde ε niet overschrijdt. Deze waarschijnlijkheid wordt gewoonlijk de begenoemd. Laten we het aanduiden met de letter .

Het omgekeerde probleem kan ook worden gesteld: het bepalen van de grenzen van het interval zodat met een gegeven waarschijnlijkheid kan worden gesteld dat de werkelijke waarde van de meting van een grootheid niet verder zal gaan dan het gespecificeerde, zogenaamde betrouwbaarheidsinterval.

Van bijzonder belang is echter het beoordelen van de betrouwbaarheid van het resultaat van metingen van fysieke grootheden met een zeer klein aantal herhaalde metingen. Bijvoorbeeld, . Dit is precies het geval dat we vaak tegenkomen bij laboratoriumwerk in de natuurkunde. Bij het oplossen van dit soort problemen wordt aanbevolen een methode te gebruiken die gebaseerd is op de Studentenverdeling (wet).

Voor het gemak van de praktische toepassing van de beschouwde methode zijn er tabellen waarmee u het betrouwbaarheidsinterval kunt bepalen dat overeenkomt met een gegeven beof het omgekeerde probleem kunt oplossen.

Hieronder vindt u de delen van de genoemde tabellen die nodig kunnen zijn bij het beoordelen van meetresultaten in laboratoriumklassen.

Stel bijvoorbeeld dat metingen met gelijke precisie (onder identieke omstandigheden) van een fysieke grootheid worden uitgevoerd en dat de gemiddelde waarde ervan wordt berekend. Het is vereist om een betrouwbaarheidsinterval te vinden dat overeenkomt met een gegevenid. Het probleem wordt in grote lijnen als volgt opgelost.

Met behulp van de formule rekening houdend met (7) berekenen ze

Dan voor de gegeven waarden N en zoek de waarde uit de tabel (Tabel 2). De vereiste waarde wordt berekend op basis van de formule

Bij het oplossen van het inverse probleem wordt de parameter eerst berekend met behulp van formule (16). De gewenste waarde van de bewordt uit de tabel (Tabel 3) gehaald voor een bepaald getal en de berekende parameter.

Tafel 2. Parameterwaarde voor een bepaald aantal experimenten

en waarschijnlijkheid van vertrouwen

N	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

tafel 3 De waarde van de bevoor een bepaald aantal experimenten N en parameter ε

N		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
B	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Verwerking van indirecte meetresultaten

Zeer zelden wordt de inhoud van laboratoriumwerk of een wetenschappelijk experiment gereduceerd tot het verkrijgen van het resultaat van een directe meting. Voor het grootste deel is de gezochte hoeveelheid een functie van verschillende andere hoeveelheden.

De taak van het verwerken van experimenten in indirecte metingen is het berekenen van de meest waarschijnlijke waarde van de gewenste waarde en het schatten van de fout van indirecte metingen op basis van de resultaten van directe metingen van bepaalde grootheden (argumenten) die verband houden met de gewenste waarde door een bepaalde functionele relatie.

Er zijn verschillende manieren om indirecte metingen uit te voeren. Laten we de volgende twee methoden eens bekijken.

Laat een bepaalde fysieke grootheid bepalen met behulp van de methode van indirecte metingen.

De resultaten van directe metingen van de argumenten x, y, z worden gegeven in de tabel. 4.

Tabel 4

Ervaring nummer	X	j	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
N				…

De eerste manier om de resultaten te verwerken is als volgt. Met behulp van de berekeningsformule (17) wordt de gewenste waarde berekend op basis van de resultaten van elk experiment

(17)

De beschreven methode voor het verwerken van resultaten is in principe zonder uitzondering toepasbaar in alle gevallen van indirecte metingen. Het is echter het meest raadzaam om het te gebruiken als het aantal herhaalde metingen van argumenten klein is en de berekeningsformule voor de indirect gemeten waarde relatief eenvoudig is.

Bij de tweede methode voor het verwerken van experimentele resultaten berekenen ze eerst, met behulp van de resultaten van directe metingen (tabel 4), de rekenkundig gemiddelde waarden van elk van de argumenten, evenals de fouten in hun meting. Vervanging , , ,... bepaal in de rekenformule (17) de meest waarschijnlijke waarde van de gemeten grootheid

(17*)

Schatting van fouten in meetresultaten

Meetfouten en hun typen

Alle metingen worden altijd uitgevoerd met enkele fouten die verband houden met de beperkte nauwkeurigheid van de meetinstrumenten, de verkeerde keuze en fout van de meetmethode, de fysiologie van de onderzoeker, de kenmerken van de objecten die worden gemeten, veranderingen in de meetomstandigheden, enz. Daarom de meettaak omvat het vinden van niet alleen de waarde zelf, maar ook de meetfout, dat wil zeggen het interval waarin de werkelijke waarde van de gemeten grootheid zich hoogstwaarschijnlijk bevindt. Als we bijvoorbeeld een tijdsperiode t meten met een stopwatch met een deelwaarde van 0,2 s, kunnen we zeggen dat de werkelijke waarde ervan in het interval ligt van https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> en X zijn de werkelijke en gemeten waarden van de onderzochte grootheid, respectievelijk. De hoeveelheid wordt genoemd absolute fout(fout) van de meting, en de uitdrukking , die de meetnauwkeurigheid karakteriseert, wordt genoemd relatieve fout.

Het is heel natuurlijk dat de onderzoeker ernaar streeft elke meting met de grootst mogelijke nauwkeurigheid uit te voeren, maar een dergelijke aanpak is niet altijd aan te raden. Hoe nauwkeuriger we deze of gene grootheid willen meten, hoe complexer de instrumenten die we moeten gebruiken, hoe meer tijd deze metingen zullen vergen. Daarom moet de nauwkeurigheid van het eindresultaat overeenkomen met het doel van het experiment. De foutentheorie geeft aanbevelingen over hoe metingen moeten worden uitgevoerd en hoe de resultaten moeten worden verwerkt, zodat de fout minimaal is.

Alle fouten die tijdens metingen optreden, zijn gewoonlijk onderverdeeld in drie typen: systematisch, willekeurig en missers, of grove fouten.

Systematische fouten worden veroorzaakt door de beperkte productienauwkeurigheid van apparaten (instrumentfouten), tekortkomingen van de gekozen meetmethode, onnauwkeurigheid van de berekeningsformule, onjuiste installatie van het apparaat, enz. Systematische fouten worden dus veroorzaakt door factoren die op dezelfde manier werken wanneer dezelfde metingen worden vele malen herhaald. De omvang van deze fout wordt systematisch herhaald of verandert volgens een bepaalde wet. Sommige systematische fouten kunnen worden geëlimineerd (in de praktijk is dit altijd gemakkelijk te bereiken) door de meetmethode te veranderen, correcties in de instrumentaflezingen aan te brengen en rekening te houden met de constante invloed van externe factoren.

Hoewel de systematische (instrumentele) fout bij herhaalde metingen een afwijking van de gemeten waarde van de werkelijke waarde in één richting oplevert, weten we nooit welke richting. Daarom wordt de instrumentfout met een dubbel teken geschreven

Willekeurige fouten worden veroorzaakt door een groot aantal willekeurige oorzaken (veranderingen in temperatuur, druk, schudden van gebouwen, enz.), waarvan de effecten op elke meting verschillend zijn en niet op voorhand in aanmerking kunnen worden genomen. Willekeurige fouten komen ook voor als gevolg van de imperfectie van de zintuigen van de onderzoeker. Willekeurige fouten omvatten ook fouten die worden veroorzaakt door de eigenschappen van het gemeten object.

Het is onmogelijk om willekeurige fouten in individuele metingen uit te sluiten, maar het is wel mogelijk om de invloed van deze fouten op het eindresultaat te verminderen door meerdere metingen uit te voeren. Als de willekeurige fout aanzienlijk kleiner blijkt te zijn dan de instrumentele (systematische) fout, heeft het geen zin om de waarde van de willekeurige fout verder te verminderen door het aantal metingen te vergroten. Als de willekeurige fout groter is dan de instrumentfout, moet het aantal metingen worden vergroot om de waarde van de willekeurige fout te verminderen en deze kleiner of in dezelfde orde van grootte te maken als de instrumentfout.

Fouten of blunders- dit zijn onjuiste meetwaarden op het apparaat, onjuiste registratie van de meetwaarde, enz. Fouten veroorzaakt door de aangegeven redenen zijn in de regel duidelijk merkbaar, aangezien de overeenkomstige meetwaarden sterk verschillen van andere meetwaarden. Missers moeten worden geëlimineerd door controlemetingen. De breedte van het interval waarin de werkelijke waarden van de gemeten grootheden liggen, zal dus alleen worden bepaald door willekeurige en systematische fouten.

2. Schatting van systematische (instrument)fouten

Voor directe metingen de waarde van de gemeten grootheid wordt direct op de schaal van het meetapparaat geteld. De fout bij het lezen kan enkele tienden van een schaalverdeling bereiken. Bij dergelijke metingen wordt de systematische fout doorgaans gelijkgesteld aan de helft van de schaalverdeling van het meetinstrument. Wanneer u bijvoorbeeld meet met een schuifmaat met een deelwaarde van 0,05 mm, wordt de waarde van de meetfout van het instrument gelijk gesteld aan 0,025 mm.

Digitale meetinstrumenten geven de waarde van de grootheden die ze meten weer met een fout gelijk aan de waarde van één eenheid van het laatste cijfer op de instrumentschaal. Dus als een digitale voltmeter een waarde van 20,45 mV aangeeft, dan is de absolute meetfout gelijk aan mV.

Systematische fouten doen zich ook voor bij het gebruik van constante waarden die uit tabellen zijn bepaald. In dergelijke gevallen wordt aangenomen dat de fout gelijk is aan de helft van het laatste significante cijfer. Als in de tabel bijvoorbeeld de waarde van de staaldichtheid wordt gegeven als 7,9∙103 kg/m3, dan is de absolute fout in dit geval gelijk aan https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">formule wordt gebruikt

, (1)

waarbij https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24"> gedeeltelijke afgeleiden zijn van de functie met betrekking tot de variabele https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" breedte = "65 hoogte = 44" hoogte = "44">.

Partiële afgeleiden met betrekking tot variabelen D En H zal gelijk zijn

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

De formule voor het bepalen van de absolute systematische fout bij het meten van het volume van een cilinder volgens heeft dus de volgende vorm

waar en zijn instrumentfouten bij het meten van de diameter en hoogte van de cilinder

3. Schatting van willekeurige fouten.

Betrouwbaarheidsinterval en betrouwbaarheidskans

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" breedte = "12 hoogte = 23" hoogte = "23">.gif" breedte = "45" hoogte = "21 src = "> - verdelingsfunctie van willekeurige fouten (fouten), die de waarschijnlijkheid van een fout karakteriseert, σ – gemiddelde kwadratische fout.

De grootheid σ is geen willekeurige variabele en karakteriseert het meetproces. Als de meetomstandigheden niet veranderen, blijft σ een constante waarde. Het kwadraat van deze hoeveelheid wordt genoemd meetspreiding. Hoe kleiner de spreiding, hoe kleiner de spreiding van individuele waarden en hoe hoger de meetnauwkeurigheid.

De exacte waarde van de gemiddelde kwadratische fout σ, evenals de werkelijke waarde van de gemeten waarde, is onbekend. Er bestaat een zogenaamde statistische schatting van deze parameter, volgens welke de gemiddelde kwadratische fout gelijk is aan de gemiddelde kwadratische fout van het rekenkundig gemiddelde. De waarde hiervan wordt bepaald door de formule

, (3)

waarbij https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> het rekenkundig gemiddelde is van de verkregen waarden; N– aantal metingen.

Hoe groter het aantal metingen, hoe minder https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, en de willekeurige absolute fout, de het meetresultaat wordt vastgelegd in de vorm https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> tot , die de werkelijke waarde van de gemeten grootheid bevat μ, wordt genoemd Betrouwbaarheidsinterval. Omdat https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> dicht bij σ ligt. Om het betrouwbaarheidsinterval en de betrouwbaarheidskans te vinden met een Er wordt gebruik gemaakt van een klein aantal metingen, waarmee we tijdens laboratoriumwerk te maken krijgen Kansverdeling voor studenten. Dit is de kansverdeling van een willekeurige variabele genaamd Coëfficiënt van de student, geeft de waarde van het betrouwbaarheidsinterval in fracties van de wortel van de kwadratische fout van het rekenkundig gemiddelde.

De waarschijnlijkheidsverdeling van deze grootheid is niet afhankelijk van σ2, maar hangt in belangrijke mate af van het aantal experimenten N. Met een toenemend aantal experimenten N de Student-verdeling neigt naar de Gauss-verdeling.

De verdelingsfunctie is in tabelvorm weergegeven (Tabel 1). De waarde van de Student-coëfficiënt bevindt zich op het snijpunt van de lijn die overeenkomt met het aantal metingen N en de kolom die overeenkomt met de beα

Tafel 1.

Met behulp van de tabelgegevens kunt u:

1) bepaal het betrouwbaarheidsinterval, gegeven een bepaalde waarschijnlijkheid;

2) selecteer een betrouwbaarheidsinterval en bepaal deid.

Voor indirecte metingen: de gemiddelde kwadratische fout van de rekenkundig gemiddelde waarde van de functie berekend met de formule

. (5)

Het betrouwbaarheidsinterval en de betrouwbaarheidskans worden op dezelfde manier bepaald als bij directe metingen.

Schatting van de totale meetfout. Noteer het eindresultaat.

De totale fout van het meetresultaat van de waarde X zal worden bepaald als de wortelgemiddelde kwadratische waarde van de systematische en willekeurige fouten

, (6)

Waar δх – instrumentfout, Δ X- willekeurige fout.

X kan een direct of indirect gemeten grootheid zijn.

, α=…, E=… (7)

Houd er rekening mee dat de formules van de foutentheorie zelf geldig zijn voor een groot aantal metingen. Daarom wordt de waarde van de willekeurige waarde, en dus de totale fout, op klein bepaald N met een grote fout. Bij het berekenen van Δ X met het aantal metingen wordt aanbevolen om één significant cijfer te beperken als dit groter is dan 3 en twee als het eerste significante cijfer kleiner is dan 3. Bijvoorbeeld als Δ X= 0,042, dan gooien we 2 weg en schrijven we Δ X=0,04, en als Δ X=0,123, dan schrijven we Δ X=0,12.

Het aantal cijfers van het resultaat en de totale fout moeten hetzelfde zijn. Daarom moet het rekenkundig gemiddelde van de fout hetzelfde zijn. Daarom wordt het rekenkundig gemiddelde eerst één cijfer meer berekend dan de meting, en bij het registreren van het resultaat wordt de waarde ervan verfijnd tot het aantal cijfers van de totale fout.

4. Methodologie voor het berekenen van meetfouten.

Fouten van directe metingen

Bij het verwerken van de resultaten van directe metingen wordt aanbevolen om de volgende volgorde van handelingen aan te houden.

Er worden metingen van een bepaalde fysieke parameter uitgevoerd N keer onder dezelfde omstandigheden, en de resultaten worden vastgelegd in een tabel. Als de resultaten van sommige metingen qua waarde sterk afwijken van andere metingen, worden ze als missers weggegooid als ze na verificatie niet worden bevestigd. Het rekenkundig gemiddelde van n identieke metingen wordt berekend. Deze wordt genomen als de meest waarschijnlijke waarde van de gemeten grootheid

De absolute fouten van individuele metingen worden gevonden. De kwadraten van de absolute fouten van individuele metingen worden berekend (Δ X i)2 De wortelgemiddelde kwadratische fout van het rekenkundig gemiddelde wordt bepaald

De waarde van de betrouwbaarheidskans α wordt ingesteld. In werkplaatslaboratoria is het gebruikelijk om α=0,95 in te stellen. De Student-coëfficiënt wordt gevonden voor een gegeven betrouwbaarheidskans α en het aantal uitgevoerde metingen (zie tabel).

De totale fout wordt bepaald

De relatieve fout van het meetresultaat wordt geschat

Het eindresultaat wordt in het formulier geschreven

C α=… E=…%.

5. Fout bij indirecte metingen

Bij het beoordelen van de werkelijke waarde van een indirect gemeten waarde https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> kunnen twee methoden worden gebruikt.

Eerste manier gebruikt als de waarde j bepaald onder verschillende experimentele omstandigheden. In dit geval wordt het voor elk van de waarden berekend , en vervolgens wordt het rekenkundig gemiddelde van alle waarden bepaald ja

De systematische (instrumentele) fout wordt gevonden op basis van de bekende instrumentele fouten van alle metingen met behulp van de formule. De willekeurige fout wordt in dit geval gedefinieerd als de fout van directe meting.

Tweede manier is van toepassing als deze functie j wordt meerdere keren bepaald met dezelfde metingen..gif" width="75" height="24">. In onze laboratoriumpraktijk wordt vaker gebruik gemaakt van de tweede methode voor het bepalen van een indirect gemeten grootheid j. De systematische (instrumentele) fout wordt, net als bij de eerste methode, gevonden op basis van de bekende instrumentele fouten van alle metingen met behulp van de formule

. (10)

Om de willekeurige fout van een indirecte meting te vinden, worden eerst de wortelgemiddelde-kwadratenfouten van het rekenkundig gemiddelde van individuele metingen berekend. Vervolgens wordt de gemiddelde kwadratische fout van de waarde gevonden j. De betrouwbaarheidskans α instellen, de Student-coëfficiënt https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23"> vinden, met α=… E=…% .

6. Voorbeeld van laboratoriumwerkontwerp

Laboratoriumwerk nr. 1

BEPALING VAN HET CILINDERVOLUME

Accessoires: remklauw met een deelwaarde van 0,05 mm, een micrometer met een deelwaarde van 0,01 mm, een cilindrisch lichaam.

Doel van het werk: vertrouwd raken met de eenvoudigste fysieke metingen, bepalen van het volume van een cilinder, berekenen van fouten bij directe en indirecte metingen.

Meet de diameter van de cilinder minimaal 5 keer met een schuifmaat en de hoogte met een micrometer.

Rekenformule voor het berekenen van de inhoud van een cilinder

waarbij d de diameter van de cilinder is; h – hoogte.

Meetresultaten

Tafel 2.