Hoe de karakteristieke polynoom van een matrix te vinden. Karakteristieke polynoom en karakteristieke getallen van de matrix

Laten we een vierkante matrix van orde krijgen N. Karakteristieke matrixmatrix A heet een matrix

=waarbij de variabele λ willekeurige numerieke waarden aanneemt.

De determinant van de matrix is ​​een polynoom N de macht van λ. Dit polynoom wordt het karakteristieke polynoom van de matrix genoemd A, vergelijking =0 is de karakteristieke vergelijking, en de wortels https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> worden elke genoemd niet-nul vector X, die voldoet aan de voorwaarde https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – nummer.

Het getal wordt de eigenwaarde van de transformatie genoemd https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)

Als de eigenwaarde bekend is λ , dan alle eigenvectoren van de matrix A, behorend tot deze eigenwaarde, worden gevonden als niet-nul oplossingen van dit systeem. Aan de andere kant dit homogene systeem met een vierkante matrix A–λE heeft oplossingen die niet nul zijn X dan en slechts dan als de determinant van de matrix van dit systeem gelijk is aan nul en λ behoort tot het betreffende vakgebied R. Maar dit betekent dat λ is de wortel van de karakteristieke polynoom en behoort tot het veld R. De karakteristieke getallen van de matrix die tot het hoofdveld behoren, en alleen zij, zijn dus de eigenwaarden. Om alle eigenwaarden van een matrix te vinden A je moet alle karakteristieke nummers vinden en daaruit alleen de nummers selecteren die tot het hoofdveld behoren R, en om alle eigenvectoren van de matrix te vinden A alles moeten vinden niet-nul systeem oplossingen (*) bij elke eigenwaarde λ matrices A.

Voorbeeld 1. Vind eigenwaarden en eigenvectoren van een reële matrix .

Oplossing. Karakteristieke polynoom van een matrix A heeft de vorm:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(vermenigvuldigen (2)e kolom per nummer (-2) en toevoegen met (1m kolom) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(vermenigvuldigen (1)de kolom per nummer (-1) en toevoegen met (3m kolom) = =(vermenigvuldigen (1)de lijn naar nummer (2) en toevoegen met (2)e lijn) = =(vermenigvuldigen (2)e kolom per nummer (-2) en toevoegen met (3m kolom) =
.

Het karakteristieke polynoom heeft dus wortels λ1=6, λ2=λ3= – 3. Ze zijn allemaal reëel en zijn daarom eigenwaarden van de matrix A.

Bij λ=6 systeem ( A–λE)X=0 ziet eruit als https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src= ">.

De algemene oplossing is X=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, het geeft een algemeen beeld van de eigenvectoren van de matrix A, behorend bij de eigenwaarde λ= – 3.

Definitie

Voor een gegeven matrix , , waar E - identiteitsmatrix, is een polynoom in , dat wordt genoemd karakteristieke polynoom matrices A(soms ook de “seculiere vergelijking”).

De waarde van de karakteristieke polynoom is dat de eigenwaarden van de matrix de wortels zijn. Als de vergelijking een oplossing heeft die niet nul is, dan is de matrix singulier en is de determinant gelijk aan nul.

Gerelateerde definities

Eigenschappen

.

Koppelingen

• V. Yu Kiselev, A.S. Pyartli, T.F. Kalugina Hogere wiskunde. Lineaire algebra . - Ivanovo Staatsenergieuniversiteit.

Wikimedia Stichting. 2010.

• Referentiecurve
• Harald III (koning van Noorwegen)

Zie wat "Karakteristische polynoom van een matrix" is in andere woordenboeken:

Karakteristiek polynoom- In de wiskunde kan een karakteristiek polynoom betekenen: een karakteristiek polynoom van een matrix, een karakteristiek polynoom van een lineair terugkerende reeks, een karakteristiek polynoom van een gewone differentiaalvergelijking... ... Wikipedia

KARAKTERISTISCH POLYNOMIAAL- een matrix over het veld K is een polynoom over het veld K. De graad van X. m is gelijk aan de orde van de vierkante matrix A, de coëfficiënt b1 is gelijk aan het spoor van de matrix (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), is de coëfficiënt b t gelijk aan de som van alle hoofdmineurs van de e orde, in het bijzonder bn=detA... Wiskundige encyclopedie

Minimale matrixpolynoom- Deze term heeft andere betekenissen, zie Minimumpolynoom. Een minimaal matrixpolynoom is een annihilerend unitair polynoom van minimale graad. Eigenschappen De minimale polynoom verdeelt de karakteristieke polynoom van de matrix... ... Wikipedia

Lambda-matrices- Hoofdartikel: Functies van matrices Lambda-matrix (λ-matrix, matrix van polynomen) is een vierkante matrix waarvan de elementen polynomen zijn over een bepaald getalveld. Als er een matrixelement is dat een polynoom is... Wikipedia

SPECTRUM VAN DE MATRIX- de verzameling van zijn eigenwaarden. Zie ook Karakteristieke polynoom van een matrix... Wiskundige encyclopedie

Karakteristiek nummer van de matrix- De eigenvector wordt in rood aangegeven. In tegenstelling tot de blauwe veranderde deze tijdens de vervorming niet van richting en lengte, daarom is het een eigenvector die overeenkomt met de eigenwaarde λ = 1. Elke vector parallel aan de rode vector... ... Wikipedia

Soortgelijke matrices- Vierkante matrices A en B van dezelfde orde worden soortgelijk genoemd als er een niet-singuliere matrix P van dezelfde orde bestaat, zodat: Soortgelijke matrices worden verkregen door dezelfde lineaire transformatie te specificeren door een matrix in verschillende... ... Wikipedia

Karakteristieke matrix

Karakteristieke vergelijking- Een karakteristiek polynoom is een polynoom dat de eigenwaarden van een matrix bepaalt. Een andere betekenis: de karakteristieke polynoom van een lineaire recurrent is een polynoom. Inhoud 1 Definitie ... Wikipedia

De stelling van Hamilton- De stelling van Hamilton Cayley is een bekende stelling uit de matrixtheorie, genoemd naar William Hamilton en Arthur Cayley. De stelling van Hamilton Cayley Elke vierkante matrix voldoet aan zijn karakteristieke vergelijking. Als... Wikipedia

Definitie

Voor een gegeven matrix , , waar E- de identiteitsmatrix is ​​een polynoom in , dat wordt genoemd karakteristieke polynoom matrices A(soms ook de “seculiere vergelijking”).

De waarde van de karakteristieke polynoom is dat de eigenwaarden van de matrix de wortels zijn. Als de vergelijking een oplossing heeft die niet nul is, dan is de matrix singulier en is de determinant gelijk aan nul.

Gerelateerde definities

Eigenschappen

.

Koppelingen

• V. Yu Kiselev, A.S. Pyartli, T.F. Kalugina Hogere wiskunde. Lineaire algebra . - Ivanovo Staatsenergieuniversiteit.

Wikimedia Stichting. 2010.

Zie wat "Karakteristische polynoom van een matrix" is in andere woordenboeken:

In de wiskunde kan een karakteristiek polynoom betekenen: een karakteristiek polynoom van een matrix, een karakteristiek polynoom van een lineair terugkerende reeks, een karakteristiek polynoom van een gewone differentiaalvergelijking... ... Wikipedia

Matrices over het veld K zijn een polynoom over het veld K. De graad van X. m is gelijk aan de orde van de vierkante matrix A, de coëfficiënt b1 is gelijk aan het spoor van de matrix (b1 = tr A = a11+ a 22+ ... +a pp), is de coëfficiënt b t gelijk aan de som van alle hoofdminoren van de e orde, in het bijzonder bn=detA... Wiskundige encyclopedie

Deze term heeft andere betekenissen, zie Minimale polynoom. Een minimaal matrixpolynoom is een annihilerend unitair polynoom van minimale graad. Eigenschappen De minimale polynoom verdeelt de karakteristieke polynoom van de matrix... ... Wikipedia

Hoofd artikel: Functies van matrices Lambda-matrix (λ-matrix, matrix van polynomen) is een vierkante matrix waarvan de elementen polynomen zijn over een getalveld. Als er een matrixelement is dat een polynoom is... Wikipedia

De verzameling eigenwaarden. Zie ook Karakteristieke polynoom van een matrix... Wiskundige encyclopedie

De eigenvector wordt in rood weergegeven. In tegenstelling tot de blauwe veranderde deze tijdens de vervorming niet van richting en lengte, daarom is het een eigenvector die overeenkomt met de eigenwaarde λ = 1. Elke vector parallel aan de rode vector... ... Wikipedia

Van vierkante matrices A en B van dezelfde orde wordt gezegd dat ze vergelijkbaar zijn als er een niet-singuliere matrix P van dezelfde orde bestaat, zodat: Soortgelijke matrices worden verkregen door dezelfde lineaire transformatie van de matrix in verschillende... .. .Wikipedia

Een karakteristieke polynoom is een polynoom dat de eigenwaarden van een matrix definieert. Een andere betekenis: de karakteristieke polynoom van een lineaire recurrent is een polynoom. Inhoud 1 Definitie ... Wikipedia

De stelling van Hamilton Cayley is een bekende stelling uit de matrixtheorie, genoemd naar William Hamilton en Arthur Cayley. De stelling van Hamilton Cayley Elke vierkante matrix voldoet aan zijn karakteristieke vergelijking. Als... Wikipedia

Beschouw de vierkante matrix A = ||аik||1n. De karakteristieke matrix voor matrix A heet matrix LE-A.

l - een 11 - een 12 ... - een 1n

lE-A = -a21 l - a22 ... -a 2n

….…………………… .

Een n1 -een n2 ... l - ann

Determinant van de karakteristieke matrix

?(l) = |le-A| = |l dik - aik|1n

is een scalaire polynoom met betrekking tot l en wordt de karakteristieke polynoom van de matrix A genoemd.

We zullen de matrix B(l) = ||bik (l)||1n noemen, waarbij bik (l) het algebraïsche complement is van het element ldik - аik in de determinant?(l), de adjunct-matrix voor de matrix A .

Om de leidende termen van de karakteristieke polynoom te vinden, gebruiken we het feit dat de waarde van de determinant gelijk is aan de som van de producten van zijn elementen, één uit elke rij en elke kolom genomen en voorzien van de juiste tekens. Om de term te verkrijgen die de hoogste graad heeft ten opzichte van l, is het daarom noodzakelijk om de producten van de elementen van de hoogste graad te nemen. In ons geval zal een dergelijk product slechts één product zijn van diagonale elementen (l - a11) (l - a22) ... (l - ann). Alle andere producten die in de determinant zijn opgenomen, hebben een graad die niet hoger is dan n-2, want als een van de factoren van een dergelijk product aik (i ? k) is, dan zal dit product de factoren l-aii, l-acc en zal daarom graden niet meer dan n-2 zijn. Dus ?(l) = (l - a11) ... (l - am) + termen van graad niet hoger dan n-2, of

?(l) = ln - (a11 + … + ann) ln-1 + …(22)

De som van de diagonale elementen van een matrix wordt het spoor genoemd. Formule (22) laat zien dat de graad van de karakteristieke polynoom van een matrix gelijk is aan de orde van deze matrix, de leidende coëfficiënt van de karakteristieke polynoom 1 is en de coëfficiënt van ln-1 gelijk is aan het spoor van de matrix genomen met het tegenovergestelde teken.

Stelling 3. De karakteristieke polynomen van soortgelijke matrices zijn aan elkaar gelijk.

Uit deze stelling volgt in het bijzonder dat soortgelijke matrices identieke sporen en determinanten hebben, aangezien het spoor en de determinant van een matrix, genomen met de juiste tekens, de coëfficiënten zijn van zijn karakteristieke polynoom.

De wortels van de karakteristieke polynoom van een matrix worden de karakteristieke getallen of eigenwaarden genoemd. De meervoudige wortels van de karakteristieke polynoom worden de meervoudige eigenwaarden van de matrix genoemd. Het is bekend dat de som van alle reële en complexe wortels van een polynoom van graad n, met een leidende coëfficiënt van 1, gelijk is aan de coëfficiënt van de (n-1)e graad van de variabele genomen met het tegenovergestelde teken. Formule (22) laat dus zien dat op het gebied van complexe getallen de som van alle eigenwaarden van een matrix gelijk is aan zijn spoor.

Stelling van Hamilton en Caelie. Elke matrix is ​​de wortel van zijn karakteristieke polynoom, d.w.z. ?(A)= 0.

?(l) = l - 2 -1 = lI - 5l + 7,

?(A) = AI - 5A + 7E = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.