Wat zijn de basiseigenschappen van de onbepaalde integraal? De eenvoudigste eigenschappen van integralen

In dit artikel zullen we de belangrijkste eigenschappen van de bepaalde integraal opsommen. De meeste van deze eigenschappen zijn bewezen op basis van de concepten van de bepaalde integraal van Riemann en Darboux.

De berekening van de definitieve integraal wordt heel vaak gedaan met behulp van de eerste vijf eigenschappen, dus we zullen daar indien nodig naar verwijzen. De overige eigenschappen van de bepaalde integraal worden voornamelijk gebruikt om verschillende uitdrukkingen te evalueren.

Voordat we verder gaan basiseigenschappen van de bepaalde integraal Laten we het erover eens zijn dat a niet groter is dan b.

Voor de functie y = f(x) gedefinieerd bij x = a is de gelijkheid waar.

Dat wil zeggen, de waarde van een bepaalde integraal met dezelfde integratiegrenzen is gelijk aan nul. Deze eigenschap is een gevolg van de definitie van de Riemann-integraal, aangezien in dit geval elke integrale som voor elke partitie van het interval en elke keuze van punten gelijk is aan nul, aangezien daarom de limiet van integrale sommen nul is.

Voor een functie die op een interval integreerbaar is, .

Met andere woorden, wanneer de boven- en ondergrenzen van integratie van plaats veranderen, verandert de waarde van de definitieve integraal in het tegenovergestelde. Deze eigenschap van een bepaalde integraal volgt ook uit het concept van de Riemann-integraal: alleen de nummering van de partitie van het segment mag beginnen vanaf het punt x = b.

voor functies die integreerbaar zijn op een interval y = f(x) en y = g(x) .

Bewijs.

Laten we de integrale som van de functie opschrijven voor een gegeven partitie van een segment en een gegeven keuze van punten:

waarbij en zijn de integrale sommen van respectievelijk de functies y = f(x) en y = g(x) voor een gegeven partitie van het segment.

Tot het uiterste gaan bij we verkrijgen dat, volgens de definitie van de Riemann-integraal, equivalent is aan de verklaring van de eigenschap die wordt bewezen.

De constante factor kan uit het teken van de bepaalde integraal worden gehaald. Dat wil zeggen, voor een functie y = f(x) integreerbaar op een interval en een willekeurig getal k, geldt de volgende gelijkheid: .

Het bewijs van deze eigenschap van de bepaalde integraal is absoluut vergelijkbaar met de vorige:


Laat de functie y = f(x) integreerbaar zijn op het interval X, en en dan .

Deze eigenschap geldt voor zowel , en of .

Het bewijs kan worden uitgevoerd op basis van de eerdere eigenschappen van de bepaalde integraal.

Als een functie integreerbaar is op een interval, dan is deze integreerbaar op elk intern interval.

Het bewijs is gebaseerd op de eigenschap van Darboux-sommen: als nieuwe punten worden toegevoegd aan een bestaande partitie van een segment, zal de onderste Darboux-som niet afnemen en de bovenste niet toenemen.

Als de functie y = f(x) integreerbaar is op het interval en voor elke waarde van het argument, dan .

Deze eigenschap wordt bewezen door de definitie van de Riemann-integraal: elke integrale som voor elke keuze van partitiepunten van het segment en punten op zal niet-negatief (niet positief) zijn.

Gevolg.

Voor functies y = f(x) en y = g(x) integreerbaar op een interval gelden de volgende ongelijkheden:


Deze verklaring betekent dat integratie van ongelijkheden toelaatbaar is. We zullen dit uitvloeisel gebruiken om de volgende eigenschappen te bewijzen.

Laat de functie y = f(x) integreerbaar zijn op het interval , dan geldt de ongelijkheid .

Bewijs.

Dat is duidelijk . In de vorige eigenschap kwamen we erachter dat de ongelijkheid term voor term kan worden geïntegreerd, en daarom is het waar . Deze dubbele ongelijkheid kan worden geschreven als .

Laat de functies y = f(x) en y = g(x) integreerbaar zijn op het interval en voor elke waarde van het argument , dan , Waar En .

Het bewijs wordt op dezelfde manier uitgevoerd. Omdat m en M de kleinste en grootste waarden zijn van de functie y = f(x) op het segment , dus . Het vermenigvuldigen van de dubbele ongelijkheid met een niet-negatieve functie y = g(x) leidt ons tot de volgende dubbele ongelijkheid. Door het op het interval te integreren, komen we tot de bewering die wordt bewezen.

In differentiaalrekening is het probleem opgelost: onder deze functie ƒ(x) vind je de afgeleide(of differentieel). Integraalrekening lost het inverse probleem op: vind de functie F(x), wetende de afgeleide F "(x)=ƒ(x) (of differentiaal). De gezochte functie F(x) wordt de primitieve van de functie ƒ(x) genoemd. ).

De functie F(x) wordt aangeroepen primitief functie ƒ(x) op het interval (a; b), als voor elke x є (a; b) de gelijkheid

F " (x)=ƒ(x) (of dF(x)=ƒ(x)dx).

Bijvoorbeeld, de primitief van de functie y = x 2, x є R, is de functie, aangezien

Uiteraard zullen alle functies ook primitieve functies zijn

waarbij C een constante is, aangezien

Stelling 29. 1. Als de functie F(x) een primitieve afgeleide is van de functie ƒ(x) op (a;b), dan wordt de verzameling van alle primitieve woorden voor ƒ(x) gegeven door de formule F(x)+ C, waarbij C een constant getal is.

▲ De functie F(x)+C is een primitieve vorm van ƒ(x).

(F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Laat Ф(х) een andere primitieve afgeleide zijn van de functie ƒ(x), verschillend van F(x), d.w.z. Ф "(x)=ƒ(х). Dan hebben we voor elke x є (а; b)

En dit betekent (zie Gevolg 25.1) dat

waarbij C een constant getal is. Daarom is Ф(x)=F(x)+С.▼

De verzameling van alle primitieve functies F(x)+С voor ƒ(x) wordt aangeroepen onbepaalde integraal van de functie ƒ(x) en wordt aangegeven met het symbool ∫ ƒ(x) dx.

Per definitie dus

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Hier wordt ƒ(x) genoemd integrand-functie, ƒ(x)dx — integrand-expressie, X - integratievariabele, ∫ -teken van de onbepaalde integraal.

De bewerking van het vinden van de onbepaalde integraal van een functie wordt het integreren van deze functie genoemd.

Geometrisch gezien is de onbepaalde integraal een familie van “parallelle” curven y=F(x)+C (elke numerieke waarde van C komt overeen met een specifieke curve van de familie) (zie Fig. 166). De grafiek van elk primitief (curve) wordt genoemd integrale kromme.

Heeft elke functie een onbepaalde integraal?

Er bestaat een stelling die stelt dat ‘elke functie die continu is op (a;b) een primitief heeft op dit interval’, en bijgevolg een onbepaalde integraal.

Laten we een aantal eigenschappen van de onbepaalde integraal opmerken die uit de definitie ervan volgen.

1. Het differentieel van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand, en de afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

D(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

D(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Dankzij deze eigenschap wordt de juistheid van de integratie gecontroleerd door differentiatie. Gelijkheid bijvoorbeeld

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

waar, aangezien (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. De onbepaalde integraal van het differentieel van een bepaalde functie is gelijk aan de som van deze functie en een willekeurige constante:

∫dF(x)= F(x)+C.

Echt,

3. De constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald:

α ≠ 0 is een constante.

Echt,

(zet C 1 / a = C.)

4. De onbepaalde integraal van de algebraïsche som van een eindig aantal continue functies is gelijk aan de algebraïsche som van de integralen van de sommaties van de functies:

Stel F"(x)=ƒ(x) en G"(x)=g(x). Dan

waarbij C 1 ±C 2 =C.

5. (Invariantie van de integratieformule).

Als , waarbij u=φ(x) een willekeurige functie is met een continue afgeleide.

▲ Zij x een onafhankelijke variabele, ƒ(x) een continue functie en F(x) de primitieve functie ervan. Dan

Laten we nu u=φ(x) instellen, waarbij φ(x) een continu differentieerbare functie is. Beschouw de complexe functie F(u)=F(φ(x)). Vanwege de onveranderlijkheid van de vorm van het eerste differentiaal van de functie (zie p. 160), hebben we dat gedaan

Vanaf hier▼

De formule voor de onbepaalde integraal blijft dus geldig, ongeacht of de integratievariabele de onafhankelijke variabele is of een functie ervan die een continue afgeleide heeft.

Dus uit de formule door x te vervangen door u (u=φ(x)) krijgen we

In het bijzonder,

Voorbeeld 29.1. Zoek de integraal

waarbij C=C1+C2+C3+C4.

Voorbeeld 29.2. Vind de integrale oplossing:

• 29.3. Tabel met onbepaalde basisintegralen

Door gebruik te maken van het feit dat integratie de omgekeerde actie is van differentiatie, kan men een tabel met basisintegralen verkrijgen door de overeenkomstige formules van de differentiaalrekening (tabel met differentiëlen) om te keren en de eigenschappen van de onbepaalde integraal te gebruiken.

Bijvoorbeeld, omdat

d(zonde u)=cos u . du

De afleiding van een aantal formules in de tabel zal worden gegeven bij het beschouwen van de basismethoden voor integratie.

De integralen in de onderstaande tabel worden tabellarisch genoemd. Ze moeten uit het hoofd gekend worden. Bij integraalrekening zijn er geen eenvoudige en universele regels voor het vinden van primitieve waarden van elementaire functies, zoals bij differentiaalrekening. Methoden voor het vinden van primitieve waarden (dat wil zeggen het integreren van een functie) worden beperkt tot het aangeven van technieken die een gegeven (gezochte) integraal naar een tabelvorm brengen. Daarom is het noodzakelijk om tabelintegralen te kennen en te kunnen herkennen.

Merk op dat in de tabel met basisintegralen de integratievariabele zowel een onafhankelijke variabele als een functie van de onafhankelijke variabele kan aanduiden (volgens de invariantie-eigenschap van de integratieformule).

De geldigheid van de onderstaande formules kan worden geverifieerd door het differentieel aan de rechterkant te nemen, dat gelijk zal zijn aan de integrand aan de linkerkant van de formule.

Laten we bijvoorbeeld de geldigheid van formule 2 bewijzen. De functie 1/u is gedefinieerd en continu voor alle waarden van en anders dan nul.

Als u > 0, dan is ln|u|=lnu dan Daarom

Als je<0, то ln|u|=ln(-u). НоMiddelen

Formule 2 klopt dus. Laten we op dezelfde manier formule 15 eens bekijken:

Tabel met de belangrijkste integralen

Vrienden! Wij nodigen u uit om te discussiëren. Als u uw eigen mening heeft, schrijf ons dan in de reacties.

Deze eigenschappen worden gebruikt om transformaties van de integraal uit te voeren om deze terug te brengen tot een van de elementaire integralen en verdere berekeningen.

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

2. Het differentieel van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

3. De onbepaalde integraal van het differentieel van een bepaalde functie is gelijk aan de som van deze functie en een willekeurige constante:

4. De constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald:

Bovendien is een ≠ 0

5. De integraal van de som (verschil) is gelijk aan de som (verschil) van de integralen:

6. Eigendom is een combinatie van eigendommen 4 en 5:

Bovendien geldt: a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invariantie-eigenschap van de onbepaalde integraal:

Als dan

8. Eigendom:

Als dan

In feite is deze eigenschap een speciaal geval van integratie met behulp van de variabele veranderingsmethode, die in de volgende sectie in meer detail wordt besproken.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

Eerst pasten we eigenschap 5 toe, daarna eigenschap 4, daarna gebruikten we de tabel met primitieve waarden en kregen het resultaat.

Het algoritme van onze online integraalcalculator ondersteunt alle hierboven genoemde eigenschappen en zal gemakkelijk een gedetailleerde oplossing voor uw integraal vinden.

Antiderivatieve en onbepaalde integraal.

Een primitieve functie van een functie f(x) op het interval (a; b) is een functie F(x) zodat de gelijkheid geldt voor elke x uit het gegeven interval.

Als we rekening houden met het feit dat de afgeleide van de constante C gelijk is aan nul, dan is de gelijkheid waar . De functie f(x) heeft dus een reeks primitieve getallen F(x)+C, voor een willekeurige constante C, en deze primitieve getallen verschillen van elkaar met een willekeurige constante waarde.

De gehele verzameling primitieve woorden van de functie f(x) wordt de onbepaalde integraal van deze functie genoemd en wordt aangeduid .

De uitdrukking wordt de integrand genoemd, en f(x) wordt de integrand genoemd. De integrand vertegenwoordigt het differentieel van de functie f(x).

De actie van het vinden van een onbekende functie gegeven zijn differentiaal wordt onbepaalde integratie genoemd, omdat het resultaat van integratie niet één functie F(x) is, maar een reeks primitieve functies F(x)+C.

Tabelintegralen

De eenvoudigste eigenschappen van integralen

1. De afgeleide van het integratieresultaat is gelijk aan de integrand.

2. De onbepaalde integraal van het differentieel van een functie is gelijk aan de som van de functie zelf en een willekeurige constante.

3. De coëfficiënt kan uit het teken van de onbepaalde integraal worden gehaald.

4. De onbepaalde integraal van de som/het verschil van functies is gelijk aan de som/het verschil van de onbepaalde integralen van functies.

Tussenliggende gelijkheden van de eerste en tweede eigenschappen van de onbepaalde integraal worden ter verduidelijking gegeven.

Om de derde en vierde eigenschap te bewijzen, volstaat het om de afgeleiden van de rechterkant van de gelijkheden te vinden:

Deze afgeleiden zijn gelijk aan de integranden, wat een bewijs is vanwege de eerste eigenschap. Het wordt ook gebruikt bij de laatste overgangen.

Het integratieprobleem is dus het omgekeerde van het probleem van differentiatie, en er bestaat een zeer nauw verband tussen deze problemen:

met de eerste eigenschap kan men de integratie controleren. Om de juistheid van de uitgevoerde integratie te controleren, volstaat het om de afgeleide van het verkregen resultaat te berekenen. Als de als resultaat van differentiatie verkregen functie gelijk blijkt te zijn aan de integrand, betekent dit dat de integratie correct is uitgevoerd;

de tweede eigenschap van de onbepaalde integraal maakt het mogelijk om zijn primitief te vinden op basis van een bekend differentiaal van een functie. De directe berekening van onbepaalde integralen is gebaseerd op deze eigenschap.

1.4.Invariantie van integratievormen.

Invariante integratie is een soort integratie voor functies waarvan de argumenten elementen zijn van een groep of punten van een homogene ruimte (elk punt in zo'n ruimte kan door een bepaalde actie van de groep naar een ander worden overgedragen).

functie f(x) reduceert tot het berekenen van de integraal van de differentiaalvorm f.w, waarbij

Hieronder wordt een expliciete formule voor r(x) gegeven. De overeenkomstvoorwaarde heeft de vorm .

hier betekent Tg de ploegoperator op X die gОG gebruikt: Tgf(x)=f(g-1x). Laat X=G een topologie zijn, een groep die op zichzelf inwerkt door verschuivingen naar links. Ik en. bestaat dan en slechts dan als G lokaal compact is (in het bijzonder bestaat I.I. voor oneindig-dimensionale groepen niet). Voor een subset van I. en. karakteristieke functie cA (gelijk aan 1 op A en 0 buiten A) specificeert de linker Xaar-maat m(A). De bepalende eigenschap van deze maatstaf is de invariantie ervan onder verschuivingen naar links: m(g-1A)=m(A) voor alle gОG. De linker Haar-maatstaf voor een groep is uniek gedefinieerd tot aan een positieve scalaire factor. Als de Haarmaat m bekend is, dan I. en. functie f wordt gegeven door de formule . De rechter Haarmaat heeft vergelijkbare eigenschappen. Er is een continu homomorfisme (kaart met behoud van de groepseigenschap) DG van de groep G in de groep (met betrekking tot vermenigvuldiging) poneren. nummers waarvoor

waarbij dmr en dmi de rechter en linker Haar-maten zijn. De functie DG(g) wordt aangeroepen module van de groep G. Als , dan wordt de groep G opgeroepen. unimodulair; in dit geval vallen de rechter en linker Haar-maten samen. Compacte, semi-eenvoudige en nilpotente (in het bijzonder commutatieve) groepen zijn unimodulair. Als G een n-dimensionale Lie-groep is en q1,...,qn een basis is in de ruimte van links-invariante 1-vormen op G, dan wordt de linker Haar-maat op G gegeven door de n-vorm. In lokale coördinaten voor berekening

vormen qi, je kunt elke matrixrealisatie van de groep G gebruiken: de matrix 1-vorm g-1dg blijft invariant, en zijn coëfficiënt. zijn links-invariante scalaire 1-vormen waaruit de vereiste basis wordt geselecteerd. De volledige matrixgroep GL(n, R) is bijvoorbeeld unimodulair en de Haar-maat daarop wordt gegeven door de vorm. Laten X=G/H is een homogene ruimte waarvoor de lokaal compacte groep G een transformatiegroep is, en de gesloten subgroep H de stabilisator van een bepaald punt. Om een ​​i.i. op X te laten bestaan, is het noodzakelijk en voldoende dat voor alle hОH de gelijkheid DG(h)=DH(h) geldt. Dit geldt in het bijzonder in het geval dat H compact of semi-eenvoudig is. Volledige theorie van I. en. bestaat niet op oneindig-dimensionale spruitstukken.

Variabelen vervangen.

De hoofdtaak van differentiaalrekening is het vinden van de afgeleide F'(X) of differentieel df=F'(X)dx functies F(X). Bij integraalrekening wordt het inverse probleem opgelost. Volgens een bepaalde functie F(X) moet je zo'n functie vinden F(X), Wat F'(x)=F(X) of dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Dus, de hoofdtaak van integraalrekening is het herstel van de functie F(X) door de bekende afgeleide (differentieel) van deze functie. Integraalrekening heeft talloze toepassingen in de meetkunde, mechanica, natuurkunde en technologie. Het geeft een algemene methode voor het vinden van gebieden, volumes, zwaartepunten, enz.

Definitie. FunctieF(x), , wordt de primitief van de functie genoemdF(x) op de verzameling X als deze differentieerbaar is voor elke enF'(x)=F(x) ofdF(x)=F(X)dx.

Stelling. Elke doorlopende lijn op het interval [A;b] functieF(x) heeft een primitief op dit segmentF(x).

Stelling. AlsF 1 (x) enF 2 (x) – twee verschillende primitieve woorden van dezelfde functieF(x) op de verzameling x, dan verschillen ze van elkaar met een constante term, d.w.z.F 2 (x)=F 1x)+C, waarbij C een constante is.

Onbepaalde integraal, zijn eigenschappen.

Definitie. TotaliteitF(x)+Van alle primitieve functiesF(x) op de verzameling X wordt een onbepaalde integraal genoemd en wordt aangegeven:

- (1)

In formule (1) F(X)dx genaamd integrand-expressie,F(x) – integrandfunctie, x – integratievariabele, A C – integratieconstante.

Laten we eens kijken naar de eigenschappen van de onbepaalde integraal die voortvloeien uit de definitie ervan.

1. De afgeleide van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand, het differentieel van de onbepaalde integraal is gelijk aan de integrand:

En .

2. De onbepaalde integraal van het differentieel van een bepaalde functie is gelijk aan de som van deze functie en een willekeurige constante:

3. De constante factor a (a≠0) kan worden verwijderd als het teken van de onbepaalde integraal:

4. De onbepaalde integraal van de algebraïsche som van een eindig aantal functies is gelijk aan de algebraïsche som van de integralen van deze functies:

5. AlsF(x) – primitief van de functieF(x), dan:

6 (invariantie van integratieformules). Elke integratieformule behoudt zijn vorm als de integratievariabele wordt vervangen door een differentieerbare functie van deze variabele:

Waaru is een differentieerbare functie.

Tabel met onbepaalde integralen.

Laten we het geven basisregels voor het integreren van functies.

Laten we het geven tabel met onbepaalde basisintegralen.(Merk op dat hier, net als bij de differentiaalrekening, de letter u kan worden aangemerkt als een onafhankelijke variabele (jij=X) en een functie van de onafhankelijke variabele (jij=jij(X)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integralen 1 – 17 worden genoemd tabelvormig.

Sommige van de bovenstaande formules in de tabel met integralen, die geen analogon hebben in de tabel met afgeleiden, worden geverifieerd door hun rechterkant te differentiëren.

Verandering van variabele en integratie door delen in de onbepaalde integraal.

Integratie door substitutie (variabele vervanging). Laat het nodig zijn om de integraal te berekenen

, wat niet in tabelvorm is. De essentie van de substitutiemethode is dat in de integraal de variabele aanwezig is X vervangen door een variabele T volgens de formule x=φ(T), waar dx=φ’(T)dt.

Stelling. Laat de functiex=φ(t) is gedefinieerd en differentieerbaar op een bepaalde verzameling T en laat X de verzameling waarden zijn van deze functie waarop de functie is gedefinieerdF(X). Dan als op de set X de functieF(