Berekening van de oppervlakte van een veelhoek op basis van de coördinaten van zijn hoekpunten. De oppervlakte van een veelhoek berekenen op basis van de coördinaten van zijn hoekpunten Hoe de oppervlakte van een driehoek berekenen, wetende de coördinaten

De coördinatenmethode, voorgesteld in de 17e eeuw door de Franse wiskundigen R. Descartes (1596-1650) en P. Fermat (1601-1665), is een krachtig apparaat waarmee je geometrische concepten in algebraïsche taal kunt vertalen. Deze methode is gebaseerd op het concept van een coördinatensysteem. We zullen overwegen om de oppervlakte van een veelhoek te berekenen op basis van de coördinaten van zijn hoekpunten in een rechthoekig coördinatensysteem.

Oppervlakte van een driehoek

Stelling 1. Als is de oppervlakte van de driehoek

dan is de gelijkheid waar

we zullen het de determinant van de oppervlakte van een driehoek noemen.

Bewijs. Laat de hoekpunten van de driehoek zich in het eerste coördinatenkwadrant bevinden. Er zijn twee mogelijke gevallen.

Zaak 1. De richting (of, of) van de locatie van de hoekpunten van de driehoek valt samen met de bewegingsrichting van het uiteinde van de wijzer (Fig. 1.30).

Omdat de figuur een trapezium is.

Op dezelfde manier vinden wij dat

Door algebraïsche transformaties uit te voeren

wij krijgen dat:

Bij gelijkheid (1.9) is de determinant van de oppervlakte daarom een ​​minteken voor de uitdrukking, omdat.

Laten we dat laten zien. Hier inderdaad

(de oppervlakte van een rechthoek met basis en hoogte is groter dan de som van de oppervlakten van rechthoeken met basis en hoogte; (Fig. 1.30), vandaar

Geval 2. De aangegeven richtingen in geval 1 zijn tegengesteld aan de bewegingsrichting van het uiteinde van de wijzer (Fig. 1.31)

aangezien de figuur een trapezium is, en

Waar. Hier inderdaad

De stelling wordt bewezen als de hoekpunten van de driehoek zich in het eerste coördinatenkwadrant bevinden.

Met behulp van het concept van modulus kunnen gelijkheden (1.9) en (1.10) als volgt worden geschreven:

Notitie 1. We hebben formule (1.8) afgeleid door de eenvoudigste rangschikking van hoekpunten te beschouwen, weergegeven in figuren 1.30 en 1.31; formule (1.8) geldt echter voor elke rangschikking van hoekpunten.

Beschouw het geval afgebeeld in figuur 1.32.

Daarom, door eenvoudige geometrische transformaties uit te voeren:

we krijgen weer wat, waar

Gebied van n-gon

Een polygoon kan convex of niet-convex zijn; de nummeringsvolgorde van de hoekpunten wordt als negatief beschouwd als de hoekpunten met de klok mee zijn genummerd. Een veelhoek die geen zelfdoorsnijding van zijden heeft, wordt eenvoudig genoemd. Want simpel is het N-gon Het volgende is waar

Stelling 2. Als is de oppervlakte van een priemgetal N-gon, waar, dan is de gelijkheid waar

we zullen de determinant van het gebied van een priemgetal noemen N-gon.

Bewijs. Er zijn twee mogelijke gevallen.

Zaak 1. N-gon - convex. Laten we formule (1.11) bewijzen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

Want het is al bewezen (Stelling 1). Laten we aannemen dat dit waar is N-gon; laten we bewijzen dat het geldig blijft voor convexe ( N+1)-gon.

Laten we nog een hoekpunt aan de polygoon toevoegen (Fig. 1.33).

De formule is dus geldig voor ( N+1)-gon, en daarom is aan de voorwaarden van wiskundige inductie voldaan, dat wil zeggen formule (1.11) voor het geval van een convexe N-gon is bewezen.

Geval 2. N-gon - niet-convex.

In elke niet-convexe N-gon kan men een diagonaal tekenen die erin ligt, en daarom het bewijs van geval 2 voor een niet-convex N-gon is vergelijkbaar met het bewijs voor een convex N-gon.

Opmerking 2. Uitdrukkingen voor zijn niet gemakkelijk te onthouden. Om de waarden ervan te berekenen, is het daarom handig om de coördinaten van de eerste, tweede, derde, ... in een kolom op te schrijven. N-de en opnieuw de eerste hoekpunten N-gon en vermenigvuldig volgens het schema:

De borden in kolom (1.12) moeten worden geplaatst zoals aangegeven in diagram (1.13).

Notitie 3. Bij het samenstellen van kolom (1.12) voor een driehoek kunt u vanaf elk hoekpunt beginnen.

Opmerking 4. Bij het compileren van kolom (1.12) voor N-gon () het is noodzakelijk om de volgorde te volgen van het schrijven van de coördinaten van de hoekpunten N-gon (het maakt niet uit vanaf welk hoekpunt de verplaatsing begint). Bereken daarom het gebied N-gon moet beginnen met de constructie van een “ruwe” tekening.

Een driehoek is een van de meest voorkomende geometrische vormen waarmee we op de basisschool vertrouwd raken. Elke student wordt geconfronteerd met de vraag hoe je de oppervlakte van een driehoek kunt vinden in meetkundelessen. Dus welke kenmerken van het vinden van het gebied van een bepaald figuur kunnen worden geïdentificeerd? In dit artikel zullen we kijken naar de basisformules die nodig zijn om een ​​dergelijke taak te voltooien, en ook de soorten driehoeken analyseren.

Soorten driehoeken

Je kunt de oppervlakte van een driehoek op heel verschillende manieren vinden, omdat er in de meetkunde meer dan één type figuur bestaat met drie hoeken. Deze typen omvatten:

• Stomp.
• Gelijkzijdig (correct).
• Rechte driehoek.
• Gelijkbenig.

Laten we elk van de bestaande soorten driehoeken eens nader bekijken.

Deze geometrische figuur wordt als de meest voorkomende beschouwd bij het oplossen van geometrische problemen. Wanneer de noodzaak zich voordoet om een ​​willekeurige driehoek te tekenen, komt deze optie te hulp.

In een scherpe driehoek zijn, zoals de naam al doet vermoeden, alle hoeken scherp en zijn ze samen 180°.

Dit type driehoek komt ook veel voor, maar komt iets minder vaak voor dan een scherpe driehoek. Als u bijvoorbeeld driehoeken oplost (dat wil zeggen dat verschillende zijden en hoeken bekend zijn en u de overige elementen moet vinden), moet u soms bepalen of de hoek stomp is of niet. Cosinus is een negatief getal.

B, de waarde van een van de hoeken is groter dan 90°, dus de overige twee hoeken kunnen kleine waarden aannemen (bijvoorbeeld 15° of zelfs 3°).

Om het gebied van een driehoek van dit type te vinden, moet je enkele nuances kennen, waarover we later zullen praten.

Regelmatige en gelijkbenige driehoeken

Een regelmatige veelhoek is een figuur met n hoeken en waarvan de zijden en hoeken allemaal gelijk zijn. Dit is wat een regelmatige driehoek is. Omdat de som van alle hoeken van een driehoek 180° is, is elk van de drie hoeken 60°.

Een regelmatige driehoek wordt vanwege zijn eigenschap ook wel een gelijkzijdige figuur genoemd.

Het is ook vermeldenswaard dat er in een regelmatige driehoek slechts één cirkel kan worden ingeschreven, en dat er slechts één cirkel omheen kan worden beschreven, en dat hun middelpunten zich op hetzelfde punt bevinden.

Naast het gelijkzijdige type kan men ook een gelijkbenige driehoek onderscheiden, die er enigszins van afwijkt. In zo'n driehoek zijn twee zijden en twee hoeken gelijk aan elkaar, en de derde zijde (waaraan gelijke hoeken grenzen) is de basis.

De figuur toont een gelijkbenige driehoek DEF waarvan de hoeken D en F gelijk zijn en DF de basis is.

Rechte driehoek

Een rechthoekige driehoek wordt zo genoemd omdat een van de hoeken gelijk is aan 90°. De andere twee hoeken zijn samen 90°.

De grootste zijde van zo'n driehoek, die tegenover de hoek van 90° ligt, is de hypotenusa, terwijl de overige twee zijden de benen zijn. Voor dit type driehoek geldt de stelling van Pythagoras:

De som van de kwadraten van de lengtes van de benen is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de hypotenusa.

De figuur toont een rechthoekige driehoek BAC met hypotenusa AC en benen AB en BC.

Om de oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek te vinden, moet je de numerieke waarden van zijn benen kennen.

Laten we verder gaan met de formules voor het vinden van de oppervlakte van een bepaald figuur.

Basisformules voor het vinden van oppervlakte

In de meetkunde zijn er twee formules die geschikt zijn om de oppervlakte van de meeste soorten driehoeken te vinden, namelijk voor acute, stompe, regelmatige en gelijkbenige driehoeken. Laten we ze allemaal bekijken.

Aan de zijkant en hoogte

Deze formule is universeel voor het vinden van het gebied van de figuur die we overwegen. Om dit te doen, volstaat het om de lengte van de zijde en de lengte van de hoogte die ernaartoe wordt getrokken te kennen. De formule zelf (de helft van het product van de basis en de hoogte) is als volgt:

waarbij A de zijde van een gegeven driehoek is, en H de hoogte van de driehoek.

Om bijvoorbeeld de oppervlakte van een scherpe driehoek ACB te vinden, moet u de zijde AB vermenigvuldigen met de hoogte CD en de resulterende waarde door twee delen.

Het is echter niet altijd eenvoudig om op deze manier de oppervlakte van een driehoek te vinden. Als u deze formule bijvoorbeeld voor een stompe driehoek wilt gebruiken, moet u een van de zijden verlengen en er pas daarna een hoogte naar toe tekenen.

In de praktijk wordt deze formule vaker gebruikt dan andere.

Aan beide zijden en hoek

Deze formule is, net als de vorige, geschikt voor de meeste driehoeken en is in zijn betekenis een gevolg van de formule voor het vinden van de oppervlakte naast elkaar en de hoogte van een driehoek. Dat wil zeggen dat de betreffende formule gemakkelijk kan worden afgeleid van de vorige. De formulering ziet er als volgt uit:

S = ½*sinO*A*B,

waarbij A en B de zijden van de driehoek zijn, en O de hoek tussen zijden A en B.

Laten we ons herinneren dat de sinus van een hoek kan worden bekeken in een speciale tabel, genoemd naar de vooraanstaande Sovjetwiskundige V. M. Bradis.

Laten we nu verder gaan met andere formules die alleen geschikt zijn voor uitzonderlijke soorten driehoeken.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

Naast de universele formule, die de noodzaak omvat om de hoogte in een driehoek te vinden, kan het gebied van een driehoek met een rechte hoek worden gevonden vanaf de benen.

De oppervlakte van een driehoek met een rechte hoek is dus de helft van het product van zijn benen, of:

waarbij a en b de benen zijn van een rechthoekige driehoek.

Regelmatige driehoek

Dit type geometrische figuur is anders doordat het gebied ervan kan worden gevonden met de aangegeven waarde van slechts één van de zijden (aangezien alle zijden van een regelmatige driehoek gelijk zijn). Dus als u wordt geconfronteerd met de taak om "de oppervlakte van een driehoek te vinden als de zijden gelijk zijn", moet u de volgende formule gebruiken:

S = EEN 2 *√3 / 4,

waarbij A de zijde van de gelijkzijdige driehoek is.

De formule van Heron

De laatste optie om de oppervlakte van een driehoek te vinden is de formule van Heron. Om het te kunnen gebruiken, moet je de lengtes van de drie zijden van de figuur kennen. De formule van Heron ziet er als volgt uit:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

waarbij a, b en c de zijden van een gegeven driehoek zijn.

Soms wordt het probleem gegeven: "de oppervlakte van een regelmatige driehoek is het vinden van de lengte van zijn zijde." In dit geval moeten we de formule gebruiken die we al kennen om de oppervlakte van een regelmatige driehoek te vinden en daaruit de waarde van de zijde (of het vierkant) afleiden:

A2 = 4S / √3.

Examen taken

Er zijn veel formules voor GIA-problemen in de wiskunde. Bovendien is het vaak nodig om het gebied van een driehoek op geruit papier te vinden.

In dit geval is het het handigst om de hoogte naar een van de zijkanten van de figuur te tekenen, de lengte ervan uit de cellen te bepalen en de universele formule te gebruiken om het gebied te vinden:

Dus na het bestuderen van de formules die in het artikel worden gepresenteerd, zul je geen problemen hebben om het gebied van een driehoek van welke aard dan ook te vinden.