Hva er arealet av en kube. Hvordan finne arealet og volumet til en kube

Kuben har mange interessante matematiske egenskaper og kjent for folk siden antikken. Representanter for noen gamle greske skoler trodde det elementærpartikler(atomer), som vår verden består av, har form som en kube, og mystikere og esoterikere guddommeliggjorde til og med denne figuren. Og i dag tilskriver representanter for paravitenskap fantastiske energiegenskaper til kuben.

Terningen er en ideell figur, en av de fem platoniske kroppene. Platonisk solid er

en vanlig polyedrisk figur som tilfredsstiller tre betingelser:

1. Alle dens kanter og ansikter er like.

2. Vinklene mellom flatene er like (for en kube er vinklene mellom flatene like og utgjør 90 grader).

3. Alle hjørnene på figuren berører overflaten av kulen som er beskrevet rundt den.

Det nøyaktige antallet av disse figurene ble navngitt av den antikke greske matematikeren Theaetetus fra Athen, og Platons elev Euclid i den 13. boken av begynnelsen ga dem en detaljert matematisk beskrivelse.

De gamle grekerne, tilbøyelig til mengder beskrive strukturen til vår verden, ga de platoniske faste stoffene en dyp hellig mening. De mente at hver av figurene symboliserer de universelle prinsippene: tetraederet - ild, kuben - jorden, oktaederet - luft, icosahedron - vann, dodekaederet - eter. Sfæren som ble beskrevet rundt dem symboliserte perfeksjon, det guddommelige prinsipp.

Så en kube, også kalt et heksaeder (fra gresk "hex" - 6), er en tredimensjonal vanlig kube. Den kalles også eller kuboid.

En kube har seks flater, tolv kanter og åtte hjørner. Andre tetraeder (tetraeder med trekantformede flater), oktaeder (oktaeder) og icosahedron (tjuesidig) kan være innskrevet i denne figuren.

Et segment som forbinder to toppunkter symmetrisk om midten kalles. Når vi kjenner lengden på kanten av kuben a, kan vi finne lengden på diagonalen v: v = a 3.

Som nevnt ovenfor kan en kule skrives inn i en kube, mens radiusen til den innskrevne kulen (angitt med r) vil være lik halve lengden av kanten: r = (1/2) a.

Hvis sfæren er beskrevet rundt en kube, vil radien til den omskrevne sfæren (vi betegner den med R) være lik: R= (3/2)a.

Et ganske vanlig spørsmål i skoleproblemer: hvordan beregne arealet

terningoverflate? Det er veldig enkelt, det er nok å visualisere en kube. Overflaten til en kube består av seks firkantede flater. Derfor, for å finne overflatearealet til en terning, må du først finne arealet til en av flatene og multiplisere med tallet: S p \u003d 6a 2.

På samme måte som vi fant overflatearealet til en terning, beregner vi arealet av sideflatene: S b = 4a 2.

Fra denne formelen er det klart at de to motsatte sidene av kuben er basene, og de resterende fire er sideflatene.

Du kan finne kuben på en annen måte. Gitt det faktum at en kube er et rektangulært parallellepiped, kan vi bruke konseptet med tre romlige dimensjoner. Dette betyr at kuben, som er en tredimensjonal figur, har 3 parametere: lengde (a), bredde (b) og høyde (c).

Ved hjelp av disse parameterne beregner vi arealet full overflate kube: S p \u003d 2 (ab + ac + bc).

Volumet til en kube er produktet av tre komponenter - høyde, lengde og bredde:
V= abc eller tre tilstøtende kanter: V=a 3.

Dette er det totale arealet av alle overflatene på figuren. Overflatearealet til en terning er lik summen av arealene til alle dens seks flater. Overflatearealet er numerisk karakteristikk overflater. For å beregne overflatearealet til en kube, må du vite det bestemt formel og lengden på den ene siden av kuben. For at du raskt skal kunne beregne overflaten til en terning, må du huske formelen og selve prosedyren. Nedenfor vil vi analysere i detalj rekkefølgen for beregningen fullt område kube overflate og gi konkrete eksempler.

Det utføres i henhold til formelen SA \u003d 6a 2. Terningen (vanlig heksaeder) er en av de 5 typene vanlige polyedere, som er et vanlig rektangulært parallellepiped, kuben har 6 flater, hver av disse flatene er en firkant.

Til beregne overflaten til en terning Du må skrive ned formelen SA = 6a 2 . La oss nå se hvorfor gitt formel har dette utseendet. Som vi sa tidligere, har en kube seks like kvadratiske flater. Basert på det faktum at sidene av kvadratet er like, er arealet av kvadratet - en 2, der a er siden av kuben. Siden en terning har 6 like firkantede flater, må du multiplisere arealet til en flate (kvadrat) med seks for å bestemme overflaten. Som et resultat får vi en formel for å beregne overflatearealet (SA) til en terning: SA \u003d 6a 2, der a er kanten av kuben (siden av kvadratet).

Hva er overflaten til en kube.

målt i kvadratiske enheter, for eksempel i mm 2, cm 2, m 2 og så videre. For ytterligere beregninger må du måle kanten på kuben. Som vi vet, er kantene på en terning like, så det vil være nok for deg å måle kun én (hvilken som helst) kant på kuben. Du kan utføre en slik måling ved hjelp av en linjal (eller målebånd). Vær oppmerksom på måleenhetene på linjalen eller målebåndet og skriv ned verdien, angir den som en.

Eksempel: a = 2 cm.

Kvaddra den resulterende verdien. Så du kvadrerer kantlengden på kuben. For å kvadrere et tall, multipliser det med seg selv. Formelen vår vil ha neste visning: SA = 6*a 2

Du har beregnet arealet til en av flatene til en terning.

Eksempel: a = 2 cm

a 2 \u003d 2 x 2 \u003d 4 cm 2

Multipliser den resulterende verdien med seks. Husk at en kube har 6 like sider. Etter å ha bestemt arealet til en av flatene, multipliser den resulterende verdien med 6 slik at alle flatene til kuben er inkludert i beregningen.

Her kommer vi til den endelige handlingen på beregne overflaten til en terning.

Eksempel: a 2 \u003d 4 cm 2

SA \u003d 6 x a 2 \u003d 6 x 4 \u003d 24 cm 2

Kuben er en fantastisk figur. Det er likt fra alle kanter. Enhver av ansiktene kan umiddelbart bli basen eller siden. Og ingenting vil endre seg fra dette. Og formlene for ham er alltid enkle å huske. Og det spiller ingen rolle hva du trenger å finne - volumet eller overflaten til kuben. I siste tilfelle Du trenger ikke engang å lære noe nytt. Det er nok å huske bare formelen for arealet til en firkant.

Hva er et område?

Denne verdien er vanligvis angitt latinsk bokstav S. Og dette er sant for skolefag som fysikk og matematikk. Det måles i kvadratiske lengdeenheter. Alt avhenger av de gitte mengder i problemet. Det kan være mm, cm, m eller km i kvadrat. Dessuten er det tilfeller der enhetene ikke en gang er indikert. Det handler bare om i numeriske termer område uten navn.

Så hva er areal? Dette er en verdi som er en numerisk karakteristikk for den aktuelle figuren eller volumetriske kroppen. Den viser størrelsen på overflaten, som er begrenset av sidene på figuren.

Hvilken form kalles en kube?

Denne figuren er et polyeder. Og ikke lett. Det er riktig, det vil si at det har alle elementene like med hverandre. Det være seg sider eller kanter. Hver overflate av en terning er en firkant.

Et annet navn på en kube er et vanlig heksaeder, hvis det er på russisk, så et heksaeder. Det kan være dannet av et firkantet prisme eller et parallellepiped. Under forutsetning av at alle kanter er like og vinklene danner 90 grader.

Denne figuren er så harmonisk at den ofte brukes i hverdagen. For eksempel er de første lekene til babyen kuber. Og moro for de som er eldre er Rubiks kube.

Hvordan er kuben relatert til andre former og kropper?

Hvis du tegner en del av en terning som går gjennom tre av sidene, vil den se ut som en trekant. Når du beveger deg bort fra toppen, vil seksjonen bli større. Det vil komme et øyeblikk da 4 ansikter allerede vil krysse hverandre, og figuren i seksjonen vil bli en firkant. Hvis du tegner et snitt gjennom midten av kuben slik at den er vinkelrett på hoveddiagonalene, får du en vanlig sekskant.

Inne i kuben kan du tegne et tetraeder ( trekantet pyramide). Et av hjørnene er tatt som toppunktet til tetraederet. De resterende tre vil falle sammen med toppunktene som ligger i motsatte ender av kantene på det valgte hjørnet av kuben.

Et oktaeder (konveks vanlig polyeder, som ser ut som to sammenkoblede pyramider). For å gjøre dette må du finne sentrene til alle kubens ansikter. De vil være toppunktene til oktaederet.

Den omvendte operasjonen er også mulig, det vil si at det virkelig er mulig å få plass til en kube inne i oktaederet. Først nå vil sentrene til ansiktene til den første bli hjørner for den andre.

Metode 1: beregne arealet til en kube fra kanten

For å beregne det totale overflatearealet til en kube, må du kjenne til ett av elementene. Den enkleste måten å løse den på er når du kjenner kanten eller, med andre ord, siden av firkanten den består av. Vanligvis er denne verdien betegnet med den latinske bokstaven "a".

Nå må du huske formelen som arealet til et kvadrat beregnes med. For ikke å bli forvirret, introduseres betegnelsen med bokstaven S 1.

For enkelhets skyld er det bedre å gi tall til alle formler. Denne blir den første.

Men dette er arealet av bare ett kvadrat. Det er seks av dem: 4 på sidene og 2 på bunnen og toppen. Deretter beregnes overflatearealet til kuben ved hjelp av følgende formel: S = 6 * a 2 . Tallet hennes er 2.

Metode 2: hvordan beregne arealet hvis kroppens volum er kjent

Fra matematisk uttrykk for volumet av heksaederet utledes en som man kan beregne lengden på kanten ut fra. Her er hun:

Nummereringen fortsetter, og her er tallet 3.

Nå kan den beregnes og erstattes med den andre formelen. Hvis vi handler i henhold til matematikkens normer, må vi utlede følgende uttrykk:

Dette er formelen for arealet av hele overflaten av en terning, som kan brukes hvis volumet er kjent. Dette rekordtallet er 4.

Metode 3: Beregne arealet fra diagonalen til en kube

Dette er formel nummer 5.

Det er lett å utlede et uttrykk for kanten av kuben fra den:

Dette er den sjette formelen. Etter å ha beregnet det, kan du igjen bruke formelen under det andre tallet. Men det er bedre å skrive noe slikt:

Det viser seg å være nummerert nummer 7. Hvis du ser nøye etter, vil du legge merke til at den siste formelen er mer praktisk enn en trinn-for-trinn-beregning.

Metode 4: Hvordan bruke radiusen til en innskrevet eller omskrevet sirkel for å beregne arealet til en terning

Hvis vi betegner radiusen til sirkelen omskrevet rundt sekskantet med bokstaven R, vil overflatearealet til kuben være lett å beregne ved å bruke følgende formel:

Henne serienummer 8. Det oppnås lett på grunn av det faktum at sirkelens diameter faller helt sammen med hoveddiagonalen.

Ved å betegne radiusen til den innskrevne sirkelen med den latinske bokstaven r, kan vi få følgende formel for arealet av hele overflaten av sekskantet:

Dette er formel nummer 9.

Noen få ord om sideoverflaten til heksaederet

Hvis det i problemet er nødvendig å finne området til sideoverflaten av kuben, må du bruke teknikken som allerede er beskrevet ovenfor. Når kanten på kroppen allerede er gitt, må bare arealet av kvadratet multipliseres med 4. Denne figuren dukket opp på grunn av det faktum at kuben bare har 4 sideflater. Den matematiske notasjonen av denne uttrykket er som følger:

Tallet er 10. Hvis noen andre verdier er gitt, fortsett på samme måte som metodene beskrevet ovenfor.

Eksempler på oppgaver

Første betingelse. Overflatearealet til kuben er kjent. Det er lik 200 cm². Regn ut hoveddiagonalen til en kube.

1 vei. Du må bruke formelen, som er indikert med tallet 2. Det vil ikke være vanskelig å utlede "a" fra den. Denne matematiske notasjonen vil se ut som kvadratroten av kvotienten lik S med 6. Etter å ha erstattet tallene får du:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

Den femte formelen lar deg umiddelbart beregne hoveddiagonalen til kuben. For å gjøre dette må du multiplisere verdien av kanten med √3. Det er enkelt. Svaret er at diagonalen er 10 cm.

2-veis. I tilfelle du har glemt formelen for diagonalen, men husk Pythagoras setning.

På samme måte som i den første metoden, finn kanten. Deretter må du skrive ned teoremet for hypotenusen to ganger: den første for trekanten på ansiktet, den andre for den som inneholder den ønskede diagonalen.

x² = a² + a², der x er diagonalen til kvadratet.

d² \u003d x² + a² \u003d a² + a² + a² \u003d 3 a². Fra denne oppføringen er det lett å se hvordan formelen for diagonalen er oppnådd. Og da vil alle beregningene være, som i den første metoden. Den er litt lengre, men den lar deg ikke huske formelen, men få den selv.

Svar: Diagonalen til en kube er 10 cm.

Andre tilstand. Av kjent område overflate, som er lik 54 cm 2, beregne volumet av kuben.

Ved å bruke formelen under det andre tallet, må du finne ut verdien av kanten på kuben. Hvordan dette gjøres er beskrevet i detalj i den første metoden for å løse det forrige problemet. Etter å ha gjort alle beregningene, får vi det en \u003d 3 cm.

Nå må du bruke formelen for volumet til en kube, der lengden på kanten heves til tredje potens. Dette betyr at volumet vil bli vurdert som følger: V \u003d 3 3 \u003d 27 cm 3.

Svar: volumet til en kube er 27 cm3.

Tredje tilstand. Det er nødvendig å finne kanten av kuben som neste tilstand. Å øke kanten med 9 enheter øker det totale overflatearealet med 594.

Siden det ikke er noen eksplisitte tall i oppgaven, kun forskjellen mellom det som var og det som har blitt, må det innføres ytterligere notasjon. Det er ikke vanskelig. La ønsket verdi være lik "a". Da vil den økte kanten på kuben være lik (a + 9).

Når du vet dette, må du skrive formelen for overflatearealet til en terning to ganger. Den første er for Opprinnelig verdi kanter - vil matche den som er nummerert 2. Den andre vil være litt annerledes. I den, i stedet for "a", må du skrive summen (a + 9). Siden i oppgaven i spørsmålet om forskjellen i arealer, så må du trekke fra større område mindre:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 \u003d 594.

Du må gjøre transformasjoner. Først parentes 6 på venstre side av ligningen, og deretter forenkle det som gjenstår i parentes. Nemlig (a + 9) 2 - a 2 . Her er forskjellen på kvadrater skrevet, som kan konverteres som følger: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Etter forenkling av uttrykket oppnås 9(2a + 9).

Nå må det multipliseres med 6, det vil si tallet som var før parentesen, og likestilles med 594: 54 (2a + 9) \u003d 594. Dette er en lineær ligning med en ukjent. Det er enkelt å løse. Først må du åpne parentesene, og deretter flytte begrepet med en ukjent verdi til venstre side av likheten, og tallene til høyre. En ligning vil bli oppnådd: 2a \u003d 2. Det kan sees fra den at den ønskede verdien er 1.