Formelen for høyden til en trekantet pyramide. Pyramide

Definisjon

Pyramide er et polyeder sammensatt av et polygon \(A_1A_2...A_n\) og \(n\) trekanter med et felles toppunkt \(P\) (ligger ikke i polygonets plan) og motsatte sider som faller sammen med sidene til polygonen.
Betegnelse: \(PA_1A_2...A_n\) .
Eksempel: femkantet pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trekanter \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) osv. kalt sideflater pyramider, segmenter \(PA_1, PA_2\), etc. - side ribber, polygon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – basis, punkt \(P\) – toppmøte.

Høyde Pyramider er en vinkelrett som faller fra toppen av pyramiden til planet til basen.

En pyramide med en trekant ved bunnen kalles tetraeder.

Pyramiden kalles riktig, hvis basen er en vanlig polygon og en av følgende betingelser er oppfylt:

\((a)\) sidekanter av pyramiden er like;

\((b)\) høyden på pyramiden går gjennom midten av den omskrevne sirkelen nær basen;

\((c)\) sideribber skråner til grunnplanet i samme vinkel.

\((d)\) sideflater skråner til grunnplanet i samme vinkel.

vanlig tetraeder er en trekantet pyramide, hvis alle flater er like likesidede trekanter.

Teorem

Betingelsene \((a), (b), (c), (d)\) er likeverdige.

Bevis

Tegn høyden på pyramiden \(PH\) . La \(\alpha\) være planet til bunnen av pyramiden.

1) La oss bevise at \((a)\) innebærer \((b)\) . La \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Fordi \(PH\perp \alpha\) , så er \(PH\) vinkelrett på en hvilken som helst linje som ligger i dette planet, så trekantene er rettvinklede. Så disse trekantene er like i felles ben \(PH\) og hypotenusen \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Så \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Dette betyr at punktene \(A_1, A_2, ..., A_n\) er i samme avstand fra punktet \(H\) , derfor ligger de på samme sirkel med radius \(A_1H\) . Denne sirkelen er per definisjon omskrevet om polygonen \(A_1A_2...A_n\) .

2) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og like i to ben. Derfor er vinklene deres også like, derfor, \(\vinkel PA_1H=\vinkel PA_2H=...=\vinkel PA_nH\).

3) La oss bevise at \((c)\) innebærer \((a)\) .

I likhet med det første punktet, trekanter \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rektangulær og langs benet og spiss vinkel. Dette betyr at hypotenusene deres også er like, det vil si \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) La oss bevise at \((b)\) innebærer \((d)\) .

Fordi i en regulær polygon faller sentrene til de omskrevne og innskrevne sirklene sammen (generelt sett kalles dette punktet sentrum av en regulær polygon), da er \(H\) sentrum av den innskrevne sirkelen. La oss tegne perpendikulære fra punktet \(H\) til sidene av basen: \(HK_1, HK_2\), etc. Dette er radiene til den innskrevne sirkelen (per definisjon). Så, ifølge TTP, (\(PH\) er en vinkelrett på planet, \(HK_1, HK_2\), etc. er projeksjoner vinkelrett på sidene) skrå \(PK_1, PK_2\), etc. vinkelrett på sidene \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. hhv. Så per definisjon \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H\) lik vinklene mellom sideflatene og basen. Fordi trekanter \(PK_1H, PK_2H, ...\) er like (som rettvinklet på to ben), deretter vinklene \(\vinkel PK_1H, \vinkel PK_2H, ...\) er like.

5) La oss bevise at \((d)\) innebærer \((b)\) .

På samme måte som det fjerde punktet er trekantene \(PK_1H, PK_2H, ...\) like (som rektangulære langs benet og spiss vinkel), noe som betyr at segmentene \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) er like. Derfor, per definisjon, er \(H\) midten av en sirkel innskrevet i basen. Men siden for vanlige polygoner faller sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene sammen, da er \(H\) sentrum av den omskrevne sirkelen. Chtd.

Konsekvens

Sideflatene til en vanlig pyramide er like likebenede trekanter.

Definisjon

Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide, trukket fra toppen, kalles apotem.
Apotemene til alle sideflatene til en vanlig pyramide er lik hverandre og er også medianer og halveringslinjer.

Viktige notater

1. Høyden på en vanlig trekantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom høydene (eller halveringslinjene, eller medianene) til basen (grunnlaget er en vanlig trekant).

2. Høyden på en vanlig firkantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en firkant).

3. Høyden på en vanlig sekskantet pyramide faller til skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (basen er en vanlig sekskant).

4. Høyden på pyramiden er vinkelrett på enhver rett linje som ligger ved basen.

Definisjon

Pyramiden kalles rektangulær hvis en av sidekantene er vinkelrett på basens plan.

Viktige notater

1. For en rektangulær pyramide er kanten vinkelrett på basen høyden på pyramiden. Det vil si at \(SR\) er høyden.

2. Fordi \(SR\) vinkelrett på en hvilken som helst linje fra basen, da \(\triangle SRM, \triangle SRP\) er rette trekanter.

3. Trekanter \(\triangle SRN, \triangle SRK\) er også rektangulære.
Det vil si at enhver trekant som dannes av denne kanten og diagonalen som kommer ut av toppunktet til denne kanten, som ligger ved basen, vil være rettvinklet.

\[(\Large(\text(Volum og overflateareal av pyramiden)))\]

Teorem

Volumet av en pyramide er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden på pyramiden: \

Konsekvenser

La \(a\) være siden av basen, \(h\) være høyden på pyramiden.

1. Volumet til en vanlig trekantet pyramide er \(V_(\text(rettvinklet pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumet til en vanlig firkantet pyramide er \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumet til en vanlig sekskantet pyramide er \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumet til et vanlig tetraeder er \(V_(\text(høyre tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorem

Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet.

\[(\Large(\text(Trunkert pyramide)))\]

Definisjon

Tenk på en vilkårlig pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . La oss tegne et plan parallelt med bunnen av pyramiden gjennom et bestemt punkt som ligger på sidekanten av pyramiden. Dette planet vil dele pyramiden i to polyedre, hvorav den ene er en pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ), og den andre kalles avkortet pyramide(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Den avkortede pyramiden har to baser - polygoner \(A_1A_2...A_n\) og \(B_1B_2...B_n\) , som ligner hverandre.

Høyden på en avkortet pyramide er en vinkelrett trukket fra et punkt på den øvre basen til planet til den nedre basen.

Viktige notater

1. Alle sideflater av en avkortet pyramide er trapeser.

2. Segmentet som forbinder sentrene til basene til en vanlig avkortet pyramide (det vil si en pyramide oppnådd av en del av en vanlig pyramide) er høyden.

Når man løser oppgave C2 ved hjelp av koordinatmetoden, møter mange elever det samme problemet. De kan ikke beregne punktkoordinater inkludert i skalarproduktformelen. De største vanskelighetene er pyramider. Og hvis basispoengene anses som mer eller mindre normale, så er toppene et skikkelig helvete.

I dag skal vi behandle en vanlig firkantet pyramide. Det er også en trekantet pyramide (aka - tetraeder). Dette er en mer kompleks design, så en egen leksjon vil bli viet til det.

La oss starte med definisjonen:

En vanlig pyramide er en der:

1. Basen er en vanlig polygon: trekant, firkant, etc.;
2. Høyden trukket til basen går gjennom midten.

Spesielt er bunnen av en firkantet pyramide torget. Akkurat som Cheops, bare litt mindre.

Nedenfor er beregningene for en pyramide med alle kanter lik 1. Hvis dette ikke er tilfellet i oppgaven din, endres ikke beregningene - bare tallene vil være forskjellige.

Topppunkter i en firkantet pyramide

Så la en vanlig firkantet pyramide SABCD gis, der S er toppen, basen til ABCD er en firkant. Alle kanter er lik 1. Det kreves å legge inn et koordinatsystem og finne koordinatene til alle punktene. Vi har:

Vi introduserer et koordinatsystem med origo i punkt A:

1. Aksen OX er rettet parallelt med kanten AB ;
2. Akse OY - parallell med AD . Siden ABCD er et kvadrat, AB ⊥ AD ;
3. Til slutt er OZ-aksen rettet oppover, vinkelrett på planet ABCD.

Nå vurderer vi koordinatene. Tilleggskonstruksjon: SH - høyde trukket til basen. For enkelhets skyld tar vi ut bunnen av pyramiden i en egen figur. Siden punktene A , B , C og D ligger i OXY-planet, er deres koordinat z = 0. Vi har:

1. A = (0; 0; 0) - sammenfaller med origo;
2. B = (1; 0; 0) - trinnvis 1 langs OX-aksen fra origo;
3. C = (1; 1; 0) - trinnvis 1 langs OX-aksen og med 1 langs OY-aksen;
4. D = (0; 1; 0) - gå kun langs OY-aksen.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - midten av firkanten, midten av segmentet AC.

Det gjenstår å finne koordinatene til punktet S. Merk at x- og y-koordinatene til punktene S og H er de samme fordi de ligger på en rett linje parallelt med OZ-aksen. Det gjenstår å finne z-koordinaten for punktet S .

Tenk på trekanter ASH og ABH:

1. AS = AB = 1 ved betingelse;
2. Vinkel AHS = AHB = 90° siden SH er høyden og AH ⊥ HB som diagonalene til et kvadrat;
3. Side AH - vanlig.

Derfor rettvinklede trekanter ASH og ABH lik ett ben og en hypotenuse. Så SH = BH = 0,5 BD . Men BD er diagonalen til et kvadrat med side 1. Derfor har vi:

Totale koordinater for punkt S:

Avslutningsvis skriver vi ned koordinatene til alle toppunktene til en vanlig rektangulær pyramide:

Hva du skal gjøre når ribba er annerledes

Men hva om sidekantene på pyramiden ikke er like kantene på basen? I dette tilfellet bør du vurdere trekant AHS:

Trekant AHS- rektangulær, og hypotenusen AS er også en sidekant av den opprinnelige pyramiden SABCD . Benet AH er lett å vurdere: AH = 0,5 AC. Finn det gjenværende benet SH ifølge Pythagoras teorem. Dette vil være z-koordinaten for punkt S.

En oppgave. Gitt en regulær firkantet pyramide SABCD , ved bunnen av denne ligger et kvadrat med side 1. Sidekant BS = 3. Finn koordinatene til punktet S .

Vi kjenner allerede x- og y-koordinatene til dette punktet: x = y = 0,5. Dette følger av to fakta:

1. Projeksjonen av punktet S på OXY-planet er punktet H;
2. Samtidig er punktet H sentrum av kvadratet ABCD, der alle sider er lik 1.

Det gjenstår å finne koordinaten til punktet S. Tenk på trekant AHS. Den er rektangulær, med hypotenusen AS = BS = 3, benet AH er halve diagonalen. For ytterligere beregninger trenger vi lengden:

Pythagoras teorem for trekant AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Vi har:

Så koordinatene til punktet S:

Pyramidekonsept

Definisjon 1

En geometrisk figur dannet av en polygon og et punkt som ikke ligger i planet som inneholder denne polygonen, forbundet med alle toppunktene i polygonen, kalles en pyramide (fig. 1).

Polygonen som pyramiden er sammensatt av kalles bunnen av pyramiden, trekantene oppnådd ved å koble til punktet er sideflatene til pyramiden, sidene av trekantene er sidene til pyramiden, og punktet felles for alle trekanter er toppen av pyramiden.

Typer pyramider

Avhengig av antall hjørner ved bunnen av pyramiden, kan den kalles trekantet, firkantet, og så videre (fig. 2).

Figur 2.

En annen type pyramide er en vanlig pyramide.

La oss introdusere og bevise egenskapen til en vanlig pyramide.

Teorem 1

Alle sideflatene til en vanlig pyramide er likebente trekanter som er like med hverandre.

Bevis.

Tenk på en vanlig $n-$gonal pyramide med toppunktet $S$ av høyden $h=SO$. La oss beskrive en sirkel rundt basen (fig. 4).

Figur 4

Tenk på trekant $SOA$. Ved Pythagoras teorem får vi

Selvfølgelig vil enhver sidekant bli definert på denne måten. Derfor er alle sidekanter like med hverandre, det vil si at alle sideflater er likebente trekanter. La oss bevise at de er like med hverandre. Siden basen er en vanlig polygon, er grunnflatene til alle sideflater lik hverandre. Følgelig er alle sideflater like i henhold til III-tegnet for likhet av trekanter.

Teoremet er bevist.

Vi introduserer nå følgende definisjon knyttet til begrepet en vanlig pyramide.

Definisjon 3

Apotemet til en vanlig pyramide er høyden på sideflaten.

Tydeligvis, ved setning 1, er alle apotemer like.

Teorem 2

Det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide er definert som produktet av halvperimeteren til basen og apotemet.

Bevis.

La oss betegne siden av bunnen av $n-$kullpyramiden som $a$, og apotemet som $d$. Derfor er arealet av sideflaten lik

Siden, ved setning 1, er alle sider like

Teoremet er bevist.

En annen type pyramide er den avkortede pyramiden.

Definisjon 4

Hvis et plan parallelt med basen trekkes gjennom en vanlig pyramide, kalles figuren som dannes mellom dette planet og basens plan en avkortet pyramide (fig. 5).

Figur 5. Avkuttet pyramide

Sideflatene til den avkortede pyramiden er trapeser.

Teorem 3

Arealet av sideoverflaten til en vanlig avkortet pyramide er definert som produktet av summen av halvperimetrene til basene og apotem.

Bevis.

La oss betegne sidene av basene til $n-$kullpyramiden med henholdsvis $a\ og\ b$, og apotemet med $d$. Derfor er arealet av sideflaten lik

Siden alle sider er like, altså

Teoremet er bevist.

Eksempel på oppgave

Eksempel 1

Finn arealet av sideoverflaten til en avkortet trekantet pyramide hvis den er hentet fra en vanlig pyramide med baseside 4 og apotem 5 ved å kutte av et plan som går gjennom midtlinjen til sideflatene.

Beslutning.

I følge medianlinjeteoremet får vi at den øvre basen til den avkortede pyramiden er lik $4\cdot \frac(1)(2)=2$, og apotemet er lik $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Så, ved teorem 3, får vi

Hypotese: vi tror at perfeksjonen av formen til pyramiden skyldes de matematiske lovene som er innebygd i formen.

Mål: etter å ha studert pyramiden som en geometrisk kropp, for å forklare perfeksjonen av dens form.

Oppgaver:

1. Gi en matematisk definisjon av en pyramide.

2. Studer pyramiden som en geometrisk kropp.

3. Forstå hvilken matematisk kunnskap egypterne la i pyramidene sine.

Private spørsmål:

1. Hva er en pyramide som et geometrisk legeme?

2. Hvordan kan den unike formen til pyramiden forklares matematisk?

3. Hva forklarer de geometriske underverkene til pyramiden?

4. Hva forklarer perfeksjonen av formen til pyramiden?

Definisjon av en pyramide.

PYRAMIDE (fra gresk pyramis, slekten n. pyramidos) - et polyeder, hvis base er en polygon, og de resterende flatene er trekanter med et felles toppunkt (figur). I henhold til antall hjørner av basen er pyramidene trekantede, firkantede, etc.

PYRAMIDE - en monumental struktur som har den geometriske formen til en pyramide (noen ganger også trappet eller tårnformet). Kjempegraver til de gamle egyptiske faraoene i det 3.-2. årtusen f.Kr. kalles pyramider. e., samt gamle amerikanske piedestaler av templer (i Mexico, Guatemala, Honduras, Peru) assosiert med kosmologiske kulter.

Det er mulig at det greske ordet «pyramide» kommer fra det egyptiske uttrykket per-em-us, det vil si fra et begrep som betydde pyramidens høyde. Den fremtredende russiske egyptologen V. Struve mente at det greske "puram...j" kommer fra det gamle egyptiske "p"-mr".

Fra historien. Etter å ha studert materialet i læreboken "Geometri" av forfatterne av Atanasyan. Butuzova og andre, vi lærte at: Et polyeder sammensatt av n-gon A1A2A3 ... An og n trekanter RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 kalles en pyramide. Polygonet A1A2A3 ... An er bunnen av pyramiden, og trekantene RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 er sideflatene til pyramiden, P er toppen av pyramiden, segmentene RA1, RA2, .. ., RAn er sidekantene.

En slik definisjon av pyramiden fantes imidlertid ikke alltid. For eksempel definerer den antikke greske matematikeren, forfatteren av teoretiske avhandlinger om matematikk som har kommet ned til oss, Euklid, en pyramide som en solid figur avgrenset av plan som konvergerer fra ett plan til ett punkt.

Men denne definisjonen har blitt kritisert allerede i antikken. Så Heron foreslo følgende definisjon av en pyramide: "Dette er en figur avgrenset av trekanter som konvergerer på ett punkt og hvis basis er en polygon."

Vår gruppe, som sammenlignet disse definisjonene, kom til den konklusjon at de ikke har en klar formulering av begrepet "fundament".

Vi studerte disse definisjonene og fant definisjonen til Adrien Marie Legendre, som i 1794 i sitt arbeid "Elements of Geometry" definerer pyramiden som følger: "Pyramid er en kroppslig figur dannet av trekanter som konvergerer på ett punkt og ender på forskjellige sider av en flat base."

Det ser ut til at den siste definisjonen gir en klar idé om pyramiden, siden den refererer til det faktum at basen er flat. En annen definisjon av en pyramide dukket opp i en lærebok fra 1800-tallet: "en pyramide er en solid vinkel krysset av et plan."

Pyramide som en geometrisk kropp.

At. En pyramide er et polyeder, hvor en av flatene (basen) er en polygon, de resterende flatene (sidene) er trekanter som har ett felles toppunkt (toppen av pyramiden).

Den perpendikulære trukket fra toppen av pyramiden til planet av basen kalles høydeh pyramider.

I tillegg til en vilkårlig pyramide finnes det høyre pyramide, ved bunnen av dette er en vanlig polygon og avkortet pyramide.

I figuren - pyramiden PABCD, ABCD - dens base, PO - høyde.

Full overflate En pyramide kalles summen av arealene av alle dens ansikter.

Full = Sside + Sbase, hvor Sside er summen av arealene til sideflatene.

pyramidevolum finnes i henhold til formelen:

V=1/3Sbase h, hvor Sosn. - grunnareal h- høyde.

Aksen til en vanlig pyramide er en rett linje som inneholder dens høyde.
Apotem ST - høyden på sideflaten til en vanlig pyramide.

Arealet av sideflaten til en vanlig pyramide uttrykkes som følger: Sside. =1/2P h, hvor P er omkretsen av basen, h- høyden på sideflaten (apotemet til en vanlig pyramide). Hvis pyramiden krysses av plan A'B'C'D' parallelt med basen, så:

1) sidekanter og høyde er delt av dette planet i proporsjonale deler;

2) i seksjonen oppnås en polygon A'B'C'D', lik basen;

DIV_ADBLOCK914">

En vanlig trekantet pyramide kalles tetraeder .

Avkuttet pyramide oppnås ved å skjære av dens øvre del fra pyramiden med et plan parallelt med basen (figur ABCDD'C'B'A').

Basene til den avkortede pyramiden er lignende polygoner ABCD og A`B`C`D`, sideflater er trapeser.

Høyde avkortet pyramide - avstanden mellom basene.

Avkortet volum pyramiden finnes ved formelen:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Det laterale overflatearealet til en vanlig avkortet pyramide uttrykkes som følger: Sside. = ½(P+P') h, hvor P og P' er omkretsen av basene, h- høyden på sideflaten (apotemet til en vanlig avkortet av fester

Deler av pyramiden.

Deler av pyramiden etter plan som passerer gjennom toppen er trekanter.

Seksjonen som går gjennom to ikke-tilstøtende sidekanter av pyramiden kalles diagonalt snitt.

Hvis seksjonen går gjennom et punkt på sidekanten og siden av basen, vil denne siden være sporet på pyramidens basis.

En seksjon som går gjennom et punkt som ligger på forsiden av pyramiden, og et gitt spor av seksjonen på planet til basen, så skal konstruksjonen utføres som følger:

finn skjæringspunktet til planet til det gitte ansiktet og sporet til pyramidedelen og utpek det;

bygge en rett linje som går gjennom et gitt punkt og det resulterende skjæringspunktet;

· Gjenta disse trinnene for de neste ansiktene.

, som tilsvarer forholdet mellom bena i en rettvinklet trekant 4:3. Dette forholdet mellom bena tilsvarer den velkjente rettvinklet med sidene 3:4:5, som kalles den "perfekte", "hellige" eller "egyptiske" trekanten. Ifølge historikere fikk den "egyptiske" trekanten en magisk betydning. Plutarch skrev at egypterne sammenlignet universets natur med en "hellig" trekant; de sammenlignet symbolsk det vertikale benet med mannen, basen med kona og hypotenusen med det som er født fra begge.

For en trekant 3:4:5 er likheten sann: 32 + 42 = 52, som uttrykker Pythagoras teorem. Er det ikke denne teoremet de egyptiske prestene ønsket å forevige ved å reise en pyramide på grunnlag av trekanten 3:4:5? Det er vanskelig å finne et bedre eksempel for å illustrere Pythagoras teorem, som var kjent for egypterne lenge før det ble oppdaget av Pythagoras.

Dermed forsøkte de geniale skaperne av de egyptiske pyramidene å imponere fjerne etterkommere med dybden av deres kunnskap, og de oppnådde dette ved å velge den "geometriske hovedideen" for Keops-pyramiden - den "gyldne" rettvinklede trekanten, og for pyramiden til Khafre - den "hellige" eller "egyptiske" trekanten.

Svært ofte, i sin forskning, bruker forskere egenskapene til pyramidene med proporsjonene til det gylne snitt.

Følgende definisjon av det gylne snitt er gitt i den matematiske encyklopedisk ordbok - dette er en harmonisk inndeling, inndeling i ekstreme og gjennomsnittlige forhold - inndeling av segmentet AB i to deler på en slik måte at det meste av AC er gjennomsnittlig proporsjonal mellom hele segmentet AB og dets mindre del CB.

Algebraisk funn av den gylne delen av et segment AB = a reduserer til å løse ligningen a: x = x: (a - x), hvorav x er omtrent lik 0,62a. X-forholdet kan uttrykkes som brøker 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, hvor 2, 3, 5, 8, 13, 21 er Fibonacci-tall.

Den geometriske konstruksjonen av det gylne snitt av segmentet AB utføres som følger: ved punkt B gjenopprettes vinkelrett på AB, segmentet BE \u003d 1/2 AB legges på det, A og E er koblet sammen, DE \ u003d BE er utsatt og til slutt AC \u003d AD, så er likheten AB oppfylt: CB = 2: 3.

Det gyldne snitt brukes ofte i kunstverk, arkitektur og finnes i naturen. Levende eksempler er skulpturen av Apollo Belvedere, Parthenon. Under byggingen av Parthenon ble forholdet mellom bygningens høyde og lengden brukt, og dette forholdet er 0,618. Gjenstander rundt oss gir også eksempler på det gylne snitt, for eksempel har innbindingene til mange bøker et forhold mellom bredde og lengde nær 0,618. Med tanke på arrangementet av blader på en felles stamme av planter, kan man legge merke til at mellom hvert to bladpar er det tredje plassert på stedet for det gylne snittet (sklier). Hver av oss "bærer" det gylne forholdet med oss ​​"i hendene" - dette er forholdet mellom fingrenes falanger.

Takket være oppdagelsen av flere matematiske papyrus, har egyptologer lært noe om de gamle egyptiske systemene for kalkulus og mål. Oppgavene i dem ble løst av skriftlærde. En av de mest kjente er Rhind Mathematical Papyrus. Ved å studere disse gåtene, lærte egyptologer hvordan de gamle egypterne håndterte de ulike mengdene som oppsto når de beregnet mål på vekt, lengde og volum, som ofte brukte brøker, samt hvordan de håndterte vinkler.

De gamle egypterne brukte en metode for å beregne vinkler basert på forholdet mellom høyden og bunnen av en rettvinklet trekant. De uttrykte enhver vinkel i gradientens språk. Helningsgradienten ble uttrykt som et forhold mellom et heltall, kalt "seked". I Mathematics in the Time of the Pharaohs forklarer Richard Pillins: «Seked av en vanlig pyramide er helningen til en av de fire trekantede flatene til grunnplanet, målt ved et n-te antall horisontale enheter per vertikal høydeenhet . Dermed er denne måleenheten ekvivalent med vår moderne cotangens av helningsvinkelen. Derfor er det egyptiske ordet "seked" relatert til vårt moderne ord "gradient".

Den numeriske nøkkelen til pyramidene ligger i forholdet mellom høyden og basen. Rent praktisk er dette den enkleste måten å lage maler som trengs for hele tiden å kontrollere riktig helningsvinkel gjennom konstruksjonen av pyramiden.

Egyptologer vil gjerne overbevise oss om at hver farao var ivrig etter å uttrykke sin individualitet, derav forskjellene i helningsvinklene for hver pyramide. Men det kan være en annen grunn. Kanskje de alle ønsket å legemliggjøre forskjellige symbolske assosiasjoner skjult i forskjellige proporsjoner. Vinkelen til Khafres pyramide (basert på trekanten (3:4:5) vises imidlertid i de tre oppgavene som presenteres av pyramidene i Rhind Mathematical Papyrus). Så denne holdningen var godt kjent for de gamle egypterne.

For å være rettferdig overfor egyptologer som hevder at de gamle egypterne ikke kjente til 3:4:5-trekanten, la oss si at lengden på hypotenusen 5 aldri ble nevnt. Men matematiske problemer angående pyramidene løses alltid på grunnlag av den sekkede vinkelen - forholdet mellom høyden og basen. Siden lengden på hypotenusen aldri ble nevnt, ble det konkludert med at egypterne aldri beregnet lengden på den tredje siden.

Høyde-til-base-forholdene som ble brukt i pyramidene i Giza var uten tvil kjent for de gamle egypterne. Det er mulig at disse forholdstallene for hver pyramide ble valgt vilkårlig. Dette motsier imidlertid viktigheten av numerisk symbolikk i alle typer egyptisk kunst. Det er svært sannsynlig at slike forhold var av betydelig betydning, siden de uttrykte spesifikke religiøse ideer. Med andre ord var hele komplekset i Giza underlagt en sammenhengende design, designet for å reflektere en slags guddommelig tema. Dette ville forklare hvorfor designerne valgte forskjellige vinkler for de tre pyramidene.

I The Secret of Orion presenterte Bauval og Gilbert overbevisende bevis på forbindelsen mellom pyramidene i Giza og stjernebildet Orion, spesielt med stjernene i Orions belte. Det samme stjernebildet er til stede i myten om Isis og Osiris, og der er grunn til å betrakte hver pyramide som et bilde av en av de tre hovedgudene - Osiris, Isis og Horus.

MIRAKLER "GEOMETRISK".

Blant de grandiose pyramidene i Egypt er en spesiell plass okkupert av Den store pyramiden til farao Cheops (Khufu). Før vi går videre til analysen av formen og størrelsen på Cheops-pyramiden, bør vi huske hvilket system av tiltak egypterne brukte. Egypterne hadde tre lengdeenheter: "alen" (466 mm), lik syv "palmer" (66,5 mm), som igjen var lik fire "fingre" (16,6 mm).

La oss analysere størrelsen på Cheops-pyramiden (fig. 2), etter resonnementet gitt i den fantastiske boken til den ukrainske forskeren Nikolai Vasyutinskiy "Golden Proportion" (1990).

De fleste forskere er enige om at lengden på siden av bunnen av pyramiden, for eksempel, GF er lik L\u003d 233,16 m. Denne verdien tilsvarer nesten nøyaktig 500 "alen". Full overholdelse av 500 "alen" vil være hvis lengden på "alen" anses som lik 0,4663 m.

Pyramidehøyde ( H) er estimert av forskere forskjellig fra 146,6 til 148,2 m. Og avhengig av pyramidens aksepterte høyde endres alle forholdene til dens geometriske elementer. Hva er årsaken til forskjellene i beregningen av høyden på pyramiden? Faktum er at, strengt tatt, er Cheops-pyramiden avkortet. Den øvre plattformen har i dag en størrelse på omtrent 10 ´ 10 m, og for et århundre siden var den 6 ´ 6 m. Det er åpenbart at toppen av pyramiden ble demontert, og den samsvarer ikke med den opprinnelige.

Ved å estimere høyden på pyramiden, er det nødvendig å ta hensyn til en slik fysisk faktor som "utkastet" til strukturen. I lang tid, under påvirkning av kolossalt trykk (nådde 500 tonn per 1 m2 av den nedre overflaten), sank høyden på pyramiden sammenlignet med dens opprinnelige høyde.

Hva var den opprinnelige høyden på pyramiden? Denne høyden kan gjenskapes hvis du finner den grunnleggende "geometriske ideen" til pyramiden.

Figur 2.

I 1837 målte den engelske obersten G. Wise helningsvinkelen til pyramidens overflater: den viste seg å være lik en= 51°51". Denne verdien gjenkjennes fortsatt av de fleste forskere i dag. Den angitte verdien av vinkelen tilsvarer tangenten (tg) en), lik 1,27306. Denne verdien tilsvarer forholdet mellom høyden på pyramiden AC til halvparten av basen CB(fig. 2), dvs. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Og her fikk forskerne en stor overraskelse!.png" width="25" height="24">= 1.272. Sammenligning av denne verdien med tg-verdien en= 1,27306, ser vi at disse verdiene er veldig nær hverandre. Hvis vi tar vinkelen en\u003d 51 ° 50", det vil si å redusere den med bare ett bueminutt, deretter verdien en vil bli lik 1,272, det vil si at det vil falle sammen med verdien av . Det skal bemerkes at i 1840 gjentok G. Wise sine målinger og presiserte at verdien av vinkelen en=51°50".

Disse målingene førte forskerne til følgende veldig interessante hypotese: trekanten ASV i Keops-pyramiden var basert på forholdet AC / CB = = 1,272!

Betrakt nå en rettvinklet trekant ABC, der forholdet mellom ben AC / CB= (fig. 2). Hvis nå lengdene på sidene av rektangelet ABC betegne med x, y, z, og også ta hensyn til at forholdet y/x= , så, i samsvar med Pythagoras teorem, lengden z kan beregnes med formelen:

Hvis godta x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figur 3"Gylden" rettvinklet trekant.

En rettvinklet trekant der sidene er relatert som t:gyldne" rettvinklet trekant.

Hvis vi så tar utgangspunkt i hypotesen om at den viktigste "geometriske ideen" til Cheops-pyramiden er den "gyldne" rettvinklede trekanten, så er det herfra lett å beregne "design"-høyden til Cheops-pyramiden. Det er lik:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

La oss nå utlede noen andre relasjoner for Keops-pyramiden, som følger av den "gyldne" hypotesen. Spesielt finner vi forholdet mellom det ytre området av pyramiden og området til basen. For å gjøre dette tar vi lengden på beinet CB per enhet, det vil si: CB= 1. Men så lengden på siden av bunnen av pyramiden GF= 2, og arealet av basen EFGH vil være lik SEFGH = 4.

La oss nå beregne arealet av sideflaten til Cheops-pyramiden SD. Fordi høyden AB triangel AEF er lik t, da vil arealet av sideflaten være lik SD = t. Da vil det totale arealet av alle fire sideflatene til pyramiden være lik 4 t, og forholdet mellom pyramidens totale ytre areal og basisarealet vil være lik det gylne snitt! Det er hva det er - den viktigste geometriske hemmeligheten til Cheops-pyramiden!

Gruppen av "geometriske underverker" i Keops-pyramiden inkluderer de virkelige og konstruerte egenskapene til forholdet mellom de forskjellige dimensjonene i pyramiden.

Som regel oppnås de på jakt etter en "konstant", spesielt tallet "pi" (Ludolf-nummer), lik 3,14159 ...; baser av naturlige logaritmer "e" (Napiers tall) lik 2,71828...; tallet "F", tallet på det "gyldne snittet", lik for eksempel 0,618 ... osv.

Du kan for eksempel navngi: 1) Herodots eiendom: (Høyde) 2 \u003d 0,5 st. hoved- x Apotem; 2) Eiendom til V. Pris: Høyde: 0,5 st. osn \u003d kvadratrot av "Ф"; 3) Eiendom til M. Eist: Omkrets av basen: 2 Høyde = "Pi"; i en annen tolkning - 2 ss. hoved- : Høyde = "Pi"; 4) G. Rebers eiendom: Radius av den innskrevne sirkelen: 0,5 st. hoved- = "F"; 5) Eiendom til K. Kleppish: (St. hoved.) 2: 2 (st. hoved. x Apotem) \u003d (st. hoved. W. Apotem) \u003d 2 (st. hoved. x Apotem) : (( 2 st. hoved X Apothem) + (st. hoved) 2). Etc. Du kan komme opp med mange slike egenskaper, spesielt hvis du kobler to tilstøtende pyramider. For eksempel, som "Egenskaper til A. Arefiev" kan det nevnes at forskjellen mellom volumene til Cheops-pyramiden og Khafre-pyramiden er lik to ganger volumet til Menkaure-pyramiden...

Mange interessante bestemmelser, spesielt om konstruksjon av pyramider i henhold til det "gyldne snitt" er angitt i bøkene til D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" og M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Husk at det "gyldne snittet" er inndelingen av segmentet i et slikt forhold, når del A er like mange ganger større enn del B, hvor mange ganger A er mindre enn hele segmentet A + B. Forholdet A/B er lik tallet "Ф" == 1.618. .. Bruken av det "gyldne snittet" er indikert ikke bare i individuelle pyramider, men i hele pyramidekomplekset i Giza.

Det mest kuriøse er imidlertid at en og samme Cheops-pyramide rett og slett "ikke kan" inneholde så mange fantastiske egenskaper. Ved å ta en viss eiendom en etter en, kan du "justere" den, men på en gang passer de ikke - de faller ikke sammen, de motsier hverandre. Derfor, hvis for eksempel, når du sjekker alle egenskaper, en og samme side av bunnen av pyramiden (233 m) i utgangspunktet tas, så vil høydene til pyramider med forskjellige egenskaper også være forskjellige. Det er med andre ord en viss "familie" av pyramider, utad lik Cheops, men som tilsvarer forskjellige egenskaper. Legg merke til at det ikke er noe spesielt mirakuløst i de "geometriske" egenskapene - mye oppstår rent automatisk, fra egenskapene til selve figuren. Et "mirakel" bør kun betraktes som noe åpenbart umulig for de gamle egypterne. Dette inkluderer spesielt "kosmiske" mirakler, der målingene av Keops-pyramiden eller Giza-pyramidekomplekset sammenlignes med noen astronomiske målinger og "partall" er indikert: en million ganger, en milliard ganger mindre, og så videre . La oss vurdere noen "kosmiske" relasjoner.

Et av utsagnene er dette: «hvis vi deler siden av bunnen av pyramiden med den nøyaktige lengden av året, får vi nøyaktig 10 milliontedeler av jordens akse». Regn ut: del 233 på 365, vi får 0,638. Jordens radius er 6378 km.

Et annet utsagn er faktisk det motsatte av det forrige. F. Noetling påpekte at hvis du bruker den "egyptiske albuen" oppfunnet av ham, vil siden av pyramiden tilsvare "den mest nøyaktige varigheten av solåret, uttrykt til nærmeste milliarddel av en dag" - 365.540.903.777 .

P. Smiths uttalelse: "Pyramidens høyde er nøyaktig en milliarddel av avstanden fra jorden til solen." Selv om høyden på 146,6 m vanligvis er tatt, tok Smith den som 148,2 m. I følge moderne radarmålinger er halvhovedaksen til jordens bane 149.597.870 + 1,6 km. Dette er den gjennomsnittlige avstanden fra jorden til solen, men ved perihel er den 5 000 000 kilometer mindre enn ved aphelium.

Siste nysgjerrig utsagn:

"Hvordan forklare at massene til pyramidene til Cheops, Khafre og Menkaure er relatert til hverandre, som massene til planetene Jorden, Venus, Mars?" La oss beregne. Massene til de tre pyramidene er relatert som: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Forholdet mellom massene til de tre planetene: Venus - 0,815; Land - 1000; Mars - 0,108.

Så, til tross for skepsisen, la oss merke den velkjente harmonien i konstruksjonen av uttalelser: 1) høyden på pyramiden, som en linje "som går ut i verdensrommet" - tilsvarer avstanden fra jorden til solen; 2) siden av bunnen av pyramiden nærmest "underlaget", det vil si jorden, er ansvarlig for jordens radius og jordens sirkulasjon; 3) volumene til pyramiden (les - masser) tilsvarer forholdet mellom massene til planetene nærmest jorden. Et lignende "siffer" kan spores for eksempel på biespråk, analysert av Karl von Frisch. Vi avstår imidlertid fra å kommentere dette foreløpig.

FORM PÅ PYRAMIDENE

Den berømte tetraedriske formen til pyramidene dukket ikke opp umiddelbart. Skyterne gjorde begravelser i form av jordbakker - hauger. Egypterne bygde "åser" av stein - pyramider. Dette skjedde for første gang etter foreningen av Øvre og Nedre Egypt, på 2700-tallet f.Kr., da grunnleggeren av III-dynastiet, farao Djoser (Zoser), sto overfor oppgaven med å styrke enheten i landet.

Og her spilte, ifølge historikere, tsarens «nye guddommeliggjøringsbegrep» en viktig rolle i å styrke sentralmakten. Selv om de kongelige begravelsene ble preget av større prakt, skilte de seg ikke i prinsippet fra gravene til hoffets adelsmenn, de var de samme strukturene - mastabas. Over kammeret med sarkofagen som inneholdt mumien, ble en rektangulær høyde med små steiner helt ut, hvor en liten bygning av store steinblokker deretter ble plassert - "mastaba" (på arabisk - "benk"). På stedet for mastabaen til hans forgjenger, Sanakht, reiste farao Djoser den første pyramiden. Det var trappetrinn og var et synlig overgangsstadium fra en arkitektonisk form til en annen, fra en mastaba til en pyramide.

På denne måten ble faraoen «oppdratt» av vismannen og arkitekten Imhotep, som senere ble ansett som en magiker og identifisert av grekerne med guden Asclepius. Det var som om seks mastabaer ble reist på rad. Dessuten okkuperte den første pyramiden et område på 1125 x 115 meter, med en estimert høyde på 66 meter (ifølge egyptiske mål - 1000 "palmer"). Først planla arkitekten å bygge en mastaba, men ikke avlang, men kvadratisk i plan. Senere ble det utvidet, men siden tilbygget ble gjort lavere, ble det så å si dannet to trinn.

Denne situasjonen tilfredsstilte ikke arkitekten, og på den øverste plattformen til en enorm flat mastaba plasserte Imhotep tre til, gradvis avtagende mot toppen. Graven lå under pyramiden.

Flere mer avtrappede pyramider er kjent, men senere gikk utbyggerne over til å bygge mer kjente tetraedriske pyramider. Hvorfor derimot ikke trekantet eller for eksempel åttekantet? Et indirekte svar er gitt av det faktum at nesten alle pyramidene er perfekt orientert mot de fire kardinalpunktene, og derfor har fire sider. I tillegg var pyramiden et "hus", et skall av et firkantet gravkammer.

Men hva forårsaket helningsvinkelen til ansiktene? I boken «The Principle of Proporsjoner» er et helt kapittel viet til dette: «Hva kan bestemme vinklene til pyramidene». Spesielt er det indikert at "bildet som de store pyramidene i Det gamle rike graviterer til er en trekant med en rett vinkel på toppen.

I verdensrommet er det et semi-oktaeder: en pyramide der kantene og sidene av basen er like, flatene er likesidede trekanter. Visse betraktninger er gitt om dette emnet i bøkene til Hambidge, Geek og andre.

Hva er fordelen med vinkelen til semioktaederet? Ifølge beskrivelsene til arkeologer og historikere kollapset noen pyramider under sin egen vekt. Det som skulle til var en "holdbarhetsvinkel", en vinkel som var den mest energimessig pålitelige. Rent empirisk kan denne vinkelen tas fra toppunktsvinkelen i en haug med smuldrende tørr sand. Men for å få nøyaktige data, må du bruke modellen. Ved å ta fire fast feste baller, må du sette den femte på dem og måle helningsvinklene. Men her kan du gjøre en feil, derfor hjelper en teoretisk beregning: du bør koble midten av ballene med linjer (mentalt). Ved basen får du en firkant med en side lik to ganger radius. Firkanten vil bare være bunnen av pyramiden, lengden på kantene vil også være lik to ganger radiusen.

Dermed vil en tett pakking av kuler av typen 1:4 gi oss et vanlig halvoktaeder.

Men hvorfor beholder mange pyramider, som trekker mot en lignende form, ikke desto mindre den? Sannsynligvis begynner pyramidene å bli gamle. I motsetning til det kjente ordtaket:

"Alt i verden er redd for tid, og tiden er redd for pyramidene", bygningene til pyramidene må eldes, de kan og bør finne sted ikke bare prosessene med ytre forvitring, men også prosessene med intern "krymping" , hvorfra pyramidene kan bli lavere. Krymping er også mulig fordi, som funnet ut av verkene til D. Davidovits, brukte de gamle egypterne teknologien for å lage blokker fra kalkflis, med andre ord fra "betong". Det er disse prosessene som kan forklare årsaken til ødeleggelsen av Medum-pyramiden, som ligger 50 km sør for Kairo. Den er 4600 år gammel, dimensjonene på basen er 146 x 146 m, høyden er 118 m. «Hvorfor er det så lemlestet?» spør V. Zamarovsky. «De vanlige referansene til tidens destruktive virkninger og «bruken av stein til andre bygninger» passer ikke her.

Tross alt forblir de fleste blokkene og de motstående hellene fortsatt på plass, i ruinene ved foten. "Som vi vil se, får en rekke bestemmelser en til å tro at den berømte Kheopspyramiden også" krympet ". I alle fall , på alle gamle bilder er pyramidene spisse ...

Formen på pyramidene kan også genereres ved imitasjon: noen naturlige mønstre, "mirakuløs perfeksjon", for eksempel noen krystaller i form av et oktaeder.

Slike krystaller kan være diamant- og gullkrystaller. Et stort antall "kryssende" tegn for slike konsepter som farao, sol, gull, diamant er karakteristisk. Overalt - edel, strålende (strålende), flott, feilfri og så videre. Likhetene er ikke tilfeldige.

Solkulten var som du vet en viktig del av religionen i det gamle Egypt. "Uansett hvordan vi oversetter navnet på den største av pyramidene," sier en av de moderne lærebøkene, "Sky Khufu" eller "Sky Khufu", betydde det at kongen er solen. Hvis Khufu, i glansen av sin makt, forestilte seg å være en annen sol, ble sønnen hans Jedef-Ra den første av de egyptiske kongene som begynte å kalle seg "sønnen til Ra", det vil si sønnen til Sol. Solen ble symbolisert av nesten alle folkeslag som "solmetall", gull. "Den store skiven av lyst gull" - slik kalte egypterne dagslyset vårt. Egypterne kjente gull veldig godt, de kjente dets opprinnelige former, hvor gullkrystaller kan vises i form av oktaeder.

Som et "prøve av former" er "solsteinen" - en diamant - også interessant her. Navnet på diamanten kom bare fra den arabiske verden, "almas" - den hardeste, hardeste, uforgjengelige. De gamle egypterne visste at diamanten og dens egenskaper er ganske gode. Ifølge noen forfattere brukte de til og med bronserør med diamantkuttere til boring.

Sør-Afrika er nå hovedleverandøren av diamanter, men Vest-Afrika er også rikt på diamanter. Territoriet til republikken Mali kalles til og med "diamantlandet" der. I mellomtiden er det på Malis territorium at Dogon bor, som tilhengerne av paleovisit-hypotesen gir mange forhåpninger (se nedenfor). Diamanter kunne ikke være årsaken til kontaktene til de gamle egypterne med denne regionen. Men på en eller annen måte er det mulig at det var nettopp ved å kopiere oktaedrene til diamant- og gullkrystaller at de gamle egypterne guddommeliggjorde faraoene, "uødeleggelige" som diamant og "strålende" som gull, solens sønner, sammenlignbare bare med naturens mest fantastiske kreasjoner.

Konklusjon:

Etter å ha studert pyramiden som en geometrisk kropp, blitt kjent med dens elementer og egenskaper, var vi overbevist om gyldigheten av meningen om skjønnheten i formen til pyramiden.

Som et resultat av vår forskning kom vi til den konklusjon at egypterne, etter å ha samlet den mest verdifulle matematiske kunnskapen, legemliggjorde den i en pyramide. Derfor er pyramiden virkelig den mest perfekte skapelsen av naturen og mennesket.

BIBLIOGRAFI

"Geometri: Proc. for 7-9 celler. allmennutdanning institusjoner \, etc. - 9. utg. - M .: Education, 1999

Historie om matematikk på skolen, M: "Enlightenment", 1982

Geometri karakter 10-11, M: "Opplysning", 2000

Peter Tompkins "Secrets of the Great Pyramid of Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

Internett-ressurser

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html