Fraktaler i primtall. Mann med romlig fantasi

Hva har et tre, en strand, en sky eller blodårer i hånden vår til felles? Ved første øyekast kan det virke som om alle disse gjenstandene ikke har noe til felles. Imidlertid er det faktisk en egenskap ved strukturen som er iboende i alle de listede objektene: de er selv-lignende. Fra grenen, så vel som fra stammen til et tre, avgår mindre prosesser, fra dem - enda mindre, etc., det vil si at en gren ligner hele treet. Sirkulasjonssystemet er ordnet på en lignende måte: arterioler avgår fra arteriene, og fra dem - de minste kapillærene gjennom hvilke oksygen kommer inn i organer og vev. La oss se på satellittbilder av havkysten: vi vil se bukter og halvøyer; la oss ta en titt på det, men fra et fugleperspektiv: vi vil se bukter og kapper; tenk nå at vi står på stranden og ser på føttene våre: det vil alltid være småstein som stikker lenger ned i vannet enn resten. Det vil si at kystlinjen forblir lik seg selv når den zoomes inn. Den amerikanske matematikeren Benoit Mandelbrot kalte denne egenskapen til gjenstander fraktalitet, og slike gjenstander selv - fraktaler (fra latin fractus - brutt).

Dette konseptet har ingen streng definisjon. Derfor er ikke ordet "fraktal" et matematisk begrep. Vanligvis er en fraktal en geometrisk figur som tilfredsstiller en eller flere av følgende egenskaper: Den har en kompleks struktur ved enhver forstørrelse (i motsetning til for eksempel en rett linje, hvor en hvilken som helst del er den enkleste geometriske figuren - et segment). Det er (omtrent) seg selv. Den har en fraksjonell Hausdorff (fraktal) dimensjon, som er større enn den topologiske. Kan bygges med rekursive prosedyrer.

Geometri og algebra

Studiet av fraktaler på begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var mer episodisk enn systematisk, fordi tidligere matematikere hovedsakelig studerte "gode" objekter som kunne studeres ved hjelp av vanlige metoder og teorier. I 1872 bygger den tyske matematikeren Karl Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres noe sted. Konstruksjonen var imidlertid helt abstrakt og vanskelig å forstå. Derfor kom svensken Helge von Koch i 1904 med en kontinuerlig kurve som ikke har noen tangent noe sted, og det er ganske enkelt å tegne den. Det viste seg at det har egenskapene til en fraktal. En variant av denne kurven kalles Koch snøfnugg.

Ideene om figurers selvlikhet ble plukket opp av franskmannen Paul Pierre Levy, den fremtidige mentoren til Benoit Mandelbrot. I 1938 ble artikkelen hans "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" publisert, der en annen fraktal er beskrevet - Lévy C-kurven. Alle disse fraktalene som er oppført ovenfor kan betinget tilskrives en klasse av konstruktive (geometriske) fraktaler.

En annen klasse er dynamiske (algebraiske) fraktaler, som inkluderer Mandelbrot-settet. Den første forskningen i denne retningen begynte på begynnelsen av 1900-tallet og er knyttet til navnene til de franske matematikerne Gaston Julia og Pierre Fatou. I 1918 publiserte Julia et memoar på nesten to hundre sider, viet til iterasjoner av komplekse rasjonelle funksjoner, der Julia-sett er beskrevet - en hel familie av fraktaler som er nært knyttet til Mandelbrot-settet. Dette verket ble tildelt prisen fra det franske akademiet, men det inneholdt ikke en eneste illustrasjon, så det var umulig å sette pris på skjønnheten til de oppdagede gjenstandene. Til tross for at dette arbeidet gjorde Julia berømt blant datidens matematikere, ble det raskt glemt. Igjen ble oppmerksomheten rettet mot det bare et halvt århundre senere med fremkomsten av datamaskiner: det var de som synliggjorde rikdommen og skjønnheten i fraktalverdenen.

Fraktale dimensjoner

Som du vet, er dimensjonen (antall mål) til en geometrisk figur antallet koordinater som er nødvendige for å bestemme posisjonen til et punkt som ligger på denne figuren.
For eksempel bestemmes posisjonen til et punkt på en kurve av én koordinat, på en overflate (ikke nødvendigvis et plan) av to koordinater, i tredimensjonalt rom av tre koordinater.
Fra et mer generelt matematisk synspunkt kan man definere dimensjonen på denne måten: en økning i lineære dimensjoner, si to ganger, for endimensjonale (fra et topologisk synspunkt) objekter (segment) fører til en økning i størrelse (lengde) med en faktor på to, for todimensjonale (kvadrat ) fører den samme økningen i lineære dimensjoner til en økning i størrelse (areal) med 4 ganger, for tredimensjonal (kube) - med 8 ganger. Det vil si at den "virkelige" (såkalte Hausdorff) dimensjonen kan beregnes som forholdet mellom logaritmen av økningen i "størrelsen" til et objekt og logaritmen av økningen i dens lineære størrelse. Det vil si for et segment D=log (2)/log (2)=1, for et plan D=log (4)/log (2)=2, for et volum D=log (8)/log (2) )=3.
La oss nå beregne dimensjonen til Koch-kurven, for hvis konstruksjon enhetssegmentet er delt inn i tre like deler og midtintervallet erstattes av en likesidet trekant uten dette segmentet. Med en økning i de lineære dimensjonene til minimumssegmentet tre ganger, øker lengden på Koch-kurven i log (4) / log (3) ~ 1,26. Det vil si at dimensjonen til Koch-kurven er brøkdel!

Vitenskap og kunst

I 1982 ble Mandelbrots bok «The Fractal Geometry of Nature» utgitt, hvor forfatteren samlet og systematiserte nesten all informasjon om fraktaler som var tilgjengelig på den tiden og presenterte den på en enkel og tilgjengelig måte. Mandelbrot la hovedvekten i sin presentasjon ikke på tunge formler og matematiske konstruksjoner, men på lesernes geometriske intuisjon. Takket være datagenererte illustrasjoner og historiske historier, som forfatteren dyktig utvannet den vitenskapelige komponenten i monografien med, ble boken en bestselger, og fraktalene ble kjent for allmennheten. Deres suksess blant ikke-matematikere skyldes i stor grad det faktum at ved hjelp av veldig enkle konstruksjoner og formler som selv en videregående elev kan forstå, oppnås bilder av utrolig kompleksitet og skjønnhet. Da personlige datamaskiner ble kraftige nok, dukket til og med en hel trend innen kunst opp - fraktalmaling, og nesten enhver datamaskineier kunne gjøre det. Nå på Internett kan du enkelt finne mange nettsteder dedikert til dette emnet.

Opplegg for å få Koch-kurven

Krig og fred

Som nevnt ovenfor er en av de naturlige gjenstandene som har fraktale egenskaper kystlinjen. En interessant historie er forbundet med den, eller rettere sagt, med et forsøk på å måle lengden, som dannet grunnlaget for Mandelbrots vitenskapelige artikkel, og som også er beskrevet i hans bok "The Fractal Geometry of Nature". Vi snakker om et eksperiment som ble satt opp av Lewis Richardson, en svært talentfull og eksentrisk matematiker, fysiker og meteorolog. En av retningene for forskningen hans var et forsøk på å finne en matematisk beskrivelse av årsakene til og sannsynligheten for en væpnet konflikt mellom to land. Blant parameterne han tok i betraktning var lengden på den felles grensen mellom de to krigførende landene. Da han samlet inn data for numeriske eksperimenter, fant han at i forskjellige kilder er dataene om den felles grensen til Spania og Portugal svært forskjellige. Dette førte ham til følgende oppdagelse: lengden på landets grenser avhenger av linjalen vi måler dem med. Jo mindre skala, desto lengre blir grensen. Dette skyldes det faktum at ved høyere forstørrelse blir det mulig å ta hensyn til flere og flere svinger av kysten, som tidligere ble ignorert på grunn av grovheten i målingene. Og hvis det med hver zoom åpnes tidligere uberegnelige bøyninger av linjer, viser det seg at lengden på grensene er uendelig! Riktignok skjer dette ikke - nøyaktigheten av målingene våre har endelig grense. Dette paradokset kalles Richardson-effekten.

Konstruktive (geometriske) fraktaler

Algoritmen for å konstruere en konstruktiv fraktal i det generelle tilfellet er som følger. Først av alt trenger vi to passende geometriske former, la oss kalle dem basen og fragmentet. På det første stadiet er grunnlaget for den fremtidige fraktalen avbildet. Deretter erstattes noen av delene av et fragment tatt i en passende skala - dette er den første iterasjonen av konstruksjonen. Så, i den resulterende figuren, endres noen deler igjen til figurer som ligner på et fragment osv. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi i grensen en fraktal.

Vurder denne prosessen ved å bruke eksempelet med Koch-kurven (se sidefeltet på forrige side). Enhver kurve kan tas som grunnlag for Koch-kurven (for Koch-snøfnugget er dette en trekant). Men vi begrenser oss til det enkleste tilfellet - et segment. Fragmentet er en brutt linje vist på toppen av figuren. Etter den første iterasjonen av algoritmen, i dette tilfellet, vil det opprinnelige segmentet falle sammen med fragmentet, deretter vil hvert av dets bestanddeler selv bli erstattet av en stiplet linje som ligner på fragmentet, og så videre. Figuren viser de fire første trinn i denne prosessen.

Matematikkens språk: dynamiske (algebraiske) fraktaler

Fraktaler av denne typen oppstår i studiet av ikke-lineære dynamiske systemer (derav navnet). Oppførselen til et slikt system kan beskrives ved en kompleks ikke-lineær funksjon (polynom) f(z). La oss ta et startpunkt z0 på det komplekse planet (se sidefeltet). Vurder nå en slik uendelig tallrekke på det komplekse planet, som hver er hentet fra det forrige: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Avhengig av startpunktet z0, kan en slik sekvens oppføre seg annerledes: har en tendens til uendelig som n -> ∞; konvergere til et eller annet endepunkt; syklisk ta et antall faste verdier; mer komplekse alternativer er mulig.

Komplekse tall

Et komplekst tall er et tall som består av to deler - reelt og imaginært, det vil si den formelle summen x + iy (x og y her - reelle tall). jeg er den såkalte. imaginær enhet, det vil si et tall som tilfredsstiller ligningen i^ 2 = -1. Over komplekse tall, det viktigste matematiske operasjoner- addisjon, multiplikasjon, divisjon, subtraksjon (bare sammenligningsoperasjonen er ikke definert). Brukes ofte for å vise komplekse tall geometrisk representasjon- på planet (det kalles kompleks) er den reelle delen plottet langs abscisseaksen, og den imaginære delen langs ordinataksen, mens det komplekse tallet vil tilsvare et punkt med kartesiske koordinater x og y.

Dermed har ethvert punkt z i det komplekse planet sin egen karakter av oppførsel under iterasjoner av funksjonen f (z), og hele planet er delt inn i deler. Dessuten har punktene som ligger på grensene til disse delene følgende egenskap: for en vilkårlig liten forskyvning endres arten av deres oppførsel dramatisk (slike punkter kalles bifurkasjonspunkter). Så det viser seg at sett med punkter som har en spesifikk type oppførsel, så vel som sett med bifurkasjonspunkter, ofte har fraktale egenskaper. Dette er Julia-settene for funksjonen f(z).

dragefamilie

Ved å variere basen og fragmentet kan du få et fantastisk utvalg av konstruktive fraktaler.
Dessuten kan lignende operasjoner utføres i tredimensjonalt rom. Eksempler på volumetriske fraktaler er "Mengers svamp", "Sierpinskis pyramide" og andre.
Familien av drager er også referert til konstruktive fraktaler. De blir noen ganger referert til med navnet på oppdagerne som "dragene til Heiwei-Harter" (de ligner kinesiske drager i sin form). Det er flere måter å konstruere denne kurven på. Den enkleste og mest åpenbare av dem er dette: du må ta en tilstrekkelig lang papirstrimmel (jo tynnere papiret er, jo bedre) og bøye det i to. Bøy den deretter i to i samme retning som første gang. Etter flere repetisjoner (vanligvis etter fem eller seks fold, blir stripen for tykk til å bøyes forsiktig videre), må du rette stripen tilbake og prøve å danne 90˚ vinkler ved brettene. Da vil dragens kurve vise seg i profil. Selvfølgelig vil dette bare være en tilnærming, som alle våre forsøk på å avbilde fraktale objekter. Datamaskinen lar deg skildre mange flere trinn i denne prosessen, og resultatet er en veldig vakker figur.

Mandelbrot-settet er konstruert noe annerledes. Tenk på funksjonen fc (z) = z 2 +c, hvor c er et komplekst tall. La oss konstruere en sekvens av denne funksjonen med z0=0, avhengig av parameteren c, kan den divergere til uendelig eller forbli avgrenset. Dessuten danner alle verdiene av c som denne sekvensen er avgrenset for Mandelbrot-settet. Det ble studert i detalj av Mandelbrot selv og andre matematikere, som oppdaget mange interessante egenskaper ved dette settet.

Det kan sees at definisjonene av Julia- og Mandelbrot-settene ligner hverandre. Faktisk er disse to settene nært beslektet. Mandelbrot-settet er nemlig alle verdiene av den komplekse parameteren c som Julia-settet fc (z) er koblet til (et sett kalles koblet hvis det ikke kan deles inn i to ikke-skjærende deler, med noen tilleggsbetingelser).

fraktaler og liv

I dag er teorien om fraktaler mye brukt i ulike felt av menneskelig aktivitet. I tillegg til et rent vitenskapelig objekt for forskning og det allerede nevnte fraktale maleriet, brukes fraktaler i informasjonsteori for å komprimere grafiske data (her brukes hovedsakelig selvlikhetsegenskapen til fraktaler - tross alt for å huske et lite fragment av en tegning og transformasjoner som du kan få resten av delene med, det krever mye mindre minne enn å lagre hele filen). Ved å legge til tilfeldige forstyrrelser til formlene som definerer fraktalen, kan du få stokastiske fraktaler som meget plausibelt formidler noen virkelige objekter - relieffelementer, overflaten av vannforekomster, noen planter, som med hell brukes i fysikk, geografi og datagrafikk for å oppnå større likhet mellom simulerte objekter og ekte. I radioelektronikk siste tiåret begynte å produsere antenner med en fraktal form. De tar liten plass og gir signalmottak av ganske høy kvalitet. Økonomer bruker fraktaler for å beskrive valutasvingningskurver (denne egenskapen ble oppdaget av Mandelbrot for over 30 år siden). Dette avslutter denne korte ekskursjonen inn i fraktalverdenen, fantastisk i sin skjønnhet og mangfold.

Når jeg ikke forstår alt i det jeg leser, blir jeg ikke spesielt opprørt. Hvis temaet ikke kommer over meg senere, så er det ikke veldig viktig (i hvert fall for meg). Hvis emnet møtes igjen, for tredje gang, vil jeg få nye sjanser til å forstå det bedre. Fraktaler er blant slike emner. Jeg lærte først om dem fra en bok av Nassim Taleb, og deretter mer detaljert fra en bok av Benoit Mandelbrot. I dag, på forespørselen "fractal" på nettstedet, kan du få 20 notater.

Del I. EN REISE TIL OPPRINNELSEN

Å NAME ER Å VITE. Så langt tilbake som på begynnelsen av 1900-tallet sa Henri Poincaré: «Du er overrasket over kraften som ett ord kan ha. Her er en gjenstand som ingenting kunne sies om før den ble døpt. Det var nok til å gi ham et navn for at et mirakel skulle skje ”(se også). Og slik skjedde det da den franske matematikeren av polsk opprinnelse, Benoit Mandelbrot, i 1975 samlet Ordet. Fra latinske ord frangere(pause) og fraktus(diskontinuerlig, diskret, brøk) har det dannet seg en fraktal. Mandelbrot promoterte og forplantet fraktalen på en dyktig måte som en merkevare basert på emosjonell appell og rasjonell nytte. Han publiserer flere monografier, inkludert The Fractal Geometry of Nature (1982).

FRAKTALER I NATUREN OG KUNST. Mandelbrot skisserte konturene til en annen fraktalgeometri enn euklidisk. Forskjellen gjaldt ikke parallellismens aksiom, som i geometriene til Lobachevsky eller Riemann. Forskjellen var avvisningen av Euclids standardkrav for jevnhet. Noen gjenstander er iboende grove, porøse eller fragmenterte, og mange av dem har disse egenskapene «i samme grad uansett skala». I naturen er det ingen mangel på slike former: solsikker og brokkoli, skjell, bregner, snøflak, fjellsprekker, kystlinjer, fjorder, stalagmitter og stalaktitter, lyn.

Folk som er oppmerksomme og observante har lenge lagt merke til at noen former viser en repeterende struktur når de sees "på nært hold eller på avstand." Når vi nærmer oss slike objekter, legger vi merke til at bare mindre detaljer endres, men formen som helhet forblir nesten uendret. Basert på dette er fraktalen lettest å definere som en geometrisk form som inneholder repeterende elementer i enhver skala.

MYTER OG MYSTIFIKASJONER. Det nye laget av former oppdaget av Mandelbrot ble en gullgruve for designere, arkitekter og ingeniører. Et utallig antall fraktaler er bygget etter de samme prinsippene for flere repetisjoner. Herfra er fraktalen lettest å definere som en geometrisk form som inneholder repeterende elementer i enhver skala. Denne geometriske formen er lokalt uforanderlig (invariant), selvlik på en skala og integrert i sine begrensninger, en sann singularitet, hvis kompleksitet avsløres når den nærmer seg, og trivialiteten i seg selv på avstand.

DJEVELENS STIGE. Ekstremt sterke elektriske signaler brukes til å overføre data mellom datamaskiner. Et slikt signal er diskret. Interferens eller støy oppstår tilfeldig i elektriske nettverk på grunn av mange årsaker og fører til tap av data når informasjon overføres mellom datamaskiner. For å eliminere påvirkningen av støy på dataoverføring på begynnelsen av sekstitallet av forrige århundre ble betrodd en gruppe IBM-ingeniører, der Mandelbrot deltok.

En grov analyse viste tilstedeværelsen av perioder hvor det ikke ble registrert feil. Etter å ha trukket ut perioder som varer en time, la ingeniørene merke til at mellom dem også perioder med signalpassasje uten feil er intermitterende; det er kortere pauser som varer rundt tjue minutter. Dataoverføring uten feil er således preget av datapakker av ulik lengde og pauser i støy, hvor signalet overføres uten feil. I pakker med høyere rangering er det så å si innebygd pakker med lavere rang. En slik beskrivelse innebærer eksistensen av noe som den relative posisjonen til pakker med lavere rangering i en pakke med høyere rangering. Erfaring har vist at sannsynlighetsfordelingen for disse relative plasseringene av pakkene er uavhengig av deres rangering. Denne invariansen indikerer selvlikheten til prosessen med dataforvrengning under påvirkning av elektrisk støy. Selve prosedyren for å kutte ut feilfrie pauser i signalet under dataoverføring kunne ikke forekomme for elektroingeniører av den grunn at dette var nytt for dem.

Men Mandelbrot, som studerte ren matematikk, var godt klar over Cantor-settet, beskrevet tilbake i 1883 og representerte støv fra punkter oppnådd i henhold til en streng algoritme. Essensen av algoritmen for å konstruere "Cantors støv" er som følger. Ta en rett linje. Fjern den midterste tredjedelen av segmentet fra det, behold de to endene. Nå gjentar vi den samme operasjonen med sluttsegmentene og så videre. Mandelbrot oppdaget at dette nettopp er geometrien til pakker og pauser i overføringen av signaler mellom datamaskiner. Feilen er kumulativ. Dens akkumulering kan modelleres som følger. I det første trinnet tildeler vi verdien 1/2 til alle punktene fra intervallet, ved det andre trinnet fra intervallet verdien 1/4, verdien 3/4 til punktene fra intervallet, osv. Trinnvis summering av disse mengdene gjør det mulig å konstruere den såkalte «djevelstigen» (fig. 1). Målet på "Cantors støv" er et irrasjonelt tall lik 0,618 ... kjent som " gyldne snitt eller guddommelig proporsjon.

Del II. FRAKTALER ER SAKEN

SMIL UTEN KATT: FRAKTALDIMENSJON. Dimensjon er et av de grunnleggende begrepene som går langt utover matematikk. Euklid i den første boken av "Begynnelsene" definerte de grunnleggende begrepene geometri punkt, linje, plan. Basert på disse definisjonene forble begrepet tredimensjonalt euklidisk rom uendret i nesten to og et halvt tusen år. Tallrike flørting med mellomrom på fire, fem og flere dimensjoner tilfører egentlig ingenting, men de møter det den menneskelige fantasien ikke kan forestille seg. Med oppdagelsen av fraktal geometri fant en radikal revolusjon sted i begrepet dimensjon. Et stort utvalg av dimensjoner dukket opp, og blant dem er ikke bare heltall, men også brøkdeler og til og med irrasjonelle. Og disse dimensjonene er tilgjengelige for visuell og sensuell representasjon. Vi kan faktisk lett forestille oss ost med hull som en modell av et medium hvis dimensjon er mer enn to, men som kommer under tre på grunn av ostehull, som reduserer dimensjonen til ostemassen.

For å forstå brøk- eller fraktaldimensjoner, la oss gå til Richardsons paradoks, som hevdet at lengden på Storbritannias forrevne kystlinje er uendelig! Louis Fry Richardson undret seg over effekten av måleskalaen på størrelsen på den målte lengden på den britiske kystlinjen. Da han flyttet fra skalaen til konturkart til skalaen til "kyststein", kom han til en merkelig og uventet konklusjon: lengden på kystlinjen øker i det uendelige, og denne økningen har ingen grense. Glatt buede linjer oppfører seg ikke slik. Richardsons empiriske data, innhentet på kart av stadig større skalaer, vitnet om en kraftlovsøkning i lengden på kystlinjen med en reduksjon i måletrinnet:

I denne enkle Richardson-formelen L er den målte lengden på kysten, ε er verdien av måletrinnet, og β ≈ 3/2 er graden av vekst av kystlengden funnet av ham med en reduksjon i måletrinnet. I motsetning til omkretsen, øker lengden på den britiske kystlinjen uten å ha en grense på 55. Hun er uendelig! Man må innfinne seg med at kurvene er brutte, ikke-glatte, ikke har en begrensende lengde.

Richardsons studier antydet imidlertid at de har et karakteristisk mål på graden av vekst i lengde med avtagende måleskala. Det viste seg at det er denne verdien som på mystisk vis identifiserer en brutt linje som et fingeravtrykk av en persons personlighet. Mandelbrot tolket kystlinjen som et fraktalt objekt - et objekt hvis dimensjon sammenfaller med eksponenten β.

For eksempel er dimensjonene til kystgrensekurvene for vestkysten av Norge 1,52; for Storbritannia - 1,25; for Tyskland - 1,15; for Australia - 1,13; for en relativt jevn kyst av Sør-Afrika - 1,02 og til slutt, for en perfekt jevn sirkel - 1,0.

Når du ser på et fragment av en fraktal, vil du ikke være i stand til å fortelle hva dens dimensjon er. Og årsaken er ikke i den geometriske kompleksiteten til fragmentet, fragmentet kan være veldig enkelt, men i det faktum at den fraktale dimensjonen gjenspeiler ikke bare formen på fragmentet, men også formatet til fragmenttransformasjonen i prosessen med å konstruere fraktalen. Den fraktale dimensjonen er så å si fjernet fra skjemaet. Og takket være dette forblir verdien av den fraktale dimensjonen invariabel; den er den samme for ethvert fragment av fraktalen i enhver visningsskala. Det kan ikke "gripes med fingrene", men det kan beregnes.

FRACTAL REPEAT. Repetisjon kan modelleres med ikke-lineære ligninger. Lineære ligninger er preget av en en-til-en korrespondanse av variabler: hver verdi X samsvarer med én og bare én verdi på og vice versa. For eksempel er likningen x + y = 1 lineær. Oppførselen til lineære funksjoner er fullstendig bestemt, unikt bestemt av startforholdene. Oppførselen til ikke-lineære funksjoner er ikke så entydig, fordi to forskjellige startbetingelser kan føre til samme resultat. På dette grunnlaget vises iterasjonen av repetisjonen av operasjonen i to forskjellige formater. Den kan ha karakter av en lineær referanse, når det ved hvert trinn i beregningene er en tilbakevending til utgangstilstanden. Dette er en slags "mønsteriterasjon". Serieproduksjon på samlebåndet er «pattern iteration». Iterasjon i formatet til lineær referanse avhenger ikke av de mellomliggende tilstandene til utviklingen av systemet. Her starter hver ny iterasjon "fra komfyren." Det er en helt annen sak når iterasjonen har et rekursjonsformat, dvs. resultatet av forrige iterasjonstrinn blir startbetingelsen for det neste.

Rekursjonen kan illustreres med en Fibonacci-serie, representert i form av en Girard-sekvens:

u n +2 = u n +1 + u n

Resultatet er Fibonacci-tallene:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

I dette eksemplet er det ganske tydelig at funksjonen brukes på seg selv uten å referere til startverdien. Den glir på en måte langs Fibonacci-serien, og hvert resultat av forrige iterasjon blir startverdien for den neste. Det er denne repetisjonen som realiseres i konstruksjonen av fraktale former.

La oss vise hvordan fraktal-repetisjonen er implementert i algoritmene for å konstruere "Sierpinski-servietten" (ved hjelp av skjæremetoden og CIF-metoden).

kuttemetode. Ta en likesidet trekant med en side r. I det første trinnet kuttet vi ut i midten av den en likesidet trekant snudd opp ned med en sidelengde r 1 = r 0/2. Som et resultat av dette trinnet får vi tre likesidede trekanter med sidelengder r 1 = r 0 /2 plassert ved toppunktene til den opprinnelige trekanten (fig. 2).

På det andre trinnet, i hver av de tre dannede trekantene, kuttet vi ut inverterte innskrevne trekanter med en sidelengde r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Resultat - 9 trekanter med sidelengde r 2 = r 0 /4. Som et resultat blir formen på "Sierpinski servietten" gradvis mer og mer definert. Fiksering skjer ved hvert trinn. Alle tidligere fikseringer er liksom "slettet".

Metode SIF, eller Barnsleys metode for systemer med itererte funksjoner. Gitt: en likesidet trekant med koordinatene til vinklene A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2). Z 0 er et vilkårlig punkt inne i denne trekanten (fig. 3). Vi tar en terning, på sidene som det er to bokstaver A, B og C.

Trinn 1. Kast beinet. Sannsynligheten for å få hver bokstav er 2/6 = 1/3.

Hvis bokstaven A faller ut, bygger vi et segment z 0 -A, i midten av dette setter vi et punkt z 1
Hvis bokstaven B faller ut, bygger vi et segment z 0 -B, i midten av det setter vi et punkt z 1
Hvis bokstaven C faller ut, bygger vi et segment z 0 -C, i midten av det setter vi et punkt z 1

Trinn 2. Kast beinet igjen.

Hvis bokstaven A faller ut, bygger vi et segment z 1 -A, i midten av det setter vi et punkt z 2
Hvis bokstaven B faller ut, bygger vi et segment z 1 -B, i midten av det setter vi et punkt z 2
Hvis bokstaven C faller ut, bygger vi et segment z 1 -C, i midten av det setter vi et punkt z 2

Ved å gjenta operasjonen mange ganger vil vi få poeng z 3 , z 4 , …, z n . Det særegne ved hver av dem er at punktet er nøyaktig halvveis fra den forrige til et vilkårlig valgt toppunkt. Nå, hvis vi forkaster de første punktene, for eksempel fra z 0 til z 100 , danner resten, med et tilstrekkelig stort antall av dem, strukturen "Sierpinski serviett". Jo flere punkter, jo flere iterasjoner, desto tydeligere vises Sierpinski-fraktalen for observatøren. Og dette til tross for at prosessen går, ser det ut til, på en tilfeldig måte (takket være terningene). "Sierpinski servietten" er en slags prosessattraktor, det vil si en figur som alle baner bygget i denne prosessen med et tilstrekkelig stort antall iterasjoner har en tendens til. Å fikse bildet i dette tilfellet er en kumulativ, akkumulerende prosess. Hvert enkelt punkt vil kanskje aldri falle sammen med punktet til Sierpinski-fraktalen, men hvert påfølgende punkt i denne prosessen organisert "ved en tilfeldighet" tiltrekkes nærmere og nærmere punktene til "Sierpinski-servietten".

FEEDBACK LOOP. Grunnleggeren av kybernetikk, Norbert Wiener, nevnte rormannen på en båt som et eksempel for å beskrive tilbakemeldingssløyfen. Styrmannen må holde kursen og vurderer hele tiden hvor godt båten holder seg. Hvis styrmannen ser at båten avviker, snur han roret for å sette den tilbake til en gitt kurs. Etter en stund evaluerer han igjen og korrigerer bevegelsesretningen igjen ved hjelp av rattet. Dermed utføres navigasjon ved hjelp av iterasjoner, repetisjon og suksessiv tilnærming av båtens bevegelse til en gitt kurs.

Et typisk tilbakemeldingssløyfediagram er vist i fig. 4 Det handler om å endre de variable parameterne (båtens retning) og den kontrollerte parameteren C (båtens kurs).

Tenk på kartleggingen "Bernoulli shift". La et eller annet tall som hører til intervallet fra 0 til 1 velges som starttilstand La oss skrive dette tallet i det binære tallsystemet:

x 0 \u003d 0,01011010001010011001010 ...

Nå er ett trinn i utviklingen i tid at sekvensen av nuller og enere blir forskjøvet til venstre med én posisjon, og sifferet som tilfeldigvis var på venstre side av desimaltegnet blir forkastet:

x 1 \u003d 0,1011010001010011001010 ...

x 2 \u003d 0,011010001010011001010 ...

x 3 \u003d 0,11010001010011001010 ...

Merk at hvis de opprinnelige tallene x 0 rasjonelle, deretter i prosessen med iterasjon verdiene Xn gå inn i en periodisk bane. For eksempel, for det innledende tallet 11/24, i prosessen med iterasjon, får vi en serie verdier:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Hvis de opprinnelige verdiene x0 er irrasjonelle, vil kartleggingen aldri nå den periodiske modusen. Intervallet med startverdier x 0 ∈ inneholder uendelig mange rasjonelle punkter og uendelig mange irrasjonelle punkter. Dermed er tettheten av periodiske baner lik tettheten av baner som aldri når det periodiske regimet. I ethvert nabolag av rasjonell verdi x0 det er en irrasjonell verdi av startparameteren x' 0 I denne tilstanden, en subtil følsomhet for Innledende forhold. Dette er kjennetegn at systemet er i en tilstand av dynamisk kaos.

HELT TILBAKEBACKSLØYKE. Omvendt er nødvendig tilstand og konsekvensen av hvert sideblikk som overrasker seg selv. Ikonet til den omvendte løkken kan være Möbius-stripen, der dens nedre side går inn i den øvre med hver sirkel, den indre blir ytre og omvendt. Akkumuleringen av forskjeller under den omvendte prosessen fører først bildet bort fra originalen, og går deretter tilbake til det. I logikk er reverseringssløyfen illustrert av Epimenides sitt paradoks: «alle kretensere er løgnere». Men Epimenides selv er en kretisk.

MERKENDE SLØYKE. Den dynamiske essensen av fenomenet en merkelig sløyfe er at bildet, som blir transformert og mer og mer forskjellig fra det opprinnelige, går tilbake til det opprinnelige bildet i prosessen med tallrike deformasjoner, men gjentar det aldri nøyaktig. Hofstadter beskriver dette fenomenet og introduserer begrepet "merkelig loop" i boken. Han konkluderer med at både Escher, Bach og Gödel oppdaget eller mer presist brukte rare loops i sitt arbeid og kreativitet i henholdsvis billedkunst, musikk og matematikk. Escher oppdaget i Metamorphoses den merkelige sammenhengen mellom de forskjellige virkelighetsplanene. Formene til et av de kunstneriske perspektivene omdannes plastisk til formene til et annet kunstnerisk perspektiv (fig. 5).

Ris. 5. Maurits Escher. Tegne hender. 1948

Slik fremmedhet manifesterte seg på en bisarr måte i musikken. En av kanonene til Bachs musikalske offer ( Canon per Tonos- Tonal canon) er konstruert på en slik måte at dens tilsynelatende slutt uventet jevnt går over i begynnelsen, men med et skifte i tone. Disse suksessive modulasjonene tar lytteren høyere og høyere fra den opprinnelige tonehøyden. Mirakuløst nok er vi imidlertid nesten tilbake etter seks modulasjoner. Alle stemmer høres nå nøyaktig en oktav høyere enn i begynnelsen. Det eneste merkelige er at når vi stiger gjennom nivåene i et visst hierarki, befinner vi oss plutselig på nesten samme sted der vi startet reisen vår - gå tilbake uten gjentakelse.

Kurt Gödel oppdaget merkelige løkker i et av de eldste og mest mestrede områdene innen matematikk – i tallteori. Gödels teorem så først lyset som teorem VI i hans artikkel fra 1931 "On formally unecidable propositions" i Principle Mathematica. Teoremet sier følgende: alle konsistente aksiomatiske formuleringer av tallteori inneholder uavgjørelige proposisjoner. Tallteoriens dommer sier ingenting om tallteoriens vurderinger; de er ikke annet enn vurderinger av tallteori. Det er en løkke her, men ingen rart. En merkelig løkke er skjult i beviset.

MERKelig ATTRAKTOR. Attraktor (fra engelsk. tiltrekke tiltrekke) punkt eller lukket linje, som tiltrekker seg alle mulige baner for systemets oppførsel. Attraktoren er stabil, det vil si at på lang sikt er den eneste mulige oppførselen attraktoren, alt annet er midlertidig. En attraktor er et spatio-temporalt objekt som dekker hele prosessen, og er verken dens årsak eller virkning. Den dannes kun av systemer med et begrenset antall frihetsgrader. Tiltrekkere kan være et punkt, en sirkel, en torus og en fraktal. PÅ siste tilfelle attraktoren kalles "rar" (fig. 6).

En punktattraktor beskriver enhver stabil tilstand i systemet. I faserom er det et punkt rundt hvilket lokale baner til en "node", "fokus" eller "sadel" dannes. Slik oppfører pendelen seg: for evt starthastighet og enhver utgangsposisjon etter en tilstrekkelig tid under påvirkning av friksjon, stopper pendelen og kommer til en tilstand av stabil likevekt. En sirkulær (syklisk) attraktor er en bevegelse frem og tilbake, som en ideell pendel (uten friksjon), i en sirkel.

Merkelige attraksjoner ( merkelige attraksjoner) virker rart bare fra utsiden, men begrepet " merkelig tiltrekker” spredte seg umiddelbart etter opptredenen i 1971 av artikkelen “The Nature of Turbulence” av David Ruel og nederlenderen Floris Takens (se også). Ruelle og Takens lurte på om noen attraktor har det rette settet med egenskaper: stabilitet, et begrenset antall frihetsgrader og ikke-periodisitet. FRA geometrisk punkt se spørsmålet virket som et rent puslespill. Hvilken form bør en uendelig utvidet bane, tegnet i et begrenset rom, ha for aldri å gjenta eller krysse seg selv? For å gjengi hver rytme, må banen være en uendelig lang linje på begrenset område med andre ord, være selvsvelgende (Figur 7).

I 1971 var det allerede en skisse av en slik attraktor i den vitenskapelige litteraturen. Eduard Lorentz gjorde det til et vedlegg til sin artikkel fra 1963 om deterministisk kaos. Denne attraktoren var stabil, ikke-periodisk, hadde et lite antall frihetsgrader og krysset seg aldri. Hvis dette skjedde, og han kom tilbake til et punkt som han allerede hadde passert, ville bevegelsen bli gjentatt i fremtiden, og danne en toroidal attraktor, men dette skjedde ikke.

Det merkelige med attrakteren ligger, som Ruel trodde, i tre ikke-ekvivalente, men i praksis tegn som eksisterer sammen:

fraktalitet (hekking, likhet, konsistens);
determinisme (avhengighet av startforhold);
singulariteter (et begrenset antall definerende parametere).

Del III. IMAGINÆR LETTHET AV FRAKTALE FORMER

IMAGINÆRE TAL, FASEPORTRETT OG SANNSYNLIGHET. Fraktal geometri er basert på teorien om imaginære tall, dynamiske faseportretter og sannsynlighetsteori. Teorien om imaginære tall innrømmer at det er det Kvadratrot fra minus én. Gerolamo Cardano presenterte i sitt verk "The Great Art" ("Ars Magna", 1545) den generelle løsningen av den kubiske ligningen z 3 + pz + q = 0. Cardano bruker imaginære tall som et middel for teknisk formalisme for å uttrykke røttene til ligningen. Han legger merke til en særhet som han illustrerer enkel ligning x 3 \u003d 15x + 4. Denne ligningen har en åpenbar løsning: x \u003d 4. Den generaliserende formelen gir imidlertid et merkelig resultat. Den inneholder roten til et negativt tall:

Rafael Bombelli påpekte i sin bok om algebra ("L'Algebra", 1560) at = 2 ± i, og dette tillot ham umiddelbart å oppnå en reell rot x = 4. I slike tilfeller, når komplekse tall er konjugert, er en reell root oppnås , og komplekse tall tjener som et teknisk hjelpemiddel i prosessen med å få en løsning på en kubikkligning.

Newton mente at løsninger som inneholder en rot av minus en, burde anses som "ikke å ha fysisk sans' og kast. I XVII-XVIII århundrer ble det dannet en forståelse av at noe imaginært, åndelig, imaginært ikke er mindre virkelig enn alt ekte tatt sammen. Vi kan til og med gi den nøyaktige datoen 10. november 1619, da Descartes formulerte manifestet for den nye tenkningen «cogito ergo sum». Fra dette øyeblikket er tanken en absolutt og utvilsom realitet: "hvis jeg tenker, så betyr det at jeg eksisterer"! Mer presist blir tanken nå oppfattet som virkelighet. Descartes' idé om et ortogonalt koordinatsystem, takket være imaginære tall, blir fullført. Nå er det mulig å fylle disse imaginære tallene med betydninger.

På 1800-tallet utviklet verkene til Euler, Argan, Cauchy, Hamilton et aritmetisk apparat for å jobbe med komplekse tall. Ethvert komplekst tall kan representeres som summen av X + iY, der X og Y er reelle tall som er kjent for oss, og Jeg imaginær enhet (i hovedsak er den √–1). Hvert komplekst tall tilsvarer et punkt med koordinater (X, Y) på det såkalte komplekse planet.

Det andre viktige konseptet, faseportrettet av et dynamisk system, ble dannet på 1900-tallet. Etter at Einstein viste at alt beveger seg med samme hastighet med hensyn til lys, ervervet ideen om å kunne uttrykke den dynamiske oppførselen til et system i form av frosne geometriske linjer, det såkalte faseportrettet av et dynamisk system. en klar fysisk mening.

La oss illustrere det på eksemplet med en pendel. De første eksperimentene med en pendel Jean Foucault utført i 1851 i kjelleren, deretter i Paris Observatory, deretter under kuppelen til Pantheon. Til slutt, i 1855, ble Foucaults pendel hengt under kuppelen til Saint-Martin-des-Champs-kirken i Paris. Lengden på tauet til Foucault-pendelen er 67 m, vekten på kettlebellen er 28 kg. På lang avstand ser pendelen ut som en spiss. Poenget er alltid stasjonært. Når vi nærmer oss, skiller vi et system med tre typiske baner: en harmonisk oscillator (sinϕ ≈ ϕ), en pendel (svingninger frem og tilbake), en propell (rotasjon).

Der en lokal observatør ser en av tre mulige konfigurasjoner av ballens bevegelse, kan en analytiker løsrevet fra prosessen anta at ballen gjør en av tre typiske bevegelser. Dette kan vises på ett plan. Det er nødvendig å bli enige om at vi skal flytte «kulen på en tråd» til et abstrakt faserom som har like mange koordinater som antallet frihetsgrader systemet under vurdering har. I dette tilfellet snakker vi om to frihetsgrader hastighet v og helningsvinkelen til tråden med kulen til vertikalen ϕ. I koordinatene ϕ og v er banen til den harmoniske oscillatoren et system av konsentriske sirkler; når vinkelen ϕ øker, blir disse sirklene ovale, og når ϕ = ± π lukkingen av ovalen går tapt. Dette betyr at pendelen har gått over til propellmodus: v = konst(Fig. 8).

Ris. 8. Pendel: a) bane i faserommet til en ideell pendel; b) banen i faserommet til en pendel som svinger med demping; c) faseportrett

Det kan ikke være noen lengder, varigheter eller bevegelser i faserommet. Her er hver handling forhåndsgitt, men ikke hver handling er ekte. Fra geometri gjenstår bare topologi, i stedet for mål, parametere, i stedet for dimensjoner, dimensjoner. Her har ethvert dynamisk system sitt eget unike avtrykk av faseportrettet. Og blant dem er det ganske merkelige faseportretter: fordi de er komplekse, bestemmes de av en enkelt parameter; er forholdsmessige, de er uforholdsmessige; er kontinuerlige, de er diskrete. Slike merkelige faseportretter er karakteristiske for systemer med en fraktal konfigurasjon av attraktorer. Diskretheten til tiltrekningssentrene (attraksjoner) skaper effekten av et kvante av handling, effekten av et gap eller et hopp, mens banene forblir kontinuerlige og produserer en enkelt bundet form av en merkelig attraktor.

KLASSIFISERING AV FRAKTALER. Fraktalen har tre hypostaser: formell, operasjonell og symbolsk, som er ortogonale i forhold til hverandre. Og dette betyr at samme form for en fraktal kan oppnås ved hjelp av forskjellige algoritmer, og samme antall fraktaldimensjoner kan vises i helt forskjellige fraktaler. Med hensyn til disse bemerkningene, klassifiserer vi fraktaler i henhold til symbolske, formelle og operasjonelle trekk:

symbolsk sett kan dimensjonen som er karakteristisk for en fraktal være heltall eller brøk;
på formell basis kan fraktaler kobles sammen, som et blad eller en sky, og kobles fra, som støv;
På operasjonsbasis kan fraktaler deles inn i regulære og stokastiske.

Vanlige fraktaler bygges i henhold til en strengt definert algoritme. Byggeprosessen er reversibel. Du kan gjenta alle operasjonene i omvendt rekkefølge, og slette ethvert bilde som er opprettet i prosessen med den deterministiske algoritmen, punkt for punkt. En deterministisk algoritme kan være lineær eller ikke-lineær.

Stokastiske fraktaler, lignende i en stokastisk forstand, oppstår når noen parametere endres tilfeldig i algoritmen for deres konstruksjon, i prosessen med iterasjoner. Begrepet "stokastisk" kommer fra det greske ordet stochasis- formodning, formodning. En stokastisk prosess er en prosess hvis karakter av endring ikke kan forutsies nøyaktig. Fraktaler produseres av naturens innfall (feiloverflater steiner, skyer, turbulente strømmer, skum, geler, konturer av sotpartikler, endringer i aksjekurser og elvenivåer, etc.), er blottet for geometrisk likhet, men gjengir hardnakket i hvert fragment de statistiske egenskapene til helheten i gjennomsnitt. Datamaskinen lar deg generere sekvenser av pseudo-tilfeldige tall og umiddelbart simulere stokastiske algoritmer og former.

LINEÆRE FRAKTALER. Lineære fraktaler er navngitt slik av den grunn at de alle er bygget i henhold til en bestemt lineær algoritme. Disse fraktalene er selv-lignende, blir ikke forvrengt av noen endring i skala, og er ikke differensierbare på noen av punktene deres. For å konstruere slike fraktaler er det tilstrekkelig å spesifisere en base og et fragment. Disse elementene vil bli gjentatt mange ganger, og zoome ut til det uendelige.

Støv av Kantor. På 1800-tallet foreslo den tyske matematikeren Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor (1845–1918) det matematiske miljøet et merkelig sett med tall mellom 0 og 1. Settet inneholdt et uendelig antall elementer i det angitte intervallet og hadde dessuten hatt null dimensjon. En pil avfyrt tilfeldig ville neppe ha truffet minst ett element i dette settet.

Først må du velge et segment med enhetslengde (første trinn: n = 0), deretter dele det i tre deler og fjerne den midterste tredjedelen (n = 1). Videre vil vi gjøre nøyaktig det samme med hvert av de dannede segmentene. Som et resultat av et uendelig antall repetisjoner av operasjonen, oppnår vi ønsket sett med "Cantors dust". Nå er det ingen motsetning mellom det diskontinuerlige og det uendelig delbare. «Kantors støv» er begge deler (se fig. 1). "Cantor Dust" er en fraktal. Dens fraktale dimensjon er 0,6304 ...

En av de todimensjonale analogene til det endimensjonale Cantor-settet ble beskrevet av den polske matematikeren Vaclav Sierpinski. Det kalles "kantorteppe" eller oftere "Sierpinski-teppe". Han er strengt tatt seg selv. Vi kan beregne dens fraktale dimensjon som ln8/lnЗ = 1,89... (fig. 9).

LINJER SOM FYLLER FLYET. Tenk på en hel familie av vanlige fraktaler, som er kurver som er i stand til å fylle et fly. Leibniz uttalte også: "Hvis vi antar at noen setter mange prikker på papiret ved en tilfeldighet,<… >Jeg sier at det er mulig å avsløre en konstant og fullstendig, underlagt en viss regel, en geometrisk linje som vil passere gjennom alle punkter. Denne uttalelsen av Leibniz motsier euklidisk forståelse av dimensjon som det minste antall parametere som posisjonen til et punkt i rommet er unikt bestemt ved. I fravær av et strengt bevis, forble disse ideene til Leibniz i periferien av matematisk tanke.

Peano-kurve. Men i 1890 konstruerte den italienske matematikeren Giuseppe Peano en linje som fullstendig dekker en flat overflate, og går gjennom alle punktene. Konstruksjonen av "Peano-kurven" er vist i fig. 10.

Mens den topologiske dimensjonen til Peano-kurven er lik én, er dens fraktale dimensjon lik d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. I rammeverket for fraktal geometri ble paradokset løst i mest naturlig måte. En linje, som en spindelvev, kan dekke et fly. I dette tilfellet etableres en en-til-en-korrespondanse: hvert punkt på linjen tilsvarer et punkt på flyet. Men denne korrespondansen er ikke en-til-en, fordi hvert punkt på planet tilsvarer ett eller flere punkter på linjen.

Hilbert-kurve. Et år senere, i 1891, dukket det opp en artikkel av den tyske matematikeren David Hilbert (1862–1943) der han presenterte en kurve som dekker et plan uten skjæringer eller tangens. Konstruksjonen av "Hilbert-kurven" er vist i fig. elleve.

Hilbert-kurven var det første eksempelet på FASS-kurver (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar space-filling self-avoiding, simple and selv-lignende linjer). Den fraktale dimensjonen til Gilbert-linjen, så vel som Peano-kurven, er lik to.

Minkowski tape. Herman Minkowski, en nær venn av Hilbert fra studietiden, konstruerte en kurve som ikke dekker hele flyet, men danner noe som et bånd. Når du konstruerer "Minkowski-tapen" på hvert trinn, erstattes hvert segment med en stiplet linje bestående av 8 segmenter. På neste trinn, med hvert nytt segment, gjentas operasjonen i en skala på 1:4. Den fraktale dimensjonen til Minkowski-stripen er d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

IKKE-LINEÆRE FRAKTALER. Den enkleste ikke-lineære kartleggingen av det komplekse planet på seg selv er Julia-kartleggingen z g z 2 + C som ble vurdert i første del. Det er en lukket sløyfeberegning der resultatet av forrige syklus multipliseres med seg selv med tillegg av en viss konstant til det, dvs. tilbakemeldingssløyfe (fig. 13).

I prosessen med iterasjoner for en fast verdi av konstanten C, avhengig av et vilkårlig startpunkt Z 0 , punktet Z n ved n-> ∞ kan enten være endelig eller uendelig. Alt avhenger av posisjonen til Z 0 i forhold til origo z = 0. Hvis den beregnede verdien er endelig, er den inkludert i Julia-settet; hvis det går til det uendelige, så er det avskåret fra Julia-settet.

Formen som oppnås etter å ha brukt Julia-kartet på punktene på en overflate er unikt bestemt av parameteren C. For små C er disse enkle koblede løkker, for store C er disse klynger av frakoblede, men strengt ordnede punkter. I det store og hele kan alle Julia-former deles inn i to store familier - sammenkoblede og frakoblede kartlegginger. Førstnevnte ligner "Kochs snøfnugg", sistnevnte "Kantors støv".

Mangfoldet av Julias former forvirret matematikere da de først var i stand til å observere disse formene på dataskjermer. Forsøk på å rangere denne sorten var av veldig vilkårlig karakter og kom ned til det faktum at grunnlaget for klassifiseringen av Julia-kart var Mandelbrot-settet, hvis grenser, som det viste seg, er asymptotisk lik Julia-kart.

Med C = 0 gir repetisjonen av Julia-kartleggingen en sekvens av tall z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 ... Som et resultat er tre alternativer mulige:

for |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
for |z 0 | > 1 i løpet av iterasjoner øker tallene z n i absolutt verdi, og tenderer til uendelig. I dette tilfellet er attraktoren et uendelig punkt, og vi ekskluderer slike verdier fra Julia-settet;
for |z 0 | = 1 alle punkter i sekvensen fortsetter å forbli på denne enhetssirkelen. I dette tilfellet er attraktoren en sirkel.

Dermed, ved C = 0, er grensen mellom det attraktive og frastøtende utgangspunktet en sirkel. I dette tilfellet har kartleggingen to faste punkter: z = 0 og z = 1. Den første av dem er attraktiv, siden den deriverte av den kvadratiske funksjonen ved null er 0, og den andre er frastøtende, siden den deriverte av den kvadratiske funksjonen ved verdien av parameteren en er lik til to.

Tenk på situasjonen når konstanten C er et reelt tall, dvs. vi ser ut til å bevege oss langs aksen til Mandelbrot-settet (fig. 14). Ved C = –0,75 krysser grensen til Julia-settet selv, og den andre attraktoren vises. Fraktalen på dette tidspunktet bærer navnet på San Marco-fraktalen, gitt til den av Mandelbrot til ære for den berømte venetianske katedralen. Når man ser på figuren, er det ikke vanskelig å forstå hvorfor Mandelbrot kom på ideen om å navngi fraktalen til ære for denne strukturen: likheten er fantastisk.

Ris. 14. Endre formen til Julia-settet med en reduksjon i den reelle verdien av C fra 0 til -1

Ved å redusere C ytterligere til -1,25 får vi en ny standard skjema med fire faste punkter som vedvarer opp til C< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Ris. 15. Utseendet til nye former for Julia-settet med en reduksjon i den reelle verdien C< –1

Så selv om vi holdt oss på aksen til Mandelbrot-fraktalen (konstant C er et reelt tall), "fanget" vi i oppmerksomhetsfeltet og rangerte på en eller annen måte et ganske stort utvalg av Julia-former fra sirkel til støv. Vurder nå tegnområdene til Mandelbrot-fraktalen og de tilsvarende formene til Julia-fraktalen. Først av alt, la oss beskrive Mandelbrot-fraktalen i form av "kardioide", "nyrer" og "løk" (fig. 16).

Hovedkardioiden og sirkelen ved siden av den danner grunnformen til Mandelbrot-fraktalen. De er ved siden av et uendelig antall av sine egne kopier, som vanligvis kalles nyrer. Hver av disse knoppene er omgitt av et uendelig antall mindre knopper som ser like ut. De to største knoppene over og under hovedkardioiden ble kalt løk.

Franskmannen Adrien Dowdy og amerikaneren Bill Hubbard, som studerte den typiske fraktalen i dette settet (C = –0,12 + 0,74i), kalte den «kaninfraktalen» (fig. 17).

Når du krysser grensen til Mandelbrot-fraktalen, mister Julia-fraktalen alltid forbindelsen og blir til støv, som vanligvis kalles "Fatou-støv" til ære for Pierre Fatou, som beviste at for visse verdier av C, tiltrekker et punkt ved uendelighet hele det komplekse planet, bortsett fra et veldig tynt sett som støv (fig. 18).

STOKASTISKE FRAKTALER. Det er en betydelig forskjell mellom en strengt selvlik von Koch-kurve og for eksempel kysten av Norge. Sistnevnte, som ikke er strengt tatt selv-lik, viser likhet i statistisk forstand. Samtidig brytes begge kurvene så mye at du ikke kan trekke en tangent til noen av punktene deres, eller med andre ord, du kan ikke skille den. Slike kurver er slags "monstre" blant de vanlige euklidiske linjene. Den første som konstruerte en kontinuerlig funksjon som ikke har en tangent på noen av punktene var Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Hans arbeid ble presentert for Royal Prussian Academy 18. juli 1872 og utgitt i 1875. Funksjonene beskrevet av Weierstrass ser ut som støy (fig. 19).

Se på et aksjebulletindiagram, et sammendrag av temperatursvingninger eller lufttrykksvingninger, og du vil finne noen regelmessige uregelmessigheter. Dessuten, når skalaen økes, bevares arten av uregelmessigheten. Og dette refererer oss til fraktal geometri.

Brownsk bevegelse er en av de mest kjente eksempler stokastisk prosess. I 1926 mottok Jean Perrin Nobelprisen for sin studie av Brownsk bevegelses natur. Det var han som trakk oppmerksomheten til selvlikheten og ikke-differensierbarheten til den brownske banen.

Fraktaler har vært kjent i nesten et århundre, er godt studert og har mange bruksområder i livet. Dette fenomenet er basert på enkel idé: et uendelig antall figurer i skjønnhet og variasjon kan oppnås fra relativt enkle strukturer med bare to operasjoner - kopiering og skalering

Dette konseptet har ingen streng definisjon. Derfor er ikke ordet "fraktal" et matematisk begrep. Dette er vanligvis navnet på en geometrisk figur som tilfredsstiller en eller flere av følgende egenskaper:

har en kompleks struktur ved enhver forstørrelse;
er (omtrent) seg selv;
har en fraksjonell Hausdorff (fraktal) dimensjon , som er større enn den topologiske;
kan bygges ved rekursive prosedyrer.

På begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var studiet av fraktaler mer episodisk enn systematisk, fordi tidligere matematikere hovedsakelig studerte "gode" objekter som kunne studeres ved hjelp av generelle metoder og teorier. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren Karl Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres noe sted. Konstruksjonen var imidlertid helt abstrakt og vanskelig å forstå. Derfor kom svensken Helge von Koch i 1904 med en kontinuerlig kurve som ikke har noen tangent noe sted, og det er ganske enkelt å tegne den. Det viste seg at det har egenskapene til en fraktal. En variant av denne kurven kalles Koch snøfnugg.

Ideene om figurers selvlikhet ble plukket opp av franskmannen Paul Pierre Levy, den fremtidige mentoren til Benoit Mandelbrot. I 1938 ble artikkelen hans "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole" publisert, der en annen fraktal er beskrevet - Lévy C-kurven. Alle de ovennevnte fraktalene kan betinget tilskrives en klasse av konstruktive (geometriske) fraktaler.

En annen klasse er dynamiske (algebraiske) fraktaler, som inkluderer Mandelbrot-settet. De første studiene i denne retningen går tilbake til begynnelsen av det 20. århundre og er assosiert med navnene til de franske matematikerne Gaston Julia og Pierre Fatou. I 1918 ble nesten to hundre sider av Julias arbeid publisert, viet til iterasjoner av komplekse rasjonelle funksjoner, der Julia-sett er beskrevet - en hel familie av fraktaler som er nært knyttet til Mandelbrot-settet. Dette verket ble tildelt prisen fra det franske akademiet, men det inneholdt ikke en eneste illustrasjon, så det var umulig å sette pris på skjønnheten til de oppdagede gjenstandene. Til tross for at dette arbeidet gjorde Julia berømt blant datidens matematikere, ble det raskt glemt.

Bare et halvt århundre senere, med fremkomsten av datamaskiner, ble oppmerksomheten rettet mot arbeidet til Julia og Fatou: det var de som gjorde rikdommen og skjønnheten i fraktalverdenen synlig. Tross alt kunne Fatou aldri se på bildene som vi nå kjenner som bilder av Mandelbrot-settet, fordi det nødvendige antallet beregninger ikke kan gjøres manuelt. Den første personen som brukte en datamaskin til dette var Benoit Mandelbrot.

Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert i hverdagen til matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Ordet fraktal er avledet fra latin fractus og betyr i oversettelse bestående av fragmenter. Det ble foreslått av Benoit Mandelbrot i 1975 å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene som han studerte. Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen av Mandelbrots bok `The Fractal Geometry of Nature' i 1977. Hans arbeider brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Men bare i vår tid var det mulig å kombinere verkene deres til et enkelt system.
Rollen til fraktaler i datagrafikk i dag er ganske stor. De kommer for eksempel til unnsetning når det er nødvendig, ved hjelp av flere koeffisienter, å sette linjer og overflater veldig kompleks form. Fra datagrafikksynspunktet er fraktalgeometri uunnværlig for generering av kunstige skyer, fjell og havoverflaten. faktisk funnet lungeveien representasjoner av komplekse ikke-euklidiske objekter, hvis bilder er veldig like naturlige.
En av hovedegenskapene til fraktaler er selvlikhet. I det enkleste tilfellet inneholder en liten del av fraktalen informasjon om hele fraktalen. Definisjonen av en fraktal gitt av Mandelbrot er som følger: "En fraktal er en struktur som består av deler som på en eller annen måte ligner helheten."

Eksistere stort antall matematiske objekter kalt fraktaler (Sierpinski-trekanten, Koch-snøfnugget, Peano-kurven, Mandelbrot-settet og Lorentz-attraktorene). Fraktaler beskriver med stor nøyaktighet mange fysiske fenomener og formasjoner av den virkelige verden: fjell, skyer, turbulente (virvel)strømmer, røtter, grener og blader av trær, blodårer, som langt fra tilsvarer enkle geometriske former. For første gang snakket Benoit Mandelbrot om den fraktale naturen til vår verden i sitt banebrytende verk "The Fractal Geometry of Nature".
Begrepet fraktal ble introdusert av Benoit Mandelbrot i 1977 i hans grunnleggende verk "Fractals, Form, Chaos and Dimension". I følge Mandelbrot kommer ordet fraktal fra de latinske ordene fractus – fractional og frangere – to break, som gjenspeiler essensen av fraktalen som en «knust», uregelmessig sett.

Klassifisering av fraktaler.

For å representere hele utvalget av fraktaler, er det praktisk å ty til deres generelt aksepterte klassifisering. Det er tre klasser av fraktaler.

1. Geometriske fraktaler.

Fraktaler av denne klassen er de mest åpenbare. I det todimensjonale tilfellet oppnås de ved å bruke en brutt linje (eller overflate i tredimensjonal sak) kalt en generator. I ett trinn av algoritmen erstattes hvert av segmentene som utgjør den stiplede linjen med en stiplet linjegenerator i passende skala. Som et resultat av den endeløse repetisjonen av denne prosedyren, oppnås en geometrisk fraktal.

Tenk for eksempel på en av slike fraktale objekter - Koch triadiske kurve.

Konstruksjon av den triadiske Koch-kurven.

Ta et rett linjestykke med lengde 1. La oss kalle det frø. La oss dele frøet i tre like deler med lengde 1/3, kast den midtre delen og erstatte den med en brutt linje med to ledd med lengde 1/3.

Vi får en brutt linje, bestående av 4 ledd med en total lengde på 4/3, - den s.k. første generasjon.

For å gå videre til neste generasjon av Koch-kurven, er det nødvendig å forkaste og erstatte den midtre delen av hver lenke. Følgelig vil lengden på andre generasjon være 16/9, den tredje - 64/27. hvis du fortsetter denne prosessen til det uendelige, vil resultatet være en triadisk Koch-kurve.

La oss nå vurdere den hellige triadiske Koch-kurven og finne ut hvorfor fraktaler ble kalt "monstre".

For det første har denne kurven ingen lengde - som vi har sett, med antall generasjoner har lengden en tendens til uendelig.

For det andre er det umulig å konstruere en tangent til denne kurven - hvert av punktene er et bøyningspunkt der den deriverte ikke eksisterer - denne kurven er ikke jevn.

Lengde og glatthet er de grunnleggende egenskapene til kurver, som studeres både av euklidisk geometri og av geometrien til Lobachevsky og Riemann. De tradisjonelle metodene for geometrisk analyse viste seg å være uanvendelige for den triadiske Koch-kurven, så Koch-kurven viste seg å være et monster - et "monster" blant de glatte innbyggerne i tradisjonelle geometrier.

Bygging av "dragen" Harter-Hateway.

For å få en annen fraktal gjenstand, må du endre konstruksjonsreglene. La det genererende elementet være to like segmenter koblet i rette vinkler. I nullgenerasjonen bytter vi ut enhetssegmentet med dette generasjonselementet slik at vinkelen er på toppen. Vi kan si at med en slik utskifting skjer det et skifte i midten av lenken. Ved konstruksjon av de neste generasjonene er regelen oppfylt: den aller første lenken til venstre erstattes av et genererende element slik at midten av lenken forskyves til venstre for bevegelsesretningen, og når de neste leddene erstattes, retningene for forskyvning av midtpunktene til segmentene må veksle. Figuren viser de første generasjonene og den 11. generasjonen av kurven bygget etter prinsippet beskrevet ovenfor. Kurven med n som tenderer mot uendelig kalles Harter-Hateway-dragen.
I datagrafikk er bruk av geometriske fraktaler nødvendig for å få bilder av trær og busker. Todimensjonale geometriske fraktaler brukes til å lage tredimensjonale teksturer (mønstre på overflaten av et objekt).

2. Algebraiske fraktaler

Dette er den største gruppen av fraktaler. De oppnås ved hjelp av ikke-lineære prosesser i n-dimensjonale rom. Todimensjonale prosesser er de mest studerte. Ved å tolke en ikke-lineær iterativ prosess som et diskret dynamisk system, kan man bruke terminologien til teorien om disse systemene: faseportrett, stabil tilstandsprosess, attraktor, etc.
Det er kjent at ikke-lineære dynamiske systemer har flere stabile tilstander. Tilstanden som det dynamiske systemet befinner seg i etter et visst antall iterasjoner avhenger av dets opprinnelige tilstand. Derfor har hver stabil tilstand (eller, som de sier, en attraktor) et visst område med starttilstander, hvorfra systemet nødvendigvis vil falle inn i de betraktede slutttilstandene. Dermed er faserommet til systemet delt inn i attraksjonsområder for attraksjoner. Hvis faserommet er todimensjonalt, kan man ved å farge attraksjonsområdene med forskjellige farger få et fargefaseportrett av dette systemet (iterativ prosess). Ved å endre fargevalgalgoritmen kan du få komplekse fraktale mønstre med fancy flerfargemønstre. En overraskelse for matematikere var evnen til å generere svært komplekse ikke-trivielle strukturer ved hjelp av primitive algoritmer.

Mandelbrot-settet.

Som et eksempel, tenk på Mandelbrot-settet. Algoritmen for konstruksjonen er ganske enkel og er basert på et enkelt iterativt uttrykk: Z = Z[i] * Z[i] + C, hvor Zi og C er komplekse variabler. Iterasjoner utføres for hvert startpunkt fra et rektangulært eller kvadratisk område - en undergruppe av det komplekse planet. Den iterative prosessen fortsetter til Z[i] vil ikke gå utover sirkelen med radius 2, hvis sentrum ligger i punktet (0,0), (dette betyr at attraktoren til det dynamiske systemet er på uendelig), eller etter et tilstrekkelig stort antall iterasjoner (for eksempel , 200–500) Z[i] konvergerer til et punkt på sirkelen. Avhengig av antall iterasjoner under hvilke Z[i] forble innenfor sirkelen, kan du angi fargen på punktet C(hvis Z[i] forblir inne i sirkelen for et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, stopper iterasjonsprosessen og dette rasterpunktet males svart).

3. Stokastiske fraktaler

En annen velkjent klasse fraktaler er stokastiske fraktaler, som oppnås hvis noen av parameterne endres tilfeldig i en iterativ prosess. Dette resulterer i gjenstander som ligner veldig på naturlige - asymmetriske trær, innrykkede kystlinjer, etc. Todimensjonale stokastiske fraktaler brukes i modellering av terrenget og havoverflaten.
Det finnes andre klassifikasjoner av fraktaler, for eksempel inndelingen av fraktaler i deterministiske (algebraiske og geometriske) og ikke-deterministiske (stokastiske).

Om bruken av fraktaler

Først av alt er fraktaler et område med fantastisk matematisk kunst, når det oppnås bilder av ekstraordinær skjønnhet og kompleksitet ved hjelp av de enkleste formlene og algoritmene! I konturene av de konstruerte bildene gjettes ofte blader, trær og blomster.

En av de kraftigste applikasjonene til fraktaler ligger i datagrafikk. For det første er det fraktal komprimering av bilder, og for det andre konstruksjon av landskap, trær, planter og generering av fraktale teksturer. Moderne fysikk og mekanikk har akkurat begynt å studere oppførselen til fraktale objekter. Og selvfølgelig brukes fraktaler direkte i selve matematikken.
Fordelene med fraktale bildekomprimeringsalgoritmer er svært liten størrelse pakket fil og kort gjenopprettingstid for bilder. Fraktalt pakkede bilder kan skaleres uten at det ser ut til pikselering. Men kompresjonsprosessen tar lang tid og varer noen ganger i timer. Den lossy fraktale pakkealgoritmen lar deg angi komprimeringsnivået, likt jpeg-formatet. Algoritmen er basert på søk etter store deler av bildet som ligner på noen små biter. Og bare hvilken del som er lik som skrives til utdatafilen. Ved komprimering brukes vanligvis et firkantet rutenett (stykker er firkanter), noe som fører til en liten vinklethet når du gjenoppretter bildet, et sekskantet rutenett er fritt for en slik ulempe.
Iterated har utviklet et nytt bildeformat, "Sting", som kombinerer fraktal og "wave" (som jpeg) tapsfri komprimering. Det nye formatet lar deg lage bilder med mulighet for etterfølgende høykvalitets skalering, og volumet av grafiske filer er 15-20% av volumet av ukomprimerte bilder.
Tendensen til fraktaler til å se ut som fjell, blomster og trær utnyttes av noen grafiske redaktører, for eksempel fraktale skyer fra 3D-studio MAX, fraktale fjell i World Builder. Fraktale trær, fjell og hele landskap er gitt av enkle formler, er enkle å programmere og faller ikke fra hverandre i separate trekanter og terninger når man nærmer seg.
Du kan ikke ignorere bruken av fraktaler i selve matematikken. I settteori beviser Cantor-settet eksistensen av perfekte ingensteds tette sett; i målteori er den selvaffinerte funksjonen "Cantors ladder" godt eksempel enkeltmålsfordelingsfunksjoner.
I mekanikk og fysikk brukes fraktaler pga unik eiendom gjenta konturene til mange naturgjenstander. Fraktaler lar deg tilnærme trær, fjelloverflater og sprekker med høyere nøyaktighet enn tilnærminger med linjesegmenter eller polygoner (med samme mengde lagrede data). fraktale mønstre, som naturlige gjenstander, har "ruhet", og denne egenskapen er bevart ved en vilkårlig stor økning i modellen. Tilstedeværelsen av et enhetlig mål på fraktaler gjør det mulig å bruke integrasjon, potensiell teori, for å bruke dem i stedet for standardobjekter i ligningene som allerede er studert.
Med den fraktale tilnærmingen slutter kaos å være blå uorden og får en fin struktur. Fraktalvitenskap er fortsatt veldig ung og har en stor fremtid foran seg. Skjønnheten til fraktaler er langt fra å være oppbrukt og vil fortsatt gi oss mange mesterverk - de som gleder øyet, og de som bringer sann nytelse til sinnet.

Om å bygge fraktaler

Metode for suksessive tilnærminger

Når du ser på dette bildet, er det ikke vanskelig å forstå hvordan en selvlignende fraktal (i dette tilfellet Sierpinski-pyramiden) kan bygges. Vi må ta en vanlig pyramide (tetraeder), og deretter kutte ut midten (oktaeder), som et resultat av at vi får fire små pyramider. Med hver av dem utfører vi den samme operasjonen, og så videre. Dette er en litt naiv, men illustrerende forklaring.

La oss vurdere essensen av metoden mer strengt. La det være noe IFS-system, dvs. sS=(S 1 ,...,S m ) Si:R n ->R n (for eksempel, for vår pyramide, ser tilordningene ut som Si (x)=1/2*x+o i, hvor o i er toppunktene til tetraederet, i=1,..,4). Så velger vi et kompakt sett A 1 i R n (i vårt tilfelle velger vi et tetraeder). Og vi bestemmer ved induksjon rekkefølgen av mengder A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Det er kjent at settene A k med økende k tilnærmer seg den nødvendige attraktoren til systemet S.

Merk at hver av disse iterasjonene er en attraktor tilbakevendende system av itererte funksjoner (engelsk begrep DigraphIFS, RIFS og også Grafstyrt IFS) og derfor er de enkle å bygge med programmet vårt.

Konstruksjon etter poeng eller sannsynlighetsmetode

Dette er den enkleste metoden å implementere på en datamaskin. For enkelhets skyld bør du vurdere tilfellet med et flatt, selvavhengig sett. Så la oss

) er et system med affine sammentrekninger. Kartlegginger S

representert som: S

Fast matrise i størrelse 2x2 og o

Todimensjonal vektorkolonne.

La oss ta utgangspunkt i et fast punkt i den første kartleggingen S 1:
x:=o1;
Her bruker vi det faktum at alle faste kontraksjonspunkter S 1 ,..,S m tilhører fraktalen. Som utgangspunkt kan du velge vilkårlig poeng og sekvensen av punkter generert av den vil krympe til en fraktal, men da vil noen ekstra punkter vises på skjermen.
Legg merke til gjeldende punkt x=(x 1 ,x 2) på skjermen:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Vi velger tilfeldig et tall j fra 1 til m og regner om koordinatene til punktet x:
j:=Tilfeldig(m)+1;
x:=Sj(x);
Vi går til trinn 2, eller, hvis vi har gjort et tilstrekkelig stort antall iterasjoner, så stopper vi.

Merk. Hvis komprimeringskoeffisientene til avbildningene Si er forskjellige, vil fraktalen bli fylt med punkter ujevnt. Hvis kartleggingene Si er likheter, kan dette unngås ved å komplisere algoritmen litt. For å gjøre dette, ved 3. trinn i algoritmen, må tallet j fra 1 til m velges med sannsynlighetene p 1 =r 1 s ,.., p m =r m s , hvor r i betegner kontraksjonskoeffisienten til avbildningene S i , og tallet s (kalt likhetsdimensjonen) finnes fra ligningen r 1 s +...+r m s =1. Løsningen av denne ligningen kan for eksempel bli funnet ved Newtons metode.

Om fraktaler og deres algoritmer

Fraktalen kommer fra Latinsk adjektiv"fractus", og betyr i oversettelse bestående av fragmenter, og det tilsvarende latinske verbet "frangere" betyr å bryte, det vil si å lage uregelmessige fragmenter. Konseptene fraktal og fraktal geometri, som dukket opp på slutten av 70-tallet, har blitt godt etablert i hverdagen til matematikere og programmerere siden midten av 80-tallet. Begrepet ble foreslått av Benoit Mandelbrot i 1975 for å referere til de uregelmessige, men selv-lignende strukturene han studerte. Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen i 1977 av Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Arbeidene hans brukte de vitenskapelige resultatene til andre vitenskapsmenn som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Justeringer

La meg gjøre noen justeringer av algoritmene foreslått i boken av H.-O. Paytgen og P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, rent for å utrydde skrivefeil og gjøre det lettere å forstå prosessene, siden etter å ha studert dem forble mye et mysterium for meg. Dessverre fører disse "forståelige" og "enkle" algoritmene en rocka livsstil.

Konstruksjonen av fraktaler er basert på en viss ikke-lineær funksjon av en kompleks prosess med tilbakemelding z \u003d z 2 + c siden z og c er komplekse tall, så z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, er det nødvendig å dekomponere den til x og y for å gå til mer realistisk for vanlig mann fly:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Planet som består av alle par (x, y) kan betraktes som med faste verdier p og q, så vel som for dynamiske. I det første tilfellet sorterer du gjennom alle punktene (x, y) i flyet i henhold til loven og fargelegger dem avhengig av antall repetisjoner av funksjonen som er nødvendig for å forlate den iterative prosessen eller ikke farge (svart) når det tillatte maksimum av repetisjoner økes, får vi visningen av Julia-settet. Hvis vi tvert imot bestemmer det første verdiparet (x, y) og sporer dets koloristiske skjebne med dynamisk skiftende verdier av parameterne p og q, får vi bilder kalt Mandelbrot-sett.

På spørsmålet om fraktale fargealgoritmer.

Vanligvis er settets kropp representert som et svart felt, selv om det er åpenbart at den svarte fargen kan erstattes av en hvilken som helst annen, men dette er også et uinteressant resultat. Å få et bilde av et sett malt i alle farger er en oppgave som ikke kan løses ved hjelp av sykliske operasjoner, siden antall iterasjoner som danner kroppen til settet er lik maksimalt mulig og alltid det samme. Farg settet inn forskjellige farger kanskje ved å bruke resultatet av å sjekke utgangstilstanden fra løkken (z_magnitude) som fargenummer, eller lignende, men med andre matematiske operasjoner.

Anvendelse av "fraktalmikroskopet"

å demonstrere grensefenomener.

Tiltrekkere er sentrene som leder kampen om dominans på flyet. Mellom tiltrekkerne er det en kant som representerer et virvlende mønster. Ved å øke omfanget av hensyn innenfor settets grenser, kan man oppnå ikke-trivielle mønstre som gjenspeiler tilstanden til deterministisk kaos - vanlig i den naturlige verden.

Objektene studert av geografer danner et system med svært komplekst organiserte grenser, i forbindelse med hvilke implementeringen deres blir en vanskelig praktisk oppgave. Naturkomplekser har kjerner av typisk karakter som fungerer som tiltrekkende som mister sin innflytelseskraft på territoriet når det beveger seg bort.

Ved å bruke et fraktalt mikroskop for Mandelbrot- og Julia-settene kan man danne seg en ide om grenseprosesser og fenomener som er like komplekse uavhengig av omfanget av hensynet og dermed forberede oppfatningen til en spesialist for et møte med en dynamisk og tilsynelatende kaotisk i rom og tid naturlig objekt, for å forstå fraktal geometri natur. Flerfargede farger og fraktalmusikk vil definitivt sette et dypt preg på studentenes sinn.

Tusenvis av publikasjoner og enorme Internett-ressurser er viet til fraktaler, men for mange spesialister langt fra informatikk virker dette begrepet helt nytt. Fraktaler, som objekter av interesse for spesialister innen ulike kunnskapsfelt, bør få sin rette plass i løpet av informatikk.

Eksempler

SIERPINSKI GRID

Dette er en av fraktalene som Mandelbrot eksperimenterte med da han utviklet konseptene fraktale dimensjoner og iterasjoner. Trekanter dannet ved å slå sammen midtpunktene til den større trekanten kuttes fra hovedtrekanten for å danne en trekant, med flere hull. I dette tilfellet er initiatoren en stor trekant og malen er en operasjon for å kutte trekanter som ligner på den større. Du kan også få en 3D-versjon av en trekant ved å bruke et vanlig tetraeder og kutte ut mindre tetraeder. Dimensjonen til en slik fraktal er ln3/ln2 = 1,584962501.

For å oppnå Sierpinski teppe, ta en firkant, del den i ni firkanter, og skjær ut den midterste. Vi vil gjøre det samme med resten, mindre firkanter. Til slutt dannes et flatt fraktalt rutenett, som ikke har noe område, men med uendelige forbindelser. I sin romlige form forvandles Sierpinski-svampen til et system av gjennomgående former, der hvert gjennomgående element hele tiden erstattes av sitt eget slag. Denne strukturen er veldig lik en del av beinvev. En dag vil slike repeterende strukturer bli et element i bygningskonstruksjoner. Deres statikk og dynamikk, mener Mandelbrot, fortjener å studere nærmere.

KOCH KURVE

Koch-kurven er en av de mest typiske deterministiske fraktalene. Den ble oppfunnet på 1800-tallet av en tysk matematiker ved navn Helge von Koch, som, mens han studerte arbeidet til Georg Kontor og Karl Weierstraße, kom over beskrivelser av noen merkelige kurver med uvanlig oppførsel. Initiativtaker - direkte linje. Generatoren er en likesidet trekant, hvis sider er lik en tredjedel av lengden på det større segmentet. Disse trekantene legges til midten av hvert segment om og om igjen. I sin forskning eksperimenterte Mandelbrot mye med Koch-kurver, og oppnådde figurer som Koch-øyene, Koch-korsene, Koch-snøfnuggene og til og med tredimensjonale representasjoner av Koch-kurven ved å bruke et tetraeder og legge til mindre tetraeder til hver av dens ansikter. Koch-kurven har dimensjon ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Dette er IKKE Mandelbrot-settet du ser ganske ofte. Mandelbrot-settet er basert på ikke-lineære ligninger og er en kompleks fraktal. Dette er også en variant av Koch-kurven, til tross for at dette objektet ikke ser ut som det. Initiativtakeren og generatoren er også forskjellige fra de som brukes til å lage fraktaler basert på Koch-kurvens prinsipp, men ideen forblir den samme. I stedet for å feste likesidede trekanter til et kurvesegment, festes firkanter til en firkant. På grunn av det faktum at denne fraktalen opptar nøyaktig halvparten av den tildelte plassen ved hver iterasjon, har den en enkel fraktal dimensjon på 3/2 = 1,5.

DARERS PENTAGON

En fraktal ser ut som en haug med femkanter som er presset sammen. Faktisk er det dannet ved å bruke en femkant som en initiator og likebente trekanter, forholdet mellom den større siden og den mindre der er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72)) som generator. Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, noe som resulterer i en form som ser ut som 5 små femkanter limt til en stor.

En variant av denne fraktalen kan oppnås ved å bruke en sekskant som initiator. Denne fraktalen kalles Davidsstjernen og er ganske lik den sekskantede versjonen av Kochs snøfnugg. Den fraktale dimensjonen til Darer femkanten er ln6/ln(1+g), der g er forholdet mellom lengden på den større siden av trekanten og lengden på den mindre siden. I dette tilfellet er g det gylne forholdet, så fraktaldimensjonen er omtrent 1,86171596. Den fraktale dimensjonen til Davidsstjernen er ln6/ln3 eller 1,630929754.

Komplekse fraktaler

Faktisk, hvis du zoomer inn på et lite område av en hvilken som helst kompleks fraktal og deretter gjør det samme på et lite område av det området, vil de to forstørrelsene være betydelig forskjellige fra hverandre. De to bildene vil være veldig like i detalj, men de vil ikke være helt identiske.

Fig 1. Tilnærming av Mandelbrot-settet

Sammenlign for eksempel bildene av Mandelbrot-settet vist her, hvorav det ene ble oppnådd ved å øke et område av det andre. Som du kan se, er de absolutt ikke identiske, selv om vi på begge ser en svart sirkel, hvorfra flammende tentakler går i forskjellige retninger. Disse elementene gjentas på ubestemt tid i Mandelbrot-settet i avtagende andel.

Deterministiske fraktaler er lineære, mens komplekse fraktaler ikke er det. Siden de er ikke-lineære, genereres disse fraktalene av det Mandelbrot kalte ikke-lineære algebraiske ligninger. Et godt eksempel er prosessen Zn+1=ZnІ + C, som er ligningen som brukes til å konstruere Mandelbrot- og Julia-settene av andre grad. Å løse disse matematiske ligningene involverer komplekse og imaginære tall. Når ligningen tolkes grafisk i det komplekse planet, er resultatet en merkelig figur der rette linjer blir til kurver, selvlikhetseffekter vises på ulike skalanivåer, men ikke uten deformasjoner. Samtidig er hele bildet uforutsigbart og veldig kaotisk.

Som du kan se ved å se på bildene, er komplekse fraktaler faktisk veldig komplekse og umulige å lage uten hjelp fra en datamaskin. For å få fargerike resultater må denne datamaskinen ha en kraftig matematisk koprosessor og en skjerm med høy oppløsning. I motsetning til deterministiske fraktaler, beregnes ikke komplekse fraktaler i 5-10 iterasjoner. Nesten hver prikk på dataskjermen er som en egen fraktal. Under matematisk prosessering, behandles hvert punkt som en egen figur. Hvert poeng tilsvarer en viss verdi. Ligningen bygges inn for hvert punkt og utføres for eksempel 1000 iterasjoner. For å oppnå et relativt uforvrengt bilde i et tidsintervall som er akseptabelt for hjemmedatamaskiner, er det mulig å utføre 250 iterasjoner for ett punkt.

De fleste av fraktalene vi ser i dag er vakkert farget. Kanskje har fraktale bilder fått så stor estetisk verdi nettopp på grunn av fargene deres. Etter at ligningen er beregnet, analyserer datamaskinen resultatene. Hvis resultatene forblir stabile, eller svinger rundt en viss verdi, vil prikken vanligvis bli svart. Hvis verdien på ett eller annet trinn har en tendens til uendelig, er punktet malt i en annen farge, kanskje blå eller rød. Under denne prosessen tildeler datamaskinen farger til alle bevegelseshastigheter.

Vanligvis er prikker som beveger seg raskt malt røde, mens langsommere er gule, og så videre. Mørke prikker er sannsynligvis de mest stabile.

Komplekse fraktaler skiller seg fra deterministiske fraktaler ved at de er uendelig komplekse, men likevel kan genereres med en veldig enkel formel. Deterministiske fraktaler trenger ikke formler eller ligninger. Bare ta litt tegnepapir og du kan bygge en Sierpinski-sikt opp til 3 eller 4 iterasjoner uten problemer. Prøv å gjøre det med massevis av Julia! Det er lettere å måle lengden på Englands kystlinje!

MANDERBROT SETT

Fig 2. Mandelbrot sett

Mandelbrot- og Julia-settene er sannsynligvis de to vanligste blant komplekse fraktaler. De finnes i mange vitenskapelige tidsskrifter, bokomslag, postkort og dataskjermsparere. Mandelbrot-settet, som ble bygget av Benoit Mandelbrot, er sannsynligvis den første assosiasjonen folk har når de hører ordet fraktal. Denne fraktalen, som ligner et kort med glødende tre- og sirkelområder knyttet til det, er generert av den enkle formelen Zn+1=Zna+C, der Z og C er komplekse tall og a er et positivt tall.

Det mest sett Mandelbrot-settet er 2. grads Mandelbrot-settet, dvs. a=2. Det faktum at Mandelbrot-settet ikke bare er Zn+1=ZnІ+C, men en fraktal hvis eksponent i formelen kan være et hvilket som helst positivt tall, villedet mange mennesker. På denne siden ser du et eksempel på et Mandelbrot-sett for forskjellige betydninger indikator a.
Figur 3. Utseendet til bobler ved a=3,5

Prosessen Z=Z*tg(Z+C) er også populær. Takket være inkluderingen av tangentfunksjonen oppnås Mandelbrot-settet, omgitt av et område som ligner et eple. Ved bruk av cosinusfunksjonen oppnås luftbobleeffekter. Kort sagt, det er et uendelig antall måter å finjustere Mandelbrot-settet for å produsere forskjellige vakre bilder.

FLERE JULIA

Overraskende nok er Julia-settene dannet etter samme formel som Mandelbrot-settet. Julia-settet ble oppfunnet av den franske matematikeren Gaston Julia, som settet ble oppkalt etter. Det første spørsmålet som dukker opp etter et visuelt bekjentskap med Mandelbrot- og Julia-settene er "hvis begge fraktaler genereres av samme formel, hvorfor er de så forskjellige?" Se først på bildene av Julia-settet. Merkelig nok, men det finnes forskjellige typer Julia setter. Når du tegner en fraktal ved hjelp av forskjellige startpunkter (for å starte iterasjonsprosessen), ulike bilder. Dette gjelder kun Julia-settet.

Fig 4. Julia sett

Selv om det ikke kan sees på bildet, er en Mandelbrot-fraktal faktisk en haug med Julia-fraktaler koblet sammen. Hvert punkt (eller koordinat) i Mandelbrot-settet tilsvarer en Julia-fraktal. Julia-sett kan genereres ved å bruke disse punktene som startverdier i ligningen Z=ZI+C. Men dette betyr ikke at hvis du velger et punkt på Mandelbrot-fraktalen og øker det, kan du få en Julia-fraktal. Disse to punktene er identiske, men bare i matematisk forstand. Hvis vi tar dette punktet og beregner det i henhold til denne formelen, kan vi få Julia-fraktalen tilsvarende et visst punkt fraktal Mandelbrot.

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

"Siverskaya ungdomsskole nr. 3"

Forskning

matematikk.

Gjorde jobben

8. klasse elev

Emelin Pavel

veileder

matematikklærer

Tupitsyna Natalya Alekseevna

s. Siversky

år 2014

Matematikk er gjennomsyret av skjønnhet og harmoni,

Du må bare se denne skjønnheten.

B. Mandelbrot

Introduksjon

Kapittel 1. Historien om fremveksten av fraktaler _______ 5-6 s.

Kapittel 2. Klassifisering av fraktaler.____________________6-10pp.

geometriske fraktaler

Algebraiske fraktaler

Stokastiske fraktaler

Kapittel 3. "Naturens fraktalgeometri" ______ 11-13pp.

Kapittel 4. Anvendelse av fraktaler _______________13-15pp.

Kapittel 5 Praktisk arbeid __________________ 16-24pp.

Konklusjon_________________________________25.side

Liste over litteratur og internettressurser _______ 26 s.

Introduksjon

Matematikk,

hvis du ser riktig på det,

reflekterer ikke bare sannheten,

men også uforlignelig skjønnhet.

Bertrand Russell

Ordet "fraktal" er noe mange snakker om i disse dager, fra forskere til studenter. videregående skole. Den vises på omslagene til mange lærebøker i matematikk, vitenskapelige tidsskrifter og databokser. programvare. Fargebilder av fraktaler i dag finnes overalt: fra postkort, T-skjorter til bilder på skrivebordet til en personlig datamaskin. Så, hva er disse fargede formene som vi ser rundt?

Matematikk er den eldste vitenskapen. De fleste trodde at geometrien i naturen er begrenset til slikt enkle figurer som linje, sirkel, polygon, kule, etc. Som det viser seg, mange naturlige systemer er så komplekse at det virker håpløst å bruke bare kjente objekter med vanlig geometri for å modellere dem. Hvordan for eksempel bygge en modell fjellkjede eller kroner av et tre når det gjelder geometri? Hvordan beskrive mangfoldet av biologisk mangfold som vi observerer i en verden av planter og dyr? Hvordan forestille seg hele kompleksiteten til sirkulasjonssystemet, som består av mange kapillærer og kar og leverer blod til hver celle i menneskekroppen? Tenk deg strukturen til lungene og nyrene, som ligner trær med en forgrenet krone i strukturen?

Fraktaler er et egnet middel for å utforske spørsmålene som stilles. Ofte fascinerer det vi ser i naturen oss med den endeløse repetisjonen av det samme mønsteret, forstørret eller redusert med flere ganger. For eksempel har et tre greiner. Disse grenene har mindre grener, og så videre. Teoretisk sett gjentas "gaffel"-elementet uendelig mange ganger, og blir mindre og mindre. Det samme kan sees når du ser på bildet. fjellterreng. Prøv å zoome litt inn på fjellkjeden --- du vil se fjellene igjen. Dette er hvordan egenskapen til selvlikhet karakteristisk for fraktaler manifesterer seg.

Studiet av fraktaler åpner for fantastiske muligheter, både i studiet av et uendelig antall applikasjoner, og innen matematikk. Bruken av fraktaler er svært omfattende! Tross alt er disse gjenstandene så vakre at de brukes av designere, kunstnere, ved hjelp av dem er mange elementer av trær, skyer, fjell, etc. tegnet i grafikk. Men fraktaler brukes til og med som antenner i mange mobiltelefoner.

For mange kaologer (vitenskapsmenn som studerer fraktaler og kaos) er dette ikke bare et nytt kunnskapsfelt som kombinerer matematikk, teoretisk fysikk, kunst og datateknologi – dette er en revolusjon. Dette er oppdagelsen av en ny type geometri, geometrien som beskriver verden rundt oss og som kan sees ikke bare i lærebøker, men også i naturen og overalt i det grenseløse universet..

I arbeidet mitt bestemte jeg meg også for å "røre" skjønnhetens verden og bestemte meg for meg selv...

Objektiv: lage gjenstander som ligner veldig på naturen.

Forskningsmetoder Nøkkelord: komparativ analyse, syntese, modellering.

Oppgaver:

kjennskap til konseptet, forekomsthistorien og forskningen til B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky og andre;

kjennskap til ulike typer fraktalsett;

studie av populærvitenskapelig litteratur om dette problemet, bekjentskap med

vitenskapelige hypoteser;

finne bekreftelse på teorien om fraktalitet i omverdenen;

studie av bruken av fraktaler i andre vitenskaper og i praksis;

gjennomføre et eksperiment for å lage dine egne fraktale bilder.

Kjernespørsmålet i jobben:

Vis at matematikk ikke er et tørt, sjelløst fag, det kan uttrykke åndelig verden individ og i samfunnet som helhet.

Studieemne: Fraktal geometri.

Studieobjekt: fraktaler i matematikk og i den virkelige verden.

Hypotese: Alt som finnes i den virkelige verden er en fraktal.

Forskningsmetoder: analytisk, søk.

Relevans av det deklarerte emnet bestemmes først av alt av forskningsemnet, som er fraktal geometri.

Forventede resultater: I løpet av arbeidet vil jeg kunne utvide mine kunnskaper innen matematikk, se skjønnheten i fraktal geometri, og begynne å jobbe med å lage mine egne fraktaler.

Resultatet av arbeidet blir skapelsen datamaskin presentasjon, nyhetsbrev og hefte.

Kapittel 1

B Enua Mandelbrot

Begrepet "fraktal" ble laget av Benoit Mandelbrot. Ordet kommer fra det latinske "fractus", som betyr "knust, knust".

Fraktal (lat. fractus - knust, ødelagt, ødelagt) - et begrep som betyr en kompleks geometrisk figur med egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver ligner på hele figuren som helhet.

De matematiske objektene den refererer til er preget av ekstremt interessante egenskaper. I vanlig geometri har en linje én dimensjon, en overflate har to dimensjoner, og en romlig figur er tredimensjonal. Fraktaler, på den annen side, er ikke linjer eller overflater, men, hvis du kan forestille deg det, noe midt i mellom. Med en økning i størrelse øker også volumet av fraktalen, men dens dimensjon (eksponent) er ikke et heltall, men en brøkverdi, og derfor er grensen til fraktalfiguren ikke en linje: ved høy forstørrelse blir det tydelig at den er uskarp og består av spiraler og krøller, og gjentar i liten skala til selve figuren. Slik geometrisk regularitet kalles skalainvarians eller selvlikhet. Det er hun som bestemmer brøkdimensjonen til fraktale figurer.

Før bruken av fraktal geometri, behandlet vitenskapen systemer inneholdt i tre romlige dimensjoner. Takket være Einstein ble det klart det tredimensjonalt rom- bare en modell av virkeligheten, ikke virkeligheten i seg selv. Faktisk ligger vår verden i et firedimensjonalt rom-tid-kontinuum.
Takket være Mandelbrot ble det klart hvordan et firedimensjonalt rom ser ut, billedlig talt, det fraktale ansiktet til Chaos. Benoit Mandelbrot oppdaget at den fjerde dimensjonen ikke bare inkluderer de tre første dimensjonene, men også (dette er veldig viktig!) intervallene mellom dem.

Rekursiv (eller fraktal) geometri erstatter euklidisk. ny vitenskap i stand til å beskrive sann natur kropper og fenomener. Euklidisk geometri omhandlet kun kunstige, imaginære objekter som tilhørte tre dimensjoner. Bare den fjerde dimensjonen kan gjøre dem til virkelighet.

Væske, gass, fast stoff er de tre vanlige fysiske tilstandene av materie som eksisterer i den tredimensjonale verden. Men hva er dimensjonen til røyken, skyene, eller rettere sagt, grensene deres, kontinuerlig uskarpe av turbulente luftbevegelser?

I utgangspunktet er fraktaler klassifisert i tre grupper:

Algebraiske fraktaler

Stokastiske fraktaler

geometriske fraktaler

La oss se nærmere på hver av dem.

Kapittel 2. Klassifisering av fraktaler

geometriske fraktaler

Benoit Mandelbrot foreslo fraktalmodellen, som allerede har blitt en klassiker og ofte brukes til å demonstrere hvordan typisk eksempel selve fraktalen, og for å demonstrere skjønnheten til fraktaler, som også tiltrekker seg forskere, kunstnere og folk som rett og slett er interessert.

Det var med dem at historien til fraktaler begynte. Denne typen fraktaler oppnås ved enkle geometriske konstruksjoner. Vanligvis, når man konstruerer disse fraktalene, fortsetter man som følger: et "frø" tas - et aksiom - et sett med segmenter, på grunnlag av hvilke fraktalen skal bygges. Videre brukes et sett med regler på dette "frøet", som forvandler det til en eller annen geometrisk figur. Videre brukes det samme settet med regler igjen for hver del av denne figuren. For hvert trinn vil figuren bli mer og mer kompleks, og hvis vi utfører (i det minste i sinnet) et uendelig antall transformasjoner, vil vi få en geometrisk fraktal.

Fraktaler av denne klassen er de mest visuelle, fordi de er umiddelbart synlige selvlikhet i enhver observasjonsskala. I det todimensjonale tilfellet kan slike fraktaler oppnås ved å spesifisere en stiplet linje, kalt en generator. I ett trinn av algoritmen erstattes hvert av segmentene som utgjør den brutte linjen med en brutt linjegenerator, i passende skala. Som et resultat av den endeløse repetisjonen av denne prosedyren (eller mer presist, når du går til grensen), oppnås en fraktalkurve. Med den tilsynelatende kompleksiteten til den resulterende kurven, er dens generell form er gitt bare av formen til generatoren. Eksempler på slike kurver er: Koch-kurve (Fig.7), Peano-kurve (Fig.8), Minkowski-kurve.

På begynnelsen av 1900-tallet lette matematikere etter kurver som ikke hadde en tangent på noe punkt. Dette betydde at kurven brått endret retning, og dessuten i enormt høy hastighet (den deriverte er lik uendelig). Jakten på disse kurvene ble ikke bare forårsaket av matematikernes ledige interesse. Faktum er at på begynnelsen av det tjuende århundre, en svært raskt utvikling kvantemekanikk. Forsker M. Brown skisserte banen til suspenderte partikler i vann og forklarte dette fenomenet som følger: tilfeldig bevegelige flytende atomer treffer suspenderte partikler og satte dem derved i bevegelse. Etter en slik forklaring av Brownsk bevegelse, ble forskere møtt med oppgaven med å finne en kurve som best ville vise bevegelsen til Brownske partikler. For dette måtte kurven samsvare følgende egenskaper: ikke ha en tangent på noe punkt. Matematikeren Koch foreslo en slik kurve.

Til Koch-kurven er en typisk geometrisk fraktal. Prosessen med konstruksjonen er som følger: vi tar et enkelt segment, deler det i tre like deler og erstatter midtintervallet med en likesidet trekant uten dette segmentet. Som et resultat dannes det en brutt linje, bestående av fire ledd med lengde 1/3. På neste trinn gjentar vi operasjonen for hver av de fire resulterende koblingene, og så videre ...

Grensekurven er Koch-kurve.

Snøfnugg Koch. Ved å utføre en lignende transformasjon på sidene av en likesidet trekant, kan du få et fraktalt bilde av et Koch snøfnugg.

T
En annen enkel representant for en geometrisk fraktal er Sierpinski-plassen. Den er bygget ganske enkelt: Firkanten er delt av rette linjer parallelle med sidene i 9 like firkanter. Det sentrale torget fjernes fra torget. Det viser seg et sett bestående av 8 gjenværende ruter av "første rang". Gjør vi det samme med hver av rutene i den første rangeringen, får vi et sett bestående av 64 ruter av den andre rangeringen. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi en uendelig sekvens eller Sierpinski-firkant.

Algebraiske fraktaler

Dette er den største gruppen av fraktaler. Algebraiske fraktaler har fått navnet sitt fordi de er bygget ved hjelp av enkle algebraiske formler.

De oppnås ved hjelp av ikke-lineære prosesser i n-dimensjonale rom. Det er kjent at ikke-lineære dynamiske systemer har flere stabile tilstander. Tilstanden som det dynamiske systemet befinner seg i etter et visst antall iterasjoner avhenger av dets opprinnelige tilstand. Derfor har hver stabil tilstand (eller, som de sier, en attraktor) et visst område med starttilstander, hvorfra systemet nødvendigvis vil falle inn i de betraktede slutttilstandene. Dermed er faserommet til systemet delt inn i attraksjonsområder attraksjoner. Hvis faserommet er todimensjonalt, kan man oppnå ved å farge attraksjonsområdene med forskjellige farger fargefaseportrett dette systemet (iterativ prosess). Ved å endre fargevalgalgoritmen kan du få komplekse fraktale mønstre med fancy flerfargemønstre. En overraskelse for matematikere var evnen til å generere svært komplekse strukturer ved hjelp av primitive algoritmer.

Som et eksempel, tenk på Mandelbrot-settet. Den er bygget ved hjelp av komplekse tall.

En del av grensen til Mandelbrot-settet, forstørret 200 ganger.

Mandelbrot-settet inneholder punkter som underendeløs antall iterasjoner går ikke til uendelig (punkter som er svarte). Poeng som tilhører settets grense(det er her komplekse strukturer oppstår) går til uendelig i et begrenset antall iterasjoner, og punkter som ligger utenfor settet går til uendelig etter flere iterasjoner (hvit bakgrunn).

P

Et eksempel på en annen algebraisk fraktal er Julia-settet. Det er 2 varianter av denne fraktalen. Overraskende nok er Julia-settene dannet etter samme formel som Mandelbrot-settet. Julia-settet ble oppfunnet av den franske matematikeren Gaston Julia, som settet ble oppkalt etter.

Og
interessant fakta, noen algebraiske fraktaler minner slående om bilder av dyr, planter og andre biologiske gjenstander, som et resultat av at de fikk navnet biomorfer.

Stokastiske fraktaler

En typisk representant for denne gruppen fraktaler er "plasma".

D
For å konstruere det, tas et rektangel og en farge bestemmes for hvert av hjørnene. Deretter blir det sentrale punktet i rektangelet funnet og malt i en farge lik det aritmetiske gjennomsnittet av fargene i hjørnene av rektangelet pluss et tilfeldig tall. Jo større tilfeldig tall, jo mer "revet" vil bildet være. Hvis vi antar at fargen på punktet er høyden over havet, vil vi få en fjellkjede i stedet for plasma. Det er på dette prinsippet at fjell er modellert i de fleste programmer. Ved hjelp av en plasmalignende algoritme bygges et høydekart, forskjellige filtre brukes på det, en tekstur påføres og fotorealistiske fjell er klare.

E
Hvis vi ser på denne fraktalen i et avsnitt, vil vi se at denne fraktalen er voluminøs og har en "ruhet", bare på grunn av denne "ruheten" er det en veldig viktig anvendelse av denne fraktalen.

La oss si at du vil beskrive formen til et fjell. Vanlige figurer fra euklidisk geometri vil ikke hjelpe her, fordi de ikke tar hensyn til overflatetopografien. Men når du kombinerer konvensjonell geometri med fraktal geometri, kan du få selve "ruheten" til fjellet. Plasma må påføres en vanlig kjegle og vi vil få avlastningen av fjellet. Slike operasjoner kan utføres med mange andre objekter i naturen, takket være stokastiske fraktaler kan naturen selv beskrives.

La oss nå snakke om geometriske fraktaler.

Kapittel 3 "Naturens fraktale geometri"

Hvorfor blir geometri ofte referert til som "kald" og "tørr"? En grunn er dens manglende evne til å beskrive formen til en sky, fjell, kystlinje eller tre. Skyer er ikke kuler, fjell er ikke kjegler, kystlinjer er ikke sirkler, tre. barken er ikke glatt, lynet beveger seg ikke i en rett linje. generell plan Jeg hevder at mange objekter i naturen er så uregelmessige og fragmenterte at sammenlignet med Euklid - et begrep som i dette verket betyr all standard geometri - har naturen ikke bare mer kompleksitet, men en kompleksitet på et helt annet nivå. Antall forskjellige skalaer lengden på naturlige gjenstander for alle praktiske formål er uendelig".

(Benoit Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ).

Til Skjønnheten til fraktaler er todelt: den gleder øyet, noe som i det minste fremgår av den verdensomspennende utstillingen av fraktale bilder, organisert av en gruppe Bremen-matematikere under ledelse av Peitgen og Richter. Senere ble utstillingene til denne grandiose utstillingen fanget i illustrasjoner til boken "The Beauty of Fractals" av de samme forfatterne. Men det er et annet, mer abstrakt eller sublimt, aspekt av skjønnheten til fraktaler, åpent, ifølge R. Feynman, kun for teoretikerens mentale blikk, i denne forstand er fraktaler vakre med skjønnheten til et vanskelig matematisk problem. Benoit Mandelbrot påpekte overfor sine samtidige (og antagelig sine etterkommere) et uheldig gap i Euklids elementer, ifølge hvilket menneskeheten, uten å la merke til utelatelsen, i nesten to årtusener forsto geometrien til omverdenen og lærte den matematiske strengheten til presentasjon. Selvfølgelig er begge aspekter av skjønnheten til fraktaler nært forbundet og utelukker ikke, men utfyller hverandre gjensidig, selv om hver av dem er selvforsynt.

Naturens fraktale geometri er ifølge Mandelbrot en ekte geometri som tilfredsstiller definisjonen av geometri som er foreslått i F. Kleins "Erlangen Program". Faktum er at før fremkomsten av ikke-euklidisk geometri, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, det var bare én geometri - den som ble satt ut i "Begynnelsen", og spørsmålet om hva geometri er og hvilken av geometriene som er geometrien til den virkelige verden oppstod ikke, og kunne ikke oppstå. Men med fremveksten av enda en geometri, oppsto spørsmålet om hva geometri er generelt, og hvilken av de mange geometriene som tilsvarer den virkelige verden. I følge F. Klein studerer geometri slike egenskaper til objekter som er invariante under transformasjoner: Euklidisk - invarianter av gruppen av bevegelser (transformasjoner som ikke endrer avstanden mellom to punkter, dvs. representerer en superposisjon av parallelle translasjoner og rotasjoner med eller uten endring i orientering), Lobachevsky-Bolyai geometri - invarianter av Lorentz-gruppen. Fraktal geometri omhandler studiet av invarianter i gruppen av selvaffin transformasjoner, dvs. egenskaper uttrykt ved maktlover.

Når det gjelder korrespondansen til den virkelige verden, beskriver fraktal geometri en meget bred klasse av naturlige prosesser og fenomener, og derfor kan vi, etter B. Mandelbrot, med rette snakke om naturens fraktale geometri. Ny - fraktale objekter har uvanlige egenskaper. Lengdene, arealene og volumene til noen fraktaler er lik null, andre blir til uendelig.

Naturen skaper ofte fantastiske og vakre fraktaler, med perfekt geometri og en slik harmoni at du rett og slett fryser av beundring. Og her er eksemplene deres:

sjøskjell

Lyn beundrer deres skjønnhet. Fraktalene skapt av lynet er ikke tilfeldige eller regelmessige.

fraktal form underart av blomkål(Brassica cauliflora). Denne spesielle typen er en spesielt symmetrisk fraktal.

P bregne er også et godt eksempel på en fraktal blant flora.

Påfugler alle er kjent for sin fargerike fjærdrakt, der solide fraktaler er gjemt.

Is, frostmønstre på vinduene er dette også fraktaler

O
t forstørret bilde brosjyre, før tre greiner- du kan finne fraktaler i alt

Fraktaler finnes overalt og overalt i naturen rundt oss. Hele universet er bygget etter overraskende harmoniske lover med matematisk presisjon. Er det mulig etter det å tro at planeten vår er en tilfeldig clutch av partikler? Neppe.

Kapittel 4

Fraktaler finner flere og flere anvendelser i vitenskapen. Hovedårsaken til dette er at de beskriver den virkelige verden noen ganger enda bedre enn tradisjonell fysikk eller matematikk. Her er noen eksempler:

O
dager med de kraftigste anvendelsene av fraktaler ligger i data-grafikk. Dette er fraktal komprimering av bilder. Moderne fysikk og mekanikk har akkurat begynt å studere oppførselen til fraktale objekter.

Fordelene med fraktale bildekomprimeringsalgoritmer er den svært lille størrelsen på den pakkede filen og den korte gjenopprettingstiden for bilder. Fraktalt pakkede bilder kan skaleres uten utseende av pikselisering (dårlig bildekvalitet - store firkanter). Men kompresjonsprosessen tar lang tid og varer noen ganger i timer. Den lossy fraktale pakkealgoritmen lar deg angi komprimeringsnivået, likt jpeg-formatet. Algoritmen er basert på søk etter store deler av bildet som ligner på noen små biter. Og bare hvilken del som er lik som skrives til utdatafilen. Ved komprimering brukes vanligvis et firkantet rutenett (stykker er firkanter), noe som fører til en liten vinklethet når du gjenoppretter bildet, et sekskantet rutenett er fritt for en slik ulempe.

Iterated har utviklet et nytt bildeformat, "Sting", som kombinerer fraktal og "wave" (som jpeg) tapsfri komprimering. Det nye formatet lar deg lage bilder med mulighet for etterfølgende høykvalitets skalering, og volumet av grafiske filer er 15-20% av volumet av ukomprimerte bilder.

I mekanikk og fysikk fraktaler brukes på grunn av den unike egenskapen til å gjenta konturene til mange naturlige objekter. Fraktaler lar deg tilnærme trær, fjelloverflater og sprekker med høyere nøyaktighet enn tilnærminger med linjesegmenter eller polygoner (med samme mengde lagrede data). Fraktale modeller, som naturlige objekter, har "ruhet", og denne egenskapen er bevart ved en vilkårlig stor økning i modellen. Tilstedeværelsen av et enhetlig mål på fraktaler gjør det mulig å bruke integrasjon, potensiell teori, for å bruke dem i stedet for standardobjekter i ligningene som allerede er studert.

T
Fraktal geometri er også vant til design av antenneenheter. Dette ble først brukt av den amerikanske ingeniøren Nathan Cohen, som da bodde i sentrum av Boston, hvor installasjon av eksterne antenner på bygninger var forbudt. Cohen kuttet ut en Koch-kurveform fra aluminiumsfolie og limte den deretter på et stykke papir før den festet til en mottaker. Det viste seg at en slik antenne ikke fungerer dårligere enn en konvensjonell. Og selv om fysiske prinsipper slike antenner er ikke studert så langt, dette hindret ikke Cohen i å etablere sitt eget selskap og sette opp serieproduksjonen deres. For øyeblikket har det amerikanske selskapet "Fractal Antenna System" utviklet en ny type antenne. Nå kan du slutte å bruke mobiltelefoner utstikkende utendørsantenner. Den såkalte fraktalantennen er plassert direkte på hovedkortet inne i enheten.

Det er også mange hypoteser om bruk av fraktaler - for eksempel lymfe- og sirkulasjonssystemet, lunger og mye mer har også fraktale egenskaper.

Kapittel 5. Praktisk arbeid.

Først, la oss fokusere på fraktalene "Halskjede", "Victory" og "Square".

Først - "Halskjede"(Fig. 7). Sirkelen er initiatoren til denne fraktalen. Denne sirkelen består av et visst antall av de samme sirkler, men av mindre størrelser, og den er i seg selv en av flere sirkler som er like, men av større størrelser. Så prosessen med utdanning er uendelig, og den kan utføres både i én retning og i motsatt retning. De. figuren kan forstørres ved å ta bare en liten bue, eller den kan reduseres ved å vurdere konstruksjonen fra mindre.

ris. 7.

Fraktal "halskjede"

Den andre fraktalen er "Seier"(Fig. 8). Han fikk dette navnet fordi det utad ligner den latinske bokstaven "V", det vil si "seier"-seier. Denne fraktalen består av et visst antall små "v", som utgjør en stor "V", og i venstre halvdel, der de små er plassert slik at deres venstre halvdel utgjør en rett linje, høyre del bygget på samme måte. Hver av disse "v" er bygget på samme måte og fortsetter dette i det uendelige.

Fig.8. Fraktal "Victory"

Den tredje fraktalen er "Square" (fig. 9). Hver av sidene består av én rad med celler, formet som firkanter, hvis sider også representerer rader med celler, og så videre.

Fig. 9. Fractal "Square"

Fraktalen ble kalt "Rose" (fig. 10), på grunn av dens ytre likhet med denne blomsten. Konstruksjonen av en fraktal er assosiert med konstruksjonen av en serie konsentriske sirkler, hvis radius endres proporsjonalt med et gitt forhold (i dette tilfellet R m / R b = ¾ = 0,75.). Etter det er en vanlig sekskant skrevet inn i hver sirkel, hvis side er lik radiusen til sirkelen som er beskrevet rundt den.

Ris. 11. Fraktal "Rose *"

Deretter går vi til den vanlige femkanten, der vi tegner diagonalene. Så, i femkanten oppnådd i skjæringspunktet mellom de tilsvarende segmentene, tegner vi igjen diagonaler. La oss fortsette denne prosessen til det uendelige og få "Pentagram"-fraktalen (fig. 12).

La oss introdusere et element av kreativitet og fraktalen vår vil ta form av et mer visuelt objekt (fig. 13).

R
er. 12. Fraktal "Pentagram".

Ris. 13. Fraktal "Pentagram *"

Ris. 14 fraktal "Sort hull"

Eksperiment nr. 1 "Tre"

Nå som jeg forstår hva en fraktal er og hvordan jeg bygger en, prøvde jeg å lage mine egne fraktale bilder. I Adobe Photoshop opprettet jeg en liten subrutine eller handling, det særegne ved denne handlingen er at den gjentar handlingene jeg gjør, og dette er hvordan jeg får en fraktal.

Til å begynne med laget jeg en bakgrunn for vår fremtidige fraktal med en oppløsning på 600 x 600. Så tegnet jeg 3 linjer på denne bakgrunnen - grunnlaget for vår fremtidige fraktal.

FRA Det neste trinnet er å skrive manuset.

duplikatlag ( lag > duplikat) og endre blandingstypen til " Skjerm" .

La oss kalle ham" fr1". Dupliser dette laget (" fr1") 2 ganger til.

Nå må vi bytte til det siste laget (fr3) og slå den sammen to ganger med den forrige ( ctrl+e). Reduser lagets lysstyrke ( Bilde > Justeringer > Lysstyrke/kontrast , lysstyrke innstilt 50% ). Igjen, slå sammen med forrige lag og klipp av kantene på hele tegningen for å fjerne usynlige deler.

Som et siste trinn kopierte jeg dette bildet og limte det inn forminsket og rotert. Her er sluttresultatet.

Konklusjon

Dette verket er en introduksjon til fraktalverdenen. Vi har kun vurdert den minste delen av hva fraktaler er, ut fra hvilke prinsipper de er bygget.

Fraktal grafikk er ikke bare et sett med selvrepeterende bilder, det er en modell av strukturen og prinsippet til ethvert vesen. Hele livet vårt er representert av fraktaler. Hele naturen rundt oss består av dem. Det skal bemerkes at fraktaler er mye brukt i dataspill, der terreng ofte er fraktale bilder basert på tredimensjonale modeller av komplekse sett. Fraktaler forenkler tegningen av datagrafikk i stor grad; ved hjelp av fraktaler skapes det mange spesialeffekter, forskjellige fantastiske og utrolige bilder osv. Også, ved hjelp av fraktal geometri, tegnes trær, skyer, kyster og all annen natur. Fraktalgrafikk trengs overalt, og utviklingen av «fraktalteknologier» er en av de viktigste oppgavene i dag.

I fremtiden planlegger jeg å lære å bygge algebraiske fraktaler når jeg studerer komplekse tall mer detaljert. Jeg vil også prøve å bygge fraktalbildet mitt i programmeringsspråket Pascal ved å bruke sykluser.

Det bør bemerkes bruken av fraktaler i datateknologi, i tillegg til å bare bygge vakre bilder på en dataskjerm. Fraktaler i datateknologi brukes på følgende områder:

1. Komprimer bilder og informasjon

2. Skjuler informasjon i bildet, i lyden, ...

3. Datakryptering ved hjelp av fraktale algoritmer

4. Lage fraktal musikk

5. Systemmodellering

Ikke alle områder dekkes i vårt arbeid. menneskelig kunnskap hvor teorien om fraktaler fant sin anvendelse. Vi vil bare si at ikke mer enn en tredjedel av et århundre har gått siden fremveksten av teorien, men i løpet av denne tiden har fraktaler for mange forskere blitt et plutselig sterkt lys om natten, som belyste hittil ukjente fakta og mønstre i spesifikke dataområder. Ved å bruke teorien om fraktaler begynte de å forklare utviklingen av galakser og utviklingen av cellen, fremveksten av fjell og dannelsen av skyer, bevegelsen av prisene på børsen og utviklingen av samfunnet og familien. Kanskje til å begynne med var denne lidenskapen for fraktaler til og med for stormfull, og forsøk på å forklare alt ved å bruke teorien om fraktaler var uberettiget. Men uten tvil har denne teorien rett til å eksistere, og vi beklager at den nylig på en eller annen måte har blitt glemt og har forblitt elitens lodd. Under utarbeidelsen av dette arbeidet var det veldig interessant for oss å finne anvendelser av TEORI i PRAKSIS. For veldig ofte er det en følelse av at teoretisk kunnskap skiller seg fra virkeligheten i livet.

Dermed blir konseptet fraktaler ikke bare en del av "ren" vitenskap, men også et element i menneskelig kultur. Fraktalvitenskap er fortsatt veldig ung og har en stor fremtid foran seg. Skjønnheten til fraktaler er langt fra å være oppbrukt og vil fortsatt gi oss mange mesterverk - de som gleder øyet, og de som bringer sann nytelse til sinnet.

10. Referanser

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktaler og multifraktaler. RHD 2001 .

Vitolin D. Bruken av fraktaler i datagrafikk. // Computerworld-Russland.-1995

Mandelbrot B. Selvaffin fraktalsett, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktal geometri av naturen. - M.: "Institutt for dataforskning", 2002.

Morozov A.D. Introduksjon til teorien om fraktaler. Nizhny Novgorod: Nizhegorod Publishing House. universitet 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Skjønnheten til fraktaler. - M.: "Mir", 1993.

Internett-ressurser

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html