Grunnleggende system av løsninger til et homogent system av differensialligninger. Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

LDE av n-te orden - ur-e, lineær med hensyn til den ukjente funksjonen og dens deriverte og har formen

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +...+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e i gitt form

*hvis y 1 er en løsning på LOU, så er C y 1, hvor C er en vilkårlig konstant, også en løsning på denne ligningen.

*Summen av y 1 + y 2 løsninger av LOE er en løsning på samme nivå.

1 0 Lineær kombinasjon med vilkårlige løsningskonstanter y 1 , y 2 ,…, y m LOU er en løsning av samme ligning.

*hvis LOU (1) med reelle koeffisienter p i (x)∈R har helhetlig løsning y(x)=u(x)+iv(x), så er den reelle delen av denne løsningen Rey=u(x) og dens imaginære del Imy=v(x) separate løsninger av samme ligning.

Funksjonene y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) kalles lineært avhengig på et eller annet intervall (a,b), hvis det finnes konstanter a1,a2,…,an≠0 slik at for alle x i intervallet (a,b) identiteten a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + er sann a n y n (x)=0. Hvis funksjonene er lineært avhengige, så er minst én av dem en lineær kombinasjon av de andre.

Hvis identiteten bare er gyldig for a1=a2=…=an=0, kalles funksjonene y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) lineært uavhengig på intervallet (a,b).

*hvis funksjoner y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) lineært avhengig på intervallet (a,b), deretter determinanten (Vronsky Island)

W(x)=W= =0 på dette intervallet.

Betingelse lineær uavhengighet private løsninger:

* hvis lineært uavhengige funksjoner y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) er løsninger av LOE (1) med koeffisienter p i (x) kontinuerlige på intervallet (a,b), så kompilert for dem Wronski-determinanten er ikke = 0 på noe punkt i intervallet (a,b).

Den generelle løsningen av LOU (1) med koeffisientene p i (x) kontinuerlig på (a,b) (i=1,2,...,n) er en lineær kombinasjon y oo = n lineært uavhengig av det samme intervallet av partial løsninger y i med vilkårlig konstante koeffisienter.

1 0 er det maksimale antallet lineært uavhengige løsninger av LOU lik rekkefølgen.

FSR- noen n uavhengige delvis løsende LOUer av n'te orden.

*y on =y oo +y chn

Struktur av den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning. Metode for variasjon av vilkårlige konstanter for å finne en bestemt løsning på en lineær inhomogen differensialligning av n-te orden.

LPDE-er løses ved hjelp av metoden med å variere vilkårlige konstanter. Først er felles vedtak homogen ligning , med samme venstre side som originalen inhomogen ligning. Da finnes løsningen til ligningen i formen, dvs. Det antas at konstantene C er f-mi til den uavhengige variabelen x. I dette tilfellet kan funksjonene C 1 (x) og C 2 (x) fås som en løsning på systemet

U han = u oo + u chn

maksimalt antall løsninger til en ligning er lik rekkefølgen.

felles vedtak

44*. Lineær homogen differensial ligning med konstante koeffisienter. Karakteristisk polynom og karakteristisk ligning. Konstruksjon grunnleggende system løsninger i tilfelle enkle røtter karakteristisk polynom (reelt og komplekst).

Ligning av formen y"+p(x)y=f(x), hvor p(x), f(x) er kontinuerlige funksjoner i intervallet a

Hvis f(x)= 0, kalles ligningen homogen.

Hvis i LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +...+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Alle koeffisientene pi er konstante, så kan partielle løsninger finnes i formen y=e kx, der k er en konstant. Erstatter i ur

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Redusere med e kx får vi den såkalte Karakteristisk nivå

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Denne ligningen av n-te grad bestemmer de verdiene av k der y=e kx er en løsning på den opprinnelige differensialligningen med konstante koeffisienter.

1.k 1 , k 2 ,...,k n – ekte og annerledes

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - multiple rot av ur-i, og alle andre n-m røtter er forskjellige

FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

Lineære differensialligninger av andre orden

Den andre ordens differensialligningen har formen .

Definisjon. En generell løsning på en andreordens ligning er en funksjon som, for enhver verdi, er en løsning på denne ligningen.

Definisjon. En lineær homogen ligning av andre orden kalles en ligning. Hvis koeffisientene er konstante, dvs. ikke er avhengig av , da kalles denne ligningen en ligning med konstante koeffisienter og skrives som følger: .

Ligningen vi vil kalle det en lineær inhomogen ligning.

Definisjon. Ligningen som fås fra en lineær homogen ligning ved å erstatte funksjonen med en, og og med de tilsvarende potensene, kalles en karakteristisk ligning.

Det er kjent at en kvadratisk ligning har en løsning avhengig av diskriminanten: , dvs. hvis , så røttene og er distinkte reelle tall. Hvis da. Hvis, dvs. , vil da være et imaginært tall, og røttene og vil være komplekse tall. I dette tilfellet er vi enige om å angi .

Eksempel 4. Løs ligningen.

Løsning. Diskriminanten til denne kvadratiske ligningen er derfor .

Vi vil vise hvordan man finner den generelle løsningen av en homogen andreordens lineær ligning ved å bruke formen til røttene til den karakteristiske ligningen.

Hvis er de virkelige røttene til den karakteristiske ligningen, da .

Hvis røttene til den karakteristiske ligningen er de samme, dvs. , så søkes den generelle løsningen av differensialligningen ved å bruke formelen eller .

Hvis den karakteristiske ligningen har komplekse røtter, da.

Eksempel 5. Finn den generelle løsningen av ligningen.

Løsning. La oss lage en karakteristisk ligning for denne differensialligningen: . Dens røtter er gyldige og forskjellige. Derfor den generelle løsningen .

Grunnleggende system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Et teorem om strukturen til den generelle løsningen av løsninger til en lineær homogen differensialligning. I denne delen vil vi bevise at grunnlaget for det lineære rommet til partielle løsninger av en homogen ligning kan være et hvilket som helst sett av n sine lineært uavhengige løsninger.
Def. 14.5.5.1. grunnleggende system av løsninger. Grunnleggende system av løsninger lineær homogen differensialligning n -te orden er ethvert lineært uavhengig system y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) hans n private løsninger.
Teorem 14.5.5.1.1 om strukturen til den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning. Felles vedtak y (x ) av en lineær homogen differensialligning er en lineær kombinasjon av funksjoner fra det grunnleggende løsningssystemet til denne ligningen:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Dokument. La y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) er et grunnleggende system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Det er nødvendig å bevise at en bestemt løsning y hva ( x ) av denne ligningen er inneholdt i formelen y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) for et bestemt sett med konstanter C 1 , C 2 , …, Cn . La oss ta et hvilket som helst punkt, regne ut tallene på dette punktet og finne konstantene C 1 , C 2 , …, Cn som en løsning på et lineært inhomogent system av algebraiske ligninger

En slik løsning finnes og er unik, siden determinanten for dette systemet er lik . Tenk på den lineære kombinasjonen y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) fungerer fra det grunnleggende løsningssystemet med disse verdiene til konstantene C 1 , C 2 , …, Cn og sammenligne det med funksjonen y hva ( x ). Funksjoner y (x ) Og y hva ( x ) tilfredsstiller den samme ligningen og de samme startbetingelsene på punktet x 0, på grunn av det unike med løsningen på Cauchy-problemet, faller de sammen: y hva ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teoremet er bevist.
Fra denne teoremet følger det at dimensjonen til det lineære rommet til partielle løsninger av en homogen ligning med kontinuerlige koeffisienter ikke overstiger n . Det gjenstår å bevise at denne dimensjonen ikke er mindre enn n .
Teorem 14.5.5.1.2 om eksistensen av et fundamentalt system av løsninger til en lineær homogen differensialligning. Enhver lineær homogen differensialligning n orden med kontinuerlige koeffisienter har et grunnleggende system av løsninger, dvs. system fra n lineært uavhengige løsninger.
Dokument. La oss ta en hvilken som helst numerisk determinant n -te orden, ikke lik null

Du kan bestille en detaljert løsning på problemet ditt!!!

For å forstå hva det er grunnleggende beslutningssystem du kan se en videoopplæring for det samme eksempelet ved å klikke. La oss nå gå videre til den faktiske beskrivelsen av alt nødvendig arbeid. Dette vil hjelpe deg å forstå essensen av dette problemet mer detaljert.

Hvordan finne det grunnleggende løsningssystemet til en lineær ligning?

La oss ta for eksempel følgende system med lineære ligninger:

La oss finne løsningen på dette lineære likningssystemet. Til å begynne med, vi du må skrive ut koeffisientmatrisen til systemet.

La oss transformere denne matrisen til en trekantet. Vi skriver om den første linjen uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(11)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(21)$, må du trekke den første fra den andre linjen, og skrive forskjellen i den andre linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(41)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(31)$, må du trekke den første multiplisert med 2 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Vi skriver om første og andre linje uten endringer. Og alle elementene som er under $a_(22)$ må være nuller. For å lage en null i stedet for elementet $a_(32)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den tredje linjen og skrive forskjellen i den tredje linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(42)$, må du trekke den andre multiplisert med 2 fra den fjerde linjen og skrive forskjellen i den fjerde linjen. For å lage en null i stedet for elementet $a_(52)$, må du trekke den andre multiplisert med 3 fra den femte linjen og skrive forskjellen i den femte linjen.

Det ser vi de tre siste linjene er like, så hvis du trekker den tredje fra den fjerde og femte, blir de null.

I følge denne matrisen skrive et nytt ligningssystem.

Vi ser at vi bare har tre lineært uavhengige ligninger, og fem ukjente, så det grunnleggende løsningssystemet vil bestå av to vektorer. Så vi vi må flytte de to siste ukjente til høyre.

Nå begynner vi å uttrykke de ukjente som er på venstre side gjennom de som er på høyre side. Vi starter med den siste ligningen, først uttrykker vi $x_3$, deretter erstatter vi resultatet i den andre ligningen og uttrykker $x_2$, og deretter inn i den første ligningen og her uttrykker vi $x_1$. Dermed uttrykte vi alle de ukjente som er på venstre side gjennom de ukjente som er på høyre side.

Så i stedet for $x_4$ og $x_5$, kan vi erstatte alle tall og finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$. Hvert fem av disse tallene vil være røttene til vårt opprinnelige ligningssystem. For å finne vektorene som er inkludert i FSR vi må erstatte 1 i stedet for $x_4$, og erstatte 0 i stedet for $x_5$, finne $x_1$, $x_2$ og $x_3$, og så omvendt $x_4=0$ og $x_5=1$.

se også Løse lineære differensialligninger online
Å finne et grunnleggende system av løsninger i den generelle saken er en ganske vanskelig oppgave. Imidlertid er det en klasse ligninger som dette problemet kan løses ganske enkelt for. Vi begynner å studere denne klassen.
(*)

La oss kalle en lineær differensialligning (*) en ligning med konstante koeffisienter hvis koeffisientene i denne ligningen er konstante, det vil si a i (x)=konst. Da vil den tilsvarende homogene ligningen L(y)=0 ha formen
. (6)
Vi vil se etter en løsning på ligning (6) på formen y = erx. Da y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Substituerer vi med (6), får vi

Siden e rx ikke forsvinner noe sted, altså
. (7)
Ligning (7) kalles den karakteristiske ligningen til en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter.
Dermed har vi bevist følgende teorem. Teorem. Funksjonen y = e rx er en løsning på en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter (6) hvis og bare hvis r er roten til den karakteristiske ligningen (7).
Følgende tilfeller er mulige.
1. Alle røttene til det karakteristiske polynomet er reelle og distinkte. La oss betegne dem r 1 ,r 2 ,...,r n . Da får vi n forskjellige løsninger
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,..., y n = e rnx (8)
ligning (6). La oss bevise at det resulterende løsningssystemet er lineært uavhengig. La oss vurdere dens Wronsky-determinant

.

Faktoren e (r 1+ r 2+..+ rn) x på høyre side av W(e r 1 x, e r 2 x,..., e rnx) forsvinner ikke noe sted. Derfor gjenstår det å vise at den andre faktoren (determinanten) ikke er lik null. La oss anta det

Da er radene til denne determinanten lineært avhengige, dvs. det er tall α 1, α 2, ..., α n slik at
Dermed fant vi at r i, i = 1,2,..,n er n forskjellige røtter av et polynom med (n-1) grad, noe som er umulig. Følgelig er ikke determinanten på høyre side W(e r 1 x , e r 2 x ,..., e rnx) lik null og funksjonssystemet (8) danner et grunnleggende system av løsninger til ligning (6) i tilfellet når røttene til den karakteristiske ligningen er forskjellige.

Eksempel. For ligningen y""-3y" + 2y=0, er røttene til den karakteristiske ligningen r 2 - 3r + 2 = 0 lik r 1 = 1, r 2 = 2 (røttene ble funnet gjennom tjenesten for å finne diskriminanten). Følgelig består det grunnleggende løsningssystemet av funksjonene y 1 = e x, y 2 = e 2 x, og den generelle løsningen skrives som y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Blant røttene til den karakteristiske ligningen er det multipler. Anta at r 1 har multiplisitet α, og alle andre er forskjellige. La oss først vurdere tilfellet r 1 = 0. Da har den karakteristiske likningen formen

siden det ellers ikke ville vært en rot av multiplisiteten α. Derfor har differensialligningen formen
det vil si at den ikke inneholder derivater av orden under α. Denne ligningen er tilfredsstilt av alle funksjoner hvis deriverte av orden α og høyere er lik null. Spesielt er disse alle polynomer av grad ikke høyere enn α-1, for eksempel,
1, x, x 2, …, x a-1. (9)
La oss vise at dette systemet er lineært uavhengig. Etter å ha kompilert Wronski-determinanten for dette funksjonssystemet, får vi

.

Dette er en trekantet determinant med elementer som ikke er null på hoveddiagonalen. Derfor er det forskjellig fra null, som beviser den lineære uavhengigheten til funksjonssystemet (9). Merk at i et av eksemplene i forrige avsnitt beviste vi den lineære uavhengigheten til funksjonssystemet (9) på en annen måte. La nå roten til den karakteristiske ligningen for multiplisitet α være tallet r 1 ≠0. La oss erstatte y = z r 1 x = z exp(r 1 x) i ligning (6) L(y) = 0. Deretter

og så videre. Ved å erstatte de oppnådde verdiene av de deriverte i den opprinnelige ligningen, får vi igjen en lineær homogen ligning med konstante koeffisienter
(0)
med karakteristisk ligning
. (1)
Legg merke til at hvis k er roten til den karakteristiske ligningen (1), så er z = e kx en løsning til ligningen (0), og y = y r 1 x = e (k + r 1) x er en løsning til ligningen ( 6). Da er r=k+r 1 roten til den karakteristiske ligningen (7). På den annen side kan likning (6) fås fra likning (0) ved omvendt substitusjon z = ye - r 1 x og derfor tilsvarer hver rot av den karakteristiske likningen (7) roten k = r - r 1 av den karakteristiske ligningen (1). Det er således etablert en en-til-en-korrespondanse mellom røttene til de karakteristiske ligningene (7) og (1), og ulike røtter til den ene ligningen tilsvarer ulike røttene til den andre. Siden r = r 1 er roten av multiplisiteten α til ligning (7), så har ligning (1) k=0 som roten av multiplisiteten α. I følge det som ble bevist tidligere, har ligning (0) α lineært uavhengige løsninger
som tilsvarer α lineært uavhengige løsninger
(2)
ligning (7). Ved å legge til det resulterende systemet av løsninger (2) til n-α-løsningene som tilsvarer de gjenværende røttene til den karakteristiske ligningen, får vi et grunnleggende system av løsninger for en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter i tilfelle av tilstedeværelse av flere røtter.
Eksempel. For ligningen y"""-4y""+4y" = 0, har den karakteristiske ligningen r 3 -4r 2 + 4r = 0 røtter r=0 av multiplum 1 og r=2 av multiplum 2, siden r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, derfor er det grunnleggende løsningssystemet til den opprinnelige ligningen funksjonssystemet y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x, og den generelle løsningen har formen y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x .
3. Blant røttene til den karakteristiske ligningen er det komplekse røtter. Du kan vurdere komplekse løsninger, men for ligninger med reelle koeffisienter er dette ikke veldig praktisk. La oss finne reelle løsninger som tilsvarer komplekse røtter. Siden vi vurderer en likning med reelle koeffisienter, så for hver kompleks rot r j = a+bi av multiplisitet α av den karakteristiske likningen, er dens komplekse konjugattall r k = a-bi også en multiplisitetsrot α av denne likningen. Løsningsparene som tilsvarer disse røttene er funksjonene og , l=0,1,.., α-1. I stedet for disse løsningene, vurder deres lineære kombinasjoner 3. For ligningen y (4) + 8y"" + 16y =0 har den karakteristiske ligningen r 4 +8r 2 +16=0 r 1 = 2i, r 2 = -2i av multiplisitet 2, siden r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, derfor er det grunnleggende løsningssystemet til den opprinnelige ligningen funksjonssystemet y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x, og den generelle løsningen har formen y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.

Vi vil fortsette å polere teknologien vår elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ut fra de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og middelmådig, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling av teknikker, vil det være mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemets ligning er null. For eksempel:

Det er helt klart det et homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først av alt, det som fanger oppmerksomheten er den såkalte triviell løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr uten et show-off. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ...Hvorfor slå rundt bushen, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe det til en trinnvis form. Vær oppmerksom på at her er det ikke nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med frie termer - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.

Å dele den tredje linjen med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke det omvendte av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare en triviell løsning, Hvis systemmatriserangering(i dette tilfellet 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet – 3 stykker).

La oss varme opp og stille inn radioen vår til bølgen av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

For å endelig konsolidere algoritmen, la oss analysere den endelige oppgaven:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret i vektorform.

Løsning: la oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

(1) Tegnet på den første linjen er endret. Nok en gang trekker jeg oppmerksomheten til en teknikk som har blitt møtt mange ganger, som lar deg forenkle den neste handlingen betydelig.

(1) Den første linjen ble lagt til 2. og 3. linje. Den første linjen, multiplisert med 2, ble lagt til den 4. linjen.

(3) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem er fjernet.

Som et resultat oppnås en standard trinnmatrise, og løsningen fortsetter langs det riflede sporet:

– grunnleggende variabler;
– frie variabler.

La oss uttrykke de grunnleggende variablene i form av frie variabler. Fra den andre ligningen:

– bytt inn i den første ligningen:

Så den generelle løsningen er:

Siden det i eksemplet under vurdering er tre frie variabler, inneholder det fundamentale systemet tre vektorer.

La oss erstatte en trippel av verdier inn i den generelle løsningen og få en vektor hvis koordinater tilfredsstiller hver ligning i det homogene systemet. Og igjen, jeg gjentar at det er svært tilrådelig å sjekke hver mottatt vektor - det vil ikke ta mye tid, men det vil beskytte deg fullstendig mot feil.

For en trippel av verdier finn vektoren

Og til slutt for de tre vi får den tredje vektoren:

Svar: , Hvor

De som ønsker å unngå brøkverdier kan vurdere trillinger og få svar i tilsvarende form:

Apropos brøker. La oss se på matrisen oppnådd i oppgaven og la oss spørre oss selv: er det mulig å forenkle den videre løsningen? Tross alt, her uttrykte vi først den grunnleggende variabelen gjennom brøker, deretter gjennom brøker den grunnleggende variabelen, og jeg må si, denne prosessen var ikke den enkleste og ikke den mest behagelige.

Andre løsning:

Tanken er å prøve velg andre basisvariabler. La oss se på matrisen og legge merke til to i den tredje kolonnen. Så hvorfor ikke ha en null på toppen? La oss gjennomføre enda en elementær transformasjon: