Graf over lineær funksjon y ax b. Lineær funksjon, dens egenskaper og graf

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser, og/eller basert på offentlige henvendelser eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Konseptet med en numerisk funksjon. Metoder for å spesifisere en funksjon. Egenskaper til funksjoner.

Numerisk funksjon- en funksjon som virker fra ett tallrom (sett) til et annet tallrom (sett).

Tre hovedmåter å definere en funksjon: analytisk, tabellform og grafisk.

1. Analytisk.

Metoden for å spesifisere en funksjon ved hjelp av en formel kalles analytisk. Denne metoden er den viktigste i matten. analyse, men i praksis er det ikke praktisk.

2. Tabellform metode for å spesifisere en funksjon.

En funksjon kan spesifiseres ved hjelp av en tabell som inneholder argumentverdiene og deres tilsvarende funksjonsverdier.

3. Grafisk metode funksjonsoppdrag.

En funksjon y=f(x) sies å være gitt grafisk hvis grafen er konstruert. Denne metoden for å spesifisere en funksjon gjør det mulig å bestemme funksjonsverdiene bare omtrentlig, siden det å konstruere en graf og finne funksjonsverdiene på den er forbundet med feil.

Egenskaper til en funksjon som må tas i betraktning når du konstruerer grafen:

1) Område funksjonsdefinisjoner.

Domene til funksjonen, det vil si de verdiene som argumentet x til funksjonen F =y (x) kan ta.

2) Intervaller med økende og minkende funksjoner.

Funksjonen kalles økende på intervallet som vurderes, hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en større verdi av funksjonen y(x). Dette betyr at hvis to vilkårlige argumenter x 1 og x 2 er tatt fra intervallet som vurderes, og x 1 > x 2, så y(x 1) > y(x 2).

Funksjonen kalles avtagende på intervallet som vurderes, hvis en større verdi av argumentet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen y(x). Dette betyr at hvis to vilkårlige argumenter x 1 og x 2 er tatt fra intervallet som vurderes, og x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funksjonsnuller.

Punktene der funksjonen F = y (x) skjærer abscisseaksen (de oppnås ved å løse ligningen y(x) = 0) kalles nullpunkt for funksjonen.

4) Partalls- og oddetallsfunksjoner.

Funksjonen kalles selv, hvis for alle argumentverdier fra omfanget

y(-x) = y(x).

Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinaten.

Funksjonen kalles oddetall, hvis for alle verdiene av argumentet fra definisjonsdomenet

y(-x) = -y(x).

Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om opprinnelsen.

Mange funksjoner er verken partall eller rare.

5) Periodisitet av funksjonen.

Funksjonen kalles periodisk, hvis det er et tall P slik at for alle verdiene av argumentet fra definisjonsdomenet

y(x + P) = y(x).

Lineær funksjon, dens egenskaper og graf.

En lineær funksjon er en funksjon av formen y = kx + b, definert på settet av alle reelle tall.

k – skråningen(ekte nummer)

b– dummy term (reelt tall)

x- uavhengig variabel.

· I det spesielle tilfellet, hvis k = 0, får vi en konstant funksjon y = b, hvis graf er en rett linje parallelt med Ox-aksen som går gjennom punktet med koordinatene (0; b).

· Hvis b = 0, får vi funksjonen y = kx, som er direkte proporsjonalitet.

o Den geometriske betydningen av koeffisienten b er lengden på segmentet som den rette linjen skjærer av langs Oy-aksen, regnet fra origo.

o Den geometriske betydningen av koeffisienten k er helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til Ox-aksen, beregnet mot klokken.

Egenskaper til en lineær funksjon:

1) Definisjonsdomenet til en lineær funksjon er hele den reelle aksen;

2) Hvis k ≠ 0, er verdiområdet til den lineære funksjonen hele den reelle aksen.

Hvis k = 0, består verdiområdet til den lineære funksjonen av tallet b;

3) Jevnhet og oddelighet av en lineær funksjon avhenger av verdiene til koeffisientene k og b.

a) b ≠ 0, k = 0, derfor y = b – jevn;

b) b = 0, k ≠ 0, derfor y = kx – oddetall;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, derfor er y = kx + b en funksjon generelt syn;

d) b = 0, k = 0, derfor er y = 0 både en partall og en oddetallsfunksjon.

4) En lineær funksjon har ikke egenskapen periodisitet;

5) Skjæringspunkter med koordinatakser:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, derfor er (-b/k; 0) skjæringspunktet med x-aksen.

Oy: y = 0k + b = b, derfor er (0; b) skjæringspunktet med ordinaten.

Kommentar. Hvis b = 0 og k = 0, forsvinner funksjonen y = 0 for enhver verdi av variabelen x. Hvis b ≠ 0 og k = 0, forsvinner ikke funksjonen y = b for noen verdi av variabelen x.

6) Intervallene til konstant fortegn avhenger av koeffisienten k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positiv ved x fra (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativ for x fra (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positiv ved x fra (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativ for x av (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b er positiv gjennom hele definisjonsdomenet,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Monotonisitetsintervallene til en lineær funksjon avhenger av koeffisienten k.

k > 0, derfor øker y = kx + b gjennom hele definisjonsdomenet,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funksjon y = ax 2 + bx + c, dens egenskaper og graf.

Funksjon y = ax 2 + bx + c (a, b, c - konstanter, a ≠ 0) kalles kvadratisk I det enkleste tilfellet, y = ax 2 (b = c = 0) er grafen en buet linje som går gjennom origo. Kurven som fungerer som en graf for funksjonen y = ax 2 er en parabel. Hver parabel har en symmetriakse kalt aksen til parablen. Punktet O for skjæringspunktet mellom en parabel med dens akse kalles toppunktet til parablen.

Grafen kan konstrueres etter følgende skjema: 1) Finn koordinatene til toppunktet til parablen x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Vi konstruerer flere punkter som hører til parablen, når vi konstruerer kan vi bruke symmetriene til parablen i forhold til den rette linjen x = -b/2a. 3) Koble de angitte punktene med en jevn linje. Eksempel. Tegn grafen for funksjonen b = x 2 + 2x - 3. Løsninger. Grafen til funksjonen er en parabel, hvis grener er rettet oppover. Abscissen til parabelens toppunkt x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, dens ordinater y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Så, toppunktet til parabelen er punkt (-1; -4). La oss kompilere en verditabell for flere punkter som er plassert til høyre for symmetriaksen til parabelen - rett linje x = -1.

Funksjonsegenskaper.

Algebra og begynnelsen av analysen.
1. Lineær funksjon y = ax + b, dens egenskaper og graf.
2. Kvadratisk funksjon y = ax2 + bx + c, dens egenskaper og graf.
3. Funksjon y = k/x, dens egenskaper og graf, graf lineær brøkfunksjon(ved å bruke et spesifikt eksempel).
4. Eksponentiell funksjon y = ax, dens egenskaper og graf.
5. Logaritmisk funksjon y = loga x, dens egenskaper og graf.
6. Funksjon y = sin(x), dens egenskaper og graf.
7. Funksjon y = cos(x), dens egenskaper og graf.
8. Funksjon y = tan(x), dens egenskaper og graf.
9. Funksjon y = ctg(x), dens egenskaper og graf.
10. Aritmetisk progresjon, summen av de første n leddene aritmetisk progresjon.
11. Geometrisk progresjon, summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon. Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
12. Løse ligningen sin(x) = a, ulikheter sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Løsning av ligningen cos(x) = a, ulikheter cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Løsning av ligningen tg(x) = a, ulikheter tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Reduksjonsformler (med konklusjon).
16. Formler for sinus og cosinus av summen og differansen av to argumenter (med bevis).
17. Trigonometriske funksjoner av dobbeltargument.
18. Trigonometriske funksjoner av halvt argument.
19. Formler for summen og differansen av sinus og cosinus (med bevis).
20. Utledning av rotformelen kvadratisk ligning, Vietas teorem.
21. Logaritme av produkt, grad, kvotient.
22. Begrepet derivat, dets geometrisk betydning og fysisk mening.
23. Regler for beregning av derivatet.

Funksjon gitt av formelen y = kx + b, der k og b er noen tall, kalles lineær.
Definisjonsdomenet til en lineær funksjon er settet R av alle reelle tall, fordi uttrykket kx + b gir mening for alle verdier av x.
Grafen til den lineære funksjonen y = kx + b er en rett linje. Åpenbart er to punkter nok til å konstruere en graf hvis k 0.
Koeffisienten k karakteriserer vinkelen som dannes av den rette linjen y = kx med den positive retningen til Ox-aksen, derfor kalles k vinkelkoeffisienten. Hvis k > 0, så er denne vinkelen spiss; hvis k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Grafen til funksjonen y = kx + b kan ettergraferes ved å bruke parallell translasjon av grafen til funksjonen y = kx.

Svar #2. ODA. En kvadratisk funksjon er en funksjon som kan spesifiseres med en formel på formen y = ax2 + bx + c, der x er den uavhengige variabelen, a, b og c er noen tall, og a er 0.

Rute kvadratisk funksjon er en parabel.

Egenskaper for funksjonen y = ax2 (spesialtilfelle) for a > 0.

2. Hvis x 0, så y > 0. Grafen til funksjonen er plassert i det øvre halvplanet.

4. Funksjonen avtar i intervallet (- ; 0] og øker i intervallet .
5. Laveste verdi funksjonen tar på x = 0. Rekkevidden til funksjonen er (- ; 0].

Og så er grafen til funksjonen y = ax2 + bx + c en parabel, hvis toppunkt er punktet (m; n), der m = , n= . Symmetriaksen til en parabel er den rette linjen x = m, parallell med y-aksen. For a > 0 er grenene til parablen rettet oppover, for a< 0 - вниз.

Hvis variabelen y er omvendt proporsjonal med variabelen x, uttrykkes denne avhengigheten med formelen, hvor er koeffisienten omvendt proporsjonalitet.

Domenet til en funksjon er settet av alle andre tall enn null, dvs.
Grafen for invers proporsjonalitet y=k/x er en kurve som består av to grener som er symmetriske om origo. En slik kurve kalles en hyperbel. Hvis k>0, så er grenene til hyperbelen lokalisert i I og III koordinatkvarterene; hvis k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Merk at hyperbelen ikke har felles punkter med koordinataksene, men nærmer seg dem bare vilkårlig nærme.

nr. 4. Def. En funksjon gitt av formelen y = ax, hvor a er noe positivt tall, ikke lik én, kalles eksponentiell.

1. Funksjon y = akse for a>1

c) funksjonen øker;

e) hvis x > 0, så ax > 1;
e) hvis x< 0, то 0< ax <1;

2. Funksjon y = ax ved 0< а <1
EN)
b) sett med verdier - settet med alle positive tall;
c) funksjonen avtar;
d) ved x = 0 er verdien av funksjonen 1;
e) hvis x > 0, så 0< ax <1;
e) hvis x< 0, то ax > 1.

nr. 5.Opr. Funksjonen gitt av formelen y = loga x kalles en logaritmisk funksjon med grunntallet a.
Egenskaper for funksjonen y = loga x for a>1:
a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funksjonen øker;

e) hvis 0 e) hvis x > 1, så loga x > 0.
Egenskaper for funksjonen y = loga x ved 0 a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funksjonen avtar;
d) hvis x = 1, så er loga x = 0;
e) hvis 0< x < 1, то loga x > 0;
e) hvis x > 1, så loga x< 0.

nr. 6. ODA. Benforhold høyre trekant, motsatt den spisse vinkelen, til hypotenusen kalles sinus til denne vinkelen (betegnet synd).

definisjonsdomene - settet med alle reelle tall;
sett med verdier - [-1; 1];
odde funksjon: sin(-x) = -sin(x) for alle;
sin(x) = 0 ved x = ;
sin(x) > 0 for alle;
synd(x)< 0 для всех;
funksjon øker med;
funksjonen reduseres med.

nr. 7.Opr. Forholdet mellom benet i en rettvinklet trekant ved siden av en spiss vinkel til hypotenusen kalles cosinus til denne vinkelen (betegnet cos)

definisjonsdomene - settet med alle reelle tall;
sett med verdier - [-1; 1];
jevn funksjon: cos(-x) = cos(x) for alle;
funksjonen er periodisk med den minste positiv periode;
cos(x) = 0 at;
cos(x) > 0 for alle;
cos(x) > 0 for alle;
funksjon øker med;
funksjonen reduseres med

nr. 8.Opr. Forholdet mellom benet motsatt den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant og benet ved siden av denne vinkelen kalles tangent (betegnet tg).

odde funksjon: tg(-x) = -tg(x) for alle x fra domenet;
funksjonen er periodisk med den minste positive perioden;
tan(x) = 0 ved x = ;
tg(x) > 0 for alle;
brun(x)< 0 для всех;
funksjonen øker med.

nr. 9.Opr. Forholdet mellom benet ved siden av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant til benet motsatt av denne vinkelen kalles cotangens (betegnet ctg)

definisjonsdomene - settet med alle reelle tall, bortsett fra tall i formen;
sett med verdier - hele talllinjen;
odde funksjon: ctg(-x) = -ctg(x) for alle x fra domenet;
funksjonen er periodisk med den minste positive perioden;
cotg(x) = 0 for x = ;
ctg(x) > 0 for alle;
ctg(x)< 0 для всех;
funksjonen reduseres med.

Svar nr. 10

Nummerrekkefølge, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet lagt til det samme tallet, kalles en aritmetisk progresjon.
Fra definisjonen av en aritmetisk progresjon følger det at forskjellen mellom noen av dens medlemmer og dens forgjenger er lik det samme tallet, dvs. a2 - a1 = a3 - a2 =... = ak - ak-1 =.... Dette tallet kalles forskjellen på en aritmetisk progresjon og er vanligvis betegnet med bokstaven d.
For å sette en aritmetisk progresjon (an), er det nok å kjenne dens første ledd a1 og forskjellen d.
Hvis forskjellen på en aritmetisk progresjon er et positivt tall, så øker en slik progresjon; Hvis et negativt tall, deretter avtagende. Hvis forskjellen til en aritmetisk progresjon er null, er alle leddene like med hverandre og progresjonen er en konstant sekvens.
Karakteristisk egenskap aritmetisk progresjon. Sekvensen (an) er en aritmetisk progresjon hvis og bare hvis noen av dens medlemmer, fra det andre, er det aritmetiske gjennomsnittet av de foregående og påfølgende medlemmene, dvs. (1)
Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon er: an = a1 + d(n-1). (2)
Formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon har formen: (3)
Hvis vi i formel (3) erstatter i stedet for et uttrykk i henhold til formel (2), får vi relasjonen
Fra definisjonen av forskjellen til en aritmetisk progresjon følger det at a1 + an = a2 + an-1 = ..., det vil si at summen av ledd like langt fra endene av progresjonen er en konstant verdi.

Svar nr. 11

En numerisk sekvens, hvis første ledd er forskjellig fra null, og hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null, kalles en geometrisk progresjon.
Fra definisjonen av en geometrisk progresjon følger det at forholdet mellom noen av medlemmene til den forrige er lik det samme antallet, dvs. b2 :b1 = b3 :b2 =… = mrd :bn-1 = bn+1 :mrd=…. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon og er vanligvis betegnet med bokstaven q .
For å angi en geometrisk progresjon ( mrd), er det nok å kjenne sin første term b1 og nevner q .
Hvis q> 0(), da er progresjonen monoton sekvens. La f.eks. b1 = -2, q= 3, så er den geometriske progresjonen -2, -6, -18,... en monotont avtagende sekvens. Hvis q= 1, da er alle ledd i progresjonen like med hverandre. I dette tilfellet er progresjonen en konstant sekvens.
Karakteristisk egenskap for geometrisk progresjon. Etterfølge ( mrd) er en geometrisk progresjon hvis og bare hvis hvert av leddene, fra det andre, er det geometriske gjennomsnittet av naboleddene, dvs. (1)
Formelen for det n-te leddet i den geometriske progresjonen ser slik ut: (2)
Formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk progresjon har formen: , (3)
Hvis vi i formel (3) erstatter bn med uttrykket i henhold til formel (2), får vi en sammenheng. , (4)
Fra definisjonen av nevneren til en geometrisk progresjon følger det at b1 bn = b2 bn-1 = ..., dvs. produktet av termer like langt fra endene av progresjonen er en konstant verdi.

Summen av en uendelig geometrisk progresjon ved

La (xn) være en geometrisk progresjon med nevner q, hvor og. Summen av en uendelig geometrisk progresjon hvis nevner tilfredsstiller betingelsen kalles summens grense n sine første medlemmer kl.
La oss betegne summen av en uendelig geometrisk progresjon med S. Da er formelen riktig.

Løse trigonometriske ligninger på formen sin(x) = a

formelen for røttene til ligningen sin(x) = a, hvor, har formen:
Spesielle tilfeller:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
formelen for røttene til ligningen sin2 (x) = a, hvor, har formen: x=

Løsning trigonometriske ulikheter av formen sin(x) > a, sin(x)< a

Ulikheter som inneholder en variabel kun under tegnet til den trigonometriske funksjonen kalles trigonometriske.
Når du løser trigonometriske ulikheter, brukes egenskapen til monotonisitet til trigonometriske funksjoner, samt intervaller for deres konstante tegn.
For å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene på formen sin(x) > a (sin(x)< а) используют enhetssirkel eller grafen til funksjonen y = sin(x).
sin(x) = 0 hvis x = ;
sin(x) = -1 hvis x = >;
sin(x) > 0 hvis;
synd(x)< 0, если.

Svar nr. 13

Løsning trigonometrisk ligning cos(x) = a

Formelen for røttene til ligningen cos(x) = a, hvor, har formen: .
Spesielle tilfeller:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Formelen for røttene til ligningen cos2 (x) = a, hvor, har formen: .

Løse trigonometriske ulikheter på formen cos(x) > a, cos(x)< a

For å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene på formen cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Et viktig poeng er kunnskapen om at:
cos(x) = 0 hvis;
cos(x) = -1 hvis x = ;
cos(x) = 1 hvis x = ;
cos(x) > 0 hvis;
cos(x) > 0, if.

Løsning av den trigonometriske ligningen tg(x) = a

Formelen for røttene til ligningen tg(x) = a er: .
Spesielle tilfeller:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .
Formelen for røttene til ligningen tg2 (x) = a, hvor, har formen:

Løse trigonometriske ulikheter på formen tg(x) > a, tg(x)< a

For å løse de enkleste trigonometriske ulikhetene på formen tg(x) > a, tan(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Det er viktig å vite at:
tg(x) > 0 hvis;
brun(x)< 0, если;
Tangent eksisterer ikke hvis.

Reduksjonsformler er relasjoner som bruker verdiene trigonometriske funksjoner argumenter uttrykkes gjennom synd verdier, cos , tg og ctg .
Alle reduksjonsformler kan oppsummeres i følgende tabell:

	Argument

For å gjøre det lettere å huske formlene ovenfor, må du bruke følgende regler:
a) når man går fra vinkelfunksjoner til vinkelfunksjoner, endres navnet på funksjonen: sinus til cosinus, tangent til cotangens og omvendt;
når du går fra vinkelfunksjoner til vinkelfunksjoner, beholdes navnet på funksjonen;
b) med tanke på en spiss vinkel (dvs.), er vinkelfunksjonen innledet av det samme tegnet som den reduserbare funksjonen til vinkler, .

Alle formlene ovenfor kan oppnås ved å bruke følgende regel:
Enhver trigonometrisk funksjon av vinkel 90°n + by absolutt verdi lik samme vinkelfunksjon hvis n er jevn, og tilleggsfunksjon, hvis tallet n er oddetall. Dessuten, hvis vinkelfunksjonen er 90°n + . positivt når - skarpt hjørne, så er tegnene til begge funksjonene de samme; hvis det er negativt, er de forskjellige.

Formler for cosinus av summen og differansen av to argumenter:
Fig.1 Fig.2
La oss rotere radien OA, lik R, nær punktet O med en vinkel og med en vinkel (fig. 1). Vi får radiene OB og OS. La oss finne skalarproduktet av vektorene og. La koordinatene til punkt B være x1 og y1, og koordinatene til punkt C være x2 og y2. Vektorene og har henholdsvis samme koordinater. Ved definisjon av skalarproduktet av vektorer:
= x1 x2 + y1 y2. (1)
La oss uttrykke skalarproduktet gjennom de trigonometriske funksjonene til vinkler og. Fra definisjonen av cosinus og sinus følger det at
x1 = R cos, y1 = R sin, x2 = R cos, y2 = R sin.
Bytter verdiene x1, x2, y1, y2 inn i høyre side likhet (1), får vi:
= R2 coscos+ R2 sinsin= R2 (coscos+ sinsin).
På den annen side ved teoremet om prikkprodukt vektor vi har:
= cos BOC = R2 cos BOC.
Vinkelen BOS mellom vektorene og kan være lik - (fig. 1), - (-) (fig. 2) eller kan avvike fra disse verdiene med et heltall omdreininger. I alle disse tilfellene er cos BOC = cos (-). Derfor
= R2 cos (-).
Fordi er også lik R2 (coscos+ sinsin), da
cos(-) = coscos+ sinsin.
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
Midler,
cos(+) = coscos - sinsin.
Formler for sinusen til summen og differansen til to argumenter:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
Midler,
sin(+) = sincos+ cossin.
Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
Midler,
sin(-) = sincos - cossin.

Formler doble hjørner

Addisjonsformler lar deg uttrykke sin 2, cos 2, tan 2, ctg 2 gjennom trigonometriske vinkelfunksjoner.
La oss legge inn formlene
sin(+) = sincos+ cossin,
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
lik Vi får identitetene:

sin 2= 2 sin cos ;
cos 2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Halve argumentformler

Uttrykker høyre side cos formler 2= cos2 - sin2 gjennom en trigonometrisk funksjon (sinus eller cosinus), kommer vi til relasjonene
cos 2= 1 - sin2 , cos 2= 2 cos2 - 1.
Hvis vi setter = /2 i disse relasjonene, får vi:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)
Av formler (1) følger det at
(2), (3).
Ved å dele likhet (2) ledd for ledd med likhet (3), får vi
(4).
I formlene (2), (3) og (4) avhenger tegnet foran radikalet av koordinert kvartal vinkelen /2 er lokalisert.
Det er nyttig å vite følgende formel:
.

Formler for summen og forskjellen av sinus og cosinus

Summen og forskjellen av sinus eller cosinus kan representeres som et produkt av trigonometriske funksjoner. Formlene som en slik transformasjon er basert på kan fås fra addisjonsformler.
Å presentere som et verk sum synd+ sin , sett = x + y og = x - y og bruk formlene for sinus av summen og sinus av differansen. Vi får:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx koselig + cosx siny + sinx koselig - cosx siny = 2sinx koselig.
Etter å ha løst likningssystemet = x + y, = x - y for x og y, får vi x = , y = .
Derfor,
sin + sin = 2 sincos.
Formlene er utledet på lignende måte:
sin -sin = 2 kossin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin .

For å finne løsningen på den reduserte andregradsligningen x2 + s x+ q= 0, hvor det er nok å flytte frileddet til høyre side og legge til på begge sider av likheten. Da vil venstre side bli perfekt firkant, og vi får ekvivalent ligning = - q.
Den skiller seg fra den enkleste ligningen x2 = m bare i utseende: den står i stedet for x Og - q- i stedet for m. Vi finner =. Herfra x = -. Denne formelen viser at hver andregradsligning har to røtter. Men disse røttene kan også være imaginære hvis< q. Det kan også vise seg at begge røttene til en andregradsligning er like hvis = q. Vi går tilbake til den vanlige utsikten.
1. Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x2 + s x+ q= 0 er lik den andre koeffisienten tatt fra motsatt tegn, og produktet av røttene er lik frileddet, dvs. x1 + x2 = - R, og x1 x2 = q .
2. Teorem, motsatt av teoremet Vieta. Hvis R, q, x1, x2 er slik at x1 + x2 = - R og x1 x2 = q, da er x1 og x2 røttene til ligningen x2 + s x+ q = 0.

ODA. Logaritmen av b til base a er eksponenten som base a må heves til for å få b.
Formelen (der b > 0, a > 0 og a 1) kalles den grunnleggende logaritmiske identiteten.
Egenskaper til logaritmer:

Logaritme av produktet lik summen logaritmer av faktorer:
.
For å bevise dette bruker vi den grunnleggende logaritmiske identiteten:
x = , y = .
Ved å multiplisere disse likhetene termin for termin får vi:
xy = = .
Derfor, ved definisjonen av logaritmen (punkt 3) er bevist.
Logaritme av kvotienten lik logaritmen utbytte uten logaritmedeler:
.
Forløpet av beviset er likt beviset i punkt 3
Logaritme av grad lik produktet eksponent per logaritme av basen:
.
I beviset er det også nødvendig å bruke den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x0 er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen i punktet x0 og inkrementet til argumentet når sistnevnte har en tendens til null. Det kan skrives slik: .
Fra definisjonen av derivert følger det at en funksjon kan ha en derivert ved punktet x0 bare hvis den er definert i et eller annet nabolag til punktet x0, inkludert dette punktet.
En nødvendig betingelse eksistensen av en derivert av en funksjon på et gitt punkt er kontinuiteten til funksjonen på det punktet.
Eksistensen av en derivert av funksjonen f i punktet x0 tilsvarer eksistensen av en (ikke-vertikal) tangent i punktet (x0 ; f(x0)) i grafen, mens tangenthelling lik. Dette er geometrisk betydning av derivat.
Mekanisk betydning deriverte f "(x) av funksjonen y = f(x) er endringshastigheten til funksjonen ved punkt x. Derfor, når du løser anvendte problemer, bør det huskes at uansett hvilken prosess som beskrives av funksjonen som studeres y = f(x), kan den deriverte fra et fysisk synspunkt representeres som hastigheten som prosessen skjer med.

Den deriverte av en sum er lik summen av derivater, hvis de eksisterer:
.
Hvis funksjonen u Og v er differensierbare ved punktet x0, så er deres deriverte differensierbare på dette punktet og
.
Hvis funksjonen u Og v er differensierbare ved punktet x0, og MED er en konstant, deretter funksjonen Cu er differensierbar på dette punktet og
.
Hvis funksjonen u Og v differensierbar ved punktet x0 og funksjonen v er ikke lik null på dette punktet, så er kvotienten til to funksjoner også differensierbar ved punktet x0u
.

I denne artikkelen skal vi se på lineær funksjon, graf over en lineær funksjon og dens egenskaper. Og som vanlig vil vi løse flere problemer om dette emnet.

Lineær funksjon kalt en funksjon av formen

I en funksjonsligning kalles tallet vi multipliserer med helningskoeffisienten.

For eksempel i funksjonsligningen ;

i funksjonens ligning;

i funksjonsligningen.

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.

1 . Å plotte en funksjon, trenger vi koordinatene til to punkter som tilhører grafen til funksjonen. For å finne dem må du ta to x-verdier, erstatte dem med funksjonslikningen og bruke dem til å beregne de tilsvarende y-verdiene.

For å plotte en funksjonsgraf for eksempel, er det praktisk å ta og , da vil ordinatene til disse punktene være lik og .

Vi får punktene A(0;2) og B(3;3). La oss koble dem sammen og få en graf over funksjonen:

2 . I en funksjonsligning er koeffisienten ansvarlig for helningen til funksjonsgrafen:

Title="k>0">!}

Koeffisienten er ansvarlig for å flytte grafen langs aksen:

Title="b>0">!}

Figuren under viser grafer over funksjoner; ;

Merk at i alle disse funksjonene er koeffisienten Over null Ikke sant. Dessuten enn mer verdi, jo kjøligere det går rett.

I alle funksjoner - og vi ser at alle grafer skjærer OY-aksen i punkt (0;3)

La oss nå se på grafene til funksjoner; ;

Denne gangen i alle funksjoner koeffisienten mindre enn null, og alle funksjonsgrafer er skråstilte venstre.

Legg merke til at jo større |k|, jo brattere er den rette linjen. Koeffisienten b er den samme, b=3, og grafene, som i forrige tilfelle, skjærer OY-aksen i punktet (0;3)

La oss se på grafene til funksjoner; ;

Nå er koeffisientene i alle funksjonsligninger like. Og vi fikk tre parallelle linjer.

Men koeffisientene b er forskjellige, og disse grafene skjærer OY-aksen på forskjellige punkter:

Grafen til funksjonen (b=3) skjærer OY-aksen i punktet (0;3)

Grafen til funksjonen (b=0) skjærer OY-aksen i punktet (0;0) - origo.

Grafen til funksjonen (b=-2) skjærer OY-aksen i punktet (0;-2)

Så hvis vi kjenner tegnene til koeffisientene k og b, kan vi umiddelbart forestille oss hvordan grafen til funksjonen ser ut.

Hvis k<0 и b>0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:

Hvis k>0 og b>0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:

Hvis k>0 og b<0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:

Hvis k<0 и b<0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:

Hvis k=0 , så blir funksjonen til en funksjon og grafen ser slik ut:

Ordinatene til alle punktene på grafen til funksjonen er like

Hvis b=0, så går grafen til funksjonen gjennom origo:

Dette direkte proporsjonalitetsgraf.

3. Jeg vil merke meg grafen til ligningen separat. Grafen til denne ligningen er en rett linje parallelt med aksen, der alle punkter har en abscisse.

For eksempel ser grafen til ligningen slik ut:

Merk følgende! Ligningen er ikke en funksjon, siden forskjellige verdier av argumentet tilsvarer den samme verdien av funksjonen, som ikke samsvarer.

4 . Betingelse for parallellitet av to linjer:

Graf av en funksjon parallelt med grafen til funksjonen, Hvis

5. Betingelsen for perpendikulæriteten til to rette linjer:

Graf av en funksjon vinkelrett på grafen til funksjonen, hvis eller

6. Skjæringspunkter for grafen til en funksjon med koordinataksene.

Med OY akse. Abscissen til ethvert punkt som tilhører OY-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OY-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for x. Vi får y=b. Det vil si at skjæringspunktet med OY-aksen har koordinater (0; b).

Med OX-akse: Ordinaten til ethvert punkt som tilhører OX-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OX-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for y. Vi får 0=kx+b. Herfra. Det vil si at skjæringspunktet med OX-aksen har koordinater (;0):

La oss se på problemløsning.

1 . Konstruer en graf av funksjonen hvis det er kjent at den går gjennom punktet A(-3;2) og er parallell med den rette linjen y=-4x.

Funksjonsligningen har to ukjente parametere: k og b. Derfor må oppgaveteksten inneholde to forhold som karakteriserer grafen til funksjonen.

a) Av det faktum at grafen til funksjonen er parallell med den rette linjen y=-4x, følger det at k=-4. Det vil si at funksjonsligningen har formen

b) Vi må bare finne b. Det er kjent at grafen til funksjonen går gjennom punkt A(-3;2). Hvis et punkt tilhører grafen til en funksjon, får vi den korrekte likheten når vi erstatter koordinatene i funksjonens ligning:

derfor b=-10

Derfor må vi plotte funksjonen

Vi vet punkt A(-3;2), la oss ta punkt B(0;-10)

La oss sette disse punktene i koordinatplanet og forbinde dem med en rett linje:

2. Skriv ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1;1); B(2;4).

Hvis en linje går gjennom punkter med gitte koordinater, tilfredsstiller derfor koordinatene til punktene linjens ligning. Det vil si at hvis vi erstatter koordinatene til punktene inn i ligningen til en rett linje, vil vi få riktig likhet.

La oss erstatte koordinatene til hvert punkt i ligningen og få et system med lineære ligninger.

Trekk den første fra den andre ligningen i systemet og få . La oss erstatte verdien av k i den første ligningen i systemet og få b=-2.

Så likningen av linjen.

3. Tegn grafen av ligningen

For å finne ved hvilke verdier av det ukjente produktet av flere faktorer er lik null, må du likestille hver faktor til null og ta hensyn til hver multiplikator.

Denne ligningen har ingen begrensninger på ODZ. La oss faktorisere den andre parentesen og sette hver faktor lik null. Vi får et sett med ligninger:

La oss konstruere grafer av alle ligningene i mengden i ett koordinatplan. Dette er grafen til ligningen :

4. Konstruer en graf av funksjonen hvis den er vinkelrett på linjen og går gjennom punktet M(-1;2)

Vi skal ikke bygge en graf, vi finner bare likningen til linjen.

a) Siden grafen til en funksjon, hvis den er vinkelrett på en linje, derfor. Det vil si at funksjonsligningen har formen

b) Vi vet at grafen til funksjonen går gjennom punktet M(-1;2). La oss erstatte koordinatene i funksjonens ligning. Vi får:

Herfra.

Derfor ser funksjonen vår slik ut: .

5 . Tegn funksjonen grafisk

La oss forenkle uttrykket på høyre side av funksjonslikningen.

Viktig! Før vi forenkler uttrykket, la oss finne dets ODZ.

Nevneren til en brøk kan ikke være null, så title="x1">, title="x-1">.!}

Da har funksjonen vår formen:

Title="delim(lbrace)(matrise(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Det vil si at vi må bygge en graf av funksjonen og kutte ut to punkter på den: med abscisse x=1 og x=-1:

Som praksis viser, forårsaker oppgaver på egenskapene og grafene til en kvadratisk funksjon alvorlige vanskeligheter. Dette er ganske merkelig, fordi de studerer den kvadratiske funksjonen i 8. klasse, og deretter gjennom første kvartal av 9. klasse "piner" de egenskapene til parablen og bygger dens grafer for forskjellige parametere.

Dette skyldes det faktum at når de tvinger elever til å konstruere parabler, bruker de praktisk talt ikke tid til å "lese" grafene, det vil si at de ikke øver seg på å forstå informasjonen som mottas fra bildet. Tilsynelatende antas det at etter å ha konstruert et dusin eller to grafer, vil en smart student selv oppdage og formulere forholdet mellom koeffisientene i formelen og utseende grafisk kunst. I praksis fungerer ikke dette. For en slik generalisering er det nødvendig seriøs erfaring matematisk miniforskning, som de fleste niendeklassinger selvsagt ikke besitter. I mellomtiden foreslår Statens tilsyn å bestemme tegnene til koeffisientene ved hjelp av tidsplanen.

Vi vil ikke kreve det umulige fra skoleelever og vil ganske enkelt tilby en av algoritmene for å løse slike problemer.

Altså en funksjon av formen y = akse 2 + bx + c kalt kvadratisk, er grafen en parabel. Som navnet antyder, er hovedbegrepet øks 2. Det er EN skal ikke være lik null, de gjenværende koeffisientene ( b Og Med) kan være lik null.

La oss se hvordan tegnene til koeffisientene påvirker utseendet til en parabel.

Den enkleste avhengigheten for koeffisienten EN. De fleste skoleelever svarer selvsikkert: "hvis EN> 0, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis EN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой EN > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

I i dette tilfellet EN = 0,5

Og nå for EN < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

I dette tilfellet EN = - 0,5

Effekten av koeffisienten Med Det er også ganske enkelt å følge. La oss forestille oss at vi ønsker å finne verdien av en funksjon ved et punkt X= 0. Bytt inn null i formelen:

y = en 0 2 + b 0 + c = c. Det viser seg at y = c. Det er Med er ordinaten til skjæringspunktet mellom parabelen og y-aksen. Vanligvis er dette punktet lett å finne på grafen. Og avgjør om den ligger over null eller under. Det er Med> 0 eller Med < 0.

Med > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Med < 0

y = x 2 + 4x - 3

Følgelig, hvis Med= 0, så vil parabelen nødvendigvis gå gjennom origo:

y = x 2 + 4x

Vanskeligere med parameteren b. Punktet vi vil finne det avhenger ikke bare av b men også fra EN. Dette er toppen av parabelen. Abscissen (aksekoordinat X) finnes av formelen x in = - b/(2a). Dermed, b = - 2ax in. Det vil si at vi fortsetter som følger: vi finner toppunktet til parabelen på grafen, bestemmer tegnet på abscissen, det vil si at vi ser til høyre for null ( x inn> 0) eller til venstre ( x inn < 0) она лежит.

Det er imidlertid ikke alt. Vi må også ta hensyn til koeffisientens tegn EN. Det vil si, se på hvor grenene til parablen er rettet. Og først etter det, i henhold til formelen b = - 2ax in bestemme tegnet b.

La oss se på et eksempel:

Grenene er rettet oppover, som betyr EN> 0, skjærer parabelen aksen på under null, altså Med < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x inn> 0. Så b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: EN > 0, b < 0, Med < 0.