Hvordan løse logaritmiske ligninger raskt. Lære å løse enkle logaritmiske ligninger

Logaritmiske ligninger. Vi fortsetter å vurdere problemer fra del B av Unified State Examination i matematikk. Vi har allerede undersøkt løsninger på noen ligninger i artiklene "", "". I denne artikkelen skal vi se på logaritmiske ligninger. Jeg vil si med en gang at det ikke er noen komplekse transformasjoner når man løser slike ligninger på Unified State Exam, vil det ikke være slike ligninger. De er enkle.

Det er nok å vite og forstå det grunnleggende logaritmisk identitet, kjenner egenskapene til logaritmen. Vær oppmerksom på at etter å ha løst det, MÅ du gjøre en sjekk - bytt inn den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen og beregn, til slutt skal du få riktig likhet.

Definisjon:

Logaritmen til et tall til grunntallet b er eksponenten,som b må heves til for å oppnå a.

For eksempel:

Logg 3 9 = 2, siden 3 2 = 9

Egenskaper til logaritmer:

Spesielle tilfeller av logaritmer:

La oss løse problemer. I det første eksemplet vil vi gjøre en sjekk. Sjekk det selv i fremtiden.

Finn roten til ligningen: log 3 (4–x) = 4

Siden log b a = x b x = a, da

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Undersøkelse:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Riktig.

Svar: – 77

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 2 (4 – x) = 7

Finn roten til ligningsloggen 5(4 + x) = 2

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Siden log a b = x b x = a, da

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Undersøkelse:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Riktig.

Svar: 21

Finn roten til ligningen log 3 (14 – x) = log 3 5.

Inntreffer neste eiendom, dens betydning er som følger: hvis på venstre og høyre side av ligningen har vi logaritmer med samme grunnlag, så kan vi sette likhetstegn mellom uttrykkene under tegnene til logaritmer.

14 – x = 5

x=9

Gjør en sjekk.

Svar: 9

Bestem selv:

Finn roten til ligningen log 5 (5 – x) = log 5 3.

Finn roten til ligningen: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Gjør en sjekk.

Svar: 6

Finn roten til ligningen log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Gjør en sjekk.

Et lite tillegg - eiendommen brukes her

grader ().

Svar: – 51

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 1/7 (7 – x) = – 2

Finn roten til ligningen log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

La oss transformere høyre side. La oss bruke egenskapen:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Hvis log c a = log c b, så er a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Gjør en sjekk.

Svar: – 21

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Løs ligningen log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Gjør en sjekk.

Svar: 2,75

Bestem selv:

Finn roten til ligningen log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Løs ligningen log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Det er nødvendig å få et uttrykk for formen på høyre side av ligningen:

logg 2 (......)

Vi representerer 1 som en base 2-logaritme:

1 = logg 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Vi får:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Hvis log c a = log c b, så er a = b, da

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Gjør en sjekk.

Svar: 0,4

Bestem selv: Deretter må du bestemme deg kvadratisk ligning. Forresten,

røttene er 6 og – 4.

Root "-4" er ikke en løsning siden basen til logaritmen må være Over null, og når "– 4" er det lik " – 5". Løsningen er rot 6.Gjør en sjekk.

Svar: 6.

R spis selv:

Løs likningsloggen x –5 49 = 2. Hvis likningen har mer enn én rot, svar med den minste.

Som du har sett, ingen kompliserte transformasjoner med logaritmiske ligningerNei. Det er nok å kjenne egenskapene til logaritmen og kunne bruke dem. I Unified State Examination oppgaver Ved konvertering av logaritmiske uttrykk utføres mer seriøse konverteringer og mer avanserte løsningskunnskaper kreves. Vi vil se på slike eksempler, ikke gå glipp av dem!Jeg ønsker deg suksess!!!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Vi er alle kjent med ligninger primærklasser. Der lærte vi også å løse de enkleste eksemplene, og vi må innrømme at de finner sin anvendelse selv i høyere matematikk. Alt er enkelt med ligninger, inkludert kvadratiske ligninger. Hvis du har problemer med dette emnet, anbefaler vi sterkt at du vurderer det.

Du har sikkert allerede gått gjennom logaritmer også. Vi anser det imidlertid som viktig å fortelle hva det er for de som ennå ikke vet. En logaritme er lik potensen som grunntallet må heves til for å få tallet til høyre for logaritmetegnet. La oss gi et eksempel basert på at alt vil bli klart for deg.

Hvis du hever 3 til fjerde potens, får du 81. Bytt ut tallene analogt, og du vil endelig forstå hvordan logaritmer løses. Nå gjenstår det bare å kombinere de to begrepene som er diskutert. I utgangspunktet virker situasjonen ekstremt komplisert, men ved nærmere undersøkelse faller vekten på plass. Vi er sikre på at du etter denne korte artikkelen ikke vil ha problemer i denne delen av Unified State-eksamenen.

I dag er det mange måter å løse slike strukturer på. Vi vil fortelle deg om den enkleste, mest effektive og mest anvendelige når det gjelder Unified State Examination-oppgaver. Å løse logaritmiske ligninger må starte helt fra begynnelsen. enkelt eksempel. De enkleste logaritmiske ligningene består av en funksjon og en variabel i den.

Det er viktig å merke seg at x er inne i argumentet. A og b må være tall. I dette tilfellet kan du ganske enkelt uttrykke funksjonen i form av et tall til en potens. Det ser slik ut.

Å løse en logaritmisk ligning ved hjelp av denne metoden vil selvfølgelig føre deg til det riktige svaret. Problemet for de aller fleste elevene i denne saken er at de ikke forstår hva som kommer fra hvor. Som et resultat må du tåle feil og ikke få de ønskede poengene. Den mest støtende feilen vil være hvis du blander bokstavene. For å løse ligningen på denne måten, må du huske denne standard skoleformelen fordi den er vanskelig å forstå.

For å gjøre det enklere, kan du ty til en annen metode - den kanoniske formen. Ideen er ekstremt enkel. Vend oppmerksomheten tilbake til problemet. Husk at bokstaven a er et tall, ikke en funksjon eller variabel. A er ikke lik én og større enn null. Det er ingen restriksjoner på b. Nå, av alle formlene, la oss huske en. B kan uttrykkes som følger.

Det følger av dette at alle originale ligninger med logaritmer kan representeres i formen:

Nå kan vi droppe logaritmene. Resultatet er en enkel design, som vi allerede har sett tidligere.

Det praktiske med denne formelen er at den kan brukes mest forskjellige saker, og ikke bare for de enkleste designene.

Ikke bekymre deg for OOF!

Mange erfarne matematikere vil merke at vi ikke har tatt hensyn til definisjonsdomenet. Regelen koker ned til at F(x) nødvendigvis er større enn 0. Nei, vi gikk ikke glipp av dette punktet. Nå snakker vi om en annen alvorlig fordel med den kanoniske formen.

Det blir ingen ekstra røtter her. Hvis en variabel bare vises på ett sted, er det ikke nødvendig med et omfang. Det gjøres automatisk. For å bekrefte denne dommen, prøv å løse flere enkle eksempler.

Hvordan løse logaritmiske ligninger med forskjellige baser

Dette er allerede komplekse logaritmiske ligninger, og tilnærmingen til å løse dem må være spesiell. Her er det sjelden mulig å begrense oss til den beryktede kanoniske formen. La oss starte vår detaljert historie. Vi har følgende konstruksjon.

Vær oppmerksom på brøken. Den inneholder logaritmen. Hvis du ser dette i en oppgave, er det verdt å huske et interessant triks.

Hva betyr det? Hver logaritme kan representeres som kvotienten av to logaritmer med en praktisk base. Og denne formelen har spesielt tilfelle, som er aktuelt med dette eksemplet (som betyr at c=b).

Dette er akkurat den brøkdelen vi ser i vårt eksempel. Dermed.

I hovedsak snudde vi brøken og fikk et mer praktisk uttrykk. Husk denne algoritmen!

Nå er det nødvendig at den logaritmiske ligningen ikke inneholder forskjellige baser. La oss representere grunntallet som en brøk.

I matematikk er det en regel basert på at du kan utlede en grad fra et grunnlag. Følgende konstruksjonsresultater.

Det ser ut til at det er det som hindrer oss i å gjøre uttrykket vårt til kanonisk form og bare løse det? Ikke så enkelt. Det skal ikke være brøker før logaritmen. La oss fikse denne situasjonen! Brøker tillates brukt som grader.

Henholdsvis.

Hvis basene er like, kan vi fjerne logaritmene og sette likhetstegn mellom uttrykkene selv. På denne måten vil situasjonen bli mye enklere enn den var. Vil forbli elementær ligning, som hver av oss visste hvordan vi skulle løse i 8. eller til og med 7. klasse. Du kan gjøre beregningene selv.

Vi har fått den eneste riktige roten av denne logaritmiske ligningen. Eksempler på å løse en logaritmisk ligning er ganske enkle, er de ikke? Nå vil du være i stand til å håndtere selv de vanskeligste problemene på egen hånd. komplekse oppgaver for å forberede og bestå Unified State-eksamenen.

Hva er resultatet?

Når det gjelder logaritmiske ligninger, starter vi fra en veldig viktig regel. Det er nødvendig å handle på en slik måte at uttrykket blir maksimalt enkel utsikt. I dette tilfellet vil du ha en bedre sjanse til ikke bare å løse oppgaven riktig, men også gjøre den på den enkleste og mest logiske måten. Det er akkurat slik matematikere alltid jobber.

Vi anbefaler på det sterkeste å ikke søke vanskelige stier, spesielt i dette tilfellet. Husk noen få enkle regler, som lar deg transformere ethvert uttrykk. Reduser for eksempel to eller tre logaritmer til samme grunntall eller utled en potens fra grunntall og vinn på dette.

Det er også verdt å huske at løsning av logaritmiske ligninger krever konstant øvelse. Gradvis vil du gå videre til mer og mer komplekse strukturer, og dette vil føre deg til å trygt løse alle varianter av problemer på Unified State Exam. Forbered deg i god tid til eksamen, og lykke til!

På denne leksjonen Vi vil gjenta de grunnleggende teoretiske fakta om logaritmer og vurdere å løse de enkleste logaritmiske ligningene.

La oss huske den sentrale definisjonen - definisjonen av en logaritme. Det har sammenheng med vedtaket eksponentiell ligning. Denne ligningen har en enkelt rot, den kalles logaritmen til b for å basere a:

Definisjon:

Logaritmen av b til base a er eksponenten som base a må heves til for å få b.

La oss minne deg på grunnleggende logaritmisk identitet.

Uttrykket (uttrykk 1) er roten til ligningen (uttrykk 2). Bytt ut verdien x fra uttrykk 1 i stedet for x med uttrykk 2 og få den logaritmiske hovedidentiteten:

Så vi ser at hver verdi er assosiert med en verdi. Vi betegner b med x(), c med y, og får dermed en logaritmisk funksjon:

For eksempel:

La oss huske grunnleggende egenskaper logaritmisk funksjon.

La oss være oppmerksomme nok en gang her, siden under logaritmen kan det være et strengt positivt uttrykk, som basis for logaritmen.

Ris. 1. Graf over en logaritmisk funksjon med forskjellige baser

Grafen til funksjonen ved vises i svart. Ris. 1. Hvis argumentet øker fra null til uendelig, øker funksjonen fra minus til pluss uendelig.

Grafen til funksjonen ved vises i rødt. Ris. 1.

Egenskaper for denne funksjonen:

Domene: ;

Verdiområde: ;

Funksjonen er monoton gjennom hele sitt definisjonsdomene. Når monotont (strengt) øker, høyere verdi argumentet tilsvarer den større verdien av funksjonen. Når monotont (strengt) avtar, tilsvarer en større verdi av argumentet en mindre verdi av funksjonen.

Egenskapene til den logaritmiske funksjonen er nøkkelen til å løse en rekke logaritmiske ligninger.

La oss vurdere den enkleste logaritmiske ligningen; alle andre logaritmiske ligninger er som regel redusert til denne formen.

Siden basene til logaritmene og selve logaritmene er like, er funksjonene under logaritmen også like, men vi må ikke gå glipp av definisjonsdomenet. Logaritmen kan bare stå positivt tall, vi har:

Vi fant ut at funksjonene f og g er like, så det er nok å velge en hvilken som helst ulikhet for å overholde ODZ.

Så vi fikk blandet system, der det er en ligning og ulikhet:

Som regel er det ikke nødvendig å løse en ulikhet; det er nok å løse ligningen og erstatte de funnet røttene i ulikheten, og dermed utføre en sjekk.

La oss formulere en metode for å løse de enkleste logaritmiske ligningene:

Utjevn basene til logaritmer;

Sett likhetstegn mellom sublogaritmiske funksjoner;

Utfør sjekk.

La oss se på spesifikke eksempler.

Eksempel 1 - løs ligningen:

Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den første logaritmen for å komponere ulikheten:

Eksempel 2 - løs ligningen:

Denne ligningen skiller seg fra den forrige ved at basene til logaritmene er mindre enn én, men dette påvirker ikke løsningen på noen måte:

La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:

Vi mottok en feil ulikhet, noe som betyr at den funnet roten ikke tilfredsstiller ODZ.

Eksempel 3 - løs ligningen:

Basene til logaritmene er i utgangspunktet like, vi har rett til å likestille sublogaritmiske uttrykk, ikke glem ODZ, vi velger den andre logaritmen for å komponere ulikheten:

La oss finne roten og erstatte den med ulikheten:

Det er klart at bare den første roten tilfredsstiller ODZ.

Forberedelse til den endelige testen i matematikk inkluderer en viktig del - "Logarithms". Oppgaver fra dette emnet er nødvendigvis inkludert i Unified State Examination. Erfaringer fra tidligere år viser at logaritmiske ligninger forårsaket vanskeligheter for mange skolebarn. Derfor må elever med forskjellig treningsnivå forstå hvordan de skal finne det riktige svaret og raskt takle dem.

Bestå sertifiseringstesten med hell ved å bruke Shkolkovo utdanningsportal!

Som forberedelse til det forente statlig eksamen videregående skolekandidater krever en pålitelig kilde som gir den mest komplette og eksakt informasjon Til vellykket løsning testoppgaver. En lærebok er imidlertid ikke alltid tilgjengelig, og det tar ofte tid å søke etter nødvendige regler og formler på Internett.

Shkolkovo utdanningsportal lar deg forberede deg til Unified State Exam hvor som helst og når som helst. Vår nettside tilbyr den mest praktiske tilnærmingen til å gjenta og assimilere en stor mengde informasjon om logaritmer, så vel som med en og flere ukjente. Start med enkle ligninger. Hvis du takler dem uten problemer, gå videre til mer komplekse. Hvis du har problemer med å løse en bestemt ulikhet, kan du legge den til i favorittene dine slik at du kan gå tilbake til den senere.

Finne nødvendige formler For å fullføre oppgaven kan du gjenta spesielle tilfeller og metoder for å beregne roten til en standard logaritmisk ligning ved å se på delen "Teoretisk hjelp". Shkolkovo-lærere samlet, systematiserte og skisserte alt nødvendig for vellykket gjennomføring materialer i den enkleste og mest forståelige formen.

For enkelt å takle oppgaver av enhver kompleksitet, på vår portal kan du gjøre deg kjent med løsningen av noen standard logaritmiske ligninger. For å gjøre dette, gå til delen "Kataloger". Vi presenterer et stort nummer av eksempler, inkludert ligninger profilnivå Unified State Examination i matematikk.

Elever fra skoler i hele Russland kan bruke portalen vår. For å starte klasser, bare registrere deg i systemet og begynne å løse ligninger. For å konsolidere resultatene anbefaler vi deg å gå tilbake til Shkolkovo-nettstedet daglig.

Bruksanvisning

Skriv ned det gitte logaritmisk uttrykk. Hvis uttrykket bruker logaritmen til 10, blir notasjonen forkortet og ser slik ut: lg b er desimal logaritme. Hvis logaritmen har tallet e som base, skriv uttrykket: ln b – naturlig logaritme. Det er forstått at resultatet av en hvilken som helst er potensen som grunntallet må heves til for å oppnå tallet b.

Når du skal finne summen av to funksjoner, trenger du bare å skille dem én etter én og legge til resultatene: (u+v)" = u"+v";

Når du finner den deriverte av produktet av to funksjoner, er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den første funksjonen med den andre og legge til den deriverte av den andre funksjonen multiplisert med den første funksjonen: (u*v)" = u"*v +v"*u;

For å finne den deriverte av kvotienten til to funksjoner, er det nødvendig å trekke fra produktet av den deriverte av utbyttet multiplisert med divisorfunksjonen produktet av den deriverte av divisoren multiplisert med funksjonen til utbyttet, og dividere alt dette med divisorfunksjonen i annen. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis gitt kompleks funksjon, da er det nødvendig å multiplisere den deriverte av den interne funksjonen og den deriverte av den eksterne. La y=u(v(x)), så y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved å bruke resultatene ovenfor, kan du skille nesten hvilken som helst funksjon. Så la oss se på noen eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Det er også problemer med å beregne den deriverte på et punkt. La funksjonen y=e^(x^2+6x+5) gis, du må finne verdien av funksjonen i punktet x=1.
1) Finn den deriverte av funksjonen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn verdien av funksjonen i gitt poeng y"(1)=8*e^0=8

Video om emnet

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare tid betydelig.

Kilder:

• derivert av en konstant

Så hva er forskjellen? ir rasjonell ligning fra det rasjonelle? Hvis den ukjente variabelen er under tegnet kvadratrot, da anses ligningen som irrasjonell.

Bruksanvisning

Hovedmetoden for å løse slike ligninger er metoden for å konstruere begge sider ligninger inn i en firkant. Derimot. dette er naturlig, det første du må gjøre er å bli kvitt skiltet. Denne metoden er ikke teknisk vanskelig, men noen ganger kan den føre til problemer. For eksempel er ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved å kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. Å løse en slik ligning er ikke vanskelig; x=1. Men tallet 1 vil ikke bli gitt ligninger. Hvorfor? Bytt inn en inn i ligningen i stedet for verdien av x. Og høyre og venstre side vil inneholde uttrykk som ikke gir mening, altså. Denne verdien er ikke gyldig for en kvadratrot. Derfor er 1 en fremmed rot, og derfor gitt ligning har ingen røtter.

Så en irrasjonell ligning løses ved å bruke metoden for å kvadrere begge sidene. Og etter å ha løst ligningen, er det nødvendig å kutte av fremmede røtter. For å gjøre dette, erstatte de funnet røttene i den opprinnelige ligningen.

Vurder en annen.
2х+vх-3=0
Selvfølgelig kan denne ligningen løses ved å bruke samme ligning som den forrige. Flytt forbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrot, til høyre og bruk deretter kvadraturmetoden. løse den resulterende rasjonelle ligningen og røttene. Men også en annen, mer elegant. Skriv inn en ny variabel; vх=y. Følgelig vil du motta en ligning på formen 2y2+y-3=0. Det vil si en vanlig andregradsligning. Finn røttene; y1=1 og y2=-3/2. Deretter løser du to ligninger vх=1; vх=-3/2. Den andre ligningen har ingen røtter; fra den første finner vi at x=1. Ikke glem å sjekke røttene.

Å løse identiteter er ganske enkelt. For å gjøre dette må du gjøre identitetstransformasjoner til målet er nådd. Altså ved hjelp av de enkleste aritmetiske operasjoner oppgaven vil bli løst.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn.

Bruksanvisning

Den enkleste av slike transformasjoner er algebraiske forkortede multiplikasjoner (som kvadratet av summen (differansen), forskjellen av kvadrater, sum (forskjellen), terningen av summen (forskjellen)). I tillegg er det mange og trigonometriske formler, som i hovedsak er de samme identitetene.

Faktisk er kvadratet av summen av to ledd lik kvadratet av det første pluss dobbelt produkt den første til den andre og pluss kvadratet av den andre, det vil si (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+ 2ab+b^2 .

Forenkle begge deler

Generelle prinsipper for løsningen

Gjenta i henhold til læreboken matematisk analyse eller høyere matematikk, hva en bestemt integral er. Som kjent er løsningen bestemt integral det er en funksjon hvis deriverte gir en integrand. Denne funksjonen kalles et antiderivat. Basert på dette prinsippet er hovedintegralene konstruert.
Bestem ved formen til integranden hvilken av tabellintegralene som passer inn i dette tilfellet. Det er ikke alltid mulig å fastslå dette umiddelbart. Ofte blir tabellformen merkbar først etter flere transformasjoner for å forenkle integranden.

Variabel erstatningsmetode

Hvis integrand-funksjonen er trigonometrisk funksjon, hvis argument inneholder et eller annet polynom, prøv deretter å bruke variabelerstatningsmetoden. For å gjøre dette, bytt ut polynomet i argumentet til integranden med en ny variabel. Basert på forholdet mellom de nye og gamle variablene, bestemme de nye grensene for integrasjon. Ved å differensiere dette uttrykket, finn den nye differensialen i . Så du får den nye typen av det forrige integralet, nær eller til og med tilsvarende en hvilken som helst tabell.

Løse integraler av den andre typen

Hvis integralet er et integral av den andre typen, en vektorform av integraden, må du bruke reglene for overgangen fra disse integralene til skalære. En slik regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne loven lar deg flytte fra rotorstrømmen til noen vektor funksjon til trippelintegralet over divergensen til et gitt vektorfelt.

Substitusjon av integrasjonsgrenser

Etter å ha funnet antiderivatet, er det nødvendig å erstatte grensene for integrasjon. Bytt først ut verdien øvre grense til et uttrykk for antiderivatet. Du vil få et nummer. Deretter trekker du fra det resulterende tallet et annet tall hentet fra den nedre grensen til antideriverten. Hvis en av grensene for integrasjon er uendelig, så når du erstatter den med antiderivative funksjon det er nødvendig å gå til grensen og finne hva uttrykket streber etter.
Hvis integralet er todimensjonalt eller tredimensjonalt, må du representere grensene for integrasjon geometrisk for å forstå hvordan du skal evaluere integralet. Faktisk, i tilfelle av for eksempel et tredimensjonalt integral, kan grensene for integrasjon være hele plan som begrenser volumet som integreres.