Hvordan finne den inverse determinanten. invers matrise

Finne den inverse matrisen.

I denne artikkelen vil vi ta for oss konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og måter å finne den på. La oss dvele i detalj ved å løse eksempler der det er nødvendig å konstruere en invers matrise for en gitt.

Sidenavigering.

Invers matrise - definisjon.

Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise med algebraiske addisjoner.

Egenskaper til den inverse matrisen.

Finne den inverse matrisen ved Gauss-Jordan-metoden.

Finne elementer i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.

Invers matrise - definisjon.

Konseptet med en invers matrise introduseres bare for kvadratiske matriser hvis determinant er forskjellig fra null, det vil si for ikke-singulære kvadratiske matriser.

Definisjon.

Matrisekalles det inverse av matrisen, hvis determinant er forskjellig fra null, hvis likheter er sanne , Hvor E er ordenens identitetsmatrise n på n.

Finne den inverse matrisen ved å bruke en matrise med algebraiske addisjoner.

Hvordan finne den inverse matrisen for en gitt en?

Først trenger vi konseptene transponert matrise, matrise-moll og det algebraiske komplementet til matriseelementet.

Definisjon.

Litenk-th rekkefølge matriser EN rekkefølge m på n er determinanten for rekkefølgematrisen k på k, som er hentet fra elementene i matrisen EN ligger i den valgte k linjer og k kolonner. ( k ikke overstiger det minste antallet m eller n).

Liten (n-1)th rekkefølge, som består av elementene i alle rader, unntatt i-th, og alle kolonner unntatt j-th, kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n la oss betegne det som .

Med andre ord er minor hentet fra kvadratmatrisen EN rekkefølge n på n krysse ut elementer i-th linjer og j-th kolonne.

For eksempel, la oss skrive, mindre 2 rekkefølge, som er hentet fra matrisen utvalg av elementer i dens andre, tredje rad og første, tredje kolonne . Vi viser også minor, som er hentet fra matrisen sletter den andre raden og den tredje kolonnen . La oss illustrere konstruksjonen av disse mindreårige: og .

Definisjon.

Algebraisk tillegg element i en kvadratisk matrise kalles minor (n-1)th rekkefølge, som er hentet fra matrisen EN, sletter elementer av dens i-th linjer og j-th kolonne multiplisert med .

Det algebraiske komplementet til et element er betegnet som . Dermed, .

For eksempel for en matrise det algebraiske komplementet til elementet er .

For det andre vil vi trenge to egenskaper til determinanten, som vi diskuterte i avsnittet matrisedeterminantberegning:

Basert på disse egenskapene til determinanten, definisjonene operasjoner for å multiplisere en matrise med et tall og konseptet med en invers matrise, har vi likheten , hvor er en transponert matrise hvis elementer er algebraiske komplementer .

Matrise er faktisk den inverse av matrisen EN, siden likhetene . La oss vise det

La oss komponere invers matrisealgoritme ved å bruke likestilling .

La oss analysere algoritmen for å finne den inverse matrisen ved å bruke et eksempel.

Eksempel.

Gitt en matrise . Finn den inverse matrisen.

Løsning.

Regn ut matrisedeterminanten EN, utvide den med elementene i den tredje kolonnen:

Determinanten er ikke-null, så matrisen EN reversible.

La oss finne en matrise fra algebraiske tillegg:

Derfor

La oss utføre transposisjonen av matrisen fra algebraiske tillegg:

Nå finner vi den inverse matrisen som :

La oss sjekke resultatet:

Likestilling blir utført, derfor blir den inverse matrisen funnet riktig.

Egenskaper til den inverse matrisen.

Begrepet invers matrise, likhet , definisjonene av operasjoner på matriser, og egenskapene til determinanten til en matrise gjør det mulig å underbygge følgende inverse matriseegenskaper:

Finne elementer i den inverse matrisen ved å løse de tilsvarende systemene med lineære algebraiske ligninger.

Tenk på en annen måte å finne den inverse matrisen for en kvadratisk matrise EN rekkefølge n på n.

Denne metoden er basert på løsningen n systemer av lineære inhomogene algebraiske ligninger med n ukjent. De ukjente variablene i disse ligningssystemene er elementene i den inverse matrisen.

Ideen er veldig enkel. Angi den inverse matrisen som X, det er, . Siden per definisjon av den inverse matrisen , da

Å likestille de tilsvarende elementene med kolonner, får vi n systemer av lineære ligninger

Vi løser dem på hvilken som helst måte og danner en invers matrise fra de funnet verdiene.

La oss analysere denne metoden med et eksempel.

Eksempel.

Gitt en matrise . Finn den inverse matrisen.

Løsning.

Aksepterer . Likhet gir oss tre systemer med lineære ikke-homogene algebraiske ligninger:

Vi vil ikke beskrive løsningen til disse systemene; se avsnittet om nødvendig løsning av systemer med lineære algebraiske ligninger.

Fra det første likningssystemet har vi , fra det andre - , fra det tredje - . Derfor har den ønskede inverse matrisen formen . Vi anbefaler å sjekke for å sikre at resultatet er riktig.

Oppsummer.

Vi vurderte konseptet med en invers matrise, dens egenskaper og tre metoder for å finne den.

Eksempel på invers matriseløsninger

Øvelse 1. Løs SLAE ved å bruke den inverse matrisemetoden. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Skjemastart

Slutt på skjema

Løsning. La oss skrive matrisen på formen: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Major determinant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor for (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor for (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor for (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Minor determinant ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponert matrise Algebraiske komplementer ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Invers matrise Resultatvektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

se også SLAE-løsninger ved invers matrisemetoden på nett. For å gjøre dette, skriv inn dataene dine og få en avgjørelse med detaljerte kommentarer.

Oppgave 2. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs det ved å bruke den inverse matrisen. Sjekk den oppnådde løsningen. Løsning:xml:xls

Eksempel 2. Skriv ligningssystemet i matriseform og løs ved hjelp av den inverse matrisen. Løsning:xml:xls

Eksempel. Et system med tre lineære ligninger med tre ukjente er gitt. Påkrevd: 1) finn løsningen ved hjelp av Cramers formler; 2) skriv systemet på matriseform og løs det ved hjelp av matriseregning. Retningslinjer. Etter å ha løst ved Cramers metode, finn knappen "Invers matriseløsning for innledende data". Du vil motta en passende avgjørelse. Dermed vil ikke dataene måtte fylles ut på nytt. Løsning. Angi med A - matrisen av koeffisienter for ukjente; X - kolonnematrise av ukjente; B - matrise-kolonne med gratis medlemmer:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Gitt disse notasjonene, har dette ligningssystemet følgende matriseform: А*Х = B. Hvis matrisen А er ikke-singular (dens determinant er ikke-null, så har den en invers matrise А -1. Multipliserer begge sider av ligningen med A -1, får vi: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Denne likheten kalles matrisenotasjon av løsningen av systemet med lineære ligninger. For å finne en løsning på ligningssystemet er det nødvendig å beregne den inverse matrisen A -1 . Systemet vil ha en løsning hvis determinanten til matrisen A ikke er null. La oss finne hoveddeterminanten. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Så determinanten er 14 ≠ 0, så vi fortsetter løsningen. For å gjøre dette finner vi den inverse matrisen gjennom algebraiske addisjoner. La oss ha en ikke-singular matrise A:

Vi beregner algebraiske addisjoner.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Undersøkelse. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 dok:xml:xls Svar: -1,1,2.

La det være en kvadratisk matrise av n-te orden

Matrise A -1 kalles invers matrise med hensyn til matrisen A, hvis A * A -1 = E, hvor E er identitetsmatrisen av n-te orden.

Identitetsmatrise- en slik firkantet matrise, der alle elementer langs hoveddiagonalen, som går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre hjørne, er enere, og resten er null, for eksempel:

invers matrise kan eksistere bare for kvadratiske matriser de. for de matrisene som har samme antall rader og kolonner.

Invers matrise-eksistensbetingelse teorem

For at en matrise skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at den er ikke-degenerert.

Matrisen A = (A1, A2,...A n) kalles ikke-degenerert hvis kolonnevektorene er lineært uavhengige. Antallet lineært uavhengige kolonnevektorer i en matrise kalles rangeringen av matrisen. Derfor kan vi si at for at en invers matrise skal eksistere, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen er lik dens dimensjon, dvs. r = n.

Algoritme for å finne den inverse matrisen

Skriv matrisen A i tabellen for å løse ligningssystemer ved Gauss-metoden og til høyre (i stedet for de høyre delene av ligningene) tilordne matrise E til den.
Bruk Jordan-transformasjoner, bring matrise A til en matrise som består av enkeltkolonner; i dette tilfellet er det nødvendig å transformere matrisen E samtidig.
Om nødvendig, omorganiser radene (ligningene) i den siste tabellen slik at identitetsmatrisen E oppnås under matrisen A til den opprinnelige tabellen.
Skriv den inverse matrisen A -1, som er i den siste tabellen under matrisen E til den opprinnelige tabellen.

Eksempel 1

For matrise A, finn den inverse matrisen A -1

Løsning: Vi skriver ned matrisen A og til høyre tildeler vi identitetsmatrisen E. Ved hjelp av Jordan-transformasjonene reduserer vi matrisen A til identitetsmatrisen E. Beregningene er vist i Tabell 31.1.

La oss sjekke riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen A og den inverse matrisen A -1.

Som et resultat av matrisemultiplikasjon oppnås identitetsmatrisen. Derfor er beregningene riktige.

Svar:

Løsning av matriseligninger

Matriseligninger kan se slik ut:

AX = B, XA = B, AXB = C,

hvor A, B, C er gitt matriser, er X den ønskede matrisen.

Matriseligninger løses ved å multiplisere ligningen med inverse matriser.

For å finne matrisen fra en ligning, må du for eksempel gange denne ligningen med til venstre.

Derfor, for å finne en løsning på ligningen, må du finne den inverse matrisen og multiplisere den med matrisen på høyre side av ligningen.

Andre ligninger løses på samme måte.

Eksempel 2

Løs ligningen AX = B if

Løsning: Siden inversen av matrisen er lik (se eksempel 1)

Matrisemetode i økonomisk analyse

Sammen med andre finner de også anvendelse matrisemetoder. Disse metodene er basert på lineær og vektormatrisealgebra. Slike metoder brukes med det formål å analysere komplekse og flerdimensjonale økonomiske fenomener. Oftest brukes disse metodene når det er nødvendig å sammenligne funksjonen til organisasjoner og deres strukturelle inndelinger.

I prosessen med å anvende matriseanalysemetoder kan flere stadier skilles.

På det første stadiet dannelsen av et system med økonomiske indikatorer utføres og på grunnlag av det kompileres en matrise med innledende data, som er en tabell der systemnumre vises i de individuelle linjene. (i = 1,2,....,n), og langs de vertikale grafene - antall indikatorer (j = 1,2,...,m).

På andre trinn for hver vertikal kolonne avsløres den største av de tilgjengelige verdiene av indikatorene, som tas som en enhet.

Etter det deles alle beløpene som reflekteres i denne kolonnen med den største verdien og en matrise med standardiserte koeffisienter dannes.

På tredje trinn alle komponentene i matrisen er kvadratisk. Hvis de har forskjellig betydning, er hver indikator på matrisen tildelt en viss vektingskoeffisient k. Verdien av sistnevnte bestemmes av en ekspert.

På den siste fjerde trinn funnet verdier av rangeringer Rj gruppert i rekkefølge økende eller avtagende.

Ovennevnte matrisemetoder bør brukes, for eksempel i en komparativ analyse av ulike investeringsprosjekter, samt i vurdering av andre økonomiske resultatindikatorer for organisasjoner.

Matrisen $A^(-1)$ kalles den inverse av kvadratmatrisen $A$ hvis $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, hvor $E $ er identitetsmatrisen, hvis rekkefølge er lik rekkefølgen til matrisen $A$.

En ikke-singular matrise er en matrise hvis determinant ikke er lik null. Følgelig er en degenerert matrise en hvis determinant er lik null.

Den inverse matrisen $A^(-1)$ eksisterer hvis og bare hvis matrisen $A$ er ikke-singular. Hvis den inverse matrisen $A^(-1)$ eksisterer, er den unik.

Det er flere måter å finne inversen til en matrise på, og vi skal se på to av dem. Denne siden vil diskutere adjoint matrise-metoden, som regnes som standard i de fleste høyere matematikkkurs. Den andre måten å finne den inverse matrisen (metoden for elementære transformasjoner), som innebærer bruk av Gauss-metoden eller Gauss-Jordan-metoden, vurderes i den andre delen.

Adjoint (union) matrisemetode

La matrisen $A_(n\ ganger n)$ gis. For å finne den inverse matrisen $A^(-1)$, kreves det tre trinn:

Finn determinanten til matrisen $A$ og sørg for at $\Delta A\neq 0$, dvs. at matrisen A er ikke degenerert.
Komponer algebraiske komplementer $A_(ij)$ av hvert element i matrisen $A$ og skriv ned matrisen $A_(n\ ganger n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ fra det funnet algebraiske komplementer.
Skriv den inverse matrisen ved å ta hensyn til formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrisen $(A^(*))^T$ blir ofte referert til som den tilstøtende (gjensidige, allierte) matrisen til $A$.

Hvis avgjørelsen tas manuelt, er den første metoden god bare for matriser med relativt små bestillinger: andre (), tredje (), fjerde (). For å finne den inverse matrisen for en høyere ordens matrise, brukes andre metoder. For eksempel Gauss-metoden, som diskuteres i andre del.

Eksempel #1

Finn matrise invers til matrise $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Siden alle elementene i den fjerde kolonnen er lik null, er $\Delta A=0$ (dvs. matrisen $A$ er degenerert). Siden $\Delta A=0$, er det ingen matrise invers til $A$.

Eksempel #2

Finn matrisen invers til matrisen $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Vi bruker adjoint matrise-metoden. La oss først finne determinanten til den gitte matrisen $A$:

$$ \Delta A=\venstre| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Siden $\Delta A \neq 0$ eksisterer den inverse matrisen, så vi fortsetter løsningen. Finne algebraiske komplementer

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(justert)

Komponer en matrise av algebraiske komplementer: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponer den resulterende matrisen: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (den resulterende matrisen kalles ofte adjoint- eller unionsmatrisen til matrisen $A$). Ved å bruke formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, har vi:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Så den inverse matrisen er funnet: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \right) $. For å sjekke sannheten til resultatet er det nok å sjekke sannheten til en av likhetene: $A^(-1)\cdot A=E$ eller $A\cdot A^(-1)=E$. La oss sjekke likheten $A^(-1)\cdot A=E$. For å jobbe mindre med brøker, vil vi erstatte matrisen $A^(-1)$ ikke i formen $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ men som $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array)\right)$:

Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Eksempel #3

Finn inversen til matrisen $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

La oss starte med å beregne determinanten til matrisen $A$. Så determinanten for matrisen $A$ er:

$$ \Delta A=\venstre| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Siden $\Delta A\neq 0$ eksisterer den inverse matrisen, så vi fortsetter løsningen. Vi finner de algebraiske komplementene til hvert element i den gitte matrisen:

Vi komponerer en matrise med algebraiske tillegg og transponerer den:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Ved å bruke formelen $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, får vi:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Så $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. For å sjekke sannheten til resultatet er det nok å sjekke sannheten til en av likhetene: $A^(-1)\cdot A=E$ eller $A\cdot A^(-1)=E$. La oss sjekke likheten $A\cdot A^(-1)=E$. For å jobbe mindre med brøker, vil vi erstatte matrisen $A^(-1)$ ikke i formen $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, men som $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Kontrollen ble bestått, den inverse matrisen $A^(-1)$ ble funnet riktig.

Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Eksempel #4

Finn matriseinvers av $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

For en matrise av fjerde orden er det noe vanskelig å finne den inverse matrisen ved å bruke algebraiske addisjoner. Slike eksempler finnes imidlertid i kontrollarbeidene.

For å finne den inverse matrisen må du først beregne determinanten til matrisen $A$. Den beste måten å gjøre dette på i denne situasjonen er å utvide determinanten i en rad (kolonne). Vi velger en hvilken som helst rad eller kolonne og finner det algebraiske komplementet til hvert element i den valgte raden eller kolonnen.

Metoder for å finne den inverse matrisen, . Tenk på en kvadratisk matrise

Angi Δ = det A.

Kvadratmatrisen A kalles ikke-degenerert, eller ikke-spesiell hvis determinanten er ikke-null, og degenerert, eller spesiell, HvisΔ = 0.

En kvadratisk matrise B eksisterer for en kvadratisk matrise A av samme rekkefølge hvis produktet deres A B = B A = E, der E er identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisene A og B.

Teorem . For at matrisen A skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant ikke er null.

Invers matrise til matrise A, betegnet med A- 1 så B = A - 1 og beregnes med formelen

, (1)

hvor А i j - algebraiske komplementer av elementer a i j av matrise A..

Å beregne A -1 ved formel (1) for matriser av høy orden er svært arbeidskrevende, så i praksis er det praktisk å finne A -1 ved å bruke metoden for elementære transformasjoner (EP). Enhver ikke-singular matrise A kan reduseres med EP av bare kolonner (eller bare rader) til identitetsmatrisen E. Hvis EP-ene utført på matrisen A brukes i samme rekkefølge på identitetsmatrisen E, blir resultatet en invers matrise. Det er praktisk å utføre en EP på matrisene A og E samtidig, og skrive begge matrisene side om side gjennom linjen. Vi bemerker nok en gang at når man søker etter den kanoniske formen til en matrise, for å finne den, kan man bruke transformasjoner av rader og kolonner. Hvis du trenger å finne den inverse matrisen, bør du bare bruke rader eller bare kolonner i transformasjonsprosessen.

Eksempel 2.10. For matrise finn A -1.

Løsning.Vi finner først determinanten til matrisen A
så den inverse matrisen eksisterer, og vi kan finne den ved formelen: , hvor A i j (i,j=1,2,3) - algebraiske komplementer av elementene a i j av den opprinnelige matrisen.

Hvor .

Eksempel 2.11. Bruk metoden for elementære transformasjoner, finn A -1 for matrisen: A=.

Løsning.Vi tildeler en identitetsmatrise av samme rekkefølge til den opprinnelige matrisen til høyre: . Ved hjelp av elementære kolonnetransformasjoner reduserer vi venstre "halvdel" til identiteten, og utfører samtidig nøyaktig slike transformasjoner på høyre matrise.
For å gjøre dette, bytt den første og andre kolonnen: ~ . Vi legger den første til den tredje kolonnen, og den første multiplisert med -2 til den andre: . Fra den første kolonnen trekker vi den doble andre, og fra den tredje - den andre multiplisert med 6; . La oss legge til den tredje kolonnen til den første og andre: . Multipliser den siste kolonnen med -1: . Den kvadratiske matrisen til høyre for den vertikale stolpen er den inverse matrisen til den gitte matrisen A. Så,
.

I den første delen ble en metode for å finne den inverse matrisen ved hjelp av algebraiske addisjoner vurdert. Her beskriver vi en annen metode for å finne inverse matriser: ved å bruke Gauss- og Gauss-Jordan-transformasjonene. Ofte kalles denne metoden for å finne den inverse matrisen metoden for elementære transformasjoner.

Metode for elementære transformasjoner

For å anvende denne metoden skrives den gitte matrisen $A$ og identitetsmatrisen $E$ inn i én matrise, dvs. danner en matrise av formen $(A|E)$ (denne matrisen kalles også den utvidede matrisen). Etter det, ved hjelp av elementære transformasjoner utført med radene i den utvidede matrisen, blir matrisen til venstre for linjen enhet, og den utvidede matrisen har formen $\left(E| A^(-1) \right )$. Elementære transformasjoner i denne situasjonen inkluderer følgende handlinger:

Bytter ut to linjer.
Multiplisere alle elementene i en streng med et tall som ikke er null.
Legge til elementene i en rad de tilsvarende elementene i en annen rad, multiplisert med en hvilken som helst faktor.

Disse elementære transformasjonene kan brukes på forskjellige måter. Vanligvis velges Gauss-metoden eller Gauss-Jordan-metoden. Generelt er Gauss- og Gauss-Jordan-metodene ment for å løse systemer med lineære algebraiske ligninger, og ikke for å finne inverse matriser. Uttrykket "å bruke Gauss-metoden for å finne den inverse av en matrise" skal her forstås som "å bruke operasjonene som ligger i Gauss-metoden for å finne inversen til en matrise."

Nummereringen av eksempler fortsatte fra første del. I eksemplene vurderes bruken av Gauss-metoden for å finne den inverse matrisen, og i eksemplene er bruken av Gauss-Jordan-metoden analysert. Det skal bemerkes at hvis under løsningen alle elementene i en rad eller kolonne i matrisen som ligger før linjen er satt til null, eksisterer ikke den inverse matrisen.

Eksempel #5

Finn matrise $A^(-1)$ hvis $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\høyre)$.

I dette eksemplet vil den inverse matrisen bli funnet ved bruk av Gauss-metoden. Den utvidede matrisen, som vanligvis er $(A|E)$, har i dette eksemplet følgende form: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Formål: ved å bruke elementære transformasjoner, bringe den utvidede matrisen til formen $\left(E|A^(-1) \right)$. Vi bruker de samme operasjonene som brukes til å løse systemer med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden. For å bruke Gauss-metoden er det praktisk når det første elementet i den første raden i den utvidede matrisen er en. For å oppnå dette bytter vi den første og tredje raden i den utvidede matrisen, som blir: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

La oss nå komme til løsningen. Gauss-metoden er delt inn i to stadier: fremover og bakover (en detaljert beskrivelse av denne metoden for å løse ligningssystemer er gitt i eksemplene på det tilsvarende emnet). De samme to trinnene vil bli brukt i prosessen med å finne den inverse matrisen.

slag fremover

Første skritt

Ved hjelp av den første raden tilbakestiller vi elementene i den første kolonnen som ligger under den første raden:

La meg kommentere litt på hva jeg gjorde. Notasjonen $II-2\cdot I$ betyr at de tilsvarende elementene i den første raden, tidligere multiplisert med to, er trukket fra elementene i den andre raden. Denne handlingen kan skrives separat som følger:

Handlingen $III-7\cdot I$ utføres på nøyaktig samme måte. Hvis det er vanskeligheter med å utføre disse operasjonene, kan de utføres separat (på samme måte som $II-2\cdot I$-handlingen vist ovenfor), og resultatet legges deretter inn i den utvidede matrisen.

Andre trinn

Ved hjelp av den andre linjen tilbakestiller vi elementet i den andre kolonnen, som ligger under den andre linjen:

Del den tredje linjen med 5:

Rettløpet er over. Alle elementer plassert under hoveddiagonalen til matrisen opp til linjen ble tilbakestilt til null.

Omvendt

Første skritt

Ved hjelp av den tredje raden tilbakestiller vi elementene i den tredje kolonnen som ligger over den tredje raden:

Før du går videre til neste trinn, del den andre linjen med $7$:

Andre trinn

Ved hjelp av den andre linjen tilbakestiller vi elementene i den andre kolonnen som ligger over den andre linjen:

Transformasjonene er fullført, den inverse matrisen er funnet ved Gauss-metoden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Kontroll, om nødvendig, kan gjøres på samme måte som i de foregående eksemplene. Hvis du hopper over alle forklaringene, vil løsningen ha formen:

Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 og -27/5 \end(array) \right)$.

Eksempel #6

Finn matrise $A^(-1)$ hvis $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.

For å finne den inverse matrisen i dette eksemplet, vil vi bruke de samme operasjonene som brukes til å løse systemer med lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden. Det er gitt detaljerte forklaringer, men her begrenser vi oss til korte kommentarer. La oss skrive den utvidede matrisen: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Bytt første og fjerde rad i denne matrisen: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

slag fremover

Foroverløpstransformasjoner er fullført. Alle elementer som ligger under hoveddiagonalen til matrisen til venstre for linjen er satt til null.

Omvendt

Gaussisk invers funnet, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( array)\right)$. Kontroll, om nødvendig, utføres på samme måte som i eksempel nr. 2 og nr. 3.

Svar: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ høyre)$.

Eksempel #7

Finn matrise $A^(-1)$ hvis $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\right)$.

For å finne den inverse matrisen bruker vi operasjonene som er karakteristiske for Gauss-Jordan-metoden. Forskjellen fra den Gaussiske metoden, vurdert i de foregående eksemplene og , er at løsningen utføres i ett trinn. La meg minne deg på at Gauss-metoden er delt inn i 2 stadier: forovertrekket ("vi lager" nuller under hoveddiagonalen til matrisen til søylen) og det motsatte trekket (vi tilbakestiller elementene over hoveddiagonalen til matrisen til baren). For å beregne den inverse matrisen ved Gauss-Jordan-metoden, er det ikke nødvendig med to trinn i løsningen. La oss først lage en utvidet matrise: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Første skritt

Sett alle elementene i den første kolonnen til null bortsett fra ett. I den første kolonnen er alle elementer ikke-null, så vi kan velge hvilket som helst element. Ta for eksempel $(-4)$:

Det valgte elementet $(-4)$ er i den tredje raden, så vi bruker den tredje raden til å nullstille de valgte elementene i den første kolonnen:

La oss gjøre det første elementet i den tredje raden lik én. For å gjøre dette deler vi elementene i den tredje raden i den utvidede matrisen med $(-4)$:

La oss nå begynne å nullstille de tilsvarende elementene i den første kolonnen:

I videre trinn vil det ikke lenger være mulig å bruke den tredje linjen, fordi vi allerede har brukt den i første trinn.

Andre trinn

La oss velge et element som ikke er null i den andre kolonnen og sette alle andre elementer i den andre kolonnen til null. Vi kan velge ett av to elementer: $\frac(11)(2)$ eller $\frac(39)(4)$. Elementet $\left(-\frac(5)(4) \right)$ kan ikke velges fordi det er plassert i den tredje linjen, som vi brukte i forrige trinn. La oss velge elementet $\frac(11)(2)$, som er på den første linjen. La oss endre $\frac(11)(2)$ til en på den første linjen:

La oss nå sette de tilsvarende elementene i den andre kolonnen til null:

I videre resonnement kan den første linjen ikke brukes.

Tredje trinn

Det er nødvendig å tilbakestille alle elementene i den tredje kolonnen bortsett fra én. Vi må velge et element som ikke er null i den tredje kolonnen. Vi kan imidlertid ikke ta $\frac(6)(11)$ eller $\frac(13)(11)$ fordi disse elementene er på den første og tredje linjen vi brukte tidligere. Valget er lite: bare elementet $\frac(2)(11)$ gjenstår, som er i den andre linjen. Del alle elementene i den andre linjen med $\frac(2)(11)$:

La oss nå sette de tilsvarende elementene i den tredje kolonnen til null:

Transformasjoner etter Gauss-Jordan-metoden er fullført. Det gjenstår bare å få matrisen opp til linjen til å bli enhet. For å gjøre dette, må du endre rekkefølgen på linjene. Bytt først den første og tredje linjen:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$

La oss nå bytte den andre og tredje linjen:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$

Så $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Naturligvis kan løsningen utføres på en annen måte, ved å velge elementene på hoveddiagonalen. Vanligvis er dette akkurat det de gjør, fordi i dette tilfellet, på slutten av løsningen, trenger ikke linjene å byttes. Jeg ga den forrige løsningen for bare ett formål: å vise at valget av en rad på hvert trinn ikke er grunnleggende. Velger vi diagonale elementer på hvert trinn, så blir løsningen som følger.