Hvordan definere en lineær ligning. Generell form for doble ulikheter

Ligningssystemer er mye brukt i økonomisk industri på matematisk modellering ulike prosesser. For eksempel, når du løser problemer med ledelse og produksjonsplanlegging, logistikkruter ( transportoppgave) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare innen matematikk, men også innen fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelsen.

system lineære ligninger Nevn to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.

Lineær ligning

Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente, hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens friledd.
Å løse ligningen ved å plotte grafen vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsningen av polynomet.

Typer av systemer av lineære ligninger

De enkleste er eksempler på systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs et ligningssystem - det betyr å finne slike verdier (x, y) som systemet blir en ekte likhet for, eller å fastslå at det ikke finnes passende verdier for x og y.

Et verdipar (x, y), skrevet som punktkoordinater, kalles en løsning på et system med lineære ligninger.

Hvis systemene har én felles løsning eller det ikke finnes noen løsning, kalles de likeverdige.

Homogene systemer med lineære ligninger er systemer hvis høyre side er lik null. Hvis den høyre delen etter "lik"-tegnet har en verdi eller er uttrykt av en funksjon, er ikke et slikt system homogent.

Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre variabler eller flere.

Overfor systemer antar skolebarn at antall ligninger nødvendigvis må falle sammen med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet er ikke avhengig av variablene, det kan være et vilkårlig stort antall av dem.

Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer

Det er ingen generell analytisk måte å løse lignende systemer, alle metoder er basert på numeriske løsninger. PÅ skolekurs matematikk, slike metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt grafiske og matrisemetoden, løsning etter Gauss-metoden.

Hovedoppgaven i undervisningsmetoder for løsning er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner optimal algoritme løsninger for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode.

Løse eksempler på systemer av lineære ligninger av 7. klasse av programmet ungdomsskolen ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok om matematikk er denne delen viet nok oppmerksomhet. Løsningen av eksempler på systemer med lineære ligninger ved metoden til Gauss og Cramer studeres mer detaljert i de første kursene til høyere utdanningsinstitusjoner.

Løsning av systemer ved substitusjonsmetoden

Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel gjennom den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en enkelt variabelform. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

La oss gi et eksempel på et system med lineære ligninger av 7. klasse ved substitusjonsmetoden:

Som man kan se fra eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen av systemet i stedet for X, bidro til å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Beslutning dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få Y-verdien. Det siste trinnet er å sjekke de mottatte verdiene.

Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og uttrykket av variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er også substitusjonsløsningen upraktisk.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:

Løsning med algebraisk addisjon

Når du søker etter en løsning på systemer ved addisjonsmetoden, ledd-for-ledd addisjon og multiplikasjon av ligninger med ulike tall. Det endelige målet for matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.

For applikasjoner denne metoden det krever øvelse og observasjon. Det er ikke lett å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden med antall variabler 3 eller flere. Algebraisk addisjon er nyttig når ligningene inneholder brøker og desimaltall.

Løsningshandlingsalgoritme:

1. Multipliser begge sider av ligningen med et tall. Som et resultat aritmetisk operasjon en av koeffisientene til variabelen må bli lik 1.
2. Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
3. Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan introduseres hvis systemet trenger å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger, antall ukjente bør heller ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses med hensyn til den angitte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Eksemplet viser at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til standarden kvadratisk trinomium. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten ved velkjent formel: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er multiplikatorene til polynomet. PÅ gitt eksempel a=1, b=16, c=39, derav D=100. Hvis diskriminanten Over null, så er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, så er det bare én løsning: x= -b / 2*a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved addisjonsmetoden.

En visuell metode for å løse systemer

Egnet for systemer med 3 ligninger. Metoden er å bygge på koordinataksen grafer for hver ligning som er inkludert i systemet. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene og vil være felles løsning systemer.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. Tenk på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som det fremgår av eksemplet, ble to punkter konstruert for hver linje, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.

Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.

Følgende eksempel må finne grafisk løsning systemer av lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.

Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.

Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert, blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om systemet har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å bygge en graf.

Matrix og dens varianter

Matriser brukes til forkortelse systemer av lineære ligninger. En tabell kalles en matrise. spesiell type fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.

En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er likt. En matrise - en vektor er en matrise av en kolonne med uendelig mulig antall linjer. En matrise med enheter langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.

En invers matrise er en slik matrise, når multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhet én, eksisterer en slik matrise bare for den opprinnelige kvadratiske.

Regler for å transformere et ligningssystem til en matrise

Når det gjelder ligningssystemer, er koeffisientene og frie medlemmer av ligningene skrevet som tall på matrisen, én ligning er én rad i matrisen.

En matriserad kalles ikke-null hvis minst ett element i raden ikke er lik null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.

Kolonnene i matrisen må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.

Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle matriseelementer suksessivt med et tall.

Alternativer for å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 - invers matrise, og |K| - matrisedeterminant. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.

Determinanten beregnes enkelt for en to-og-to-matrise, det er bare nødvendig å multiplisere elementene diagonalt med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at kolonne- og radnummerene til elementene ikke gjentar seg i produktet.

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger ved matrisemetoden

Matrisemetoden for å finne en løsning gjør det mulig å redusere tungvinte notasjoner ved løsning av systemer med stor kvantitet variabler og ligninger.

I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variablene, og b n er de frie leddene.

Løsning av systemer etter Gauss-metoden

PÅ høyere matematikk Gauss-metoden studeres sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne en løsning på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes til å finne variablene til systemer med et stort antall lineære ligninger.

Gauss-metoden er veldig lik løsninger som bruker substitusjoner og algebraisk tillegg men mer systematisk. I skolekurset brukes Gauss-løsningen for systemer med 3 og 4 likninger. Hensikten med metoden er å bringe systemet til form av en omvendt trapes. vei algebraiske transformasjoner og substitusjoner er verdien av én variabel i en av systemets ligninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, og 3 og 4 - med henholdsvis 3 og 4 variabler.

Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skolebøkene for 7. klasse er et eksempel på en gaussisk løsning beskrevet som følger:

Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Løsningen av en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.

Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.

Gauss-metoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måtene å utvikle oppfinnsomheten til barn som er påmeldt programmet fordypning i matte- og fysikktimene.

For å gjøre det enklere å registrere beregninger, er det vanlig å gjøre følgende:

Ligningskoeffisienter og friledd skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side av ligningen fra høyre side. Romertall angir antall ligninger i systemet.

Først skriver de ned matrisen som de skal jobbe med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen skrives etter "pil"-tegnet og fortsett å utføre de nødvendige algebraiske operasjonene til resultatet er oppnådd.

Som et resultat bør en matrise oppnås der en av diagonalene er 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enkelt form. Vi må ikke glemme å gjøre beregninger med tallene på begge sider av ligningen.

Denne notasjonen er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.

Den gratis bruken av enhver løsningsmetode vil kreve omsorg og en viss mengde erfaring. Ikke alle metoder brukes. Noen måter å finne løsninger på er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for læringsformål.

Viktige notater!
1. Hvis du ser abracadabra i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør det i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær mest oppmerksom på navigatoren vår nyttig ressurs til

Hva er "lineære ligninger"

eller inn muntlig– tre venner fikk epler hver, basert på at Vasya har epler totalt.

Og nå har du bestemt deg lineær ligning
La oss nå gi dette begrepet en matematisk definisjon.

Lineær ligning - dette er algebraisk ligning, hvis totale grad av dets konstituerende polynomer er lik. Det ser slik ut:

Hvor og er eventuelle tall og

For vårt tilfelle med Vasya og epler, vil vi skrive:

- "Hvis Vasya gir alle tre vennene like mange epler, vil han ikke ha noen epler igjen"

"Skjulte" lineære ligninger, eller viktigheten av identiske transformasjoner

Til tross for at alt ved første øyekast er ekstremt enkelt, når du løser ligninger, må du være forsiktig, fordi lineære ligninger kalles ikke bare formlikninger, men også alle ligninger som er redusert til denne formen ved transformasjoner og forenklinger. For eksempel:

Vi ser at den er til høyre, noe som i teorien allerede indikerer at ligningen ikke er lineær. Dessuten, hvis vi åpner parentesene, vil vi få ytterligere to termer der det blir, men ikke trekk for konklusjoner! Før man bedømmer om ligningen er lineær, er det nødvendig å gjøre alle transformasjonene og dermed forenkle det opprinnelige eksemplet. I dette tilfellet kan transformasjoner endres utseende, men ikke selve essensen av ligningen.

Disse transformasjonene må med andre ord være det identisk eller tilsvarende. Det er bare to slike transformasjoner, men de spiller veldig, VELDIG viktig rolle når du løser problemer. La oss vurdere begge transformasjonene på konkrete eksempler.

Flytt venstre - høyre.

La oss si at vi må løse følgende ligning:

Også i grunnskole vi ble fortalt: "med X - til venstre, uten X - til høyre." Hvilket uttrykk med x er til høyre? Greit, ikke hvordan ikke. Og dette er viktig, for hvis dette blir misforstått, ser det ut til enkelt spørsmål, gir feil svar. Og hva er uttrykket med x til venstre? Riktig,.

Nå som vi har behandlet dette, overfører vi alle vilkår med ukjente til venstre side, og alt som er kjent - til høyre, husk at hvis det ikke er noe tegn foran tallet, for eksempel, så er tallet positivt, det vil si at det innledes med tegnet "".

Flyttet? Hva fikk du?

Alt som gjenstår å gjøre er å lede som vilkår. Vi presenterer:

Så vi har klart å analysere den første identiske transformasjonen, selv om jeg er sikker på at du allerede visste den og aktivt brukte den uten meg. Det viktigste - ikke glem tegnene for tall og endre dem til det motsatte når du overfører gjennom likhetstegnet!

Multiplikasjon-divisjon.

La oss starte umiddelbart med et eksempel

Vi ser og tenker: hva liker vi ikke i dette eksemplet? Det ukjente er alt i den ene delen, det kjente - i den andre, men noe stopper oss ... Og dette er noe - en firer, for hvis den ikke var der, ville alt vært perfekt - X er lik tallet– akkurat slik vi vil ha det!

Hvordan kan du bli kvitt det? Vi kan ikke overføre til høyre, for da må vi overføre hele multiplikatoren (vi kan ikke ta den og rive den bort fra den), og å overføre hele multiplikatoren gir heller ikke mening ...

Det er på tide å huske på divisjonen, i forbindelse med hvilken vi deler alt bare inn i! Alt - dette betyr både venstre og høyre side. Så og bare så! Hva får vi?

Her er svaret.

La oss nå se på et annet eksempel:

Gjett hva du skal gjøre i dette tilfellet? Det stemmer, multipliser venstre og høyre del med! Hvilket svar fikk du? Riktig. .

Du visste sikkert alt om identiske transformasjoner. Tenk på at vi nettopp har frisket opp denne kunnskapen i minnet ditt, og det er på tide med noe mer - For eksempel for å løse vårt store eksempel:

Som vi sa tidligere, når du ser på det, kan du ikke si at denne ligningen er lineær, men vi må åpne parentesene og utføre identiske transformasjoner. Så la oss komme i gang!

Til å begynne med husker vi formlene for forkortet multiplikasjon, spesielt kvadratet av summen og kvadratet av differansen. Hvis du ikke husker hva det er og hvordan parentes åpnes, anbefaler jeg på det sterkeste å lese emnet, siden disse ferdighetene vil være nyttige for deg når du løser nesten alle eksemplene på eksamen.
Avslørt? Sammenligne:

Nå er det på tide å bringe lignende vilkår. Husker du hvordan vi er i det samme grunnskole sa de "vi setter ikke fluer med koteletter"? Her minner jeg deg på dette. Vi legger til alt separat - faktorer som har, faktorer som har, og andre faktorer som ikke har ukjente. Når du kommer med lignende termer, flytt alle ukjente til venstre, og alt som er kjent til høyre. Hva fikk du?

Som du kan se har x-firkanten forsvunnet, og vi ser en helt alminnelig lineær ligning. Det gjenstår bare å finne!

Og til slutt vil jeg si en til veldig viktig ting om identiske transformasjoner - identiske transformasjoner gjelder ikke bare for lineære ligninger, men også for kvadratiske, brøkrasjonelle og andre. Du trenger bare å huske at når vi overfører faktorer gjennom likhetstegnet, endrer vi tegnet til det motsatte, og når vi deler eller multipliserer med et tall, multipliserer / deler vi begge sider av ligningen med samme tall.

Hva annet tok du med deg fra dette eksemplet? At ser på en ligning er det ikke alltid mulig å direkte og nøyaktig bestemme om den er lineær eller ikke. Du må først forenkle uttrykket fullstendig, og først deretter bedømme hva det er.

Lineære ligninger. Eksempler.

Her er et par flere eksempler som du kan øve på på egen hånd - finn ut om ligningen er lineær og i så fall finn røttene:

Svar:

1. Er.

2. Er ikke.

La oss åpne parentesene og gi lignende vilkår:

La oss gjøre en identisk transformasjon - vi deler venstre og høyre del inn i:

Vi ser at ligningen ikke er lineær, så det er ikke nødvendig å lete etter røttene.

3. Er.

La oss gjøre en identisk transformasjon - multipliser venstre og høyre del med for å bli kvitt nevneren.

Tenk hvorfor er det så viktig å? Hvis du vet svaret på dette spørsmålet, fortsetter vi til den videre løsningen av ligningen, hvis ikke, sørg for å se nærmere på emnet for ikke å gjøre feil i mer vanskelige eksempler. Forresten, som du kan se, en situasjon der det er umulig. Hvorfor?
Så la oss gå videre og omorganisere ligningen:

Hvis du taklet alt uten problemer, la oss snakke om lineære ligninger med to variabler.

Lineære ligninger med to variabler

La oss nå gå videre til en litt mer komplisert en - lineære ligninger med to variabler.

Lineære ligninger med to variabler ser slik ut:

Hvor, og er eventuelle tall og.

Som du kan se, er den eneste forskjellen at en variabel til legges til ligningen. Og så alt er det samme - det er ingen x-kvadrerte, det er ingen divisjon med en variabel osv. etc.

Hvilken ville gi deg livseksempel... La oss ta den samme Vasya. Anta at han bestemmer seg for at han vil gi hver av sine 3 venner like mange epler, og beholde eplene for seg selv. Hvor mange epler trenger Vasya å kjøpe hvis han gir hver venn et eple? Hva med? Hva om innen?

Avhengigheten av antall epler som hver person vil motta av Total epler som skal kjøpes vil uttrykkes ved ligningen:

• - antall epler som en person vil motta (, eller, eller);
• - antall epler som Vasya vil ta for seg selv;
• - hvor mange epler Vasya trenger å kjøpe, tatt i betraktning antall epler per person.

Når vi løser dette problemet, får vi at hvis Vasya gir en venn et eple, så må han kjøpe stykker, hvis han gir epler - og så videre.

Og generelt sett. Vi har to variabler. Hvorfor ikke plotte denne avhengigheten på en graf? Vi bygger og markerer verdien av våre, det vil si poeng, med koordinater, og!

Som du kan se, og er avhengige av hverandre lineært, derav navnet på ligningene - " lineær».

Vi abstraherer fra epler og vurderer grafisk ulike ligninger. Se nøye på de to konstruerte grafene - en rett linje og en parabel, gitt av vilkårlige funksjoner:

Finn og merk de tilsvarende punktene på begge figurene.
Hva fikk du?

Du kan se det på grafen til den første funksjonen alene tilsvarer en, det vil si og er lineært avhengige av hverandre, noe som ikke kan sies om den andre funksjonen. Selvfølgelig kan du innvende at på den andre grafen tilsvarer x også -, men dette er bare ett punkt, dvs. spesielt tilfelle, siden du fortsatt kan finne en som matcher mer enn bare én. Og den konstruerte grafen ligner ikke på en linje på noen måte, men er en parabel.

Jeg gjentar en gang til: grafen til en lineær ligning må være en RETT linje.

Med det faktum at ligningen ikke vil være lineær hvis vi går i noen grad - dette er forståelig ved å bruke eksemplet med en parabel, selv om du kan bygge noen flere for deg selv enkle grafer, for eksempel eller. Men jeg forsikrer deg - ingen av dem vil være en RETT LINJE.

Ikke stol på? Bygg og sammenlign med det jeg fikk:

Og hva skjer hvis vi deler noe på for eksempel et eller annet tall? Vil det lineær avhengighet og? Vi vil ikke krangle, men vi skal bygge! La oss for eksempel plotte en funksjonsgraf.

På en eller annen måte ser det ikke ut som en rett linje bygget ... følgelig er ligningen ikke lineær.
La oss oppsummere:

1. Lineær ligning - er en algebraisk ligning der den totale graden av polynomene er lik.
2. Lineær ligning med en variabel ser slik ut:
   , hvor og er eventuelle tall;
   Lineær ligning med to variabler:
   , hvor og er alle tall.
3. Det er ikke alltid umiddelbart mulig å fastslå om en likning er lineær eller ikke. Noen ganger, for å forstå dette, er det nødvendig å utføre identiske transformasjoner, flytte lignende termer til venstre / høyre, ikke glemme å endre tegnet, eller multiplisere / dele begge sider av ligningen med samme tall.

LINEÆRE LIGNINGER. KORT OM HOVEDET

1. Lineær ligning

Dette er en algebraisk ligning der den totale graden av dets konstituerende polynomer er lik.

2. Lineær ligning med én variabel ser ut som:

Hvor og er eventuelle tall;

3. Lineær ligning med to variabler ser ut som:

Hvor og er eventuelle tall.

4. Identitetstransformasjoner

For å bestemme om ligningen er lineær eller ikke, er det nødvendig å gjøre identiske transformasjoner:

• flytt til venstre/høyre som termer, ikke glem å endre tegnet;
• multipliser/del begge sider av ligningen med samme tall.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, er du veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du har lest til slutten, så er du på 5%!

Nå er det viktigste.

Du har funnet ut teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, det er ... det er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

Til vellykket levering Unified State Examination, for opptak til instituttet på budsjettet og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting ...

Folk som mottok en god utdannelse, tjener mye mer enn de som ikke fikk det. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mye åpner seg foran dem. flere muligheter og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og til slutt ... bli lykkeligere?

FYLL HÅNDEN DIN, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNET.

På eksamen vil du ikke bli spurt om teori.

Du vil trenge løse problemer i tide.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke gjøre det i tide.

Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.

Finn en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (ikke nødvendig) og vi anbefaler dem absolutt.

For å få en hånd ved hjelp av oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle 99 artiklene i opplæringen - Kjøp en lærebok - 499 rubler

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke slutt med teori.

«Forstått» og «Jeg vet hvordan jeg skal løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs!

En lineær ligning er en algebraisk ligning hvis fulle grad av polynomer er lik én. Løse lineære ligninger - del skolepensum, og ikke det vanskeligste. Noen opplever imidlertid fortsatt vanskeligheter med å komme gjennom dette emnet. Vi håper å lese gitt materiale, vil alle vanskelighetene for deg forbli i fortiden. Så la oss finne ut av det. hvordan løse lineære ligninger.

Generell form

Den lineære ligningen er representert som:

• ax + b = 0, hvor a og b er alle tall.

Selv om a og b kan være et hvilket som helst tall, påvirker verdiene deres antall løsninger til ligningen. Det er flere spesielle løsninger:

• Hvis a=b=0, har ligningen uendelig sett beslutninger;
• Hvis a=0, b≠0, har ligningen ingen løsning;
• Hvis a≠0, b=0, har ligningen en løsning: x = 0.

I tilfelle at begge tallene har nei nullverdier, må ligningen løses for å utlede det endelige uttrykket for variabelen.

Hvordan bestemme?

Å løse en lineær ligning betyr å finne hva en variabel er lik. Hvordan gjøre det? Ja, det er veldig enkelt - ved å bruke enkle algebraiske operasjoner og følge reglene for overføring. Hvis ligningen dukket opp foran deg i en generell form, er du heldig, alt du trenger å gjøre er:

1. Flytt b til høyre side av ligningen, ikke glem å endre fortegnet (overføringsregel!), Så fra et uttrykk på formen ax + b = 0, bør et uttrykk for formen ax = -b fås.
2. Bruk regelen: for å finne en av faktorene (x - i vårt tilfelle), må du dele produktet (-b i vårt tilfelle) med en annen faktor (a - i vårt tilfelle). Dermed bør et uttrykk for formen oppnås: x \u003d -b / a.

Det er alt - løsningen er funnet!

La oss nå se på et spesifikt eksempel:

1. 2x + 4 = 0 - overføring b lik denne saken 4, høyre side
2. 2x = -4 - del b på a (ikke glem minustegnet)
3. x=-4/2=-2

Det er alt! Vår løsning: x = -2.

Som du kan se er det ganske enkelt å finne en løsning på en lineær ligning med én variabel, men alt er så enkelt hvis vi er heldige som møter ligningen i en generell form. I de fleste tilfeller, før du løser ligningen i de to trinnene beskrevet ovenfor, er det også nødvendig å bringe det eksisterende uttrykket til en generell form. Dette er imidlertid heller ikke en vanskelig oppgave. La oss se på noen spesielle tilfeller med eksempler.

Løse spesielle tilfeller

La oss først ta en titt på tilfellene vi beskrev i begynnelsen av artikkelen og forklare hva det vil si å ha et uendelig antall løsninger og ingen løsning.

• Hvis a=b=0 vil ligningen se slik ut: 0x + 0 = 0. Utfører vi det første trinnet får vi: 0x = 0. Hva betyr dette tullet, utbryter du! Tross alt, uansett hvilket tall du multipliserer med null, vil du alltid få null! Ikke sant! Derfor sier de at ligningen har et uendelig antall løsninger - uansett antall du tar, vil likheten være sann, 0x \u003d 0 eller 0 \u003d 0.
• Hvis a=0, b≠0, vil ligningen se slik ut: 0x + 3 = 0. Vi utfører det første trinnet, vi får 0x = -3. Tull igjen! Det er åpenbart at denne likestillingen aldri vil bli sann! Det er derfor de sier at ligningen ikke har noen løsninger.
• Hvis a≠0, b=0, vil ligningen se slik ut: 3x + 0 = 0. Ved å ta det første steget får vi: 3x = 0. Hva er løsningen? Det er enkelt, x = 0.

Vanskeligheter med oversettelse

De beskrevne spesielle tilfellene er ikke alle lineære ligninger kan overraske oss med. Noen ganger er ligningen generelt vanskelig å identifisere ved første øyekast. La oss ta et eksempel:

• 12x - 14 = 2x + 6

Er dette en lineær ligning? Men hva med nullen på høyre side? Vi vil ikke skynde oss med konklusjoner, vi vil handle - vi vil overføre alle komponentene i ligningen vår til venstre side. Vi får:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Når vi trekker fra like fra like, får vi:

• 10x - 20 = 0

Lært? Den mest lineære ligningen noensinne! Hvis løsning: x = 20/10 = 2.

Hva om vi har dette eksemplet:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dette er også en lineær ligning, bare flere transformasjoner må gjøres. La oss utvide parentesene først:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - utfør nå overføringen:
4. 25x - 4 = 0 - det gjenstår å finne en løsning i henhold til det allerede kjente skjemaet:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Som du kan se, er alt løst, det viktigste er ikke å bekymre deg, men å handle. Husk at hvis ligningen din bare inneholder variabler av første grad og tall, er dette en lineær ligning, som, uansett hvordan den ser ut i utgangspunktet, kan reduseres til en generell form og løses. Vi håper alt ordner seg for deg! Lykke til!

I denne videoen skal vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Til å begynne med, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken av dem skal kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til de enkleste ved hjelp av algoritmen:

1. Åpne parentes, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Bring like termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$ .

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger, etter alle disse manipulasjonene, viser seg at koeffisienten til variabelen $x$ er lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når du får noe som $0\cdot x=8$, dvs. til venstre er null, og til høyre er et tall som ikke er null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

Og la oss nå se hvordan det hele fungerer på eksemplet med virkelige problemer.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag tar vi for oss lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt må du åpne brakettene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
2. Ta så med lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. alt som er forbundet med variabelen - begrepene den er inneholdt i - overføres til den ene siden, og alt som forblir uten den overføres til den andre siden.

Deretter må du som regel bringe lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten ved "x", og vi vil få det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når man åpner parenteser, eller når man teller "pluss" og "minus".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller slik at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi vil analysere disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med det meste enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Til å begynne med, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid eventuelt parentesene.
2. Utelukke variabler, dvs. alt som inneholder "x" overføres til den ene siden, og uten "x" - til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten ved "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid, den har visse finesser og triks, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave 1

I det første trinnet er vi pålagt å åpne brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Merk: vi snakker bare om individuelle vilkår. La oss skrive:

Vi gir lignende vilkår til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med en faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Her fikk vi svaret.

Oppgave #2

I denne oppgaven kan vi observere parentesene, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme konstruksjon, men la oss handle etter algoritmen, dvs. sequester variabler:

Her er noen som:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave #3

Den tredje lineære ligningen er allerede mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er noen få parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de står bare foran dem ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne ut:

Vi utfører det siste trinnet - vi deler alt med koeffisienten ved "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan null komme inn blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som resten, du bør ikke på en eller annen måte diskriminere det eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er knyttet til utvidelse av parenteser. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi skiltene til motsatte. Og så kan vi åpne den i henhold til standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil holde deg fra å gjøre dumme og sårende feil på videregående når det blir tatt for gitt å gjøre slike ting.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer kompliserte og en kvadratisk funksjon vil dukke opp når man utfører ulike transformasjoner. Du bør imidlertid ikke være redd for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens intensjoner løser en lineær ligning, vil nødvendigvis alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon reduseres i prosessen med transformasjon.

Eksempel #1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta personvernet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen som:

Det er åpenbart at gitt ligning Det finnes ingen løsninger, så i svaret skriver vi:

\[\variasjon \]

eller ingen røtter.

Eksempel #2

Vi utfører de samme trinnene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen som:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver det slik:

\[\varnothing\],

eller ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. På eksemplet med disse to uttrykkene sørget vi nok en gang for at selv i de enkleste lineære ligningene, kan alt ikke være så enkelt: det kan være enten en, eller ingen, eller uendelig mange. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, i begge er det rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du utvider dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "x". Vennligst merk: multiplisere hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multipliseres.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men svært viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan braketten åpnes fra det synspunkt at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er gjort, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under bare skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ingen tilfeldighet at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og lærer å løse slike enkle ligninger igjen.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til automatisme. Du trenger ikke lenger utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss ta en retrett:

Her er noen som:

La oss gjøre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, ble de gjensidig utlignet, noe som gjør ligningen nøyaktig lineær, ikke kvadratisk.

Oppgave #2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss gjøre det første trinnet nøye: multipliser hvert element i den første parentesen med hvert element i den andre. Totalt bør fire nye termer oppnås etter transformasjoner:

Og utfør nå multiplikasjonen nøye i hvert ledd:

La oss flytte begrepene med "x" til venstre, og uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Vi har fått et definitivt svar.

Nyanser av løsningen

Den viktigste bemerkningen om disse to ligningene er denne: så snart vi begynner å multiplisere parenteser der det er mer enn et ledd, så gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat får vi fire terminer.

På den algebraiske summen

I det siste eksemplet vil jeg minne elevene på hva som er algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: vi trekker sju fra én. I algebra mener vi med dette følgende: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv." Denne algebraiske summen skiller seg fra den vanlige aritmetiske summen.

Så snart når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner du å se konstruksjoner som ligner på de som er beskrevet ovenfor, du vil rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Avslutningsvis, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med en brøk

For å løse slike oppgaver, må ett trinn til legges til algoritmen vår. Men først vil jeg minne om algoritmen vår:

1. Åpne parenteser.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del med en faktor.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, er ikke helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan utføres både før den første handlingen og etter den, nemlig å bli kvitt brøker. Algoritmen vil derfor være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne parenteser.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del med en faktor.

Hva vil det si å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor er det mulig å gjøre dette både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske når det gjelder nevneren, dvs. overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge deler av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot fire\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr det ikke at du må gange hver av dem med "fire". La oss skrive:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå åpne den:

Vi utfører isolering av en variabel:

Vi gjennomfører reduksjonen av lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk siste avgjørelse, går vi over til den andre ligningen.

Eksempel #2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem løst.

Det er faktisk alt jeg ønsket å fortelle i dag.

Viktige punkter

De viktigste funnene er som følger:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du har et sted kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner, vil de bli redusert.
• Røttene i lineære ligninger, selv de enkleste, er av tre typer: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, det er ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet, løs eksemplene som presenteres der. Følg med, det er mange flere interessante ting som venter på deg!

Et system med lineære ligninger er en forening av n lineære ligninger, som hver inneholder k variabler. Det er skrevet slik:

Mange, når de står overfor høyere algebra for første gang, tror feilaktig at antall ligninger nødvendigvis må falle sammen med antall variabler. I skolealgebra er dette vanligvis tilfelle, men for høyere algebra er dette generelt sett ikke sant.

Løsningen av et likningssystem er en tallrekke (k 1 , k 2 , ..., k n ), som er løsningen til hver likning i systemet, dvs. når du substituerer inn i denne ligningen i stedet for variablene x 1 , x 2 , ..., gir x n den korrekte numeriske likheten.

Følgelig betyr å løse et ligningssystem å finne settet med alle dets løsninger eller å bevise at dette settet er tomt. Siden antall ligninger og antall ukjente kanskje ikke er det samme, er tre tilfeller mulige:

1. Systemet er inkonsekvent, dvs. settet med alle løsninger er tomt. Et ganske sjeldent tilfelle som lett oppdages uavhengig av hvilken metode man skal løse systemet.
2. Systemet er konsistent og definert, d.v.s. har akkurat én løsning. Den klassiske versjonen, velkjent siden skolen.
3. Systemet er konsistent og udefinert, d.v.s. har uendelig mange løsninger. Dette er mest hard versjon. Det er ikke nok å slå fast at «systemet har et uendelig sett med løsninger» – det er nødvendig å beskrive hvordan dette settet er ordnet.

Variabelen x i kalles tillatt hvis den er inkludert i kun én ligning i systemet, og med koeffisienten 1. Med andre ord, i de resterende ligningene må koeffisienten for variabelen x i være lik null.

Hvis vi velger én tillatt variabel i hver ligning, får vi et sett med tillatte variabler for hele ligningssystemet. Selve systemet, skrevet i denne formen, vil også bli kalt tillatt. Generelt sett kan ett og samme startsystem reduseres til forskjellige tillatte systemer, men dette angår oss ikke nå. Her er eksempler på tillatte systemer:

Begge systemene er tillatt med hensyn til variablene x 1 , x 3 og x 4 . Imidlertid kan det med samme suksess hevdes at det andre systemet er tillatt med hensyn til x 1 , x 3 og x 5 . Det er nok å omskrive den siste ligningen i formen x 5 = x 4 .

Vurder nå mer generell sak. Anta at vi har k variabler totalt, hvorav r er tillatt. Da er to tilfeller mulig:

1. Antall tillatte variabler r er lik det totale antallet variabler k : r = k . Vi får et system med k likninger der r = k tillatte variabler. Et slikt system er samarbeidende og bestemt, fordi x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Antall tillatte variabler r er mindre enn totalt antall variabler k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Så i de ovennevnte systemene er variablene x 2 , x 5 , x 6 (for det første systemet) og x 2 , x 5 (for det andre) frie. Tilfellet når det er frie variabler er bedre formulert som et teorem:

Vennligst merk: dette er veldig viktig poeng! Avhengig av hvordan du skriver det endelige systemet, kan den samme variabelen være både tillatt og gratis. De fleste avanserte matteveiledere anbefaler å skrive ut variabler i leksikografisk rekkefølge, dvs. stigende indeks. Du trenger imidlertid ikke følge dette rådet i det hele tatt.

Teorem. Hvis variablene x 1 , x 2 , ..., x r er tillatt i et system med n ligninger, og x r + 1 , x r + 2 , ..., x k er frie, så er:

1. Hvis vi setter verdiene til frie variabler (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), og deretter finner verdiene x 1 , x 2 , . .., x r , vi får en av løsningene.
2. Hvis verdiene til de frie variablene i to løsninger er de samme, er verdiene til de tillatte variablene også de samme, dvs. løsninger er like.

Hva er meningen med dette teoremet? For å få alle løsninger av det tillatte ligningssystemet, er det tilstrekkelig å skille ut de frie variablene. Deretter tilordner du til frie variabler forskjellige betydninger, vil vi motta nøkkelferdige løsninger. Det er alt - på denne måten kan du få alle løsningene til systemet. Det finnes ingen andre løsninger.

Konklusjon: det tillatte likningssystemet er alltid konsistent. Hvis antall ligninger i det tillatte systemet er lik antall variabler, vil systemet være bestemt, hvis mindre, vil det være ubestemt.

Og alt ville være bra, men spørsmålet oppstår: hvordan få den løste fra det opprinnelige ligningssystemet? For dette er det