Hvordan løse et system med rasjonelle ulikheter. Fraksjonelle rasjonelle ulikheter

La oss finne den numeriske verdier x, der de blir sanne numeriske ulikheter flere samtidig rasjonelle ulikheter. I slike tilfeller sier de at det er nødvendig å løse et system med rasjonelle ulikheter med en ukjent x.

For å løse et system med rasjonelle ulikheter, må man finne alle løsninger på hver ulikhet i systemet. Da vil fellesdelen av alle løsninger som er funnet være løsningen til systemet.

Eksempel: Løs systemet med ulikheter

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Først løser vi ulikheten

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Ved å bruke intervallmetoden (fig. 1) finner vi at settet av alle løsninger på ulikhet (2) består av to intervaller: (-, 1) og (5, 7).

Bilde 1

La oss nå løse ulikheten

Ved å bruke intervallmetoden (fig. 2) finner vi at settet med alle løsninger på ulikhet (3) også består av to intervaller: (2, 3) og (4, +).

Nå må vi finne felles del løse ulikheter (2) og (3). La oss tegne koordinataksen x og merk løsningene som er funnet på den. Nå er det klart det felles del løsning av ulikheter (2) og (3) er intervallet (5, 7) (fig. 3).

Følgelig utgjør settet av alle løsninger til systemet av ulikheter (1) intervallet (5, 7).

Eksempel: Løs systemet med ulikheter

x2 - 6x + 10< 0,

La oss først løse ulikheten

x 2 - 6x + 10< 0.

Ved hjelp av valgmetoden full firkant, det kan vi skrive

x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

Derfor kan ulikhet (2) skrives i formen

(x - 3) 2 + 1< 0,

hvorfra det er klart at det ikke har noen løsning.

Nå slipper du å løse ulikheten

siden svaret allerede er klart: system (1) har ingen løsning.

Eksempel: Løs systemet med ulikheter

La oss først se på den første ulikheten; vi har

1 < 0, < 0.

Ved å bruke fortegnskurven finner vi løsninger på denne ulikheten: x< -2; 0 < x < 2.

La oss nå løse den andre ulikheten gitt system. Vi har x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Etter å ha notert de funnet løsningene på den første og andre ulikheten på den generelle tallinjen (fig. 6), finner vi slike intervaller der disse løsningene faller sammen (skjæringspunktet mellom løsningen): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Eksempel: Løs systemet med ulikheter

La oss transformere den første ulikheten i systemet:

x 3 (x - 10)(x + 10) 0, eller x(x - 10)(x + 10) 0

(siden faktorer i odde potenser kan erstattes av de tilsvarende faktorene i første potens); Ved hjelp av intervallmetoden vil vi finne løsninger på den siste ulikheten: -10 x 0, x 10.

Tenk på den andre ulikheten i systemet; vi har

Vi finner (fig. 8) x -9; 3< x < 15.

Ved å kombinere løsningene som er funnet, får vi (fig. 9) x 0; x > 3.

Eksempel: Finne heltallsløsninger ulikhetssystemer:

x + y< 2,5,

Løsning: La oss bringe systemet til skjemaet

Legger vi til den første og andre ulikheten, har vi y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

hvor -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Leksjonsemne "Løse systemer for rasjonelle ulikheter"

Klasse 10

Leksjonstype: søk

Mål: finne måter å løse ulikheter med modul, bruke intervallmetoden i en ny situasjon.

Leksjonens mål:

Test ferdighetene dine i å løse rasjonelle ulikheter og deres systemer; - vise elevene muligheten for å bruke intervallmetoden ved løsning av ulikheter med modul;

Lær å tenke logisk;

Utvikle ferdighetene til selvevaluering av arbeidet ditt;

Lær å uttrykke tankene dine

Lær å forsvare ditt synspunkt med fornuft;

Å danne et positivt motiv for læring hos elevene;

Utvikle studentenes selvstendighet.

I løpet av timene

JEG. Organisering av tid(1 minutt)

Hei, i dag vil vi fortsette å studere emnet "System av rasjonelle ulikheter", vi vil bruke vår kunnskap og ferdigheter i en ny situasjon.

Skriv ned datoen og emnet for leksjonen "Løse systemer for rasjonelle ulikheter." I dag inviterer jeg deg på en reise langs matematikkens veier, hvor tester venter på deg, en styrkeprøve. På pultene dine ligger det veikart med oppgaver, et egenvurdering reiseark, som du overleverer til meg (ekspeditøren) på slutten av turen.

Mottoet for turen vil være aforismen «Den som går kan mestre veien, men den som tenker i matematikk». Ta med deg kunnskapen din. Slå på tenkeprosess og vi går. På veien vil vi bli ledsaget av en veiradio.Et fragment av musikk spilles (1 min). Så en skarp lyd av et signal.

II. Kunnskapsteststadiet. Arbeid i grupper."Bagasjeinspeksjon"

Her kommer den første bagasjescreeningstesten, som tester kunnskapen din om emnet

Nå blir dere delt inn i grupper på 3 eller 4 personer. Alle har et stykke papir med en oppgave på skrivebordet. Fordel disse oppgavene mellom hverandre, løs dem og skriv ned de ferdige svarene på et felles ark. En gruppe på 3 personer velger hvilke som helst 3 oppgaver. Alle som fullfører alle oppgavene vil rapportere dette til læreren. Jeg eller assistentene mine vil sjekke svarene, og hvis minst ett svar er feil, vil gruppen få tilbake et ark for ny kontroll. (barn ser ikke svarene, de får bare beskjed om hvilken oppgave som har feil svar).Vinneren er gruppen som er den første til å fullføre alle oppgaver uten feil. Frem til seier.

Musikken er veldig stille.

Hvis to eller tre grupper avslutter arbeidet samtidig, vil et av barna fra den andre gruppen hjelpe læreren å sjekke. Svar på lærerarket (4 eksemplarer).

Arbeidet stopper når vinnergruppen dukker opp.

Ikke glem å fylle ut selvevalueringsarket. Og vi går videre.

Oppgaveark for "Bagasjeinspeksjon"

1) 3)

2) 4)

III. Stadiet med å oppdatere kunnskap og oppdage ny kunnskap. "Eureka"

Befaringen viste at du har et vell av kunnskap.

Men på veien skjer alle slags situasjoner, noen ganger kreves det oppfinnsomhet, og vi sjekker om du har glemt å ta det med deg.

Du har lært å løse systemer med rasjonelle ulikheter ved hjelp av intervallmetoden. I dag skal vi se på hvilke problemer det er tilrådelig å bruke denne metoden. Men først, la oss huske hva en modul er.

1. Fortsett setningene "Modulen til et tall er lik selve tallet hvis ..."(muntlig)

"Modulen til tallet er motsatt tall, hvis..."

2. La A(X) være et polynom i x

Fortsett opptak:

Svar:

Skriv ned det motsatte uttrykket av A(x)

A(x) = 5-4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Eleven skriver på tavla, gutta skriver i notatbøkene sine.

3. La oss nå prøve å finne en måte å løse den kvadratiske ulikheten med modul

Hva er dine forslag for å løse denne ulikheten?

Lytt til guttas forslag.

Hvis det ikke er noen forslag, still spørsmålet: "Kan denne ulikheten løses ved å bruke ulikhetssystemer?"

Eleven kommer ut og bestemmer.

IV. Stadiet med primær konsolidering av ny kunnskap, utarbeidelse av en løsningsalgoritme. Påfyll av bagasje.

(Arbeid i grupper på 4 personer).

Nå foreslår jeg at du fyller på bagasjen. Du vil jobbe i grupper.Hver gruppe får utdelt 2 oppgavekort.

På det første kortet må du skrive ned systemer for å løse ulikhetene presentert på tavlen og utvikle en algoritme for å løse slike ulikheter; det er ikke nødvendig å løse dem.

Det første kortet er forskjellig for gruppene, det andre er det samme

Hva skjedde?

Under hver ligning på tavlen må du skrive et sett med systemer.

4 elever kommer ut og skriver systemer. På dette tidspunktet diskuterer vi algoritmen med klassen.

V. Stadium for konsolidering av kunnskap."Veien hjem".

Bagasjen fylles på, nå er det på tide å gå Tilbaketur. Løs nå noen av de foreslåtte ulikhetene med modul selv i samsvar med den kompilerte algoritmen.

Veiradioen vil igjen være med deg på veien.

Spill rolig bakgrunnsmusikk. Læreren sjekker designet og gir råd om nødvendig.

Oppgaver i styret.

Arbeidet er fullført. Sjekk svarene (de er på baksiden tavler), fyll ut egenvurderingsreisearket.

Sette lekser.

Skriv det ned hjemmelekser(kopier i notatboken ulikhetene du ikke gjorde eller gjorde med feil, i tillegg nr. 84 (a) på side 373 i læreboken hvis ønskelig)

VI. Avslappingsstadiet.

Hvordan var denne turen nyttig for deg?

Hva har du lært?

Oppsummer. Tell hvor mange poeng hver av dere har tjent.(gutta navngir sluttresultatet).Overrekke egenvurderingsarkene til ekspeditøren, altså til meg.

Jeg vil avslutte leksjonen med en lignelse.

«En vismann gikk, og tre personer møtte ham, bærende vogner med steiner for bygging under den varme solen. Vismannen stoppet opp og stilte hver enkelt et spørsmål. Han spurte den første: «Hva har du gjort hele dagen?», og han svarte med et glis at han hadde båret på de fordømte steinene hele dagen. Vismannen spurte den andre: "Hva gjorde du hele dagen?", og han svarte: "Jeg gjorde jobben min samvittighetsfullt," og den tredje smilte, ansiktet hans lyste opp av glede og glede: "Og jeg deltok i byggingen av templet!"

Leksjonen er over.

Egenvurderingsark

Etternavn, fornavn, klasse		Antall poeng
Arbeide i en gruppe for å løse ulikheter eller ulikhetssystemer.	2 poeng hvis det gjøres riktig uten hjelp utenfra; 1 poeng hvis det gjøres riktig med hjelp utenfra; 0 poeng hvis du ikke fullførte oppgaven 1 ekstra poeng for gruppeseier

Ved bruk av denne leksjonen du vil lære om rasjonelle ulikheter og deres systemer. Systemet med rasjonelle ulikheter løses ved å bruke ekvivalente transformasjoner. Definisjonen av ekvivalens vurderes, metoden for å erstatte en brøk-rasjonell ulikhet med en kvadratisk, og forstår også forskjellen mellom en ulikhet og en ligning og hvordan ekvivalente transformasjoner utføres.

Algebra 9. klasse

Avsluttende gjennomgang av 9. klasse algebrakurs

Rasjonelle ulikheter og deres systemer. Systemer med rasjonelle ulikheter.

1.1 Abstrakt.

1. Tilsvarende konverteringer rasjonelle ulikheter.

Bestemme seg for rasjonell ulikhet betyr å finne alle sine løsninger. I motsetning til en ligning, når man løser en ulikhet, oppstår som regel et uendelig antall løsninger. Utallige løsninger kan ikke verifiseres ved substitusjon. Derfor må du transformere den opprinnelige ulikheten slik at du i hver påfølgende linje får en ulikhet med samme sett med løsninger.

Rasjonelle ulikheter kan bare løses med hjelp tilsvarende eller tilsvarende transformasjoner. Slike transformasjoner forvrenger ikke settet med løsninger.

Definisjon. Rasjonelle ulikheter kalt tilsvarende, hvis settene med løsningene deres faller sammen.

Å indikere ekvivalens bruk skiltet

2. Løsning av ulikhetssystemet

Den første og andre ulikheten er brøkdel av rasjonelle ulikheter. Metoder for å løse dem er en naturlig fortsettelse av metoder for å løse lineære og kvadratiske ulikheter.

La oss flytte tallene på høyre side til venstre med motsatt fortegn.

Som et resultat vil høyre side forbli 0. Denne transformasjonen er ekvivalent. Dette er angitt med skiltet

La oss utføre handlingene som algebra foreskriver. Trekk fra "1" i den første ulikheten og "2" i den andre.

3. Løse ulikheter ved hjelp av intervallmetoden

1) La oss introdusere en funksjon. Vi må vite når denne funksjonen er mindre enn 0.

2) La oss finne definisjonsdomenet til funksjonen: nevneren skal ikke inneholde 0. "2" er bruddpunktet. Ved x=2 er funksjonen udefinert.

3) Finn røttene til funksjonen. Funksjonen er lik 0 hvis telleren inneholder 0.

De plasserte punktene deler tallaksen i tre intervaller - dette er intervaller med konstant fortegn. Ved hvert intervall beholder funksjonen sitt fortegn. La oss bestemme tegnet på det første intervallet. La oss erstatte noen verdier. For eksempel 100. Det er tydelig at både telleren og nevneren er større enn 0. Dette betyr at hele brøken er positiv.

La oss bestemme skiltene på de resterende intervallene. Når du går gjennom punktet x=2, er det bare nevneren som skifter fortegn. Dette betyr at hele brøken vil skifte fortegn og være negativ. La oss gjennomføre et lignende resonnement. Når du går gjennom punktet x=-3, er det bare telleren som skifter fortegn. Dette betyr at brøken vil skifte fortegn og være positiv.

La oss velge et intervall som tilsvarer ulikhetsbetingelsen. La oss skyggelegge det og skrive det som en ulikhet

4. Løse ulikheten ved å bruke den kvadratiske ulikheten

Viktig faktum.

Når man sammenligner med 0 (ved streng ulikhet), kan brøken erstattes med produktet av telleren og nevneren, eller telleren eller nevneren kan byttes.

Dette er fordi alle tre ulikhetene er oppfylt forutsatt at u og v annet tegn. Disse tre ulikhetene er likeverdige.

La oss bruke dette faktum og erstatte brøkdel rasjonell ulikhet torget.

La oss løse den kvadratiske ulikheten.

La oss introdusere kvadratisk funksjon. La oss finne røttene og lage en skisse av grafen.

Dette betyr at grenene til parablen er oppover. Innenfor røtterintervallet bevarer funksjonen tegnet sitt. Hun er negativ.

Utenfor røtterintervallet er funksjonen positiv.

Løsning på den første ulikheten:

5. Løsning av ulikhet

La oss introdusere funksjonen:

La oss finne intervallene for konstant fortegn:

For å gjøre dette vil vi finne røttene og bruddpunktene til definisjonsdomenet til funksjonen. Vi finner alltid knekkepunkter. (x=3/2) Vi graver ut røttene avhengig av ulikhetstegnet. Vår ulikhet er streng. Derfor graver vi ut roten.

La oss plassere skiltene:

La oss skrive ned løsningen:

La oss fullføre løsningen av systemet. La oss finne skjæringspunktet mellom settet med løsninger på den første ulikheten og settet med løsninger på den andre ulikheten.

Å løse et system av ulikheter betyr å finne skjæringspunktet mellom settet med løsninger til den første ulikheten og settet med løsninger på den andre ulikheten. Derfor, etter å ha løst den første og andre ulikheten separat, må du skrive resultatene oppnådd i ett system.

La oss skildre løsningen på den første ulikheten over okseaksen.