Hvordan løse en kompleks ligning. Uttrykk, ligninger og ligningssystemer med komplekse tall
Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Ligninger har blitt brukt av mennesker siden antikken og siden har bruken bare økt. For klarhetens skyld, la oss løse følgende problem:
Beregn \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hvis \
Først av alt, la oss ta hensyn til det faktum at ett tall er representert i algebraisk form, det andre - i trigonometrisk form. Det må forenkles og neste type
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Uttrykket \ sier at vi for det første gjør multiplikasjon og heving til 10. potens i henhold til Moivre-formelen. Denne formelen ble formulert for den trigonometriske formen til et komplekst tall. Vi får:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Ved å følge reglene for å multiplisere komplekse tall i trigonometrisk form, vil vi gjøre følgende:
I vårt tilfelle:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Ved å gjøre brøken \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] riktig, konkluderer vi med at det er mulig å "vri" 4 omdreininger \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Svar: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Denne ligningen kan løses på en annen måte, som koker ned til å bringe det andre tallet til algebraisk form, og deretter utføre multiplikasjon i algebraisk form, oversett resultatet til trigonometrisk form og bruk De Moivres formel:
Hvor kan jeg løse et ligningssystem med komplekse tall på nettet?
Du kan løse ligningssystemet på vår nettside https: // site. Gratis online løser lar deg løse en online ligning av enhver kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonen og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.
FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING
STATS UTDANNINGSINSTITUTION
HØYERE PROFESJONELL UTDANNING
"VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY"
STOL FOR AGLEBRA OG GEOMETRI
Komplekse tall
(utvalgte oppgaver)
AVSLUTTENDE KVALIFIKASJONSARBEID
spesialitet 050201.65 matematikk
(med ekstra spesialitet 050202.65 informatikk)
Fullført av: 5. års student
fysisk og matematisk
fakultet
Vitenskapelig rådgiver:
VORONEZH - 2008
1. Introduksjon……………………………………………………...…………..…
2. Komplekse tall (utvalgte problemer)
2.1. Komplekse tall i algebraisk form….……………………….….
2.2. Geometrisk tolkning av komplekse tall…………..…
2.3. Trigonometrisk form av komplekse tall
2.4. Anvendelse av teorien om komplekse tall på løsning av likninger av 3. og 4. grad…………………..…………………………………………………………………
2.5. Komplekse tall og parametere……………………………………………………….
3. Konklusjon……………………………………………………………………….
4. Liste over referanser……………………………….………………………….
1. Introduksjon
I matematikkprogrammet skolekurs tallteori introduseres på eksempler på sett med naturlige tall, heltall, rasjonelle, irrasjonelle, dvs. på settet med reelle tall hvis bilder fyller hele talllinjen. Men allerede i 8. klasse er det ikke nok lager av reelle tall, som løser kvadratiske ligninger med en negativ diskriminant. Derfor var det nødvendig å fylle opp bestanden av reelle tall med komplekse tall som kvadratroten av negativt tall har betydningen.
Jeg velger emnet "Komplekse tall" som mitt eksamenstema kvalifiserende arbeid, ligger i det faktum at begrepet et komplekst tall utvider elevenes kunnskap om numeriske systemer, om å løse en bred klasse av problemer av både algebraisk og geometrisk innhold, om å løse algebraiske ligninger hvilken som helst grad og om å løse problemer med parametere.
I dette oppgavearbeidet vurderes løsningen av 82 problemer.
Første del av hoveddelen "Komplekse tall" inneholder løsninger på problemer med komplekse tall i algebraisk form defineres operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, konjugasjonsoperasjonen for komplekse tall i algebraisk form, graden av den imaginære enheten, modulen til et komplekst tall, og uttrekksregelen er også angitt kvadratrot fra et komplekst tall.
I den andre delen løses problemer for geometrisk tolkning av komplekse tall i form av punkter eller vektorer til det komplekse planet.
Den tredje delen tar for seg operasjoner på komplekse tall i trigonometrisk form. Formler brukes: De Moivre og ekstraksjon av en rot fra et komplekst tall.
Den fjerde delen er viet til å løse likninger av 3. og 4. grad.
Når du løser problemer i siste del "Komplekse tall og parametere", blir informasjonen gitt i de foregående delene brukt og konsolidert. En rekke problemer i kapitlet er viet definisjonen av familier av linjer i det komplekse planet, gitt av ligningene(ulikheter) med en parameter. I en del av øvelsene må du løse likninger med en parameter (over feltet C). Det er oppgaver hvor en kompleks variabel samtidig tilfredsstiller en rekke betingelser. Et trekk ved å løse problemene i denne delen er reduksjonen av mange av dem til å løse ligninger (ulikheter, systemer) av andre grad, irrasjonelle, trigonometriske med en parameter.
Et trekk ved presentasjonen av materialet til hver del er den første inngangen teoretiske grunnlag, og senere deres praktiske anvendelse for å løse problemer.
På slutten avhandling en liste over brukt litteratur presenteres. De fleste av dem er ganske detaljerte og tilgjengelige. teoretisk materiale, løsninger på noen problemer vurderes og praktiske oppgaver Til uavhengig avgjørelse. Spesiell oppmerksomhet Jeg vil gjerne referere til kilder som:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplekse tall og deres anvendelser: Lærebok. . Materiale studieguide presentert i form av forelesninger og praktiske øvelser.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Utvalgte oppgaver og teoremer i elementær matematikk. Aritmetikk og algebra. Boken inneholder 320 oppgaver knyttet til algebra, aritmetikk og tallteori. Disse oppgavene skiller seg etter sin natur vesentlig fra vanlige skoleoppgaver.
2. Komplekse tall (utvalgte problemer)
2.1. Komplekse tall i algebraisk form
Løsningen av mange problemer i matematikk og fysikk reduseres til å løse algebraiske ligninger, dvs. formens ligninger
,hvor a0 , a1 , …, an er reelle tall. Derfor er studiet av algebraiske ligninger en av de kritiske spørsmål i matematikk. For eksempel har en andregradsligning med en negativ diskriminant ingen reelle røtter. Den enkleste slike ligning er ligningen
.For at denne ligningen skal ha en løsning, er det nødvendig å utvide settet med reelle tall ved å legge til roten av ligningen
.La oss betegne denne roten som
. Dermed, per definisjon, , eller ,derfor,
. kalles den imaginære enheten. Ved hjelp av den og ved hjelp av et par reelle tall dannes et uttrykk for formen.Det resulterende uttrykket ble kalt komplekse tall fordi de inneholdt både reelle og imaginære deler.
Så komplekse tall kalles uttrykk for formen
, og er reelle tall, og er et symbol som tilfredsstiller betingelsen . Tallet kalles den reelle delen av det komplekse tallet, og tallet kalles dets imaginære del. Symbolene brukes til å betegne dem.Komplekse tall i skjemaet
er reelle tall og følgelig inneholder settet med komplekse tall settet med reelle tall.Komplekse tall i skjemaet
kalles rent imaginære. To komplekse tall av formen og kalles like hvis deres reelle og imaginære deler er like, dvs. hvis likestillingene , .Den algebraiske notasjonen av komplekse tall gjør det mulig å utføre operasjoner på dem i henhold til de vanlige algebrareglene.
For å løse problemer med komplekse tall, må du forstå de grunnleggende definisjonene. hovedoppgaven av denne oversiktsartikkelen - for å forklare hva komplekse tall er, og for å presentere metoder for å løse grunnleggende problemer med komplekse tall. Dermed er et komplekst tall et tall av formen z = a + bi, Hvor a, b- reelle tall, som kalles henholdsvis de reelle og imaginære delene av det komplekse tallet, og betegner a = Re(z), b=Im(z).
Jeg kalles den imaginære enheten. i 2 \u003d -1. Spesielt kan ethvert reelt tall betraktes som komplekst: a = a + 0i, hvor a er ekte. Hvis a = 0 Og b ≠ 0, da kalles tallet rent imaginært.
Vi introduserer nå operasjoner på komplekse tall.
Tenk på to komplekse tall z 1 = a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i.
Ta i betraktning z = a + bi.
Settet med komplekse tall utvider settet med reelle tall, som igjen utvider settet rasjonelle tall etc. Denne investeringskjeden kan sees i figuren: N - heltall, Z er heltall, Q er rasjonelle, R er reelle, C er komplekse.
Representasjon av komplekse tall
Algebraisk notasjon.
Tenk på et komplekst tall z = a + bi, kalles denne formen for å skrive et komplekst tall algebraisk. Vi har allerede diskutert denne skriveformen i detalj i forrige avsnitt. Bruk ofte følgende illustrative tegning
trigonometrisk form.
Det kan sees av figuren at tallet z = a + bi kan skrives annerledes. Det er åpenbart det a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, derfor z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
kalles argumentet til et komplekst tall. Denne representasjonen av et komplekst tall kalles trigonometrisk form. Den trigonometriske formen for notasjon er noen ganger veldig praktisk. For eksempel er det praktisk å bruke det for å heve et komplekst tall til en heltallspotens, nemlig hvis z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Det z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, kalles denne formelen De Moivres formel.
Demonstrativ form.
Ta i betraktning z = rcos(φ) + rsin(φ)i er et komplekst tall i trigonometrisk form, skriver vi det på en annen form z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, den siste likheten følger av Euler-formelen, så vi får ny form komplekse talloppføringer: z = re iφ, som kalles demonstrativt. Denne formen for notasjon er også veldig praktisk for å heve et komplekst tall til en potens: z n = r n e inφ, Her n ikke nødvendigvis et heltall, men kan være vilkårlig ekte nummer. Denne skriveformen brukes ganske ofte for å løse problemer.
Grunnleggende teorem for høyere algebra
Tenk deg at vi har en andregradsligning x 2 + x + 1 = 0 . Det er klart at diskriminanten til denne ligningen er negativ og den har ingen reelle røtter, men det viser seg at denne ligningen har to forskjellige komplekse røtter. Så, hovedsetningen til høyere algebra sier at ethvert polynom av grad n har minst en kompleks rot. Det følger av dette at ethvert polynom av grad n har nøyaktig n komplekse røtter, tatt i betraktning deres mangfold. Dette teoremet er veldig viktig resultat i matematikk og er mye brukt. En enkel konsekvens av denne teoremet er følgende resultat: det er nøyaktig n ulike røtter makter n ut av enhet.
Hovedtyper av oppgaver
Denne delen vil dekke hovedtypene enkle oppgaver til komplekse tall. Konvensjonelt kan problemer på komplekse tall deles inn i følgende kategorier.
- Utføre enkle aritmetiske operasjoner på komplekse tall.
- Finne røttene til polynomer i komplekse tall.
- Heve komplekse tall til en potens.
- Ekstraksjon av røtter fra komplekse tall.
- Anvendelse av komplekse tall for å løse andre problemer.
Vurder nå generelle metoder løsninger på disse problemene.
De enkleste aritmetiske operasjonene med komplekse tall utføres i henhold til reglene beskrevet i den første delen, men hvis komplekse tall presenteres i trigonometriske eller eksponentielle former, kan de i dette tilfellet konverteres til algebraisk form og utføre operasjoner i henhold til kjente regler.
Å finne røttene til polynomer kommer vanligvis ned til å finne røttene til en kvadratisk ligning. Anta at vi har en kvadratisk ligning, hvis diskriminanten er ikke-negativ, vil røttene være reelle og finnes i henhold til en velkjent formel. Hvis diskriminanten er negativ, da D = -1∙a 2, Hvor en er et visst tall, så kan vi representere diskriminanten i skjemaet D = (ia) 2, derfor √D = i|a|, og så kan du bruke kjent formel for røttene til en andregradsligning.
Eksempel. Tilbake til ovenstående kvadratisk ligning x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminerende - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nå kan vi enkelt finne røttene:
Å heve komplekse tall til en potens kan gjøres på flere måter. Hvis du vil heve et komplekst tall i algebraisk form til en liten potens (2 eller 3), kan du gjøre dette ved direkte multiplikasjon, men hvis graden er større (i oppgaver er den ofte mye større), må du skriv dette tallet i trigonometriske eller eksponentielle former og bruk allerede kjente metoder.
Eksempel. Tenk på z = 1 + i og hev til tiende potens.
Vi skriver z i eksponentiell form: z = √2 e iπ/4 .
Deretter z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
La oss gå tilbake til den algebraiske formen: z 10 = -32i.
Å trekke ut røtter fra komplekse tall er den inverse operasjonen av eksponentiering, så det gjøres på lignende måte. For å trekke ut røttene brukes ofte den eksponentielle formen for å skrive et tall.
Eksempel. Finn alle røttene til grad 3 av enhet. For å gjøre dette finner vi alle røttene til ligningen z 3 = 1, vi vil se etter røttene i eksponentiell form.
Erstatter i ligningen: r 3 e 3iφ = 1 eller r 3 e 3iφ = e 0 .
Derfor: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, derav φ = 2πk/3.
Ulike røtter oppnås ved φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Derfor er 1 , e i2π/3 , e i4π/3 røtter.
Eller i algebraisk form:
Den siste oppgavetypen inkluderer stor mengde problemer og det finnes ingen generelle metoder for å løse dem. Her er et enkelt eksempel på en slik oppgave:
Finn beløpet sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Selv om formuleringen av dette problemet ikke gjør det i spørsmålet om komplekse tall, men med deres hjelp kan det enkelt løses. For å løse det, brukes følgende representasjoner:
Hvis vi nå erstatter denne representasjonen i summen, reduseres problemet til summeringen av den vanlige geometriske progresjonen.
Konklusjon
Komplekse tall er mye brukt i matematikk, i denne oversiktsartikkelen ble de grunnleggende operasjonene på komplekse tall vurdert, flere typer standardoppgaver ble beskrevet og kort beskrevet vanlige metoder deres løsninger, for en mer detaljert studie av mulighetene for komplekse tall, anbefales det å bruke spesialisert litteratur.