Biografier Kjennetegn Analyse

Hvordan løse en kompleks ligning. Uttrykk, ligninger og ligningssystemer med komplekse tall

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Ligninger har blitt brukt av mennesker siden antikken og siden har bruken bare økt. For klarhetens skyld, la oss løse følgende problem:

Beregn \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hvis \

Først av alt, la oss ta hensyn til det faktum at ett tall er representert i algebraisk form, det andre - i trigonometrisk form. Det må forenkles og neste type

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Uttrykket \ sier at vi for det første gjør multiplikasjon og heving til 10. potens i henhold til Moivre-formelen. Denne formelen ble formulert for den trigonometriske formen til et komplekst tall. Vi får:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Ved å følge reglene for å multiplisere komplekse tall i trigonometrisk form, vil vi gjøre følgende:

I vårt tilfelle:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Ved å gjøre brøken \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] riktig, konkluderer vi med at det er mulig å "vri" 4 omdreininger \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Svar: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Denne ligningen kan løses på en annen måte, som koker ned til å bringe det andre tallet til algebraisk form, og deretter utføre multiplikasjon i algebraisk form, oversett resultatet til trigonometrisk form og bruk De Moivres formel:

Hvor kan jeg løse et ligningssystem med komplekse tall på nettet?

Du kan løse ligningssystemet på vår nettside https: // site. Gratis online løser lar deg løse en online ligning av enhver kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonen og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

applikasjon

Løsningen av alle typer ligninger online til nettstedet for å konsolidere det studerte materialet av studenter og skolebarn Løse ligninger online. Ligninger på nett. Det finnes algebraiske, parametriske, transcendentale, funksjonelle, differensial- og andre typer ligninger. Noen ligningsklasser har analytiske løsninger, som er praktiske ved at de ikke bare gir den nøyaktige verdien av roten, men lar deg skrive løsningen i form av en formel som kan inkludere parametere. Analytiske uttrykk tillater ikke bare å beregne røttene, men også å analysere deres eksistens og antall avhengig av parameterverdiene, noe som ofte er enda viktigere for praktisk anvendelse enn spesifikke rotverdier. Løsning av ligninger online Ligninger online. Løsningen av ligningen er oppgaven med å finne slike verdier av argumentene som denne likheten oppnås for. Ytterligere betingelser (heltall, reell, etc.) kan pålegges de mulige verdiene til argumentene. Løsning av ligninger online Ligninger online. Du kan løse ligningen online umiddelbart og med høy presisjon resultat. Argumentene til de gitte funksjonene (noen ganger kalt "variabler") i tilfelle av en ligning kalles "ukjente". Verdiene til de ukjente som denne likheten oppnås for kalles løsninger eller røttene til den gitte ligningen. Røtter sies å tilfredsstille denne ligningen. Å løse en ligning på nettet betyr å finne settet med alle løsningene (røtter) eller bevise at det ikke finnes røtter. Løsning av ligninger online Ligninger online. Ekvivalente eller ekvivalente kalles ligninger, hvis sett med røtter faller sammen. Ekvivalent regnes også som ligninger som ikke har røtter. Ekvivalensen av ligninger har egenskapen til symmetri: hvis en ligning er ekvivalent med en annen, så er den andre ligningen ekvivalent med den første. Ekvivalensen av ligninger har egenskapen transitivitet: hvis en ligning er ekvivalent med en annen, og den andre er ekvivalent med den tredje, så er den første ligningen ekvivalent med den tredje. Ekvivalensegenskapen til ligninger gjør det mulig å utføre transformasjoner med dem, som metodene for å løse dem er basert på. Løsning av ligninger online Ligninger online. Siden vil tillate deg å løse ligningen online. Ligningene som analytiske løsninger er kjent for inkluderer algebraiske ligninger, ikke høyere enn fjerde grad: en lineær ligning, en kvadratisk ligning, kubikkligning og en fjerdegradsligning. Algebraiske ligninger av høyere grader i generell sak ikke har en analytisk løsning, selv om noen av dem kan reduseres til ligningene lavere grader. Ligninger som inkluderer transcendentale funksjoner kalles transcendentale. Blant dem er analytiske løsninger kjent for noen trigonometriske ligninger, siden nullene trigonometriske funksjoner Velkjente. I det generelle tilfellet, når en analytisk løsning ikke kan finnes, brukes numeriske metoder. Numeriske metoder ikke gi en eksakt løsning, men tillat bare å begrense intervallet der roten ligger til et forhåndsbestemt angi verdi. Løse ligninger på nett.. Ligninger på nett.. I stedet for en nettlikning vil vi presentere hvordan det samme uttrykket dannes lineær avhengighet og ikke bare langs en rett tangent, men også ved selve vendepunktet til grafen. Denne metoden er til enhver tid uunnværlig i studiet av emnet. Det hender ofte at løsningen av ligninger nærmer seg den endelige verdien ved hjelp av uendelige tall og skrivevektorer. Det er nødvendig å sjekke de første dataene, og dette er essensen av oppgaven. Ellers konverteres den lokale tilstanden til en formel. Rett linje inversjon fra gitt funksjon, som ligningskalkulatoren vil beregne uten mye forsinkelse i utførelsen, vil plassens privilegium tjene som en netting. Det vil handle om elevprestasjoner i vitenskapelig miljø. Imidlertid, som alt det ovennevnte, vil det hjelpe oss i prosessen med å finne, og når du løser ligningen fullstendig, lagrer du det resulterende svaret i enden av det rette linjesegmentet. Linjer i rommet skjærer hverandre i et punkt, og dette punktet kalles krysset av linjer. Intervallet på linjen er markert som gitt tidligere. Den høyeste posten om matematikkstudiet vil bli publisert. Tilordne en argumentverdi fra parametrisk gitt overflate og løse en ligning online vil kunne skissere prinsippene for produktiv funksjonskall. Mobius-stripen, eller som den kalles uendelighet, ser ut som en åttefigur. Dette er en ensidig overflate, ikke en tosidig. I henhold til prinsippet som er velkjent for alle, vil vi objektivt akseptere lineære ligninger for grunnbetegnelsen som den er og i studieretningen. Bare to verdier av suksessivt gitte argumenter er i stand til å avsløre retningen til vektoren. Å anta at en annen løsning av online-ligningene er mye mer enn bare å løse det, betyr å få en fullverdig versjon av invarianten ved utgangen. Uten integrert tilnærming elevene synes det er vanskelig å lære dette materialet. Som før, for hvert spesialtilfelle, vil vår praktiske og smarte online ligningskalkulator hjelpe alle i et vanskelig øyeblikk, fordi du bare trenger å spesifisere inngangsparametrene og systemet vil beregne svaret selv. Før vi begynner å legge inn data trenger vi et inndataverktøy, som kan gjøres uten store problemer. Antallet på hver responsscore vil være en kvadratisk ligning som fører til våre konklusjoner, men dette er ikke så lett å gjøre, fordi det er lett å bevise det motsatte. Teorien, på grunn av dens funksjoner, støttes ikke praktisk kunnskap. Å se en brøkkalkulator på tidspunktet for å publisere et svar er ikke en lett oppgave i matematikk, siden alternativet med å skrive et tall på et sett øker veksten av funksjonen. Det ville imidlertid være feil å ikke si om opplæringen av studentene, så vi vil uttrykke hver enkelt så mye som det er nødvendig å gjøre. Den tidligere funnet kubiske ligningen vil med rette tilhøre definisjonsdomenet, og inneholde rommet numeriske verdier, samt symbolske variabler. Etter å ha lært eller memorert teoremet, vil studentene våre bevise seg kun med bedre side og vi vil være glade for dem. I motsetning til settet med skjæringspunkter av felt, er våre online ligninger beskrevet av et bevegelsesplan langs multiplikasjonen av to og tre numeriske kombinerte linjer. Et sett i matematikk er ikke unikt definert. Den beste løsningen, ifølge studentene, er det skriftlige uttrykket fullført til slutten. Som det ble sagt vitenskapelig språk, abstraksjon av symbolske uttrykk er ikke inkludert i tingenes tilstand, men løsningen av ligninger gir et entydig resultat i alle kjente tilfeller. Varigheten av lærertimen tar utgangspunkt i behovene i dette tilbudet. Analysen viste behovet for alle beregningsteknikker på mange områder, og det er helt klart at ligningskalkulatoren er et uunnværlig verktøy i en elevs begavede hender. En lojal tilnærming til studiet av matematikk bestemmer viktigheten av syn på forskjellige retninger. Du vil utpeke en av nøkkelsetningene og løse ligningen på en slik måte, avhengig av svaret som det vil være et ytterligere behov for anvendelse av. Analytics på dette området får fart. La oss starte fra begynnelsen og utlede formelen. Etter å ha brutt gjennom økningsnivået til funksjonen, vil tangentlinjen ved bøyningspunktet nødvendigvis føre til at løsning av ligningen online vil være et av hovedaspektene ved å konstruere den samme grafen fra funksjonsargumentet. Amatørtilnærmingen har rett til å bli brukt dersom denne betingelsen ikke er i strid med studentenes konklusjoner. Det er deloppgaven som setter analysen av matematiske forhold som lineære ligninger i det eksisterende domenet til objektdefinisjonen som bringes i bakgrunnen. Forskyvning i retning ortogonalitet reduserer gjensidig fordelen av en ensom absolutt verdi. Modulo, å løse ligninger på nett gir like mange løsninger, hvis du åpner parentesene først med et plusstegn, og deretter med et minustegn. I dette tilfellet er det dobbelt så mange løsninger, og resultatet blir mer nøyaktig. En stabil og korrekt online ligningskalkulator er en suksess i å oppnå det tiltenkte målet i oppgaven satt av læreren. Nødvendig metode Det ser ut til å være mulig å velge på grunn av de betydelige forskjellene i synet til store forskere. Den resulterende kvadratiske ligningen beskriver kurven til linjene, den såkalte parablen, og tegnet vil bestemme dens konveksitet i kvadratisk system koordinater. Fra ligningen får vi både diskriminanten og selve røttene i henhold til Vieta-setningen. Å presentere uttrykket som en riktig eller uekte brøk og bruke brøkkalkulatoren er nødvendig i det første trinnet. Avhengig av dette vil det lages en plan for våre videre beregninger. Matematikk kl teoretisk tilnærming nyttig i alle ledd. Vi vil definitivt presentere resultatet som en kubikkligning, fordi vi vil skjule røttene i dette uttrykket for å forenkle oppgaven for en student ved et universitet. Eventuelle metoder er gode hvis de er egnet for overfladisk analyse. Ekstra aritmetiske operasjoner vil ikke føre til regnefeil. Bestem svaret med en gitt nøyaktighet. Ved å bruke løsningen av ligninger, la oss innse det - å finne en uavhengig variabel fra en gitt funksjon er ikke så lett, spesielt i studieperioden parallelle linjer i det uendelige. Med tanke på unntaket er behovet svært åpenbart. Polaritetsforskjellen er entydig. Fra erfaring med undervisning i institutter, tok læreren vår hovedleksjon, hvor ligninger ble studert online i full matematisk forstand. Her handlet det om høyere innsats og spesialkompetanse i anvendelse av teori. Til fordel for våre konklusjoner bør man ikke se gjennom et prisme. Inntil nylig ble det antatt at et lukket sett vokser raskt over området som det er, og løsningen av ligninger må ganske enkelt undersøkes. På den første fasen vurderte vi ikke alle mulige alternativer, men en slik tilnærming er mer berettiget enn noen gang. Ekstra handlinger med parentes rettferdiggjør noen fremskritt langs ordinat- og abscisse-aksene, som ikke kan overses av det blotte øye. Det er et bøyningspunkt i betydningen en bred proporsjonal økning av en funksjon. Nok en gang beviser vi hvordan nødvendig tilstand vil bli brukt gjennom hele synkende intervall for en eller annen synkende posisjon til vektoren. I et begrenset rom vil vi velge en variabel fra den første blokken i skriptet vårt. Systemet bygget som basis på tre vektorer er ansvarlig for fraværet av hovedkraftmomentet. Imidlertid deduserte ligningskalkulatoren og hjalp til med å finne alle leddene i den konstruerte ligningen, både over overflaten og langs parallelle linjer. La oss beskrive en sirkel rundt utgangspunktet. Dermed vil vi begynne å bevege oss opp langs snittlinjene, og tangenten vil beskrive sirkelen langs hele lengden, som et resultat vil vi få en kurve, som kalles en involutt. La oss forresten snakke om denne kurven litt historie. Faktum er at det historisk sett i matematikken ikke fantes noe begrep om matematikk i seg selv i ren forstand slik det er i dag. Tidligere var alle forskere engasjert i en vanlig årsak dvs. vitenskap. Senere, flere århundrer senere, når vitenskapelige verden fylt med en kolossal mengde informasjon, skilte menneskeheten fortsatt ut mange disipliner. De er fortsatt uendret. Og likevel prøver forskere over hele verden hvert år å bevise at vitenskap er grenseløs, og du kan ikke løse ligningen med mindre du har kunnskap om feltet. naturvitenskap. Det er kanskje ikke mulig å endelig få slutt på det. Å tenke på det er like meningsløst som å varme opp luften utenfor. La oss finne intervallet der argumentet, med sin positive verdi, bestemmer modulen til verdien i kraftig økende retning. Reaksjonen vil bidra til å finne minst tre løsninger, men det vil være nødvendig å sjekke dem. La oss starte med det faktum at vi må løse ligningen online ved å bruke den unike tjenesten til nettstedet vårt. La oss legge inn begge deler av den gitte ligningen, trykk på "LØS"-knappen og få det eksakte svaret i løpet av bare noen få sekunder. I spesielle anledninger la oss ta en bok om matematikk og dobbeltsjekke svaret vårt, nemlig la oss bare se på svaret og alt vil bli klart. Det samme prosjektet vil fly ut på et kunstig redundant parallellepiped. Det er et parallellogram med sitt eget parallelle sider, og den forklarer mange prinsipper og tilnærminger til læring romlig forhold stigende prosess med akkumulering av hulrom i naturlige formler. Tvetydige lineære ligninger viser avhengigheten av den ønskede variabelen med vår felles dette øyeblikket tid ved avgjørelse og det er nødvendig å på en eller annen måte trekke seg tilbake og bringe uekte brøk til en ikke-triviell sak. Vi markerer ti punkter på den rette linjen og tegner en kurve gjennom hvert punkt inn gitt retning, og buler opp. Uten store vanskeligheter vil ligningskalkulatoren vår presentere et uttrykk i en slik form at kontrollen av reglenes gyldighet vil være åpenbar selv i begynnelsen av opptaket. Systemet med spesielle representasjoner av stabilitet for matematikere i utgangspunktet, med mindre annet er gitt av formelen. Vi vil svare på dette med en detaljert presentasjon av en rapport om den isomorfe tilstanden til et plastisk system av kropper, og løsningen av ligninger på nettet vil beskrive bevegelsen til hvert materialpunkt i dette systemet. På nivå med dybdeforskning vil det være nødvendig å avklare i detalj spørsmålet om inversjoner i det minste av det nedre laget av rom. I stigende rekkefølge på delen av funksjonens diskontinuitet, vil vi bruke den generelle metoden til en utmerket forsker, forresten, vår landsmann, og vi vil fortelle nedenfor om oppførselen til flyet. På grunn av de sterke egenskapene til den analytisk gitte funksjonen, bruker vi bare den elektroniske ligningskalkulatoren til det tiltenkte formålet innenfor de avledede grensene for autoritet. Ved å argumentere videre stopper vi vår gjennomgang av homogeniteten til selve ligningen, det vil si at dens høyre side er likestilt med null. Igjen vil vi verifisere riktigheten av avgjørelsen vår i matematikk. For å unngå å få triviell løsning La oss gjøre noen justeringer Innledende forhold på problemet med betinget stabilitet av systemet. La oss komponere en andregradsligning, som vi skriver ut to oppføringer for ved hjelp av den velkjente formelen og finner negative røtter. Hvis en rot overskrider den andre og tredje røtten med fem enheter, forvrider vi dermed startbetingelsene til delproblemet ved å gjøre endringer i hovedargumentet. I kjernen kan noe uvanlig i matematikk alltid beskrives med en nøyaktighet på hundredeler av verdier. positivt tall. Brøkkalkulatoren er flere ganger overlegen sine motparter på lignende ressurser på det beste tidspunktet for serverbelastning. På overflaten av hastighetsvektoren som vokser langs y-aksen, tegner vi syv linjer bøyd i motsatte retninger til hverandre. Kommensurabiliteten til det tilordnede funksjonsargumentet leder gjenopprettingsbalansetelleren. I matematikk kan dette fenomenet representeres gjennom en kubisk ligning med imaginære koeffisienter, så vel som i en bipolar fremgang av synkende linjer. Kritiske punkter temperaturforskjell i mange av dens betydning og fremgang beskriver prosessen med nedbrytning av et kompleks brøkfunksjon for multiplikatorer. Hvis du får beskjed om å løse ligningen, ikke skynd deg å gjøre det i dette øyeblikket, evaluer definitivt hele handlingsplanen, og først deretter ta den riktige tilnærmingen. Det vil garantert være fordeler. Enkelhet i arbeidet er åpenbart, og i matematikk er det det samme. Løs ligningen på nett. Alle online ligninger er en viss type en oppføring av tall eller parametere og en variabel som skal defineres. Beregn denne variabelen, det vil si finn spesifikke verdier eller intervaller for et sett med verdier som identiteten vil være tilfredsstilt med. De innledende og endelige betingelsene avhenger direkte. I felles vedtak ligninger inkluderer vanligvis noen variabler og konstanter, ved å angi hvilke, vil vi få hele familier av løsninger for en gitt problemstilling. Generelt rettferdiggjør dette innsatsen som er investert i retning av å øke funksjonaliteten til en romlig kube med en side lik 100 centimeter. Du kan bruke et teorem eller et lemma på et hvilket som helst stadium av å konstruere et svar. Nettstedet utsteder gradvis en kalkulator av ligninger, om nødvendig, ved ethvert intervall av summering av produkter viser minste verdi. I halvparten av tilfellene er en slik ball hul, ikke inn mer oppfyller kravene for å sette et mellomsvar. I det minste på y-aksen i retning av avtagende vektorrepresentasjon vil denne andelen utvilsomt være mer optimal enn det forrige uttrykket. På timen når lineære funksjoner vil være en fullpunktsanalyse, vi vil faktisk sette sammen alle våre komplekse tall og bipolare planrom. Ved å erstatte en variabel i det resulterende uttrykket vil du løse ligningen i etapper og gi det mest detaljerte svaret med høy nøyaktighet. Nok en gang, å sjekke handlingene dine i matematikk vil være en god form for en elev. Andelen i forholdet mellom brøker fastsatte integriteten til resultatet for alle viktige områder null vektoraktivitet. Trivialitet bekreftes på slutten av de utførte handlingene. Med et enkelt oppgavesett kan ikke elevene få vanskeligheter hvis de løser ligningen online på kortest mulig tid, men ikke glem alle slags regler. Settet med delmengder skjærer hverandre i området med konvergerende notasjon. I ulike anledninger produktet er ikke feilaktig faktorisert. Du vil få hjelp til å løse ligningen online i vår første seksjon om grunnleggende matematiske teknikker for betydelige seksjoner for studenter ved universiteter og tekniske skoler. Å svare på eksempler vil ikke få oss til å vente på flere dager, siden prosessen med den beste interaksjonen av vektoranalyse med sekvensielt funn av løsninger ble patentert på begynnelsen av forrige århundre. Det viser seg at innsatsen for å få kontakt med det omkringliggende laget ikke var forgjeves, noe annet var åpenbart forsinket i utgangspunktet. Flere generasjoner senere førte forskere over hele verden til å tro at matematikk er vitenskapens dronning. Enten det er venstre eller høyre svar, må de uttømmende begrepene fortsatt skrives i tre rader, siden i vårt tilfelle vi skal snakke definitivt bare om vektoranalyse matriseegenskaper. Ikke-lineære og lineære ligninger, sammen med biquadratiske ligninger, inntok en særstilling i vår bok om beste praksis beregning av bevegelsesbanen i alle rom materielle poeng lukket system. Hjelp oss å bringe ideen ut i livet lineær analyse prikkprodukt tre påfølgende vektorer. På slutten av hver innstilling gjøres oppgaven enklere ved å introdusere optimaliserte numeriske unntak i sammenheng med de numeriske romoverleggene som utføres. En annen dom vil ikke motsette seg svaret i fri form trekanter i en sirkel. Vinkelen mellom de to vektorene inneholder den nødvendige prosentandelen av margin og å løse ligninger online avslører ofte en viss felles rot ligninger i motsetning til startbetingelser. Unntaket spiller rollen som en katalysator i hele den uunngåelige prosessen med å finne en positiv løsning innen funksjonsdefinisjon. Hvis det ikke er sagt at du ikke kan bruke en datamaskin, så er den elektroniske ligningskalkulatoren akkurat riktig for dine vanskelige oppgaver. Det er nok bare å legge inn betingede data i riktig format, og serveren vår vil gi et fullverdig resultatsvar på kortest mulig tid. Eksponentiell funksjonøker mye raskere enn lineært. Dette er bevist av Talmuds av smart biblioteklitteratur. Vil utføre beregningen i generell forstand, slik den gitte kvadratiske ligningen med tre komplekse koeffisienter ville gjort. Parablen i den øvre delen av halvplanet karakteriserer rettlinjet parallell bevegelse langs punktets akser. Her er det verdt å nevne den potensielle forskjellen i arbeidsområdet til kroppen. Til gjengjeld for et suboptimalt resultat, inntar vår brøkkalkulator med rette den første posisjonen i den matematiske vurderingen av gjennomgangen av funksjonelle programmer på baksiden. Brukervennlighet denne tjenesten verdsatt av millioner av Internett-brukere. Hvis du ikke vet hvordan du bruker det, så hjelper vi deg gjerne. Vi ønsker også å fremheve og fremheve kubikkligningen fra en rekke barneskolebarns oppgaver, når du raskt skal finne røttene og plotte en funksjonsgraf på et plan. høyere grader reproduksjon er en av de vanskeligste matematiske problemer ved instituttet og det avsettes tilstrekkelig antall timer til studiet. Som alle lineære ligninger, er vår ikke noe unntak fra mange objektive regler, ta en titt under forskjellige punkter visjon, og det vil være enkelt og tilstrekkelig å sette startbetingelsene. Økningsintervallet faller sammen med konveksitetsintervallet til funksjonen. Løsning av ligninger online. Teoristudiet er basert på ligninger online fra en rekke deler av studien kjernedisiplin. På grunn av denne tilnærmingen, usikre oppgaver, er det veldig enkelt å presentere løsningen av ligninger i en forhåndsbestemt form og ikke bare trekke konklusjoner, men også forutsi utfallet av en slik positiv løsning. lære fagområde vil hjelpe oss å betjene mest mulig beste tradisjoner matematikk, akkurat som det er vanlig i øst. På de beste øyeblikkene i tidsintervallet ble lignende oppgaver multiplisert med en felles multiplikator ti ganger. Med en overflod av multiplikasjoner av flere variabler i ligningskalkulatoren, begynte den å multiplisere med kvalitet, og ikke med kvantitative variabler, slike verdier som masse eller kroppsvekt. For å unngå tilfeller av ubalanse i materialsystemet, er det ganske åpenbart for oss utledningen av en tredimensjonal omformer på den trivielle konvergensen av ikke-degenererte matematiske matriser. Fullfør oppgaven og løs ligningen i gitte koordinater, siden utgangen er ukjent på forhånd, så vel som alle variablene som er inkludert i post-romtiden er ukjente. For en kort stund skyver du fellesfaktoren ut av parentesen og deler på den største felles deler begge deler på forhånd. Fra under den resulterende dekkede delmengden av tall trekkes ut detaljert måte trettitre poeng på rad i løpet av en kort periode. Så langt som i på sitt beste det er mulig for hver student å løse ligningen online, se fremover, la oss si en viktig, men nøkkel ting, uten som vi ikke vil være lett å leve i fremtiden. I forrige århundre la den store vitenskapsmannen merke til en rekke regelmessigheter i matematikkteorien. I praksis viste det seg ikke helt det forventede inntrykket av hendelsene. Men i prinsippet bidrar nettopp denne løsningen av ligninger på nett til å forbedre forståelsen og oppfatningen av en helhetlig tilnærming til studiet og praktisk konsolidering av det teoretiske materialet som dekkes av studentene. Det er mye lettere å gjøre dette i løpet av studietiden.

=

FORBUNDSBYRÅ FOR UTDANNING

STATS UTDANNINGSINSTITUTION

HØYERE PROFESJONELL UTDANNING

"VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY"

STOL FOR AGLEBRA OG GEOMETRI

Komplekse tall

(utvalgte oppgaver)

AVSLUTTENDE KVALIFIKASJONSARBEID

spesialitet 050201.65 matematikk

(med ekstra spesialitet 050202.65 informatikk)

Fullført av: 5. års student

fysisk og matematisk

fakultet

Vitenskapelig rådgiver:

VORONEZH - 2008


1. Introduksjon……………………………………………………...…………..…

2. Komplekse tall (utvalgte problemer)

2.1. Komplekse tall i algebraisk form….……………………….….

2.2. Geometrisk tolkning av komplekse tall…………..…

2.3. Trigonometrisk form av komplekse tall

2.4. Anvendelse av teorien om komplekse tall på løsning av likninger av 3. og 4. grad…………………..…………………………………………………………………

2.5. Komplekse tall og parametere……………………………………………………….

3. Konklusjon……………………………………………………………………….

4. Liste over referanser……………………………….………………………….


1. Introduksjon

I matematikkprogrammet skolekurs tallteori introduseres på eksempler på sett med naturlige tall, heltall, rasjonelle, irrasjonelle, dvs. på settet med reelle tall hvis bilder fyller hele talllinjen. Men allerede i 8. klasse er det ikke nok lager av reelle tall, som løser kvadratiske ligninger med en negativ diskriminant. Derfor var det nødvendig å fylle opp bestanden av reelle tall med komplekse tall som kvadratroten av negativt tall har betydningen.

Jeg velger emnet "Komplekse tall" som mitt eksamenstema kvalifiserende arbeid, ligger i det faktum at begrepet et komplekst tall utvider elevenes kunnskap om numeriske systemer, om å løse en bred klasse av problemer av både algebraisk og geometrisk innhold, om å løse algebraiske ligninger hvilken som helst grad og om å løse problemer med parametere.

I dette oppgavearbeidet vurderes løsningen av 82 problemer.

Første del av hoveddelen "Komplekse tall" inneholder løsninger på problemer med komplekse tall i algebraisk form defineres operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, konjugasjonsoperasjonen for komplekse tall i algebraisk form, graden av den imaginære enheten, modulen til et komplekst tall, og uttrekksregelen er også angitt kvadratrot fra et komplekst tall.

I den andre delen løses problemer for geometrisk tolkning av komplekse tall i form av punkter eller vektorer til det komplekse planet.

Den tredje delen tar for seg operasjoner på komplekse tall i trigonometrisk form. Formler brukes: De Moivre og ekstraksjon av en rot fra et komplekst tall.

Den fjerde delen er viet til å løse likninger av 3. og 4. grad.

Når du løser problemer i siste del "Komplekse tall og parametere", blir informasjonen gitt i de foregående delene brukt og konsolidert. En rekke problemer i kapitlet er viet definisjonen av familier av linjer i det komplekse planet, gitt av ligningene(ulikheter) med en parameter. I en del av øvelsene må du løse likninger med en parameter (over feltet C). Det er oppgaver hvor en kompleks variabel samtidig tilfredsstiller en rekke betingelser. Et trekk ved å løse problemene i denne delen er reduksjonen av mange av dem til å løse ligninger (ulikheter, systemer) av andre grad, irrasjonelle, trigonometriske med en parameter.

Et trekk ved presentasjonen av materialet til hver del er den første inngangen teoretiske grunnlag, og senere deres praktiske anvendelse for å løse problemer.

På slutten avhandling en liste over brukt litteratur presenteres. De fleste av dem er ganske detaljerte og tilgjengelige. teoretisk materiale, løsninger på noen problemer vurderes og praktiske oppgaver Til uavhengig avgjørelse. Spesiell oppmerksomhet Jeg vil gjerne referere til kilder som:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplekse tall og deres anvendelser: Lærebok. . Materiale studieguide presentert i form av forelesninger og praktiske øvelser.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Utvalgte oppgaver og teoremer i elementær matematikk. Aritmetikk og algebra. Boken inneholder 320 oppgaver knyttet til algebra, aritmetikk og tallteori. Disse oppgavene skiller seg etter sin natur vesentlig fra vanlige skoleoppgaver.


2. Komplekse tall (utvalgte problemer)

2.1. Komplekse tall i algebraisk form

Løsningen av mange problemer i matematikk og fysikk reduseres til å løse algebraiske ligninger, dvs. formens ligninger

,

hvor a0 , a1 , …, an er reelle tall. Derfor er studiet av algebraiske ligninger en av de kritiske spørsmål i matematikk. For eksempel har en andregradsligning med en negativ diskriminant ingen reelle røtter. Den enkleste slike ligning er ligningen

.

For at denne ligningen skal ha en løsning, er det nødvendig å utvide settet med reelle tall ved å legge til roten av ligningen

.

La oss betegne denne roten som

. Dermed, per definisjon, , eller ,

derfor,

. kalles den imaginære enheten. Ved hjelp av den og ved hjelp av et par reelle tall dannes et uttrykk for formen.

Det resulterende uttrykket ble kalt komplekse tall fordi de inneholdt både reelle og imaginære deler.

Så komplekse tall kalles uttrykk for formen

, og er reelle tall, og er et symbol som tilfredsstiller betingelsen . Tallet kalles den reelle delen av det komplekse tallet, og tallet kalles dets imaginære del. Symbolene brukes til å betegne dem.

Komplekse tall i skjemaet

er reelle tall og følgelig inneholder settet med komplekse tall settet med reelle tall.

Komplekse tall i skjemaet

kalles rent imaginære. To komplekse tall av formen og kalles like hvis deres reelle og imaginære deler er like, dvs. hvis likestillingene , .

Den algebraiske notasjonen av komplekse tall gjør det mulig å utføre operasjoner på dem i henhold til de vanlige algebrareglene.

For å løse problemer med komplekse tall, må du forstå de grunnleggende definisjonene. hovedoppgaven av denne oversiktsartikkelen - for å forklare hva komplekse tall er, og for å presentere metoder for å løse grunnleggende problemer med komplekse tall. Dermed er et komplekst tall et tall av formen z = a + bi, Hvor a, b- reelle tall, som kalles henholdsvis de reelle og imaginære delene av det komplekse tallet, og betegner a = Re(z), b=Im(z).
Jeg kalles den imaginære enheten. i 2 \u003d -1. Spesielt kan ethvert reelt tall betraktes som komplekst: a = a + 0i, hvor a er ekte. Hvis a = 0 Og b ≠ 0, da kalles tallet rent imaginært.

Vi introduserer nå operasjoner på komplekse tall.
Tenk på to komplekse tall z 1 = a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i.

Ta i betraktning z = a + bi.

Settet med komplekse tall utvider settet med reelle tall, som igjen utvider settet rasjonelle tall etc. Denne investeringskjeden kan sees i figuren: N - heltall, Z er heltall, Q er rasjonelle, R er reelle, C er komplekse.


Representasjon av komplekse tall

Algebraisk notasjon.

Tenk på et komplekst tall z = a + bi, kalles denne formen for å skrive et komplekst tall algebraisk. Vi har allerede diskutert denne skriveformen i detalj i forrige avsnitt. Bruk ofte følgende illustrative tegning


trigonometrisk form.

Det kan sees av figuren at tallet z = a + bi kan skrives annerledes. Det er åpenbart det a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, derfor z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) kalles argumentet til et komplekst tall. Denne representasjonen av et komplekst tall kalles trigonometrisk form. Den trigonometriske formen for notasjon er noen ganger veldig praktisk. For eksempel er det praktisk å bruke det for å heve et komplekst tall til en heltallspotens, nemlig hvis z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Det z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, kalles denne formelen De Moivres formel.

Demonstrativ form.

Ta i betraktning z = rcos(φ) + rsin(φ)i er et komplekst tall i trigonometrisk form, skriver vi det på en annen form z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, den siste likheten følger av Euler-formelen, så vi får ny form komplekse talloppføringer: z = re iφ, som kalles demonstrativt. Denne formen for notasjon er også veldig praktisk for å heve et komplekst tall til en potens: z n = r n e inφ, Her n ikke nødvendigvis et heltall, men kan være vilkårlig ekte nummer. Denne skriveformen brukes ganske ofte for å løse problemer.

Grunnleggende teorem for høyere algebra

Tenk deg at vi har en andregradsligning x 2 + x + 1 = 0 . Det er klart at diskriminanten til denne ligningen er negativ og den har ingen reelle røtter, men det viser seg at denne ligningen har to forskjellige komplekse røtter. Så, hovedsetningen til høyere algebra sier at ethvert polynom av grad n har minst en kompleks rot. Det følger av dette at ethvert polynom av grad n har nøyaktig n komplekse røtter, tatt i betraktning deres mangfold. Dette teoremet er veldig viktig resultat i matematikk og er mye brukt. En enkel konsekvens av denne teoremet er følgende resultat: det er nøyaktig n ulike røtter makter n ut av enhet.

Hovedtyper av oppgaver

Denne delen vil dekke hovedtypene enkle oppgaver til komplekse tall. Konvensjonelt kan problemer på komplekse tall deles inn i følgende kategorier.

  • Utføre enkle aritmetiske operasjoner på komplekse tall.
  • Finne røttene til polynomer i komplekse tall.
  • Heve komplekse tall til en potens.
  • Ekstraksjon av røtter fra komplekse tall.
  • Anvendelse av komplekse tall for å løse andre problemer.

Vurder nå generelle metoder løsninger på disse problemene.

De enkleste aritmetiske operasjonene med komplekse tall utføres i henhold til reglene beskrevet i den første delen, men hvis komplekse tall presenteres i trigonometriske eller eksponentielle former, kan de i dette tilfellet konverteres til algebraisk form og utføre operasjoner i henhold til kjente regler.

Å finne røttene til polynomer kommer vanligvis ned til å finne røttene til en kvadratisk ligning. Anta at vi har en kvadratisk ligning, hvis diskriminanten er ikke-negativ, vil røttene være reelle og finnes i henhold til en velkjent formel. Hvis diskriminanten er negativ, da D = -1∙a 2, Hvor en er et visst tall, så kan vi representere diskriminanten i skjemaet D = (ia) 2, derfor √D = i|a|, og så kan du bruke kjent formel for røttene til en andregradsligning.

Eksempel. Tilbake til ovenstående kvadratisk ligning x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminerende - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nå kan vi enkelt finne røttene:

Å heve komplekse tall til en potens kan gjøres på flere måter. Hvis du vil heve et komplekst tall i algebraisk form til en liten potens (2 eller 3), kan du gjøre dette ved direkte multiplikasjon, men hvis graden er større (i oppgaver er den ofte mye større), må du skriv dette tallet i trigonometriske eller eksponentielle former og bruk allerede kjente metoder.

Eksempel. Tenk på z = 1 + i og hev til tiende potens.
Vi skriver z i eksponentiell form: z = √2 e iπ/4 .
Deretter z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
La oss gå tilbake til den algebraiske formen: z 10 = -32i.

Å trekke ut røtter fra komplekse tall er den inverse operasjonen av eksponentiering, så det gjøres på lignende måte. For å trekke ut røttene brukes ofte den eksponentielle formen for å skrive et tall.

Eksempel. Finn alle røttene til grad 3 av enhet. For å gjøre dette finner vi alle røttene til ligningen z 3 = 1, vi vil se etter røttene i eksponentiell form.
Erstatter i ligningen: r 3 e 3iφ = 1 eller r 3 e 3iφ = e 0 .
Derfor: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, derav φ = 2πk/3.
Ulike røtter oppnås ved φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Derfor er 1 , e i2π/3 , e i4π/3 røtter.
Eller i algebraisk form:

Den siste oppgavetypen inkluderer stor mengde problemer og det finnes ingen generelle metoder for å løse dem. Her er et enkelt eksempel på en slik oppgave:

Finn beløpet sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Selv om formuleringen av dette problemet ikke gjør det i spørsmålet om komplekse tall, men med deres hjelp kan det enkelt løses. For å løse det, brukes følgende representasjoner:


Hvis vi nå erstatter denne representasjonen i summen, reduseres problemet til summeringen av den vanlige geometriske progresjonen.

Konklusjon

Komplekse tall er mye brukt i matematikk, i denne oversiktsartikkelen ble de grunnleggende operasjonene på komplekse tall vurdert, flere typer standardoppgaver ble beskrevet og kort beskrevet vanlige metoder deres løsninger, for en mer detaljert studie av mulighetene for komplekse tall, anbefales det å bruke spesialisert litteratur.

Litteratur