Hvordan trekke fra vanlige brøker. Addisjon av brøker med hele tall og ulike nevnere

Reglene for å legge til brøker med ulike nevnere er veldig enkle.

Vurder reglene for å legge til brøker med forskjellige nevnere i trinn:

1. Finn LCM (minste felles multiplum) av nevnerne. Den resulterende LCM vil være fellesnevneren for brøkene;

2. Ta med brøker til en fellesnevner;

3. Legg til brøker redusert til en fellesnevner.

Ved å bruke et enkelt eksempel vil vi lære hvordan vi bruker reglene for å legge til brøker med forskjellige nevnere.

Eksempel

Et eksempel på å legge til brøker med forskjellige nevnere.

Legg til brøker med forskjellige nevnere:

1	+	5
6		12

La oss bestemme steg for steg.

1. Finn LCM (minste felles multiplum) av nevnerne.

Tallet 12 er delelig med 6.

Fra dette konkluderer vi med at 12 er det minste felles multiplum av tallene 6 og 12.

Svar: nok for tallene 6 og 12 er 12:

LCM(6; 12) = 12

Den resulterende NOC vil være fellesnevneren for de to brøkene 1/6 og 5/12.

2. Ta med brøker til en fellesnevner.

I vårt eksempel er det bare den første brøken som må reduseres til en fellesnevner på 12, fordi den andre brøken allerede har en nevner på 12.

Del fellesnevneren av 12 med nevneren til den første brøken:

2 har en ekstra multiplikator.

Multipliser telleren og nevneren til den første brøken (1/6) med en tilleggsfaktor på 2.

Telleren, og den som den er delt med, er nevneren.

For å skrive en brøk, skriv først telleren, tegn deretter en horisontal linje under dette tallet, og skriv nevneren under linjen. Den horisontale linjen som skiller telleren og nevneren kalles en brøkstrek. Noen ganger er det avbildet som en skrå "/" eller "∕". I dette tilfellet skrives telleren til venstre for linjen, og nevneren til høyre. Så for eksempel vil brøken "to tredjedeler" skrives som 2/3. For klarhetens skyld er telleren vanligvis skrevet øverst på linjen, og nevneren nederst, det vil si i stedet for 2/3, kan du finne: ⅔.

For å beregne produktet av brøker, multipliser først telleren av én brøker til en annen teller. Skriv resultatet til telleren til den nye brøker. Multipliser deretter nevnerne også. Angi den endelige verdien i den nye brøker. For eksempel 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

For å dele en brøkdel med en annen, multipliser først telleren til den første med nevneren til den andre. Gjør det samme med den andre brøken (divisor). Eller før du utfører alle trinnene, "snu" du først deleren, hvis det er mer praktisk for deg: nevneren skal være i stedet for telleren. Multipliser deretter nevneren til utbyttet med den nye nevneren til divisoren og gang tellerne. For eksempel, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Kilder:

• Grunnleggende oppgaver for brøker

Brøktall lar deg uttrykke den nøyaktige verdien av en mengde på forskjellige måter. Med brøker kan du utføre de samme matematiske operasjonene som med heltall: subtraksjon, addisjon, multiplikasjon og divisjon. For å lære å bestemme brøker, er det nødvendig å huske noen av funksjonene deres. De avhenger av typen brøker, tilstedeværelsen av en heltallsdel, en fellesnevner. Noen aritmetiske operasjoner etter utførelse krever reduksjon av brøkdelen av resultatet.

Du vil trenge

• - kalkulator

Instruksjon

Se nøye på tallene. Hvis det er desimaler og uregelmessigheter blant brøkene, er det noen ganger mer praktisk å først utføre handlinger med desimaler, og deretter konvertere dem til feil form. Kan du oversette brøker i denne formen til å begynne med, skrive verdien etter desimaltegnet i telleren og sette 10 i nevneren. Reduser om nødvendig brøken ved å dele tallene over og under med én divisor. Brøker der hele delen skiller seg ut, fører til feil form ved å multiplisere den med nevneren og legge telleren til resultatet. Denne verdien blir den nye telleren brøker. For å trekke ut hele delen fra den opprinnelig feil brøker, del telleren på nevneren. Skriv hele resultatet fra brøker. Og resten av divisjonen blir den nye telleren, nevneren brøker mens den ikke endres. For brøker med en heltallsdel er det mulig å utføre handlinger separat, først for heltall og deretter for brøkdeler. For eksempel kan summen av 1 2/3 og 2 ¾ beregnes:
- Konvertering av brøker til feil form:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summasjon separat av heltalls- og brøkdeler av termer:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Skriv dem om gjennom skilletegn ":" og fortsett den vanlige inndelingen.

For å få det endelige resultatet, reduser den resulterende brøken ved å dele telleren og nevneren med ett helt tall, størst mulig i dette tilfellet. I dette tilfellet må det være heltall over og under linjen.

Merk

Ikke regn med brøker som har forskjellige nevnere. Velg et tall slik at når telleren og nevneren for hver brøk multipliseres med det, blir nevnerne til begge brøkene like.

Nyttige råd

Når du skriver brøktall, skrives utbyttet over linjen. Denne mengden blir referert til som telleren av en brøk. Under linjen er deleren, eller nevneren, av brøken skrevet. For eksempel vil halvannet kilo ris i form av en brøk skrives som følger: 1 ½ kg ris. Hvis nevneren til en brøk er 10, kalles den en desimalbrøk. I dette tilfellet er telleren (utbytte) skrevet til høyre for hele delen atskilt med komma: 1,5 kg ris. For enkelhets skyld kan en slik brøk alltid skrives i feil form: 1 2/10 kg poteter. For å forenkle kan du redusere teller- og nevnerverdiene ved å dele dem med et enkelt heltall. I dette eksemplet er det mulig å dele med 2. Resultatet er 1 1/5 kg poteter. Pass på at tallene du skal regne med er i samme form.

I denne leksjonen vil vi vurdere addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker med de samme nevnerne. Vi vet allerede hvordan vi legger til og subtraherer vanlige brøker med de samme nevnerne. Det viser seg at algebraiske brøker følger de samme reglene. Evnen til å arbeide med brøker med samme nevnere er en av hjørnesteinene i å lære reglene for arbeid med algebraiske brøker. Spesielt vil forståelsen av dette emnet gjøre det enkelt å mestre et mer komplekst emne - addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellige nevnere. Som en del av leksjonen skal vi studere reglene for å addere og subtrahere algebraiske brøker med samme nevnere, samt analysere en rekke typiske eksempler

Regel for å addere og subtrahere algebraiske brøker med samme nevnere

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (du-chi-ta-niya) al-geb-ra-og-che-dro-bey med en-til-deg - mi-know-on-te-la-mi (det er co-pa-yes-et med den analoge tommelfingeren for vanlig-men-ven-nyh-dr-bay): Det er for tillegget eller you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey med en-til-deg-mi-kjenner-meg-på-te-la-mi er nødvendig -ho-di-mo med -stå med-fra-veter-stu-u-th al-geb-ra-i-che-summen av antall-li-te-lei, og sign-me-on-tel permisjon uten iz-me- nei-ny.

Vi vil analysere dette høyre-vi-lo både på eksemplet med vanlige-men-åre-skudd-slag, og på eksemplet med al-geb-ra-og-che-drobey.

Eksempler på bruk av regelen for vanlige brøker

Eksempel 1. Legg til fraksjoner:.

Beslutning

La oss legge til tallet-om-de-enten draw-beat, og la oss la sign-me-on-tel være det samme. Etter det deler vi numer-li-tel og sign-me-on-tel i enkle multiplikatorer og so-kra-tim. La oss ta det: .

Merk: standardfeil, jeg starter opp noe når jeg løser i et godt eksempel, for -key-cha-et-sya i følgende-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Dette er en grov feil, siden sign-on-tel forblir den samme som den var i de opprinnelige brøkene.

Eksempel 2. Legg til fraksjoner:.

Beslutning

Denne za-da-cha er ingenting fra-om-cha-et-sya fra den forrige:.

Eksempler på bruk av regelen for algebraiske brøker

Fra den vanlige-men-ven-nyh dro-bay per-rey-dem til al-geb-ra-i-che-skim.

Eksempel 3. Legg til fraksjoner:.

Løsning: som allerede nevnt ovenfor, er tillegget av al-geb-ra-og-che-dro-bey ingenting fra-is-cha-is-sya fra zhe-niya vanligvis-men-ven-nyh dro-bay. Derfor er løsningsmetoden den samme:.

Eksempel 4. Du-ære brøker:.

Beslutning

Du-chi-ta-nie al-geb-ra-og-che-dro-bey fra-om-cha-et-sya fra komplikasjonen bare av det faktum at i antall pi-sy-va-et-sya forskjell i antall-li-te-lei er-run-nyh-dro-bay. Derfor .

Eksempel 5. Du-ære brøker:.

Beslutning: .

Eksempel 6. Forenkle:.

Beslutning: .

Eksempler på anvendelse av regelen etterfulgt av reduksjon

I en brøkdel, noen-paradis er i en re-zul-ta-de tillegg eller you-chi-ta-nia, er det mulig å co-vakkert niya. I tillegg bør du ikke glemme ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Eksempel 7. Forenkle:.

Beslutning: .

Hvori . Generelt, hvis ODZ-en til de ut-av-hot-drow-bay owls-pa-yes-et med ODZ for total-go-hylen, kan du ikke indikere det (tross alt, en brøkdel, i en lu-chen-naya i fra-ve-de, vil heller ikke eksistere med co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Men hvis ODZ er kilden til den løpende dro-bay og fra-ve-som ikke co-pa-yes-et, så indikerer ODZ behovet-ho-di-mo.

Eksempel 8. Forenkle:.

Beslutning: . Samtidig, y (ODZ for den utgående trekkplassen faller ikke sammen med ODZ for re-zul-ta-ta).

Addisjon og subtraksjon av vanlige brøker med ulike nevnere

For å lagre og du-chi-tat al-geb-ra-og-che-brøker med forskjellige-vi-kjenner-meg-på-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu fra den vanlige- men-ven-ny-mi dro-bya-mi og re-re-not-sem det til al-geb-ra-og-che-brøker.

Ras-se på det enkleste eksempelet for vanlige venesprøyter.

Eksempel 1. Legg til brøker:.

Beslutning:

La oss huske høyre-vi-lo-slo-drow-bukta. For na-cha-la-brøker er det nødvendig å legge til-ve-sti til det vanlige tegnet-meg-til-te-lu. I rollen som en generell tegn-meg-på-te-la for vanlige-men-vene-draw-beats, you-stu-pa-et minste felles multiplum(NOK) kilden til skilt-meg-på-leien.

Definisjon

Den minste-hals-til-tu-ral-nummer, noen-sverm er de-tent samtidig i tall og.

For å finne NOC, må du de-lo-live know-me-on-the-whether i enkle multiplikatorer, og deretter velge å ta alt pro- det er mange, mange, noen av dem er inkludert i forskjellen mellom begge tegner-meg-på-lei.

; . Deretter bør LCM for tall inkludere to toere og to treere:.

Etter å ha funnet den generelle sign-on-te-la, er det nødvendig for hver av dro-buktene å finne en ekstra multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, for å tømme en felles sign-me- on-tel på sign-me-on-tel co-fra-rep-til-th-th-th brøk).

Deretter multipliseres hver brøk med en semi-chen-ny til-halv-no-tel-ny multiplikator. Brøker med samme-på-til-du-kjenner-meg-på-te-la-mi, varehus og du-chi-tat noen vi er på - studert i tidligere leksjoner.

By-lu-cha-eat: .

Svar:.

Ras-look-rim nå folden til al-geb-ra-og-che-dro-bey med forskjellige tegn-meg-på-te-la-mi. Sov-cha-la, vi ser på brøkene, vet-meg-på-om noen av dem er-la-yut-sya number-la-mi.

Addisjon og subtraksjon av algebraiske brøker med ulike nevnere

Eksempel 2. Legg til brøker:.

Beslutning:

Al-go-rytme av re-she-niya ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen forrige-du-sche-mu p-me-ru. Det er lett å ta en fellesnevner på de gitte brøkene: og legge til full multiplikator for hver av dem.

.

Svar:.

Så, sfor-mu-li-ru-em al-go-rytme av komplikasjoner og you-chi-ta-niya al-geb-ra-og-che-dro-beats med forskjellige-vi-kjenner-meg-på-te-la-mi:

1. Finn den minste vanlige sign-me-on-tel draw-bay.

2. Finn flere multiplikatorer for hver av trekkbrøkene).

3. Gjør-multipliser-live tall-om-det-enten på co-ot-vet-stu-u-s-opp til halvparten-no-tel-nye-flere-de.

4. Legg til-live eller du-hedre brøkene, bruk høyre-wi-la-mi på folden og you-chi-ta-niya draw-bay med en-til-du-vet-meg-på- te-la-mi.

Ras-look-rim nå et eksempel med dro-bya-mi, i vet-meg-på-le-der-er-der-er-der-er-bøk-ven-nye du-ra-samme - sjon.

Barnet ditt tok med lekser fra skolen, og du vet ikke hvordan du skal løse det? Da er denne miniopplæringen for deg!

Hvordan legge til desimaler

Det er mer praktisk å legge til desimalbrøker i en kolonne. For å legge til desimaler, må du følge en enkel regel:

• Sifferet må stå under sifferet, komma under kommaet.

Som du kan se i eksempelet er hele enheter under hverandre, tiendedeler og hundredeler er under hverandre. Nå legger vi til tallene og ignorerer kommaet. Hva skal man gjøre med komma? Kommaet overføres til stedet der det sto i utløpet av heltall.

Legge til brøker med like nevnere

For å utføre addisjon med en fellesnevner, må du holde nevneren uendret, finne summen av tellerne og få en brøk, som vil være totalbeløpet.

Legge til brøker med forskjellige nevnere ved å finne et felles multiplum

Det første du bør være oppmerksom på er nevnerne. Nevnerne er forskjellige, om den ene er delelig med den andre, om de er primtall. Først må du ta med en fellesnevner, det er flere måter å gjøre dette på:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, for å løse dette eksemplet, må vi finne det minste felles multiplum (LCM) som vil være delelig med 2 nevnere. For å betegne det minste multiplumet av a og b - LCM (a; b). I dette eksemplet LCM (3;4)=12. Sjekk: 12:3=4; 12:4=3.
• Vi multipliserer faktorene og utfører addisjonen av de resulterende tallene, vi får 13/12 - en uekte brøk.

• For å konvertere en uekte brøk til en riktig deler vi telleren med nevneren, vi får heltall 1, resten 1 er telleren og 12 er nevneren.

Legge til brøker ved å bruke kryssmultiplikasjon

For å legge til brøker med forskjellige nevnere, er det en annen måte i henhold til formelen "kryss for kryss". Dette er en garantert måte å utjevne nevnerne, for dette må du multiplisere tellerne med nevneren til en brøk og omvendt. Hvis du bare er i startfasen av å lære brøker, så er denne metoden den enkleste og mest nøyaktige måten å få riktig resultat når du legger til brøker med forskjellige nevnere.

§ 87. Addisjon av brøker.

Å legge til brøker har mange likheter med å legge til heltall. Addisjon av brøk er en handling som består i at flere gitte tall (ledd) slås sammen til ett tall (sum), som inneholder alle enheter og brøker av leddenheter.

Vi vil vurdere tre saker etter tur:

1. Addisjon av brøker med samme nevnere.
2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.
3. Addisjon av blandede tall.

1. Addisjon av brøker med samme nevnere.

Tenk på et eksempel: 1 / 5 + 2 / 5 .

Ta segmentet AB (fig. 17), ta det som en enhet og del det i 5 like deler, så vil delen AC av dette segmentet være lik 1/5 av segmentet AB, og delen av samme segment CD vil være lik 2/5 AB.

Det kan sees fra tegningen at hvis vi tar segmentet AD, så vil det være lik 3/5 AB; men segment AD er nøyaktig summen av segmentene AC og CD. Så vi kan skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Tatt i betraktning disse begrepene og det resulterende beløpet, ser vi at telleren av summen ble oppnådd ved å legge til tellerne til begrepene, og nevneren forble uendret.

Fra dette får vi følgende regel: For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la den samme nevneren være igjen.

Tenk på et eksempel:

2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.

La oss legge til brøker: 3/4 + 3/8 Først må de reduseres til laveste fellesnevner:

Mellomlenken 6/8 + 3/8 kunne ikke vært skrevet; vi har skrevet det her for større klarhet.

For å legge til brøker med forskjellige nevner, må du derfor først bringe dem til laveste fellesnevner, legge til tellerne og signere fellesnevneren.

Tenk på et eksempel (vi vil skrive tilleggsfaktorer over de tilsvarende brøkene):

3. Addisjon av blandede tall.

La oss legge til tallene: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

La oss først bringe brøkdelene av tallene våre til en fellesnevner og skrive dem om igjen:

Legg nå til heltalls- og brøkdelene i rekkefølge:

§ 88. Subtraksjon av brøker.

Subtraksjon av brøker er definert på samme måte som subtraksjon av hele tall. Dette er en handling som, gitt summen av to ledd og ett av dem, finner et annet ledd. La oss vurdere tre tilfeller etter tur:

1. Subtraksjon av brøker med samme nevnere.
2. Subtraksjon av brøker med ulike nevnere.
3. Subtraksjon av blandede tall.

1. Subtraksjon av brøker med samme nevnere.

Tenk på et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

La oss ta segmentet AB (fig. 18), ta det som en enhet og dele det i 15 like deler; da vil AC-delen av dette segmentet være 1/15 av AB, og AD-delen av samme segment vil tilsvare 13/15 AB. La oss sette til side et annet segment ED, lik 4/15 AB.

Vi må trekke 4/15 fra 13/15. På tegningen betyr dette at segmentet ED må trekkes fra segmentet AD. Som et resultat vil segment AE forbli, som er 9/15 av segment AB. Så vi kan skrive:

Eksemplet vi laget viser at telleren av forskjellen ble oppnådd ved å trekke fra tellerne, og nevneren forble den samme.

Derfor, for å trekke fra brøker med de samme nevnerne, må du trekke fra telleren til subtrahenden fra telleren til minuenden og la den samme nevneren være igjen.

2. Subtraksjon av brøker med ulike nevnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

Først, la oss redusere disse brøkene til den minste fellesnevneren:

Mellomlenken 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhet, men den kan hoppes over i fremtiden.

For å trekke en brøk fra en brøk, må du derfor først bringe dem til den minste fellesnevneren, deretter trekke fra telleren til subtrahenden fra telleren til minuenden og signere fellesnevneren under deres forskjell.

Tenk på et eksempel:

3. Subtraksjon av blandede tall.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

La oss bringe brøkdelene av minuenden og subtrahenden til laveste fellesnevner:

Vi trakk en helhet fra en helhet og en brøk fra en brøk. Men det er tilfeller der brøkdelen av subtrahenden er større enn brøkdelen av minuenden. I slike tilfeller må du ta en enhet fra heltallsdelen av den reduserte, dele den inn i de delene der brøkdelen er uttrykt, og legge til brøkdelen av den reduserte. Og så vil subtraksjonen utføres på samme måte som i forrige eksempel:

§ 89. Multiplikasjon av brøker.

Når vi studerer multiplikasjonen av brøker, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Multiplisere en brøk med et heltall.
2. Finne en brøkdel av et gitt tall.
3. Multiplikasjon av et helt tall med en brøk.
4. Multiplisere en brøk med en brøk.
5. Multiplikasjon av blandede tall.
6. Rentebegrepet.
7. Finne prosenter av et gitt tall. La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Multiplisere en brøk med et heltall.

Å multiplisere en brøk med et heltall har samme betydning som å multiplisere et heltall med et heltall. Å multiplisere en brøk (multiplikand) med et heltall (multiplikator) betyr å komponere summen av identiske ledd, der hvert ledd er lik multiplikanten, og antall ledd er lik multiplikatoren.

Så hvis du trenger å multiplisere 1/9 med 7, kan dette gjøres slik:

Vi fikk lett resultatet, siden handlingen ble redusert til å legge til brøker med samme nevnere. Følgelig

Betraktning av denne handlingen viser at å multiplisere en brøk med et heltall tilsvarer å øke denne brøken så mange ganger som det er enheter i heltallet. Og siden økningen i brøken oppnås enten ved å øke telleren

eller ved å redusere nevneren , så kan vi enten multiplisere telleren med heltallet, eller dele nevneren på det, hvis en slik divisjon er mulig.

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere en brøk med et heltall, må du multiplisere telleren med dette heltall og la nevneren være den samme, eller om mulig dele nevneren på dette tallet, slik at telleren forblir uendret.

Når du multipliserer, er forkortelser mulig, for eksempel:

2. Finne en brøkdel av et gitt tall. Det er mange problemer der du må finne, eller beregne, en del av et gitt tall. Forskjellen mellom disse oppgavene og andre er at de gir antall objekter eller måleenheter, og du må finne en del av dette tallet, som også er angitt her med en viss brøkdel. For å lette forståelsen vil vi først gi eksempler på slike problemer, og deretter introdusere metoden for å løse dem.

Oppgave 1. Jeg hadde 60 rubler; 1/3 av disse pengene brukte jeg på kjøp av bøker. Hvor mye kostet bøkene?

Oppgave 2. Toget skal dekke avstanden mellom byer A og B, lik 300 km. Han har allerede tilbakelagt 2/3 av den distansen. Hvor mange kilometer er dette?

Oppgave 3. Det er 400 hus i landsbyen, 3/4 av dem er murstein, resten er av tre. Hvor mange murhus er det?

Her er noen av de mange problemene vi må forholde oss til for å finne en brøkdel av et gitt tall. De kalles vanligvis problemer for å finne en brøkdel av et gitt tall.

Løsning av oppgave 1. Fra 60 rubler. Jeg brukte 1/3 på bøker; Så for å finne kostnadene for bøker, må du dele tallet 60 med 3:

Oppgave 2 løsning. Meningen med problemet er at du må finne 2/3 av 300 km. Beregn første 1/3 av 300; dette oppnås ved å dele 300 km med 3:

300: 3 = 100 (det er 1/3 av 300).

For å finne to tredjedeler av 300, må du doble den resulterende kvotienten, det vil si multiplisere med 2:

100 x 2 = 200 (det er 2/3 av 300).

Løsning av oppgave 3. Her må du bestemme antall murhus, som er 3/4 av 400. La oss først finne 1/4 av 400,

400: 4 = 100 (det er 1/4 av 400).

For å beregne tre fjerdedeler av 400, må den resulterende kvotienten tredobles, det vil si multiplisert med 3:

100 x 3 = 300 (det er 3/4 av 400).

Basert på løsningen av disse problemene kan vi utlede følgende regel:

For å finne verdien av en brøkdel av et gitt tall, må du dele dette tallet med nevneren til brøken og multiplisere den resulterende kvotienten med telleren.

3. Multiplikasjon av et helt tall med en brøk.

Tidligere (§ 26) ble det fastslått at multiplikasjonen av heltall skulle forstås som tillegg av identiske termer (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). I dette avsnittet (avsnitt 1) ​​ble det fastslått at å multiplisere en brøk med et heltall betyr å finne summen av identiske ledd lik denne brøken.

I begge tilfeller besto multiplikasjonen i å finne summen av identiske ledd.

Nå går vi videre til å multiplisere et helt tall med en brøk. Her møter vi for eksempel multiplikasjon: 9 2 / 3. Det er ganske åpenbart at den tidligere definisjonen av multiplikasjon ikke gjelder for dette tilfellet. Dette fremgår av det faktum at vi ikke kan erstatte en slik multiplikasjon ved å legge til like tall.

På grunn av dette må vi gi en ny definisjon av multiplikasjon, det vil si, med andre ord, for å svare på spørsmålet om hva som skal forstås ved multiplikasjon med en brøk, hvordan denne handlingen skal forstås.

Betydningen av å multiplisere et heltall med en brøk er tydelig fra følgende definisjon: å multiplisere et heltall (multiplikator) med en brøk (multiplikator) betyr å finne denne brøken av multiplikatoren.

Å multiplisere 9 med 2/3 betyr nemlig å finne 2/3 av ni enheter. I forrige avsnitt ble slike problemer løst; så det er lett å finne ut at vi ender opp med 6.

Men nå oppstår et interessant og viktig spørsmål: hvorfor så tilsynelatende forskjellige handlinger som å finne summen av like tall og finne brøkdelen av et tall kalles det samme ordet "multiplikasjon" i aritmetikk?

Dette skjer fordi den forrige handlingen (gjenta tallet med termer flere ganger) og den nye handlingen (finne brøkdelen av et tall) gir svar på homogene spørsmål. Det betyr at vi her går ut fra betraktningene om at homogene spørsmål eller oppgaver løses ved en og samme handling.

For å forstå dette, vurder følgende problem: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 4 m slikt tøy koste?

Dette problemet løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

La oss ta det samme problemet, men i det vil mengden tøy bli uttrykt som et brøktall: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 3/4 m av en slik duk koste?

Dette problemet må også løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (3/4).

Du kan også endre tallene i den flere ganger uten å endre betydningen av problemet, for eksempel ta 9/10 m eller 2 3/10 m, etc.

Siden disse problemene har samme innhold og bare er forskjellige i tall, kaller vi handlingene som brukes for å løse dem det samme ordet - multiplikasjon.

Hvordan multipliseres et helt tall med en brøk?

La oss ta tallene som ble funnet i den siste oppgaven:

I følge definisjonen skal vi finne 3/4 av 50. Først finner vi 1/4 av 50, og deretter 3/4.

1/4 av 50 er 50/4;

3/4 av 50 er .

Følgelig.

Tenk på et annet eksempel: 12 5 / 8 = ?

1/8 av 12 er 12/8,

5/8 av tallet 12 er .

Følgelig

Herfra får vi regelen:

For å multiplisere et heltall med en brøk, må du multiplisere heltallet med telleren til brøken og gjøre dette produktet til telleren, og signere nevneren til den gitte brøken som nevner.

Vi skriver denne regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å multiplisere et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38

Det må huskes at før du utfører multiplikasjon, bør du gjøre (hvis mulig) kutt, for eksempel:

4. Multiplisere en brøk med en brøk.Å multiplisere en brøk med en brøk har samme betydning som å multiplisere et heltall med en brøk, det vil si at når du multipliserer en brøk med en brøk, må du finne brøken i multiplikatoren fra den første brøken (multiplikatoren).

Å multiplisere 3/4 med 1/2 (halvparten) betyr nemlig å finne halvparten av 3/4.

Hvordan multipliserer du en brøk med en brøk?

La oss ta et eksempel: 3/4 ganger 5/7. Dette betyr at du må finne 5/7 fra 3/4. Finn først 1/7 av 3/4 og deretter 5/7

1/7 av 3/4 vil bli uttrykt slik:

5/7 tall 3/4 vil bli uttrykt som følger:

På denne måten,

Et annet eksempel: 5/8 ganger 4/9.

1/9 av 5/8 er ,

4/9 tall 5/8 er .

På denne måten,

Fra disse eksemplene kan følgende regel utledes:

For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren med telleren, og nevneren med nevneren og gjøre det første produktet til telleren og det andre produktet til produktets nevner.

Denne regelen kan skrives generelt som følger:

Ved multiplikasjon er det nødvendig å foreta (om mulig) reduksjoner. Tenk på eksempler:

5. Multiplikasjon av blandede tall. Siden blandede tall lett kan erstattes med uekte brøker, brukes denne omstendigheten vanligvis når man multipliserer blandede tall. Dette betyr at i de tilfellene hvor multiplikanten, eller multiplikatoren, eller begge faktorene er uttrykt som blandede tall, så erstattes de med uekte brøker. Multipliser, for eksempel, blandede tall: 2 1/2 og 3 1/5. Vi gjør hver av dem til en uekte brøk, og deretter multipliserer vi de resulterende brøkene i henhold til regelen om å multiplisere en brøk med en brøk:

Regel. For å multiplisere blandede tall, må du først konvertere dem til uekte brøker og deretter multiplisere i henhold til regelen om å multiplisere en brøk med en brøk.

Merk. Hvis en av faktorene er et heltall, kan multiplikasjonen utføres basert på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrepet. Ved oppgaveløsning og ved ulike praktiske beregninger bruker vi alle slags brøker. Men man må huske på at mange mengder ikke tillater noen, men naturlige underinndelinger for dem. For eksempel kan du ta en hundredel (1/100) av en rubel, det vil være en krone, to hundredeler er 2 kopek, tre hundredeler er 3 kopek. Du kan ta 1/10 av rubelen, det vil være "10 kopek, eller en krone. Du kan ta en fjerdedel av rubelen, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (femti kopek). Men de har praktisk talt på seg Ikke ta for eksempel 2/7 rubler fordi rubelen ikke er delt inn i syvendedeler.

Måleenheten for vekt, dvs. kilogram, tillater først og fremst desimalinndelinger, for eksempel 1/10 kg eller 100 g. Og slike brøkdeler av et kilo som 1/6, 1/11, 1/ 13 er uvanlige.

Generelt er våre (metriske) mål desimaler og tillater desimalinndelinger.

Det skal imidlertid bemerkes at det er ekstremt nyttig og praktisk i en lang rekke tilfeller å bruke den samme (uniforme) metoden for å dele opp mengder. Mange års erfaring har vist at en så godt begrunnet inndeling er «hundredeler». La oss se på noen få eksempler relatert til de mest forskjellige områdene av menneskelig praksis.

1. Prisen på bøker har gått ned med 12/100 av forrige pris.

Eksempel. Den forrige prisen på boken er 10 rubler. Hun gikk ned med 1 rubel. 20 kop.

2. Sparebanker utbetaler i løpet av året til innskytere 2/100 av beløpet som settes inn på sparing.

Eksempel. 500 rubler settes inn i kassen, inntekten fra dette beløpet for året er 10 rubler.

3. Antall nyutdannede ved en skole var 5/100 av det totale antallet elever.

EKSEMPEL Bare 1200 elever studerte ved skolen, 60 av dem ble uteksaminert fra skolen.

Hundredelen av et tall kalles en prosentandel..

Ordet "prosent" er lånt fra det latinske språket og roten "cent" betyr hundre. Sammen med preposisjonen (pro centum) betyr dette ordet "for hundre." Betydningen av dette uttrykket følger av det faktum at renter i det gamle Roma opprinnelig var pengene som skyldneren betalte til utlåneren "for hvert hundre". Ordet "cent" høres i slike kjente ord: centner (hundre kilo), centimeter (de sier centimeter).

For eksempel, i stedet for å si at anlegget produserte 1/100 av alle produktene som ble produsert i løpet av den siste måneden, vil vi si dette: anlegget produserte én prosent av avslagene i løpet av den siste måneden. I stedet for å si: anlegget produserte 4/100 flere produkter enn den fastsatte planen, vil vi si: anlegget overskred planen med 4 prosent.

Eksemplene ovenfor kan uttrykkes annerledes:

1. Prisen på bøker har gått ned med 12 prosent av forrige pris.

2. Sparebanker betaler innskytere 2 prosent per år av beløpet som settes inn på sparing.

3. Antall nyutdannede ved én skole var 5 prosent av antallet av alle elever i skolen.

For å forkorte bokstaven er det vanlig å skrive %-tegnet i stedet for ordet "prosent".

Det må imidlertid huskes at %-tegnet vanligvis ikke skrives i beregninger, det kan skrives i problemstillingen og i sluttresultatet. Når du utfører beregninger, må du skrive en brøk med en nevner på 100 i stedet for et heltall med dette ikonet.

Du må kunne erstatte et heltall med det angitte ikonet med en brøkdel med en nevner på 100:

Omvendt må du venne deg til å skrive et heltall med det angitte ikonet i stedet for en brøk med en nevner på 100:

7. Finne prosenter av et gitt tall.

Oppgave 1. Skolen fikk 200 kubikkmeter. m ved, med bjørkeved som utgjør 30 %. Hvor mye bjørkeved var det?

Meningen med denne oppgaven er at bjørkeved bare var en del av veden som ble levert til skolen, og denne delen er uttrykt som en brøkdel av 30/100. Så vi står overfor oppgaven med å finne en brøkdel av et tall. For å løse det må vi multiplisere 200 med 30 / 100 (oppgaver for å finne brøken av et tall løses ved å multiplisere et tall med en brøk.).

Så 30 % av 200 tilsvarer 60.

Fraksjonen 30 / 100 som oppstår i dette problemet kan reduseres med 10. Det ville være mulig å utføre denne reduksjonen helt fra begynnelsen; løsningen på problemet ville ikke endre seg.

Oppgave 2. Det var 300 barn i ulike aldre i leiren. Barn på 11 år var 21 %, barn på 12 år var 61 % og til slutt 13 åringer var 18 %. Hvor mange barn i hver alder var i leiren?

I denne oppgaven må du utføre tre beregninger, det vil si suksessivt finne antall barn 11 år gamle, deretter 12 år gamle og til slutt 13 år gamle.

Så her vil det være nødvendig å finne en brøkdel av et tall tre ganger. La oss gjøre det:

1) Hvor mange barn var 11 år?

2) Hvor mange barn var 12 år?

3) Hvor mange barn var 13 år?

Etter å ha løst problemet, er det nyttig å legge til tallene som er funnet; summen deres skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Du bør også være oppmerksom på det faktum at summen av prosentene gitt i tilstanden til problemet er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette antyder at det totale antallet barn i leiren ble tatt som 100 %.

3 a da cha 3. Arbeideren mottok 1200 rubler per måned. Av disse brukte han 65 % på mat, 6 % på leilighet og oppvarming, 4 % på gass, strøm og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % sparte han. Hvor mye penger ble brukt på behovene angitt i oppgaven?

For å løse dette problemet må du finne en brøkdel av tallet 1200 5 ganger. La oss gjøre det.

1) Hvor mye penger brukes på mat? Oppgaven sier at denne utgiften er 65 % av all inntekt, dvs. 65/100 av tallet 1200. La oss regne ut:

2) Hvor mye penger ble betalt for en leilighet med oppvarming? Ved å argumentere som den forrige, kommer vi til følgende beregning:

3) Hvor mye betalte du for gass, strøm og radio?

4) Hvor mye penger brukes på kulturelle behov?

5) Hvor mye penger sparte arbeideren?

For verifisering er det nyttig å legge til tallene i disse 5 spørsmålene. Beløpet skal være 1200 rubler. All inntjening tas som 100 %, noe som er enkelt å sjekke ved å legge sammen prosentene gitt i problemstillingen.

Vi har løst tre problemer. Til tross for at disse oppgavene handlet om forskjellige ting (leveranse av ved til skolen, antall barn i ulike aldre, utgiftene til arbeideren), ble de løst på samme måte. Dette skjedde fordi det i alle oppgaver var nødvendig å finne noen prosent av de oppgitte tallene.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer delingen av brøker, vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Del et heltall med et heltall.
2. Divisjon av en brøk med et heltall
3. Divisjon av et heltall med en brøk.
4. Divisjon av en brøk med en brøk.
5. Deling av blandede tall.
6. Finne et tall gitt brøken.
7. Finne et tall etter prosentandelen.

La oss vurdere dem sekvensielt.

1. Del et heltall med et heltall.

Som det ble indikert i delen av heltall, er divisjon handlingen som består i det faktum at gitt produktet av to faktorer (utbyttet) og en av disse faktorene (deleren), finnes en annen faktor.

Delingen av et heltall med et heltall vurderte vi i avdelingen for heltall. Vi møtte der to tilfeller av deling: divisjon uten en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og divisjon med en rest (100: 9 = 11 og 1 i resten). Vi kan derfor si at i hele talls rike er nøyaktig deling ikke alltid mulig, fordi utbyttet ikke alltid er produktet av divisor og heltall. Etter introduksjonen av multiplikasjon med en brøk, kan vi vurdere ethvert tilfelle av divisjon av heltall som mulig (bare divisjon med null er ekskludert).

For eksempel betyr å dele 7 med 12 å finne et tall hvis produkt ganger 12 ville være 7. Dette tallet er brøken 7/12 fordi 7/12 12 = 7. Et annet eksempel: 14: 25 = 14/25 fordi 14/25 25 = 14.

For å dele et heltall med et heltall, må du derfor lage en brøk, hvis teller er lik utbyttet, og nevneren er divisor.

2. Divisjon av en brøk med et heltall.

Del brøken 6 / 7 med 3. I henhold til definisjonen av divisjon gitt ovenfor, har vi her produktet (6 / 7) og en av faktorene (3); det kreves å finne en slik andre faktor som, når multiplisert med 3, vil gi det gitte produktet 6/7. Det skal selvsagt være tre ganger mindre enn dette produktet. Dette betyr at oppgaven som ble satt foran oss var å redusere brøkdelen 6/7 med 3 ganger.

Vi vet allerede at reduksjonen av en brøk kan gjøres enten ved å redusere telleren eller øke nevneren. Derfor kan du skrive:

I dette tilfellet er telleren 6 delelig med 3, så telleren bør reduseres med 3 ganger.

La oss ta et annet eksempel: 5 / 8 delt på 2. Her er ikke telleren 5 delelig med 2, noe som betyr at nevneren må multipliseres med dette tallet:

Basert på dette kan vi angi regelen: For å dele en brøk med et heltall, må du dele telleren til brøken på det hele tallet(hvis mulig), forlater den samme nevneren, eller multipliser nevneren til brøken med dette tallet, og forlater den samme telleren.

3. Divisjon av et heltall med en brøk.

La det være nødvendig å dele 5 med 1 / 2, dvs. finne et tall som, etter å ha multiplisert med 1 / 2, vil gi produktet 5. Selvfølgelig må dette tallet være større enn 5, siden 1 / 2 er en egen brøk, og når man multipliserer et tall med en egen brøk, må produktet være mindre enn multiplikanet. For å gjøre det klarere, la oss skrive handlingene våre som følger: 5: 1 / 2 = X , altså x 1/2 \u003d 5.

Vi må finne et slikt tall X , som, når multiplisert med 1/2, ville gi 5. Siden å multiplisere et bestemt tall med 1/2 betyr å finne 1/2 av dette tallet, så derfor 1/2 av det ukjente tallet X er 5, og hele tallet X dobbelt så mye, dvs. 5 2 \u003d 10.

Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

La oss sjekke:

La oss ta et eksempel til. La det være nødvendig å dele 6 med 2/3. La oss først prøve å finne ønsket resultat ved hjelp av tegningen (fig. 19).

Fig.19

Tegn et segment AB, lik 6 av noen enheter, og del hver enhet i 3 like deler. I hver enhet er tre tredjedeler (3 / 3) i hele segmentet AB 6 ganger større, dvs. e. 18/3. Vi kobler til ved hjelp av små parenteser 18 oppnådde segmenter av 2; Det vil bare være 9 segmenter. Dette betyr at brøken 2/3 er inneholdt i b-enheter 9 ganger, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 ganger mindre enn 6 heltallsenheter. Følgelig

Hvordan få dette resultatet uten en tegning kun ved å bruke beregninger? Vi vil argumentere som følger: det er nødvendig å dele 6 med 2 / 3, det vil si at det er nødvendig å svare på spørsmålet, hvor mange ganger 2 / 3 er inneholdt i 6. La oss først finne ut: hvor mange ganger er 1 / 3 inneholdt i 6? I en hel enhet - 3 tredjedeler, og i 6 enheter - 6 ganger mer, det vil si 18 tredjedeler; for å finne dette tallet må vi gange 6 med 3. Derfor er 1/3 inneholdt i b enheter 18 ganger, og 2/3 er inneholdt i b enheter ikke 18 ganger, men halvparten så mange ganger, dvs. 18: 2 = 9 . Derfor gjorde vi følgende når vi delte 6 med 2/3:

Herfra får vi regelen for å dele et heltall med en brøk. For å dele et heltall med en brøk, må du multiplisere dette heltall med nevneren til den gitte brøken, og for å gjøre dette produktet til telleren, dele det med telleren til den gitte brøken.

Vi skriver regelen med bokstaver:

For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å dele et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38. Merk at den samme formelen ble oppnådd der.

Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:

4. Divisjon av en brøk med en brøk.

La det kreves å dele 3/4 med 3/8. Hva vil betegne tallet som vil bli oppnådd som et resultat av divisjon? Det vil svare på spørsmålet hvor mange ganger brøken 3/8 er inneholdt i brøken 3/4. For å forstå dette problemet, la oss lage en tegning (fig. 20).

Ta segmentet AB, ta det som en enhet, del det i 4 like deler og merk 3 slike deler. Segment AC vil være lik 3/4 av segment AB. La oss nå dele hvert av de fire innledende segmentene i to, så vil segmentet AB bli delt inn i 8 like deler og hver slik del vil være lik 1/8 av segmentet AB. Vi kobler 3 slike segmenter med buer, så vil hvert av segmentene AD og DC være lik 3/8 av segmentet AB. Tegningen viser at segmentet lik 3/8 er inneholdt i segmentet lik 3/4 nøyaktig 2 ganger; Så resultatet av delingen kan skrives slik:

3 / 4: 3 / 8 = 2

La oss ta et eksempel til. La det være nødvendig å dele 15/16 med 3/32:

Vi kan resonnere slik: vi må finne et tall som, etter å ha blitt multiplisert med 3 / 32, vil gi et produkt lik 15 / 16. La oss skrive beregningene slik:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 ukjent nummer X gjøre opp 15/16

1/32 ukjent nummer X er ,

32 / 32 tall X sminke .

Følgelig

For å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og multiplisere nevneren til den første brøken med telleren til den andre og gjøre det første produktet til telleren og andre nevneren.

La oss skrive regelen med bokstaver:

Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:

5. Deling av blandede tall.

Når du deler blandede tall, må de først konverteres til uekte brøker, og deretter skal de resulterende brøkene deles i henhold til reglene for deling av brøktall. Tenk på et eksempel:

Konverter blandede tall til uekte brøker:

La oss nå dele opp:

Derfor, for å dele blandede tall, må du konvertere dem til uekte brøker og deretter dele i henhold til regelen for å dele brøker.

6. Finne et tall gitt brøken.

Blant de forskjellige oppgavene på brøker er det noen ganger de der verdien av en brøkdel av et ukjent tall er gitt, og det kreves å finne dette tallet. Denne typen problemer vil være omvendt til problemet med å finne en brøkdel av et gitt tall; der ble det gitt et tall og det var nødvendig å finne en brøkdel av dette tallet, her er det gitt en brøkdel av et tall og det kreves for å finne dette tallet selv. Denne ideen vil bli enda tydeligere hvis vi vender oss til løsningen av denne typen problemer.

Oppgave 1. Den første dagen glaserte glassmestre 50 vinduer, som er 1/3 av alle vinduer i det bygde huset. Hvor mange vinduer er det i dette huset?

Beslutning. Problemstillingen sier at 50 glassvinduer utgjør 1/3 av alle vinduene i huset, noe som betyr at det er 3 ganger flere vinduer totalt, d.v.s.

Huset hadde 150 vinduer.

Oppgave 2. Butikken solgte 1500 kg mel, som er 3/8 av det totale lageret av mel i butikken. Hva var butikkens opprinnelige tilførsel av mel?

Beslutning. Av problemets tilstand kan man se at de solgte 1500 kg mel utgjør 3/8 av det totale lageret; dette betyr at 1/8 av denne beholdningen vil være 3 ganger mindre, dvs. for å beregne den, må du redusere 1500 med 3 ganger:

1500: 3 = 500 (det er 1/8 av beholdningen).

Helt klart vil hele beholdningen være 8 ganger større. Følgelig

500 8 \u003d 4000 (kg).

Den opprinnelige tilførselen av mel i butikken var 4000 kg.

Fra vurderingen av dette problemet kan følgende regel utledes.

For å finne et tall med en gitt verdi av brøken, er det nok å dele denne verdien med telleren til brøken og multiplisere resultatet med brøkens nevner.

Vi løste to problemer ved å finne et tall gitt brøken. Slike problemer, som det er spesielt godt sett fra den siste, løses ved to handlinger: divisjon (når en del er funnet) og multiplikasjon (når hele tallet er funnet).

Men etter at vi har studert delingen av brøker, kan problemene ovenfor løses i én handling, nemlig: divisjon med en brøk.

For eksempel kan den siste oppgaven løses i en handling som dette:

I fremtiden vil vi løse problemet med å finne et tall ved brøken i en handling - divisjon.

7. Finne et tall etter prosentandelen.

I disse oppgavene må du finne et tall, og vite noen få prosent av dette tallet.

Oppgave 1. I begynnelsen av dette året mottok jeg 60 rubler fra sparebanken. inntekt fra beløpet jeg la inn i sparing for ett år siden. Hvor mye penger la jeg i sparebanken? (Kassekontorer gir innskytere 2 % av inntekten per år.)

Meningen med problemet er at en viss sum penger ble lagt av meg i en sparebank og ligget der i ett år. Etter et år mottok jeg 60 rubler fra henne. inntekt, som er 2/100 av pengene jeg legger inn. Hvor mye penger satte jeg inn?

Derfor, når vi kjenner delen av disse pengene, uttrykt på to måter (i rubler og i brøker), må vi finne hele, foreløpig ukjente, beløp. Dette er et vanlig problem med å finne et tall gitt brøken. Følgende oppgaver løses ved divisjon:

Så 3000 rubler ble satt inn i sparebanken.

Oppgave 2. På to uker oppfylte fiskerne månedsplanen med 64 %, etter å ha forberedt 512 tonn fisk. Hva var planen deres?

Fra tilstanden til problemet er det kjent at fiskerne fullførte en del av planen. Denne delen er lik 512 tonn, som er 64 % av planen. Hvor mange tonn fisk som skal slaktes etter planen, vet vi ikke. Løsningen av problemet vil bestå i å finne dette tallet.

Slike oppgaver løses ved å dele:

Så, i henhold til planen, må du forberede 800 tonn fisk.

Oppgave 3. Toget gikk fra Riga til Moskva. Da han passerte den 276. kilometeren spurte en av passasjerene den forbipasserende konduktøren hvor mye av reisen de allerede hadde tilbakelagt. Til dette svarte konduktøren: "Vi har allerede dekket 30 % av hele reisen." Hva er avstanden fra Moskva til Riga?

Det kan sees fra tilstanden til problemet at 30 % av reisen fra Riga til Moskva er 276 km. Vi må finne hele avstanden mellom disse byene, dvs. for denne delen, finne helheten:

§ 91. Gjensidige tall. Erstatte divisjon med multiplikasjon.

Ta brøken 2/3 og omorganiser telleren til stedet for nevneren, vi får 3/2. Vi har en brøkdel, den gjensidige av denne.

For å få en brøkdel som er gjensidig av en gitt, må du sette telleren i stedet for nevneren, og nevneren i stedet for telleren. På denne måten kan vi få en brøk som er den gjensidige av en hvilken som helst brøk. For eksempel:

3/4, omvendt 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker som har egenskapen at telleren til den første er nevneren til den andre og nevneren til den første er telleren til den andre kalles gjensidig omvendt.

La oss nå tenke på hvilken brøk som vil være den gjensidige av 1/2. Åpenbart vil det være 2/1, eller bare 2. På jakt etter det gjensidige av dette, fikk vi et heltall. Og denne saken er ikke isolert; tvert imot, for alle brøker med en teller på 1 (en), vil de gjensidige være heltall, for eksempel:

1/3, invers 3; 1/5, omvendt 5

Siden når vi fant resiproke, møtte vi også heltall, i fremtiden vil vi ikke snakke om resiproke, men om resiproke.

La oss finne ut hvordan du skriver den gjensidige av et helt tall. For brøker løses dette enkelt: du må sette nevneren i stedet for telleren. På samme måte kan du få det resiproke av et heltall, siden ethvert heltall kan ha en nevner på 1. Derfor vil den resiproke av 7 være 1 / 7, fordi 7 \u003d 7 / 1; for tallet 10 er det motsatte 1 / 10 siden 10 = 10 / 1

Denne ideen kan uttrykkes på en annen måte: gjensidigheten til et gitt tall oppnås ved å dele en på det gitte tallet. Denne uttalelsen gjelder ikke bare for heltall, men også for brøker. Faktisk, hvis du vil skrive et tall som er det gjensidige av brøken 5/9, kan vi ta 1 og dele det med 5/9, dvs.

La oss nå peke ut en eiendom gjensidig gjensidige tall, som vil være nyttige for oss: produktet av gjensidige tall er lik en. Faktisk:

Ved å bruke denne egenskapen kan vi finne gjensidige på følgende måte. La oss finne den gjensidige av 8.

La oss betegne det med bokstaven X , deretter 8 X = 1, derfor X = 1/8. La oss finne et annet tall, inversen av 7/12, angi det med en bokstav X , deretter 7/12 X = 1, derfor X = 1:7 / 12 eller X = 12 / 7 .

Vi introduserte her begrepet gjensidige tall for å supplere informasjonen om brøkdelingen litt.

Når vi deler tallet 6 med 3/5, gjør vi følgende:

Vær spesielt oppmerksom på uttrykket og sammenlign det med det gitte: .

Hvis vi tar uttrykket separat, uten sammenheng med det forrige, er det umulig å løse spørsmålet om hvor det kom fra: fra å dele 6 med 3/5 eller fra å multiplisere 6 med 5/3. I begge tilfeller er resultatet det samme. Så vi kan si at å dele ett tall med et annet kan erstattes ved å multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren.

Eksemplene som vi gir nedenfor bekrefter denne konklusjonen fullt ut.